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概率论问题MATLAB仿真求解程序
Monte Carlo仿真原理Monte Carlo方法的的基本思想是首先建立一个概率模型，使所 求问题的解正好是该模型参数或其他有关特征量，然后通过模 拟 ―――― 统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n）,统计 出某事件发生的百分比，只要试验次数很大，该百分比就近拟于 事件发生的概率。这实际上就是事件发生概率的统计定义。利用 建立的概率模型，求出要估计的参数。蒙特卡洛属于试验数学的 一个分支。MATLAB实现Buffon问题仿真求解程序程序1 L=1; d=2; m=0; n=10000; for k=1:n x=unifrnd(0,d/2); p=unifrnd(0,pi); if x&=L*sin(p)/2 m=m+1; else end end p=vpa(m/n,4) %针的长度； %平行线间的距离（d&L）； %统计满足针与线相交条件的次数并赋初值； %投针试验次数 %迭代次数 %随机产生数的长度，即投针之后针中点与平行线的距离 %随机产生的针与线相交的角度 %针与线相交的条件 %针与线相交则记数%n 次中与平行线相交的次数的频率比，即相交的概率,vpa() 以任意精度（4 位小数点，默认值为 32 位）显示出来 pi_m=vpa((2*L*n)/(m*d),15) %利用投针频率估计圆周率 pi,vpa()以任意精度（15 位小数点，默认值为 32 位）显示出来运行结果p =.3207 pi_m =3.65程序2 N=10; P=zeros(1,N); %循环迭代次数 %赋初值，每次循环迭之后的针与线相交的概率 p 的记录值Pi_m=zeros(1,N); %赋初值，每次循环迭之后的圆周率 pi_m 的记录值 for i=1:N L=1; d=2; m=0; n=10000; for k=1:n %针的长度 %平行线间的距离（d&L） %统计满足针与线相交条件的次数并赋初值 %投针试验次数 %迭代次数 %随机产生的针与线相交的角度 %针与线相交的充要条件x=unifrnd(0,d/2); %随机产生数的长度，即投针之后针中点与平行线的距离 p=unifrnd(0,pi); if x&=L*sin(p)/2 m=m+1; else end end p=m/n; P(1,i)=p; i=i+1; end P=P; Pi_m=Pi_m; P_mean=mean(P) %n 次中与平行线相交的次数的频率比，即相交的概率 %记录第 i 次循环之后的相交概率值 %进入下次循环迭代 %无“;”则显示每次的相交概率值 %无“;”则显示每次的圆周率 pi 值 %显示 N 次迭代之后的相交概率均值 pi_m=(2*L*n)/(m*d); %利用投针频率估计圆周率 pi Pi_m(1,i)=(pi_m); %记录第 i 次循环之后的圆周率 pi 值%针与线相交则记数运行结果Pi_m_mean=mean(Pi_m)%显示 N 次迭代之后的圆周率 pi 均值P_mean =0.000 Pi_m_mean =3.731赌徒输光问题两个赌徒甲、乙两人将进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为 p ， 而乙获胜的概率为 q ( p + q = 1 )。在每一局后，失败者都要支付一元线给 胜利者。在开始时甲拥有赌本 a 元，而乙拥有赌本 b 元，两个赌徒直到甲 输光或乙输光为止。求甲输光的概率。通过理论分析（见胡尧编写讲义教材）可知甲输光的概率是：? b ?a + b ? P=? 1 ? ( p q )b ? ?1 ? ( p q ) a +b ? 1 p=q= 2 1 p, q ≠ 2p ,说时赌徒甲获胜,相 应甲得到一元钱,而乙付出一元钱；反之甲拿出一元钱给乙.这里对甲的赌本 a 、乙的赌 本 b 、甲赢的概率 p 取不同的数值进行 10000 次赌博过程模拟，相应程序如下：模拟赌博过程思路：在每一次模拟中,随机产生一个数,如果该数小于
a=10; b=3; p=0.55; S=0; N=10000; m=6; %甲的赌本 %乙的赌本 %甲赢的概率 % 计数设置为0 % 模拟次数 %设定随机数状态值（1 2 3 4 5 6 ），改变这个值可以进行不同的实验rand('state',m); %设置随机数状态 for k=1:N; at=a;%初始化甲的赌本 bt=b;%初始化乙的赌本 while at&0.5&bt&0.5;%模拟整个赌博过程 r=[(rand&p)-0.5]*2; % 算输赢 at=at+r;%交换赌本 bt=bt-r;%交换赌本 end S=S+(at&0.5); %如甲输，累加甲输的次娄 end P=S/N %计算甲输的概率值 g=p/[1-p]; Po=[1-g^b]/[1-g^(a+b)] %返回甲输光的概率理论值P =0.0676 Po =0.0656Binomial（二项分布）的使用Galton板实验 一个8级Galton板实验系统如下图(A)所示 (源程序见后)和(B)所示(源程序见后)1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9（A）（B）在图（A）中，当小球从顶部向下降落时，遇到第一层竖隔板，此时小球分别向左 右下落的概率各占一半（0.5）；当小球继续下落遇到第二层竖隔板时，小球仍以 左右相同的概率往下落，以后每层均如此（如图（B）所示）。最后到了第 8 层底 部，小球将落入底部 9 个槽中的一个。但是小球落入每个槽内的概率是不一样的。 如查将这个 9 个槽编号为：1、2、3、45、6、7、8、9，计算小球落入第 9 个槽中 的概率。 理论分析：这是一个经典的二项分布概率模型。考虑在第 K 层小球运动方向有两种 可能，用 X k 表示，则 X k 服从两点分布。这里用 X k = 1 表示向右侧竖隔板方向运 动，用 X k = 0 表示向左侧竖隔板方向运动，它们发生的概率均为 0.5。最终位置 X 由 X = ∑ X k 决定，即二项分布决定，上述第 8 层即有 X ~ Binomial (8, 0.5) ，上述该k二项分布的概率密度，可用下列程序获得：bpdf=binopdf(0:8,8,0.5) 下：运行如源程序 bpdf=binopdf(0:8,8,0.5) 运行结果bpdf =0.2 0.7 0.7 0.2 0.0039 注：第1到第9个槽内的概率值，即落入第9个槽内的概率为0.0039.下面用Matlab模拟小球下落到底部9个槽内的概率分布。在各层 中用0和1分别表示向左和向右运动。在小球下落到底层的槽内 时，一个8位的二进制数就完全确定了。而所落入槽的编号应该 是这个8位二进制数各位数按十进制数相加的结果。重复模拟小 球下落过程10000次，可以统计出小球落入各槽内的次数（即频 数）。画出9个频数数据的直方图。如下图所示（源程序见后）300025002000150010005000123456789注：灰色线条表示模拟值，而红色线条表示理论值（其中把概率理论值 的最大值调整为模拟值的最大值以便于对比）(A)图源程序 xlim([-1,9]); ylim([0,9]); L=0.8; No=8;% level number for N=1:No; mN=No/2-[1+N]/2; for k=1:N; plot([mN+k]*[1,1],[0,0.7]+No-N,'k','linewidth',2); text(-0.9,No-N+0.3,num2str(N),'fontsize',14,... 'fontname','times new roman'); end end arg=linspace(0,pi*2,200); col=[0.4,0.4,0.4]; fill(No/2+0.2*cos(arg),No+0.5+0.2*sin(arg),col,... 'Edgecolor',col); plot([No/2-1,No/2-1,-0.5,-0.5],... [No-1+0.7,No-1,0.7,0],'k'); plot([No/2+1,No/2+1,No+0.5,No+0.5],... [No-1+0.7,No-1,0.7,0],'k'); plot([-1,No+1],[0,0],'k','linewidth',2); for k=1:No+1; text(k-1.1,0.4,num2str(k),'fontsize',14,... 'fontname','times new roman'); plot(k-1+0.24*cos(arg),0.4+0.24*sin(arg),'k'); end set(gcf,'color','w');（B）图源程序%Galton板实验 xlim([-1,9]); ylim([0,9]); L=0.8; No=8;% level number for N=1:No; mN=No/2-[1+N]/2; for k=1:N; plot([mN+k]*[1,1],[0,0.7]+No-N,'k','linewidth',2); text(-0.9,No-N+0.3,num2str(N),'fontsize',14,... 'fontname','times new roman'); end end arg=linspace(0,pi*2,200); col=[0.4,0.4,0.4]; fill(No/2+1.5+0.2*cos(arg),No/2-0.5+0.2*sin(arg),col,... 'Edgecolor',col); plot([No/2-1,No/2-1,-0.5,-0.5],... [No-1+0.7,No-1,0.7,0],'k'); plot([No/2+1,No/2+1,No+0.5,No+0.5],... [No-1+0.7,No-1,0.7,0],'k'); plot([-1,No+1],[0,0],'k','linewidth',2); for k=1:No+1; text(k-1.1,0.4,num2str(k),'fontsize',14,... 'fontname','times new roman'); plot(k-1+0.24*cos(arg),0.4+0.24*sin(arg),'k'); end set(gcf,'color','w');频数直方图模拟源程序 rand('state',0) %固定随机数产生状态 R=unidrnd(2,8,10000)-1;%产生1的随机数 test=sum(R); %对随机数求和 h=hist(test,9);%统计各数出现的频数 bpdf=binopdf(0:8,8,0.5);%计算二项分布出现各取值（即第1至第9槽内）的理论值 bpdf=bpdf/max(bpdf)*max(h);%使模拟数据与理论数据保持量级一致 b1=bar(1:9,[h;bpdf]');%绘制直方图 set(b1(2),'facecolor','r');%设置右侧的直线条填充颜色为红色 set(b1(1),'facecolor',[0.4,0.4,0.4]);%把左侧直第填充颜色设置为灰色用Monte Carlo方法计算积分(随机投点法)1. 用Monte Carlo方法计算定积分(P212 教材 例4.2.1)用 Monte Carlo 方法计算定积分（随机投点法） 设 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ，求J = ∫ f ( x)dx0 1设 ( X , Y ) 服从正方形 {0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 1} 上的 Uniform 分布， 则 X ~ Unifrom(0,1) ， Y ~ Unifrom(0,1) ,且相互独立。记事件A = {Y ≤ f ( X )}则 A 的概率为p = P( A) = P{Y ≤ f ( X )} = J = ∫1 0 0∫f ( x)dydx = ∫ f ( x)dx = J01即定积分的值 J 就是事件 A 发生的概率 p由 Bernoulli LLN，我们可以用重复试验中A(= {Y ≤ f ( X )}) 出现的频率作为概率 p 的估计值.这种求定积分的方法也称为随机投点法,即将 ( X , Y ) 看 成是向正方形 {0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 1} 内随机投点,用随机 点落在区域 { y ≤ f ( x)} 中的频率作为定积分的近拟值。Monte Carlo 方法来得到 A 出现的频率： (1) 先用计算机产生 (0,1) 上 Uniform 分布的 2n 个随机数:xi , yi (i = 1, 2, , n) ,这里 n 可以很大,如 n = 104 ,甚至 n = 105 等;(2) 对 n 对数据 ( xi , yi ), i = 1, 2, , n ,记录满足不等式yi ≤ f ( xi )的次数,这就是事件 A 发生的频数 μn .由此可得事件 A 发生 的频率μnn，则 J (= ∫0 f ( x)dx) ≈1μnn例：计算定积分 源程序如下：J = ∫ ( x ? x)dx0 1 N=[10,100,,00000]; %S0=int('sqrt(x)-x',0,1); %输入参数 N 是随机投点的个数 %面积的理论值（解析解）S0=quad(@(x)sqrt(x)-x,0,1); %面积的理论值（数值解） %计算阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=rand(N(i),1); y=rand(N(i),1); Sn(i)=n/N(i); end S0 %点的横坐标 %点的纵坐标 %落在阴影区域内点的频数 %落到阴影区域内点的频率，即概率的模拟值n=sum(sqrt(x)&=y & y&=x);运行结果 S0 =0.1667 Sn =0 0.0 0.6 0.1667教材 P214 例：计算定积分 源程序1如下：J =∫101 e 2π?x2 2dx%输入参数 N 是随机投点的个数N=[10,100,,0];S0=int('exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)',0,1); S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解%面积的理论值（解析解）%S0=quad(@(x)exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi),0,1); %面积的理论值（数值解） %计算阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); y=unifrnd(0,1,N(i),1); Sn(i)=vpa(n/N(i),6); end S0 Sn %点的横坐标 %点的纵坐标 %落在阴影区域内点的频数 %落到阴影区域内点的频率，即概率的模拟值n=sum(exp(-x(i)^2/2)/sqrt(2*pi)&=y);运行结果 S0 =.341344Sn =. . .342588源程序2如下： N=[10,100,,0]; 个数S0=int('exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)',0,1); S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %S0=quad(@(x)exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi),0,1); %面积的理论值（数值解） %计算阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); y=unifrnd(0,1,N(i),1); Sn(i)=vpa(n/N(i),6); end S0 Sn %点的横坐标 %点的纵坐标 %落在阴影区域内点的频数 %落到阴影区域内点的频率，即概率的模拟值 %面积的理论值（解析解） %输入参数 N 是随机投点的n=sum(exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi)&=y);运行结果S0 =.341344 Sn =[ .300000, .340000, .334000, .346200, .343860, .339903, .341463]对于一般区间 [a, b] 上的定积分J ′ = ∫ g ( x)dxa b作线性变换 y =x?a b?a，即可化成 [0,1] 区间上的积分. 进一步若c ≤ g ( x) ≤ d ,可令f ( y) = 1 {g[a + (b ? a ) y ] ? c} d ?c则 0 ≤ f ( y ) ≤ 1 . 此时有J ′ = ∫ g ( x)dx = (b ? a )(d ? c) ∫ f ( y )dy + c(b ? a )a 0 b 1用上述 Monte Carlo 方法计算上式中 ∫0 出J ′ = ∫ g ( x)dxa b1f ( y )dy ，代入上式即可求例教材P218习题16计算定积分J 2 = ∫ e x dx?11x ? a x +1 = 作线性变换 y = ，即化成 [0,1] 区间上 2 b?a 的积分，但 c = e?1 ≤ g ( x) = e x ≤ e1 = d ，故令 1 f ( y) = {g[a + (b ? a) y ] ? c} d ?c 1 = {exp(2 y ? 1) ? e ?1} e ? e ?1即 0 ≤ f ( y ) ≤ 1 ，此时有1 J 2 = ∫ e dx = 2(e ? e ) ∫ {exp(2 y ? 1) ? e ?1}dy + 2e ?1 0 e ? e ?1 ?11 x ?1 1按上述Monte carlo方示计算出上述积分项，再代入即可编写程序实现%J2 的随机投点法计算 N=[10,100,,0]; 个数 %S0=int('exp(x)',-1,1); %面积的理论值（解析解） %S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解S0=quad(@(x)(exp(x)),-1,1); %面积的理论值（数值解） S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %计算积分项阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); y=unifrnd(0,1,N(i),1); %点的横坐标 %点的纵坐标 %计算上述式子 %输入参数 N 是随机投点的n=sum((exp(-1+2*x.^1)-exp(-1))/(exp(1)-exp(-1))&=y); 积分项中被积函数落在阴影区域内点的频数 Sn(i)=vpa(n/N(i),6); end S0 Sn %输出积分项值%上述积分项落到阴影区域内点的频率，即概率的模拟值S=vpa(Sn.^1*2*(exp(1)-exp(-1))+2*exp(-1),6) %将上述式子中的积分项代回 J2 中，并取小数点后 6 位值运行结果S0 =2.35040 Sn =[ .500000, .340000, .312000, .338300, .344010, .343157, .343434] S =[ 3.003, 2.204, 2.387, 2.35018]2. 用Monte Carlo方法计算重积分 见文献 ： 谢中华 MATLAB统计分析与应用40个案例分析 5页北京航空航天大学出版社用Monte Carlo方法计算积分(平均值法)2. 用Monte Carlo方法计算定积分(P216 教材 例4.2.4 ) 用Monte Carlo方法计算定积分（平均值法）为计算定积分J = ∫ f ( x)dx0 1设 X ~ Uniform(0,1) ，则 Y = f ( X ) 的数学期望E[ f ( X )] = ∫ f ( x)dx = J0 1所以估计 J 的值就是估计 f ( X ) 的数学期望的值.由辛 钦大数定律,可以用 f ( X ) 的观察值的平均去估计 f ( X ) 的数学期望的值.具体方法如下用计算机随机产生 n 个 (0,1) 上 Uniform 分布的随机数：xi , (i = 1, 2,, n) ,然后对每个 xi 计算 f ( xi ) ,最后得 J 的估计值为1 n J ≈ ∑ f ( xi ) n i =1教材 P216 例：计算定积分J =∫101 e 2πx2 ? 2dx编写程序实现 N=[10,100,,0]; %输入参数 N 是随机产生的样本点的个数S0=int('exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)',0,1); S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %S0=quad(@(x)exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi),0,1); %面积的理论值（数值解） %计算了随机数对应的函数的平均值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); J(i)=zeros( ); for j=1:N(i) %随机产生点的横坐标 %对应参数N的函数值求和的初值 %计算对应的函数值 %面积的理论值（解析解）J(i)=J(i)+vpa(exp(-x(j)^2/2)/sqrt(2*pi),10); end Sn(i)=vpa(J(i)/N(i),6); end S0 Sn%对应随机产生数 N 的函数平均值上述程序运行时间(20h左右)较长=.341344 Sn =[ .343533, .351536, .339814, .341022, .341549, .341313, .341361]运行结果 S0教材P218 习题16 计算定积分 x 1 1 1 e ?1 x x ?x J1 = ∫ dx J 2 = ∫?1 e dx = ∫0 (e + e )dx 0 e ?1 1．用Monte Carlo方法计算积分（随机投点法）%J1 的随机投点法计算 N=[10,100,,0]; 个数 %S0=int('(exp(x)-1)/(exp(1)-1)',0,1); S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %计算阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); y=unifrnd(0,1,N(i),1); Sn(i)=vpa(n/N(i),6); end S0 Sn %点的横坐标 %点的纵坐标 %落在阴影区域内点的频数 %落到阴影区域内点的频率，即概率的模拟值 %面积的理论值（解析解） S0=quad(@(x)(exp(x)-1)/(exp(1)-1),0,1); %面积的理论值（数值解） %输入参数 N 是随机投点的n=sum((exp(x)-1)/(exp(1)-1)&=y);运行结果S0 =.418023 Sn =[ .500000, .330000, .441000, .427500, .416730, .418827, .417979]编写程序实现%J2 的随机投点法计算 N=[10,100,,0]; %输入参数 N 是随机投点个数 %S0=int('exp(x)',-1,1); %面积的理论值（解析解） %S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解S0=quad(@(x)(exp(x)),-1,1); %面积的理论值（数值解） S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %计算阴影区域的面积的 Monte Carlo 模拟值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); %点的横坐标 y=unifrnd(0,1,N(i),1); %点的纵坐标 n=sum((exp(-1+2*x.^1)-exp(-1))/(exp(1)-exp(-1))&=y); %落在阴影区 域内点的频数 Sn(i)=vpa(n/N(i),6); %落到阴影区域内点的频率，即概率的模 拟值 end S0 Sn S=vpa(Sn.^1*2*(exp(1)-exp(-1))+2*exp(-1),6)S0 =2.35040运行结果Sn =[ .400000, .350000, .318000, .346500, .343270, .343552, .343427] S =[ 2.604, 2.259, 2.373, 2.35014]2．用Monte Carlo方法计算积分（平均值法）%J1 的平均值法计算 本点的个数 %S0=int('(exp(x)-1)/(exp(1)-1)',0,1); %S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 S0=quad(@(x)(exp(x)-1)/(exp(1)-1),0,1); %面积的理论值（数值解） S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %计算了随机数对应的函数的平均值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); J(i)=zeros( ); for j=1:N(i) %随机产生点的横坐标 %对应参数N的函数值求和的初值 %计算对应的函数值 %面积的理论值（解析解）编写程序实现%输入参数 N 是随机产生的样N=[10,100,,0];J(i)=J(i)+(exp(x(j))-1)/(exp(1)-1); end Sn(i)=vpa(J(i)/N(i),6); end S0 SnS0 =.418023%对应随机产生数 N 的函数平均值运行结果Sn =.351445, .437991, .411458, .418346, .418134, .418522, .418024]编写程序实现%J2 的平均值法计算 N=[10,100,,0]; %输入参数 N 是随机产生的样本点的个数%S0=int('exp(x)',-1,1); %面积的理论值（解析解） %S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 S0=quad(@(x)exp(x),-1,1); %面积的理论值（数值解） S0=vpa(S0,6);%vpa 函数得出确定小数点位数后的确切解 %计算了随机数对应的函数的平均值 for i=1:length(N) x=unifrnd(0,1,N(i),1); J(i)=zeros( ); for j=1:N(i) %随机产生点的横坐标 %对应参数N的函数值求和的初值 %计算对应的函数值 %对应随机产生数 N 的函数平均值J(i)=J(i)+exp(x(j))+exp(-x(j)); end Sn(i)=vpa(J(i)/N(i),6); end S0 Sn运行结果S0 =2.35040 Sn =2.292, 2.389, 2.314, 2.35040]
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概率论题解1000例
《概率论题解1000例》是2011年出版的图书，作者是格里梅特。
概率论题解1000例基本信息
作　者：（英）格里梅特　等著
出 版 社：世界图书出版公司
出版时间：
页　数：438
印刷时间：
开　本：16开
纸　张：胶版纸
I S B N：0
包　装：平装
概率论题解1000例内容简介
本书包括了概率论和随机过程中的1000多道练习题及其解答。它是牛津大学2001年出版的教程《概率论和随机过程》（以下简称PRP）的题解手册，就《概率论题解1000例》本身而言也是一部完全独立的习题集，不仅可以作为深入学习之用，也可以作为PRP教程的补充和进一步理解。《概率论题解1000例》是对早期《概率论及其题解》的扩展，新增加了400多道练习题。因为书中许多习题包括好几问，所以总共的问题超过3000道。
概率论题解1000例目录
1 事件及其概率
1.2 集合、事件
1.4 条件概率
1.5 独立性
1.6 完备性和乘积空间
1.7 旧题新问
2 随机变量及其分布
2.1 随机变量
2.2 平均值的分布
2.3 离散型和连续型随机变量
2.4 旧题新问
2.5 随机向量
2.6 蒙特卡洛模拟
3 离散型随机变量
3.1 分布列
3.2 独立性
3.4 示性函数、匹配问题
3.5 离散型随机变量的例子
3.6 不独立
3.7 条件分布与条件期望
3.8 随机变量之和
3.9 简单随机游动
3.10 随机游动：样本轨道计数
4 连续型随机变量
4.1 概率密度函数
4.2 独立性
4.4 连续型随机变量的例子
4.5 不独立
4.6 条件分布与条件期望
4.7 随机变量的函数
4.8.随机变量之和
4.9 高维正态分布
4.10 由正态分布产生的分布
4.11 随机样本的构造
4.12 耦合与泊松逼近
4.13 几何概率模型
5 母函数及其应用
5.1 母函数
5.2 一些应用
5.3 随机游动
5.4 分支过程
5.5 年龄相依的分支过程
5.6 再谈期望
5.7 特征函数
5.8 特征函数举例
5.9 反转定理和连续性定理
5.10 两个极限定理
5.11 大偏差
6.1 马氏过程
6.2 状态分类
6.3 马氏链分类
6.4 平稳分布和极限定理
6.5 可逆性
6.6 有限状态马氏链
6.7 再谈分支过程
6.8 纯生过程和泊松过程
6.9 连续时间马氏链
6.10 一致半群
6.11 生灭过程和嵌入链
6.12 特殊的过程
6.13 高维泊松过程
6.14 马氏链蒙特卡洛
7 随机变量的收敛
8 随机过程
9 平稳过程
10 更新过程
13 扩散过程
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