求级数收敛性【高等数学吧】_百度贴吧
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登录百度帐号判别此级数的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛： ((-1)^n)((sinn)^2)/n
谢谢！！
((-1)^n)((s相关信息)^2)n =[(-1)^n 1(2n)]-[(-1)^n （Cos2n）2n]
∑[(-1)^n 1(2n)]和 ∑[(-1)^nCos 2n2n]都是收敛的
| ((-1)^n)((sinn)^2)n| =（sin n）^2n=[1(2n)]-[Cos 2n2n]
而∑[1(2n)]发散，∑[Cos 2n2n]收敛，所以原级数非绝对收敛，即是条件收敛。
其中∑ cos 2n 收敛用到了积化和差公式
cosAsinB=[sin(A+B) -sin(A-B)]2
故∑ cos 2n 的前N项和为 【[∑sin2cos2n]sin2=[sin(2N+2)+sin(2N)+sin2]2sin2】当N趋于无穷时有界 故级数∑ cos 2n收敛。
而12n单调递减趋于零故有界 用Ael判别法 ∑[Cos 2n2n]收敛
===================
根据尚理大师的建议 修改如下
其中∑ (cos 2n2n) 收敛 是用的Dichlet判别法 12n单调递减 趋于零
∑cos2n的部分和数列有界
∑cos2n有界用到了积化和差...
((-1)^n)((s相关信息)^2)n =[(-1)^n 1(2n)]-[(-1)^n （Cos2n）2n]
∑[(-1)^n 1(2n)]和 ∑[(-1)^nCos 2n2n]都是收敛的
| ((-1)^n)((sinn)^2)n| =（sin n）^2n=[1(2n)]-[Cos 2n2n]
而∑[1(2n)]发散，∑[Cos 2n2n]收敛，所以原级数非绝对收敛，即是条件收敛。
其中∑ cos 2n 收敛用到了积化和差公式
cosAsinB=[sin(A+B) -sin(A-B)]2
故∑ cos 2n 的前N项和为 【[∑sin2cos2n]sin2=[sin(2N+2)+sin(2N)+sin2]2sin2】当N趋于无穷时有界 故级数∑ cos 2n收敛。
而12n单调递减趋于零故有界 用Ael判别法 ∑[Cos 2n2n]收敛
===================
根据尚理大师的建议 修改如下
其中∑ (cos 2n2n) 收敛 是用的Dichlet判别法 12n单调递减 趋于零
∑cos2n的部分和数列有界
∑cos2n有界用到了积化和差公式
cosAsinB=[sin(A+B) -sin(A-B)]2
故∑ cos 2n 的前N项和为 【[∑sin2cos2n]sin2=[sin(2N+2)+sin(2N)+sin2]2sin2】有界
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)^2)n =[(-1)^n(2n)]-[(-1)^nCos 2n2n]
拆开的两个级数都收敛，故原级数收敛。
| ((-1)^n)((sinn)^2)n| =（sin n）^2n=[1(2n)]-[Cos 2n2n]
而级数sigma[1(2n)]发散，级数[Cos 2nn...
((-1)^n)((sinn)^2)n =[(-1)^n(2n)]-[(-1)^nCos 2n2n]
拆开的两个级数都收敛，故原级数收敛。
| ((-1)^n)((sinn)^2)n| =（sin n）^2n=[1(2n)]-[Cos 2n2n]
而级数sigma[1(2n)]发散，级数[Cos 2nn]收敛，所以原级数非绝对收敛，即是条件收敛。
级数[Cos 2n2n]收敛是因为sigma{1-k}(cos 2n)有界，12n单挑下降趋于零，由Diichlet判别法得出的。
答: 个人更喜欢我们平安的百万任我行，区别，
1，一个缴费1672，一个1472
2，太平洋的10万是只指意外的，但是百万任我行的10万含意外身故金和疾病身故金
答: 老师主动，多让学生背，思考，不学也得逼着，以后他们就知道对不对了
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
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级数的收敛性
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求级数1/(1+1/n)^n的收敛性
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发散,当n→∞时,1/(1+1/n)^n→1/e,不满足级数收敛的必要条件（通项趋于0）,故级数发散
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级数的收敛、求和与展开
第十章 习题课 级数的收敛、 级数的收敛、求和与展开一、数项级数敛散性的判别法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法机动 目录 上页 下页 返回 结束求和 展开(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.基本问题：判别敛散； 求收敛域； 基本问题 求和函数； 级数展开.机动目录上页下页返回结束一、数项级数敛散性的判别法1. 利用部分和序列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数判别 判别法 判别 必要条件 lim un = 0n→∞不满足发 散满足un+1 比值判别 lim 判别法 判别 un = l n→∞根值判别 lim n un = l 判别法 判别n→∞l =1部分和极限 不定 比较判别 判别法 判别 积分判别法用它法判别l &1收 敛l &1发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束3. 任意项级数敛散性的判别法 的判别法 概念: 概念 为收敛级数 若 若 Leibniz判别法 若 判别法: 判别法 则交错级数 收敛 , 且余项 收敛 , 称 发散 , 称 且 绝对收敛 条件收敛机动目录上页下页返回结束4.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 （Dirichlet 判别法） 判别法）k→∞级数∑akbkk =1∞若序列 ak }单调且lim ak = 0, 又级数∑bk {k =1∞的部分和有界， 即存在常数 M&0 使| ∑bk |≤ M, n =1,2,Lk =1 n则级数∑akbk收敛 .k =1∞（Abel 判别法 判别法）∞若无穷数列 ak }单调有界且级数∑bk收敛，则 {∞级数∑akbk收敛 .k =1k =1例1. 若级数 证明级数∞均收敛 , 且 收敛 .∞) 证: Q0 ≤ c n ? a n ≤ bn ? a n (n =1, 2 , L , 则由题设n=1∑(bn ? a n ) 收敛∞ n =1 ∞n =1∑(c n ? a n ) 收敛∞= ∑[(c n ? a n ) + a n ] = ∑(c n ? a n ) + ∑a n 收敛n =1 n =1机动目录上页下页返回结束例2.判别下列级数的敛散性:提示: (1) Q lim n n =1, ∴?ε & 0 , ?N , 提示n→∞1?ε & n n &1+ ε因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .机动目录上页下页返回结束利用比值判别法, 可知原级数发散.(3) ∑n=1∞π n cos2 n3用比值法, 可判断级数收敛,2n:再由比较法可知原级数收敛 .an (5) ∑ s (a & 0, s & 0): 用比值判别法可知: n=1 n a &1 时收敛 ; a &1 时发散.∞1 1 因 n 充分大时 & 10 , n ln n ∴原级数发散 .发散,s &1 时收敛; a =1 时, 与 p 级数比较可知 s ≤1 时发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束例3. 设正项级数 也收敛 . 解: 因n→∞和都收敛, 证明级数lim un = lim vn = 0 ,∴存在 N & 0, 当n &N 时n→∞又因2 ≤ 2( un + vn ) 2利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 思考: 思考 设正项级数 收敛，问机动 目录是否收敛？上页 下页 返回 结束例4.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:sin nπ 1 n+1 + (2) ∑(?1) ; n+1∞ n=1πn +1 (3) ∑(?1) n n=1n∞∞ 1 0 n 1 解 (1) 1 当p & 1时, 因∑ p 收敛, 故∑ (-1) p 绝对收敛. n n =1 n n =1∞1 2 当0 & p ≤ 1时, 由莱布尼兹定理易知∑ (-1) p 收敛, n n =10 n∞1 而∑ p 发散 , 所以 n =1 n0∞∑ (-1)n =1∞n1 条件收敛 . p n1 3 当 p ≤ 0时 ,由于 p → 0 ( n → ∞ ), 故原级数发散 原级数发散. nsin nπ 1 + (2) ∑(?1)n+1 n+1 ;∞ n=1ππ( 2 ) 解 (-1)n +1sinπn +1 ≤ n +1 1πn +1, 0&1π& 1.而∑∞(1n =1π故原级数绝对收敛. ) n + 1收敛 , 故原级数绝对收敛.n +1 (3) ∑(?1) ln n n=1n∞因单调递减, 且由Leibniz判别法知级数收敛 ; ∞ n +1 但 ∑ln n n=1= lim ∑( ln(k +1) ? ln k )n→∞ k =1n→∞n= lim ln(n +1)所以原级数仅条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)) n (n +1 ! (?1) n+1 n n=1∑∞因un+1 = unn+2 1 n+1 n →∞ = (1? ) n +1 n +1所以原级数绝对收敛 .机动目录上页下页返回结束例5 级数 件收敛. 解∑n=1∞(-1)n-1 n1+ 1 n是否收敛，绝对收敛还是条?∑n=1 ∞n 1 1 1 原级数是交错级数，易知 lim 1 = lim lim n = 0. n→∞ 1+ n→∞ n n→∞ n 1 n n 为考察 1 的单调性，令 1+ 1+ n n 1+1 1 1 (1+ )lnx f (x) = x x = e x , g(x) = (1+ x) ln x, 则 x +1? ln x & 0(x ≥1) ? g(x)在1,+∞)单 上 g′(x) = [ 调 升 2 x 1 ? f (x)在1,+∞)单 上 ? [ 调 升 在1,+∞)单调 [ 下降 ? 1注 意 1 1+ n n11 = n ~ n n n111 1+ n发散 .序列 1 单调下降 . 1+ 由莱布尼兹法则知原级数条件收敛. n n1x1+x用阿贝尔判别法来证∑n=1∞∞(-1) n1+n?1n-1 1 n(?1)n?1 1 =∑ ?n , n n n=1∞(?1) 显 ∑ 然 n n=11 收 , n 单调上升且有界， 敛 n∞(?1)n?1 1 由阿贝尔判别法知 ∑ ?n 收 . 敛 n n n=1故原级数条件收敛.1 判定级数∑ 的敛散性. p n =2 n(lnn) 1 1 解 当p ≤ 0时有 ≥ (n ≥ 3), p n(ln n) n ∞ 1 因此级数∑ 发散. p n = 2 n(ln n) 1 当p & 0 时，取f(x) = ( x ≥ 3),当b → ∞时, p x(lnx) ?ln ln b ? ln ln 2 → +∞, p = 1; ? b ? + ∞, p & 1 dx ? ∫2 x(ln x) p ? 1 (ln b) ? p+1 ? (ln 2) ? p+1 → ? (ln2) -p+1 ? ?- p + 1 ? p - 1 , p & 1. ? ? ? ∞ 1 于是级数∑ 当p & 1时收敛, 当p ≤ 1时发散. p n = 2 n (ln n )例6∞二、求幂级数收敛域的方法? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x = ±R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 ? 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法例6.求下列级数的敛散区间:机动目录上页下页返回结束1n an = lim(1+ ) = e 解: Q n→∞ n 1 1 1 ∴R = , 即? & x & 时原级数收敛 . e e e lim n n→∞1 当 x = ± 时, e1n (1+ ) n ? n ? un = ? ??&e 1?1 n+ (1+ ) +1 & e n1 → ≠ 0 (n →∞) e1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为(? , ) . e e机动 目录 上页 下页 返回 结束un+1(x) 解: 因 lim = lim n→∞ un (x) n→∞2x = 22x 当 &1, 即? 2 & x & 2 时 级数收敛; ， 2当x = ± 2时, 一般项 un = n 不趋于0, 级数发散;故收敛区间为 (? 2 , 2 ) .机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法? 求部分和式极限 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 映射变换法n=0 n=0∑an xS(x)∞n逐项求导或求积分n=0 n=0? an xn ∑∞难 对和式积分或求导求和S*(x)? 数项级数 求和直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值机动 目录 上页 下页 返回 结束例7. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为x1 x = sin x + cos x, 2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束法2 先求出收敛区间设和函数为则1 2 x = sin x 2 1 x ∴ S(x) = sin x + cos x, 2 2机动目录上页下页返回结束例8.求下列幂级数的和函数：x≠0 解: (1)2 1 1 2n?1 ′ ( ∑( x ) n )′= ( 原 = ∑ n (x 式 )= 2 x n=1 2 =1 n=1 ∞ ∞x2 1 2 ? x 1? x2 2′ )x 2 + x2 )′ = =( 2 2? x (2 ? x2 )2x2 (0 & &1) 2显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x = ± 2 级数发散, 故和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束? 1 ? 1 ? xn (2) 原 = ∑? 式 ? n=1? n n +1 ?∞∞x ≠0x? 1 tn dt ? ? ∑? ∫ ? ? n=1? x 01 t (0 & x &1) ? ∫ dt x 01? t 1 +1+ ln (1? x) x 1 =1+ ( ?1) ln (1? x) x机动 目录 上页 下页 返回 结束x即得1 =1+ ( ?1) ln (1? x) , 0 & x &1 x显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = ±1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有机动目录上页下页返回结束例 15 设级数例9∞ (n ? 1)2 n n n+1 试求： 和. 求级数∑ x 的和函 并求∑ 数 n! n =1 n=1 n!∞∞n n +1 解 易算出级数 ∑ x 的收敛域为(?∞， ∞). + n =1 n! ∞ ∞ n n+1 2 ∞ n n?1 xn?1 设 S(x) = ∑ x = x x = x2 ∑ n =1 n! ! )! n=1 n n=1 (n ?1 ∞ xn = x2 ∑ = x 2e x . ! n=0 n ∞ (n -1)xn+1 ∞ nx n +1 ∞ x n +1 因为 ∑ =∑ ?∑ = s( x) ? x n! n! n=1 n =1 n =1 n!∑= x 2 e x ? x(e x ? 1)∴∞x ∑ n! n =1∞n(n - 1)2 n 1 ∞ (n ? 1)2 n +1 1 ∞ (n ? 1) x n +1 = ∑ = ∑ | x = 2 = e 2 + 1. ∑ n! 2 n =1 n! 2 n =1 n! n =1xn 例10 求 级数∑ 的和函数, 其中 x & 1. 1 n( n + 1) ∞ ∞ x n +1 xn xS(x) = ∑ 解 S(x) = 1 n ( n + 1) 1 n( n + 1)∞∑∞∴x 1 1? x S(x) = ( ? ∫ ln(1 ? x ) dx ) = 1 + ln(1 ? x ) 0 x x∞ x n+1 [xS(x)]′′ = ∑ ( )′′ = ∑ x n?1 = 1 n(n + 1) 1 1 1- x x 1 [xS(x)]′ = ∫ dx = ? ln(1 ? x ) 0 1? x( x & 1)例11 求级数∑ n( x ? 1) n ?1的和 函数1∞(0 & x & 2)解设 S (x) ==∑ ∑ ( x ? 1)∞ 1∞n ( x ? 1)nn ?1∫x0S ( t ) dt =∑∫1∞x0n ( t ? 1) n ?1 dt∴S(x) = (∑ (x - 1) n )′ = (1∞1x ?1 x ?1 = . = 1 ? ( x ? 1) 2? xx ?1 1 )′ = . 2 2? x (2 ? x)例12.求级数1 (?1) [ (2n +1) +1] 解: 原式= ∑ ( 2n +1)! 2 n=0∞ n的和 .1 ? ∞ (?1)n ∞ (?1)n ? = ?∑ +∑ 2 ?n=0( 2n)! n=0( 2n +1)!? ?1 = [cos 1 + sin1] 2机动 目录 上页 下页 返回 结束四、函数的幂级数和付式级数展开法1. 函数的幂级数展开法 ? 直接展开法 ― 利用泰勒公式 ? 间接展开法 ― 利用已知展式的函数及幂级数性质 例13. 将函数 展开成 x 的幂级数. .1 1 ′ 1 ? ∞ xn ?′ 1 1 ′ ) = ( ? x ) = ?? ∑ n ? =( 解: 2 2 1? 2 2? x (2 ? x) 2 ? n=0 2 ?1 ∞ nxn?1 = ∑ n , 2 n=1 2机动 目录 上页 下页 返回 结束例14 将下列函数展开成x的幂级数：(1) f (x) = ln( 2 + x),解 （1） ）（ ） (x) = ax (a & 0). 2 f1 2 1 3 1 4 (?1)n?1 n ? ln(1+ x) = x ? x + x ? x +L + x +L n 2 3 4 x ∈(?1, +1] x xln(2 + x) = ln[2 ? (1 + )] = ln 2 + ln(1 + ) 2 2 ∞ xn x n ?1 = ln 2 + ∑ (?1) (-1 & ≤ 1, 即 ? 2 & x ≤ 2). n n2 2 n =1x xlna(2) a = eln a n =∑ x ! n=0 n∞nx ∈(?∞, + ∞)例15： ∑an收敛 证明级数∑ 设 .n=1 ∞∞1 证明： an (x) = x , x ∈[0,+∞), bn (x) = an , x ∈[0,+∞). 令 n 则对任意取定的x ∈[0,+∞), 序列an (x)单调 下降)，且 ( 1 | an (x) |=| x |≤1, x ∈[0,+∞), n =1,2,L, n ∞ 即an (x)在 0,+∞)上一致有界,又级数∑an收敛意味着函 [数项级数∑bn (x)在 0,+∞)上一致收敛 故由Abel 判别法 ( .an ∞ 则 ，所证级数在给定区间一致收敛。 xlim0 ∑ x = ∑an . →0+ n=1 n n=1n=1∞an ∞ lim ∑ x = ∑an . x→0+0 n=1 n n=1an 在 0，∞)中一致收敛，并有 [ + x n=1 n∞∞n=12. 函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 练习: 练习 P258 题11. 设 f (x)是周期为2π的函数, 它在 [?π , π ) 上的表达式为 将其展为傅氏级数 . 解答提示 1 πy?π o π x 1 ex (nsin nx + cos nx) π x an = ∫0 e cos nxd x = [ ]0 2 π π 1+ n1 eπ (?1)n ?1 = π 1+ n2 (n = 0, 1, 2,L)1 ex (sin nx ? ncos nx) π ] bn = ∫ e sin nxd x = [ 2 0 π π 0 1+ n n 1? eπ (?1)n = (n =1, 2,L) 2 π 1+ n1π xe ?1 1 ∞ ∴ f (x) = + ∑ 2π π n=1 ( x ≠ kπ , k = 0 , ±1, ± 2 ,L)思考: 思考 如何利用本题结果求级数 提示: 提示 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 eπ ?1 1 ∞ f (0? ) + f (0+ ) 1 + ∑ = = π n=1 2 2π 2机动 目录 上页 下页 返回 结束π
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