故P(A?B)=P(A)?P(B) 17、（A-B）?B=（A?B）-B当且仅当B=?。 证明：? 当B=?时，因为（A-B）?B=（A-?）??=A，（A?B）-B=（A??）-? =A，所以（A-B）?B=（A?B）-B。 用反证法证明。假设B??，则存在b?B。因为b?B且b? A?B，所b?（A?B）-B。? 而显然b?（A-B）?B。故这与已知（A-B）?B=（A?B）-B矛盾。
五、证明或解答： （数理逻辑、集合论与二元关系部分） 1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言： (1)
?x?y（xy=1）;
?x?y(xy=1); (3)
?x?y (xy=0);
?x?y（xy=0）; (5)
?x?y (xy=x);
?x?y（xy=x）; (7)
?x?y?z (x-y=z) 答：（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1; （3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0; （4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x; （6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x; （7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。 2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): xy，下列命题符号化： （1）没有小于0的自然数; （2）x<z是x<y且y<z的必要条件; （3）若x<y，则存在某些z，使z （4）存在x，对任意y 使得xy=y; （5）对任意x，存在y使x+y=x。 答：（1）?x（G(x,0)?M（0,0,x））
或??x L(x,0) （2）?x?y?z ((L(x,y)?L(y,z))?L(x,z)) （3）?x?y ((L(x,y)??z(L(z,0)?G(xz,yz))) （4）?x?yM（x,y,y） （5）?x?yA(x,y,x) 3、列出下列二元关系的所有元素：
21 个体域为自然数。将
（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={|x,y?A?B}; （2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={|2?x+y?4且x?A且y?B}; （3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={||x|=|y|且x?A且y?B}; 解：(1)
R={,,,} (2)
R={,,,,}; (3)
R={,,,}。 4、对任意集合A,B，证明：若A?A=B?B，则B=B。 证明：若B=?，则B?B=?。从而A?A =?。故A=?。从而B=A。
若B??，则B?B??。从而A?A??。 对?x?B, ?B?B。因为A?A=B?B，则?A?A。从而x?A。故B?A。 同理可证，A?B。 故B=A。 5、对任意集合A,B，证明：若A??，A?B=A?C，则B=C。 证明：若B=?，则A?B=?。从而A?C =?。因为A??，所以C=?。即B=C。
若B??，则A?B??。从而A?C??。 对?x?B,因为A??，所以存在y?A, 使?A?B。因为A?B=A?C，则?A?C。从而x?C。故B?C。 同理可证，C?B。 故B=C。 6、设A={a,b}, B={c}。求下列集合： (1)
A?{0,1}?B；
B2?A； (3)
P(A)?A。 解：（1） A?{0,1}?B={,,,}; （2） B2?A={,}; （3） (A?B)={,,,}; （4） P(A)?A={,,,,, ,,}。 7、设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合： （1）A?B?C； （2）A?B?C；（3）(A?B)?C;
（4）P(A)-P(B); （5）(A-B)?(B-C); （6）(A?B)?C;
A?B?C={a};
(2) A?B?C={a,b,c,d,e}; (3)
（A?B）?C={b,d};
P(A)-P(B)={{d},{a,d}}; (5)
(A-B)?(B-C)={d,c,a};
(A?B) ?C={b,d}。
22 2 8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言： （1）若A?B，且B?C，则A?C； （2）若A?B，且B?C，则A?C; （3）若A?B，且B?C，则A?C； （4）若A?B，且B?C，则A?C； 证明：(1)
成立。 对?x?A, 因为A?B，所以x?B。又因为B?C，所以x?C。即A?C。 (2)
不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (3)
不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (4)
成立。因为A?B, 且B?C，所以A?C。 9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。 证明：?a，b∈A，则{a,b}是A的一个非空子集。?≤是A上的良序关系，?{a,b}有最小元。若最小元为a，则a≤b；否则b≤a。从而≤为A上的的全序关系。 10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则R?S是A上的等价关系。
证明：?a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故xR?Sx。从而R?S是自反的。 aR?Sb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bR?Sa。?a,b∈A，从而R?S是对称的。 ?a,b,c∈A，aR?Sb且bR?Sc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故aR?Sc。从而R?S是传递的。 故R?S是A上的等价关系。 11、设R?A×A，则R自反 ?IA?R。 证明：??x?A，?R是自反的，?xRx。即?R，故IA?R。 ??x?A，?IA?R，??R。即xRx，故R是自反的。 12、设A是集合，R?A×A，则R是对称的?R＝R－1。 _1-1证明：???R ，?R是对称的，?yRx。即?R，故?R 。从而R?R。 反之??R-1,即?R 。?R是对称的，?yRx。即?R， R_1?R。 故R=R-1。 ??x，y?A，若?R ，即?R-1。? R=R-1，??R。即yRx，故R是对称的。 13、设A,B,C和D均是集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，则 (1)
R?(S?T)=(R?S)?(R?T)； (2)
R?(S?T)?(R?S)?(R?T)；
证明：（1）??R?(S?T)，则由合成关系的定义知?y?B，使得?R且?S?T。从而?R且?S或?R且?T，即?R?S或?R?T。故?（R?S）?（R?T） 。从而R?(S?T)?（R?S）?（R?T）。 同理可证（R?S）?（R?T）?R?(S?T)。 故R?(S?T)=（R?S）?（R?T）。 (2) ??R?(S?T)，则由合成关系的定义知?y?B，使得?R且?S?T。从而?R且?S且?T，即?R?S且?R?T。故?（R?S）。 ?（R?T） 。从而R?(S?T)?(R?S）?（R?T）14、设〈A,≤〉为偏序集，??B?A，若B有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。 证明：设a,b都是B的最大元，则由最大元的定义a?b，b?a。??是A上的偏序关系，?a=b。即B如果有最大元则它是惟一的。 15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
?0?解：（1）R={,,};MR=?1?1?0000??1?;它是反自反的、反对称的、传递的； 0??1011??1?;它是反自反的、对称的； 0???0?（2）R={,,,,,};MR=?1?1??0?（3）R={,,,};MR=?1?0?1001??0?;它既不是自反的、反自反的、也不是对1??称的、反对称的、传递的。 16、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？ （1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; （2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; （3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 解：（1）和（2）都不是A的划分。 （3）是A的划分。其诱导的等价关系是 IA?{,,,,,,,,, ,,,,,,,,}。
17、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系， R=IA?{,,,,,} 求R诱导的划分。 解：R诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。 18、A上的偏序关系?的Hasse图如下。 （1） （2） 下列哪些关系式成立：a?b,b?a,c?e,e?f,d?f,c?f； 分别求出下列集合关于?的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界（若存在的话）： (a) A; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e}
解：(1) b?a,c?e,d?f,c?f成立； (2) (a)的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元； 无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。 (b)的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元；
上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 (c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元； 上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。 (d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元； 上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。
（半群与群部分） 19、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。 解：因为|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 个：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。 20、求下列置换的运算： ?1解：（1）??2?24334??1????1????=??1???123344?? 2???1（2）??4???1?=??1?????1????41????? 1??2 25硕士/研究生
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离散数学课件-次序关系
1,离散数学,,离散数学,2,72等价关系73次序关系,学习内容,3,次序关系,偏序关系拟序关系全序关系良序关系,4,偏序关系,定义1R是A上的关系，如果它是自反、反对称和传递的，则称R是A上的偏序关系。并称是偏序集。,例试判断下列关系是否为偏序关系1集合A的幂集PA上的包含关系“?”；2实数集合R上的小于或等于关系“≤”,是,是,因为数值的“≤”是熟知的偏序关系，所以用符号“≤”表示任意偏序关系,但要注意“≤”不一定是“小于或等于”的含义不是指数值的大小而是指偏序中元素位置的先后。,例A{1,2,4,6},设≤是A中的整除关系。显然“≤”是自反、反对称和传递的，即它是个偏序。,5,补充定义X与Y是可比较的是偏序集，如果对X,Y∈A，必有X≤Y,或Y≤X,则称X与Y是可比较的。上例中1,2,4或1,2,6间是可比较的，而4与6间是不可比较的,【注意】若“≤”是集合A上的一个偏序关系，这意味着对于任意X,Y∈A，当X≠Y时，X≤Y和Y≤X至多一个成立。,6,例735考虑任务集T，它包含了拍摄一张室内开启闪光灯的照片必须按顺序完成的任务。,1打开镜头盖2照相机调焦3开启闪光灯4按下快门按钮,在T上定义关系R如下,,试判断R是否是T上的偏序关系并画出它的关系图。,解1列出R中的元素2判断是否满足属性3画出关系图,7,偏序关系的关系图特点1每个结点都有环2两个不同结点之间要么有且仅有一条边相连，要么没有边相连,哈斯图HASSE图,1用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中所有的自环。2如果X≤Y,且X≠Y，则结点X要画在结点Y的下方。3如果X≤Y,且在集A中不存在任何Z∈A,使得Z介于X与Y之间，则X与Y之间用一条直线连接。,偏序关系的关系图不能直观地反映出元素之间的次序，所以下面介绍另外一种图哈斯图HASSE图。通过这个图，就能够清晰地反映出元素间的层次。下面介绍HASSE图。,8,例A{1,2,4,6},≤表示整除关系，则≤是个偏序。,关系图,哈斯图,画法一般先从最下层结点全是射出的边与之相连，逐层向上画，直到最上层结点全是射入的边与之相连。,9,例737A{2,3,6,12,24,36},≤是A上整除关系。画出关系图及哈斯图。,,,,,,,,,10,课堂小测验1D{1,2,3,5,6,10,15,30},≤是D上整除关系，求HASSE图，（2）A{A,B,C}，求的HASSE图,,,11,偏序集中的特殊元素,一极小元与极大元设集合A上有一个偏序关系≤且设B是A的子集，则1）如果存在一个元素B∈B且在B中找不到元素B’有B’≠B且B≤B’则称B是B的极小元）（在B中没有比B更小的元素了，B就是极小元）（2）如果存在一个元素B∈B且中找不到元素B’有B’≠B且B’≤B，则称B是B的极大元在B中没有比B更大的元素了，B就是极大元,12,举例给定,HASSE图如图所示从HASSE图找极小大元子集中处在最下上层的元素是极小大元。,13,例是偏序集，Ａ＝｛２，３，４，５，６，７，８，９｝,定理1设是偏序集，B是A的非空有限子集，则B一定存在极大（小）元。,则Ａ中极大元８，６，９，５，７极小元２，３，５，７,14,二最小元与最大元（1）如果存在一个元素B∈B对每一个B’∈B均有B≤B’则称B是B的最小元最小元B是B中元素，该元素比B中所有元素都小（2）如果存在一个元素B∈B对每一个B’∈B均有B’≤B则称B是B的最大元最大元B是B中元素，该元素比B中所有元素都大举例，给定的HASSE图如图所示从HASSE图找最小大元子集中如果只有唯一的极小大元，则这个极小大元，就是最小大元。否则就没有最小大元。下面介绍最小大元的唯一定理。,15,定理2是偏序集，B是A的非空子集，如果B有最小元最大元，则最小元最大元是唯一的。证明假设B有两个最小元X、Y,则因为X是最小元，Y∈B，根据最小元定义，有X≤Y类似地，因为Y是最小元，X∈B，根据最小元定义，有Y≤X。因为≤有反对称性，所以有XY。同理可证最大元的唯一性。小结A,≤是偏序集，B是A的非空子集，则⑴B的极小大元总是存在的，就是子集中处在最下上层的元素是极小大元。⑵如果有唯一的极小大元，则这个极小大元就是最小大元。否则就没有最小大元。,16,3上界与下界UPPERBOUNDANDLOWERBOUND1设是偏序集，B?A，若存在A∈A，使得对?B∈B，B≤A,称A为B的上界。（上界A是A中元素，该元素比B中所有元素都大2设是偏序集，B?A，若存在A∈A，使得对?B∈B，A≤B,称A为B的下界。（下界A是A中元素，该元素比B中所有元素都小举例，给定的HASSE图如图所示从HASSE图找上下界注意是在A中找,17,4最小上界上确界和最大下界下确界LEASTUPPERBOUNDANDGREATESTLOWERBOUND1A是B的上界，并且对B的所有上界A’,都有A≤A’,则称A是B的最小上界上确界。即若令C＝{A|A为B的上界}，则C的最小元为B的最小上界或上确界即A是上界中最小的。如果B有上确界，则是唯一的2A是B的下界，并且对B的所有下界A’,都有A’≤A则称A是B的最大下界下确界。若令D＝{A|A为B的下界}，则称D的最大元为B的最大下界或下确界即A是下界中最大的。如果B有下确界，则是唯一的,18,举例，给定（C,≤）的HASSE图如图所示,19,求1B{{A,B}，{A,C}，{B,C}，{A}，{B}，{C},Ф},例设A＝{A,B,C},幂集是2A＝{{A,B,C},{A,B},{A,C},{B,C},{A},{B},Ф}，R是幂集上的包含关系。,（2）B{{A}，{C}},的特殊元素。,20,解答设A＝{A,B,C},幂集是2A＝{{A,B,C},{A,B}，{A,C},{B,C}，{A}，{B}，{C}，Ф}其上的包含关系是一个偏序关系。（1）设B{{A,B}，{B,C}，{A,C},{A}，{B}，{C},Ф}则它没有最大元素，但有极大元素{A,B}，{B,C}，{A,C},；它的上界与上确界是相同的即是{A,B,C}。它的最小元素、极小元素、下界、下确界都相同是Ф。（2）设B{{A}，{C}}，则它的最大元素没有，极大元素是{A}，{C}。上界是{A,B,C},{A,B}，{A,C},{B,C}。上确界没有。最小元素没有，极小元素是{A}，{C}，下界、下确界都是Ф。,21,非空子集极小极大元总是存在的。但极大元、极小元并不是唯一，且同一元素可以既是极大元又是极小元。如果有唯一的极小大元，则这个极小大元就是最小大元。否则就没有最小大元。,2极大元、极小元必须是子集B中的元素。,3最大元（最小元）本身应属于子集B，且与B中任一元素都有关系。最大元（最小元）可能存在也可能不存在，如果存在是唯一的。,总结,22,4子集B的上/下界和最小上/最大下界必须在集合A中寻找；5子集B的上/下界不一定存在，如果存在，可以不唯一的；6子集B的上界/下界、最小上/最大下界不一定存在，如果存在，则最小上界与最大下界是唯一的；7子集B有最小上/最大下界，一定有上下界；反之不然。8B的最小元一定是B的下界，同时也是B的最大下界。同样，B的最大元一定是B的上界，同时也是B的最小上界。9但反过来不一定正确，B的下界不一定是B的最小元，因为它可能不是B中的元素。同样的，B的上界也不一定是B的最大元。,23,课堂小练习,设集合A{A,B,C,D,E,F,G,H}，对应哈斯图见右图。令B1{A,B}，B2{C,D,E}。求出B1，B2的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确界。,A,B,C,D,E,F,H,G,A,B,D,E,A,B,C,无,无,无,C,C,D,E,F,G,H,H,无,C,A,B,C,C,H,无,,,B1,B2,24,次序关系,偏序关系拟序关系全序关系良序关系,25,实数集R上的“＜”关系不是偏序关系。A上的真包含关系“”也不是偏序关系。,定义1R是A上的关系，如果它是反自反的、传递的则称R是A上的拟序关系。并称是拟序集。,定理1集合A上的关系R是拟序的，则必是反对称的。,定理2设R是集合A上的关系，则1如果R是一个拟序关系，则RRR∪I是一个偏序关系2如果R是一个偏序关系，则R－I是一个拟序关系,证明假设A不是反对称的，则必存在X，Y∈A，且X≠Y，满足∈R并且∈R。因为R是拟序关系，所以R具有传递性，从而有∈R。这与R是反自反的矛盾。,26,次序关系,偏序关系拟序关系全序关系良序关系,并不是所有的元素都可以比较,所有的元素都可以比较,27,全序线序、链,1定义是偏序集，如果对任何X,Y∈A，如果X与Y都是可比较的（即都有X≤Y，或Y≤X）则称≤是全序关系线序、链。例1B{1,2,4,8},“≤”表示整除关系，则“≤”是全序关系，有向图例2正整数集N上的小于或等于关系“≤”也是N上的一个全序；而N上的整除关系就仅是一个偏序而不是全序。【注意】1）全序的含义Ａ中每两个元素均能比较大小，即任何两个元素都能排序；而偏序则是部分有序。（2）二者的关系全序一定是偏序但偏序不一定是全序。,28,例1续B{1,2,4,8},≤表示整除关系,关系图,哈斯图,29,例判断下列关系是否为全序关系，如果是，请画出哈斯图1设集合A{A，B，C}，其上的关系“≤”{,,,,,}；2实数集合R上定义的小于等于关系“≤”；3实数集合R上定义的小于关系“﹤”4集合A的幂集PA上定义的包含关系“?”,解1是全序关系。哈斯图见图A。2是全序关系。哈斯图是实数轴，见图B。3不是全序关系。4当|A|2时，PA上定义的“?”是全序关系。哈斯图见图C。|A|≥2时，不是全序关系。,A,B,C,30,注（1）当一个偏序关系是全序关系时，其哈斯图将集合中的元素排列成一条线链。这正是名称“线序”、“链”的由来。,（2）是全序集，B是A的子集，那么B有最大小元当且仅当B有极大小元。,31,课堂回顾,偏序关系定义哈斯图特殊元素拟序关系全序关系,32,次序关系,偏序关系拟序关系全序关系良序关系,33,本次课内容结束谢谢,
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?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_start_4& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&p>&span style=&font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 鉴于本网发布稿件来源广泛、数量较多, 系统审核过程只针对存在明显违法有害内容（如色情、暴力、反动、危害社会治安及公共安全等公安部门明文规定的违法内容）进行处理，难以逐一核准作者身份及核验所发布的内容是否存在侵权事宜, 如果著作权人发现本网已转载或摘编了其拥有著作权的作品或对稿酬有疑议, 请及时与本网联系删除。&/span>&/p>&p>&strong style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 white-space: background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 侵权处理办法参考版权提示一文：&/strong>&a href=&http://www.jinchutou.com/h-59.html& target=&_blank& textvalue=&http://www.jinchutou.com/h-59.html&>http://www.jinchutou.com/h-59.html&/a>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>&&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、如涉及内容过多，需要发送邮箱，请电子邮箱到，我们会及时处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>2、系统一旦删除后，文档肯定是不能下载了的，但展示页面缓存需要一段时间才能清空，请耐心等待2-6小时；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>3、请版权所有人（单位）提供最起码的证明（证明版权所有人），以便我们尽快查处上传人；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话，友好处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情，可以为我们提供相应的关键字，便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您（贵单位）相关版权作品上传；&/span>&/p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>" />
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