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& 2017届高考数学（理）一轮热点题型和提分秘籍：专题28 基本不等式及其应用（解析版）
2017届高考数学（理）一轮热点题型和提分秘籍：专题28 基本不等式及其应用（解析版）
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资料概述与简介
【高频考点解读】
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决
【热点题型】
利用基本不等式证明简单不等式
1】 已知x＞0＞0＞0.
证明　x＞0＞0＞0
∴＋＞0＋＞0
∴≥＝8当且仅当x＝y＝z时等号成立．
【提分秘籍】
利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．
已知a＞0＞0＞0且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋
利用基本不等式求最值
【例2】 解答下列问题：
(1)已知a＞0＞0且4a＋b＝1求ab的最大值；
(2)若正数x满足x＋3y＝5xy求3x＋4y的最小值；
(3)已知x＜求f(x)＝4x－2＋的最大值；
(4)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0＞0)在x＝3时取得最小值求a的值．
(3)因为x＜所以5－4x＞0则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(4)f(x)＝4x＋＝4
当且仅当4x＝4x2＝a时f(x)取得最小值．
又x＝3＝4×3＝36.
【提分秘籍】
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值主要有两种思路：对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解．条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
(1)设a＞0若关于x的不等式＋在x(0，＋∞)上恒成立则a的最小值为(　　)
(2)设0＜x＜则函数y＝4x(5－2x)的最大值为______．
(3)设x＞－1则函数y＝的最小值为________．
答案　(1)　(2)　(3)9解析　题型
基本不等式的实际应用
【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元而汽车每小时耗油升司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时这次行车的总费用最低并求出最低费用的值．
【提分秘籍】
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式再利用基本不等式求得函数的最值；
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时4)在应用基本不等式求函数最值时若等号取不到可利用函数的单调性求解．
首届世界低碳经济大会在南昌召开本届大会以“节能减排绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关采用了新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨最多为600吨月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x－200x＋80 000且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利求出最大利润；如果不获利则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解　(1)由题意可知二氧化碳每吨的平均处理成本为＝＋－200≥2－200＝200
当且仅当＝即x＝400时等号成立
故该单位月处理量为400吨时才能使每吨的平均处理成本最低最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元则S＝100x－y＝100x－＝－＋300x－80 000＝－(x－300)－35 000因为x[400，600]，所以S[－80 000－40 000]．
故该单位每月不获利需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.
【高考风向标】
1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（
【解析】.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
【答案】－2　【解析】
4．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
【答案】2　【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)
【答案】C【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.
．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．
【答案】7＋4【解析】由log4(3a＋4b)＝log2得3a＋4b＝ab，
且a＞0，b＞0，∴＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)·＝7＋≥
7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．
．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
【答案】B　【解析】【】
设非零实数a则“a＋b是“＋成立的(　　)
充分不必要条件
．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　解析　因为aR时都有a＋b－2ab＝(a－b)≥0，即a＋b而＋ab＞0所以“a＋b是“＋的必要不充分条件故选
2．已知a＞0＞0＋b＝2则y＝＋的最小值是(　　)
【答案　解析　依题意得＋＝(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝当且仅当即a＝＝时取等号即＋的最小值是
3．若正数x满足4x＋9y＋3xy＝30则xy的最大值是(　　)
【答案　解析　由x＞0＞0得4x＋9y＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)＋3xy≤30即xy≤2的最大值2.
4．已知a＞0＞0的等比中项是1且m＝b＋＝a＋则m＋n的最小值是 (　　)
【答案　解析　由题意知：ab＝1＝b＋＝2b＝a＋＝2a
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
要制作一个容积为4 高为1 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元侧面造价是每平方米10元则该容器的最低总造价是 (　　)
答案　解析 6．已知向量m＝(2)，n＝(1－b)(a＞0＞0)．若mn，则ab的最大值为________．
答案　解析　依题意得2a＝1－b即2a＋b＝1(a＞0＞0)因此1＝2a＋b≥2即ab≤当且仅当2a＝b＝时取等号因此ab的最大值是
7．已知x＞0＞0＋3y＋xy＝9则＋3y的最小值为________
【答案　6解析　由已知得xy＝9－(x＋3y)即3xy＝27－3(x＋3y)≤令x＋3y＝t则t＋12t－108≥0
解得t6，即x＋3y≥6.
若(3a＋4b)＝，则a＋b的最小值是________．
答案　7＋4解析
9．已知x＞0＞0且2x＋5y＝20.
(1)求u＝＋的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)x＞0＞0
∴由基本不等式得2x＋5y≥2
∵2x＋5y＝20≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
＝＋＝(xy)≤lg 10＝1.
当x＝5＝2时＝＋有最大值1.
(2)x＞0＞0＋＝＝＝
当且仅当＝时等号成立．
＋的最小值为
10．小王于年初用50万元购买一辆大货车第一年因缴纳各种费用需支出6万元从第二年起每年都比上一年增加支出2万元假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后考虑将大货车作为二手车出售若该x年年底出售其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
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设X1.X2为方程4X^2-4mx+m+2=0的两个实根,当m为何数时，X1 ^2+X2^2有最小值？并求出这个最小值。
X1.X2为方程4X^2-4mx+m+2=0的两个实根;4因为m≥2或m≤-1 对称轴为x=1/2)&#178：判别式△=16m²+x2²=(x1+x2)²-4x1x2=m²-m-2=(m-1/2)²-9/-16(m+2)=16(m²-m-2)=16(m-2)(m+1)≥0解这个不等式得：∴m≥2或m≤-1根据韦达定理得。而f(-1)=f(2)=(-1-1&#47：x1+x2=m
x1x2=(m+2)/4x1²2则因为取不到对称轴，根据对称轴两侧函数的单调性：求得最小值应该为f(-1)和f(2)的较小的一个？并求出这个最小值解，则必有：方程有两个实根,当m为何数时，X1 ^2+X2^2有最小值;-9/4=0所以，最小值为0. 希望能帮到你，如果你认可我的回答，请点击下方选为满意回答按钮，谢谢
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2)²-4x1x2=m²2)²-9/4∴最小值是f(-1)=f(2)=(-1-1/-16(m+2)=16(m²-m-2)=16(m-2)(m+1)≥0∴m≥2或m≤-1x1+x2=m
x1x2=(m+2)/4∴x1²+x2²-m-2=(m-1/=(x1+x2)&#178△=16m&#178
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If you are the system administrator please click
to find out more about this error.希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题 一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是A．45°. B．75°.C．55°.2．2的平方的平方根是A．2.
) D．65° (
C．±2. D．4 ．当x=1时，a0x-a1x+a0x-a1x-a1x+a1x-a0x+a1x-a0x+a1x的值是(
)A．0B．a0.
C．a1 D．a0-a1 4. ΔABC,若AB=?,则下列式子成立的是(
)A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有(
)A．4个 B．5个.
C．6个. D．76．52?7的立方根是[
]（A）2?1.
（B）1?2.（C）?(2?1).
（D）?1.7．把二次根式a??1化为最简二次根式是[
(D) ?a8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形(
)A．2组 B．3组.C．4组 D．5组。x2?2xy?2y?1y2?1y?19.已知
等于一个固定的值， ??22x?12y?xy?y?x?1x?1则这个值是(
)A．0. B．1.
D．4. 把f1990化简后，等于 (
D.x. x?1x二、填空题（每题1分，共10分） . 1.?66?________3??91??2.?0.0196????.???__________?625??125????22??4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______． 5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度．6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x+px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个．9．x，y，z适合方程组 2?8x?2y?z6x?zx?y???532??x?y?zx?1y?1??
?353??3x?4y?5z?1??则1989x-y+25z=______．10．已知3x+4x-7=0，则6x+11x-7x-3x-7=______． 2432答案与提示一、选择题 提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)． ＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得． 又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得： 故选(B)． 故选(A)．二、填空题 提示： 4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度． 8．∵Δ=p-4q＞p． 9．方程组可化简为：22 解得：
x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x+11x-7x-3x-7=(3x+4x-7)(2x+x+1)而3x+4x-7=0． 432222希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[
A．7.5 B．12.
C．4. D．12或42.已知P=?91?1?(?1989)2，那么P的值是[
]A．1987 B．1988.
C．1989 D．19903．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[
]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.
B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q.
D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1,则∠BDA=[
]A．30° B．45°.
D．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[
]A．是不存在的.
B．恰有一种.
C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC中，∠CAB∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．2．(ab?2)2?0,那么111????的值是_____. ab(a?1)(b?1)(a?1990)(b?1990)3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______． 4． ΔABC中, ∠B=30三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．abcabacbcabc??????5． 设a,b,c是非零整数,那么的值等于abcabacbcabc_________. 三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3,,，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177． 2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断． 3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4,,,,，试求：n1?n2之值． 答案与提示一、选择题 提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)． 又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)． =8+1-19892=(88-3．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB 5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题22 提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．
5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一
把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，,,，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二
从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，,,，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即ab=k?177．又因1~354中，任两数之差小于2?177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即ab=177．∴从自然数1，2，3，,,，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知 ∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中， ∴SA＇EBF=S△A＇BC． ∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：，，，，9190．其中
+2，+5．,8+5,1+2,5+5，4+3，8+3，2+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即
n1=4，n2=7∴
n1?n2=4?7=28． 第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[
D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[
]A．1，6 ; B．2，3;
C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[
]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC(1)3,则a,b,c的大小关系是[
] b?c?13?44?A．a＞b＞c B．a=b=c
D．a=b＞c5.若a≠b,则[
]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[
]A．3个 B．4个;
C．5个 D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中， [
]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [
]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[
]个实数根．A．4;
D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[
]A．26; B．28;
C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[
]A．179; B．181;
C．183; D．18512.??1,等于[
]A．2x+5 B．2x-5;
D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 [
]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [
]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[
]到达N地．A． 二人同时;
B．甲先;C．乙先;
D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母=______________. 3.x?0的解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______．a?b6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么=__. c7．方程x2-y2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．AFABCCD (2)
(4)10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条．11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度．12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______． 15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______． 答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)． 6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)． 即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，,,，2n+21．则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+,,+(2n+21)=1991．即
11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2?85+11=181．故选(B)． ∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0． 即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有 15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有
∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为 从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题 提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°． 4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△?0．即
(k2-9)2-4(k+2)＞0．显然
k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1． 7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11?181可以是 9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有 ∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，,,，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次， 11．如图28． ∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴
∠1=∠3．∴
∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°． 13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm． 15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p①
x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的． 若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2． 希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于A．1 ;
D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为(
D.. 1?s1?t3.y&0时(
)4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成(
)A．a＜b＜c.
B．(a-b)2+(b-c)2=0.
C．c＜a＜b.
D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 (
)A．4倍. B．3倍.
C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式(
)A.AD2=BD2+CD2.
B．AD2＞BD2+CD2.
C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD27.方程x?1?219(x?)的实根个数为(
) 1010A．4 B．3.
C．2 D．1x3y3?8.能使分式的值为x2、y2的值是(
) yxA.x2，y22y2;C. x，y;
D. xy.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为 (
)A．17 B．15.
C．13 D．112222210．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x-21x+t=0的两个根,则A.2213;
B.ba?等于(
D.. 493821二、填空题（每题1分，共10分）1.1-8=______．2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111??=_________. abc?x?ay?55.方程组?有正整数解,则正整数a=_______. y?x?1?6.从一升酒精中倒出倒 出1升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再311升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,这时,33所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.x??2x?的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且2a+a+3=0,3b+b+2=0,则22a=______. b三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2． 2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．
答案与提示一、选择题 提示： 3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．
故选(C)． ∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数． 二、填空题 提示：1．1-8=?104+(8) =91?．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc =(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)] ∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°． 5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2． 7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为 8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°． 10．由已知条件可知a是方程2x2+x+3=0的一个根，b是方程3y2+y+2=0的一个根，后者还可以看成： 三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b?2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b?1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．
矛盾．∴a+b?2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。 希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．已知a＞b＞0，则有 [
D.a-b&1. b2．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于[
].3.若a?11b?,那么a2-ab+b2的值为[
] 22A.7911?1.;
D.2222的值等于[
]11.5．△ABC中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，则∠APC= [
]A．90° B．105°.
C．120° D．150°6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 [
D. a-1,a+1. 227.已知实数a满足丨1992-a丨那么a-1992的值为[
] 2A．1991. B．1992.
C．1993. D．1994.8．正整数a被7除，得到余数4，则a+5被7除，得到的余数是[
]A．0. B．2.
C．4. D．6. 3的值为[
D.1. 210．方程x+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 [
D..二、填空题:（每题1分，共10分）1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______． 2．二次根式66___________. 54323． 若(x-1)=a0x+a1x+a2x-a3x-a4x-a5x-a6，则a6=______．4． 若a、b、c为△ABC的三边的长,5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于______．的小数部分我们记作m,则m=___________.27．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个实根等于______．8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______．9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后 仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于______．2322210．若3x+4y-10=0，则15x+3xy+20xy+4y+3x-50x-6y=______． 2 答案与提示一、选择题 提示：1．用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，则a+b=0.6＜1，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排除(B)； 2．根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为1∶2∶3，容易得出三个内角为30°，60°，90°．30°角对边为最短边，由题设知， 5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ-α)+θ+(θ+α)=3θ=180°， ∴应选(C)． n-1=a-1，n+1=a+1，其算术平方根分别为 7．由题意知a-1993?0，因而a?1993．于是|1992-a|=a-1992．22 从而a-，故a-．∴应选(C)．8．设a=7k+4(k为正整数)，则33a+5=(7k+4)+53223 =(7k)+3?(7k)?4+3?(7k)?4+4+5k+3?7k?4+3k?4+9)+63因此，a+5被7除余6，故应选(D)． 22 x+667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中，最大者为-3，以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)．注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为2 二、填空题 提示：1．设所求角为α，则有180°-α=3(90°-α)，从而解得α=45°． 3．令x=0，得(-1)=-a6，∴a6=-1．4．由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，6 5．连结AD（如图41）．∵AD=AB，∴∠BDA=∠DBA=30°．因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=8． 7．由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0有实根1． 又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，则有22(a-b)x+(b-c)x+(c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于1．8．如图42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．9．根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429．3222210．因为15x+3xy+20xy+4y+3x-50x-6y=(3x+4y-10)(5x+y+1)+10=10．2注：用因式分解的方法，凑出3x+4y-10这个因子即可．2希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分）1．= [
]A．47249 B．45829.
C．43959 D．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内接三角形的面积总比数(
)小或相等．[
] 3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是A．000.
B．400C．400.
D．0004．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为[
D.a. 656555.2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[
]?x?2y?3z?0?x?3y?2z??6??
A.?2x?y?z?0;B.?x?y?z?0;?x?y?z?0?2x?y?3z?2???x?3y?2z??6?x?y?z?0??C.?2x?y?z?0;D.??x?y?z?0?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2?? 6.四边形如图44,AB=,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[
D.. 8247．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 [
]A．1 B．2.
C．3 D．48．一个等腰三角形如图45．顶角为A,作∠A的三等三分线AD，AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [
]A．x＞y＞z B．x=z＞y. C．x=z＜y D．x=y=z9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[
]A．5 B．9.
C．10 D．11?和?10.正方形如图46,AB=1,BDAC都是以1为半径的圆弧,则无阴影的两部分的面积的差是[
A. 二、填空题（每题1分，共10分）1.??2?1;
D.1??6. 的所有根的和的值是______________.那么ab=________.2.已知 3．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=______．4.已知33525,那么x?x?x+1的值是______． 4245．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD的面积的值是______．x3?y36. 已知x+y=4,xy=-4, 那么3=________. 3x?y 7．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______．8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么+┉ 9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名．10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）1． 若a，b，c，d＞0，证明：在方程 121x??0,x2?0,22121x??0x2??0中,至少有两个方程有22不相等的实数根. 2．(1)能否把1，2，,,，个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，,,，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明．(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法．
答案与提示一、选择题 提示： 5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1． 当x?0时，3x=3x+1，不成立． (2)若a＞3． 综上所述，a?3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a?3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题 提示：1．∵49=7?7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)?[a，b]．∴7m?7n=7?42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴3=(-1)?(-1993)，(1993为质数)．而x1?x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则 4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S?(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4． 6．∵432=＜，又＜．
其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4． 10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有 3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n?100，50＜4+9m?100．得 n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）． 三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．
因此x与y是关于t的方程 解二：由已知条件得
两边加上a4+1，得 显然0＜a＜1，0＜a2＜1． 希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [
A.a+b&-1; B.ab&1;
D.&1. bb2．已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.一定没有意义.其中正确的命题的个数是[
]A．1 B．2 C．3 D．43.已知8个数:??其中无理数的个数是[
]A．3 B．4C．5 D．6 ?,??,
24.若则A的算术平方根是[
]A．a2+3 B．(a2+3)2.
C．(a2+9)2 D．a2+95．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [
]A．1，2，3.
B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c.
D．1，m，n，其中1m＜n6．方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[
]A．6 B．5.
C．4 D．37．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是[
]A．50°,50°,80°.
B．50°,50°,80°或130°,25°,25°C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果那么xy的值是[
B.9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F．∠BDE=140°，那么∠DEF是 [
]A．55° B．60°.
C．65° D．70°10.已知-1&x&1,[
] 2B．3+3x.
C．5+x D．5-x A．3-3x.11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是[
]A．5 B．6.
C．7 D．8．12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 [
]A．1. B．0.
C．1 D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[
]A．1 B．2.
C．322D．4． 14．若方程9x-6(a+1)x+a-3=0的两根之积等于1，则a的值是[
D.15．有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是[
A．①，② B．②，③.
C．③，④ D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分）1． 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______．2.实数x满足的值为________.3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=______．4.如果实数x、y满足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,=_________.5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a?b?c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有______个．+┉┉=__________.7.当0&x&2时8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______．9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______．10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝．11.如果那么x+y+z-xy-yz-zx=____________.12.若u、v满足2223,则u2-uv+v2=__________. 213．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______．14．设方程x2-y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=______． 1?73115.若,x+=3, 则=__________. 4xx?4?3xx3? 答案与提示一、选择题 提示： ∴应选(D)．2．命题①，③是正确的，②，④不正确．∴应选(B)． ∴应选(D)．5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否定(C)，(D)．∴应选(B)．6．原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但应舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=±2．则x1-x2=4．∴应选(C)．7．由已知得等腰三角形的某个内角是50°．若它是底角，则三个内角是50°，50°，80°；若它是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．∴应选(D)． 9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°．∴∠A=140°∵AB=AC， ∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF．∴∠DEF=∠C=65°．∴应选(C)． 90°=50°， 11．如图72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7对．∴应选(C)．12．原方程整理为(2k-1)x-8x+6=0．当Δ?0时，方程有实数根， 13．设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除．又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可否定①，④；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定②．∴应选(A)．14．∵△?0，∴36(a+1)-36(a-3)?0，∴a?-2．又∵x1?x2=1，15．命题①是正确的．如图73在△ABC与△ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．显然钝角△ABC与锐角△ABC1是不全等的． 命题②不正确．如图74，75，在锐角△ABC与锐角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，且AD=A1D1．可先证得△ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可证得△ABC≌△A1B1C1．命题③不正确．举一反例说明．如图76，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC与△ABC1显然是不全等的．命题④是正确的．可举一例说明．如图77，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的．∴应选(D)．二、填空题222 提示：1．由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位数字必定是5，它的十位数字可能是6或7。经验算，752=25．所以，这个数为65． 3．经观察，这10个数都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述这10个差数的平均数为+0.3，A=199.3，所以10A=1993．4．可把条件变成(x-6xy+9y)+(x-4x+4)=0， 5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即 222 共可组成5个三角形． 由0＜x＜2知，x+2＞0，x2＜0， 8．因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，经整理得-3＜0，故对任意数m，Δ＜0．9．由题设条件知道：b-(-1)=-1a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2．∴a+b+c+d=0．10．在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，则△ADG≌△ADC，于是AG=AC，DG=DC，从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC． 经整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=7． 13．由条件知△ABC与△CDE都是等边三角形．在△BCE与△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，从而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r．14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993?1，可得 ∴|αβ|=997?996=993012． 希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1.若a&0,得[
]A．1 B．1 C．2a1 D．12a2.若一个数的平方是,则这个数的立方是[
]A.或或;C.或 或?3.在四边形ABCD中ΔABD=1, SΔBCD=∠ABC+∠CDA等于[
]A．150° B．180°.C．200° D．210°． ,则 24．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 [
D.10. 222225．如果实数x，y满足等式2x+x+xy+2=-2xy，那么x+y的值是 [
]A.1. B．0.
C．1 .D．2．6.设为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值为[
]A．7. B．8. C．9. D.107．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是 [
]A．0.5厘米. B．1厘米.
C．1.5厘米. D．2厘米8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [
D．4．9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇，且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [
D．18.10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 [
]A．a＞3. B.a?3.
C．a＜3. D．a?3.二、填空题（每题1分，共10分）1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______． 2x12?x22．设x1，x2是方程x+px+1993=0的两个负整数根,则=_______. x1x22 3.1?1?1的解是____________. x?14．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______．5．设二次方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,S2=x1+1993x2,┉┉,Sn=x1+1993x2,则aS1993+bS1992+cS1991=__________.6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么┉7．已知以x为未知数的二次方程abx-(a+b)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且a＞b，那么两根之和超过3的方程是______．8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．9．已知k为整数，且关于x的方程(k-1)x-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______．10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人．三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由． 2.如果求a2的值. 一、选择题
答案与提示 提示： 5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x+197xy+2y=1993，得2(x+y)+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3． 同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1． 222(1)若a=3，则|3x|=3x+1． 当x?0时，3x=3x+1，不成立． (2)若a＞3． 综上所述，a?3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a?3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题 提示：1．∵49=7?7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)?[a，b]．∴7m?7n=7?42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴3=(-1)?(-1993)，(1993为质数)．而x1?x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则 4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S?(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4． 6．∵432=＜，又＜． 其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=ABAE=144=10．∴BG=AB-AG=14-10=4． 10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n?100，50＜4+9m?100．得 n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短． 记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇-B＇C-B＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短． 因此x与y是关于t的方程 解二：由已知条件得 两边加上a4+1，得? 2=。12．已知多项式 2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6 可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那 么m3 ? 1 的值是 n2 ?1。13．△ABC 中，AB&AC，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和∠A 的平分线，则 AD 和 AE 的大小关系是 AD AE。(填“&”、“&”或“＝”)B E。14．如图 3，锐角△ABC 中，AD 和 CE 分别是 BC 和 AB 边上的高， 若 AD 与 CE 所夹的锐角是 58°，则∠BAC＋∠BCA 的大小是 15．设 a2－b2＝1＋ 2 , b2－c2＝1－ 2 ，则 a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a258°D CA的值等于 。图31 1 =3，则 x3＋ 3 的值是 2 x x。16．已知 x 为实数，且 x2＋17 ． 已 知 n 为 正 整 数 ， 若 于 。n 2 ? 3n ? 10 是一个既约分数，那么这个分数的值等 n 2 ? 6n ? 16AE18．如图 4，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC 折叠，使点 B 和点 C 重合，折痕为 DE，则△AEC 的面积是 。BD 图4C19．已知非负实数 a、b、c 满足条件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5， 设 S＝5a＋4b＋7c 的最大值为 m，最小值为 n，则 n－m 等于 。 。20．设 a、b、c、d 为正整数，且 a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，则 d－b 等于 三．解答题： 21．已知实数 a、b 满足条件|a－b|＝ 示成只含有字母 a 的形式。 22．如图 5，正方形 ABCD 中，AB＝ 3 ，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF 的面积。 23．将编号为 1，2，3，4，5 的五个小球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中，每个盒子只放入一个，b 1 1 &1,化简代数式( － ) (a ? b ? 1) 2 ，将结果表 a a bAD FBE 图5C① 一共有多少种不同的放法？ ② 若编号为 1 的球恰好放在了 1 号盒子中，共有多少种不同的放法？ ③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？参考答案一．选择题： 1 2 题号 答案 题号 答案 题号 答案 A B 11 1 16 ±2 5 二．填空题： 12 － 13 & 18 14 122° 19 －2 15 5 20 601 3 B 4 B 5 D 6 D 7 C 8 C 9 D 10 A7 8 178 112 3 3三．解答题： 21．∵|a－b|＝b &1， a ∴ a、b 同号，且 a≠0, b≠0, ∴ a－b－1＝(a-b)-1&0, 1 1 1 1 b?a ∴( － ) (a ? b ? 1) 2 =( － )[1-(a-b)]= [1 ? (a ? b)] . a b a b ab b ① 若 a、b 同为正数，由 &1，得 a&b， a b a2 ∴ a-b= , a2－ab=b, 解得 b= , a ?1 a b ? 1 1 b b?a ∴( － ) (a ? b ? 1) 2 = [1 ? (a ? b)] = a (1－ ) a b a ab ab 1 b a?b =－ 2 ? =－ 4 a a a=－1 . a (a ? 1)2② 若 a、b 同为负数，由 ∴ a-b=－b &1，得 b&a， ab 2 a2 , a －ab=－b, 解得 b= , a ?1 ab 1 1 b b?a ∴( － ) (a ? b ? 1) 2 = [1 ? (a ? b)] = a (1＋ ) a b a ab ab＝a?b = a32a?a2 a ?1 a3=2a ? 1 . a (a ? 1)综上所述，当 a、b 同为正数时，原式的结果为－1 ；当 a、b 同为负数时， a (a ? 1)2原式的结果为2a ? 1 a (a ? 1)222．将△ADF 绕 A 点顺时针方向旋转 90°到△ABG 的位置， ∴ AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°， ∠GAE＝15°＋30°＝45°， ∠EAF＝90°－(30° ＋15°) ＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE，又 AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG， A ∠AEF＝∠AEG＝60°， 在 Rt△ABE 中，AB＝ 3 ，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°，BE＝1， 在 Rt△EFC 中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC＝BC－BE＝ 3 －1，EF＝2( 3 －1)， ∴EG＝2( 3 －1)，S△AEG＝ ∴S△AEF＝S△AEG＝3－ 3 . 23．① 将第一个球先放入，有 5 种不同的的方法，再放第二个球，这时以 4 种不 同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有 3、2、1 种放法，所以总共有 5 ?4?3?2?1＝120 种不同的放法。 ② 将 1 号球放在 1 号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有 4、3、2、1 种不 同的放法，这样共有 4?3?2?1＝24 种不同的放法。 ③ (解法一) 在这 120 种放法中， 排除掉全部不对号的放法， 剩下的就是至少有一个球放入了同 号的盒子中的放法种数。 为研究全部不对号的放法种数的计算法，设 A1 为只有一个球放入一个盒子，且不 对号的放法种数，显然 A1＝0，A2 为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数， ∴ A2＝1，A3 为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A3＝2，,,,,，A n 为有 n 个球放入 n 个盒子，且都不对号的放法种数。 下面我们研究 A n+1 的计算方法，考虑它与 A n 及 A n－1 的关系， 如果现在有 n 个球已经按全部不对号的方法放好， 种数为 A n。 取其中的任意一种， 将第 n＋1 个球和第 n＋1 个盒子拿来，将前面 n 个盒子中的任一盒子(如第 m 个盒子) 中的球(肯定不是编号为 m 的球)放入第 n＋1 个盒子， 将第 n＋1 个球放入刚才空出来的 盒子，这样的放法都是合理的。共有 n A n 种不同的放法。 但是，在刚才的操作中，忽略了编号为 m 的球放入第 n＋1 个盒子中的情况，即还 有这样一种情况，编号为 m 的球放入第 n＋1 个盒子中，且编号为 n＋1 的球放入第 m 个盒子中，其余的 n－1 个球也都不对号。于是又有了 nA n－1 种情况是合理的。 综上所述得 A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1).D FGB
? 6EC1 EG?AB＝3－ 3 ， 2由 A1=0, A2=1, 得 A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44. 所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球 都不对号的放法种数，即 120－44＝76 种。 (解法二) 从五个球中选定一个球，有 5 种选法，将它放入同号的盒子中 (如将 1 号球放入 1 号盒子)，其余的四个球随意放，有 24 种放法，这样共有 5?24＝120 种放法。 但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如 1 号球 和 2 号球分别放入 1 号盒子、2 号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去2 两个球放入同号的盒子中的情况，得 120－ C 5 P33 ＝120－60(种)。很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如 1 号球、2 号球 和 3 号球分别放入 1 号盒子、2 号盒子和 3 号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面 的式子中又要加入 C 3 P22 ＝20 种， 5 再计算四个球、 五个球放入同号盒子的情况， 于是再减去四个球放入同号盒子中的4 情况 C 5 P11 ，最后加上五个球放入同号中的情况 C 5 。 52 4 整个式子为 120－ C 5 P33 ＋ C 3 P22 － C 5 P11 ＋ C 5 ＝120－60＋20－5＋1＝76(种)。 5 5希望杯第十二届（2001 年）初中二年级第一试试题一、选择题(第小题 5 分．共 50 分) 1．设 x= 2001 ? 2000 ,y= 2000 ? 1999 则 x．y 的大小关系是( A．x&y B．x=y C．x&y D．无法确定的 )．2．代数式 x ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值是( )． A．0 B．1+ 2 C．1 D．不存在的3．设 b≠a 且满足( 3 +1)(a－b)+ 2 (b－c)=a－c，则a ?b 的值( b?c)．A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．的正负号不确定 4 3 2 4．设 y=x -4x +8x —8x+5．其中 x 为任意实数，则 y 的取值范围是( A．一切实数 B．一切正实数 C．一切大于或等于 5 的实数 D．一切大于或等于 2 的实数 5．已知点 D 在线段 EF 上，下列四个等式：①DE=2DF，②DE= 其中能表示点 D 是线段 EF 的一个三等分点的表达式是()．1 1 EF，③EF=2DF，④DF= DE， 3 2)．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2 2 2 6．已知△ABC 中,∠B=60°，∠C&∠A，且(∠C) =(∠A) +(∠B) ，则△ABC 的形状是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或钝角三角形 7．凸 n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则 n 的最大值是( )． A．4 B5 C．6 D．7 8． 如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 正方形 EFGH 内接于正方形 ABCD， AE=a， AF=b． 若 s 正方形 EFGH=2 ，则|b－a|等于( 32 3C．)．A．2 2B．3 2D．3 39． 某工厂生产的灯泡中有1 4 1 是次品， 实际检查时， 只发现其中次品的 被剔除， 另有 的 5 5 20正品也被误以为是次品而剔除， 其余的灯泡全部上市出售， 那么该工厂出售的灯泡中次品所 占的百分率是( )． A．4% B．5％ C．6．25％ D．7．25% lO．在正常情况下，一个司机每天驾车行驶 t h，且平均速度为 v km／h，若他一天内多行 驶 1 h，平均速度比平时快 5 km／h，则比平时多行驶 70 km，若他一天内少行驶 1 h，平均 速度比平时慢 5 km／h，他将比平时少行驶 ( )． A．60 km B．70 km C．75 km D．80 km 二、A 组填空题(每小题 5 分，共 50 分) 11．计算：0—1= ．3 2m ? x 4mx - 1 的解是 x? ，那么 m 的值是 ? 4 3 2 x x x x 13．Root of the equation ? ． ? ? ? 2 is 3 15 35 6312．已知关于 x 的不等式 (英汉小字典：root 根；equation 方程．) 14．已知 x +2x+5 是 x +ax +b 的一个因式，那么 a+b 的值是 l5．若三角形的三个外角的比是 2：3：4，则它的三个内角的比是 16．若∠A 的补角的余角大于 30°，2 4 21 ∠B 的余角的补角小于 150°，那么∠A 与∠B 的大 2小关系是 17．如图，△ABC 中，∠A=30°，CD 是∠BCA 的平分线，ED 是∠CDA 的 平分线，EF 是∠DEA 的平分线，DF=FE，那么∠B 的大小是 18．如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=120°，点 E 平分 DC，点 P 在 BD 上， 且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 19．已知 x，y, z 为实数，且满足 ??x ? 2y - z ? 6 2 2 2 ．那么 x +y +z 的最 ?x - y ? 2z ? 3小值是 4 2 20。已知 n 是正整数，且 n —16n +100 是质数，那么 n= 三、B 组填空题(每小题 10 分，共 50 分)21．设 A=|2x+1|—|1—2x|，则当 x&－1 时，A= 2.当 x&1 时．A= 222．Suppose both a and b are integer．As(a－2b)(8－a)=1，then a+b= or ． (英汉小字典：integer 整数．) 23．如图，延长凸五边形 AlA2A3A4A5 的各边相交得到五个角∠B1、∠B2、∠B3、 ∠B4、∠B5，它们的和等于 ；若延长凸 n 边形(n?5)的各边相交， 则得到的 n 个角的和等于 ． 24．我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法， 如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称．干支中的干是天 干的简称，是指甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；支是地支的简称，是指子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自 的顺序，循环往复下去．已知公元 2001 年是辛巳年，那么公元 1999 年是 年，上一 个辛巳年是公元 年． 25．若a b c d a ?b?c ?d 的值是 ? ? ? ,则 b c d a a?b?c?d或初中二年级 第 1 试答案 一、1．C、 2．B 3．C 4． D 5．C 6．A 7．B 8．D 9．B l0．A 二、1 1．0 12.9/10 l3. 9/2 14． 3 1 1 5．5：3：1 l6．∠A&∠B 17．50°18．2 3 /31 9． 14 20． 3 三、21．-2，2 22．10 或 14 23．(1)180°，(n-4)180° 24．己卯；，2提示：
希望杯第 12 届八年级第 2 试试题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表 示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。 1．化简代数式 3 ? 2 2 ? A. 3 B. 1? 233 ? 2 2 的结果是（D. 2 2）C. 2? 22x b c 除以 x 1 x xd 2．已知多项式 a? ?? ? 时，所得的余数是 1，除以 x 2 ? 时所得的余数是 3，那么多项式 a? ?? x b c 除以 ( ? x 2 x xd x1 ? 时，所得的余式是（ ) ( )3 2）x1 x1 ? ? A． 2 ? B. 2 ? C. x 1 D. x 13．已知 a 1 | ?且a ?b |? a ，那么（ a ?b）A. a ? B. a ? C. a ? D. a b 0 b 0 b 0 b 0 ?? 4 ． 若 |a?c ， b ? | ||ac ? ab ? bc ? a?c ， 2 |， S | || | b a ? ? | S| ， ? |， S3 ? | |，则 1 2 2 c a b）S S、 、 S的大小关系是（ 1 2 3A. S S?3 B. S S?3 ?2 S ?2 S 1 1 C. S S S D. S S S ?3?2 ?3?2 1 1 5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若 ?B 的三边长是 a、b、c，且满足 abcb， bcaa， ? ? c ? ? ? c ? AC4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 c aba，则 ?B 是（ ? 4 2 ? b AC ?2））A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 平面内有 n 条直线（ n 2，这 n 条直线两两相交，最多可以得到 a 个交点，最少可以 ?） 得到 b 个交点，则 a? 的值是（ b A. nn 1 B. n ? ? C. n1 ( ?)2）n2 ? n 2D.n2 ? n ? 2 28．In fig. 1, let ?B be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ? ?0 then the B 1, F 2 C?magnitude relation between Ad and CE is （）A. A C B. A C C. A C D. indefinite DE ? DE ? DE ? （英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定 的）9. 已知两个不同的质数 p，q 满足下列关系：2 p 0 ?2 0 m 是适当的整数，那么 p2 ?q2 的数值是 ? ?， ? ，m 2 m ? 0 1 0 2 p q0 ? 1 0 q（）A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. ．小张上周工作 a 小时，每小时的工资为 b 元，本周他的工作时间比上周减少 10％，而 每小时的工资数额增加 10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（ A. 增加 1% B. 减少 1% C. 增加 1.5% D. 减少 1.5% 二、填空题： （每小题 6 分，共 60 分） 11. 化简： ）2? 5? 32 3 ? 2? 3 0 6 4的结果是_________。12. 已知 p、q 为实数，且 q?3，满足 p 1 1 p p q q p ?? ? ?? 3 4 4 22 q ，那么2 2p?2 的 q?3值等于_______。 13. 无理数 ( ? 2) 的整数部分是________。 1414. 设 a、b、c 均为不小于 3 的实数，则 a ?? ?? 的最小值是_____。 ? b? c | 2 1 | 1 1 15. 如图 2，直线 A? ? ? ， B E F， /， G H / C? H M D0 ? N F A 3 ， 9 0 ? 3 0? ? ?GM ?CNP ? 50 ? ，则 ?H 的大小是_____。E A30°F90° GBx 30°M DCH P50°N图216. 代数式 x??(2 x ?的最小值是_______。 4 1 ) 9 ?2 217. 有大小两个杯子，大杯中盛满 48 升纯酒精，第一次倒出一小杯纯酒精后，用水加满大 杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加满大杯，这时大杯中还剩余 27 升纯酒精， 那么小杯的容积是________。 18. If p and q are unequal primes, m and n are unequal positive integers satisfying2 2 （ m p ? ? and n ? n q 0then the value of p?qis ________。 英汉词典： ?mq 0 p? ? ,prime 质数） 19. 如图 3，R A 中， C0 ? 0 D、 分别在 AB、 上， D B AC 且 EA， t B ? C ? ，3 点 E ? ? 9 A ， ?? ?若 DE 将 ?B 分成面积相等的两部分，那么线段 CE 与 AE 的长度的比是________。 AC20. 如图 4，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形 EFGH，若 E? E 4 H ， ，那么线段 AD 与 AB 的比等于_________。 3 F ?A EH MD G N F 图4 CB三、解答题（21、22 题各 13 分，23 题 14 分，共 40 分）要求：写出推算过程21．六个排球队参加小组循环赛，取前 4 名参加第二阶段比赛，每赛一场，胜队得一分，负 队不得分，且没有平局，结果有 3 个队并列第一名，一个队得第四名，他们得到了小组出 线权，请写出各队得分的情况，并说明理由。22. 从甲站到乙站共有 800 千米，开始 400 千米是平路，接着 300 千米是上坡路，余下的是 下坡路，已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是 3:4:5， （1）若火车在平路上的速度是 80 千米/小时，那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站 到甲站所用的时间多多少小时？ （2）若要求火车来回所用的时间相同，那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到 甲站在平路上的速度的比是多少？? 51 ， 23. 如 图 5 ， 等 边 ?B 的 边 长 a 2?23 点 P 是 ?B 内 的 一 点 ， 且 AC AC2 ，若 C5 P BP AP C P?，求 PA、PB 的长。 ?2 ?2A P B 图5 C〖答案〗 一. 选择题（本大题共 50 分。对于每个小题，答对，得 5 分；答错或不答，不给分） 1. D 6. D 2. A 7. D 3. B 8. C 4. A 9. B 5. C 10. B二. 填空题：11.6 12?12. 013. 5. . 12 升18. 519.6?2 220.25 24三. 解答题： 21. 设各队得分分别是 x，x，x，y，z，w ， 且 xyzw ? ? 0 ? ?6?5 ? 15场， 2 所以 3 y ? 1 x ? ? ? zw 5因为六个队之间共比赛 首先，最后两名之间也有一场比赛，所以 z与w 不可能都得 0， 因而 z? ， y?2， 1 即 y z w3 ?? ? 当 y z w3 3x ? 15 ? 3 ? 12 ?? ?时， 所以 x ， ? ? ?y ， 0 4 ?z ， 2 1 w 当 y z w3 y ? 13 ?? ?时， ? ??， zw 5x 则y z w ? ? 可以被 3 整除， 因此 y z w6 ?? ?， 所以 3?， 3 x 9x ? 因为 x?y，所以 y?2，? ?? z w2? ?? ?矛盾， ? 6 此时 y?2 2与 y z w6 ?? ?时无解， 所以当 y z w3因此 6 个队得分分别是 4，4，4，2，1，0。 22. （1）甲乙两地之间的距离是 800 千米，开始 400 千米是平路，接着 300 千米是上坡 路，所以下坡路是 100 千米，火车在平路上的速度是 800 千米/小时，所以火车在上坡路上 的速度是 600 千米/小时，在下坡路上的速度是 100 千米/小时，所以 从甲地到乙地用的时间为4 3 1 0 0 0 0 0 0 ? ? ?1 1小时， 8 6 1 0 0 0 0从乙地到甲地用的时间为4 3 1 0 0 0 0 0 0 2 ? ? ? 小时， 9 8 1 0 0 6 0 0 3所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多4 小时。 3（2）设火车从甲地到乙地在平路上的速度是 4V1 千米/小时，则它在上坡路上的速度是3V1 千米/小时，在下坡路上的速度是 5V1 千米/小时，所以火车从甲地到乙地用的时间是40 30 10 20 0 0 0 2 ? ? ? 小时 41 3 5 V V V V 1 1 1同样，设火车从乙地到甲地在平路上的速度是 4V2 千米/小时，则它在上坡路上的速度 是 3V2 千米/小时，在下坡路上的速度是 5V2 千米/小时，所以火车从乙地到甲地用的时间是40 30 10 50 0 0 0 8 ? ? ? 小时 42 5 3 V V V 3 V 2 2 2依题意有220 580 ? ， V1 32 V所以V1 33 ? V2 2923. 设 ? ? ? ? 的面积分别是 S S S S 、 2 3 、 ，线段 PA、PB、 、 A P P P B A B A CB CC 、 、 、 1 PC 的长分别是 x、y、z，如图，PBAC A'B AP P 把 ?P 绕点 A 顺时针旋转 60 ，得 ?P ，连接 P ' ，则 ?P'是等边三角形且?Px 边长 A?，因为2 P AP CP B ?2 ?2 ，即z ? ? ， x y2 2 2及 P PzP x ' ? ? P， BC ， ' ? 所以在 ?P 中，满足 P? '? ' BP P PB P'B2 2 2则 ?P 是直角三角形 P'B 于是 SBS?? S 'P P S A ' ， P B 四? 边 13 ? S 形 ? P ? A P P ' 即S S ?? x x ?y 1 3?3 1 2 4 2( 1 )?将 ?P 绕 B 顺时针旋转 60 ，将 ?P 绕 C 逆时针转 60 ，可分别得 AB AC3 2 1 y? x y 4 2 32 1 S ? 2? z ? x y 3 S 4 2 S? 2? 1 S() 2 () 3( ? ?) 1 () ( 得 ) 2 3S ? S ?S2 ?S3 1 1 3 3 ? [ (x2 ? y2 ?z2) ? xy] 2 4 2 3 2 3 ? z ? xy 4 4又S ?3 2 32 32 3 a ，所以 a ? z ? x， y 4 4 4 42 2即 3 az x y ?? 又由已知和(4)得( 4 )?2? 2 ? 5 x ? y 2 ? ? 3y ( 2 ?232? 5 ? x? 51 ) 2?2? 2?5 x y 2 ， 所以 ? x ?2 ?y 1?， ， ? 因为 x 0 y 0解方程得 ?() 5 () 6x x ? ?4 ? ?3 或 ? y y ? ?3 ? ?4AP P P ? ? ? ? 4 3 3 4 ， 或 ， 所以 P B A B第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第一试一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填 在每题后面的圆括号内. 1. 使分式?x? x x2 ? x的值为零的 x 的一个值是 ()(A) 0 (B) 1 (C)－1 (D) －2 2. 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ (A) x ? 9 x ?27 x ? 273 2）(B) x ? x ? 27 x ? 273 2(C) x ? x ? 27 x ? 274 3(D) x ? 3x ? 9 x ? 273 23. 2001 年 7 月 13 日，北京市获得了第 29 届奥运会的主办权，这一天是星期五，那么第 29 届奥运会在北京市举办的那一年的 7 月 13 日是（ ） (A) 星期四 (B) 星期五 (C)星期六 (D) 星期日 4. 设 P 是等边△ABC 内任意一点，从点 P 作三边的垂线 PD、PE、PF，点 D、E、F 是垂足， 则PD ? PE ? PF 等于（ AB ? BC ? CA3 2(B)）(A)3 6(C)2 3 2(D)1 2）5. 若三角形的三个内角 A、B、C 的关系满足 A＞3B，C＜2B，那么这个三角形是（ (A) 钝角三角形 (B) 直角三角形 (C) 等边三角形 (D) 不等边的锐角三角形4? x x?3 2 ? 3x ，n ? ，p? ，且 m＞n＞p，那么 x 的取值范围是（ 3 4 5 14 7 14 7 (A) x＜1 (B) ? ＜x＜1 (C) ? ＜x＜1 (D) ? ＜x＜ ? 5 17 5 176. 已知 m ? 7. If a＜b＜0, then the following inequality must be hold (英语小词典：following：下面的； inequality：不等式) (A)）1 1 ＜ a b(B)1 1 ＞ a b(C)1 1 ＞ a?b a(D) ? b ?? ?1? 1? ? ? ＜?a ? ? a? b? ?228. 已知 b＜0，0＜ a ＜ b ＜ c ，且ab 2 b ? ac ，则 a、b、c 的大小顺序是（ c c）(A) a＜b＜c (B) c＜b＜a (C) b＜a＜c (D) b＜c＜a 9. 在凸四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB+BC=CD+DA，则（ ） (A) AD＞BC (B) AD＜BC (C) AD=BC (D) AD 与 BC 的大小关系不能确定10. 如图 1，在直角△ABC 中，∠C=90 ，AC=3，以 AB 为一边向三 F 角形外作正方形 ABEF，正方形的中心为 O，且 OC= 4 2 ，那么 BC 的长等于（ (A) 3 2 ） (B) 5 (C) 2 5 O A E09 (D) 2二、A 组填空题 11. 若对于一切实数 X，等式 成立，则 p ? 4q 的值是2x ? px ? q ? ?x ? 1??x ? 2? 均2C图1B.12. 2001 年北京市的气候条件较好又无病虫害，这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植 面积约为 2000 亩，与一一年相比，面积持平而亩产量达 5000 公斤，比上一年的亩产量增加 了 25%，但平均价格低于上一年，2001 年在地头批发的平均价格为每公斤 0.20 元，假设所 有的大白菜都在地头批发， 且两年收入相同， 则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每 公斤 元. 13.若 3a2n?m和 4an?2 m都是 2a 的同类项，则 2 n m5?35 2??1 ? ? ? n 5 m ? ? nm3 的值是 ?2 ?.2??14. 若 x ? x ? 1 ? 0 ，则 ? x ? 2 x ? 2002 的值等于2 32 2 2 2 215. 若 a, b 均为正数,且 a ? b , 4a ? b , a ? 4b 是一个三角形的三条边的长,那 么这个三角形的面积等于 . 0 0 C 16. In Fig.2,In the Rt△ABC，∠ACB=90 ，∠A=30 ，CD is the bisector to ∠ACB，MD is the perpendicular to BA and MD through the A B M E midpoint of segment AB，thrn ∠CDM= . 图2 (英语小词典：bisector：平分线；perpendicular：垂线； D midpoint：中点) 17. 边长为整数且面积为 2002 的长方形共有 种. 对应边长相等的长方形算作同 （ 一种） 0 0 18. 一个凸 n 边形的最小内角为 95 ，其他内角依次增加 10 ，则 n 的值等于 19. 如图 3，D、E 分别在△ABC 的边 AC，AB 上，BD 与 CE 相交于 F， A 若AE AD 1 ? 2， ? ，△ABC 的面积 S△ABC=21，那么四边形 AEFD 的 EB DC 2.D E F B 图3 C面积等于20. 在数轴上，A 和 B 是两个定点， 坐标分别是－3 和 2， P 到点 A， 点 B 的距离的和等于 6，那么点的坐标是 . 三、B 组填空题 21. 方程 x ? xy ? 5 x ? 5 y ? 1 ? 0 的整数解是2或.22. 两个凸多边形,它们的边长之和为 12， 对角线的条数之和为 19， 那么这两个多边形的边 数分别是 和 . 23. 方程x? y ?5 ?y ? 18 ? 0 的解是或.24. 在一个三位数的百位和十们之间插入:0，1，2，,,，9 中的一个数码得到的四位数恰是 原三位数的 9 倍，那么这样的三位数中最小的是 ，最大的是 . 25. 已知 n 是自然数,且 n ? 17 n ? 73 是完全平方数,那么 n 的值是2或.答案 一、选择题 题号 答案 二、A 组填空题 题号 答案 三、B 组填空题 题 号 答 案 21 22 23 24 25 11 9 12 0.25 13 36 14
D4 B5 A6 C7 D 17 8 18 68 B 19 69 C10 B 203 ab 27 5 ? 或 2 2?x ? 4 ?x ? 6 或? ? ?y ? 5 ?y ? 55和7? x ? 13 ? x ? 23 或? ? ? y ? ?18 ? y ? ?1或92002 年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确 答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若a≠b,a,b, a ? b 都是有理数,那么 a和 b ( ).(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定. 2 2 2 2 2 2 2.已知a&b&c,M=a b+b c+c a,N=ab +bc +ca ,则M与N的大小关系是( ). (A)M&N (B)M&N (C)M=N (D)不确定的 3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是().8 (A)9时30分 (B)10时5分; (D)9时32 分 11 1 1 1 4.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc&0,那么 ? ? 的值是( a b c(A)是正数 (C)是负数 (B)是零 (D)不能确定是正数、负数或05 (C)10时5 分 11).5.已知 a ?33 ,b ? 232?m ,c ? 3?m33?m ,其中m&0,那么a,b,c的大小关系是( 2?m).(A)a&b&c (B)c&a&b; (C)a&c&b (D)b&c&a 6.已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( (A)).1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a ? b2 ?(B) b ? c ?(C) a ? c ?(D) b ? c ? bc 2 2 2 27.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE⊥AB,if∠CEM=40°,then the value of∠DME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130° 8.如图,在四边形ABCD中,E、 F分别是两组对边延长线的交点,EG、 分别平分∠BEC、 FG ∠DFC, 若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是( ). (A)140° (B)130° (C)120° (D)110°EA E M DD60?40?A G F80?BCBC9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,,,,100时,得到100个分式i i 5 5 (如i=5,则 = ), ? ai ai 1989 ? 5 1994在这100个分式中,最简分式的个数是( ). (A)50 (B)58 (C)63 (D)65 10.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方 体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种 二、填空题:(每小题6分,共60分) 11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付 2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该 储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万 元. 12.化简3? 5 ,最后得_________. 3 ? 6 ? 10 ? 1513.设x,y都是有理数,且满足方程 ??1 ? ? ?1 ? ? ? ? x ? ? ? ? y ? 4 ? ? ? 0 ,那么x-y的值是 ?2 3? ?3 2?________. 16 13 16 13 14. 15 与33 的大小关系是15 ________33 . (填“&”,“&”或“=”) 15.If N is natural number,and N ? ( 3 ? 2) ? N ? 1 ,then the value of N6is______.( natural number自然数) 16.如果1? a 1? b 2 ,那么(2+a)(2+b)+b =__________. ? 1? a 1? b17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连1 a ? b ? c ? d ? (e ? f ? g ? h) 2 的三个点处的数字的平均数,则代数式: =_____. 1 a ? b ? c ? d ? (e ? f ? g ? h) 318.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的 关税,我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降.预计到日,关税降到25%,又因 为科技的发展使成本降低,到日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7 月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元. 19.在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于_______. 20.如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是_______.三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程. 21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ、DE. (1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线; (2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC&90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改 写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.AEQ F D CP B22.已知在等式ax ? b ? s 中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: cx ? d(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数; (2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数. 23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C0 ? ,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对 2 0 ?
? 2002 应线段两端所标注的数字和的一半,即 与 ,称为第三次操作;照此 2 2处标注 下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案： 一、 1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,所以 a 、 b 是有理数,选 (A). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.M-N=(a b+b c+c a)-(ab +bc +ca )= a b+b c+c a-ab -bc -ca =a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) ∵ a&b&c ∴ b-c&0,c-a&0,a-b&0 2 2 2 ∵a (b-c)?0,b (c-a)?0,c (a-b) ?0 2 2 2 ∴a (b-c)+c (a-b)& b (c-a) ∴ M-N&0.选(B). 3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位, 分针转动速度是360 1 ? (度/分钟) 12 ? 60 2360 =6(度/分钟) 60 1 8 再成直角所用时间为 180 ? (6 ? ) ? 32 (分钟) 2 11 8 所以下一次时针与分针成直角时间是 32 分,选(D). 114.由abc&0知a、b、c均不为0. 2 2 2 2 ∴(ab+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)=0 ab+bc+ca=-1 2 2 (a +b +c+2)&0 2∴1 1 1 bc ? ac ? ab ? ? ? ? 0 ，选(A) a b c abc5.∵a 3 3( 3 ? m) ? ? 1 ，∴a&b; b 2( 3 2 ? m)b ( 3 2 ? m)( 2 ? m) ? ? 1 , ∴ c&b c ( 3 ? m)( 3 3 ? m)a 3 3( 2 ? m) ? ? 1 ,∴a&c c 2( 3 3 ? m)∴ a&c&b.选(C). 6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b. ∴∠PAB+∠E=∠CAB=60° E ∴ ∠ABE=120°; C 作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60° ∴ ∠BEF=300∴BF=1 1 BE= b. 2 22P A B F3b 2 ?b? 在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF =b + ? ? ? . 4 ?2?2 2在Rt△AEF中,根据勾股定理:AE= ? c ? ∴ PA=? ?b ? 3b 2 ? c 2 ? bc ? b 2 . ? ? 2? 421 1 AE= 2 2c 2 ? bc ? b 2 .选(B)7.如图,连接CM,作MN⊥EC于N. ∵ AB⊥CE ∴MN∥AB,且MN∥CD,从N为梯形AECD的中位数. 由MN⊥CE,MN是EC边中线,∴△EMC为等腰△, ∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2?40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=1 AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ 2∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠FE D60? 1 21 1 1 1 0 0 ∠E+ ∠F, ?2 ? 60 ? ?E , ?3 ? 80 ? ?F , 2 2 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ∴∠C=360 -(∠4+∠2+∠3)=360 -110 - ∠E- ∠F-60 + ∠E-80 + ∠F 2 2 2 2∵ ∠4=110°+ =360°-110°-60°-80°=110° 选(D). 9.当i=3n(n?33);i=13n(n?7);i=17n(n?5)这些数时;FA4 3 80?G CBi 不是质数, 这样的数共有: ai33+7+5=45(个) 其中i=13?3=39,i=13?6=78与i=17?3=51时,与i=3n中的39,78,51重复, 所以不是质 数的数共有 45-3=42个. 所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B). 3 10.∵ x =?7?11?13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1?1???286 1?11?182 1?13?154 1?14?143 1?22?91 1?26?77 2?7?143 7?11?26 11?2?91 13?2?77 14?11?13 22?7?13 选(C). 二、 11.设每年至少应吸收存款x万元,4.05 2.25 x ? 10 ? 17 ? x 100 100x=1500万元 12.原式= 应填 3? 3? 3? 2 ? 2? 5? 3? 5=3? 5 ( 3 ? 3 ? 3 ? 5) ? ( 2 ? 3 ? 2 ? 5)3? 5 3? 5 3? 5 ? 3? 2. = = 3? 2 3( 3 ? 5) ? 2( 3 ? 5) ( 3 ? 5)( 3 ? 2)=13.1 ? 1 ? x ? x ? y ? y ? 4 ?? , 2 3 3 23x ? 2? x ? 2 y ? 3? y ? 24 ? 6? (3x ? 2 y) ? ? (2 x ? 3 y) ? 24 ? 6?∴??3 x ? 2 y ? 24 ? x ? 12 ,得 ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? y ? y ? ?6∴x-y=18. 13 16 16 13 13 13 5 6 13 13 3 3 13 13 13 3 3 13 14.15 -33 =3 ?5 -3 ?11 =3 (3 ?5 -11 )=3 (3 ?5 ?5 -11 )=3 (15 ?5 -11 ) 3 13 13 16 13 显然,15 ?5 -11 &0, ∴15 -33 &0, 填&.1615. ( 3 ? 2) ? [( 3 ? 2) ] ? (5 ? 6)6 2 33 2 23=5 +3?5 ?2 6 +3?3?(2 6 ) +(2 6 )3=125+150 6 +360+48 6 =485+198 6 . 当 6 取2.449时,原式=969.9,N=969. 16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b) ∴ a+b=0 2 2 2 原式=4+2a+2b+ab+b =4+2（a+b）+ab+b =4+ab+b =4+b(a+b)=4. 应填4 17. 因为d ?b?c a?c? f b?d ? g a?c?h ,c ? , ,b ? ,d ? 3 3 3 3 2}