基于CATIA求圆锥与圆球相贯线的投影分析--《图学学报》2012年04期
基于CATIA求圆锥与圆球相贯线的投影分析
【摘要】：分析了用辅助球面法和换面法求圆锥与圆球各种位置相贯线的投影作图过程,为辅助球面法的求解提供了较多的示例和思路,也为求复杂回转体交线的作图过程提供了借鉴,并通过CATIA三维模型佐证求解相贯线的正确性,进而使求解过程直观、准确、方便。
【作者单位】：
【基金】：
【分类号】：TB23
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400-819-9993第九章 立体与立体相交-曲面立体与曲面立体相交
两曲面立体相交
1、两曲面立体相贯线的特征：两曲面立体相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。是两曲面立体表面的共有线。
2、求两曲面立体相贯线的基本作图步骤：
(1)分析亮相贯体的形状、大小及相对位置，对相贯线的性质、形状有初步的认识。
(2)求相贯线上的一些点（特殊位置点和一般位置点）。
(3)按照顺序连接各点，判断可见性，整理轮廓线。
3、求相贯线的基本作图方法：表面取点法和辅助面法（辅助平面或辅助球面）。
9.3．1 表面取点法
因为相贯线是两相交曲面立体表面的共有线，所以当相交两立体中一个表面的投影有积聚性时，相贯线的投影已知（积聚在立体表面的投影上），相贯线的其余投影可利用曲面立体的表面取点方法求出。
例9-4 已知两个圆柱轴线正交，完成该相贯体的相贯线的投影。
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分析：两个圆柱的三面投影：
①大圆柱表面的正面、水平投影分别是矩形，其侧面投影积聚为圆线，即大圆柱表面上任一点的W面投影都应在该圆线上，相贯线的侧面投影也在圆线上，是大圆柱侧面投影和小圆柱表面的侧面投影的公共部分--即圆线段（兰线）。
②小圆柱表面的水平投影积聚为圆线，相贯线的水平投影在圆线上，是大圆柱投影和小圆柱表面投影的公共部分--即整个圆线（红线）。
以上相贯线的求解方法称为表面取点法，其重点在于分析，由于相贯体中存在圆柱，而圆柱的某个投影具有积聚性，利用其积聚性的特点，至少可以分析出相贯线的一面投影，使求相贯线的问题转化为在某个回转体上取一系列点的问题。
两轴线垂直相交的圆柱，在机械零件上是最常见的，他们的相贯线还有以下的几种形式。
图11-1表示小的实心圆柱和大的实心圆柱两侧相贯。
图11-1表示小的实心圆柱贯穿大的实心圆柱两侧，形成空心圆柱。
图11-1表示小的实心圆柱和大的空心圆柱。
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例9-6:求两圆锥相贯
1、过锥顶S1做素线S11，使其水平投影过S2的水平投影；过锥顶S2做素线使其水平投影过S1的水平投影，这两条直线相交与A点，A点是相贯线上最高点。
2、选择辅助平面P系列，使之与两圆锥线垂直，即P平面系列是水平面。
11．3．3特殊相贯线
（图9-13 动画部分需考虑）
（图9-14、图9-15、图9-16、图9-17）
例：求球面与圆锥面相贯体的相贯线
1、投影图中显示，圆锥轴线过球心，故圆锥面与球面是同轴回转体。（将轴线投影闪烁）
2、轴是正平线，因相贯线是垂直于轴的一个圆线，则圆线所在的平面是正垂面--其正面投影积聚为直线且垂直于轴的V面投影。
3、相贯线的水平投影是椭圆。（图9-18 将相贯线--直线套红）
11．3．4影响相贯线形状的各种因素
影响相贯线形状的因素是两曲面立体的形状及其相互位置；两相贯线投影的形状，视相贯线与投影面的位置而定。（图9-19、图9-20）
3．2．辅助面法求相贯线
（如图9-10）
1． 原理：相贯体（圆柱与圆锥）被一假想的平面P截切（如图所示），P与圆柱表面的交线为两条直线，与圆锥表面的交线是圆线，而直线与圆线的交点A.
B三面（P平面、圆柱面、圆锥面）共点，故A.B是相贯线上的点。
2． 辅助平面的选择原则：使假想的辅助平面与回转体表面交线的投影简单、易画，例如：直线、圆。否则使作图变得更复杂。本例中的辅助平面垂直与圆锥轴线，平行与圆锥轴线产生的交线分别是圆和直线，而且其投影也是圆和直线，简单易画。
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1、辅助平面P1是一水平面，与圆柱交线为两条直线；与圆锥交于一个圆，两直线与圆线的交点1、2。
2、辅助平面P2求出的交点为3、4。
3、按各点的可见性光滑连接。
4、将圆柱水平投影中转向轮廓线补画到3、4点。
例9-4 求两个轴线正交圆柱和圆锥相贯体的相贯线。
解：分析：由于圆柱的侧面投影有积聚性，相关线的侧面投影与它重合，因此，只需求作其水平投影及正面投影。该相贯线为前后对称的空间曲线，故其正面投影的可见部分与不可见部分重合。
又因圆锥轴线垂直于H面，所以只有选取辅助水平，才能使两截交线的形状简单，易于作图。
作图：（1）求做特殊点，由于两立体轴线相交，且前后对称同一平面，所以两立体对V面的轮廓素线彼此相交，交点I（1，1′，1）为最高点，交点Ⅱ（2，）为最低点，也是最左点；然后通过圆柱轴线作辅助水平面P与圆锥相交，其截交线为水平圆，与圆锥相交，其截交线为两条对H面的轮廓素线，此两截交线的交点Ⅲ（）为最前点，交点Ⅳ（）为最后点；最右点可用向圆锥素线作垂线的方法确定辅助面R的位置，并求出最右点V(
)、Ⅵ( )。
（2）求一般点 为了连点的需要，再作水平面S等，找出一般点Ⅶ（）、Ⅷ（）等。
（3）判别可见性 相贯线的正面投影，可见与不可见部分重合，画成粗实线。在水平投影中，圆柱面的上半部分与圆锥面的交线为可见，故3、4两点为可见与不可见的分界点。
（4）依次光滑连接各点的正面投影和水平投影。
例9-5：求作轴线偏交的两圆柱相贯线（图 ）
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解：分析：如图 所示，两圆柱为互贯，其相贯线是一条空间曲线。这时，相贯线的水平投影积聚在直立圆柱的水平投影上，相贯线的侧面投影积聚在水平圆柱的侧面投影上，因此只需求作相贯线的正面投影。
作图：（1）求特殊点（图 ）通过水平圆柱的轴线作辅助正平面，可求出四个点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的各个投影，其中Ⅰ、Ⅱ为最高点，Ⅲ、Ⅳ为最低点；通过直立圆柱面的轴线作辅助正平面，求出另外四个点V、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，其中V、Ⅵ为最左点，Ⅶ、Ⅷ为最右点；此外，从有积聚性的水平投影可直接求得最高点Ⅸ、Ⅹ；从有积聚性的侧面投影可直接求得最后点Ⅺ、Ⅻ；
（2）求一般点 为了连点需要，还可以利用平行面为辅助平面作一般点；
（3）判别可见性 由于直立圆柱轮廓素线位于水平圆柱前面，所以Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ四个点线是相贯线正面投影可见部分与不可见部分的分界点；
（4）依次光滑连接各点的正面投影，并注意轮廓素线连接情况（参看放大图），即得所求相贯线。
求作圆柱与半球的相贯线（图 ）
解：分析：该相贯线为空间曲线。由于圆柱的轴线是铅垂线，相贯线的水平投影与圆柱面的水平投影重合，故仅需求作其正面投影。辅助平面可以任选一种或几种投影面平行面。
作图：（1）求特殊点（图 ）由于相贯线的水平投影已知，故通过分析水平投影，即可确定特殊点的位置：包括圆柱的轴线作正面Q，可求得最左点I（
）及最右点点Ⅳ（ ）。若采用辅助水平面截切圆柱和球，截交线为两个圆，在一般情况下两圆相交得两点，在特殊情况下两圆相切，切点必为相贯线上的最高点或最低点。作图时可以从水平投影入手，根据两圆相切，切点必在连心上的原理，将点
和 连成一直线，此直线与圆柱面的水平投影（圆）交于5、6，即为最低点V、最高点Ⅵ的水平投影。然后利用回转面上取点对V面轮廓素线上的两点Ⅶ（
）和Ⅷ（ ）；
（2）求一般点 在最高点和最低点之间的适当位置，作一系列水平（如平面S），求出一般点Ⅸ（ ）、Ⅹ（ ）等；
（3）判别可见性 由于圆柱的轴线位于球心的前面，所以圆柱对V面轮廓素线上的点 为相贯线在正面投影上的可见性分界点，在此两点前面的一段相贯线的正面投影可见；
（4）依次光滑连接各点的正面投影。连点时，应注意轮廓素线的连线情况（参看放大图）。
3．2．相贯线的特殊情况
1、当回转面与球面相交，且球心在回转轴上，相贯线为圆。
2、当两个二次曲面相切于一球面，相贯线为平面曲线，如该平面曲线所在平面芋投影面垂直，则在该投影面上的投影为一条直线。
3、两圆柱的轴线平行时，相贯线为直线。
4、两圆锥共顶时，相贯线为直线。
3．2．影响相贯线形状的各种因素
影响相贯线形状的因素，是两曲面立体的形状、大小和相互位置。表11-1所示为两立体形状和相对位置变化时，对相贯线形状的影响。表11-2位立体的形状和相对位置相同、但尺寸不同时，对象贯线的影响。
立体的形状
两立体的相对位置
圆柱与圆柱相交
圆柱与圆锥相交
立体的形状
两立体的相对位置
圆柱与圆柱相交
圆柱与圆锥相交建筑制图作业,1.三面投影图中,水平投影与侧面投影的关系须符合三等关系中的 （ ）.A．长对正 B．高平齐 C．宽相等
建筑制图作业,1.三面投影图中,水平投影与侧面投影的关系须符合三等关系中的 （ ）.A．长对正 B．高平齐 C．宽相等 D．以上都不对2.正三棱锥的一底面三角形平行于H面时,在哪一个投影面上的投影外轮廓线是一等边三角形 （ ）.A．H B．V C．W D．以上都不对3.一立体的一面投影是三角形,另两面投影是矩形,这个立体是 （ ）.A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．以上都不对4.与正四棱锥的底面平行的截平面截正四棱锥得到的截断面是 （ ）.A．三角形 B．矩形 C．圆 D．正方形5.圆柱可认为是哪一种平面图形绕其中的一条边为轴线旋转一周而形成的实体（ ）.A．矩形 B．圆 C．三角形 D．直线6.下列的几种说法中,不正确的是 （ ）.A．在圆锥面上直线必过锥顶 B．圆柱面上只有平行于轴线的直线C．在圆球面上没有直线 D．以上都不对7.当截切平面倾斜于圆柱轴线时,截断面的形状是 （ ）.A．圆 B．椭圆 C．矩形 D．三角形8.当截切平面过圆锥锥顶时,截断面的形状是 （ ）.A．三角形 B．椭圆 C．圆 D．抛物线9.两平面立体相贯,下列有关相贯线的正确说法是 （ ）A．一定是直线 B．一定是曲线 C．可能是直线,也可能是曲线 D．以上都不对10.当两个等径且轴线相交共面的圆柱相贯时,相贯线是 （ ）A．两个圆 B．两个椭圆 C．两条直线 D．以上都不对
其他的还好 只有这几个应该是 5A 6D 8A 9A 平面体好不好 10 D 说的是相贯线,不是相贯线投影
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《建筑制图作业,1.三面投影图中,水平投影与侧面投影的关系须符合三等关系中的 （ ）.A．长对正 B．高平齐 C．宽相等 》相关的作业问题
透视图是人们透过一个面来视物,观看者与物的视线与该面交成的图形,称为透视图.按照投影理论来说,透视图是以人的眼睛为投影中心而形成的图形.
仅供参考 再问： 是发的cad的源文件吗？怎么打不开啊？ 再答： AutoCAD直接就可以打开了
1\1-9和为45,中心及算4遍,4个边及算2遍,所以,还剩下中心数组的3倍,4个边的数字的1倍,所以4个田字格的和最小为1为中心时的62 和9为中心时的98,但因概数能够北整除,所以符合的数字为96,92,88,84,80,76,72,68,642\以64为例,64/4=16 即每个田字格和为16,64-45=19,
设长为X则宽为（150-X）/2则有X*（150-X）/2）=150X=75+5倍根号213或X=75-5倍根号213 再问： 150是面积 不是周长 你算错了 再答： 设长为X则宽为（35-X）/2 则有X*（35-X）/2）=150 X=20M或X=15M 当X=20M时，宽为7.5M 当X=15M时,宽为10M再
主俯长相等 主左高平齐 俯左宽相等
广阔和宽阔的区别
长对正、高平齐、宽相等.所谓“长对正”就是说：主视图和俯视图的长度方向要对正；所谓“高平齐”就是说：主视图和左视图的高度方向要平齐；所谓“宽相等”就是说：俯视图和左视图的宽度方向要相等.其中,有一点初学者比较难理俯视图的上下方向左视图上是左右方向,它们应该是物件的宽度方向.机械制图的三个基本视图必定遵循以上规律.
img src="http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbefeecd98d109d31.jpg" zwidth="113" zheight="94" />连接OC、OD，过点O作OE⊥CD于E，则OC=OD，∵∠CAD=30
这是 三视图的画法原则,正视,左视,俯视图,也就是说在一个平面画这三个图的时候要遵循高平齐宽相等长对正的原则.高平齐,就相邻两图的高要一样高,以此类推.
不同点：正投影是用三个投影图表示一个空间形体,它的直观性不强；而轴测投影是将一个形体的长宽高三个尺寸同时反映在一个图上,图形直观.相同点：将形体更形象的表现出来
1、形成投影的要素有投影线、物体和投影面.2、平行投影的性质：全等性、积聚性、类似性.3、建筑工程中常用透视图,机械工程中常用轴测图,而在地形测量、水利、土木、地质和采矿等工程中则常用标高投影图.透视图、轴测图和标高投影图都是单面投影图.由于空间形体具有长、宽、高3个方向的形状大小,而其投影只反映了两个方向的形状大小,
在研究性学习的教学工作中,我引导学生对三次函数图象进行了研究探索,经过类比、联想、大胆猜想、分析证明,得到了一些令人惊喜的结论,更重要的是,学生获得了研究问题的一些途径和方法,体验到了研究和探索的乐趣和成就感.一、问题的提出首先,我给同学们提供了以下两份资料:1.我们知道,最简单的二次函数,=护的图象关于V轴成轴对称图
（1） （2）23°26′S,135°E （3）先西南,后西北 （4）11；快 （5）C （6）0；自南回归线向南北两侧逐渐递减
正确的W面投影图是 A
（1）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间：t=dv静=sx=v水t=1×200m=200m．即在正对岸下游200m处靠岸．（2）当合速度与河岸垂直，小船到达正对岸．设静水速的方向与河岸的夹角为θ．cosθ=v水v船=12θ=60°故合速度的大小：v合=v水tan60°=1×3=3m/s则渡河时间t′=
立体图形的主视图的长和俯视图的长对正,主视图的高与左视图的高平齐,俯视图的宽与左视图的宽相等 .对正平齐都是相等的意思,长对正就是正视图和俯视图的长相等.
（1）碳酸、硫酸是由三种元素组成的酸．故填：H2CO3；H2SO4．（2）氢氧化钠、氨水是由三种元素组成的碱．故填：NaOH；NH3oH2O．（3）碳酸钠、硫酸钠是由三种元素组成的盐．故填：Na2CO3；Na2SO4．（4）空气污染物中会造成酸雨的氧化物是二氧化氮、二氧化硫．故填：NO2；&SO2．
这是看三视图的知识：立体图形的主视图的长和俯视图的长对正,主视图的高与左视图的高平齐,俯视图的宽与左视图的宽相等 至于应用,这需要一些空间想象能力和制图方面的知识,如果你有的话,那么看上面的那句解释你肯定就会用了.相贯线及其画法举例
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相贯线及其画法举例
& & 一、概述两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。它们的表面（外表面或内表面）相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。（一）相贯线的性质由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质：1.共有性相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。2.封闭性由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。3.相贯线的形状平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。最常见的曲面立体是回转体。两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线（如图5-15a），特殊情况下是平面曲线（如图5-15 b）或由直线和平面曲线组成（如图5-15c ）.(二)求相贯线的方法、步骤求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。具体作图步骤为：（1）找出一系列的特殊点（特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点）；（2）求出一般点；（3）判别可见性；（4）顺次连接各点的同面投影；（5）整理轮廓线。二、相贯线的作图方法（一）面上取点法当相交的两回转体中有一个（或两个）圆柱，且其轴线垂直于投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性且为一个圆，相贯线上的点在该投影面上的投影也一定积聚在该圆上，而其它投影可根据表面上取点方法作出。[例5-10]&&求轴线正交的两圆柱表面的相贯线（图5-16）两圆柱的轴线垂直相交，相贯线是封闭的空间曲线，且前后对称、左右对称。相贯线的水平投影与垂直竖放圆柱体的圆柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平横放圆柱体相贯的柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，需要求作的是相贯线的正面投影，故可用面上取点法作图。作图步骤（如图5-16b所示）：（1）求特殊点（如点A、B、C、D）&&由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。点A和B是相贯线的最高点（也是最左和最右点），其正面投影为两圆柱面正视转向轮廓线的正面投影的交点a′和b′。点C和D是相贯线的最前点和最后点（也是最低点），其侧面投影为垂直竖放圆柱面的侧视转向轮廓线的侧面投影与水平横放圆柱的侧面投影为圆的交点c″和d″。而水平投影a、b、c和d均在直立圆柱面的水平投影的圆上。由c、d和c″、d″即可求得正面投影上的c′和（d′）。一、概述两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。它们的表面（外表面或内表面）相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。（一）相贯线的性质由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质：1.共有性相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。2.封闭性由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。3.相贯线的形状平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。最常见的曲面立体是回转体。两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线（如图5-15a），特殊情况下是平面曲线（如图5-15 b）或由直线和平面曲线组成（如图5-15c ）.(二)求相贯线的方法、步骤求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。具体作图步骤为：（1）找出一系列的特殊点（特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点）；（2）求出一般点；（3）判别可见性；（4）顺次连接各点的同面投影；（5）整理轮廓线。二、相贯线的作图方法（一）面上取点法当相交的两回转体中有一个（或两个）圆柱，且其轴线垂直于投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性且为一个圆，相贯线上的点在该投影面上的投影也一定积聚在该圆上，而其它投影可根据表面上取点方法作出。[例5-10]&&求轴线正交的两圆柱表面的相贯线（图5-16）两圆柱的轴线垂直相交，相贯线是封闭的空间曲线，且前后对称、左右对称。相贯线的水平投影与垂直竖放圆柱体的圆柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平横放圆柱体相贯的柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，需要求作的是相贯线的正面投影，故可用面上取点法作图。作图步骤（如图5-16b所示）：（1）求特殊点（如点A、B、C、D）&&由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。点A和B是相贯线的最高点（也是最左和最右点），其正面投影为两圆柱面正视转向轮廓线的正面投影的交点a′和b′。点C和D是相贯线的最前点和最后点（也是最低点），其侧面投影为垂直竖放圆柱面的侧视转向轮廓线的侧面投影与水平横放圆柱的侧面投影为圆的交点c″和d″。而水平投影a、b、c和d均在直立圆柱面的水平投影的圆上。由c、d和c″、d″即可求得正面投影上的c′和（d′）。（2）求一般点（如点Ⅰ、Ⅱ）&&先在相贯线的侧面投影上取1″和（2″），过点Ⅰ、Ⅱ分别作两圆柱的素线，由交点定出水平投影1和2。再按投影关系求出1′和2′（也可用辅助平面法求一般点）。（3）判别可见性，然后按水平投影各点顺序，将相贯线的正面投影依次连成光滑曲线。因前后对称，相贯线正面投影其不可见部分与可见部分重影。相贯线的水平投影和侧面投影都积聚在圆上。轴线正交两圆柱有三种基本形式，除图5-16和图5-17a所示的两外表面相交外，还有如图5-17b所示的外表面与内表面相交和图5-17c 所示的两内表面相交等形式，这些相贯线的作图方法都和图5-16的作图方法一样[例5-11]&&求轴线交叉垂直的两圆柱表面的相贯线（图5-18）两圆柱的轴线彼此交叉垂直，分别垂直于水平面和侧面，所以相贯线的水平投影与直立小圆柱面的水平投影的圆重合，侧面投影与水平大圆柱面参与相贯的侧面投影的一段圆弧重合，因此本题只需求出相贯线的正面投影。由于直立小圆柱面的全部素线都贯穿于水平大圆柱面，且小圆柱轴线位于大圆柱轴线之前，两个圆柱面具有公共的左右对称面和上下对称面，所以相贯线是上、下两条左右对称的封闭的空间曲线。此题可用面上取点法（或辅助平面法）作图。作图步骤（如图5-18b所示）：（1）求特殊点（如点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ）&&定出小圆柱面正视转向轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ的水平投影1、2及侧面投影1″、2″，从而求出正面投影1′、2′。点Ⅰ、Ⅱ是相贯线上的最左点、最右点。同理，可定出小圆柱面侧视转向轮廓线上的点Ⅲ、Ⅳ的水平投影3、4及侧面投影3″、4″，从而求出正面投影3′、4′。点Ⅲ、Ⅳ是相贯线上的最前点、最后点。Ⅲ也是最低点。再定出大圆柱面正视转向轮廓线上的点Ⅴ、Ⅵ的水平投影5、6及侧面投影5″、6″，再求出其正面投影5′、6′。点Ⅴ、Ⅵ是相贯线上的最高点。（2）求一般点（如点Ⅶ、Ⅷ）&&在点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ之间，任选两点（如Ⅶ、Ⅷ），定出水平投影7、8，利用大圆柱面积聚为圆的侧面投影，先得侧面投影7″、（8″）后，由水平投影7、8和侧面投影7″、（8″）求得正面投影交点7′、8′。为作图精确起见，还可以依次求出足够多的一般点。（3）判别可见性&&判别可见性的原则是：当相贯两立体表面都可见时，它们的相贯线才是可见的，若两立体表面之一不可见多两立体表面均不可见，则相贯线都为不可见。因此，在小圆柱正视转向轮廓线之前，两圆柱面均可见，其相贯线为可见，则正面投影上的1′、2′为相贯线正面投影可见与不可见的分界点，曲线段1′（5′）（4′）（6′）2′为不可见，应画成虚线，曲线段1′7′3′8′2′为可见，应画成粗实线。（4）连曲线&&参照水平投影个点顺序，将各点正面投影依次连成光滑封闭的曲线，即得上端相贯线的正面投影（下端相贯线的正面投影作法与上端相同）。（5）整理轮廓线&&将两圆柱看成一个整体，大圆柱的正视转向轮廓线应画至（5′）及（6′）处，被小圆柱遮住部分应画成虚线；小圆柱的正视转向轮廓线应画至1′及2′处（见放大图）。（二）辅助平面法1.辅助平面法&&假设作一辅助平面，使与相贯线的两回转体相交，先求出辅助平面与两回转体的截交线，则两回转体上截交线的交点必为相贯线上的点。如图5-19所示。若作一系列的辅助平面，便可得到相贯线上的若干点，然后判别可见性，依次光滑连接各点，即为所求的相贯线。2.辅助平面选择原则&&为了便于作图，辅助平面应为特殊位置平面并作在两回转面的相交范围内，同时应使辅助平面与两回转面的截交线的投影都是最简单易画的图形（多边形多圆）。3.用辅助平面法求共有点的作图步骤（1）作辅助平面；（2）分别作出辅助平面与两回转面的截交线；（3）两回转面截交线的交点，即为所求的共有点。（三）一些典型几何形状的相贯线[例5-12]&求轴线正交的圆柱与圆锥台的相贯线（图5-20）如图5-20所示。圆柱和圆锥台的轴线垂直相交，相贯线为一封闭的空间曲线。由于圆柱轴线是侧垂线，则圆柱的侧面投影是有积聚性的圆，所以相贯线的侧面投影与此圆重合，需要求的是相贯线的正面投影的水平投影。由于圆锥台轴线垂直水平面，所以采用水平面作为辅助平面。作图步骤（如图5-20b所示）：（1）求特殊点&&相贯线的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ分别位于水平横放圆柱和圆锥台的正视转向轮廓线上，所以在正面投影中其交点1′、2′可以直接求出。由1′、2′可求得侧面投影1″、2″和水平投影1、2。相贯线的最前点Ⅲ和最后点Ⅳ，分别位于水平圆柱最前和最后两条俯视转向轮廓线上，其侧面投影3″、4″可直接求出。水平投影3、4可过圆柱轴线作水平面P求出（P与圆柱和圆锥台的截交线在水平投影上的交点），由3、4和3″、4″可求得正面投影3′、（4′）。（2）求一般点&&做辅助水平面P。平面P与圆锥台的截交线为圆，与圆柱的截交线为两平行直线。两截交线的交点Ⅴ、Ⅵ即为相贯线上的点。求出两截交线的水平投影，则它们的交点5、6即为相贯线上点Ⅴ、Ⅵ的水平投影。其侧面投影5″、6″积聚在P上，正面投影5′、6′积聚在P上。再作辅助水平面P，又可求出相贯线上Ⅶ、Ⅷ两点的侧面投影7″、8″和水平投影（7）、（8）和侧面投影7″、8″可求得正面投影7′、（8′）。（3）判别可见性&&水平投影中在下半个圆柱面上的相贯线是不可见的，3、4两点是相贯线水平投影的可见与不可见的分界点。正面投影中相贯线前、后部分的投影重合，即可见与不可见的投影互相重合。（4）连曲线&&&参照各点侧面投影的顺序，将各点的同面投影连成光滑的曲线。正面投影中可见点1′、5′、3′、7′、2′连成粗实线，水平投影中可见点3、5、1、6、4连成粗实线，不可见点4、（8）、（2）、（7）、3各点连成虚线。（5）整理外形轮廓线&&在水平投影中，圆柱的俯视转向轮廓线应画到3、4点为止。此题也可用面上取点法求解，读者可自行试解。[例5-13]&&求圆锥台与半球的相贯线（图5-21）。由图5-21a中可以看出：圆锥台的轴线不通过球心，但它们具有平行于正面的公共的对称面。因此，相贯线是一条前后对称的封闭的空间曲线。锥面、球面的个投影都无积聚性，故相贯线的各个投影都需要通过选用合适的辅助平面求解。作图步骤（如图5-21b～f所示）：（1）求特殊点&&如图5-21b所示，由于圆锥台的轴线与半球铅垂方向的轴线平行，并与圆锥台、半球的正视转向轮廓线处于同一正平面内，故可用包含圆锥轴线和圆球轴线所决定的正平面（即它们的前后公共对称面）作为辅助平面S，它与圆锥面交于两条正视转向轮廓线，与球面交于一条正视转向轮廓线，两者交于Ⅰ、Ⅱ两点，即为所求的处于二者正视转向轮廓线上的点。现可由其正面投影交点1′、2′，求得水平投影1、2和侧面投影1″、（2″）。Ⅰ、Ⅱ两点分别为相贯线上的最低点和最高点，也是最左点和最右点（注意：仅有这一个正平面可作辅助正平面？为什么？请读者思考）再经包含圆锥台的轴线作一侧平面P 为辅助平面，如图5-21c所示，它与圆锥面交于两条侧视转向轮廓线，它与圆球面的交线为平行与侧面的圆，两线交于Ⅲ、Ⅳ两点，即为所求圆锥面的侧视转向轮廓线上的点。如图5-21b即由其侧面投影交点3″、4″求得正面投影3′、（4′）和水平投影3、4（同样，这里也仅有这个侧平面可作辅助侧平面）。（2）求一般点&&如图5-21d、e所示，由于圆锥台的轴线垂直于水平面，用水平面作辅助平面，则它与圆锥台、圆球的截交线均为水平圆周，故在点Ⅰ、Ⅲ之间作辅助水平面Q（Q、Q），它与圆锥面及球面的截交线分别为圆M及L，两者交于Ⅴ、Ⅵ。即先得水平投影中的交点5、6，从而求得5′、（6′）和5″、6″。同理，可作一系列辅助水平，求得相贯线上足够多的一般点，如再作Q2v可求出7、8，从而求出7′、（8′）及（7″）、（8″）；只有先画出相贯线的正面投影，并令它与圆球的侧视转向轮廓线N（n、n′、n″）的正面投影n′相交，才能求出9′、（10′），从而求出（9″）、（10″）及9、10。点Ⅸ、Ⅹ是相贯线与半球侧视转向轮廓线N的交点，也是半球侧视转向轮廓线与圆锥面的交点。（3）判别可见性&&在水平投影中，相贯线都是可见的。按可见性原则可知，属于圆锥台左半部一段可见相贯线的侧面投影4″、6″、1″、5″、3″曲线段画成粗实线，3″、4″为侧面投影可见与不可见的分界点，应把不可见的侧面投影4″（8″）（10″）（2″）（9″）（7″）3″曲线段画成虚线。（4）连曲线&&如图5-21f所示，将正面投影中可见点1′5′3′7′9′2′连成光滑曲线。然后依次光滑连接各点的水平投影和侧面投影。（5）整理轮廓线&&在正面投影中，圆锥台和半球 的正视转向轮廓线应分别画到1′、2′处为止。在侧面投影中，圆锥台的侧视转向轮廓线的侧面投影只画到3″、4″处；半球的侧视转向轮廓线n″只画到（9″）、（10″）处为止，其中被圆锥台遮住的部分应画成虚线。当两相交回转体，其两轴线相交时，可用交点为球心作辅助球面，分别与两回转体相交的相贯线均为圆，这两个圆因位于同一球面上，彼此相交，两圆的交点是两回转体表面上的共有点，即相贯线上的点，同理可求得相贯线上若干点，此方法称为辅助球面法，本书不另阐述。三、相贯线的特殊情况两回体相交，在一般情况下相贯线是空间曲线，但在特殊情况下相贯线也困难是平面曲线或直线。下面介绍几种常见的情况。（1）同轴的两回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆，如图5-22a、b、c。当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投影面上的投影积聚成一直线。如图5-22a、b、c。（2）切于同一球面的两回转体相交（圆柱与圆柱、圆柱与圆锥、圆锥与圆锥），其相贯线为两个相交的垂直于公共对称面的椭圆。举例如下：①当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆，如图5-23a所示。在这种情况下两个椭圆的正面投影积聚为相交两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。②当圆柱与圆锥台的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆，如图5-23b所示。在这种情况下两个椭圆的正面投影积聚为两相交直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。（3）轴线相互平行的两圆柱相交，两圆柱面上的相贯线是两条平行于轴线的直线，如图5-24所示。四、相贯线投影的弯曲趋向和变化情况相贯线投影的弯曲趋向随相贯的两回转体的种类变化、尺寸变化和相对位置的变化而不同。表5-3所示是尺寸变化对相贯线形状的影响。表中左图的相贯线的正面投影为左右两条曲线（空间曲线），中图的相贯线的正面投影为上下两条曲线（空间曲线），右图的相贯线的正面投影为两条直线（平面曲线）。表5-4是相对位置变化对相贯线形状影响的实例。表5-4中各图圆柱面和圆锥面尺寸大小不变，但因其轴线的相对位置不同，故相贯线的形状也随之而有变化。除表5-3、表5-1的例子外，还常见两圆柱的轴线由垂直相交逐渐变为垂直交叉，相贯线从两条空间曲线也逐渐变为一条空间曲线的情况，如图5-25所示。图5-25a和b所示为两条空间曲线，图5-25c、d和e所示为一条空间曲线。
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