数阵图（转）
数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：
引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；
教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；
锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；
培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上的和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键，
基本类型的数阵图
将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于，请指出的取值范围。
&&&&&&&&&&&
【分析】设三角形三个顶点的数字之和为，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+=，化简后为。由于是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9。和有四组取值：
&&&&&&&&&&&&&&&
通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。
点亮设计：（1）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的。
（2）设计问题：三角形每条边之和等于1~6的和吗？为什么？
不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3。
（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道的取值范围，进一步采用实验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果。
（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就在后面的例题中有大量体现。
【铺垫】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【分析】&此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11，而1+2++5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。
像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”。这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。
一般地，有条边，每条有个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）图，封闭型图有个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和边数&&&
把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，是每条线上3个圆内所填的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
[分析]将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+…+20=165.所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，综合仍能被5整除。所以中间的数只能是10、15、20.。
亮点设计：（1）建议老师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
（2）当要求将20、22、24、…38、40十一个数字填入数阵，应该怎么填？
分析：如例题。将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而20+22+24+…+40=330，所以中间的必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除。所以中间的数只能是20、30、40.
（3）将这个数阵进行变形，变为如下形式：填入10~20十一个数，使得每条线断和每个圆周上所有数的和相等，如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。问中间的数有多少种填法？
分析：计算7个和的和，这个和一定是7的倍数，其中中心圆上的数被计算了5遍，其它数只是被计算了2遍，设中心圆上的数为，因此这个数等于
，取31+7，31+可以被3整除，经试验，只能是15。
[铺垫]将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○
内数的和相等。
【分析】设中心○内填，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2=28+2一定是3的倍数。而28，那么2的余数应该是2，因此，，4或7.
当28+2=30，30，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是9分成三组填入相应的，○内就可以了。填法如图（1）
当时，28+8=36，36。填法如图（2）
当时，28+14=42，42。填法如图（3）
像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，想外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数重叠次数直线上各数之和直线条数。
下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处的九个○种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。
【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+…+9）,每条直线上的三数之和为
（45+15）。将1~9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：
（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；
（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；
对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；
对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解。
【巩固】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。
【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分别对应右上图的两个解。
像例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”，我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字。
其他类型的书阵图
如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地，请找出规律，并求出所代表的数。
【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的和得一半。比如：（26+18）...所以，。经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.
【拓展】找规律求
【分析】经观擦，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍。比如：（26-18）。（30-26）。因为52，所以
。经检验，（50-18）2=64.
【例5】将1~10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上数字之和为图中所表示的数值。
【分析】先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复只能是1，2，3，4，6的组合。又因为有一个和为20，相应三角形上的三个数只能只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图。
【铺垫】能否将数0，1，2，…，9分别填入下图的各个圆圈中，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？
【分析】0+…+9=45，45中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，13，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图。
【拓展】图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上。
能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。
能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？给出填数方法：如果不能，请说明理由。
【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总数和应该是8的倍数，但是这个综合有三组1、2、3、4组成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等。
（2）能，见右上图。
【例6】如图十奥林匹克的五环标志，其中处分别填入整数1至9，如果每个圆环内所填的个数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？
【分析】计算五个圈内个数之和的和，其中被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+，而这个和一定能被5整除，所以中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8,所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.
【巩固】~9分别填入小三角形（每个小三角形只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？
【分析】1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次（用来表示这三个数），其余均用了两次，于是，。要使尽可能大，只要尽可能小。所以，于是90-6=，=28。剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5+9=14.经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一。
【例7】在下图的七个圆圈内填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求是多少？
【分析】为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数。如中间图所示。根据题意，我们观察，因为每一条直线上的三个数种，当中的数是两边的两个数的平均数。所以可以得出：
。还可以得出以下三式：
&&&①，&&&②，&&&③
将上述三个算式进行变形，变成下面三个算式：
&&④，2=13+&&⑤，&&⑥
用④式减去⑤式得出：2，，将代入⑥式得到：
则，因此16，所以。
【例8】在下图中的10个○内填入0~9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：
【分析】五个等式中有四个减式，设四个减数为五个等式的值为，则有（0+1+2+。。。+9）-2，即9-2，所以（）必能被5整除，故为奇数。又，所以得可能取值为1，3或5.经试算，当或5时有如右上图两解
【拓展】在下图中的10个○内填入0~9这10个数字，使得循环式成立：
【分析】共有五个和式，其中两式的和大于另三式的和。设较大的和为，较小的和为，则有，由上式知必为奇数，又由最小为5，最大为7，可知如右上图两解。
【例9】在下列各图中，分别从1~8中选择六个数填入口内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：
【分析】（方法一）除了只有四种可能：8，和，其余后两种情况乘法式了将无法满足，前两种情况对应着如右上图两种填法。
（方法二）小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为2，左上角和右下角的数可以是6和8，左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7如此即可试出结果。
【拓展】在下列各图的空格中填入适当的自然数和+，符号，使横行的四个等式及竖列的四个等式都成立：
【分析】（1）横行的前三个等式分别由三个2、三个3和三个4组成。经过四则运算，三个2可以得到1，2，3，6，8；三个3可以得到2，3，4，6，12，27；三个4可以得到3，4，5，12，20，64.由此可知，最后一列等式只能是，据此可填上前三行的等式。由2，3，4经过四则运算可得到1，2，3，9，10，14和24，最后一行只能是24-141=10.据此可填上前三列等式。（2）~（4）与（1）类似。答案如下：
【例10】下面图形包括六个加法算式，要求圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？
【分析】为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母代替（上右图）。经观察，。题目要尽可能小，最极端的想法，希望只占用1、2、3、4。但这会产生矛盾。因为1总要和2、3、4种的某两个实施加法，但1+2给予与中已有的4冲突；所以不能是1、2、3、4。
那么退而求之，不妨先设。如先考虑，尽可能小，最好，=2，从而决定了，。
这样一来，只能取4和5.但如导致和冲突，而，又导致和冲突。
再碰到钉子后，回看在设定后，不应随随便便先填的值。从结构上看，因为地位对称，不妨先考虑尽可能小，最好设，至少取3、5，若如此，由或产生的&5会与中已有的5矛盾。
所以可能取3、6.从而形成了、取3、6（地位对称）。这样一来其他字母所代表的值就立即退出，不妨设
，恰好满足；
综上所述：决定了其他值，且决定了是一个较小的德值，自然要问值还可能比12小吗？
分析的值有三种不同的获得方式：
而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况。
现已推出了使得一种填法，所以是最佳方案了。
将1~7七个数字填入下图的七个○内，使每个圆周上每天直线上的三个数之和都相等。
【分析】设中心数为，各条直线和各个圆周上的三个数之和均为。因为属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到，化简为。因为又是5的倍数，所以,。填数方法见右上图。
20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
【分析】3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等现在有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的三组数有1+17=5+13=7+11，于是得到右上图的填法。
3.&如果将1~11这11个自然数填入下图的圆圈内，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么等于多少？
【分析】计算3个菱形上四个数的和，其中被重复计算了一次，1+2+3+…+10+11+=24，即66+=72，所以=6.
将1~9填入图中9个方格内，使得每条直线上的3个数字的和都相等。其中1，2，7已经给出。
【分析】这个数阵中重复数无法确定，只能找突破口一一试验。我们可以选择的突破口有2个，一个是2+7的这条线，另一个是1+7的这条线，试验后答案如右上图。
5.&有10个连续的自然数，9是其中第三大数。现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2的正方形中的4个数之和相等。那么，这个和得最小值是多少？
【分析】由题意，9是其中第三个大数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5、……9、10、11，计算三个正方形中四个数的和，这个和能被3整除，但是其中和被重复计算一次，所以有：，当时，65+可以被3整除，因为要取最小值，所以的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，=7时，这个和取得最小值，每个正方形的和也取得最小值：（65+7）。
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。三角形的每一条边相加都等于10，求空出来三个圆圈里的数字？有会的没😊_百度知道
三角形的每一条边相加都等于10，求空出来三个圆圈里的数字？有会的没😊
我有更好的答案
采纳率：75%
.我们可以列一个方程最上面的是X最下面左边是Y最下面右边是Z那么：X+Y=6..5最上面的填3..①
Y+Z=4.......③
①-③得：Y-Z=1.....：2Y=5
X+Z=5.....5左边的填2右边的填1...④
上左右3.5 2.5 1.5
无解！！！！
人家已解出来了，自已愚钝！
鸡毛。。。
其他3条回答
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。按照例子里四个数之间的关系，在其它三角形的空格中填上适当的数．例_百度知道
按照例子里四个数之间的关系，在其它三角形的空格中填上适当的数．例
按照例子里四个数之间的关系，在其它三角形的空格中填上适当的数．例：
我有更好的答案
采纳率：63%
为您推荐：
其他类似问题
三角形的相关知识
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。}