【摘要】不定积分是高等数学教学中的重要内容，其计算方法灵活多变，技巧性强，是教学的重点和难点.本文针对学生学习不定积分" />
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关于不定积分教学的思考
　　【摘要】不定积分是高等数学教学中的重要内容，其计算方法灵活多变，技巧性强，是教学的重点和难点.本文针对学生学习不定积分存在的一些问题展开分析讨论，旨在帮助学生更好地掌握各种积分方法. 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-4507967.htm　　【关键词】不定积分；换元积分；分部积分 　　【中图分类号】G642 　　【文献标识码】A 　　不定积分是微积分学的重要组成部分，在整个微积分中起到承上启下的作用.一方面，不定积分运算与导数运算互为逆运算；另一方面，不定积分的知识和方法是后续定积分学习的基础.在教学中，笔者发现许多学生对这一部分的内容掌握情况欠佳，学习中存在很多困难，以下是关于不定积分教学的几点思考. 　　一、深刻理解不定积分法则 　　不定积分的法则如下： 　　法则1∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k为常数） 　　法则2∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx （可推广到有限项） 　　法则1指被积函数中含有常数时，常数可以直接提到积分符号的外面.但需要注意的是：积分号内部的函数不能提出.讲解这个法则时，学生可能觉得很简单，但在后续课程的学习中，学生往往会不由自主地把函数也提出来.例如，求不定积分∫111+4x2dx时，正确解法是： 　　∫111+4x2dx=∫111+（2x）2dx=112∫111+（2x）2d（2x）=112arctan2x+C. 　　有的学生凑微分可能凑的是d（1+4x2），并且发现d（1+4x2）=8xdx，因此把原式写成118x∫111+4x2d（1+4x2）的形式.其实，118x是积分号内部的函数，它根本不能提到积分符号的外面，所以这种解法与不定积分的法则1相违背，是不正确的. 　　法则2指和差的不定积分等于不定积分的和差，导数运算也具有这样四则运算法则，但不定积分并没有乘除法的运算法则，这也是造成不定积分计算难度大的重要原因.绝对不能把乘积的不定积分写成不定积分的乘积，如计算∫2xexdx时，不能写成∫2xdx·∫exdx.很容易验证它们是不相等的：∫2xdx=2x1ln2+C，∫exdx=ex+C，而2xex1ln2′=2xex（ln2+1）1ln2，这并不等于2xex.正确做法应该是把被积函数写成（2e）x，然后按照指数函数的积分公式进行计算. 　　对于被积函数为乘积（或商）的形式，尽量化为和差形式后再积分，如果不能化简，可考虑换元积分和分部积分法解决. 　　二、根据被积函数的特征选取合适的积分方法 　　求解不定积分的常用积分方法有直接积分法、第一类换元积分法（凑微分法）、第二类换元积分法、分部积分法等.许多学生对这几种求不定积分的方法都已经掌握，但关键问题在于不知该用哪种方法计算，解题不知从何下手.笔者认为正确的思考顺序应该是： 　　直接积分法1 凑微分法 1 第二类换元积分法/分部积分法. 　　直接积分法是最简单、最基本的积分方法，是直接利用不定积分的公式和法则对被积函数进行积分，部分函数需要先适当变形后再直接积分.如果通过对被积函数的观察分析，确实不能直接积分的，可以考虑凑微分法.能够用凑微分法计算的不定积分，被积函数大多都是乘积（或商）的形式，这也正是积分法则不能解决的积分问题.这些函数的因式之间一般具有某种特殊关系，我们用式子∫f[φ（x）]φ′（x）dx来表示，通过凑φ（x）的微分，然后换元解之.即∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分∫f[φ（x）]dφ（x）令φ（x）=t∫f（t）dt积分F（t）+C还原F[φ（x）]+C.在解题时，需要结合常用形式的凑微分来寻找这种关系. 　　直接积分和凑微分的方法因为步骤简单，书写方便，所以在解题时应首先考虑这两种方法.第二类换元积分法，解决被积函数含有根式的积分问题.当然，并不是被积函数中含有根式就必须用二类换元，前两种方法也能处理部分含有根式的积分，如∫11xdx，∫sinx1xdx，∫111-x2dx.如果不能使用直接积分和凑微分法，被积函数中含有根式的，可使用第二类换元积分法解题，目的是通过换元去掉根式. 　　分部积分法是通过分部积分公式，将积分∫udv转化为积分∫vdu，从而降低积分难度.分部积分法大多也是解决被积函数为乘积形式的积分问题，与凑微分的区别在于被积函数各因式之间没有什么关系，相互不能凑微分.但转化为积分∫vdu的过程又与凑微分相似，因此，初学者容易将这两种方法混淆.另外，熟悉使用分部积分法的常见题型，也是掌握这部分内容的关键.如∫xsinxdx，∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等都是使用分部积分法的常规类型. 　　三、灵活掌握各积分方法，综合利用它们解决积分问题 　　不定积分的公式是求解各类积分的基础，在解题过程中会反复使用.所以，要求学生一定要牢牢记住，并熟悉将这些公式中变量x换成其他形式时所使用的公式原型.如积分公式∫dx=x+C大家可能很熟悉，而积分∫dex就觉得陌生了，其实，只需令ex=u，则∫dex=∫du=u+C=ex+C，它们使用的是同一个公式原型.这样的情况在积分问题中常会遇到，需要学生有扎实的基本功和敏锐的洞察力. 　　凑微分是积分方法中使用起来最灵活的一种，基本积分公式结合常用凑微分，使得积分题目千变万化，表示如下： 　　例如：∫113x+1dx，∫11xlnxdx，∫ex11+exdx三个题中，分别使用dx=113d（3x+1），11xdx=dlnx，exdx=d（ex+1）这三种不同形式的凑微分，但最终利用的积分公式都是∫11xdx=ln|x|+C.积分公式与常用凑微分交叉使用，使得凑微分神奇多变.此外，同一种形式的凑微分，也不是一成不变的.如：cosxdx=dsinx=d（sinx+1）=112d（2sinx-3），需根据已知函数中出现的函数形式来决定凑微分的形式. 　　在解一道不定积分题时，可能会同时使用两种以上的积分方法，这需要学生思路清晰，有综合驾驭各积分方法的能力.如：∫arcsinxdx=xarcsinx-∫xdarcsinx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+112∫111-x2d（1-x2）=xarcsinx+1-x2+C.此题先后利用分部积分法和凑微分法，要想做到融会贯通，需要通过大量的练习熟悉这些积分方法的常见题型，并在练习中不断巩固. 　　总之，不定积分的教学具有一定难度和挑战性，教师应精心设计教学环节，对积分方法进行归类比较，正确引导学生学习思考，通过对被积函数进行分析，选取合适的积分方法，并灵活应用，从而提高解题的能力. 　　【参考文献】 　　＼[1＼]胡刚.被积表达式为乘积式的不定积分求解分析＼[J＼].读与算，2012（7）：26-27. 　　＼[2＼]张燕，陈雪娇.浅谈不定积分分部积分法的教学＼[J＼].数学学习与研究，2012（13）：3.
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化简matlab不定积分求解的结果
<h1 style="color:# 麦片财富积分
新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
对于不定积分求解：
syms&&v0 f b s&&
int((1/v0)*f*exp^(b*s),s,0,t)
为何得到的结果是：
??? Error using ==& exp
Not enough input arguments.
论坛优秀回答者
帖子最佳答案
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<h1 style="color:# 麦片财富积分
谢谢，我试一下。
<h1 style="color:# 麦片财富积分
honglei.chen 发表于
syms& &b s v0 t f(s);
int('1/v*f(s)*exp(b*s)',s,0,t)
??? Error using ==& syms at 61
Not a valid variable name.
<h1 style="color:# 麦片财富积分
honglei.chen 发表于
版主，能麻烦您看一下吗？
<h1 style="color:# 麦片财富积分
honglei.chen 发表于
为什么改了以后，还是错的呢,求解？
论坛优秀回答者
<h1 style="color:#8 麦片财富积分
关注者： 402
dreamhym 发表于
syms& &b s v0 t f(s);
int('1/v*f(s)*exp(b*s)',s,0,t)
??? Error using ==& syms at 61
没有问题啊，运行正常，MATLABR2010a
(f*(exp(b*t) - 1))/(b*v0)复制代码
<h1 style="color:# 麦片财富积分
yinhefeng 发表于
没有问题啊，运行正常，MATLABR2010a
:D,版主，谢谢您了，
麻烦您能再帮我看一下：
dsolve('Dy = -a*y','y(0) =(Q0/exp(a*t)-Q0)/(3*a))')
??? Error using ==& sym.sym&expression2ref at 2408
Error: ']' expected [line 1, col 48]
Error in ==& sym.sym&char2ref at 2378
& & s = expression2ref(x);
Error in ==& sym.sym&tomupad at 2147
& && &&&S = char2ref(x);
Error in ==& sym.sym&sym.sym at 102
& && && && && & S.s = tomupad(x,'');
Error in ==& dsolve&mupadDsolve at 189
sys = sym(sys_str);
Error in ==& dsolve at 97
[R,vars] =
mupadDsolve(ignoreConstraints,varargin{1:narg});
是怎么回事吗？：
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有些MATLAB版本是没有syms函数的，不知楼主是不是这个原因
论坛优秀回答者
<h1 style="color:#82 麦片财富积分
关注者： 126
dreamhym 发表于
syms& &b s v0 t f(s);
int('1/v*f(s)*exp(b*s)',s,0,t)
??? Error using ==& syms at 61
f(s)不是一个有效的变量名，因为不能有括号。
请参见matlab基础部分，变量取名的规则。
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&请教大神一个积分问题，谢谢！
请教大神一个积分问题，谢谢！
作者 kjding
数学手册上只有积分区间为[0, +00],当积分下限改为1的时候，能不能将该积分用特殊积分函数表示呢？
QQ图片37.jpg
你可以尝试把exp这一部分用泰勒级数展开，然后分成几项单独积分，这样的后果就是精度的要求，就看你你怎么去把握了。
还有一种方法，你先计算区间0到无穷，然后剪掉0到1区间的积分不就行啦。这里关键计算0到1区间的积分，这个就比较容易一些吧。
引用回帖:: Originally posted by 幼麟儿 at
还有一种方法，你先计算区间0到无穷，然后剪掉0到1区间的积分不就行啦。这里关键计算0到1区间的积分，这个就比较容易一些吧。 请教0~1区间，这个积分该如何计算呢，用特殊函数表达也可以啊，对数学手册不熟悉，找了半天没有找到啊，谢谢，
把里面分成两部分，exp(-ax)和exp(-b/x)，前一部分可以积分出来，没有问题，后一部分采用换元换限，令t=b/x，经过化简最后的形式应该是不完全gamma函数的样子，关于不完全gamma函数的定义可以去维基百科看，也是简单一想，觉得这样可行，希望能帮到你吧
法一：换用泰勒级数
法二：傅里叶级数
法三：换元
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与700万科研达人随时交流请问下式左边积分是通过什么思路方法拆分成右边的积分的？积化和差的化简方法是怎样的？
全部答案（共1个回答）
的次数大于等于分母的次数，先做带余式的除法，得到的商式提出来，就变成了A+（BC）的形式，这里的大写英文字母表示一个多项式。因此，下面的问题是拆分BC，先把C因式分解，一定可以分解成诸如x+a和x^2+ax+的形式的因式之积（这是一个定理，这里不需证明，因为这是计算）。然后把BC写成诸如s(x+a)和（t...
这个不难，这是有理式的拆分问题。
如果分子的次数大于等于分母的次数，先做带余式的除法，得到的商式提出来，就变成了A+（BC）的形式，这里的大写英文字母表示一个多项式。因此，下面的问题是拆分BC，先把C因式分解，一定可以分解成诸如x+a和x^2+ax+的形式的因式之积（这是一个定理，这里不需证明，因为这是计算）。然后把BC写成诸如s(x+a)和（tx+s）(x^2+ax+)之和，这里的s和t是待定系数（这也是一个定理，这里不需证明，因为这是计算）。
答: 把硬币弄潮湿，地上滚一圈，量痕迹~~
一跟细线绕硬币一周，然后把线展开，用直尺测量线的长度~
问造币公司去，他会告诉你准确的数据~~~~
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
答: 简而言之,概率论是属于随机数学的范畴,即研究随机现象的一门自然科学。
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
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