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用迭代法求公切线
　　用迭代法求公切线 中国论文网 http://www.xzbu.com/8/view-6820999.htm　　（广西师范大学数学与统计学院 广西?桂林 541004） 　　摘 要 根据牛顿切线法求方程的根的思想，结合2008年数学建模A题，运用迭代法求两凸集（椭圆）的公切线，算法简洁实用，可操作性强。并证明了算法对公切线的收敛性和收敛速度。 　　关键词 迭代法 公切线 凸集分离 数学建模 　　中图分类号：O182 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks. 　　Seek Common Tangent with the Iterative Method 　　ZHAO Xiaoxiang 　　（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， 　　Guilin， Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004） 　　Abstract According to Newton's equation of the tangent method the root of thinking， combined with mathematical modeling A title in 2008， using the iterative method for two convex sets （oval） common tangent， the algorithm is simple and practical， workable. And proved common tangent algorithm convergence and convergence rate. 　　Key wo separ mathematical modeling 　　0 引言 　　随着计算机加入科学研究的行列，迭代算法作为计算机能执行的有效算法，在解决实际问题中起着越来越重要的作用。区间二分法、牛顿法等都是经典的迭代法。 　　2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛甲组A题《数码相机定位》问题的一种解决思路是通过求公切线交点的方法来确定圆心。而求两个椭圆（或R2内任意有界闭凸子集）的公切线就可以用迭代算法来实现。尤其是在离散（椭圆由相片给出，而相片只能分解为离散的像素点）的情况下，迭代算法更加适合于计算机的实现。 　　1 数码相机定位 　　08数模A题的数码相机定位问题给出了标靶以及标靶在相机中的像，如图1、2要求设计算法求出相片中圆的圆心，以建立像坐标系到世界坐标系的点点对应，从而完成系统标定。具体题目见文献[1]。 　　 　　图1 标靶 & & & 图2 标靶在相机中的像 　　公切线交点的方法是指根据直线的像还直线的原理，作圆A与圆C、圆A与圆E的外公切线，如图3，四条切线有四个交点，构成正方形，正方形对角线交点即为圆A的圆心。在相片中，只需求出变形后的圆A与圆C、圆A与圆E的外公切线，即可确定圆心。图4。 　　 　　图3 标靶中的公切线 图4 像中的公切线 　　所以问题可转化为设计算法求两圆的外公切线。而本文主要研究如何用迭代法来求两圆的公切线。 　　2 外公切线算法 　　求两个椭圆（或R2内任意有界闭凸子集）的外公切线的迭代算法，具体操作步骤如下： 　　（1）对给定的两个椭圆A、B，分别任意给出一条切线和，切椭圆A，切椭圆B，两切线在两圆的同侧，且只与一圆线切，如图5。 　　 　　图5 初始切线 & & & & & &图6 第一次迭代 　　（2）过和的交点做和的角平分线，如图6。 　　（3）将平移至与圆相切，如果能与两圆都相切，即为所求公切线，则停止。若不能与两圆都相切，将平移至较近的圆，并取代与该圆相切的直线。如图7，平移后与圆B相切，且用取代。 　　（4）过和的交点做和的角平分线，如图8。 　　（5）将平移至于一圆相切，如果能与两圆都相切，即为所求公切线，则停止。若只能与一圆相切，将平移至该圆，并取代与该圆相切的直线。如图9，平移后与圆A相切，且用取代。 　　 　　图7 调整初始切线 图8 第二次迭代 　　 　　图9 调整初始切线 图10 第三次迭代 　　（6）过和的交点做和的角平分线，如图10，重复以上过程。 　　（7）当与两圆相切或与两圆距离达到足够小的精度时，停止。 　　在实际操作中，做两直线的角平分线可改为取两直线斜率之和的一半为斜率做直线，这样并不影响收敛性和收敛速度。 　　定理1 上述步骤给出的平分直线的斜率收敛于两椭圆的外公切线的斜率。且收敛速度为（）。 　　证明：设的斜率为，的斜率为，两椭圆公切线的斜率为，<<则的斜率 = ，?O?O≤。 　　不妨设取代了，则根据的取法，有<<。那么的斜率 = ， 从而?O?O≤≤。 　　同理，?O?O≤， ≥2。 　　即上述步骤给出的平分直线的斜率收敛于两椭圆的外公切线的斜率。且收敛速度为（）。 　　3 算法实现 　　在上述迭代法实现应用过程中，我们一般适当调整坐标系，使得所求公切线的斜率大致在0.5到1.5之间，并选择合理的初值，使得每次所选的角平分线是两椭圆同侧的直线，而不是另一条将两圆分开的角平分线，如图11。同时，也可减少计算精度带来的误差。 　　 　　 图11 适当选取初始切线的角平分线 　　以08数模A题为例，我们给出用matlab编程实现上述迭代算法的具体过程。 　　按照上述方法继续迭代，直到达到允许精读。由图12-17 可以看出，当迭代四五次以后，就已经相当精确。 　　值得注意的是，同样的思路可以用来求内公切线，进而可以将两个凸集分离。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 图12-17 matlab编程实现迭代算法的过程 　　参考文献 　　[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.7. 　　[2] 全国大学生数学建模竞赛.http：//www.mcm.edu.cn/.2008.9.
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《数学分析》课程标准 1《数学分析》课程标准一． 课程的地位与总体目标《数学分析》是师范院校数学与应用数学专业的主干课程，位于基础课程之首；其教学周期最长，一般需横跨三个学期；开设该课程，可使学生获得实数理论，极限论，微积分学以及级数论等方面的系统知识，接触现代数学的基本方法和基本技巧，提高学生分析问题和解决问题的能力，一方面为学习复变函数论，实变函数，常微分方程，概率论与数理统计等后续专业课程打好基础，另一方面也为学生走上工作岗位时能居高临下地把握中学数学教材作好必要的准备。 《数学分析》课程的设置，对于提高学生的专业技能和水平，培养学生的辨证思维观与创新素质等方面，都起到举足轻重的作用．根据本课程教学大纲的要求，通过本课程的教学，应达到以下目标：1．使学生掌握数学分析的基本概念，基本理论和基本方法，从而使学生具有知识系统化．2．加强学生的现代数学分析修养，培养学生分析问题和解决问题的能力．3．引导学生能居高临下地处理中学教学中的有关问题，以便他们胜任毕业后的教学工作．2二．课程的内容标准第一章 实数集与函数(一) 具体目标1．清楚实数的无限小数表示、序定义及不足近似与过剩近似2．知道实数的性质，清楚实数绝对值的定义及性质3．清楚区间与邻域的概念．4．掌握数集的上、下确界的定义，熟悉确界原理的条件、结论5．深刻理解函数概念，掌握初等函数概念6．清楚函数的四则运算、复合函数、反函数的概念7．进一步了解函数几种表示方法和具体某些特殊的函数(二) 典型例题例 1 设 .证明：若 有 ，则 ．, abR????R???baba?例 2 设 .试按定义验证： ， ．QS??)10( 1sup?Sinf0例 3 设 ，满足： 有 ．证明： ．BA??,?ByAx,yxBAinfsup?例 4 验证： 是初等函数．|)(3xf例 5 证明： 在 上无上界．1?],0(例 6 验证： 在 上严格递增．3)(fR(三) 课题学习课题：了解微积分学的发展简史．目的：增长学生的背景知识 (激发学生的学习兴趣)．方法：分组收集材料，写成专题材料，集中交流．3第二章 数列极限(一) 具体目标1．理解和掌握数列极限的 定义N??2．学会用 定义证明数列的极限??3．熟练地利用收敛数列的性质及极限存在的充分条件求数列的极限（二）典型例题例 l 证明：若 ，则 ．?????,2?01lim???n例 2 证明：若 ，则 ．?1?qq例 3 证明：若 ，则 ．?R1li?na例 4 求数列 的极限．??n例 5 求 ．)1(limn???例 6 设 ，证明数列 收敛．????,2?????????????nan121?例 7 证明： 存在．nn????????1li(三) 课题学习课题：斯泽兹（Stolz）定理及应用．目的：使学生掌握“ ”型及“ ”型数列极限的计算及证明，为进一步学?0习极限打下坚实的基础．方法：习题课 (从 引入)．anaann ????????21limli4第三章 函数极限(一) 具体目标1．理解和掌握各种趋势函数的极限的定义2．学会用定义(尤其 定义)证明函数的极限???3．能熟练地利用函数极限的性质，两个重用极限，求函数极限4．能利用极限存在准则判定函数极限不存在5．会利用归结原则求函数值列的极限6．掌握无穷小量及其阶的概念7．会求曲线的渐近线(二) 典型例题例 1 证明 ．0lim???x例 2 证明 ．42li?x例 3 求 ．???????x1li0例 4 证明 ．)3(lim1??xx例 5 证明极限 不存在．sin0例 6 求 ．2colix?例 7 求 ．x10)(lim?例 8 求 ．21)(2(linnn???例 9 求 ．xx4siarctl0例 10 求曲线 的渐近线．,32)(???f )(xfy?(三) 课题学习课题：二十四种类型函数极限统一的 定义，结论叙述及证明．???目的：使学生对函数极限有更全面更深刻的认识．方法：本章总结时，教师引导学生改进一些邻域记号 的邻域规定，并一??,起完成统一的 定义等．???5第四章 函数的连续性(一) 具体目标1．连续性的概念(1) 深刻理解函数在一点连续的概念(2) 理解函数的单侧连续性(3) 掌握间断点及其分类(4) 理解函数在区间上连续性2．连续函数性质(1) 理解掌握连续函数的局部性质——有界性、保号性；连续函数的有理运算(2) 理解掌握复合函数的连续性、反函数的连续性(3) 理解一致连续性定义(4) 闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性3．初等函数连续性理解掌握初等函数连续性(二) 典型例题例 1　按定义证明函数 在其定义域内连续．|)(xf?例 2　指出函数 的间断点并说明其类型．|sinxf例 3　证明：若 在 点连续，则 与 也在点 连续． 又问：若 与f0|f20x|f在点 连续，那么 在 点是否必连续？2f0xx例 4　设 为区间 I 上的单调函数．证明：若 为 的间断点，则 必是f Ix?0f0x的第一类间断点．f例 5　试用一致连续的定义证明：若 ， 都在区间 上一致连续，则fgI也在 I上一致连续． gf?例 6　设 在 上连续，且 . 证明：存在点 ，使得f]2,0[a)2(0af?],0[ax?．)()0xf?6例 7　设函数 在 连续，且 ．证明 在 内f),(ba?????)0()(bfaf f),(ba能取到最小值．(三) 课题学习课题 1：闭区间上连续函数性质的条件是充分必要的吗?目的：促使学生自己动手总结解题技巧和注意点,使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．课题 2：证明函数连续的常用方法目的：促使学生自己动手总结解题技巧和方法,使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．7第五章 导数和微分(一) 具体目标1．导数的概念(1) 深刻理解导数的概念，能准确的表述其定义(2) 明确导数的物理、几何意义(3) 能从定义出发求一些简单函数的导数(4) 了解导数与导函数的相互联系与区别(5) 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系(6) 会求曲线上一点处的切线方程2．求导法则(1) 熟练掌握导数的四则运算法则(2) 会求函数的导数(3) 熟练的掌握复合函数的求导法则(4) 掌握对数的求导法(5) 熟练基本初等函数的函数公式，运用法则与熟练准确的求出初等函数的导数3．参变量函数的导数(1) 了解光滑曲线的概念(2) 会求由线方程给出的函数的导数4．高阶导数(1) 掌握高阶的定义(2) 会求函数的高阶导数(3) 会用莱布尼茨求函数的 n 阶导数(4) 会求由参数方程确定的二阶导数5．微分(1) 理解函数一定的微分的定义，并给出几何解释(2) 能从定义出发求某些函数的微分(3) 能熟练的运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分(4) 明确函数在一定可导与一定可微的之间的一致性，并会利用导数求微分，8利用微分求导数(5) 掌握高阶微分的定义，会求函数的高阶微分(6) 正确理解和运用一阶微分形式的不变性，并与高阶微分清楚的加以区分(7) 会应用微分的实际意义解决某些计算问题(二) 典型例题1．导数的概念例 1 其中 为正整数，试讨论???????0 01sin)(xxf m（1） 为何值时， 在 连续；mf（2） 为何值时， 在 可导；0x（3） 为何值时， 在 连续．f??例 2 证明：若 存在则，则 ．)(xf )(2)()(lim000 xfxffx ???????2．求导法则例 1 求下列函数的导数(1) ．)ln(arcosxy?(2) ．x(3) ．)()(21naxy???例 2 对下列各函数计算 ．)1(,,???ff(1) (2) (3) 3)(xf?3)(x?3)1(xf??3．参变量函数的导数例 1 设 ，求 ．????)cos1(intay2|??tdxy例 2 设曲线方程为 ，求它在下列各处的切线方程与法线方,?程．(1) (2) 1?t 2?t94．高阶导数例 1 设 为二阶导函数，求 的二阶导数．f )(xfy?例 2 求函数 ( 均为实数)的 阶导数．beyaxsin?,n例 3 求由参数方程 所确定的函数的二阶导数．???ttico5．微分例 l 求函数 的微分．21arcsinxy??例 2 设 ，求 ．evxu)(,l)( )(,3xudv例 3 利用微分求 的近似值．302.(三) 课题学习课题：求函数的高阶导数的技巧目的：促使学生自己动手总结解题技巧，使文字知识和技巧系统化。从而突破课程学习中的难点．方法：与习题课和作业结合起来安排．10第六章 微分中值定理及应用(一) 具体目标1．拉格朗日定理和函数的单调性．(1) 深刻理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义．(2) 掌握这两个中值定理的证明方法，知道两者之间的包含关系．(3) 具有应用这两个中值定理进行分析论证的能力．能用以证明有些有关的命题．特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的方法．(4) 了解导函数的极限定理．(5) 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件．(6) 熟练掌握应用导数判定函数单调性与单调区间的方法．(7) 能利用函数的单调性证明某些不等式．2．柯西中值定理和不定式极限(1) 理解柯西中值定理及其分析意义与几何意义．(2) 掌握柯西中值定理的证明方法，知道三个中值定理的包含关系．(3) 熟练掌握洛必达法则。并能正确应用它迅速的求某些不定式的极限．3．泰勒公式(1) 深刻理解泰勒定理。掌握泰勒公式，熟练两种不同余项的泰勒公式及其之间的差异．(2) 掌握并熟记一些常用初等函数的泰勒展开式，并加以应用．(3) 会用带拉格朗日型余项的泰勒公式进行近似计算，并估计误差。会用带皮亚诺型余项的泰勒公式求某些函数的极限．4．函数的极值最大(小) 值(1) 弄清函数极限的概念所得极限的必要条件以及第一、第二充分条件．(2) 掌握求函数极值的一般方法与步骤．(3) 能灵活应用第一、第二成分条件判定函数的极值点与极值．(4) 会利用极值确定函数的最大、最小值．(5) 了解取得极值的第三充分条件．5．函数的凸性与拐点(1) 弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断．11(2) 会求曲线的拐点．(3) 能应用函数的凸性证明描写有关的问题．6．函数图像的讨论（1）掌握求曲线各种类型渐进线的方法．(2) 掌握描绘函数图像的方法与步骤，能够把握曲线的各种重要特征。熟练正确的描绘出函数的图像．7．方程的近似解(1) 了解求方程近似解的牛顿切线法．(2) 会求方程的近似解，并估计误差．(二) 典型例题：1．拉格朗日定理和函数的单调性例 1 证明方程 当 为偶数时0??qpxn ),为 实 数为 正 正 整 数 ，（ qpnn至多有两个实根；当 为奇数时，至多有三个实根．例 2 应用拉格朗日定理证明不等式 ， 其中 ．abb??l ba?0例 3 确定函数 的单调区间．xxfln2)(??例 4 应用函数的单调性证明不等式 ．)0( )1()1ln(22????xx2．柯西中值定理及不等式极限例 l 　设函数 在 上可导，证明：存在 ，使得)(f??ba, ??ba,??．)(()(22?fbf???例 2 求下面不等式极限(1) (2) 1cos)ln(im0???xx xxln1)arct2(lim????3．泰勒公式例 1 求函数 的带皮亚洛型的麦克劳林公式（到含 的项） ．fta)(? 5x例 2 利用泰勒公式求极限 ．30)1(sinlxex???例 3 函数在 处带拉格朗日余项的泰勒公式．0?x例 4 计算 准确到 ．1lg5?124．函数的极值与最大(小)值例 1 求函数 极值．)1ln(2arct)(2xxf ???例 2 求函数 在[－1，2]上的最大最小值．5345y例 3 求一正数 ，使它与其倒数和最小．5．函数的凸性与拐点例 1 确定函数 的凸性区间与拐点．2536223???xxy例 2 应用凸函数概念证明不等式对任何非负实数 ，有 ．ba, babarctnrt)rctn(??6．函数图像的讨论例 1 按函数作图步骤作函数图像（1） （2）2)1(xy?? 332)(??xy7．方程的近似解例 1 用牛顿切线法求方程 的近似解，使误差不超过0．(三) 课题学习课题 1：应用洛必达法则计算不定式极限应注意哪些问题？目的：促使学生自己动手总结解题技巧和注意点使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．课题 2：证明不等式的常用方法目的：促使学生自己动手总结解题技巧和方法使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．13第七章 实数的完备性(一) 具体目标1．掌握实数的完备性的基本定理(区间套定理；柯西准则（数列） ；聚点定理；致密性定理(子数列定理) ；有限覆盖定理) (1) 理解聚点的概念(2) 理解掌握区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明2．闭区间上连续函数性质的证明 (1) 掌握有界性定理、最大最小值定理的证明(2) 掌握根的存在性定理、介值性定理的证明(3) 掌握一致连续性定理的证明(二) 典型例题例 1　验证数集 有且只有两个聚点 和 ．?????????nS1)( 1???2例 2　证明：任何有限数集都没有聚点．例 3　设 是一个严格开区间套，即满足??),(nba．1221 bbaan????且 ．证明：存在唯一的一点 ，使得 ．0)(lim????nn ??,,?n?例 4　设 ．问},|),2{(???nH（1）H 能否覆盖（0, 1）？（2）能否从 H 中选出有限个开区间覆盖 (i) ，(ii) ？)21,0()1,0(例 5 设 为单调数列. 证明：若 存在聚点，则必是唯一的，且为??nx??nx的确界．??nx例 6 试用有限覆盖定理证明聚点定理．例 7 试用聚点定理证明柯西收敛准则．例 8 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立．(三) 课题学习14课题：了解实数的完备性六个基本定理等价证明目的：增强学生的推理论证能力．方法：个人收集整理证明过程，写成专题材料，集中交流．第八章—第十一章 　一元函数积分学部分(一) 具体目标1．不定积分(1) 理解原函数与不定积分的概念(2) 熟练掌握运用基本积分公式计算简单不定积分(3) 掌握基本换元积分法的基本技能(4) 掌握分部积分的饿基本技能，会用分部积分法导出不定积分的递推公式(5) 掌握分解有理数为部分公式的方法，并能熟练计算简单公式的不定积分(6) 掌握把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的方法(7) 掌握某些简单无理式(如 )的不定积分,(, 2cbxaRdcxban ????????算方法(8) 会综合运用各种方法计算不定积分2．定积分(1) 理解定积分的概念(2) 理解并熟练使用牛顿－莱布尼兹公式(3) 领会可积的必要条件、充要条件、充分条件(即可积函数类)，初步掌握判断函数是否可积的基本方法(4) 理解定积分的性质，并能应用这些性质与其他命题的论证(5) 熟练变限积分的性质，并习惯于把它作为函数来处理，会在变限积分这一函数表示形式下进行分析与论证(6) 掌握为积分学基本定理(7) 掌握计算定积分的基本技巧(8) 掌握泰勒公式的积分型余项与柯西型余项3．定积分的运用(1) 熟悉定积分在计算平面图形面积、由平行截面面积求体积、曲线弧长与曲率以及旋转曲面的面积的基本思想和基本公式(特别是微元法的基本思想和处理15方法)(2) 掌握上述基本公式在各种不同场合的变形(3) 掌握运用定积分计算液体压力、作功等物理问题的方法，并探求这些问题内在的和相互之间的联系4．反常积分(1) 理解反常积分的概念(2) 掌握反常积分的收敛性判别法(3) 初步掌握与反常积分有关的一些典型命题的论证方法(二) 典型例题1．不定积分例 1 求下列不定积分.（1） （2） （3）dx??24 dx?tan??3ud例 2 求下列不定积分.（1） （2）?ln3 beax?cos例 3 求 .dxx??22)(例 4 求 .?)cos1(sin例 5 求 .dx2??2．定积分例 l 利用牛顿～莱布尼兹公式求证积分 .??2024dx例 2 试用两种方法证明函数 在区间 上?????????,11,0 )(nnxf ??1,0可积．例 3 求 ，其中 ．dxf??1)(????0 ,2)(xexfx例 4 证明：若 在 上连续，且 ，则f??ba???badxff0)(,0)(．??baxf,0)(??16例 5 计算 ．???102)ln(dxJ例 6 计算 和 ．2si? ?2,1 ,cos0?nn?3．定积分的应用例 l 求椭圆 所围的面积．12??bxa例 2 求由两个圆柱面 与 所围立体的体积．2ay2axz??例 3 求心型线 的周长．)0(cos1(?r?例 4 求圆 在 上的弧段绕 轴旋转所的球带的面22Ryx?????Rx,,21??x积．例 5 一圆锥形水池，池口直径 30 米，深 10 米，池中盛满了水，试求全部池水抽出池外需作的功．4．反常积分例 l 讨论无穷积分 的收敛性．???1pxd例 2 讨论暇积分 的收敛性．)0( 0?q例 3 讨论 的收敛性．sin1???xp例 4　讨论反常积分 的收敛性．??????01)(dxaa（三）课题学习课题 1：了解一元函数积分学的发展历史目的：增长学生的背景知识，激发学生的学习兴趣．方法：分组收集材料，写成专题报告，集中交流．课题 2：不定积分，定积分计算的题型与方法目的：促使学士自己动手总结解题技巧，使以学知识和技巧系统化，从而突破课程学习中的难点方法：习题课和作业结合起来安排．17第十二章 数项级数(一) 具体目标1．级数的收敛性(1) 掌握级数收敛 (发散) 的概念(2) 知道收敛级数的基本性质(3) 会求一些简单级数的和2．正项级数(1) 熟练掌握正项级数的比较判别法、根式判别法、比式判别式和柯西判别法(2) 记住几何级数 和广义调和级数 敛散性???0nq??1np(3) 能证明级数中一些较简单的理论问题的能力3．一般项级数(1) 掌握一般项级数的莱布尼兹判别法、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法(2) 掌握级数绝对收敛和条件收敛的概念(3) 了解级数的乘积和重排的有关概念及性质(二) 典型例题1．级数的收敛性例 1 讨论数项级数 收敛性．?? ????)1(321n例 2 应用级数收敛的柯西准则证明级数 收敛．?22．正项级数例 l 判别下列级数的敛散性（1） （2） （3）???12n?1n n1si（4） （5） （6）)0( ?x?n)(??2)(lnp3．一般项级数例 l 下列收数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：18（1） （2） （3）???1)(n n2si)1(??)(n?例 2 判别下列级数的敛散性：（1） （2）)0( 1)(???xnn??)( 2,0 sin?????x(三) 课题学习课题 1：正项级数收敛方法的种类、理论基础，这些判别法之间的关系目的：提高学生的归纳整理能力，使各部分之间的知识融合贯通．方法：各人收集整理，列成表格形式，集中交流．课题 2：阿贝耳变换的意义目的：增长学生的背景知识，激发学生的学习兴趣．方法：分组收集资料，写成专题报告，集中交流．课题 3：绝对收敛与条件收敛的级数的特性目的：加深对绝对收敛与条件收敛有关知识的理解．方法：各人收集资料，归纳整理，写成研究报告，集中学习与讨论．19第十三章 函数列与函数项级数(一) 具体目标1．一致收敛性(1) 熟练掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其否定叙述(2 )能应用一致收敛的定义或适当的判别法判别函数列与函数项级数的一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质(1) 理解函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性与可微性定理的条件及结论(2) 应用上述定理讨论和函数与极限函数的分析性质(二) 典型例题1．一致收敛性例 1 讨论函数级数 的收敛域，并求其和函数．???0nx例 2 证明：函数项级数 ，?0n(1) 在 (其中 )一致收敛；????1,01?（2) 在 非一致收敛．)例 3 证明： 在 R 上一致收敛．????124nx例 4 判别下列函数列在区间 的一致收敛性??1,0（1） （2）???????xn??nx)1(?20例 5 若数列 单调且收敛于零，则级数 在??na nxacos?上一致收敛．??)0(2,?????2．一致收敛函数列与函数项级数的性质例 1 讨论( 和)函数 的定义域，以及它在定义域上的连续性与可???1)(nxf微性．例 2 讨论函数 在区间 上的积分．)( cos)(0??Rrxsn ???2,0(三)课题学习课题 1：函数列与函数项级数一致收敛的判别方法目的： 使学生全面掌握一致收敛的判别方法，加深对部分内容的理解.课题 2：数列与函数项级数非一致收敛的判别方法目的： 促使学生自己动手总结解题方法，使已学知识和方法系统化，从而突破课程的难点．方法： 与习题课和作业结合起来安排．21第十四章 幂级数(一) 具体目标1．幂级数(1) 理解幂级数的意义(2) 理解幂级数收敛区间和收敛域的概念，会求幂级数的收敛半径(3) 掌握幂级数和函数的分析性质(4) 会求一些幂级数的和函数2．函数的幂级数展开(1) 理解泰勒级数的意义(2) 记住七个初等超越函数展成的泰勒级数(马克劳林级数)(3) 能将一些函数展成泰勒级数或马克劳林级数(二) 典型例题1．幂级数例 l 求下列幂级数的收敛半径及收敛域：（1） （2） （3）?2nx?nx)1(2???02nx例 2 求下列幂级数的和函数（1） （2） （3）???012nx??1nxnnx???1)(2．函数的幂级数展开例 1 将下列函数展成马克劳林级数（1） （2） （3） （4）)0( ?ax x?x2sindtx?0sin(三)课题学习22课题 1：“缺项”的幂级数如何求收敛半径目的：使学生加深对幂级数收敛半径概念的理解，促进知识的系统化，从而达到知识的融会贯通．方法：集中学习和讨论，整理成小论文的形式，集中交流．课题 2：幂级数的作用目的：增长学生的背景知识，激发学生的学习兴趣．方法：分组收集材料，写成专题报告，集中交流．第十五章　傅里叶级数(一) 具体目标1．傅里叶级数(1) 理解三角级数、正交函数系、傅里叶级数的概念(2) 掌握傅里叶级数收敛定理(3) 会将若干简单函数展成傅里叶级数2．收敛定理的证明了解收敛定理证明的思路(二) 典型例题例 1 设 ， 求 的傅里叶级数展开式．???????0 ,0)(xxf?f例 2 把函数 展开成傅里叶级数．5 ,3)(f例 3 把定义在 上的函数 (其中 )???,0?????????xhxf ,0 21 ,)( ??h0(i) 展开成正弦级数；(ii) 展开成余弦级数。(三) 课题学习课题：傅里叶级数的优点和缺点目的： 使学生了解知识背景，激发学习兴趣．方法： 分组收集材料，写成专题报告，集中交流．23第十六章 多元函数的极限与连续(一) 具体目标1．正确理解领域、内点、聚点、界点、孤立点、开集、边界、闭集、开域、闭域、区域、直径、距离等基本概念2．理解平面点列收敛的概念，了解点列收敛的柯西准则、闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理极其证明方法3．掌握多元函数的概念4．掌握二元函数极限的定义，会求二元函数的极限5．掌握二重极限与累次极限的关系6．正确理解和掌握二元函数连续的定义；掌握二元连续函数的局部有界性、局部保号性、有理运算及复合的性质7．掌握有界闭域连续函数的有界性与最大、最小值定理、一致连续性定理及介质性定理，理解其证明方法(二) 典型例题例 1 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域?并分别指出它们的聚点和界点．(1) (2) ??2|),(xy???101|),(2???xyx，或 一 ＝例 2 求下列函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集。(1) (2) f?),( )ln(),(f?例 3 求 2)0,(,2)0,(, silm ,limyxyxyxyx ?????例 4 求下列函数在 的重极限),(1) (2) yxyxf1sin),(?2),(yxf??24例 5 讨论函数 的连续性(其中 )．0 ,0,)(),( 22????????yxyxyxfp 0?p例 6 证明：若 为平面有界闭域 上的连续函数，则 为闭区间．fD)(Df(三) 课题学习课题：讨论多元函数极限的方法目的：促使学生在与一元函数极限问题比较的基础上进行总结概括．方法：写成文字材料集中交流．第十七章 多元函数微积分(一) 具体目标1．正确理解和掌握全微分、偏导数、方向导数与梯度的定义2．掌握全微分、偏导数、连续三者间的关系3．会求复合函数的偏导数、高阶偏导数4．认识可微性几何意义，理解一阶全微分形式不变性5．掌握高阶偏导数与顺序无关性定理、二元函数的中值公式和泰勒公式，了解其证明6．理解二元函数极限的概念，掌握极值必要条件与充分条件，了解其证明，会求多元函数的极值(二) 典型例题例 1 证明函数 点 连续且偏导存在，0 ,0,)(),( 22????????yxyxyxfp),(但在此点不可微．例 2 求下列函数的偏导数(1) 设 求 (其中 为二元可微函数)．),(yxfu??xyu,f(2) 设 ，求其所有二阶偏导数．zarctn例 3 设 可微，在极坐标变换 下，证明 ),(yx ?sin,coryrx?．2222 )()(1??????uur例 4 设 ，求 在点 处的梯度及其模，在 处3),(yzxzyf?f1,0?P0P沿方向 的方向导数．??1,2:?L25例 5 求 在点 的泰勒公式(到二阶为止 )，并用它计算 ．yxf?),()4,1 96.381例 6 求 的极值．6052?y例 7 证明：圆的所有外切三角形中以正三角形的面积为最小．(三) 课题练习课题：1．闭域上二元连续最大小值的求法2．n 元函数的极限充分条件3．多元函数的极限的一阶微分判别法4．二元函数的极值的 n 阶偏导数判别法目的： 引导学生进一步认识在一元微分学向多元微分学的扩展中类比与化归思想方法的作用，培养学生的创新意识与自学能力．方法： 分组提供课题，指导查阅资料，写成读书报告或小论文后集中交流．26第十八章 隐函数定理极其应用(一) 具体目标1．正确理解隐函数的概念，掌握隐函数存在唯一性定理，隐函数可微性定理，了解它们的证明2．理解隐函数组与反函数组的概念，掌握隐函数组定理之结论3．会求隐函数组的偏导数极其高阶导函数，会求隐函数组的偏导数4．掌握多元微分学在几何上的应用，会求曲线(显式、参考、隐试)的切线方程与法平面方程，曲面(显式、隐试)的切平面方程5．理解条件极值概念，了解拉格朗日乘数法的思路，会用拉格朗日的乘法求条件极限(二) 典型例题例 l 讨论方程 在原点附近所确定的二元隐函数zyxzyxF???323),(及其偏导数．例 2 设 ． zyxzfz ???,),(求例 3 求下列函数组所确定的偏导数（1） ．xvyuxxuvy??????,, 02求（2） ．rr?,, sinco?求例 4 求 在点(2，1)处的切线与法线方程．09)(3???xyxz例 5 求球面 与锥面 所截出的曲线在点(3 ，4，5)522z22zyx??处的切线与法平面方程．27例 6 求曲面 的切平面，使它平行于片面 ．2132??zyx 064??zyx例 7 求抛物线 被平面 截成一成椭圆，求这个椭圆到1??zyx原点的最长与最短距离．(三) 课题学习课题：1．条件极限的充分性2．运用条件极限值方法证明不等式目的：进一步深化理解隐函数有关理论，培养学生的创新意识与能力．方法：指导学生写作小论文并进行交流．第十九章 含参量积分（一）具体目标1．理解和掌握含参量正常积分的概念、性质2．理解含参量反常积分的收敛、一致收敛的概念3．掌握含参量反常积分收敛、一致收敛的性质与判定4．熟练掌握利用积分号下求导，交换积分顺序求一些积分值的方法5．理解欧拉积分的概念、性质（二）典型例题例 l 21 ()yxdR????证 明 ： 在 上 一 致 收 敛 .例 2 ， axbbxyae???从 等 式 出 发 0 (0).axbeda?????计 算 积 分例 3 运用欧拉积分计算下列积分(其中 为自然数)：n120);xd? 20(2 ;nxe????例 4　证明：若 上连续函数，含参量非正常积分),[],???cbaf为??cdyxfI),((例 5　利用余元公式计算下列积分：420(1) ;()xd??? 10(2) ().nx??为 自 然 数(三) 课题学习课题 1：含参量反常积分一致收敛与函数项级数一致收敛的判别方法的比较目的： 使学生全面掌握一致收敛的判别方法，加深对这部分内容的理解．28方法：　习题举例与课堂讨论相结合．课题 2：含参量反常积分与函数项级数非一致收敛的判别方法目的： 促使学生自己动手总结解题方法，使已学知识和方法系统化，从而突破课程的难点．方法： 与习题课和作业结合起来安排．第二十章　曲线积分(一) 具体目标1．掌握第一型曲线积分的定义极其计算公式2．了解第一型曲线积分的性质3．掌握第二型曲线积分的定义极其计算公式4．了解第二型曲线积分的性质5．了解两类曲线积分之间的联系6．掌握格林(Green)公式，并能利用 Green 公式计算封闭曲线上的第二型曲线积分7．了解单连通区域与复连通区域概念8．掌握封闭曲线上第二型曲线积分与路线无关的四个等价条件(二) 典型例题例 1 设 L 是半圆周 ，试计算第一型曲线积??????tay0 sinco:分 ．dsyxL??)(2例 2 计算 如，其中 L 分别沿如图中路线???Ldyxgx,)((I) 直线 AB；(2) ACB(抛物线： ；1)(2??(3) ADBA(三角形周界 )．29例 3 计算 ，其中 L 为任一不包含原点的闭区域的边界线．????LyxdI2例 4 计算抛物线 与 轴所围成的面积．)0()(?ax(三) 课题学习课题：推导在极坐标中第一曲线积分 的计算公式?Ldsyxf),(目的：掌握第一型积分曲线计算公式的证明思想，并拓宽知识面．方法：作为习题课例题或作为课堂作业题．第二十一章 重积分(一) 具体目标1．二重积分的概念(1) 了解二重积分的概念(2) 了解二重积分左右的充要条件，掌握二重积分存在的必要条件(3) 掌握二重积分的性质，并能利用这些性质去证明问题2．二重积分的计算(1) 掌握直解坐标下化二重积分为量次积分的方法(2) 掌握二重积分的数坐标变换公式，了解一般的二重积分的坐标变换公式(3) 掌握变换积分次序的方法3．三重积分(1) 了解三重积分的概念(2) 掌握三重积分存在的充要条件(3) 掌握三重积分的性质(4) 会将三重积分转化为累次积分法计算(5) 掌握三重积分的球面与柱面坐标变换公式并了解一般的坐标变换公式4．重积分的应用(1) 掌握曲面面积的计算公式30(2) 会求不均匀空间物体的重心(3) 会求转动惯量(二) 典型例题1．二重积分的概念例 l 证明： 在有限闭区域 D 上连续，则 f 在 D 上二重可积．f例 2 证明：设 在 D 上非负连续且 ，则f 0),(??dxyf．yxf??),(0),(2．二重积分的计算例 1 设 D 是由直线 所围，计算 ．xyx?,10dxeIy2???例 2 求球面 被柱面 所割下部分的体积．22Rzy?Rx?2例 3 求椭球体的体积．3．三重积分例 1 求 ，其中 ． dxyzcbyaxIv???)(22 1:22??czbyaxV例 2 求 围成的区域．4)(:,)2?zVv 与例 3 求 和球体 所围成的立体之体积．2yxz??22yx???4．应用例 l 求圆锥 被 所截下的面积．2?2例 2 求密度均匀的上半椭球体的重心．(三) 课题学习课题 1： 重积分的定义及性质n目的： 通过对二、三重积分的讨论，归结出一般的 n 重积分的概念、主积条件、性质． 方法： 对定积分、二重积分、三重积分的概念及性质．课题 2：积分的一般变换公式的证明目的： 通过讨论，使学生更清楚、微元法的基本思想的实质．方法：掌握证明．课题 3：重积分的其它应用目的：通过书上列举的几种应用，总结出一般的能向重积分去解决的问题的类型，从而加深对重积分的概念及性质的理解．31方法：现实生活中的问题．第二十二章 曲面积分(一) 具体目标1．掌握第二型曲面积分的定义极其计算公式2．理解单侧曲面积分和双侧曲面概念，正确判断曲面的正侧与页侧3．理解第二型曲面积分概念，了解第二型曲面积分的性质4．掌握第二型曲面积分的计算公式5．了解两类曲面积分的联系6．掌握高斯(Gauss) 公式并能利用 Gauss 公式熟练计算一些第二型曲面积分7．掌握右手法则8．掌握斯托克斯(Stokes)公式，并能利用 Stokes 公式计算封闭曲线上第二型曲线积分9．了解空间曲线积分与路线无关的四个等价条件10．了解梯度场、散度场、旋度场等概念(二) 典型例题例 1 计算 ，其中 是球面 被平面 所截?Szds 22azyx??)0(anz?的 顶部．例 2 计算 ，其中 是球面 在 部分并取球Sxys122z,?yx32面外侧．例 3 计算 ，其中 是边长为 的正立dxyzdzxyzxS )()(22???? sa方 体表面并取外侧。例 4 计算 ，其中 L 为平面 与各坐 zyzL )()()2( 1??zyx标平面的交线，取逆时针方向为正方向．例 5 证曲线积分 与路线无关，并被积表达dzxdxyL )()()(???式的原函数 ．),(zyxu(三) 课题学习课题：用短形长纸带制作麦比乌斯(mobius)带目的：通过动手制作典型的单侧曲面来理解单侧曲面和双侧曲面概念．方法：动手制作麦比乌斯带．三．课程实施建议1．教师应创造性地组织教学工作本课程标准只是课程教学的基本要求，按照教学原则，教师的教学工作必须以学生的认知发展水平为依据，根据各种可利用的条件，进行创造性的工作。要注意以下几个方面：一要注重敦学活动过程的教学；二要注重教学内容的实质教学；三要注重发现法和启发式教学；四要注重学生创造思维能力的培养；五要注重激发学生学习的积极性．2．注意渗透数学的思想与方法教师应注意挖掘教学内容中的切入点，不适时机地向学生渗透数学的思想与方法．如类比是进行合理推理一种思维方法．它是一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系是，我们便可对这两个对象系统
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