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高等数学和概率论中两个问题的探讨
　　摘 要：在利用中值定理进行证明的时候需要借助于假设的辅助函数，由于作辅助函数需要有一定的想象能力、观察能力，初学微积分者往往很难作出符合需要的辅助函数。该文通过三个例子总结归纳出了作辅助函数的方法。同时该文还对概率论与数理统计中数学期望定义的一个前提，作出了说明和解释。 中国论文网 http://www.xzbu.com/3/view-1426973.htm　　关键词：高等数学；概率论；探讨 　　 　　一、用中值定理对命题的证明 　　在高等数学教学中学生对于使用罗尔中值定理，对一些命题进行证明的时候往往得不到要点，解不出相关的题目。这种类型的题目的特点是比较抽象，需要有一定的想象能力、观察能力。在此以以下三个题目为例，对此类型的题目做一些归纳总结。 　　例1：证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈（a,b），使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。（该题为2009年研究生入学考试数学三的真题） 　　这个题目是教材上的定理教材作了详细的证明。有一本教材是这样证明的： 　　作辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a) 　　由定理假设易知φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）φ(a)=φ(b)=0，因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ)=f'(ξ)- =0即f'(ξ)= 。 　　有不少学生会学得为什么要造让φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)这样的辅助函数，理论依据是什么，如果没有依据是很难联想到这样的函数的。 　　例2：已知常数b＞0，函数f(x)在闭区间[0,b]上连续，在开区间(0,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。 　　证明方法如下 　　证明：作辅助函数，φ(x)=xf(x)-f(b)x显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[0,b]上连续；（2）在(0,b)可内导；（3）φ(0)=φ(b)=0因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ=)f(ξ)+ξf'(ξ)-f(b)=0即f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。 　　这个题目与拉格朗日中值定理的证明有很大的类似之处，不同的是辅助函数不同，应用罗尔中值定理的区间具体化了，函数不同了。下面一个例子难度就更大了，借助于这个例子我们可以从中找出规律。 　　例3：证明：已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 内可导，f(b)=0，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f'(ξ)= 。 　　证明方法如下： 　　证明：作辅助函数φ(x)=(x-a)bf(x)，显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ)= ，整理后可得f'(ξ)= 　　这个证明题的难点在于，辅助函数的构造很难。遇到这个题目，头脑比较灵活的学生会想到令φ(x)=(x-a)f(x)，但这样却达不到解题的目的。 　　那么这一类型的题目有没有相应的依据呢。我们可以沿着这样的思路去解这个题目：在微分学中，只有两个定理可以证明存在一点ξ∈(a,b)，使得某个等式成立。这两个定理分别是介值定理和中值定理。介值定理中不含有某一个函数的导数，因此对于该题目不适用。那只有用中值定理，而中值定理分为三个，分别是：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。但后两者都是在罗尔中值定理的基础上得以证明的。因此我们只需要使用罗尔中值定理即可解出这一类题目。罗尔定理的内容是：如果函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）在区间两个端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。罗尔定理的主体是一个函数和一个区间。要想使用罗尔中值定理必须找到一个函数和一个区间，而区间往往是题目已经给定的，所以重点就在于找一个辅助函数，然后应用罗尔定理，证明出该题目。因为要证明的是：f'(ξ)= ，整理后可得： +f'(ξ)=0，这种形式与罗尔定理的结论比较接近了，但是我们仍旧不容易找出哪一个函数在ξ处的导致为 +f'(ξ)，联想到[eg(x)f(x)]'=eg(x)[g'(x)f(x)+f'(x)]，我们令g'(x)= ，然后求出g(x)那么令φ(x)=eg(x)f(x)，将是我们需要的辅助函数。不难求出eg(x)=(x-a)b，然后对函数φ(x)=(x-a)bf(x)在区间[a,b]上使用罗尔中值定理即可解出该题目。 　　该类题目看似是微分学的内容，却使用了不定积分的方法，这也是这类型题目的难的地方。希望这种方法可以给讲授微积分课程的老师和学习微积分课程的学生带来一定的帮助。 　　二、数学期望存在的一个条件的说明 　　离散型随机变量的数学期望定义是：设随机变量X的分布率为P{X=xi}=pi(k=1,2,…)，EX= x p{X=x }= x P 称为X的数学期望。（注：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x P 绝对收敛）由于有些课本对此没有进一步说明读者难以深刻理解在此做以说明。 　　因为离散型随机变量的可能值x1,x2,…xr,…之间实际上没有先后顺序的关系，故要求级数绝对收敛，因此只有绝对收敛级数的和才与其项的顺序无关。例子如下： 　　由于若x∈(-1,1)，则In(1+x)=(-1)n+1 xn+…， 　　当x=1时， (-1)=1- + - + - + - +…=1n2① 　　上式乘以 后，有(-1)= - + - +…= 1n2② 　　①+②可得：1+ - + - - +…= 1n2 　　因此离散型随机变量的数学期望必须加上一个条件就是：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x p 绝对收敛。 　　以上两个问题是学生在学习过程中的难点，也是作者本人在教学过程中一总结，希望对在学习微积分和概率论课和中的学生有所帮助。 　　参考文献： 　　［1］数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001. 　　［2］赵树?.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2007. 　　［3］周概容.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2008.
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其他答案（共7个回答）
比较实在
讲得详细具体，又好懂
不行再请个家教老师
全国2004年4月高等教育自学考试
概率论与数理统计（二）试题
课程代码：02197
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A，B为随机事件，且A B，则 等于（　　　）
2.同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为（　　　）
3.设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（　　　）
A.0≤f(x)≤1
D.f(+∞)=1
4.已知随机变量X的分布列为（　　　）
，则P（{-2X≤4}-{X2}）=
5.设二维随机向量（X,Y）的概率密度为f(x,y)，则P{X1}=（　　　）
6.设二维随机向量（X,Y）~N(μ1，μ2， )，则下列结论中错误的是（　　　）
A.X~N（ ），Y~N（ ）
B.X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0
C.E（X+Y）=
D.D（X+Y）=
7.设随机变量X，Y都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E（X+Y）=（　　　）
8.设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（　　　）
A.D(X+c)=D(X)
B.D(X+c)=D(X)+c
C.D(X-c)=D(X)-c
D.D(cX)=cD(X)
9.设E（X）=E（Y）=2，Cov(X,Y)=
则E（XY）=（　　　）
10.设总体X~N（μ,σ2），σ2未知，且X1，X2，…，Xn为其样本， 为样本均值，S为样本标准差，则对于假设检验问题H0:μ=μ0 H1:μ≠μ0，应选用的统计量是（　　　）
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.某地区成年人患结核病的概率为0.015，患高血压病的概率为0.08，设这两种病的发生是
相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为___________.
12.一批产品中有10个正品和2个次品，现随机抽取两次，每次取一件，取后放回，则第二次取出的是次品的概率为___________.
13.设A,B,C为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=P(AC)=P(BC)= ,P(ABC)=0,则P(A B C)=___________.
14.10粒围棋子中有2粒黑子,8粒白子,将这10粒棋子随机地分成两堆,每堆5粒,则两堆中各有1粒黑子的概率为___________.
15.设随机变量X~B(3,0.3),且Y=X2,则P{Y=4}=___________.
16.已知随机变量X的分布函数为FX(x),则随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y)=___________.
17.设随机变量X,Y相互独立,且X~ (n1),Y~ (n2),则随机变量 ~___________.
18.设二维随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ,则(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=___________.
19.设随机变量X的概率密度为f(x)= ___________.
20.设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+3)=___________.
21.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立且同分布,它们的期望为μ,方差为σ2,令Zn= ,则对任意正数ε,有 P{|Zn-μ|≥ε}=___________.
22.设总体X服从区间[-a,a]上的均匀分布(a0),X1,X2,…,Xn为其样本,且 ,则 ___________.
23.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为其样本,S2为样本方差,且 ,则常数c=___________.
24.设总体X的分布列为
其中p为未知参数,且X1,X2,…,Xn为其
样本,则p的矩估计 =___________.
25.设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，Xn为其样本，其中σ2未知，则对假设检验问题
，在显著水平α下，应取拒绝域W=___________.
三、计算题（共8分）
26.已知随机变量
高效的学习 = 丰富的资料 + 积极的提问
阅读本文后，如有任何疑问和见解请直接在此提出，共同探讨。
概率论-从随机现象说起
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　　从随机现象说起在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
　　另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
　　在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
　　随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
　　我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
　　概率论的产生和发展
　　概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
　　早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢
m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了
（a三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
　　近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
　　概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。
　　概率论-是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
　　数理统计-是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
　　统计方法-是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。
　　应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：
　　第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。
　　第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象-随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。
　　第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。
　　概率论的内容
　　概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
　　概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于
　　有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
　　在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
　　随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
　　在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
　　数理统计的内容
　　数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
　　适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
　　假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。
　　方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。
　　由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
答: 一次函数图象是直线
一般式为Y=KX+B
K是斜率 B是截距
二次函数图象是抛物线
一般式为Y=AX平方+BX+C
A大于零开口向上 A小于零开口...
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
答: 很简单,水沸腾也就100度左右,而纸要燃烧的着火点远远高于100度,在纸远达不到着火点的时候,纸锅上的水就因为水对流把热量带走,使纸锅底的温度远低于纸着火点温度...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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求《高等数理统计》答案 作者: 茆诗松,王静龙
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注册: 性别: GG专业: 数理统计
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★ soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~
据我所知, 好像没有答案...
我以前学的就是这本教材, 还是自己做吧
忘记自己,忘记一切烦恼(欢迎访问我的网站兆字节：http://www.mathbeta.com/)
(文学泰斗)
浅浅淡淡-果果哥
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【答案】应助回帖
寒冬孤雁(金币+2): 哥们 这答案不是的啊！鼓励下，奖励2个。
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此树是我栽，此路是我开，手中一支笔，管挖不管“填”——果果哥
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