时间: March 22, 2018
原文作者，Kevin Hartnett，量子杂志资深作家。
翻译作者，我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，Math001。
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两位数学家已经证明了两个不同的无穷其大小是相等的，解决了数学界一个长期存在的问题。他们的证明建立在无穷的大小和数学理论的复杂性之间意外的联系上。
在一项颠覆了几十年传统智慧的突破中，两位数学家证明了两种不同的无穷大实际上大小相等。这一进展涉及到数学中最著名、最棘手的问题之一：自然数的无穷与实数的无穷之间是否存在别的无穷。
这个问题早在一个世纪前就被发现了。当时数学家们知道&实数比自然数多，但不知道多多少。实数的无穷是刚刚好比自然数大的那个无穷，还是它和自然数之间还有别的无穷？&芝加哥大学的马利亚里斯（Maryanthe Malliaris）说，他与耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的萨哈龙&希拉一起合作完成了这项新工作。
在他们的新工作中，马利亚里斯和希拉（Shelah）解决了一个70年没解决的相关问题，即一个无穷大(称为p)是否小于另一个无穷大(称为t)的大小判定问题。他们证明了两者实际上是相等的，这让数学家感到意外。
&当然，无论是我个人观点，还是之前大家的看法，都认为p应该小于t，&希拉说。
马利亚里斯和希拉去年在&美国数学学会杂志&上发表了他们的证明，并在去年七月荣获了集合论领域的最高奖项之一。然而他们的工作远远超出了这两个无穷数的相关问题。它为无限集合的大小和另一个不同邻域数学理论复杂性之间开辟了一条意想不到的联系通道。
无穷的概念令人费解。那么会不会存在很多大小不同的无穷呢？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。然而当我们用一个配对的游戏来解释的时候，连小孩子都能理解。
假设你有两组物体，或者两组&集合&，就像数学家所说的那样：一组汽车和一组司机。如果每辆车只有一个司机，没有空车，没有司机留下，那么你就知道汽车的数量等于司机的数量(即使你不知道这个数字是多少)。
在19世纪后期，德国数学家乔治&康托在数学的形式语言中领会到了这种匹配策略的精髓。他证明了两个集合当它们可以一一对应时，它们大小是相同的，或者说它们具有相同的&基数&&&即当每辆车只有一个司机时。也许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无限大的集合。
考虑自然数:1、2、3等等。自然数的集合是无限的。但是对于偶数和质数的集合呢?每一个集合起初看起来都是自然数的一个较小的子集。实际上，在数轴上的任何有限长度上，都有大约一半的偶数是自然数，而质数的数目则更少。
然而无限集的表现却不同。康托表示这些无限集的元素之间存在一一对应关系。
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && & （自然数）
2 && 4 && 6 && 8 && 10 & （偶数）
2 && 3 && 5 && 7 && 11 & （质数）
正因为如此康托得出的结论是，三个集合都是一样大。数学家把这个大小的集合称为&可数的&，因为您可以为每个集合中的每个元素标记一个编号。
在确立无限集的大小之间可以进行一一对应的比较后，康托做出了一个更大的飞跃：他证明了一些无限集其实比自然数集更大。
考虑实数，也就是数轴上的所有点。 实数有时被称为&连续统&，反映了它们的连续性：在一个实数与下一个实数之间没有空隙。康托能够证明实数不能与自然数进行一一对应：即使在创建了一个将自然数与实数相匹配的无限列表之后，总是可以拿出另一个不在你的列表上的编号的实数。 因此他得出结论：实数集合大于自然数集合。于是第二种无穷诞生了：即不可数无穷。
然而有个问题康托始终无法解决，即是否存在一个中间大小的无穷&&介于可数的自然数集的大小和不可数的实数集之间。他认为没有，这是一个现在被称为连续统假设的猜想。
在1900年，德国数学家希尔伯特列出了数学中最重要的23个问题。他把连续统假设放在首位。&这似乎在说，我们迫切的想知道这个问题的答案，&马利亚里斯说。
在这之后的一个世纪，尽管数学家们拼尽全力，这个问题本身已经证明它是史无前例的难以攻克。介于中间的那个无穷存在吗？ 我们可能永远都不知道。
力迫法证明
在整个20世纪上半叶，数学家试图通过研究出现在许多数学领域的各种无限集来解决连续统假设。他们希望通过比较这些无穷大之间的大小，可以开启对自然数的大小和实数的大小之间可能存在的中间数的间隔的理解。
这些无穷大的大小判定研究，很多被证明对连续统假设没有用。在20世纪60年代，数学家保罗&科恩解释了其中的原因。 科恩提出了一种叫做&力迫&的方法，证明了连续统假设独立于数学公理，也就是说，在集合论的框架内是无法证明的。 （科恩的工作补充了库尔特&哥德尔1940年的工作，哥德尔的成果表明连续统假设不能用通常的数学公理来否定它。）
科恩的工作成果于1966年为他赢得了菲尔兹奖（数学最高荣誉之一）。数学家随后用力迫法来解决在前半个世纪中所提出的无穷之间的许多大小判定，表明这些大小判定也不能在集合论框架得到肯定或否定的回答。（具体来说，ZF（策梅洛-弗兰克尔）集合论加上选择公理。）
然而有些问题仍然存在，其中包括20世纪40年代提出的关于p是否等于t的问题。p和t都是两个无穷有序集的大小，它用精确的(而且似乎是唯一的)方法量化了自然数极小子集族的大小。
两个集合大小的细节并不重要。更重要的是数学家们很快就发现了p和t大小的两种情况，首先，两组都比自然数大。第二，p总是小于等于t，因此如果p小于t，那么p就是一个中间的无穷&&介于自然数和实数的大小之间。那连续统假设便是错误的了。
简单的说说这个问题是什么：p是一个具有&强有限交性&和没有&伪交性&的自然数无穷子集合组成集族的最小的无穷，这意味着其中的子集以一个特定的方式相互重叠；t称为&塔数&并且是按&反向几乎包含&且没有&伪交性&的自然数无穷子集合组成的集族的最小大小的有序集合的无穷。
数学家之前倾向于认为p和t之间的关系不能在集合论框架内被证明，但是他们也不能确定问题的独立性。p和t之间的关系几十年来一直处于这种未确定的状态。 直到马利亚里斯和希拉涉及别的研究领域后，才最终找到了解决办法。
复杂性的序
当保罗&科恩用力迫法证明了连续统假设在通常的数学框架之外的时候，模型论领域正在开展一项截然不同的工作。
对于模型论家来说，&理论&是定义数学领域的一套公理或规则。你可以将模型论视为一种对数学理论进行分类的方式&&对数学源代码的探索。威斯康星大学麦迪逊分校数学退休教授H&杰罗姆&基斯勒说：&我认为人们有兴趣对理论进行分类的原因是他们想要了解一些特定事情在不同数学领域里发生的真正原因。&
1967年，基斯勒介绍了现在所谓的基斯勒序，这个序关系试图根据数学理论的复杂性将其进行分类。 他提出了一种衡量复杂性的技术手段，并试图证明数学理论至少可以分为两类：最小复杂性和最大复杂性。基斯勒说：&这是一个小起点，但是我的感觉就是这里有无穷的类。
在基斯勒建立基斯勒序十多年后，希拉发表了一本有影响力的书，其中包括一个重要的章节，证明了复杂性中有自然发生的跳跃&&具有较大复杂性的理论与较小复杂性理论之间可能存在一条明确的分割线。而此后30的年，基斯勒序的研究几乎没有任何进展。
一个理论具有复杂性，其意义并不总是那么显而易。这个领域的很多工作在某种意义下是如何让大家直观的理解这些问题。基斯勒将复杂性描述为一种理论中可能发生的事情的范围，如果一个理论较之于另一个理论中可能发生的事情越多，我们就说前者理论更复杂。
然后，在她2009年的博士论文和其他早期论文中，马里亚里斯重新开始了关于基斯勒序的工作，并为其作为分类程序的权提供了新的证据。 2011年，他和希拉开始合作，旨在更好地理解序的结构。 他们的目标之一是依托基斯勒的标准，找到更多的性质，构造出具有最大复杂性的理论。
马里亚里斯和希拉尤其关注两个特别的性质。他们已经知道其中一个会导致极大的复杂性。他们想知道另一个是否也如此。随着他们工作的进展，他们意识到这个问题与p和t是否相等的问题是平行相关的。2016年，马里亚里斯和沙拉发表了一篇60页的论文，解决了这两个问题：他们证明了这两个特性是具有相同复杂性的(它们都导致了最大的复杂性)，并且证明了p等于t。
&不知不觉中，一切都准备就绪，&马里亚里斯说。&然后问题就顺理成章的解决了。&
今年七月，马利亚里斯和希拉被授予豪斯多夫奖(Hausdorff Medal)，集合论的最高奖项之一。这项荣誉印证了他们证明是一个令人惊奇的结果，也印证了他们证明的强大力量。因为在集合论的框架内证明p和t不相等是不可能的，大多数数学家曾经期望p可以小于t。马利亚里斯和希拉证明了两个无穷大是相等的。 他们的工作也表明，p和t之间的关系比数学家之前知道的要深奥得多。
&我觉得如果有一天人们意外地发现两个基数相等，那么该证明可能是令人惊讶的，但那可能是一个简短而睿智的论证，不涉及建立任何实体的机制。&康奈尔大学的数学家贾斯汀&摩尔（Justin Moore）说到，他发表了一篇有关马利亚里斯和希拉的证明的概述。
相反，马利亚里斯和希拉证明了p和t是相等的，通过在模型论和集合论之间开辟一条通路，并已经在这两个领域开辟了新的研究前沿。他们的研究也最终解决了数学家们希望能够帮助解决连续统假设的问题。然而专家们的压倒性的感觉是，无法解决的连续统假设是错误的：虽然无穷在很多方面的性质异于常态，如果在已发现的无穷之间没有更多大小不同的无穷，那么这太不同寻常了。
澄清：在9月12日，本文进行了修改，以澄清20世纪上半叶的数学家想知道连续统假设是否属实。 正如文章所述，这个问题在很大程度上取决于保罗&科恩的工作。
我们哆嗒补录的番外篇：
这篇文章提到的问题叫做极小塔问题(The Minimal Tower Problem),收录在科学出版社出版的《10000个科学难题(数学卷)》中，我们把这一页截图呈上。
遗憾的是我们偶然发现这里居然有笔误。这里两个箭头，左边一个箭头的&不应该写在下标位置，应该写在正常位置。而右边箭头的&其实写错了，应该是a 。我们已经把这个问题向出版社反馈了。
另外，文章中提到的连续统基数的确定的问题，是一个更加诡谲的问题。这书里也有介绍，标题叫做《连续统势确定问题》。
总体来说，这本书是本非常好的收录当代数学难题的工具书。
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时间: March 20, 2018
原文作者，Alex Doak，伦敦大学学院流体力学博士。
翻译作者，溦之洸茫，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，我是崔小白。
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希腊：留克特拉 （公元前371年）
出于对至高权力的渴望，古希腊的各城邦总是在不断经历战火的洗礼。在一阵短暂的和平后，当时的霸权斯巴达公然挑战底比斯的政治地位。由于底比斯拒绝解散由其主导重建的彼奥提亚邦联同盟（Boeotian Confederacy），斯巴达对其宣战。底比斯城以及她的盟友聚集了7200名重装步兵（hoplites），由将军埃帕米侬达（Epaminondas）率领，来到了留克特拉的地界，在那里等待他们的是9600名斯巴达重装步兵。
此时斯巴达国王克莱奥姆波洛图斯（Cleombrotus）情绪十分阴郁，尽管近期在军事上有过胜利，然而在前往留克特拉的行军路上已经显现了凶兆，尤其是因为献祭给神灵的动物被狼吃了。然而在对手下各个将军进行询问之后，发现他们都确信斯巴达能够取得胜利。现在他召唤你这个奇怪的旅行者，希望通过你的惊人洞察力帮助他分析未来。
一对一战斗及兰彻斯特线性律
在所有的数学建模中，如果希望得到有意义的结果，我们必须理解所模拟战斗过程的基本机制。在这个例子中，我们需要对古希腊战争有更好的了解。希腊城邦的部队主要是有重装步兵组成。在战斗中，这些人采用的是&臭名昭著&的方阵队列：士兵们组成数排密集的横向队列，手持长矛和盾牌迎击他们的敌人。每一支部队同时前行，最勇敢和最有战斗经验的军人是在前排，这样才能保证行进的队伍不会减速和逃窜。两军接触后，盾牌互砸，长矛互戳，血肉横飞，尸横遍野&&最终，在经受一定的兵力损失后，一方的队形完全崩溃，士兵开始大量逃窜，最终不可避免地被击败。
对于这一类的战斗，兰彻斯特首次给出了一个简单的模型，他假设军队的交战是由一对一的形式进行的。也就是说，每名士兵只和与他对应的那一名敌军士兵交战，没有参与打斗的士兵在后排静静等待着他们战斗回合的到来。假设军队数量在时间t内是连续的。斯巴达军队士兵数S(t)及底比斯军队士兵数T(t)的变化率可以表示为：
其中，N指的是在某一时间双方各自的交战人数。我们已知克莱奥姆波洛图斯国王的方阵是由希腊重步兵组成的标准12排方阵，那么第一排就有人。同时，克莱奥姆波洛图斯国王认为底比斯军队为了避免侧翼被包抄，会采用同是每排800人的9排的方阵来迎击自己的军队。古希腊时期战斗的一个典型特点是伤亡相对较低，我们可以假设如果任意一方士兵数不足以维持6排阵列（即T＜4800或S＜4800），士兵就会产生恐慌情绪进而逃窜。
K_T和K_S分别表示两只军队的战斗力。如果K_T=1 (K_T表示K的下标是T，下文相应情况类似)，意味着单位时间内，每一位在战斗的底比斯士兵都杀死了一名斯巴达士兵；如果K_T=0，表明没有底比斯士兵杀死斯巴达人。兰切斯特杀伤率（Lanchester attrition rates ，即K_T和K_S）不一定要为常数：它们可以是与时间有关的（战斗进行过程中士兵会变疲劳），或是依赖于S和T的数值（以寡敌众会扼杀士兵的希望，或是使它们更加拼命战斗）。不过，为了简单起见，我们认为这两个参数是常数。
那么问题来了：战斗中底比斯人的表现要比对手斯巴达人好出多少才能保证自己取得胜利？
我们建立的耦合系统非常容易求解，用（1）式除以（2）式，得到
对上式积分，并将S与T的初值带入，得到
请注意，上述方程体现了军队中士兵数和他们总的战斗力是呈线性关系的（即著名的兰彻斯特线性律）。这是因为我们采用了一对一的战斗模型假设。底比斯要取得胜利，换言之在某一时间t^*(t^*表示t的下标是*，下文相应情况类似),S(t^*)=4800且T(t^*)＞4800，将S(t)=4800带入方程（4），并重新写出T的表达式，代入T(t)&4800，可以得到底比斯取得胜利的条件为
将这些信息呈给克莱奥姆波洛图斯国王，你除了看到他的自信之外并不能提供什么帮助：斯巴达人是当时最勇猛的战士，尽管他的盟军并不是这种最高质量的军队，那也没有理由认为他们会比底比斯的彼奥提亚联合军&弱&两倍。（译者注：这里的弱两倍指K_S/K_T＜0.5，也就是K_T/K_S＞2）
远程的战斗：瞄准火力和兰彻斯特平方律
尽管希腊战场主要是重步兵的舞台，双方军队还是会拥有一些轻装部队（通常来说是非希腊籍的雇佣兵），他们被称为轻装步兵，（peltasts，此文文中可理解为远程步兵）。他们携带标枪和投石索，在战斗中向敌人投掷射击。轻步兵主要用于袭扰敌人两翼，除了几个非常特殊的战例之外，他们对战局不起决定作用。同样，我们让斯巴达的500名轻步兵与底比斯1000名轻步兵交锋，看看会发生什么。
在这种场合下，我们用到的模型是兰切斯特瞄准火力模型。斯巴达轻步兵P(t)及底比斯轻步兵Q(t)的变化率可以表示为：
这是因为标枪手间的战斗不再是一对一了。相反地，所有士兵可以在同一时间向敌人射击。（译者注：这里的&一对一&不是强调是否是两个人的单打独斗，而是指同一时间能够向敌人攻击的人数，在前面（1）、（2）方程的耦合系统中，某一时刻在进攻敌人的人数为定值N，（5）、（6）方程中这个值是此时刻尚存的人数。这也就是线性律和平方律的本质区别所在。）因此，P的死亡率等于向他们射击的Q的数值乘以一个系数&。同样，这里的变量&_Q不一定为常数，通常来讲在非瞄准射击的情况下，它是与P（即Q可以攻击的目标数）成正比的。简单起见，我们依然认为这两个参数为常数。
将（5）式除以（6）式，得到
通过分离变量法解微分方程，并带入初始条件，得到
人数与总战斗力由线性关系变成了平方关系，这就是著名的兰彻斯特平方律。从这个等式中我们可以看出，数量要比质量更重要。比敌方人数少一半的斯巴达轻步兵的战斗效率要达到敌方的四倍(&_P/&_Q＞4)才能与其打成平手。这些等式是在1916年第一次世界大战时推导出的，或许可以解释当时的人们对军事的一些想法。
部队：这是战斗中的一个传统，因为士兵的左手绑着盾牌，前进中他们会有向右偏移的趋势，将精锐部队放在右翼可以遏制这种趋势。埃帕米侬达将自己的精锐部队放在左翼，这样以来他可以尽快消灭斯巴达军队的精锐，以免拖到后期己方在人数上的劣势会成为大问题。
吃完早餐并享用了一点葡萄酒之后，克莱奥姆波洛图斯国王和他的军队来到了留克特拉的开阔平地。国王和他最勇猛的战士位于右翼。可以看到远处的底比斯人正在缓缓接近，扬起一阵尘土。遭遇战首先在两军的轻步兵之间展开，此时两军的重步兵间还有一段距离。随着底比斯军队的靠近，克莱奥姆波洛图斯国王发现不对劲：底比斯人不按套路出牌，在斯巴达军队的右翼方向聚集了一个50排的队列。这50排队列冲到了克莱奥姆波洛图斯国王所在的位置。开始并没什么作用：残酷的战斗是在前排进行的，正如兰彻斯特线性律，双方都死伤惨重。然而随着战斗的进行，很显然50人纵深的底比斯军队不可能被仅仅12排的斯巴达人打败。目睹了斯巴达精锐部队一点点消亡并最终溃散，斯巴达的友军也开始效仿，竞相逃离战场，尽管在此时他们面对的敌人数还是比己方少的。和很多斯巴达士兵一样，克莱奥姆波洛图斯国王也被杀死了，斯巴达在希腊的统治地位画上了一个血腥的句号。
对模型的一点说明
兰彻斯特方程是人口种群建模中非常简单的一个例子，在对很多其他&捕食者-猎物相互作用系统（其中最经典的要算是狐狸和兔子）&的建模中也有类似的方程。当然完全不必局限于两个&物种&，&物种&也不一定非要为有生命的有机体。
这些方程看上去太简单了，以至于他们并不能真正反映战争的形态。其中最突出的弱点就是兰彻斯特杀伤率。把一支军队的能力简化为一个不依赖于时间和空间的常数，这个假设真的很难被人认可。况且，该模型还要求两方军队都是同类的（也就是说所有部队在计算中都要被认为是一致的）。同时，这也反映了埃帕米侬达的精明之处：他并不把敌人简单地看作清一色的9600名重步兵，而是看作一小队斯巴达人加上一大堆没什么大用的盟友。依靠&擒贼先擒王&的策略，埃帕米侬达在军队人数上的劣势就不是什么问题了。正如J-K Anderson所说：&战场上双方军队中相当大的一部分和观众没什么区别&。
尽管这个模型有着缺陷，但是平方律揭示了瞄准火力模型比一对一模型更加有趣的特性。在瞄准火力的攻击情况下，将人数较多的军队分为两部分，让人数较少的军队逐次和这两部分军队交战，那么人数较少的军队也会取得胜利。这种战术会在线性律的模型下失效：如果斯巴达的盟友并未逃离战场，那么历史可能会被重新书写！
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时间: March 18, 2018
原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。
翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，math001。
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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。
这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。
这里是 数学上下三万年（三）：大航海时代
本期发布的编年史主要涵盖15世纪到17世纪，这在欧洲是大航海时代。航海和交易的需求，促进了数学的发展。而中国在同时期处于明朝，民间开始禁止研究天文学，另外到了明朝中后期，开始流行经世之学。
本期出场人物有：哥白尼、卡尔达诺、韦达、开普勒、伽利略、纳皮尔、费马、笛卡尔等。
本系列下面是往期内容：
许凯（Chuquet）撰写了《算术三编》(Triparty en la science des nombres)，这是最早的法文代数书。
普尔巴赫（Peurbach）发表《行星的新理论》（Theoricae Novae Planetarum）。他使用托勒密的行星本轮理论，但他相信它们是由太阳控制。
约翰&缪勒（Regiomontanus）发表了他的《星历表》（Ephemeris），为1475年至1506年的天文表，并提出了利用月球计算经度的方法。
约翰&缪勒发表了《论平面与球面三角形》（De triangulis planis et sphaericis），该书研究球面三角学并将它应用到天文学。
坎帕努斯（Campanus of Novara）版本的《几何原本》成为第一本印刷的数学书。
魏德曼（Widman）撰写了德语的算术书，其中首次出现了&+&、&-&号。
卢卡&帕西奥利（Pacioli）出版了《算术、几何、比例总论》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita），是对整个数学的总结，覆盖了算术，三角，代数，货币和度量衡表，赌博，复式记账法和欧氏几何概述。
范德&赫克( Vander Hoecke )使用&+&，&-&号。
希皮奥内&德尔&费罗（Del Ferro）发现求解一元三次方程的公式。
滕斯托尔（Tunstall）出版了《论计算的艺术》（De arte supputandi libri quattuor），这本算术书基于帕西奥利的《算术、几何、比例总论》。
鲁道夫（Rudolff）在他的书《物术》(Die Coss)中引入了一个类似&的符号表示平方根，这是第一本德语代数书。他理解x的零次方等于1。
丢勒（D&rer）出版了《度量四书》（Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit），这是第一本用德语出版的数学书。它是关于几何结构的著作。
弗里修斯（Frisius）发表了使用三角学进行精确勘测的方法。他是第一个提出三角测量法的人。
1535年，塔尔塔利亚（Tartaglia）独立于费罗解出了一元三次方程。
雷吉乌斯(Hudalrichus Regius)找到第五个完全数。这个数2^12&(2^13 - 1) = 是自古代（已发现四个完全数）以来被发现的第一个完全数。
费拉里（Ferrari）发现了一元四次方程求根公式。
1541年，雷蒂库斯（Rheticus）出版了他的三角函数表和哥白尼工作的三角学部分。
1543年，哥白尼（Copernicus）出版了《天体运行论》（De revolutionibus orbium coelestium）。它给出了哥白尼学说的一个完全阐述，即太阳（不是地球）位于宇宙的中心。
施蒂费尔（Stifel）出版《整数算术》（Arithmetica integra），其中包含了二项式系数和记号+, -, &。
卡尔达诺（Cardan）出版了《Ars Magna》（大术），给出三次方程一般解法的公式（基于塔尔塔利亚的工作）和费拉里发现的四次方程一般解法的公式。
里斯（Ries）出版了他的著名算术书《运算的变革和突破》（Rechenung nach der lenge, auff den Linihen vnd Feder）。它同时使用老的算盘方法和新的印度方法教授算术。
雷科德（Recorde）翻译和简化古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，名为《知识之途》(Pathewaie to Knowledge)。
沙博(J Scheybl)给出了第六个完全数2^16&(2^17 - 1) = ，但他的工作直到1977年才为人所知。
雷科德出版了《砺智石》（The Whetstone of Witte），它将=（等号）引入了数学。他使用这个符号&因为没有其它东西比之更相等的了&（bicause noe 2 thynges can be moare equalle）。
卡尔达诺撰写了关于赌博的书《论掷骰子》（Liber de Ludo Aleae），但直到1663年才出版。
韦达（Viete）开始出版《数学法则》（Canon Mathematicus），他打算把它作为他的天文学论著的数学导引。它涵盖了三角学，包含三角函数表及其构造背后的理论。
邦贝利（Bombelli）出版了他的《代数学》的前三部分。它是第一个给出复数计算法则的人。
莫罗利科(Maurolico)出版了《算数》(Arithmeticorum libri duo)，其中包含了归纳证明的例子。
斯蒂文（Stevin）出版了《论十进》（De Thiende），书中他对十进制小数给出了初等的和彻底的阐述。
斯蒂文出版了《静力学原理》(De Beghinselen der Weeghconst)，书中包含了力的三角形定理。
1590年，卡达迪（Cataldi）使用连分数来寻找平方根。
1591年，韦达撰写了《分析艺术导论》（In artem analyticam isagoge），使用字母作为已知量和未知数的符号。他用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知量。笛卡尔后来引入了字母表末尾的字母x，y ...表示未知数。
阿德里安&范&罗门（Van Roomen）计算&到16位小数。
皮蒂斯克斯（Pitiscus）成为第一个在印刷出版物中使用术语&三角学&的人。
克拉乌（Clavius）撰写《罗马新历之辩》(Novi calendarii romani apologia)为历法改革辩护。
卡达迪（Cataldi）找到第六个和第七个完全数：2^16&(2^17 - 1) = 和 2^18&(2^19 - 1) = 。
意大利猞猁之眼国家科学院（Accademia dei Lincei）在罗马建立。
斯涅尔（Snell）首先尝试测量地球表面上的1度子午线弧度，从而确定地球的大小。他出版《数学备忘录》（Hypomnemata mathematica），这是斯蒂文在力学方面的工作的拉丁文翻译。
开普勒（Kepler）出版《新天文学》（Astronomia nova）。这项工作包含开普勒关于椭圆轨道的第一和第二定律，但只对火星进行了验证。
伽利略（Galileo）出版了《星际信使》（Sidereus Nuncius），描述了用他制作的望远镜做出的天文发现。哈里奥特（Harriot）也观察到木星的卫星，但没有发表他的工作。
巴协（Bachet）出版了关于数学谜题和技巧的著作，这将成为几乎所有后来有关数学娱乐的书籍的基础。他设计了一种构建幻方的方法。
卡达迪(Cataldi)出版了《关于求数的平方根的简易算法》（Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri），其中他用连分数求平方根。
约翰&纳皮尔（Napier）出版了他的关于对数的著作《奇妙的对数规律的描述》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio）。
开普勒出版了《求酒桶体积之新法》（Nova stereometria doliorum vinarorum），考察酒桶的容积，表面积和圆锥曲线。他在1613年他的婚典上首次产生这个想法。他的方法是微积分的早期应用。
梅森（Mersenne）鼓励数学家们研究旋轮线。
斯涅尔发表了他的三角测量技术，提高了制图测量的准确性。
布里格斯（Briggs）出版了《自然数从1到1000的对数》（Logarithmorum chilias prima），其中引入了以10为底的对数。
纳皮尔发明了&纳皮尔骨算筹&，这是一个由一些小棒组成的机械计算器。他在《算筹的研究》（Rabdologiae）解释了它们的功能，该书在他去世那年出版。
比尔吉（B&rgi）出版了《算术与几何进展一览表》（Arithmetische und geometrische progress-tabulen），其中包含了他独立于纳皮尔发现的对数。
甘特（Gunter）制作了一种机械装置：&甘特式计算尺&，它使用一把尺和一个圆规，基于对数来做乘法。
古尔丁（Guldin）给出古尔丁质心定理，该定理是帕普斯(Pappus)已经知道的。
巴协（Bachet）翻译出版了丢番图的希腊文著作《算术》的拉丁文译本。
施卡德（Schickard）制作了一个&机械钟&，这是一个木制计算器，能做加减法和辅助计算乘除法。他写信给开普勒建议使用机械方式来计算星历表。
布里格斯出版了《对数的算术》（Arithmetica logarithmica），其中引入了术语&尾数&和&特征&。他给出了自然数1到20000以及9的对数，计算到14位小数，同时也给出了15位小数的正弦函数表和10位小数的正切及正割函数表。
吉拉德（Albert Girard）出版了一本三角学论著，其中首次使用了缩写sin，cos，tan。他也给出了球面三角形的面积公式。
费马（Fermat）从事极大值和极小值的工作，这是对微积分的早期贡献。
奥特雷德（Oughtred）发明了一种早期形式的圆形计算尺，它使用两个甘特计算尺。
麦多赫（Mydorge）从事光学和几何学工作。他给出了巴黎的纬度的非常精确的测量。
哈里奥特（Harriot）的贡献直到他去世十年之后才发表在《分析艺术的实践》（Artis analyticae praxis）。这本书引入了符号&和&表示&大于&和&小于&，但这些符号是由于编辑的工作而不是哈里奥特自己。他在代数方面的工作也非常令人印象深刻，但这本书的编辑没有很好地表现出来。
奥特雷德（Oughtred）出版了《数学精义》（Clavis Mathematicae），其中包括印度-阿拉伯语记号和十进制小数的描述。它有相当大的一部分是关于代数的。
罗贝瓦尔（Roberval）找出了旋轮线下的面积。
笛卡尔（Descartes）发现了多面体欧拉定理：V-E+F=2。
卡瓦列里（Cavalieri）在他的《连续不可分割的新几何学》（Geometria indivisibilis continuorum nova）发表了他对阿基米德穷举法的发展。该方法结合开普勒无限小几何量的理论。
费马发现了亲和数对 1。这个数对已为800年前的塔比&伊本&夸儿拉所知。
笛卡尔出版了《几何》（La G&om&trie），其中描述了代数在几何中的应用。
笛沙格（Desargues）开始了射影几何的研究。射影几何考虑了当形状被投影到一个不平行的平面上时会发生什么变化。他在《关于圆锥的平面截面结果的论文草稿》（Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du Cone avec un Plan）描述了他的想法。
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时间: March 14, 2018
作者，Math001
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霍金去世的消息迅速传遍了互联网。所有的媒体&&无论是主流的媒体，还是非主流的媒体&&都发布这条消息。
一位科学家，他的影响力不仅仅局限在他所在的学术领域之内，他的名字在所有世俗领域都有所知晓，这简直太难得了。有人说，霍金之所以有如此影响力，除了他的学术成果外，他的畅销科普著作以及本来身残志坚的传奇故事也为其加分不少。还有一些人认为，霍金在世俗文化中的&亲民&表现，也让每一个人记住了他。
是的，霍金自己参演电影、电视剧；自己亲自用他的电子音唱歌。他为世界杯计算夺冠公式，他劝人类逃离地球。很多时候，人们提到霍金的时候，我感受到的不是大家在谈论一个理论科学家，而是在谈论一位实力网红。
因为霍金教授的去世，他的很多以前的&八卦&被扒了出来。包括他的学术成果、影视作品和音乐。然而，今天我要向大家讲述的一个数字，就和他的这些工作和爱好有关。这个排名关联了数学、影视、音乐，而且是一个量化标准，最后得到的这个数字，多多少少能够标定，这位伟大的物理学家、宇宙学家、数学家离我们的生活有多近。
我们哆嗒数学网作为一个数学公众号，还是先从数学说起。
1、 数学： 埃尔德什数（Erdos number）
埃尔德什是一位伟大的数学家。他是最高产的数学研究者，一生中大约有1500篇论文。他的很多论文都是和其他人合作完成的，和他合作过的论文作者由511名学术人，其中绝大部分是数学家。有人就想，埃尔德什的合作者有如此之多，是不是所有数学家都会直接或者间接与埃尔德什产生联系，于是埃尔德什数诞生了。
埃尔德什数是这样定义的，埃尔德什本人的埃尔德什数是0。如果有人和埃尔德什合作发表了文章，那么这个合作者的埃尔德什数就是1（那511位）。如果一个人和埃尔德什的合作者合写论文，那么这个人的埃尔德什数就是就是2，以此类推。一个人和一个拥有埃尔德什数n的人合作，将得到n+1的埃尔德什数。
虽然埃尔德什数只是一个游戏性质的东西，但拥有比较低埃尔德什数在数学界是一件很有面子的事情。同时，由于很多合作者不是数学家，一些数学外的领域的研究人员也有埃尔德什数。比如，陶哲轩的埃尔德什数是3,爱因斯坦的埃尔德什数是2。
霍金的埃尔德什数是4，他通过如下序列得到。
埃尔德什与Vance Faber合写《Sets of natural numbers of positive density and cylindric set algebras of dimension 2》，后者得到埃尔德什数1。
Vance Faber与Emanuel Knill合写《Minimal residual method stronger than polynomial preconditioning》，后者得到埃尔德什数2。
Emanuel Knill与Raymond Laflamme合写《Compiling gate networks on an Ising quantum computer》，后者得到埃尔德什数3.
Raymond Laflamme与霍金合写《Origin of time asymmetry》，于是霍金得到埃尔德什数4。
影视：贝肯数(Bacon number)
凯文&贝肯一个美国的影视演员，不算最红的巨星，但绝对是二线演员中的常青树，经常参演一些别人的作品。他在一次采访中不断谈起某某好莱坞著名演员和我合作过，某某演员和我的某个合作对象合作过。于是，有人第二天发了一个帖子，标题叫《凯文&贝肯是宇宙的中心》。此文发出，居然成为大热帖，回帖的人纷纷自述或者爆料和贝肯直接或者间接的关系，于是贝肯数产生了。
贝肯数的游戏规则和前面提到的埃尔德什数几乎是一个模式，贝肯本人的贝肯数是0，如果一个人和贝肯合作过，那么这个人的贝肯数就是1。如果一个人和贝肯的合作者数合作过那么这个人的贝肯数就是2，以此类推。不过，合作方式可以很多样，可以是参演、编剧、导演、配音、特效等等，只要你和某个拥有贝肯数的人出现在同一份演职员名单表里面，你就会拥有一个相应的贝肯数。
后来，大家发现，娱乐圈玩贝肯数玩嗨了，很多人发现一些著名演员也是拥有很低的贝肯数，于是拥有比较低的贝肯数成为娱乐圈内比较有面子的事情。比如《泰坦尼克号》男主演莱昂纳多的贝肯数是2，中国著名影星汪峰的老婆章子怡的贝肯数也是2。另外，一些非娱乐圈人士也有贝肯数，美国前总统奥巴马和比如苹果公司的前老大乔布斯的贝肯数都是2。
霍金曾在微博中发表过这样的言论：我不仅是研究时间和空间的物理学家，我还是演员霍金。的确，霍金本人亲自出现在影视中并不罕见。
1987年的《星际迷航：下一代》中，霍金在其中扮演霍金他本人。与牛顿和爱因斯坦同桌打牌，谈笑风生。
另外，著名美剧《生活大爆炸》中，他也和&谢耳朵&演过对手戏。
而让霍金得到最低贝肯数的作品是2006年的《科幻大师》，他甚至是主演。
霍金的贝肯数是2.得到的序列如下：
贝肯和西恩&奥斯汀合作出演了《知已同心》，后者得到贝肯数1。
西恩&奥斯汀和霍金合作出演了《科幻大师》，于是霍金得到贝肯数2.
音乐： 安息日数（Sabbath number）
黑色安息日(Black Sabbath)是一支英国重金属风格的摇滚乐队，是历史上最有影响力的重金属乐队之一。《时代》杂志称他的《偏执狂》是&重金属音乐的起源&，将该专辑列入它们的&历来最伟大的一百张专辑&。成立于1968年，到2017年依旧在出专辑，并在当年进行了最后一场演出。时间跨度很长，所以其中的组成人员不断变化，到今天，只有吉他手东尼&艾欧密一直保持不变。主唱换过8个、鼓手换过9个、贝斯手换过7个。有如此高水平，又长时间和高频率的人员变动，进进出出之间，导致音乐界直接和间接与之有联系的人很多。
安息日数的生成规则和前面的模式一模一样，我们不再赘述了。只是和前面不一样的是，这里安息日数是0的人有很多，只要是当过乐队成员的人就会是0.
霍金喜欢音乐，尤其偏爱瓦格纳的音乐。他曾经说：&瓦格纳比任何人都强！&&&是不是有点瓦格纳铁粉的味道？
另外，他还亲自用他的电子音唱过歌，其中大家比较熟知就是和巨蟒组合（Monty Python）合作的MV唱的是《Galaxy Song》。
让霍金得到安息日数的作品是和平克&弗洛伊德(Pink Floyd)摇滚乐队合作的曲目《Keep Talking》，这个曲目收录在专辑《The Division Bell》里。（qq音乐链接 ）
霍金在这首歌里，用电子音这样唱到：
For millions of years mankind lived just like the animals，
人类像动物一样活着已经过了数百万年
Then something happenend which unleashed the power of our imagination...&
现在该发生点什么了 是时候释放我们想象的力量了
霍金的安息日数是2，得到的序列如下：
东尼&艾欧密和大卫&吉尔摩合同在Rock Aid Armenia乐队时发行了《Smoke On The Water》，后者因为前者加入黑色安息日乐队而得到安息日数1。
大卫&吉尔摩与霍金合作了平克&弗洛伊德乐队的曲目《Keep Talking》，后者得到安息日数为2。
EBS数(Erdos-Bacon-Sabbath number , 埃尔德什-贝肯-安息日数)
于是人们把前面三者加起来，得到一个新的数，叫做EBS数，这个数当然是越小越好。于是霍金的EBS数就是4 + 2 + 2 = 8有专门的网页http://erdosbaconsabbath.wikia.com 来供大家查阅各个名人的EBS数。排名第一正是霍金（一说是并列第一）。
于是，也许大家心中正真怀念的不仅仅是物理学家、科学家的霍金。也许还在怀念演员霍金，歌手霍金&&&&
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时间: March 7, 2018
原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。
翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，math001。
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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。
这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。
这里是 数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪
本期出场人物有：托勒密、丢番图、希帕提娅、花拉子米、斐波那契等。
本期中国人出场也不少，他们是：刘歆、刘徽、祖冲之、李淳风、沈括、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰
本系列下面是往期内容：
中国数学家刘歆使用十进制分数。
约公元20年
吉米纽斯（Geminus）撰写了很多天文学著作和《数学理论》（The Theory of Mathematics）。他试图证明平行公设。
约公元60年
海伦（Heron）撰写了《量度论》（Metrica）。书中包含了计算面积和体积的公式。
约公元90年
尼科马库斯（Nicomachus）撰写了《算术入门》（Arithmetike eisagoge），这部著作首次将算术作为一个单独的主题从几何中分离出来。
梅涅劳斯（Menelaus）撰写了《球面学》（Sphaerica），书中研究了球面三角形和它们在天文学的应用。
托勒密（Ptolemy）在天文学应用中产生了许多重要的几何成果。他的天文学理论在往后一千多年里被人认可。
中美洲的玛雅文明使用一种20进制的近似位值数字系统。
丢番图（Diophantus）撰写了《算术》（Arithmetica），是方程关于有理数解的数论研究。
刘徽使用192边的正多边形算出&值为3.14159，精确到小数点后五位。
杨布里科斯（Iamblichus）记述占星术和神秘主义。他的《毕达哥拉斯的生平》（Life of Pythagoras）是一篇引人入胜的传记。
帕普斯（Pappus）撰写了《数学汇编》（Synagoge），该书是希腊几何学的指南。
亚历山大城的塞翁（Theon）写著了一个版本的欧几里德《几何原本》（文字有所修改和补充），之后此书几乎所有的后续版本都是基于此版本。
希帕提娅（Hypatia）对丢番图、阿波罗尼奥斯的作品做评注。她是第一位有记载的女数学家，她以非凡的学术成就而著名。她成为亚历山大里亚新柏拉图学派的领袖。
普罗克洛斯（Proclus），一位数学家和新柏拉图主义者，是雅典柏拉图学院最后的哲学家之一。
祖冲之给出&的近似值355/113，精确到小数点后六位。
499年，阿耶波多一世（Aryabhata I）计算&近似值3.1416。他写著了作品《阿里亚哈塔历书》（Aryabhatiya），是关于二次方程，&值和其他科学问题的专著。
米特罗多勒斯（Metrodorus）汇编了由46个数学问题组成的《希腊选集》（Greek Anthology）。
欧托基奥斯(Eutocius)完成阿基米德的工作的校订与注释。
波爱修斯（Boethius）撰写了几何与算术的著作，著作在很长一段时间内被广泛使用。
欧多修斯对阿基米德和阿波罗尼乌斯的作品做校订与注释。
数学家安提莫斯（Anthemius）重建位于君士坦丁堡的旧圣索非亚大教堂的。
中国数学被引入到日本。
伐罗诃密希罗（Varahamihira）撰写了《五大历数全书汇编》（Pancasiddhantika）。他对三角学做出了重要贡献。
印度开始使用十进制数字记号。现代数字记号系统就是基于它。
婆罗摩笈多（Brahmagupta）撰写了《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddanta），一本天文学和数学著作。他使用零以及负数，给出二次方程解法，级数求和，以及求平方根。
李淳风开始选编《算经十书》(亦称《十部算经》)。
玛雅文明的数学家们在他们的数字系统中引入一个符号表示零。
阿尔昆（Alcuin）撰写了关于算术，几何和天文学的初级教科书。
智慧宫在巴格达建立。在那里希腊及印度的数学和天文学著作被翻译成阿拉伯语。
花拉子米（Al-Khwarizmi）撰写了关于算术，代数，地理和天文学方面的重要著作。特别是《积分和方程计算法》（Hisab al-jabr w'al-muqabala，此书的翻译名称一直在学术界有争议），&代数&（algebra）一词出自&al-jabr&。&算法&（algorithm）出自花拉子米的拉丁文译名&Algoritmi&。
泰比特&伊本&奎拉（Thabit ibn Qurra）做出了重要数学发现，例如将数的概念扩展到（正）实数，微积分，球面三角学的定理，解析几何，非欧几何。
泰比特&伊本&奎拉撰写了《论亲和数的确定》（Book on the determination of amicable numbers），其中包含构造亲和数的一般方法。他那时已经知道1是一对亲和数。。
850年，摩诃毗罗（Mahavira）撰写了《计算精华》（Ganita Sara Samgraha）。它一共九章，包括9世纪中期印度的所有数学知识。
施里德哈勒（Sridhara）撰写了《Trisatika》（亦称《Patiganitasara》）和《Patiganita》（译者注：这两本没有查到标准翻译）。在这些著作中他求解二次方程，求级数和，研究组合数学，给出求多边形面积的方法。
阿布&卡米勒（Abu Kamil）撰写了《代数》（Book on algebra），研究将代数应用到几何问题。之后斐波那契的工作就是基于这本书。
920年，巴塔尼（Al-Battani）撰写了天文学主要著作《天文星表》（Kitab al-Zij），共57章。它包含了三角学的进步。
热贝尔（Gerbert，也就是后来的教皇西尔维斯特二世）将算盘重新引入欧洲。他使用没有零的印度/阿拉伯数字。
阿尔&乌格利迪西（Al-Uqlidisi）撰写了《论印度算术》（Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi），是幸存的最早的显示印度算术系统的书。
阿布&瓦法（Abu'l-Wafa）发明了象限仪台，用于精确测量天空中星星的偏角。他写了关于算术和几何结构的重要书籍。他引入了正切函数，并产生了改进的计算三角表的方法。
维希拉努斯抄本(Codex Vigilanus)在西班牙出现。它包含了欧洲出现十进制数字的第一个证据。
卡拉吉（Al-Karaji）在巴格达撰写了《哈法勒》(Al-Fakhri, 意为&荣誉&)，该书发展了代数学。他给出了帕斯卡三角形。
海什木（Ibn al-Haytham，西方人通常称为Alhazen）撰写了关于光学（包括光学理论和视觉理论）、天文学和数学（包括几何和数论）的作品。他给出了Alhazen问题：给定一个光源和一个球面镜，找到镜子上的点，使得光被反射到观察者的眼睛。
比鲁尼（Al-Biruni）撰写了许多科学专题。他的数学工作涵盖算术，级数求和，组合分析，三法则，无理数，比例理论，代数定义，代数方程解法，几何，阿基米德定理，三等分角及其他不能用尺规作图解决的问题，圆锥曲线，立体几何，球极平面投影，三角学，平面中的正弦定理，以及求解球面三角形。
伊本&西那（Ibn Sina，欧洲人常称其为Avicenna）撰写了哲学，医学，心理学，地质学，数学，天文学和逻辑学。他的重要数学著作《治疗论》(Kitab al-Shifa) 将数学分为四个主题：几何、天文学、算术和音乐。
艾哈迈德&纳萨维（Alhmad al-Nasawi）撰写了《印度计算》（al-Muqni'fi al-Hisab al-Hindi），研究了四种不同的数字系统。他解释了算术运算，特别是在每个系统中求平方根和立方根。
赫尔曼（Hermann of Reichenau，有时称为Hermann the Lame或Hermann Contractus）撰写了关于算盘和星盘的著作。他向欧洲引入了星盘：一个便携式的日晷和一个带游标的象限仪。
莪默&伽亚谟（Al-Khayyami，通常称为Omar Khayyam，金庸小说《倚天屠龙记》中小昭唱过他的诗句）撰写了《代数问题的论证》（Treatise on Demonstration of Problems of Algebra），其中包含了具有通过圆锥曲线相交找到几何解的三次方程的完整分类。他测量一年的长度为365.天，结果非常准确。
沈括撰写了《梦溪笔谈》，一本数学、天文学、制图学、光学和医学著作。它最早提到指南针。
贾比尔&阿拉夫（Jabir ibn Aflah）撰写了数学著作，尽管不像其他阿拉伯著作那么好，但由于它们将被翻译成拉丁文，而且可供欧洲数学家使用，因此是重要的。
婆什迦罗（Bhaskara II，有时称为Bhaskaracharya）撰写了有关算术和几何的《美丽》（Lilavati）和关于代数的《算术萌芽》（Bijaganita）。
阿德拉德（Adelard of Bath）从阿拉伯文献翻译了《几何原本》的两到三个译本。
杰拉德 (Gherard of Cremona )开始将阿拉伯文献（和阿拉伯文的希腊文献）翻译成拉丁文。
萨马瓦尔（Al-Samawal）撰写了《代数的辉煌》（al-Bahir fi'l-jabr），他用负幂和零的多项式来发展代数。他求解二次方程，求前n个自然数的平方和，并且考察组合问题。
通过杰拉德翻译的托勒密《天文学大成》（Almagest），阿拉伯数字传入欧洲。正弦函数&sine&出自这个译本。
中国开始使用代表零的符号。
斐波那契（Fibonacci）撰写了《算盘书》（Liber abaci），其中列出了他在阿拉伯国家学到的算术和代数。它还引入了现在称为&斐波那契数列&的著名数列。
斐波那契撰写了《平方数之书》（Liber quadratorum），这是他最令人印象深刻的作品。它是自从一千年前的丢番图的工作以来欧洲数论的第一大主要进步。
佐丹劳斯(Jordanus Nemorarius)撰写了天文学作品。在数学中他使用字母，这是早期形式的代数记号。
乔安尼斯（John of Holywood，有时称为Johannes de Sacrobosco）撰写了有关算术、天文学和历法改革的作品。
秦九韶撰写了《数书九章》。它包含同余方程组和中国剩余定理，它也考虑不定方程，霍纳方法，几何图形面积和线性方程组。
李冶撰写了《测圆海镜》，其中包含负数，通过在数字上加斜画来表示。
坎帕努斯（Campanus of Novara），教皇乌尔班四世的牧师，撰写了天文学作品，并发表了欧几里德《几何原本》的拉丁文版，成为之后200年的标准版本。
杨辉撰写了《乘除通变本末》。它使用十进制分数（以现代形式），并给出了帕斯卡三角形的第一个叙述。
朱世杰撰写了《四元玉鉴》，其中包含了最高14次的高次方程的多种解法。他还定义了现在所谓的帕斯卡三角形，并展示了如何对某些序列求和。
列维&本&吉尔森（Levi ben Gerson，有时称为Gersonides）撰写了《数之书》（Book of Numbers），研究算术运算、排列和组合。
托马斯&布拉德沃丁（Bradwardine）撰写了《论运动中速度的比例》(De proportionibus velocitatum in motibus)，这是使用代数学研究运动学的早期工作。
理查德（Richard of Wallingford）撰写了《论正弦四书》（Quadripartitum de sinibus demonstratis），这是第一部关于三角学的原创拉丁文著作。
数学在巴黎大学成为学士学位的必修科目。
列维&本&吉尔森（Gersonides）撰写了《论正弦、弦和弧》（De sinibus, chordis et arcubus），这是一本三角学著作，其中给出平面三角形正弦定理的证明和五个正弦表。
莫瑞斯（Jean de Meurs）撰写了《数之四书》（Quadripartitum numerorum），一本关于数学、力学和音乐的著作。
列维&本&吉尔森（Gersonides）撰写了《论数之和谐》（De harmonicis numeris），这是对欧几里德的前五本书的评注。
尼克尔&奥里斯姆（Nicole d'Oresme）撰写了《Latitudes of Forms》（形式的纬度），这是关于坐标系的早期作品，笛卡尔可能受其影响。奥里斯姆的另一作品中包含了分数指数的首次使用。
尼克尔&奥里斯姆发表了《天地通论》（Le Livre du ciel et du monde）。这是关于数学、力学和相关领域的论文汇编。奥里斯姆反对地球静止的理论。
马德哈瓦（Madhava of Sangamagramma）证明了若干无穷级数的结果，给出三角函数的泰勒展开。他利用这些结果得到&的近似值，精确到小数点后11位。
卡西（Al-Kashi）撰写了《天文科学概要》（Compendium of the Science of Astronomy）。
卡西撰写了《论圆周》（Treatise on the Circumference），以六十进制和十进制形式给出&的非常好的近似值。
卡西完成了《算术之钥》（The Key to Arithmetic），它是关于十进制分数的非常深度的工作，它将算术和代数方法应用于解决各种问题，包括几个几何问题，并且是整个中世纪文学时期最好的教科书之一。
阿尔伯蒂（Alberti）研究三维物体的表现，并撰写关于透视定律的第一部一般性论著《论绘画》（Della Pictura）。
乌鲁伯格（Ulugh Beg）出版他的《星表》（Zij-i Sultani）。它包含了一个精确到8位小数的三角函数表，基于乌鲁伯格计算1度的正弦值精确到16位小数。
尼古拉斯 (Nicholas of Cusa)研究几何和逻辑。他对无穷的研究做出了贡献，研究无穷大、无穷小。他将圆看作正多边形的极限。
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时间: March 5, 2018
原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。
翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。
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从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。
这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。
这里是 数学上下三万年（一）：爱在西元前
约公元前30000年
在今天的中欧和法国地区，旧石器时代的人们在骨头上记录数字。
约公元前25000年
早期的几何设计开始运用。
约公元前5000年
十进制数字系统在埃及使用。
约公元前4000年
古巴比伦和古埃及的历法开始使用。
约公元前3400年
首个表示数字的符号以及简单的直线在埃及使用。
约公元前3000年
算珠式计算工具(算盘)在中东和地中海地区出现。
约公元前3000年
象形文字的数字在埃及使用。
约公元前3000年
古巴比伦人开始使用六十进制来记录财务交易。这是一个没有零位值的位值系统。
约公元前2770年
古埃及太阳历开始使用。
约公元前2000年
哈拉帕人采用统一的十进制度量衡。
约公元前1950年
巴比伦人解出了一些特殊的二次方程。
约公元前1900年
莫斯科纸草书成书，也称戈列尼雪夫（Golenishev）纸草书。它提供了古埃及几何的历史细节。
约公元前1850年
古巴比伦人得出毕达哥拉斯定理（在中国称为勾股定理）。
约公元前1800年
古巴比伦人开始使用乘法表。
约公元前1750年
古巴比伦人解决了一些的特殊的线性方程和二次代数方程，编制了平方根表和立方根表。他们掌握毕达哥拉斯定理用法，并用利用数学来扩展天文学知识。
约公元前1700年
兰德（Rhind）纸草书成书，有时也称阿梅斯（Ahmes）纸草书。它表明古埃及数学已经发展了许多技巧来解决问题。乘法基于反复加倍，除法使用连续减半。
约公元前1400年
在这个时期中国开始使用无零的十进制数字系统。
约公元前800年
包德哈亚那（Baudhayana）是古印度最早的绳法经（Sulbasutras）之一的作者。
约公元前750年
马纳瓦（Manava）撰写了一部《绳法经》。
约公元前600年
阿帕斯檀跋（Apastamba）从数学的角度撰写了一部最受人关注的古印度《绳法经》。
公元前575年
泰勒斯（Thales）将巴比伦数学知识带到希腊。他用几何知识来解决问题，例如计算金字塔高度和船只离岸边的距离。
公元前530年
毕达哥拉斯（Pythagoras）移居意大利的克罗顿，并教授数学，几何学，音乐和转世说。
约公元前500年
古巴比伦六十进制数字系统被用于记录和预测太阳、月亮和行星的位置。
约公元前500年
波你尼（Panini）的关于梵语文法的工作是现代形式语言理论的先驱。
约公元前465年
希帕索斯（Hippasus）描述了一个&由12个五边形组成的球面&，这涉及到正十二面体。
约公元前450年
希腊人开始使用书面数字。
约公元前450年
芝诺（Zeno）提出著名的芝诺悖论。
约公元前440年
希波克拉底(Hippocrates) 撰写了《原本》（Elements），这是第一本关于几何原理的汇编。
约公元前430年
希庇亚斯（Hippias）发现了割圆曲线，被他用于三等分角和化圆为方问题。
约公元前425年
来自昔兰尼的西奥多罗斯（Theodorus）证明了某些平方根是无理数。这个结果已被前人证明。
约公元前400年
古巴比伦人使用一个符号来表示在楔形文字中记录的数字中的空白位。没有任何迹象表明这被认为是一个数字。
约公元前387年
柏拉图在雅典建立了柏拉图学园。
约公元前375年
来自他林敦的阿契塔（Archytas）发展了力学。他研究&古典问题&倍立方，并将数学应理论用于音乐。他也构建了第一台自动机。
约公元前360年
来自尼多斯的欧多克索斯（Eudoxus）发展了比例理论和穷举法。
约公元前340年
阿里斯泰俄斯（Aristaeus）撰写了《论圆锥曲线五书》（Five Books concerning Solid Loci ）。
约公元前330年
奥托里库斯 （Autolycus）撰写了《运行的天体》（On the Moving Sphere），这本书研究球面几何学。它是天文学著作。
约公元前320年
欧德谟斯（Eudemus）撰写了《几何史》（History of Geometry）。
约公元前300年
欧几里德在他的《几何原本》（Stoicheion即The Elements）中给出了几何的系统性发展。他在《反射光学》（Catoptrics）中给出了反射定律。
约公元前290年
阿里斯塔克斯（Aristarchus）使用几何方法来计算太阳和月亮到地球的距离。他也提出了地球绕太阳运动。
约公元前250年
在《论球和圆柱》（On the Sphere and the Cylinder）中，阿基米德（Archimedes）给出了计算球和圆柱体积的公式。在《圆的测量》（Measurement of the Circle）中，他使用允许提高近似精度的方法给出了&的近似值。在《论浮体》（Floating Bodies）中，他提出了现在所谓的&阿基米德原理&，并开始研究流体静力学。他写了有关二维与三维几何的著作，研究圆，球和螺线。他的想法远远领先于他的同时代人，包括一种早期形式的积分的应用。
约公元前235年
埃拉托色尼（Eratosthenes）以非常高的精度估算地球周长，估算值比实际值大了15%。
约公元前230年
尼科梅德斯（Nicomedes）撰写了专著《论蚌线》（On conchoids lines），书中包含了他发现的被称为&尼科梅德斯蚌线&的曲线。
约公元前230年
埃拉托色尼发明了埃拉托色尼筛法用于寻找所有素数。
约公元前225年
阿波罗尼奥斯（Apollonius）撰写了《圆锥曲线论》（Conics），书中引入了术语&抛物线&，&椭圆&和&双曲线&。
约公元前200年
戴可利斯（Diocles）撰写了《论燃烧镜》（On burning mirrors），收集了16个几何命题，大部分是关于圆锥曲线的证明。
约公元前200年
中国古典数学著作《九章算术》最早可能出现在这一时期。
约公元前180年
可能是中国最早的数学著作的《算术书》出现在这一时期。
约公元前150年
许普西克勒斯（Hypsicles）撰写了《论星的升起》（On the Ascension of Stars）。书中他首次将黄道划分为360度。
约公元前127年
喜帕恰斯（Hipparchus）发现分点岁差，并计算年份的长度精确到正确值的6.5分钟内。他的天文学工作使用了早期形式的三角学。
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时间: March 1, 2018
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Hello，各位哆嗒粉丝们，今天是元宵节，大家除了吃汤圆应该还会在不同地方参与一些猜谜活动吧。我们哆嗒数学网的小编也为大家奉上20个谜语，祝大家节日愉快！&&所有的谜底都和数学有关！
旧时风光雨中新 （猜一数学家）
梦醒时分就踏春 （猜一数学家）
奔跑吧，爸爸的爸爸！ （猜一数学家）
一座钟 （猜一数学家）
斗牛牛 （猜一数学名词）
上是一，下是一，中间也是一，就是不是一（猜一数字）
旭日东升 （猜一数字）
扶贫成功 （猜一数字）
谈谈小事 （猜一数学名词）
订立协议 （猜一数学名词）
聚散总无常 （猜一数学名词）
比干的惆怅 （猜一数学名词）
再见了亲爱的妈妈（猜一数学名词）
上帝的抱负 （猜一数学名词）
一样的种子 （猜一数学名词）
失控的风筝 （猜一数学名词）
垂钓 （猜一数学名词）
婚姻法 （猜一数学名词）
止战 （猜一数学名词）
真的十八斤 （猜一数学名词）
我真心希望答案在评论区由各位参与公布。
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时间: February 25, 2018
原文来源，牛津大学网站。
翻译作者，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，小米。
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牛津数学家田中佑二(Yuuji Tanaka)描述了他在我们对规范场论的理解的推进上所做的工作：
&规范场论产生自物理，作为一个统一理论，它的出现在杨-米尔斯规范场理论（Yang-Mills gauge theory）和希格斯机制（Higgs mechanism，给物质和作用力关联质量的理论）框架下统一了弱作用（出现在&衰变中）和电磁作用。规范场论在维特曼(Veltman)和特霍夫特(&t Hooft)关于可重整化性质的伟大发现后，成为了粒子物理的主流之一，并给出了实验结果的精确描述。如今所有的基本作用（电磁作用，弱作用，强作用和引力）都可以用规范场论来描述。
这些发展无疑刺激了规范场论的数学研究，尤其是在主丛和向量丛的领域。在这一理论中，联络的曲率对应着规范场的场强。80年代早期，唐纳森(Donaldson)考察了一种特殊的杨-米尔斯规范场（称为自对偶或反自对偶联络）方程的解构成的模空间，并惊人地获得了一种利用模空间或者通过模空间给光滑结构赋予不变量的方法，来区分同胚的四维弯曲空间的不同微分结构。
在唐纳森的工作之后，威腾(Witten)十分巧妙将它地翻译成为特定量子场论的语言。接着阿蒂亚(Atiyah)和杰弗里(Jeffrey)又用数学语言通过马塞-奎伦形式(Mathai-Quillen formalism)重写了威腾的工作。在1994年左右，利用电磁对应的推广（一种电磁理论中隐藏的对称性），这些观点的转变成为了发现赛贝格-威腾方程（Seiberg-Witten equation）与不变量的基石。赛贝格（Seiberg）和威腾(Witten)提出了这项成果在量子级别超杨-米尔斯理论中一个引人注目的应用，即强弱对偶；它使得人们在计算中可以用弱耦合的项来计算强耦合的项）。
瓦法(Vafa)和威腾在更加对称的模型中分析了赛贝格和威腾的工作，并猜测这种情形下不变量的配分函数具有模性质，这是之前提到过的强弱对偶的在数学上的加强。模性质原本是在19世纪椭圆曲线理论中发现的。他们在希格斯场(Higgs fields)退化的假设下用数学的结果在一些例子中检验了该性质。
然而，对于这些理论，尤其包括希格斯场在内，在过去的20年中哪怕一个严格的数学定义也没有被给出。理查德&托马斯(Richard Thomas)和我最近使用了现代代数几何的语言定义了射影曲面的形变不变量；它源自瓦法和威腾理论中规范场论方程解的模空间。我们接着也计算了非退化希格斯场条件下不变量的配分函数。令人惊奇的是，我们的计算结果与瓦法和威腾远在20年之前的猜想完全一致。除此之外，我们的结果也涵盖了曲面上的层。&
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时间: February 18, 2018
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不得不说，数学从来没有像这样，被所有国家政府如此重视过&&
不久前，法国著名的&议员数学家&，2010年菲尔兹奖得主维拉尼，法国教育部督查局总监托罗萨安，以及法国教育部部长布兰克共同发布一份报告，研究如何改进法国的数学教学。并且提出21条建议，提振法国中小学数学教育，以改变当前法国&灾难般&的现状。
据报道，这份报告推荐的改进方案的主要学习对象是新加坡。这个亚洲的城市国家在过去20多年间，数学基础教育水平突飞猛进，成为世界最好的国家之一。而上世纪90年代左右，新加坡的学生数学水平几乎垫底。
&新加坡模式&要做的不仅仅是改变老师给中小学生教授数学的方式，同时还试图让老师他们自己在接受基础教育的时候，能更好的接受数学教育。这回的21条建议，也主要针对提高老师水平方面。
发布报告时作者们强调，这21条并不是一个&奇迹药&，而是一个在其他国家实行多年的一个有效成熟的方案。报告作者们说，在新加坡早期的小学教育中，强调动手操作和实验，然后语言表达，而在这些之后才会进入抽象阶段诸如公式、数、符号的学习。期间还会加入语言和绘画方面的教学内容。
除了提升教师数学水平和课程修改方面的建议。报告人也说，关于这套方案的配套措施也在方案中，比如为学习添加硬件设备和虚拟设备，加入数学相关游戏、竞赛以及课外活动提升学生的数学兴趣，已经采取措施落实在数学学习中男女平等。
法国是从近代起就是数学强国，但是数学精英与普通民众差距甚大。顶端的精英阶层出类拔萃，他们在高水平高中预科班学习，之后进入著名高校。但绝大多数的学生却在师资质量一般，教学水平低下的学校就读。由于高智商的数学天才努力向上流动，进入科研、金融等领域，不愿做中小学教师，结果导致中小学大部分数学教师不得不降低标准录用，由此影响了基础阶段的数学教学。
此次报告发布会的情况，见此链接http://www.education.gouv.fr/cid-mesures-pour-l-enseignement-des-mathematiques.html （法语）
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时间: February 9, 2018
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原文作者，Evelyn Lamb，数学普及作家。
翻译作者，Bibliomania，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，donkeycn。
当我走进圣艾夫斯,
我见到一个平面有七条线,
每条线有三个点,
(但是一共也只有七个点,)
这首诗并不能很好地描述法诺平面（Fano plane）。
以吾之愚见，法诺平面是最小的有趣的空间。这也许能被扯皮归纳地证伪，但是一个点，或者一些孤立点，并不是有趣的例子。
Fano平面有七个分布在七条线上的点。它是射影平面最小可行的例子。
你有没有想过凭什么平面上有些线相交，有些却没有？多么随意啊！不过射影平面就可以把你从这个烦人的问题中拯救出来了，它满足任意两条线都相交。
一个射影平面需要满足下面一些条件。
*每两&点&都有一条&线&连接。
*每条&线&都和其他任何一条&线&相交。
*存在四个点，使得没有一条线过其中两个以上的点。(这个条件并不总是列出来，但是它排除了一些平凡情况，比如说一条线上的两个点或者过一点的几条线。)
有时候数学是靠内心的直觉的，比方说你思考射影几何的时候。(公平来讲，有时候射影几何看起来非常直观，毕竟它的一大应用就是在透视画法上。)你可以把欧几里得平面变成射影平面，通过给每个方向的平行线们添加一个它们所相交的&无穷远&点。所以说有水平方向的无穷远点，有垂直方向的无穷远点，有与水平方向成逆时针47.322度角方向的无穷远点等等。接下来你再让这些无穷远点组成无穷远线。如果你好好想一会，就能明白这样是满足射影平面的要求的。
如果考虑无穷远线上的无数的点让你感到头晕目眩，那法诺平面就是一个更轻松的替代品。它可以简单地看清楚线和点是怎么相交和交互的。
法诺平面是个挑战直觉的东西。当你看到它的图式时，你便会理所当然地认为它有无穷多的点。毕竟它有七条线，我们也都知道，再短的线段，上面也有无穷多的点。
噢不，数学是独裁体系，我们都是独裁者。我们说那七个点就是它仅有的七个点。而这里的&线&并不是由&点&构成的，它们只是公理里规定的&线&而已。另外一个反直觉的地方在于有一条&线&看起来像是个圆，至少在大部分示意图里面都是这样。但如果你都已经接受&线&并不是由无穷多点组成的想法了，那也不难让自己承认这圆真的就是&线&。
法诺平面是最小的有限射影平面。你也许想知道别的射影平面可能的大小。如果我们想让每条线上有4个点而不是3个，我们能找到这样的平面吗？令人惊讶的是，指出射影平面可能的大小并不是一个平凡的问题。(关于术语的说明:我们说法诺平面的阶为2，因为每条线有2+1=3个点，每个点在2+1=3条线上。一般地，一个射影平面阶为N，如果每条线有N+1个点，每个点在N+1条线上。阶为N的射影平面有N²+N+1个点。)我们知道存在阶为任意素数以及任意素数的幂的射影平面，但至于其他数字，我们还有很多工作要做。举个例子，直到上世纪90年代，研究者才确切地证明了不存在阶为10的射影平面，而对于12，仍然是一个开放问题。
虽然有限射影平面看上去像是遗世独立的纯理论的典范，但意外的是法诺平面以及相关的东西居然在博彩方面有所应用。我第一次是在Jordan Ellenberg的《魔鬼数学》（How Not to Be Wrong，又译《数学教你不犯错》）中读到有关的东西的。他举了一个从7个数中选3个的彩票的例子。玩家3个数都猜对的话就获头奖，或者猜对两个数得小奖。
从7个数中选3个，一共有35种可能的组合，所以说你只有1/35的机会中头奖。不过你可以利用法诺平面来增加你猜中两个数的机会。技巧在于买一些彩票但避免同样的数对出现在两张彩票上。你不会想同时买123和234，因为如果2和3猜中了，而你买了它两次了。虽然这意味着两倍的奖金，但也意味着你在其他数对中奖时什么都得不到。
为了在彩票中利用法诺平面中到奖，给7个点依次标上1到7，接着看每条线上的数字。我得到了123, 147, 156, 246, 257, 345, 367.
如果你去验证这些数组，你会发现每个数对都恰好出现了一次。不管中奖的数字是哪些，我们都至少猜中了3个中的两个。如果你标数字的顺序和我不一样，你会得到不同的数组，不过还是有同样的性质。
现在并没有多少彩票只选3个数字了，但花点心思再加上电脑的能力，这个想法可以接着延伸。当然，即使是利用射影平面的聪明策略，在实际彩票购买中使用也不大可能合算。不过如果你感兴趣的话，Ellenberg讲过一个Cash WinFall的故事，其奖品好到足以赢得一些MIT学生的钱。
想了解法诺平面与拉丁方，环面拓扑，纠错码以及其他许多领域的联系，可以查看弗吉尼亚理工大学的Ezra Brown的两篇文章&&《(7,3,1)不同的形式集锦》和 《(7,3,1)不同形式的更多集锦》。（链接http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/731.pdf ，http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/731_more.pdf ）
如果八元数乘法的让你感到困顿的话，法诺平面也能帮你记住八元数的乘法规则。最后我忍不住提一句，法诺平面看起来和哈利波特中的死亡圣器的标志惊人地相似。
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时间: February 7, 2018
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你是不是很多&小学&的数学题目惊到过。网上时不时会冒出一些所谓的&小学奥数&题，加上&难道所有大学生&的标题在网上热传。
这些题目当中其实大多数都不是数学题目，却被一些&不良出题者&冠以&奥数&的名称出现在各种习题集中。这样的事情有时是让人愤怒的，因为这些完全在误导学习者，会让人觉得数学就是一些偷奸耍滑的东西。
还有一些题目，的确是数学问题，但不是小学阶段的知识能解决的。有的问题要到中学甚至大学才可能解决。看到一些人被逼着&用小学方法&做高等数学题目，真是让人哭笑不得。
但今天，我们推荐了一道&小学数学题&倒是挺有趣，我们没有求证过这个是不是真的是小学某练习册上的题目，不过大家还是看题吧：
我们哆嗒数学网的小编认为，这个问题算是恰到好处，只是让定性的问问旋转体的结果是凹的还是凸的，直的还是弯的。没有超前的问具体形状以及面积体积的计算问题，用来考验小学生的感觉也是说的过去的。
为了求证问题的结果，我们坐起了实验。有点难度，还有点费眼，但是能看出大概应该是凹的。
但是，是直的还是弯的很难看出来。一些人直觉的猜了应该是直的，但一个人说的三个字，打破了这些人起初的直觉。
这三个字是：
看见上面三个字了吗？什么，没看见？那是因为我施用了魔法，你必须用特殊的操作解除魔法才能看见。
这个数学对象，在大学的时候也许还会重学，那时候会不会想起还提时代做这道题目的有趣经历呢？一个小学题目能提起兴趣，并在未来还可能回想起它，最酷的学习过程莫过于此。
那么问题的答案是什么呢？公众号中回复&旋转正方体&得到答案，不带引号哦！
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时间: January 25, 2018
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原文作者，Bai Li，就读于多伦多大学计算机科学学院。
翻译作者，豆浆，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，小米。
统计学与数学有着某种有趣而奇特的关系。在很多大学的院系，它们都是混合成&数学与统计系&。其他时候，统计学被归为应用数学中的一个分支。纯数学家倾向于把统计学看作是概率论的应用，或是因为它&不够严谨&而不喜欢。
在研究了这二者之后，我认为说统计学是数学的一个分支是错误的。相反，统计学是一门独立的学科，它使用数学，但与其他数学分支（如组合数学或微分方程或群论）有本质的区别。统计学是对不确定性的研究，而这种不确定性渗入到整个学科，以至于数学和统计学是根本不同的思维方式。
定义和证明
数学总是遵循固定的的定义&&定理&&证明的结构。无论你研究哪一个数学分支，无论是代数数论还是实分析，数学论证的结构或多或少是相同的。
你首先得定义一个对象，就说wug吧。在定义之后，每个人都可以看一下定义，并就哪些对象是wug和哪些对象不是wug达成一致。（编者注：wug是心理学家Jean Berko在她的实验中虚构的一种动物）
接下来，你继续证明关于wug的有趣的事情，使用奇妙的论证，如反证法和归纳法证明。 在证明的每一个步骤，读者都可以证实，这一步在逻辑上是从定义出发的。经过几次这样的证明之后，你现在已经了解了大量关于wug的性质，以及它们如何与数学宇宙中的其他物体相联系的，每个人都很愉悦。
在统计学中，用直觉和例子来定义事物是很常见的，即是说&所见即所知&，很少像数学里那样黑白分明。这是出于一个必然的理由： 统计学家用真实的数据来工作，这些数据往往是混乱的，并不容易理清，也难以从严格的定义来研究。
以&异常值&的概念为例。当数据包含异常值时，很多统计方法表现不佳，因此识别异常值并将其剔除是一种常见的做法。但是究竟是什么构成了异常值呢？好吧，这取决于许多标准，比如你有多少个数据点，它距离其他点有多远，以及你在拟合什么样的模型。
在上面的图中，那两点可能是异常值。你应该剔除它们，或者保留它们，或者可以剔除它们之一吗？没有正确的答案，你必须自己判断。
又如，考虑p值。在很多时候，当p值低于0.05时，可以认为是统计学显著的。但这个值仅仅是一个指导值，而不是一个必须遵守的规则&&不是说0.048就是显著的而0.051就不显著。
现在让我们假设你在运行AB测试，并且发现将按钮更改为蓝色会导致更高的点击次数，p值为0.059。你应该建议你的老板做这个改动吗？如果你得到0.072或者0.105呢？在哪一点它就会变得不显著呢？没有正确的答案，你必须自己判断。
再举一个例子：异方差。这是一个奇特的词，这意味着你的数据集的不同部分的方差是不相等的。异方差是不好的因为很多模型假设方差是常数，如果这个假设被违反，那么你就会得到错误的结果，所以你需要使用一个不同的模型。
这个数据是异方差的，还是只看起来差异是不均匀的，因为3.5的左边有那么几个点？这个问题是否严重到拟合线性模型是无效的？没有正确的答案，你必须自己判断。
另一个例子：考虑一个有两个变量的线性回归模型。当你在图上绘制点时，你应该会期望这些点会大致落在一条直线上。当然，不完全是在一条线上，只是大致线性。但是如果你得到这个：
有一些证据表明这里有非线性，但是你需要多少&弯曲程度&，才能让你觉得这绝对不是&大致线性&以至于你必须使用一个不同的模型？再说一次，没有正确的答案，你必须自己判断。
我觉得你发现其中的规律了。在数学和统计学中，都是只有在某些假设得到满足的情况下，才有模型。然而，与数学不同，在统计学里，没有通用的程序可以告诉你数据是否满足这些假设。
以下是统计模型的一些常见假设
1、 随机变量服从正态（高斯）分布
2、 两个随机变量相互独立
3、 两个随机变量满足线性关系
4、 方差是常数
你的数据不会完全符合正态分布，所以所有的这些都是近似值。统计学里有一个普遍的说法：所有的模型都是错的，但是有些却是有用的。
另一方面，如果你的数据与你的模型假设有很大的偏差，那么这个模型就会崩溃，你会得到没用的结果。没有通用的黑白分明的程序来决定你的数据是否正态分布，所以在某些时候你必须介入并应用你的判断。
另外：在这篇文章中，我忽略了数理统计，它是统计学的一部分，试图用严格的数学来证明统计方法的合理性。数理统计遵循定义-定理-证明的模式，与数学的其他分支非常相似。你在统计课程中看到的任何证明可能都属于这个类别。
经典算法 VS 统计算法
你可能会想：没有严格的定义和证明，你如何确定你所做的一切是正确的？事实上，非统计学（这里指数学）和统计学方法有不同的判断&正确性&的方法。
非统计方法使用理论来证明其正确性。例如，我们可以通过归纳法证明Dijkstra算法总是返回图中的最短路径，或者快速排序法总是按排序顺序排列数组。为了比较运行时间，我们使用大O符号，这是一个用于严格化程序运行时间的数学结构，它刻画的是当程序的输入趋于无穷大时运行时间的行为
非统计算法主要关注最坏情况分析，即使是近似和随机算法。对于旅行商问题，最好的近似算法的近似比率为1.5 - 这意味着即使对于最差的输入，该算法的路径也不超过最优解决方案的1.5倍。算法是否在大多数实际输入中执行得比1.5好很多都没关系，因为它总是我们关心的那个最糟糕的情况。
如果能够对现实世界的数据进行推断和预测，那么这个统计方法就是好的。一般来说，统计学有两个主要目标。首先是统计推断：分析数据以了解它产生的过程; 其次是预测：使用历史数据的模式来预测未来。因此，在评估两种不同的统计算法时，数据至关重要。没有多少理论能告诉你支持向量机是否比决策树分类器更好 - 唯一的办法就是在你的数据上面运行这两个算法，看看哪一个能给出更准确的预测。
在机器学习方面，还有一些理论试图形式化地描述统计模型的行为，但是它们离现实应用还有较大距离。 例如，考虑VC维和PAC可学习性的概念。基本上，在理论给出的条件下，因为你提供了越来越多的数据，模型最终会收敛到最好的一个，但不关心你需要多少数据才能达到期望的准确率。
这种方法对于决定哪种模型最适合于特定数据集是非常理论化和不切实际的。在深度学习中，理论尤其短缺，可以通过反复试验找到模型超参数和体系结构。即使是理论上已经很好理解的模型，这个理论也只能作为一个指导原则; 你仍然需要交叉验证来确定最佳的超参数。
模拟现实世界
数学和统计学都是我们用来模拟和理解世界的工具，但它们以非常不同的方式实现。数学创造了理想化的现实模型，里面一切都是清晰的和确定的；统计学认为所有的知识都是不确定的，并且试图理解数据尽管一切都存在随机性。至于哪种方法更好&&两个方法都有其优势和劣势。
数学对于规则是合乎逻辑的并且可以用方程来表示的领域进行建模是很好的。其中一个例子是物理过程：只有一小部分规则对预测现实世界中发生的事情非常有用。而且，一旦我们发现了系统遵循的数学规律，它们是可以无限泛化的&&即使我们只观察到从树上掉下来的苹果，牛顿定律也可以准确地预测天体的运动。另一方面，数学在处理错误和不确定性方面显得很笨拙。数学家创造了一个现实的理想版本，并希望它与真实的东西足够接近。
当游戏规则不确定时，统计学就会闪耀它的光芒。统计数据包含不确定性，而不是忽略错误。每一个值都有一个置信区间，在95％的时间内你可以预期它是正确的，但我们永远不可能100%确定任何东西。但只要有足够多的数据，正确的模型就可以从噪声中分离出信号。这使得统计学在处理有许多未知的混杂因素（如模拟社会学现象或任何涉及人类决策的事物）时成为一个强有力的工具。
缺点是统计学只适用于你有数据的样本空间; 当超出了过去训练数据的范围进行预测时，大多数模型都表现得不好。换句话说，如果我们用苹果从树上掉下来的数据进行回归，它最终会很好地预测从树上掉下来的其他苹果，但是却无法预测月球的轨迹。因此，数学比统计学能使我们更深入，更基础地理解一个系统。
数学是一个美丽的学科，它能从复杂的系统提炼出本质。但是，当你试图了解人们的行为方式，当主体不总是理性的时候，从数据中学习是一个很好的选择。
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时间: January 15, 2018
原文作者，Patrick Honner，美国杰出数学和科学教育总统奖得主。
翻译作者，radium&，哆嗒数学网翻译组成员。
校对，mathyrl。
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在刚开始理解什么是数学家和物理学家眼中抽象的对称结构，我们得先从熟悉的形状开始。
你得原谅数学家被魔群深深的勾住，一个如此巨大而神秘的代数对象吸引他们花费接近10年的时间去证明它存在。现在，三十年后，弦理论家们&&也是正在研究所有的基本力和粒子如何通过在隐藏维度振动的微小的弦来解释的物理学家&&发现魔群与物理学中的深刻思想有联系（研究出来的主要定理可以解释魔群的量子场论构造，事实上魔群是一种特殊弦论的对称群）。
这个元素个数的数量级达到10的53次方，并且同时让数学家和物理学家兴奋的集合是什么?在建立新的物理理论中搞清对称性的数学结构以及隐藏的对称性的过程中，像魔群这样的代数群的研究提供了线索。
群论在很多方面集中体现了数学的抽象性，但是它构成了一些我们的大部分类似于数学经验的基础。现在让我们研究对称性的基础以及阐明他们代数结构。
我们喜欢说一个事物具有对称性，但是它真正的含义是什么呢？直觉上讲，对于像镜像那样的事物，我们有对称的感觉。假设我们画一条垂直的线穿过正方形的中间。
这条线将正方形分成两个相等的部分，这两部分互为对方的镜像。这个熟悉的例子被称为轴对称。但是这儿还有其他与镜像无关的对称类型。
例如，正方形还具有旋转对称性。
从这个例子中我们可以看见正方形关于它中心点（对角线的交点）逆时针旋转的过程。在旋转了90度（四分之一的翻转之后，它看起来和之前的一样。
我们定义一个对象变换是对称的，如果这个物体变换后与变换前的形状一样。上述旋转是正方形对称性的一种，而我们轴对称的例子可以作为第二种对称性。
让我们花一点时间来定义一些的术语。我们将称最初的对象为&原像&，而变换后的对象为&像&。我们将用术语&映射&去描述从一个对象（一个点，一个线段，一个正方形，等等）变换到另一个对象的过程。对称性要求变换不改变对象的大小或者形状。
一个变换如果满足这样的要求被称为&等距&，或者称作刚体运动。基本的等距变换是关于一条线反射，关于一个点旋转，以及沿着一个向量平移。
现在我们继续分析正方形的对称性。我们知道有一种对称性是&关于一条通过中心的垂线反射&；另外一种是&关于中心逆时针旋转90度&那么还有其他的吗？他们是什么？还有多少种？在数学中经常出现这样的情况，提前规定好的记号将让我们的分析更加容易。
首先，假设我告诉你我已经通过对称性变换好了正方形，下图是结果。
这样的结果应用了那种对称性？旋转？反射？当然这不可能精确地看出来运用了哪种对称的准则。为了帮助我们确认具体应用了哪对称性，让我们从标记原始正方形的顶点开始分析。
进一步，让我们规定不论何时我们描述原始正方形都用这样的标记：左上角为A，右上角为B，右下角为C，以及左下角为D。
好了，现在我们开始变换正方形，我们可以追踪标记是怎样移动的。例如，在关于一条过中心的垂线反射后，正方形变成了下面这样的形式：
对比原始的标记，A现在在B的位置，而B在最初A的位置。类似的，C和D也交换了位置。将原始标签作为ABCD，我们将经过变换后新的标签记为BADC。
这样就清晰地揭示了，在这样的变换下，A被映射成了B，B被映射成了A，C被映射成了D，最后D被映射成了C。我们可以可视化记号是怎么变换的：
我们将一直记原始位置为ABCD，因此列表中的相对位置描述了每个原始顶点在变换下映射的位置。在另一个例子中，我们绕中心逆时针旋转90度可以标记为DABC,在这个变化中A被映射成D，B被映射成A，以此类推。
严格的来说，这仅仅描述了在一次变换中每一个顶点发生了什么。但事实证明，这足以描述整个正方形变换的情况。这是因为对称变换是等距的，因此维持了对象的大小和形状相等。
等距不能让尖角或顶点变平，因为那样将会变对象的形状。这意味着所有的角A,B,C,D都将映射成角。类似的，等距变换的性质保证了线段将映射成线段。
于是，一旦我们知道正方形的角往那边走了，相应的边也沿着相同的路线行走。换句话说，正方形边的像决定于对应端点的像。
这就意味着我们能完整的通过排列四个字母A、B、C和D具体说明正方形的一个对称。这本身是非常好的，但它同时也立即暗示着正方形对称的形式的数量有一个上界。正方形对称形式的种数不超过四个字母排列组合的种数。那么有多少种排列呢？
考虑用这些字母创造一个排列，你可以从这四个字母中的任意一个字母开始，但是一旦你选择了一个字母，那么对于第二个字母你就仅仅只有三种选择。一旦你选择了第二个字母，在第三个字母上你就只有两种选择，最后，对于第四个字母将你只有一种选择。一个基本的计数方式告诉我们有
4 & 3 & 2 & 1 (= 4!) = 24
4 &3&2&1(=4!) = 24种可能的排列。因此，对于正方形这儿最多有24种对称方式。
事实上，正方形的对称形式远少于24种，一个简单的论据将告诉我们为什么。让我们回到原始图形。假设我们知道正方形的一个对称把A映射成B，那么C又如何呢？
答案很明显，C只能被映射到D上去。A和C是正方形对角线的端点。因为等距不改变长度，A和C的距离必须和映射前的距离相等。如果A映射成了B，那么现在与A的距离等于对角线长度的唯一对应点D就是点C必须到达的地方。
这样就极大的减少了正方形对称性可能的数量。假定我们构造了一个对称，那么A点有多少种可能性？因为顶点必须对应到顶点上去，关于A的映射这儿仅有四种可能的情况。一旦我们选择了一种方式，那么A的对角线端点C的映射也只有一种方式。那么对于B就只有两种选择了，类似的方法我们可以知道D也}