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已知函数f（x）=axlnx（a为非零常数）图象上点（e，f（e））处的切线与直线y=2x平行（其中e=2.71828&）
已知函数f（x）=axlnx（a为非零常数）图象上点（e，f（e））处的切线与直线y=2x平行（其中e=2.71828&）．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，2t]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若斜率为k的直线与曲线y=f'（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜1k＜x2．
chaijin17的答复：
（1）解：因为f（x）=2lnx-ax+a， 所以f&（x）=2x?a． 因为曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行， 所以2-a=1， 所以a=1； （2）解：f&（x）=2x?a=2?axx（x＞0）， ①当a&0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+&）上是增函数； ②当a＞0时，令f'（x）=0，可得x=2a． 所以当x&（0，2a）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2a）上是增函数； 当x&（2a，+&）时，f'（x）＞0，f（x）在（2a，+&）上是减函数． 所以当a&0时，f（x）的递增区间是（0，+&）； 当a＞0时，f（x）的递减区间是（2a，+&），f（x）的递增区间是（0，2a）； （3）证明：由（2）知，当a&0时，f（x）的递增区间是（0，+&），且f（1）=0， 所以x＞1时，f（x）＞f（1）=0，所以f（x）&0不恒成立； a＞0时，f（x）的递减区间是（2a，+&），f（x）的递增区间是（2a，+&）， 要使f（x）&0恒成立，则f（2a）&0即可， 所以求满足2ln2a+a-2&0成立的a． 令g（x）=2（ln2-lnx）+x-2，则g&（x）=x?2x（x＞0）， 所以有g（x）在（0，2（上单调递减，在（2，+&）上单调递增， 所以gmin（x）=g（2）=0， 所以当且仅当a=2时，f（x）&0恒成立 此时f（x）=2lnx-2x+2． 因为0＜x1＜x2， 所以f(x2)?f(x1)x2?x1＜2（1x2-1）等价于lnx2x1＜x2x1-1， 令t=x2x1（t＞1），则只需证明lnt＜t-1， 令h（t）=lnt-t+1，则h&（t）= 分享 评论 | 给力2 不给力0 鲿賄 | 四级 采纳率64% 擅长： 暂未定制 其他类似问
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已知函数f(x)=ax+1/a(1-x)(a&0),且f(x)在[0，,1]上的最小值为g(a)，试求g(a)的表达式，并求g(a)的最大值
f(x)=ax+(1/a) (1-x)=[(a^2-1)/a]x+1/a故，下对x的系数(a^2-1)/a进行讨论：
当系数(a^2-1)/a=0时，即 a=1时：
f(x)=1/a，则f(x)的最小值=f(x)的最大值=g(a)=1/a=1
当系数(a^2-1)/a&0时，即a&1时：
f(x)为单调递增的一次函数，
则f(x)的最小值=f(0)=1/a=g(a)
f(x)的最大值=f(1)=a
由于g(a)=1/a,为单调递减的双曲函数，
当a趋近于0时，g(a)无限趋近于正无穷，故g(a)无最大值
当系数(a^2-1)/a&0时，即0&a&1时：
f(x)为单调递减的一次函数，
则f(x)的最小值=f(1)=a=g(a)
f(x)的最大值=f(0)=1/a
而g(a)=a ，为单调递增的一次函数，
0&a&1，a无最大值
故g(a)无最大值！综上所述：
当0&a&1时，f(x)的最小值=g(a)=1/a，g(a)无最大值；
时，f(x)的最小值=g(a)=1/a=1
时，f(x)的最小值=g(a)=a，g(a)无最大值；
采纳率：33%
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已知函数f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（II）当a取（I）中最小值时，求证：g(x)-f(x)≤16x3．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）&由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），所以h'（x）=cosx-a．若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，所以h（x）=sinx-ax在区间[0，+∞）上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，所以sinx≤ax（x≥0）成立．&&&&&&&（3分）若a＜1，存在x0∈(0，π2)，使得cosx0=a，所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x0）上单调递增，所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，所以a＜1不符合题意舍去．综上，a≥1．&&&&&&&&&（5分）（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），所以原不等式等价于sinx-x-16x3≤0（x≥0），设H(x)=x-sinx-16x3&(x≥0)，所以H′(x)=1-cosx-12x2．令G(x)=1-cosx-12x2，所以G'（x）=sinx-x，所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），所以G(x)=1-cosx-12x2在（0，+∞）上单调递减，（8分）因此有：G(x)=1-cosx-12x2≤G(0)=0，即H′(x)=1-cosx-12x2≤0，所以H(x)=x-sinx-16x3&(x≥0)单调递减，（10分）所以H(x)=x-sinx-16x3≤H(0)=0，所以x-sinx-16x3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤16x3（x≥0）．&&&&&&&&&（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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