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第1章(37页)电路的基本概念和分析方法
第 1 模块 电路基础理论第 1 章 电路的基本概念和分析方法 本章介绍电路的基本概念和基本分析方法，内容包括电路的基本概念、电路元件、基尔 霍夫定律、电路的等效变换、电路的方程分析法、电路定理。 1.1 电路的基本概念 1.1.1 实际电路与电路模型 电路一词有两重含义，其一是指实际电路，其二是指电路模型。所谓实际电路是指由 各种实际电器件按一定方式连接而成、 具有特定功能的电流的通路； 所谓电路模型是指由定 义出来的各种理想电路元件用理想导线按一定方式连接构成的图形。 实际电路与电路模型既 有联系，又有区别。在一定条件下，实际电路可简化成电路模型进行理论分析和计算，而理 论分析和计算的目的又是为了对实际电路做分析。 实际电路的种类很多，功能也很多，但总体来讲，大致可分成两类：一类进行电能量的 传输、分配，如电力系统；另一类进行电信号的传输、处理，如通信系统和各种信息（信号） 处理系统。 对电路模型进行理论分析和计算的方法很多，但基本依据是电路的拓扑约束和元件约 束。 电路的拓扑约束和元件约束以及各种分析计算方法构成了电路理论的主体内容， 这也是 后面要加以展开的内容。 电路理论是为了研究实际电路的电磁过程而提出和发展出来的一门 科学理论，电路理论中的基本物理量是电压、电流、电荷和磁通（或磁链） ，分别用小写字 母 i 、 u 、 q 、? （或ψ ）表示，对于不随时间变化的情况，通常用大写字母 I 、U 、 Q 和Φ （或 Ψ ）表示。实际电路通过模型化转换为电路模型。如图 1（a）所示为手电筒电路，对其模型化后 得到的电路模型如图 1（b）所示。图 1（a）中的各元件均是实际元件，而图 1（b）中的各 元件均是定义出来的理想元件。 实际电路与电路模型是完全不同的两个事物。 实际电路中各 元件的工作受实际特性的影响，如图 1（a）中的灯泡上面不能加过大电压，否则会被烧毁， 但理想元件按定义的特性工作，如图 1（b）中的电阻 RL （灯泡的模型）上可加任意电压； 再如，图 1（a）中的电池是一个元件，但在图 1（b）中被模型化为理想电压源与理想电阻 的串联。在各种场合，为简化起见，人们经常将实际电路和电路模型统一简称为电路，初学 者往往受此影响，把实际电路与电路模型混为一谈，这是特别要引起注意的。为简化起见， 在不引起概念错误或其它问题的时候，本书电路一词即即指实际电路，也指电路模型；但在 容易产生问题的地方，将分别用实际电路或电路模型加以区别。（a）(b)图 1-1 手电筒电路及其电路模型 1.1.2 实际电路模型化与集中参数电路 实际电路形形色色，数量众多，构成实际电路的元件及连接线种类也非常多。对实际 电路的分析虽然可以通过测量等手段进行，但更方便的方法是先将实际电路转化为电路模 型，然后对电路模型进行分析，最后将分析与计算结果应用于实际电路。此外，在实际电路 设计过程中，对电路模型进行分析和计算也是必不可少的一个环节。 将实际电路转换为电路模型的过程称为模型化，模型化的过程是对实际电路近似的过 程。实际要求不同，模型化的结果会有所不同，应此同一个实际电路，可有不同的模型化结 果，也即具有不同的电路模型。一般而言，对实际电路近似程度愈高，电路模型就愈复杂， 反之，则愈简单。例如图 1（a）中的电池，在图 1（b）中被模型化为理想电压源与理想电 阻的串联组合， 若忽略电池工作时本身也消耗能量这一因素， 在模型化时可将电池仅仅用理 想电压源表示。 实际电路工作时的电磁现象是非常复杂的，结合工程实际的要求，对实际电路精确地 描述即无必要，有时也难以进行。为简化分析，人们引入了集中参数元件和集中参数电路的 概念。集中参数元件是定义出来的元件，因此也称为理想元件。理想元件的主要特征是有精 确的数学定义，每一种元件只表示一种电磁现象。由集中参数元件和理想导线构成的电路， 称为集中参数电路。 实际电路均不是集中参数电路，而是分布参数电路。这是因为任何实际电路在工作时 各处均存在能量损耗、电场储能和磁场储能三种效应。人们用理想电阻元件（参数）描述能 量损耗特性，用理想电容元件（参数）描述电场储能特性，用理想电感元件（参数）描述磁 场储能特性。 由于实际电路中能量损耗、 电场储能和磁场储能三种效应均连续分布于电路和 器件中，所以实际电路各处均分布有电阻、电容、电感，因此实际电路是分布参数电路。分 布参数电路的分析是比较复杂的，很多时候理论分析难以进行。但在一定条件下，将实际电 路模型化为集中参数电路， 不仅带来分析上的便利， 而且理论分析结果也满足工程实际的要 求，这时，就可将实际电路模型化为集中参数电路。 一般而言，当实际电路的尺寸 l 与其上的电磁波的波长 λ 满足（1-1）的关系时，实际 电路可模型化为集中参数电路。λ ≥ 100l（1-1）式中 λ = c / f ， f 为电路中的正弦信号（电压或电流）的最高频率， c 是实际电路中电磁5 波的传播速度，通常可近似用真空中电磁波的传播速度表示，即 c = 3 ×10 km/s。我国的工频正弦交流电的频率 f = 50 Hz，对应的波长为 λ = c / f = 6000 km。一般的 用电设备和小范围区域内的电力网尺寸均远小于 6000 km， 因此对应电路可模型化为集中参 数电路进行分析，结果可满足工程要求。但对高压输电线，其长度可达几百千米或更长，线 路长度与其上电磁波的波长差别不大， 将其模型化为集中参数电路进行分析， 所得结果就不 能满足实际要求，此时就只能将其模型化为分布参数电路进行分析。 本书仅涉及集中参数电路分析方法。1.1.3 电流和电压的参考方向在实际工作和生活中，人们约定电路中正电荷移动的方向为电流的实际方向，两点间 高电位指向低电位的方向为电压的实际方向。在进行电路分析时，由于电压、电流的实际方 向往往是未知的，或者是随时间变化的，因此，必须预先标定电压、电流的方向，这一标定 的方向称为参考方向。参考方向的标定不受实际方向的影响，可随意确定。 电压 u 的参考方向通常用+、-号或箭头表示，如图 1-2（a）所示，也可用双下标表示， 如 u AB 的含义是图 1-2（a）中 A 、 B 两点之间的电压 u 的参考方向是由 A 指向 B ；电流 i 的 参考方向通常用箭头表示，如图 1-2（b）所示，也可用双下标表示，如 iAB 的含义是图 1-2 （b）中电流 i 的参考方向是由 A 指向 B 。有了参考方向，结合求出或给定的物理量的具体 符号和数值， 便可确定物理量的实际方向与大小。 例如在图 1-2 （a） 中， 假定已得到 u = 1 V， 则表明电压的大小是１Ｖ，实际方向如图中箭头所示；若得到的是 u = ?1 V，则表明电压的 大小是１Ｖ，实际方向与图中箭头方向相反。同理，在图 1-2（ｂ）中，假定已得到 i = 1 Ａ， 则表明电流的大小是１Ａ，实际方向如图中箭头所示；若得到的是 i = ?1 Ａ，则表明电流的 大小是１Ａ，实际方向与图中箭头方向相反。可见，在预先标定电压、电流参考方向的情况 下，通过给出或求出的电压、电流的表现形式(具体符号加函数式或数值)，就可确定电压、 电流的实际方向和大小。u + A u 元件? B（a ） 图 1-2 电压和电流参考方向的表示(b)电路中电压或电流的参考方向可以分别单独确定。如果指明的流过某一元件或局部电 路的电流的参考方向与其上电压的参考方向相同，则把两者称为关联参考方向，如图１-3 （a）所示， u 与 i 就被称为关联参考方向；当两者参考方向不一致时，如图１-3（b）所示， 则称为非关联参考方向。图１-3 中的 N 表示电路的一个部分,可由多个元件构成，也可以是 一个元件，它有两个端子与电路的其它部分相连。（a）(b)图 １-3 电压和电流的关联参考方向和非关联参考方向 关于电流和电压的参考方向，有必要强调的是： （1）电流、电压的参考方向可任意地 独立选定，但一旦选定，在电路分析和计算过程中则不应随意改变； （2）在后面将要论述的 电路分析计算过程中，在电路图中标出的所有电压、电流的方向均是参考方向，而不是实际 方向。1.1.4 电能量与电功率当电路工作时，电场力推动正电荷在电路中运动，电场力对电荷做功，同时电路吸收 能量。电路在单位时间内吸收的能量称为电路吸收的电功率，简称功率。 图 1-4 所示电路中，电流 i 和电压 u 的参考方向一致，为关联参考方向。在 dt 时间内 通过该电路的电荷量为 dq = i ? dt ，它由 a 端移到 b 端，电场力对其做的功为 dA = u ? dq ， 因此电路吸收的能量为dW = dA = u ? dq（ 1― 2）图 1-4 电路的功率计算 即dW = u ? i ? d t则电路吸收的功率为（1?3）P=dW = u ?i dt（1?4）式（1-4）表明，当电流和电压的方向取关联参考方向时，乘积“ ui ”表示电路吸收 的功率。如果求得 P & 0 ，表示该电路确实吸收功率；如果 P & 0 ，表示该电路吸收负功率， 即实际发出功率。当电流和电压的参考方向相反，即为非关联方向时，乘积“ ui ”表示电 路发出的功率。此时，若求得 P & 0 ，表示该电路确实发出功率；如果 P & 0 ，表示电路实 际吸收功率。 在 SI 中，功率的单位是瓦特，符号为 W。工程上常用的功率单位有兆瓦（MW） ，千 瓦（kW） 、和毫瓦（mW）等，它们与瓦（W）的换算关系为 1 MW= 106 W，1 kW= 103 W， 1 mW= 10?3 W。 电路中的能量是电功率对时间的积分。由 t0 到 t 时间内电路（或元件）吸收的能量由下式表示，即W = ∫ Pdξ =∫ uidξt0 t0tt（1?5）在 SI 中，能量的单位为焦耳，符号为 J。工程和生活中还采用千瓦小时（kWh）作为 电能的单位，1 kWh 也称为 1 度（电） 。1kWh=103 W ×
×106 J在电路的分析计算中，功率和能量的计算是十分重要的，这是因为实际电路在工作时 总伴有电能和其他形式能量的相互转换；此外，电气设备、电路器件本身还有功率的限制， 在使用时应注意其电流值或电压值是否超过额定值。如果过载，会使设备或器件损坏，或电 路不能正常工作。1.2 电路元件1.2.1、电阻元件 理想电阻元件也称为线性电阻元件，它的特性定义如下：当电压和电流取关联方向时， 在任何时刻，其两端的电压 u 和流过的电流 i 服从线性关系，即u = Ri（1?6） 或i = Gu（1?7）式（1-6）中的系数 R 称为元件的电阻，符号如图 1-5（a）所示；式（1-7）中的系数 G 称 为元件的电导， R 与 G 是互为倒数的关系，即 G = 1/ R 。在 SI 中 R 的单位为欧姆，简称 欧，符号为 ? ； G 的单位为西门子，简称西，符号为 S。 线性电阻元件的伏安特性（电压电流关系）如图 1-5（b）所示，它是通过以 u ? i 为轴 的平面直角坐标系原点的一条直线，直线的斜率与元件的 R 有关。（a ）(b) 图 1-5 线性电阻元件及其伏安特性当线性电阻元件的电压 u 和电流 i 为关联参考方向时，其消耗的功率为P = ui = Ri 2 = u 2 / R或（1?8）P = Gu 2 = i 2 / G（1?9）在 t0 到 t 时间内，线性电阻元件消耗的电能为WR = ∫ Ri 2 ( ξ ) dξt t0（1?9）当线性电阻元件的端电压无论为何值时，流过它的电流恒为零，此时 R = ∞ ? ，称 为“开路” ；当线性电阻元件流过的电流无论为何值时，它的端的电压始终为零，此时R = 0 ? ，称为“短路” 。实际电阻元件并不满足理想电阻元件的特性，如反映理想电阻元件特性的（1-6）式中 的电压和电流可为无穷大， 而实际电阻元件上的电压和电流是受限制的。 当电压电流过大时， 实际电阻元件就会被烧毁。 但在实际电阻元件能够正常工作的电压电流范围内， 若电阻上电 压与电流的相互关系近似符合线性关系时， 可把实际电阻模型化为线性电阻供理论分析和计 算所用。 1.2.2、电容元件 理想电容元件也称为线性电容元件， 它的特性定义如下： 元件上所存储的电荷量 q 与两端 间的电压 u 成正比，即q = Cu（1?10）式中 C 为电容元件的参数，简称电容，其图形符号如图 1-6（a）所示。在 SI 中，电容的单 位是法拉，简称法，符号为 F。工程技术中，电容常用的单位还有微法（ ? F）和皮法（pF） ， 它们与法拉的换算关系为：1? F=10 F ， 1pF=10?6 ?12F。线性电容元件的库伏特性，可用 q ? u 为轴的平面直角坐标系中的一条过原点的直线来 表示，如图 1-6（b）所示。qi +q ?q+OuCu?（a ） (b) 图 1-6 线性电容元件及其库伏特性实际电容元件并不满足理想电容元件的特性，如针对理想电容元件的（1-10）式中的电 压可为无穷大，而实际电容元件上的电压是受限制的，当电压过大时，实际电容元件就会被 击穿。 在实际电容元件能够正常工作的电压范围内， 若电容上电压与电荷的相互关系近似符 合线性关系时，可把实际电容模型化为线性电容供理论分析和计算所用。 当电容元件上的电压 u 随时间发生变化时，存储在电容元件上的电荷随之变化，这样 便出现了充电或放电现象，连接电容元件的导线中就有电流流过。如果电流 i 和电压 u 取关 联参考方向，由（1-10）式可得i=dq d ( Cu ) du = =C dt dt dt（1?11）如果 i 和 u 所取的参考方向非关联，则有i = ?C（1?12）du dt对式（4-1１）进行积分可得u (t ) =1 C1 1 1 ∫ i (ξ )dξ = C ∫ i (ξ )dξ + C ∫ i (ξ )dξ = u ( 0 ) + C ∫ i (ξ )dξt 0? t t ?∞ ?∞ 0? ? 0?（4?13）式中 u ( 0? ) 是 t = 0 ? 时刻电容元件上已具有的电压，此电压描述了电容元件过去的状 态，称为初始电压。而1 t i (ξ )dξ 是 t = 0 ? 以后在电容元件上形成的电压。式（4-13）说 C ∫0?明，电容在时刻 t 时的电压，不仅仅取决于 t 时刻的电流值，而且取决于 ( ?∞ → t ) 所有时刻 的电流值，即与电流过去的全部历史状况有关。由此可见，电容元件有记忆电流的作用，所 以该元件被称为是记忆元件。 当电容元件的电压、电流取关联参考方向时，它所吸收的瞬时功率为p = ui = Cudu dt若 p & 0 ，说明电容元件实际是在吸收能量，即处于被充电状态；若 p & 0 ，说明电容元件 在释放能量，处于放电状态。当电容元件从初始时刻 t0 到任意时刻 t 被充电时，它吸收的能 量 ?W 为?WC = ∫ p (ξ )dξ = ∫ u ( ξ )i (ξ ) dt = ∫ Cut t t t0 t0 t0du 1 1 dξ = Cu 2 (t ) ? Cu 2 ( t0 ) dξ 2 2电容元件吸收的能量以电场能量的形式存储， t 时刻电容元件储存的电场能量 WC ( t ) 为1 WC ( t ) = Cu 2 ( t ) 2（1?14）电容元件被充电时， u ( t ) 增加， W ( t ) 增加，故元件吸收能量；电容元件放电时，u ( t ) 减少，W ( t ) 减少，故元件释放能量。一个理想电容元件若原来没有被充电，则在充电时它所吸收并存储起来的能量一定会在放电完毕时全部释放出来，并不消耗能量。所以， 电容元件是一种储能元件。由于电容元件不会释放出多于它吸收（或存储）的能量，所以它 又是一种无源元件。1.2.3、 电感元件理想电感元件也称为线性电感元件，它的特性定义如下：元件中的磁链ψ 与流过的电流 i 成正比，即ψ = Li ?（1-15）式中 L 为电感元件的参数，简称电感，其图形符号如图 1-7（a）所示。在 SI 中，电感的单 位是亨利（ H ） 。亨利单位比较大，工程中常用的单位是毫亨（ mH ）和微亨（ ? H ） 。它?3 ?6 们和亨利的换算关系为1 mH = 10 H ， 1 ? H = 10 H 。线性电感元件磁链ψ 与电流 i 之间的关系可用ψ ? i 为轴的平面直角坐标系中的一条 过原点的直线表示，如图 1-7（b）所示。iψu?（a ）LOi(b)图 1-7 线性电感元件及其库伏特性 实际电感元件并不满足理想电感元件的特性，如针对理想电感元件的（1-15）式中的电 流可为无穷大，而实际电感元件上的电流是受限制的，当电流过大时，实际电感元件因过热 会被烧毁。在实际电感元件能够正常工作的电压电流范围内，若电感上的电流与其上磁链的 相互关系近似符合线性关系时，可把实际电感模型化为线性电感供理论分析和计算所用。 当变化的电流 i 通过实际电感线圈时（图 1-8） ，在线圈中将会产生变化的磁通或磁链， 变化的磁链在线圈两端必然引起感应电压 u ，当 u 与 i 为关联参考方向时，则u=Ldi dt（1?16）φL ,ψ LA i+u?B i图 1-8 实际电感线圈 对式（1-16）进行积分可得i(t ) =1 t 1 0? 1 t 1 t u ξ d ξ = u ξ d ξ + u ξ d ξ = i 0 + u (ξ ) dξ ( ) ( ) ( ) ( ) ? L ∫?∞ L ∫?∞ L ∫0? L ∫0?（1?17）式中 i ( 0 ? ) 是 t = 0 ? 时刻电感元件中存在的电流，它总结了电感元件过去的历史状况，1 t u (ξ ) dξ 是 t = 0 ? 以后在电感元件中形成的电流。式（1-17）说明， t L ∫0? 时刻电感元件的电流不仅取决于该时刻的电压值，而且取决于（ ?∞ → t ）所有时刻的电压称为初始电流。 值，即与电感电压全部的过去历史有关。电感电压在 t = 0 ? 以前的全部历史，可用 i ( 0 ? ) 表 示。可见，电感元件有记忆电压的功能，它是一种记忆元件。 当电感电压与电感电流为关联参考方向时，电感元件吸收的瞬时功率为p = ui = Lidi dt（1?18）那么从初始时刻 t0 到任意时间 t 期间内，电感吸收的能量 ?WL 为?WL = ∫ pdξ = L ∫ idξ =t0 t0tt1 2 1 Li ( t ) ? Li 2 ( t0 ) 2 2电感元件在任意时刻 t 存储的磁场能量 WL ( t ) 为WL ( t ) =1 2 Li ( t ) 2（1?19）由此可知，当 i 增加时，WL 增加，电感元件吸收能量；当 i 减小时，WL 减少，电感 元件释放能量。电感元件不会把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的形式储存在磁场中。 所以电感元件是一种储能元件。由于电感元件不会释放出多于它吸收（或存储）的能量，所 以它是一种无源元件。1.2.4 独立电源独立电源包括理想电压源和理想电流源两种。 理想电压源的定义：端子间电压能保持为一个确定的时间函数或常量，而与流过的电 流和外接电路无关。 理想电压源常简称为电压源，其电压电流特性可表述为? ?u ( t ) = us ( t ) ? ? ?i ( t ) = ?∞ → +∞(1-20)式中 us ( t ) 为给定的时间函数，与流过的电流 i ( t ) 及外接电路无关；i ( t ) 由外电路确定，取 值范围为 ?∞ → +∞ 。电压源的图形符号见图 1-9（a） 。当 us ( t ) 为恒定值时，电压源称为直 流电压源，其图形符号见图 1-9（b） ，其中长划线表示电源“+”极，短划线表示电源“-” 极， U s 表示恒定电压值。（a ） 1-9 理想电压源的符号(b)图 1-10（a）给出的是电压源与外电路相连接的情况。其端子 1、2 之间的电压 u ( t ) 等 于 us ( t ) ，它不受外电路的影响。图-10 (b)给出的是直流电压源的伏安特性，它是一条不随 时间改变且平行于电流轴的固定直线。+i1uus?+ u ?2外 电 路Usoi（a ） (b) 图 1-10 理想电压源的连接与特性 针对电压源，通常将电压和电流的参考方向取为非关联方向 (见图 1-10(a))，则电压源 发出的功率为p(t ) = u s (t )i(t )(1-21)此功率也是外电路吸收的功率。 理想电流源的定义： 提供的电流为一个确定的时间函数或常量， 而与两端的电压和外接 电路无关。 理想电流源常简称为电流源，其电压电流特性可表述为? ?i ( t ) = is ( t ) ? ? ?u ( t ) = ?∞ → +∞(1-22)式中 is (t ) 为给定的时间函数，与端电压和外接电路无关；电流源的端电压由外电路决定， 取值范围为 ?∞ → +∞ 。电流源的图形符号如图 1-11 (a) 所示。当 is (t ) 为常量(恒定值)时， 这种电流源称为直流电流源。 图 1-11(b)给出了电流源与外电路相连接的情况。图 1-11(c)为直流电流源的伏安特性， 它是一条不随时间改变且平行于电压轴的固定直线。（a ）(b) 图 1-11 理想电流源的符号及特性(c)针对电流源，通常将电压和电流的参考方向取为非关联参考方向（图 1-11（a） 、 （ b） ） ， 则电流源发出的功率为p(t ) = u (t )i s (t )(1-23)此功率也是外电路吸收的功率。 常见的实际电源，如蓄电池、干电池、发电机和电子稳压器等，它们的特性在一定条件 下与理想电压源比较接近，此种情况下，它们的电路模型可用理想电压源表示，或表示成理 想电压源与理想电阻的串联组合；光电池、电子稳流器等器件，它们的特性在一定条件下与 理想电流源比较接近，在此情况下，它们的电路模型可用理想电流源表示，或看成理想电流 源与理想电阻的并联组合。 电压源和电流源统称为独立电源， “独立”二字是相对下面要讨论的“受控”电源而言 的。 1.2.5、受控电源 受控电源是随着电子技术的发展引入电路理论的，应用十分广泛。例如，晶体管的集 电极电流受基极电流控制， 运算放大器的输出电压受输入电压控制， 对包含这类器件的电路 进行理论分析，都要用到受控源模型。 受控电源分为受控电压源和受控电流源两类，共四种，分别为 :(1) 电压控制电压源 (VCVS); (2)电压控制电流源(VCCS);(3)电流控制电压源(CCVS)； (4)电流控制电流源(CCCS)。 它们的图形符号如图 1-12 所示。图 1-12受控电源的图形符号 受控电源用菱形符号表示其电源部分， 以便与独立电源相区别。 图 1-12 中控制端的 u1 和 i1 分别表示控制电压和控制电流， 受控端的 ? , g , γ , β 分别是相关的控制系数。 其中，? 是 一个无量纲的纯数， 称为电压控制电压源的转移电压比(或电压放大系数)； g 具有电导的量 纲，称为电压控制电流源的转移电导，r 具有电阻的量纲，称为电流控制电压源的转移电阻，β 是一个无量纲的纯数，称为电流控制电流源的转移电流比(或称电流放大系数)。如果控制系数为常数，被控制量和控制量成正比，这种受控源为线性受控源，否则称为 非线性受控源。本书只涉及线性受控源，简称为受控源。1. 3 基尔霍夫定律 1.3.1 几个相关概念 电路由元件(支路)连接而成，相互连接的元件其上的电压和电流遵循两类约束，一类是 元件约束，另一类是拓扑约束。例如，线性电阻元件的电压和电流必须满足 u = R i 的关系， 这种关系称为元件约束或元件的电压电流关系， 简写为 VCR （Voltage-Current Relationship） ； 另一类是元件的相互连接给各支路电流和各支路电压带来的约束， 称为拓扑约束， 由基尔霍 夫定律描述。 这里先介绍几个重要的电路术语。(1)支路：通有同一个电流的一段电路；(2)节点：三 条或三条以上支路的连接点；(3)回路：由支路构成的闭合路径。如图 1-13 所示的电路共有 三条支路，即 ab、acb、adb；两个节点，即 a、b；三个回路，即 abca、 abda、 adbca。图 1-13 用于介绍电路术语的电路 1.3.2 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电流定律(KCL)是用来描述流进流出各节点电流规律的，其文字表述为：电 路中的任一节点，在任何时刻流入(或流出)该节点电流的代数和恒等于零。写成数学公式有∑± I上式中，i=0( 1-24 )∑表明对其后的各项 ± I i 做“+”运算（ “+”号不用写出） ，电流 I i 前面用“+”号或用“―”号由统一规则确定。通常规定参考方向流出节点的电流 I i 前面用“+”号，参 考方向流入节点的电流 I i 前面用 “―” 号； 当然规定参考方向流入节点的电流 I i 前面用 “+ ” 号，参考方向流出节点的电流 I i 前面用“―”号也是可行的，针对一个节点采用的规则是 统一的就可行。 一般教材中 KCL 的数学表达式通常写成∑Ii= 0 ，式（1-24）与此有所不同，对初学者而言，式（1-24）的写法更容易理解和应用。 KCL 不仅适用于电路中任何节点，也适用于电路中任何一个闭合面。如图 1-14 所示的 电路，针对虚线包围的封闭区域 (也称为广义节点) ，其内有三个节点①、②、③，对这些 节点按 KCL 列方程，分别有i1 + i 4 ? i 6 = 0 ? i2 ? i4 + i5 = 0 i 3 ? i5 + i 6 = 0(1-25)图 1-14 广义节点示例 将上面三个式子相加，即可求得流进流出闭合区域(广义节点)的电流代数和为i1 ? i 2 + i 3 = 0(1-26)其中 i1 和 i 3 流出闭合面， i 2 流入闭合面，这就是闭合区域的 KCL 方程。可见，电路中的任 一闭合面，在任何时刻流入(或流出)的电流的代数和恒等于零。 应指出 KCL 是定律， 也即规定的规律 （假定的规律） ， 真实世界并不严格遵循这一规律。 针对实际电路画出的一个闭合面，严格来讲，在某一瞬间流进的电流不会等于流出的电流， 这是由客观世界的物理规律所决定的。由物理学知识可知，电流是电荷移动的结果。针对一 个具有一定几何尺寸的实际电路画出的封闭面，在某一瞬间如果流进的电流等于流出的电 流，须有一个前提，即电荷运动速度为无限大，但这一情况并不存在，所以 KCL 是忽略了 电荷移动需要花时间这一因素后假定出的。 集中参数电路是理想电路， 是不考虑电荷移动需 要花时间这一因素后得到的，当把实际电路模型化为集中参数电路后，电路模型严格遵循 KCL。 1.3.3 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电压定律(KVL)是用来研究电路中电压规律的，其文字表述为：对电路中任一 回路，在任何时刻，沿闭合回路电压降的代数和恒等于零。写成数学公式有∑±U上式中，i=0(1-27)∑表明对其后的各项 ± U i 做“+”运算（ “+”号不用写出） ，电压 U i 前面用“+”号或“―”号由统一规则确定。按照(1-27)式列写 KVL 方程时，必须首先选定回路的绕行 方向。回路绕行方向可选为顺时针方向，也可选为逆时针方向。当支路电压 U i 的参考方向 与回路绕行方向一致时，习惯的做法是 U i 前用“+”号，反之用“―”号；当然，当支路电压 U i 的参考方向与回路绕行方向相反时， U i 前用“+”号，反之用“―”号也是可行的， 针对一个回路采用的规则是统一的就可行。 一般教材中 KVL 的数学表达式通常写成∑Ui= 0 ，式（1-27）与此有所不同，对初学者而言，式（1-27）的写法更容易理解和应用。 应指出 KVL 是定律，也即规定的规律（假定的规律） ，真实世界并不严格遵循这一规 律，这是因为电磁波的传播速度不为无穷大。对此问题不深入讨论，有兴趣的读者可自己思 考。实际电路模型化为集中参数电路后，电路模型严格遵循 KCL。 KCL 是对节点各支路电流之间施加的线性约束关系，KVL 是对回路各支路电压之间施 加的线性约束关系，这两个定律仅与元件的相互连接有关，而与元件的性质无关。对集中参 数电路， 不论元件是线性的还是非线性的， 时变的还是非时变的， KCL 和 KVL 总是成立的。 应该指出，对分布参数电路，KCL、KVL 不能成立。 1.4 电路的等效变换 1.4.1 等效变换的概念 等效变换是电路理论中常用的术语，也是电路分析过程中经常进行的工作。针对二端 电路（也称为一端口电路） ，等效一词的含义是指不同二端电路的端口具有相同的电压电流 约束关系， 变换一词的含义是指某一二端电路的结构发生了变化， 即电路的一种结构变成了 另一种结构。 简言之， 若电路结构变换前后端口的电压电流关系保持不变， 则称为等效变换。 等效变换前后的电路互称为等效电路。 在分析计算电路的过程中， 通常通过等效变换的方法 把复杂电路转换为简单电路， 故等效变换方法常被称为电路化简的方法。 但从等效变换自身 的含义来讲，也包含把简单电路化为复杂电路，不过一般不会进行这样的工作。 1.4.2 电阻的串联 各元件若通过的是同一电流，则为串联联接，简称串联。图 1-15（a）所示电路的 n 个电阻 R1 ， R2 ， ??? Rn 通过的是同一电流，故是串联联接。图 1-15n 个电阻的串联及其等效电路对图 1-15（a）所示电路，根据 KVL 有u = u1 + u2 +???+ un( 1-28)根据电阻的元件约束有 u1 = R1i, u2 = R2 i , ???, un = Rn i ，代入上式得到u = ( R1 + R 2 + ? ? ? + R n ) i = Ri式中(1-29)R=n u = R1 + R2 + ???Rn = Σ Rk k =1 i。此处的 R 便是这ｎ个电阻串联时的等效电阻。可构造图 1-15（b）所示电路，其中的电阻 R= R1 + R2 + ???Rn 。图 1-15（a）与图 1-15（b）在 1-1’端口处具有相同的电压电流约束关系，它们互称为等效电路。 电阻串联时，各个电阻上的电压为u k = Rk i =R u ? Rk = k u R R( k = 1, 2, ? ? ? n )(1-3０)可见，串联电阻的电压与其电阻值成正比，上式称为分压公式。1.4.3 电阻的并联各元件若两端加的是同一电压，则为并联联接，简称并联。图 1-16（a）所示的电路 中 n 个电阻两端的电压相同，故是并联联接。图 1-16 根据由 KCL 可得n 个电阻的并联及其等效电路i = i1 + i2 + ???in = G1u + G2u + ???Gnu = （G1 + G2 + ???Gn )u = Gu式中 G1 , G2 , ???, Gn 分别为电阻 R1 , R2 , ???Rn 的电导。而 （1-3１）i n G = = Σ Gk u k =1或(k = 1,2, ???n)（1-32）1 R=k =1Σn1 R kn k =1（1-33）可构造图 1-16（b）所示电路，其中的电导 G = Σ Gk 。图 1-16（a）与图 1-16（b）在 1-1’端口处具有相同的电压电流约束关系，它们互称为等效电路。 电阻并联时，各电阻中的电流为ik = Gku =Gk i G(k =1,2,???n)(1-34)可见，并联电阻中的电流与各自的电导成正比，上式称为分流公式。 1.4.4 电阻的星形连接与三角形连接的等效变换 在电路中把三个电阻元件连接成图 1-17（a）的形式，称为电阻的 Y 形连接（或星形 连接） ，该电路称为 Y 形电路；把三个电阻元件连接成图 1-17（b）的形式，则称为电阻的 ? 连接(或三角形连接)，该电路称为 ? 电路。图 1-17 电阻的星形连接和三角形连接 在电路分析中，往往需要将上述两种电路做等效变换。在这里等效的含义是：它们对 应的三个端子 1、 2、 3 之间具有相同的电压 U 12 , U 23 , U 31 ， 且流入对应端子的电流分别相等，, , 即 i1 = i1, , i2 = i2 , i3 = i3 。可以证明，从电阻的 Y 形连接变换成 ? 形连接，各电阻之间的变换关系为? R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 ? R12 = R3 ? ? R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 ? R23 = R1 ? ? R R + R2 R3 + R3 R1 ? R31 = 1 2 R2 ?从电阻的 ? 形连接变换成电阻的 Y 形连接，各电阻之间的变化关系（１－３５）? R12 R31 ? R1 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 ? ? R23 R12 ? R2 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R ? ? R31 R23 ? R3 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 ?（１－３６）如果电路对称，即 R1 = R2 = R3 = RY ， R12 = R23 = R31 = R? ，则它们之间的变换关系为R? = 3RY（１－３７）1 RY = R? 3（１－３８）例 1―1 图 1-18（a）所示为一桥式电路，已知 R1 =50 ? ， R2 =40 ? ， R3 =15 ? ， R4 = 26?R5 = 10? ,试求此桥式电路的等效电阻。图 1-18例 1―1 图解：将 R1 , R2 , R5 组成的 ? 形连接替换成由 R6 、 R7 、 R8 组成的 Y 形连接，如图 1-18（b）所示，由电阻 ? -Y 之间的变换公式，可知R6 = R7 = R8 =R1 R2 50 × 40 = = 20(?) R1 + R5 + R2 50 + 10 + 40 R5 R1 10 × 50 = = 5(?) R1 + R5 + R2 50 + 10 + 40 R2 R5 40 × 10 = = 4(?) R1 + R5 + R2 50 + 10 + 40 ( R7 + R3 )( R8 + R4 ) (5 + 15)(4 + 26） = 20 + = 32(?) ( R7 + R3 ) + ( R8 + R4 ) (5 + 15) + (4 + 26)应用电阻串并联公式，可求得整个电路的等效电阻为R = R6 +1.4.5 实际电源的两种模型及其等效变换 实际电压源在一定条件下可模型化为图 1-19(a)所示形式， 实际电流源在一定条件下可 模型化为图 1-19(b)所示形式。在满足一定条件的情况下，这两个电路端口处的电压电流关 系相同，互为等效电路。下面推导等效条件。 在图 1-19（a）所示电路中，根据 KVL 和电阻的元件约束可求得在端子1 ? 1′ 处的电压 u 与电流 i 的关系为u = us ? Ri（1-３９）（a） (b) 图 1-19 实际电压源和实际电流源的模型 在图 1-19(b)所示电路中，根据 KCL 和元件约束可得在其在端子1 ? 1′ 处电压 u 与电流 i 的关 系为i = is ? Gu比较式(1-３９)和(1-4０)可知，若满足下列条件（1-4０）1 ? ?G = R ? ? i = Gu ?s s（1-4１）则两式完全等同，也就是说两电路在端子 1 ? 1′ 处电压电流的关系完全一样。由可以得出结 论，在满足式(1-4１)的条件下，电压源和电阻串联的二端网络与电流源和电导并联的二端 网络互为等效电路（注意 us 和 is 的参考方向） 。图 1-19（a） 、(b)所示的两电路等效的含义是端子1 ? 1′ 处的电压、电流具有相同约束关 系，但两电路内部并无等效可言。例如，图 1-19（a） 、(b)电路中端子 1 ? 1′ 开路时，两电 路对外部均不发出功率，但此时，含电流源网络的内部，电流源发出的功率，而电压源不发 出功率；反之，端子1 ? 1′ 短路时，电压源发出的功率，而电流源不发出的功率。 例 1-2 应用等效变换的方法，求解图 1-20（a）所示电路中的电流 i 。 解 这是一个 “综合等效” 题， 应用等效变换的知识， 可将图 1-20 （a） 相继化为图 1-20 （b）→图 1-20（c）→图 1-20（d） 。对最终的等效电路，由 KVL 和元件约束可得i=9?4 = 0.5( A) 1+ 2 + 7图 1-20 例 1-2 图1.5 电路分析的基本方法1.5.1 电路的支路约束和方程的独立性 电路分析和计算的主要内容是：给定电路的结构和元件参数，求解电路各元件（支路） 的电流、电压、功率。为方便介绍电路分析方法，下面先介绍如图 1-21 所示的三种常见支 路形式及约束关系。(b) (c) 图 1-21 三种常见支路 对图 1－２１(a)所示支路，其电压电流约束关系是： u = R ? i 或 i = u / R ；对图 1－２ １(b)所示支路，其电压电流约束关系是： u = ?us + R ? i 或 i = (u + us ) / R ；对图 1－２１ (c)所示支路，其电压电流约束关系是： u = (i + is ) ? R 或 i = u / R ? is 。（a）电路方程须根据电路的元件约束和拓扑约束列写出来，但并非每一个节点的 KCL 方程 和每一个回路的 KVL 方程均对电路求解起作用， 起作用的是独立的 KCL 方程和独立的 KVL 方程。 什么是独立的 KCL 方程呢？独立的 KCL 方程具有这样的特性， 即方程中存在别的 KCL 方程中不包含的支路电流。什么是独立的 KVL 方程呢？独立的 KVL 方程具有这样的特性， 即方程中存在别的 KVL 方程不包含的支路电压。可以证明（请读者参考其它书籍） ，对于 具有 n 个节点， b 条支路的电路， 独立的 KCL 方程数为 （n-1） ， 独立的 KVL 方程数为 b-(n-1)。 能够列写出独立 KCL 方程的节点称为独立节点，能够列写出独立 KVL 方程的回路称为独 立回路。由上可知，电路的独立节点数比电路的全部节点数少 1，独立回路数为电路的全部 支路数减去独立节点数。 独立节点的确定比较容易，去掉电路中任意一个节点，剩余的节点便为独立节点。独立 回路的确定要麻烦一些， 可用以下两种方法确定： 一种方法是所选回路中至少包含有一条其 它回路没有包含的支路； 另一种方法是选电路自然的孔作为独立回路， 它一定会包含有一条 其它回路没有包含的支路。但后一种方法对立体电路不能奏效。 1.5.2 支路法 对于一个具有 b 条支路、n 个节点的电路，当以支路电流和支路电压为待求量列写方程 时，总计有 2b 个未知量。可列出(n-1)个独立 KCL 方程， (b-n+1)个独立 KVL 方程，b 个支 路的电压电流约束方程（VCR） ，共计 2b 个方程，由此求得待求量，这种求解方法称为 2b 法。2b 法方程列写简单，但方程数量多，求解较麻烦。在 2b 法的基础上，可推出支路电流 法，该方法以支路电流为待求量列写方程，共计 b 个方程，是一种常用的电路分析方法。下 面通过具体电路，介绍支路法。 图１－２2 所示电路中，节点数ｎ=4，支路数ｂ=6，所以独立 KCL 方程数为ｎ-1=3， 独立 KVL 方程数为ｂ-ｎ+1=3。图 1-22 介绍电路分析方法的电路 选 4 号节点为参考节点，对 1、2、3 号节点建立 KCL 方程有??i1 + i2 + i6 = 0 ? ??i2 + i3 + i4 = 0 ??i + i ? i = 0 ? 4 5 6（1-4２）假定各支路电压（图中未标出）与各支路电流均取关联参考方向，选电路自然的网为回路并 令回路绕行方向为顺时针，列 KVL 方程，有?u1 + u2 + u3 = 0 ? ??u3 + u4 + u5 = 0 ??u ? u + u = 0 ? 2 4 6各支路的电压电流约束关系为（1-4３）?u1 = ?us1 + R1i1 ? ?u2 = R2 i2 ? ?u3 = R3i3 ? ?u4 = R4 i4 ?u5 = R5i5 + R5is 5 ? ? ?u6 = R6i6（1-4４）（1-4２） 、 （1-4３） 、 （1-4４）给出的方程即为 2b 法方程，方程数量共计十二个。整理方程 并求解，即可求出各支路电压和电流。 若把（1-4４）带入（1-4３） ，可得??us1 + R1i1 + R2i2 + R3i3 = 0 ? ?? R3i3 + R4i4 + R5i5 + R5is 5 = 0 ?? R i ? R i + R i = 0 4 4 6 6 ? 22（1-4５）（1-4２）与（1-4５）结合，即为支路电流法方程，方程数量共计六个。整理方程并求解， 即可求出各支路电流，通过（１－４４）进而可求出各支路电压。电路分析中用支路电流法 列方程时，为简化列写步骤，通常直接写出（1-4５）式。 1.5.3 节点电压法 支路电流法的方程数量为 2b 法一半， 并且的方程列写也相对比较简单， 因而应用广泛。 但针对复杂电路，支路电流法的方程数量仍然较多，为进一步减少电路方程的数量，人们提 出了节点电压法。 节点电压法是以节点电压为待求量建立方程求解电路的方法。那么何为节点电压呢？ 前面在讨论独立节点时谈到对具有 n 个节点的电路， 去掉其中任意一个节点， 余下的节点便 为独立节点。 节点电压就是独立节点对去掉的那个节点的电压。 去掉的那个节点称为参考节 点，该点的电位往往设为零，此时节点电压就等于节点电位，故有些文献也把节点电压法称 为节点电位法。节点电压法或节点电位法简称为节点法。 节点法方程建立的思路是这样的： 先把支路电压用节点电压表示， 然后通过支路的 VCR 把支路电流用节点电压表示，最后通过支路电流把节点电压带入 KCL 方程中，从而使独立 节点的 KCL 方程中出现了节点电压，形成了节点电压法方程。 仍以图１－２２所示电路为例说明上述观点。设④号节点为参考节点，①、②、③号 节点的电压分别记为 un1， un 2， un 3 ，则有 u1 = ?un1 ， u3 =un 2 ， u5 = un 3 。通过（１－４３） 可得 u2 = un1 ? un 2 ， u4 = un 2 ? un 3 ， u6 = un1 ? un 3 。通过（１－４４）可得?i1 = (us1 + u1 ) R1 = (us1 ? un1 ) R1 ?i = u R = (u ? u ) R 2 2 n1 n2 2 ?2 ? ?i3 = u3 R3 = un 2 R3 ? ?i4 = u4 R4 = (un 2 ? un 3 ) R4 ?i5 = u5 R5 ? is 5 = un 3 R5 ? is 5 ? ? ?i6 = u6 R6 = (un1 ? un 3 ) R6把（１－４６）带入（1－４２）并整理方程有（１－４６）(1 R1 + 1 R2 + 1 R6 )un1 ? (1 R2 )un 2 ? (1 R6 )un 3 = us1 R1?(1 R2 )un1 + (1 R2 + 1 R3 + 1 R4 )un 2 ? (1 R4 )un 3 = 0 ?(1 R6 )un1 ? (1 R4 )un 2 + (1 R4 + 1 R5 + 1 R6 )un 3 = is 5（１－４７）以上就是节点电压方程，方程数量为 3，比支路电流法的方程数少。若将此式中所有电阻的 倒数用电导表示，则变成(G1 + G 2 + G6 )u n1 ? G2 u n 2 ? G6U n3 = G1u s1 ? G2 u n1 + (G2 + G3 + G4 )u n 2 ? G4 u n 2 = 0 ? G6 u n1 ? G 4 u n 2 + (G 4 + G5 + G6 )u n3 = i s 5为了归纳出节点法方程的列写方法， 我们把与某独立节点相连的所有支路的电导之和称 为该节点的自电导，简称自导，用标有相同序号下标的 Gii 表示。把两相邻独立节点间相连 支路的所有电导之和的负值称为互电导，简称互导，用标有不同序号下标的 Gij 表示 （i ≠ j ） 。针对图１－２２可以求得，节点①、②、③的自导分别为（１－４８）G11 = G1 + G 2 + G6 G 22 = G2 + G3 + G4 G33 = G2 + G 4 + G6自导值始终为正。两节点间的互导为 （１－４９）G12 = G 21 = ?G 2 G13 = G31 = ?G6 G 23 = G32 = ?G 4互导值始终为负。 （１－４８）右边可写为 i s11 、 i s 22 、 i s 33 ，它们分别表示节点①、②、③由电流源和电 压源注入的电流的代数和。其中对于电流源产生的电流，流入节点时取正，反之取负；对于 电压源产生的电流，电压源正极与该节点相联时取正，反之取负。 这样，可将上述方程写成如下形式 （１－５０）G11un1 + G12un 2 + G13un 3 = iS 11 G21un1 + G22un 2 + G23un 3 = iS 22 G31un1 + G32 un 2 + G33un 3 = iS 33（１－５１）可将此方程组推广到一般情况，即对于具有有 n 个节点的电路，节点电压法的方程为G11un1 + G12un 2 + G13un 3 + L + G1( n ?1)un ?1 = is11 G21un1 + G22un 2 + G23un 3 + L + G2( n ?1)un ?1 = is 22 （１－５２） L G( n ?1)1un1 + G( n ?2)2un 2 + G( n ?3)3un 3 + L + G( n ?1)( n ?1)un ?1 = is ( n ?1)( n ?1)应指出，与电流源串联的电阻不会改变电流源的电流，因而对节点电压不发生影响，这 种电阻称为虚元件，不应列入自导和互导之中。也即用节点电压法解题时，不要计及与电流 源串联支路电阻的影响。 用节点电压法求解电路的步骤如下： ⑴ 选定参考点。 ⑵ 对参考点以外的各节点，以节点电压为变量，按式（１－５２）列出节点电压方程， 注意在方程中自导总是正值，互导总是负值。还应注意各节点注入电流前面的“+” ， “-”号。 ⑶ 解线性方程组，求出各节点的电压。 ⑷ 通过求出的节点电压由 KVL 和支路的 VCR 求各支路电压和电流。 例１－３ 在图１－２３所示的电路中，已知 U S 1 = 60 V , U S 2 = 55 V , I S = 20 A ,R1 = 0.5 ? , R2 = 0.8 ? , R3 = 1 ? , R4 = 1 ? , R5 = 2 ? , R6 = 3 ? ，求各支路电流和电流源 I S 发出的功率。I4 I1 I2 R2 R3 R4I3R6I5 R5R1IsU s1Us2图１－２３ 例１-３电路 解 该电路有 3 个节点①、②、③。选节点③为参考节点。注意到与电流源 I s 相串联 的电阻 R6 不能计入节点②的自导，按式（１－５２）可列写出①和②两节点方程为?1 1 1 ? 1 U U + ? U1 ? U 2 = s1 + s 2 ? + R4 R1 R2 ? R1 R2 R4 ??代入已知数据后即为? 1 1 1 1 ? U1 + ? + + ?U 2 = I s R4 ? R3 R4 R5 ?1 60 55 ? 1 ? + + 1? U1 ? U 2 = + ? 0.5 0.8 ? 0.5 0.8 ? 1? ? ?U1 + ? 1 + 1 + ? U 2 = 20 2? ?联立上述方程解得U1 =51.1 V , U 2 =28.44 V由 KVL 和支路的 VCR 求得各支路电流分别为I1 =U s1 - U1 60 - 51.1 = = 17.8 (A) R1 0.5 U s 2 - U1 55 - 51.1 = = 4.87 (A) R2 0.8 U 2 28.44 = = 28.44 (A) R3 1 U1 - U 2 51.1- 28.44 = = 22.7 (A) R4 1 U 5 28.44 = = 14.22 (A) R5 2I2 =I3 =I4 =I5 =设电流源 I s 两端的电压为 U I s ，该电压的参考方向为上正下负，根据ＫＶＬ有U Is = I s R6 + U 2 = 20 × 3 + 28.44 = 88.44 (V)则电流源 I s 发出的功率为PIs = U Is I s = 88.44 × 20 = 1768.8 （W）包含受控源电路的节点电压方程列写方法与步骤， 与仅包含独立源电路的节点电压方程 列写方法与步骤基本相同。有差别的地方是在列写节点的 KCL 方程时，须先把受控源看成 独立源，然后补充反映控制量与节点电压关系的方程式。 例１－４在图１－２４所示的电路中， 各电阻和各独立源以及受控源均为已知， 试列写 此电路的节点电压方程并求出节点电压。解 节点①图１－２４ 例１-４电路 选最下面的节点为参考点，则节点电压方程为：(节点②1 1 1 + )U 1 ? U 2 = 5 ? 10U A ? 5 I1 0.2 0.1 0.1 ? 1 1 1 U1 + ( + )U 2 = ?10 + 5 I1 0.1 0.2 0.1U2 , 0.2补充方程I1 =联立上述方程解得U A = U1 ? U 2U1 = 0 ,U 2 = 1V1.6 电路定理 1.6.1 叠加定理叠加定理是线性电路的一个重要定理，其内容可表述为：线性电路中，在含 有多个独立源的情况下， 任一支路的电流或者电压等于电路中各个独立源单独作 用时，在该支路中产生的电流或电压的代数和。 （该定理的证明从略，有兴趣的 读者可参阅相关书籍） 。 下面以图 1-25（a）所示的电路为例来验证叠加定理。（a）(b) 图 1-25 说明叠加定理的电路(c)图 1-25（a）所示电路中有两个独立源（激励） u s 和 i s ，现要求解电路中R2 所在支路电流 i2 （响应）和 R1 所在支路电压 u1（响应） 。用支路法或节点法列方程即可求得i2 = u1 =R1 1 us + is R1 + R2 R1 + R2 R1 RR u s ? 1 2 is R1 + R2 R1 + R2由上述式子可以看出， i2 和 u1 分别都是 u s 和 i s 的线性组合。设(1) i2 =u1(1)R1 1 ( 2) u s , i2 = is R1 + R2 R1 + R2 R1 RR = u s , u1( 2 ) = ? 1 2 i s R1 + R2 R1 + R2(1) ( 2) 显然，i2 是电压源 u s 单独作用时在 R2 支路产生的电流， 如图 1-25 （ b） 所示。i2是电流源 i s 单独作用时在 R2 支路产生的电流，如图 1-25（c）所示。同样，u1(1) 和u1( 2) 分别是电压源 u s 和电流源 i s 单独作用时在 R1 支路产生的电压。由上述分析可见(1) (2 ) i2 = i 2 + i2 ， u1 = u1(1) + u1(2 )上式表明， i2 等于两独立源单独作用时在 R2 支路所产生电流的代数和。 u1 等于 两独立源单独作用时在 R1 支路所产生电压的代数和。 对于含有两个以上独立源的线性网络，同样可以验证出上述结论。 应用叠加定理时应注意以下几点： （1）叠加定理只能用于线性网络； （2）某个独立源单独作用时，应将其它独立源置为零。将电压源置为零的方 法是将其短路，将电流源置为零的方法是将其开路。 （3）叠加定理只适用于计算电压、电流，不适用于计算功率；例 1-5 在图 1-26（a）所示电路中，用叠加定理求 4 ? 电阻所在支路的电 压 。 解 （1）当 5V 电压源单独作用时，将电流源开路，见图 1-26（b） 。此时4 ? 电阻上的电压 U ' 用表示，应用分压公式可求得 5 × 4 = 4(V ) 1+ 4 （2）当 6 A 电流源单独作用时，将电压源短路。见图 1-26（c） ，这时 4 ? 电 阻上的电压 U ′′ 可利用 1 ? 与 4 ? 电阻的分流关系求得，即 1 U ′′ = 6 × × 4 = 4.8(V ) 1+ 4 （3）当 5V 电压源与 6 A 电流源共同作用时，则 U' = U = U ' + U '' = 4 + 4.8 = 8.8(V )（a）(b)(c)图 1-26 例 1-5 电路 可见，应用叠加定理，可以把复杂电路转换成相对简单的电路来进行处理， 这样，往往可避免建立方程和求解方程的麻烦，给电路分析带来方便。1.6.2 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理是电路计算的有力工具，应用很广泛。下面分别予以 介绍。 1、戴维南定理 戴维南定理的内容是：任何一个线性有源二端电阻性网络（图 1-27（a） ） ， 对外部电路而言， 可以用一个理想电压源和电阻的串联组合来等效代替 （图 1-27 （ b） ） 。该串联组合中理想电压源的电压等于线性有源二端网络的开路电压 U oc （图 1-27（c） ） ，电阻等于将原网络内所有独立源置零后得到的无源二端网络的等效电阻 Req （图 1-27（d） ） 。 （戴维南定理的证明从略，有兴趣的读者可参阅相 关书籍） 。（a）（b）（c）（ d）图 1-27 说明戴维南定理的电路 显然，得到有源二端网络的戴维南等效电路以后，要计算负载中的电流就 非常方便了。如对图 1-27（b）所示电路，负载电阻 RL 上的电流为I=U oc Req + R L2、诺顿定理 诺顿定理的内容是：任何一个线性有源二端电阻性网络（图 1-28（a） ） ，对 外部电路而言，可以用一个理想电流源和电导的并联组合来等效替代（图 1-28（ b） ） 。该并联组合中理想电流源的电流等于线性有源二端网络的短路电流 I sc （图 1-28（c） ） ，电导等于原网络内所有独立源置零后得到的无源二端网络的等 （图 1-28（d） ） 。 （诺顿定理的证明从略，有兴趣的读者可参阅相关 效电导 Geq （ 书籍） 。 显然，得到一个有源二端网络的诺顿等效电路以后，要计算其负载中的电 流就非常容易了。如对图 1-28（b）所示电路，负载电阻 RL 中的电流I=GL I SC Geq + G L（a）（ b）（c）（d）图 1-28 说明诺顿定理的电路 前面已讨论过电压源和电阻的串联组合与电流源和电导的并联组合之间的 等效变换关系。应用该关系，可以将线性有源二端网络的戴维南等效电路转换为 诺顿等效电路。 戴维南等效电路和诺顿等效电路的结构与实际电源的两种模型相 同，因此，戴维南定理和诺顿定理也合称为等效发电机定理。 3、定理的应用 应用戴维南定理和诺顿定理时，应注意以下几点： （1）戴维南定理和诺顿定理只适用于线性有源二端网络； （2）等效电阻的求解方法有多种方法，如等效变换法、开路电压短路电流法 等。所谓开路电压短路电流法就是用图 1-27（c）求得开路电压 U oc 以后，再由1-28（c）求得短路电流 I sc ，由此可求得网络输入端的等效电阻 Req = U oc / I sc 。例 １ -６ 在图１－２８ （ａ） 所示电路中， 电流源 I s1 = 1A ， 电压源 U s 2 = 10V ，R1 = R2 = 2? ，负载电阻 RL = 20? 。(1)用戴维南定理求负载电流 I L ， （2）用诺顿定理求负载电流 I L 。（a）(b)(c) 图１－２８（d） 例１-６电路解 (1)用戴维南定理求负载电流 I L 令负载 RL 断开，可得图１－２８（b） ，由此可求得开路电压为U oc = U s 2 + I s1 R2 = 10 + 1 × 2 = 12(V )将图１－２８（b）中的独立源置零，可得图１－２８（c） ，由此可得戴维南等效 电阻为Req = R2 = 2?由戴维南等效电路可求得负载电流为IL =U oc 12 = = 0.545( A) Req + R L 2 + 20（2）用诺顿定理求负载电流 I L 令负载 RL 短路，可得图１－２８（d） ，由此可求得短路电流为I sc = I s1 +U s2 10 =1+ = 6( A) R2 2 1 1 1 = = = 0.5(s ) Req R2 2由图１－２８（c）可得诺顿电路的等效电导为 Geq = 利用分流公式，由诺顿等效电路可求得负载电流为IL =1 Geq RL + 1 GeqI sc =I sc = RL Geq + 16 = 0.545( A) 1 20 × + 1 2可见，用诺顿定理和戴维南定理求得的结果是一致的。1.1、 电路如附图所示，在指定的电压和电流i的参考方向下，写出各元件u和i的约束方程。i?10 K?u +?i20 mH10?Fiu++(a )(b )(c )u?i?+5V?i+ + u2A?u(d )(e )习题1.1 图 1.2、附图(a)所示电容中电流i的波形如附图(b)所示，已知 uc (0) = 0 ，试求t=1s,t=2s和t=4s时 电容电压 uc 。iAi+10u2F12345ts?? 10(a )(b )习题 1.2 图 1.3、 电路如附图所示，其中电流源的电流为 is = 2 A ，电压源的电压 u s = 10v (1)求2A电流源和10v电压源的功率; (2)如果要使2A电流源的功率为零，在AB段内应插入何种元件?分析此时各元件的功率。 (3)如果要使10V电压源的功率为零，则应在BC间并联何种元件?并分析此时各元件的功率。 1.4、 在如附图所示的电路中，各元件参数均为已知，试求电流I和电压U。0.2?+ +6V?0.1?+U12V?I2.3??1.4?习题 1.3 图习题 1.4图1.5、利用KCL和KVL求解附图(a)、(b)所示电路中的电压u。22?1?+++88?+3?2??50????习题1.5图 1.6、附图所示为一直流电路，试求电流 I1 , I 2和I 3 。 1.7、试求如附图所示电路中的控制量 I1 及 U 0I1I2+I3I1+1K ?++6V?12V?+U = 4V500?20V?1K ?+ 8 I1U02?5????习题 1.6 图习题 1.7 图1.8、有两个电阻，并联时总电阻是 2.4Ω， ，串联时总电阻是 10，问这两个电阻的阻值各是 多少？ 1.9、如附图所示电路中，已知 R1=10kΩ,R2=5.0 kΩ,R3=2.0 kΩ,R4=1.0 kΩ,U=6.0V,求通过 R3 的电流。 1.10、在附图所示的电路中，当开关 K 断开时，通过 R1 、R2 的电流各为多少？当开关 K 接通时，通过 R1、R2 的电流又各为多少？R1R1R3R22?KUR2R4R32?6V习题 1.9 图 习题 1.10 图 1.11、求附图所示各电路的等效电阻 Rab ，其中，R1=R2 =1Ω，R3=R4 =2Ω，R5 =4Ω， G1=G2 =1S,R=2Ω.R1G1aR3aG2R4bR2 R3KR5b(a) (b)R41?2?R1?R R R2?a2?1?2?R R R R R R2?RRb(d)(e)习题 1.11 图 1.12 在附图（a）所示的电路中，us1=24V，us2=6V，R1 =12Ω，R2 =6Ω，R3 =2Ω。附图 （b）为经过电源变换后的等效电路。R1R2iSR3+US1+RR3??US 2（a ）（b）习题 1-12 图 （1）求等效电路中的 is 和 R； （2）根据等效电路求 R3 中的电流； （3）分别在附图（a）中求 R1 、R2 、R3 消耗的功率，在附图（b）中求 R 、R3 消耗的 功率； （4）试问 us1 、us2 发出的功率是否等于 is 发出的功率？R1 、 R1 消耗的功率是否等于 R 消耗的功率？为什么？ 1.13、 利用电源的等效变换，求附图所示电路的电流 i。1A4?4?+4?+i10?10?2?+1 0 V ??4V?6V习题 1-13 图 1.14、用支路电流法求附图所示电路的各支路电流。 1.15、列写附图所示电路的支路电流方程，并求 I 1 、 I 2 、I3。习题 1.14 图 1.16、试列出附图（a） 、(b)所示电路的节点方程。习题 1.15 图(a) 习题 1.16 图(b)1.17、附图所示电路中电源为无伴电压源，试用节点法求解电流 I S 、 I 0 。 1.18、试用节点法求解本题图所示电路中的电压 U 。习题 1.17 图 习题 1.18 图 1.19、附图（a）所示电路是电子电路中的一种习惯画法，其中未画出电压源，只标出与 电压源相连各点对参考点（或地）的电压，即电位值，如附图（a ）中的 u a 、 u b 。对于附 图（a）可等效地画为附图（b） ，试用节点法求输出端对参考节点的电压 u o 。(a) 习题 6-21 图 1.20、 应用叠加定理求附图所示电路中的电压 u ab 。(b)1.21、 利用叠加定理求附图所示电路中的电压 u 。习题 1.20 图 1.22、求附图所示电路的戴维南和诺顿等效电路。 1.23、求附图所示电路的戴维南等效电路。习题 1.21 图3V2?a9?7?2?11A2?4?5V6?5?b1'习题 1.22 图习题 1.23 图1.24、在附图所示电路中，当 R 值分别为1? 、 2? 、 4? 时，求对应的电流 I 。3I2?I5A10?R习题 1.24 图1.25、在附图所示电路中，若 RL 可变，问 RL 为何值时才能从电路中吸收最大功率？并求此 功率。习题 1.25 图
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