a=180°×k+60°与a=360°×k+60°有什么区别?
点击联系发帖人
时间：2018-03-05 15:48
任意角： S={a|a=a+k*360°,k∈Z}; S={b|b=b+k*180°,k∈Z}；_百度知道
任意角： S={a|a=a+k*360°,k∈Z}; S={b|b=b+k*180°,k∈Z}；
都是以X的非负半轴为起点吗;S={b|b=b+k*180°,k∈Z}；有什么区别呢任意角：S={a|a=a+k*360°,k∈Z}
我有更好的答案
ベ你明白㏄点ダ我头像ο行不ㄍ
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
与60°角终边相同的角的集合可以表示为（ ）A．{α|α=ko360°+，k∈Z}B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}C．{α|α=ko180°+60°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+，k∈Z}
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与60°终边相同的角可表示为：{α|α=ko360°+60°，k∈Z}．用弧度角表示为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故选：D．
为您推荐：
根据终边相同的角相差360°的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合．
本题考点：
终边相同的角．
考点点评：
本题主要考查终边相同的角的集合，注意集合的表示方法是解题的关键，属基础题．
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
a=90度+k360度和·a=90度+2k180度有什么区别
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
前面90°都一样,只要考虑k360°和2k360°的区别就可以了；假设K=1、2、3、4、.那么它们分别取：k360°：360、720、.2k360：360、、2880.它们取值的变化幅度是不是不一样?!
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码拒绝访问 | www.gkstk.com | 百度云加速
请打开cookies.
此网站 (www.gkstk.com) 的管理员禁止了您的访问。原因是您的访问包含了非浏览器特征(3f6dc0eb44ee43f5-ua98).
重新安装浏览器，或使用别的浏览器欢迎来到高考学习网，
免费咨询热线：010-
今日：1530套总数：5885151套专访：3372部会员：401265位
当前位置：
& 2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
资料类别: /
所属版本: 通用
上传时间：
下载次数：57次
资料类型：
文档大小：4.50M
所属点数: 0点
【下载此资源需要登录并付出 0 点，】
资料概述与简介
【创新设计】2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1.考查形式为选择题或填空题．2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如2011年新课标全国T5等．
3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如2012年山东T16等.
[归纳·知识整合]
1．角的有关概念
角的特点 角的分类
从运动的角度看 角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看 可分为象限角和轴线角
α与β角的终边相同 β＝α＋k·360°(kZ) (或β＝α＋k·2π，kZ)
[探究] 1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同．
2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．
2．弧度的概念与公式
在半径为r的圆中
分类 定义(公式)
1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝rad 1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形的面积公式 S＝lr＝|α|·r2
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(kZ) B．k·360°＋π(kZ)
C．k·360°－315°(kZ)
D．kπ＋(kZ)
解析：选C π＝×180°＝360°＋45°＝720°－315°，
与π终边相同的角可表示为k·360°－315°(kZ)．
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D 由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：选C 设扇形的弧长为l，半径为r，则
解之得l＝r＝2或r＝1，l＝4，
故圆心角θ＝1或4.
4．(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．
解析：cos α＝＝＝－，
解之得x＝.
5．若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．
解析：角π的终边落在第二象限，
可设P(x，y)，其中x＜0，y＞0，
由题意得即
P(－1，)．
答案：(－1，)
象限角及终边相同的角
[例1] (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
[自主解答] (1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
终边在直线y＝x上的角的集合为.
(2)θ＝＋2kπ(kZ)，
＝＋(kZ)．
依题意0≤＋＜2π－≤k＜，kZ.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.
(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(kZ)，
2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(kZ)．
角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．
在(3)的条件下，判断为第几象限角？
解：π＋2kπ＜α＜＋2kπ(kZ)，
＋kπ＜＜＋kπ(kZ)．
当k＝2n(nZ)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ，
当k＝2n＋1(nZ)时，π＋2nπ＜＜π＋2nπ，
为第二或第四象限角．
———————————————————
1．由α所在的象限，确定所在象限的方法
(1)由角α的范围，求出所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成θ＋k·360°(kZ)的形式，然后判断所在象限．
2．已知三角函数式的符号判断角所在的象限
可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．
1．(1)已知角α＝2kπ－(kZ)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：(1)选B 由α＝2kπ－(kZ)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
因此，y＝－1＋1－1＝－1.
(2)选B 点P(tan α，cos α)在第三象限，
∴α是第二象限角.
三角函数的定义
[例2] 已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．
[自主解答] 由题设知x＝－，y＝m，
r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，
从而sin α＝＝＝，
r＝＝2，于是3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，
cos α＝－＝－，tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，
cos α＝＝－，tan α＝.
———————————————————
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；纵坐标y；该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|.
当t＞0时，即x>0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t＜0时，即x0部分时，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 弧度制下扇形弧长与面积公式的应用
[例3] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[自主解答] (1)α＝60°＝，R＝10 cm，
l＝Rα＝10×＝ cm.
(2)扇形的周长20，2R＋l＝20，
即2R＋Rα＝20，
S＝R2α＝R(20－2R)＝－R2＋10R
＝－(R－5)2＋25，
当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝＝2，
即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大．
(3)S弓形＝R2α－R2sin
＝×4×－×4×
即弓形的面积为－ cm2.
若将本例(1)中的“R＝10 cm”改为“扇形的弦AB＝10 cm”求扇形的弧长l.
解：由题意得＝sin 30°，即R＝10，
故弧长l＝Rα＝10×＝ cm.
———————————————————
弧度制的应用
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
记住下列公式：l＝αR；S＝lR；S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积．
3．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)如图所示，过O作OCAB于点C，则AC＝5，在RtACO中，
sinAOC＝＝＝，
AOC＝30°，α＝2AOC＝60°.
(2)60°＝，
l＝|α|r＝.
S扇＝lr＝××10＝.
又SAOB＝×10×10sin ＝25，
S弓形＝S扇－SAOB＝－25＝50.
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题
(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(3)要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．
(4)要注意三角函数线是有向线段.
创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题
三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大．
[典例] (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
[解析] 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即PCA＝2，则PCB＝2－，所以PB＝
sin＝－cos 2，CB＝
cos＝sin 2，所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2，1－cos 2)．
[答案] (2－sin 2,1－cos 2)
1．本题具有以下创新点
(1)本题考查三角函数与向量的知识，表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题．
(2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力．
2．解决本题的关键有以下几点
(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；
(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；
(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标．
1．(2012·安徽高考)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2)
D．(－4，2)
解析：选A 设从x轴正方向逆时针到向量的角为α，则从x轴的正方向逆时针到向量的夹角为α＋π，这里cos α＝，sin α＝.设Q坐标为(x，y)，根据三角函数的定义x＝10cos＝10××＝－7，y＝10sin＝－，
即Q(－7，－)．
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( )
如图取AP的中点为D.
设DOA＝θ，
则d＝2sin θ，l＝2θ，
故d＝2sin .
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若α＝k·180°＋45°(kZ)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．在第三或第四象限
解析：选A 当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．
2．点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C 由2 013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2 013°角的终边在第三象限，所以sin 2 013°＜0，cos 2 013°＜0，即点A位于第三象限．
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3]
B．(－2,3)
C．[－2,3)
D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
即－2＜a≤3.
4．若α是第三象限角，则y＝的值为( )
解析：选A 由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，
y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，
y＝＋＝－1＋1＝0.
5．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
解析：选A 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
6．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
解析：选A 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，
面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
解析：＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
8．(2013·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析：sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．
sin α＞0，cos β＜0，β为钝角．故三角形为钝角三角形．
答案：钝角三角形
9．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．
解析：r＝，cos α＝＝－，
m＞0，＝，m＝±.
m＞0，m＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ，求α的三角函数值．
解：θ∈，－1<cos θ<0.
r＝＝－5cos θ，
故sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
11．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解：设圆的半径为r cm，
弧长为l cm，
则圆心角α＝＝2.
如图，过O作OHAB于H.则AOH＝1，
故AH＝1·sin 1＝sin 1 cm，故AB＝2sin 1 cm.
12．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．
所以，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－2，
sin β＝＝，
cos β＝＝，
tan β＝＝，
α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝·＋·＋(－2)×＝－1.
1．(1)把－1 480°写成α＋2kπ(kZ)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)在0°～720°的范围内，找出与终边相同的角．
解：(1)－1 480°＝－1 480°×rad＝－rad，
又－＝－10π＋＝－5×2π＋，
故－1480°＝＋(－5)×2 π.
(2)＝×180°＝72°，终边与相同的角为θ＝72°＋k·360°(kZ)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，在0°～720°的范围内，与终边相同的角为72°，432°.
2．(1)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．
(2)若θ是第二象限角，试判断的符号是什么？
解：(1)因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即
所以θ为第二象限角．
(2)2kπ＋＜θ＜2kπ＋π(kZ)，
－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π(kZ)，
－1≤sin 2θ＜0，
sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0.
＜0.的符号是负号．
3．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
S扇＝α·R2＝α·2
＝α·＝·≤，
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
4．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
解：θ是第二象限角，
＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，kZ，
＋kπ＜＜＋kπ，kZ，
是第一或第三象限的角．
(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：
当是第一象限角时，
sin＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT，
从而得，cos＜sin＜tan；
当是第三象限角时，
sin＝EF，cos＝OE，tan＝CT，
得sin＜cos＜tan .
综上所得，当在第一象限时，cos＜sin ＜tan；
当在第三象限时，sin＜cos＜tan.
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年辽宁T7等．2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用.
[归纳·知识整合]
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？
提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，tan 4α＝等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．
2．诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(kZ) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
即α＋k·2π(kZ)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
[探究] 2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(kZ)，你认为正确吗？
提示：不正确．当k＝2n(nZ)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；
当k＝2n＋1(nZ)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？
提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(kZ)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝，则sin α的值为( )
A．± B.
解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝，cos α＝－，
sin α＝±＝±.
2．tan 690°的值为( )
解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°)
＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
3．(教材习题改编)若tan α＝2，则的值为( )
解析：选C ＝＝＝.
4．(教材习题改编)已知tan α＝，π＜α＜π，则cos α－sin α＝________.
解析：tan α＝，π＜α＜π，α＝π，
cos α－sin α＝cos π－sin π
＝－cos ＋sin ＝－＋＝.
5．计算sin－cos＋tan＝________.
解析：原式＝sin－cos－tan
＝sin－cos－tan
＝－sin＋cos－＝－＋1.
答案：－＋1
同角三角函数关系式的应用
[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出来，并求其值．
[自主解答] (1)法一：
由得cos α＝－sin α，
将其代入，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
α是三角形内角，
∴tan α＝－.
法二：sin α＋cos α＝，
(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，
2sin αcos α＝－，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
sin αcos α＝－<0且0<α0，cos α0.
sin α－cos α＝.
tan α＝－.
(2)＝＝＝.
tan α＝－，
保持本例条件不变，求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由例题可知
tan α＝－.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
———————————————————
同角三角函数关系式及变形公式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
解：sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
sin2α＝4sin2β，
tan2α＝9tan2β.
由÷②得：9cos2α＝4cos2β.
由＋得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
cos2α＝，cos α＝±.
诱导公式的应用
[例2] (1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
[自主解答] (1)＋＝π，
－α＝π－.
＝－cos＝－，
即cos＝－.
(2)cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
———————————————————
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式．
?2?化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2．(1)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则＝( )
A. B．－
(2)设f(α)＝，则f＝________.
解析：(1)选B 方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，
由题知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
原式＝＝－tan2α＝－.
(2)f(α)＝
f＝＝＝＝.
诱导公式在三角形中的应用
[例3] 在ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求ABC的三个内角．
[自主解答] 由已知得
2＋2得2cos2A＝1
即cos A＝或cos A＝－.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又A、B是三角形的内角，A＝，B＝，
C＝π－(A＋B)＝.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又A、B是三角形的内角，
A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
———————————————————
1．三角形中的诱导公式
在三角形ABC中常用到以下结论：
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
sin＝sin＝cos ，
cos＝cos＝sin.
2．求角的一般步骤
求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
3．在ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求ABC的三个内角．
解：sin A＋cos A＝，
1＋2sin Acos A＝2，sin2A＝1.
A为ABC的内角，
2A＝，A＝.
cos A＝－cos(π－B)，
cos＝cos B，
0＜B＜π，B＝.
A＋B＋C＝π，C＝.
A＝，B＝，C＝.
1个口诀——诱导公式的记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限．
1个原则——诱导公式的应用原则
负化正、大化小、化到锐角为终了．
3种方法——三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区
[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－，且α，则tan α＝________.
[解析] 依题意得sin α＝－＝－，
tan α＝＝.
1．解答本题时，常会出现以下两种失误
(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误；
(2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误．
2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点
(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉．
(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．
1．(2013·福州模拟)已知α，tan α＝2，则cos α＝________.
解析：依题意得由此解得cos2α＝，又α，因此cos α＝－.
2．(2013·泰州模拟)若θ，sin 2θ＝，则cos θ－sin θ的值是________．
解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝.
＜θ＜，cos θ＜sin θ.cos θ－sin θ＝－.
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．α是第一象限角，tan α＝，则sin α＝( )
A. B.
解析：选B tan α＝＝，sin2 α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝.
2．若sin＝，则cos＝( )
解析：选B cos＝cos＝sin＝.
3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝( )
解析：选B sin2x＋1＝＝＝.
4．已知f(α)＝，则f的值为( )
解析：选C f(α)＝＝－cos α，
f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则sin α＝( )
解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－＜α＜0，
解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－.
6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－，
sin θcos θ＝.(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
m≤0或m≥4，m＝1－.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．化简＋＝________.
解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
8．若cos(2π－α)＝，且α，则sin(π－α)＝________.
解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin2α＋cos2α＝1可得，sin α＝±，
α∈，sin α＝－.
9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.则sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，
将两边平方得1＋2sin α·cos α＝，
故2sin αcos α＝－.
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又＜α＜π，sin α＞0，cos α＜0.
sin α－cos α＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
解：sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，
sin θ＝－.
11．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根sin θ和cos θ，θ(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，
(2)由sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ
＝(sin θ＋cos θ)2，得m＝.
又θ(0,2π)，故θ＝或θ＝.
12．是否存在α，β(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？
若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．
解：假设存在α、β使得等式成立，即有
由诱导公式可得
sin2α＋3cos2α＝2，解得cos2α＝.
又α∈，α＝或α＝－.
将α＝代入得cos β＝.又β(0，π)，
β＝，代入可知符合．
将α＝－代入得cos β＝.又β(0，π)．
β＝，代入可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
1．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
解析：选B cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°＝，
tan 80°＝，tan 100°＝－tan 80°＝－.
2．sin 585°的值为( )
解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
3．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝( )
解析：选B cos α＋2sin α＝－，结合sin2α＋cos2α＝1得(sin α＋2)2＝0，sin α＝－，cos α＝－，
tan α＝2.
4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·
(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
5．若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．
解：由题意知：sin θ＋cos θ＝，
(sin θ＋cos θ)2＝.
∴sin 2θ＝－，
即2sin θcos θ＝－＜0，
则sin θ与cos θ异号．
又sin θ＋cos θ＝＞0，＜θ＜，π＜2θ＜.
故cos 2θ＝－＝－.
第三节 三角函数的图象与性质
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等.
[归纳·知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 递增区间：(kZ)
递减区间：(kZ) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间：(kZ)
最 值 x＝2kπ＋(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ－(kZ)时，ymin＝－1 x＝2kπ(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(kZ) 时，ymin＝－1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心(kπ，0)，kZ 对称中心，kZ 对称中心(kZ)
对称轴l x＝kπ＋，kZ 对称轴l x＝kπ，kZ 无对称轴
周期 2π 2π π
[探究] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是奇函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是偶函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是奇函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，xR，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选B f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x，
f(x)是最小正周期为π的偶函数．
2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在上是增函数，在上是减函数
解析：选B 由函数y＝4sin x，x[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数．
3．函数y＝ 的定义域为( )
解析：选C cosx－≥0，得cos x≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ.
4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，xR的最小正周期为________．
解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为
5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(kZ)．
答案：5 ＋2kπ(kZ)
三角函数的定义域和值域
[例1] (1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域；
(2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．
[自主解答] (1)要使函数有意义，必须有
解得(kZ)，
即＋2kπ≤x＜＋2kπ(kZ)．
故所求函数的定义域为(kZ)．
(2)y＝2cos2x＋5sin x－4
＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－2(sin x－)2＋.
故当sin x＝1时，ymax＝1，
当sin x＝－1时，ymin＝－9，
故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．
———————————————————
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的求法
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．(1)求函数y＝＋的定义域；
(2)设aR，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)要使函数有意义
利用数轴可得：
所以函数的定义域是.
(2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2
＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x.
由于f＝f(0)，
所以·sin－cos＝－1，
即－a＋＝－1，得a＝2.
于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由于x，所以2x－，
因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f＝2，
当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f＝.
三角函数的单调性
[例2] 求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝2sin；(2)y＝tan.
[自主解答] (1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，kZ，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ.
故函数y＝2sin的单调减区间为
(2)把函数y＝tan变为y＝－tan.
由kπ－<2x－<kπ＋，kZ，
得kπ－<2x<kπ＋，kZ，
即－<x0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
(3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin (φ[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)法一：(图象特征)
正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，kZ，x＝kπ＋，kZ.取k＝－1，则x＝－.
法二：(验证法)
x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确．
(2)由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(kZ)．
又0<φ0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α，f＝2，求α的值．
解：(1)函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2.
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
最小正周期T＝π，
ω＝2，故函数f(x)的解析式为
y＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，
0<α<，－<α－0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；
解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)·
(cos x－sin x)
＝4sin x·＋cos 2x
＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1，
故函数解析式为f(x)＝2sin x＋1.
(2)f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0.
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f(ωx)的增区间是，kZ.
∵f(ωx)在上是增函数，
∴－≥－且≤，
12．(2012·湖北高考)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(kZ)，即ω＝＋(kZ)．
又ω(，1)，kZ，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝2sin－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－ ]．
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg sin(cos x)；(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0.
－1≤cos x≤1，0＜cos x≤1.
利用单位圆中的余弦线OM，
依题意知0＜OM≤1，OM只能在x轴的正半轴上，
其定义域为
(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
2．写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
解：(1)y＝－sin，
它的增区间是y＝sin的减区间，
它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ＋≤x≤kπ＋，kZ.
故所给函数的减区间为，kZ；
增区间为，kZ.
最小正周期T＝＝π.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T＝π.
3．求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝sin2x－4sin x＋5.
解：(1)由y＝，得cos x＝.
因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤≤1，解得≤y≤6.
因此，原函数的值域为.
(2)y＝sin2x－4sin x＋5＝(sinx－2)2＋1.
因为－1≤sin x≤1，所以2≤y≤10.
因此，原函数的值域为[2,10]．
4．设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sin α的值．
解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)f(x)的最小正周期为，
ω＝＝4.f(x)＝3sin.
(3)f＝3sin＝3cos α＝，
cos α＝，sin α＝±＝±.
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等．2.与三角恒等变换相结合考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等.
[归纳·知识整合]
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
[探究] 1.用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？
提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，π，，2π，然后求出x的值．
3．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
法一 法二
[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin的图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
解析：选C y＝3sin＝3sin，
要得到函数y＝3sin的图象，应把函数y＝3sin的图象上所有点向右平行移动π个单位长度．
2．(教材习题改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－
D．2，，－
解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，周期为π，频率为，初相为－.
3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
解析：选C 将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
4．将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．
解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，
得y＝sin，则＋φ＝kπ＋.又0≤φ≤π，故φ＝.
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝－＝，
T＝＝π，ω＝3.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[例1] 已知函数y＝2sin，
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
[自主解答] (1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
法二：将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
若将本例(3)中“y＝sin x”改为“y＝2cos 2x”，则如何变换？
解：y＝2cos 2x＝2siny＝2sin 2xy＝2sin，
即将y＝2cos 2x的图象向右平移个单位即可得到
y＝2sin的图象．
———————————————————
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．(2012·山东高考)已知向量m＝(sin x,1)，n＝Acos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解：(1)f(x)＝m·n
＝Asin xcos x＋cos 2x＝A
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g(x)＝6sin.
因为x，所以4x＋，
故g(x)在上的值域为[－3,6].
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例2] (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f(0)＝________.
(2)如图(2)所示是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B图象的一部分，则f(x)的解析式为________．
图(1) 图(2)
[自主解答] (1)由图可知
T＝π.又T＝＝π，
又图象过点，
由图可知π＋φ＝2kπ＋π，kZ.
∴φ＝2kπ＋，kZ.
故f(x)＝sin，f(0)＝sin＝.
(2)由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.
把(0,2)代入f(x)，得2＝2sin φ＋1，取φ＝.
由图，可知0＜ω＜1，令ω(－π)＋φ＝－＋2kπ，
所以函数的解析式是f(x)＝2sin＋1.
答案：(1) (2)f(x)＝2sin＋1
———————————————————
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示，直线x＝是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：选D 由题意可知，＝－＝，
T＝π＝，ω＝2.再将x＝代入B，D检验直线x＝是否是对称轴，得D选项正确.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
[例3] 函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0，求f(x0＋1)的值．
[自主解答] (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋sin ωx＝2·sin.
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4.
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
所以cos＝ ＝.
故f(x0＋1)＝2sin
———————————————————
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法
认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，xR，其部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上，求sinMNP的值．
解：(1)由图可知，
最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝＝8，ω＝.
又f(1)＝sin＝1，且－＜φ＜，
所以－＜＋φ＜，所以＋φ＝，φ＝.
所以f(x)＝sin(x＋1)．
(2)因为f(－1)＝sin(－1＋1)＝0，
f(1)＝sin(1＋1)＝1，f(5)＝sin(5＋1)＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)，
所以|MN|＝，|MP|＝，|PN|＝，
从而cosMNP＝＝－，
由MNP∈(0，π)，
得sinMNP＝＝.
1个区别——两种图象变换的区别
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
2个注意——作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象应注意的问题
(1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
3种方法——由函数图象求解析式的方法
方法一 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
方法二 通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.依据是五点法．
方法三 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.
答题模板——由三角函数图象确定解析式
[典例] (2012·)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
[快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察条件：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象(0,1)，，T＝2＝π.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求函数f(x)的解析式应建立关于A，ω，φ的三个方程．
3．建联系，找解题突破口
结合条件和求解可知＝π，即ω＝22×＋φ＝π＋2kπ，kZ，
即φ＝f(x)＝Asin
f(0)＝1Asin＝1A＝2
f(x)＝2sin.
1．审条件，挖解题信息
观察条件：f(x)＝2sin.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求函数g(x)＝f－f的单调递增区间g(x)＝2sin.
3．建联系，找解题突破口联想函数y＝sin x的单调性2kπ－≤2x－≤2kπ＋kπ－≤x≤kπ＋，kZ?g(x)的单调递增区间是，kZ.
[准确规范答题]
(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.(2分)
易忽视φ的范围或点为第二个平衡点而导致解题错误.
因为点(，0)在函数图象上，
所以Asin＝0，即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ0，0<φ0，φR)的部分图象如图所示，那么f(0)＝( )
解析：选C 由图可知，A＝2，f＝2，
2sin＝2，sin＝1，
＋φ＝＋2kπ(kZ)，φ＝－＋2kπ(kZ)，
f(0)＝2sin φ＝2sin＝2×＝－1.
3．设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2
又T＝π，＝π，即ω＝2.f(x)＝2sin，
函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2)列出下表
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点画出图象如图．
(3)把y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位，
得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，然后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
4.如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位后得y＝f(x)的图象，求f(x)的对称轴方程．
解：(1)由图象知A＝，以M为第一个零点，
N为第二个零点．
列方程组解之得
故所求解析式为y＝sin.
(2)f(x)＝sin＝sin.令2x－＝＋kπ，kZ，则x＝π＋(kZ)，
故f(x)的对称轴方程为x＝π＋(kZ)．
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如2012年江苏T11，广东T16等．2.考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题，如2012年安徽T16，山东T17等.
[归纳·知识整合]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β
cos(α±β)＝cos_αcos_βsin_αsin_β
tan(α±β)＝
[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？
提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(kZ)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(kZ)，可利用诱导公式化简．
2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？
提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos2α＝，sin2α＝，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
[自测·牛刀小试]
1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( )
A. B.
解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
解析：选D tan(α＋β)＝tan
3．(教材习题改编)下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°
解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°－1＝－cos 30°＝－；sin215°＋cos215°＝1.
4．(教材习题改编)已知cos α＝，0＜α＜π，则cos＝________.
解析：cos α＝，0＜α＜π，
sin α＝，
cos＝cos αcos＋sin αsin
＝cos α＋sin α＝×＋×
5．(教材习题改编)在ABC中，cos A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________.
解析：在ABC中，cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝.
∴tan A＝＝.
∴tan 2A＝＝，
tan 2B＝＝－，
tan(2A＋2B)＝＝.
三角函数式的化简
[例1] (1)化简：(0＜θ＜π)；
(2)求值：－sin 10°.
[自主解答] (1)原式
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
———————————————————
1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：?1?化为特殊角的三角函数值；?2?化为正、负相消的项，消去求值；?3?化分子、分母出现公约数进行约分求值.
1．化简下列各式：
解：(1)原式
＝＝＝tan.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°.
∴＝＝. 三角函数的求值问题
[例2] (2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，xR)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
[自主解答] (1)f(x)＝2cos，ω>0的最小正周期T＝10π＝，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β，f＝－，
即2cos＝－，
即cos＝－，cos β＝，
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
———————————————————
解决给值求值问题的方法
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．
2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
解：0＜β＜＜α＜π，
－＜－β＜，＜α－＜π，
cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
三角函数的求角问题
[例3] 若sin A＝，sin B＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．
[自主解答] A、B均为钝角且sin A＝，sin B＝，cos A＝－＝－＝－，
cos B＝－＝－＝－，
cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×－×＝，
又＜A＜π，＜B＜π，
π＜A＋B＜2π，
由知，A＋B＝.
若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？
解：A，B均为锐角，且sin A＝，sin B＝，
cos A＝＝，
cos B＝＝，
cos?A＋B?＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.又A，B )，A＋B?0，π?，A＋B＝.
———————————————————
1．解决给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出要求的角．
2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值；(2)求β.
解：(1)由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝ ＝.
故tan α＝＝×＝4.
于是tan 2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β0，0<α0，
此时tan(2α－β)＝＝＝1.
tan β＝－<0，<β<π.
则－π<2α－β<0.2α－β＝－.
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11. 2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等.
[归纳·知识整合]
1．半角公式
(1)用cos α表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝；cos2＝；tan2＝.
(2)用cos α表示sin，cos，tan.
sin＝± ；
cos＝± ；
(3)用sin α，cos α表示tan.
[探究] 如何用tan α表示sin 2α与cos 2α？
提示：sin 2α＝2sin αcos α＝＝；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.
2．形如asin x＋bcos x的化简
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
D．－cos 1
解析：选C ＝＝＝cos 1.
2.的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
解析：选B ＝＝
3．若f(x)＝2tan x－，则f的值为( )
解析：选B f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋＝＝，f＝＝8.
4．(教材习题改编)函数y＝cos 4x＋sin 4x的最小正周期为________．
解析：y＝cos 4x＋sin 4x＝2
＝2＝2cos，
5．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________.
解析：cos α＝－，且α是第三象限角，sin α＝－，
＝＝＝＝－.
三角函数式的化简
[例1] (1)化简：＝________；
(2)已知0＜x＜，化简：
lg＋lg－lg(1＋sin 2x)．
[自主解答] (1)原式＝＝2·cos α.
(2)原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg＝lg＝lg 1＝0.
[答案] (1)2cos α
———————————————————
1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求?1?能求出值的应求出值；?2?尽量使三角函数种数最少；?3?尽量使项数最少；
?4?尽量使分母不含三角函数；?5?尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.
1．化简：·.
解：原式＝·
＝＝＝. 三角函数求值
[例2] 已知<α<π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[自主解答] (1)tan α＋＝－，
3tan2α＋10tan α＋3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－3.
<α<π，－1<tan α<0.
∴tan α＝－.
(2)∵tan α＝－，
保持本例条件不变，求的值．
＝＝－tan α＝.
———————————————————
已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路?1?先化简所求式子；?2?观察已知条件与所求式子之间的联系?从三角函数名及角入手?；?3?将已知条件代入所求式子，化简求值.
2．已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α，β，求sin α的值．
解：＜α＜π，π＜2α＜2π.
－＜β＜0，0＜－β＜，π＜2α－β＜，
而sin(2α－β)＝＞0，
2π＜2α－β＜，cos(2α－β)＝.
又－＜β＜0且sin β ＝－，cos β＝，
cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β
＝×－×＝.
又cos 2α＝1－2sin2α，sin2α＝.
又α，sin α＝.
asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)的应用
[例3] (2013·西域模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x，x.
(1)求f(x)的零点；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[自主解答] (1)令f(x)＝0，得
sin x·(sin x＋cos x)＝0，
所以sin x＝0或tan x＝－.
由sin x＝0，x，得x＝π；
由tan x＝－，x，得x＝.
综上，函数f(x)的零点为或π.
(2)f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x
因为x，所以2x－.
所以当2x－＝，即x＝时，
f(x)的最大值为；
当2x－＝，即x＝时，
f(x)的最小值为－1＋.
———————————————————
公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)的应用及注意事项
(1)利用asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．
(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即的值为1或时要熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．
3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋＋1.
(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当x时，求f(x)的值域．
解：f(x)＝sin 2x＋(1－2sin2x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
即kπ－≤x≤kπ＋(kZ)时，函数y＝sin为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)．
(2)x∈，2x＋，
sin∈[0,1]，
f(x)＝2sin＋1[1,3]．
f(x)的值域为[1,3]．
1个公式——辅助角公式
可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．
y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中tan φ＝有≥|y|.
2个方向——三角恒等变换的基本方向
三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
3个步骤——三角恒等变换的步骤
三角恒等变换可以归纳为以下三步：
创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题
1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．
2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．
[典例] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意xR，有g＝g(x)，且当x时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
[解] (1)f(x)＝cos＋sin2 x
＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
当x时，x＋.
由于对任意xR，g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin(π＋2x)＝－sin 2x.
当x时，x＋π，
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.
综合得g(x)在[－π，0]上的解析式为
1．本题具有以下创新点
(1)命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法．
(2)考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．
2．解决本题的关键有以下几点
(1)准确识别函数g(x)的周期T＝；
(2)根据周期恰当地将区间[－π，0]分成和两部分，并正确求出相应的解析式；
(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力．
1．设ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若n·m＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．
解析：m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故sin C＝1－cos C，即sin C＋cos C＝1，即2sin＝1，即sin＝，由于＜C＋＜，故只有C＋＝，即C＝.
2．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.
(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin x＋cos x，f(－x)＝cos x－sin x.
又f(x)＝2f(－x)，
sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)，且cos x≠0，
(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x，
F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1，
即F(x)＝sin＋1.
当sin＝1时，[F(x)]max＝＋1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(kZ)得－＋kπ≤x≤＋kπ(kZ)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(kZ).
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·济南模拟)函数y＝sin xsin的最小正周期是( )
A. B．π
解析：选B y＝sin xcos x＝sin 2x，T＝＝π.
2．(2013·沈阳四校联考)若＝，则tan 2α等于( )
解析：选D ＝＝＝，
tan α＝2，tan 2α＝＝＝－.
3．已知α(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga(a＞0，且a≠1)，则cos的值为( )
解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝，
又cos＝cos＝sin α，
α∈(－π，0)，
sin α＝－.
4．已知x，cos 2x＝a，则cos x＝( )
解析：选D 依题意得cos2x＝＝；
又x，因此cos x＝－ .
5．已知cos＋sin α＝，则sin的值是( )
解析：选C cos＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝，
则sin＝－sin＝－.
6．设α，则＋的最小值为( )
解析：选D ＋＝＝＝－2sin αcos α.
令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.
α∈，t∈.
令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，
当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.
解析：sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.
α、β是锐角，且sin α－sin β＝－<0，0<α<β<.
∴－<α－β<0.
sin(α－β)＝－＝－.tan(α－β)＝＝－.
8．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝________.
解析：α是第二象限角，可能在第一或第三象限．又sin<cos，为第三象限角，cos<0.
∵tan α＝－，
cos α＝－，cos＝－ ＝－ .
9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝sin 2cos －cos 2sin ＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．(1)化简；
(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.
解：(1)原式＝＝＝＝＝2cos 2x.
(2)原式＝··sin 80°
＝·cos 10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
11．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－·sin，
所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
x∈，2x＋，
∴函数F(x)的值域为[0,1＋ ]．
12．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象经过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f，α，β，且g(α)＝1，g(β)＝，求g(α－β)的值．
解：(1)依题意函数的最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)．
因为函数f(x)的图象经过点，
所以3cos＝0，得到2×＋φ＝kπ＋，kZ，即φ＝kπ－，kZ.
由－＜φ＜0得φ＝－.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝3cos.
(2)依题意有g(x)＝3cos＝3cos x，
由g(α)＝3cos α＝1，得cos α＝，
同理g(β)＝3cos β＝，得cos β＝.
而α，β，
所以sin α＝ ＝，
sin β＝ ＝，
所以g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×＝.
1．求值：(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°；
解：(1)原式＝
2．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
解：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α－3cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，
tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，
即＝2x，y＝，即f(x)＝.
(2)角α是一个三角形的最小内角，
0＜α≤，则0＜x≤ ，
f(x)＝＝≤＝，故函数f(x)的值域为.
3．已知sin θ和cos θ是关于x的方程x2－2xsin α＋sin2β＝0的两个根．
求证：2cos 2α＝cos 2β.
证明：因为sin θ，cos θ是方程x2－2xsin α＋sin2 β＝0的两根，所以sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin2β.
因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β，
所以2(1－cos 2α)＝1＋1－cos 2β，所以2cos 2α＝cos 2β.
4．A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP＝θ(0＜θ＜π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.
(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；
(2)设点B的坐标为，AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．
解：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)．
则＝(1＋cos θ，sin θ)，·＝1＋cos θ.
又S＝2×|OP|·|OA|·sin θ＝sin θ，所以·＋S＝cos θ＋1＋sin θ＝·sin＋1(0＜θ＜π)．
故·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.
(2)cos α＝－，sin α＝，且sin θ0＝cos θ0＝，
cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－.
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津T6，北京T11等．2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏T15等.
[归纳·知识整合]
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_Csin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是ABC外接圆半径)a∶b∶c＝sin_Asin_B∶sin_C
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝
解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. 已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
[探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？
提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要条件．
2．在ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)
提示：cos A与b2＋c2－a2同号，
当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；
当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)在ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B．12 C．2 D．28
解析：选A 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.
2．(教材习题改编)在ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
解析：选D ＝，＝，
sin B＝×＝.
又a＞b，A＝60°，
cos B＝＝.
3．ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有( )
解析：选B asin B＝，asin B<b＝<a＝，
符合条件的三角形有2个．
4．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为________．
解析：cos C＝，sin C＝，
S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.
5．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________．
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，sin B≠0，
sin A＝，A＝30°或A＝150°.
答案：30°或150°
利用正、余弦定理解三角形
[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[自主解答] (1)由bsin A＝acos B及正弦定理
＝，得sin B＝cos B，
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
———————————————————
正、余弦定理的选用原则
解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．
1．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，ABC的周长为5，求b的长．
解：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理及cos B＝得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
[例2] 在ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断ABC的形状．
[自主解答] (a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝
a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，sin Acos A＝sin Bcos B，
sin 2A＝sin 2B.
在ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
2A＝2B或2A＝π－2B，A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰或直角三角形．
法二：由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
ABC为等腰或直角三角形．
若将条件改为“sin B＝cos Asin C”，试判断ABC的形状．
解：sin B＝cos A·sin C，
b＝·c，即b2＋a2＝c2，
ABC为直角三角形．
———————————————————
1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.?1?边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；?2?角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
2．在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝，试判断ABC的形状．
解：2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
cos A＝＝，A＝60°.
(2)A＋B＋C＝180°，
B＋C＝180°－60°＝120°.
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝.
∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.
又0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，
B＋30°＝90°，即B＝60°.
A＝B＝C＝60°，ABC为正三角形．
与三角形面积有关的问题
[例3] (2012·山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求ABC的面积S.
[自主解答] (1)证明：在ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，
所以sin B＝·，
因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C，
所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin B，因此sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0<B<π，所以sin B＝＝，
故ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.
———————————————————
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
3．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(2)若a＝2，ABC的面积为，求b，c.
解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，所以
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
1条规律——三角形中的边角关系
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.
2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2种途径——判断三角形形状的途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
2个防范——解三角形应注意的问题
(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
答题模板——利用正、余弦定理解三角形
[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求ABC的面积．
[快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察条件：A＝，bsin－csin＝a
sin Bsin－sin Csin＝sin A.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求证：
B－C＝sin(B－C)＝1或cos(B－C)＝0.
3．建联系，找解题突破口
考虑到所求的结论只含有B，C，因此应消掉sin B·sin－sin Csin＝sin A中的角Asin Bsin－sin Csin＝sin(B－C)＝1由0＜B，C＜，解得B－C＝.
1．审条件，挖解题信息
观察条件：a＝，A＝，B－C＝B＝，C＝.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求ABC的面积由＝＝，得b＝2sin，c＝2sin.
3．建联系，找解题突破口
ABC的边角都具备S＝bcsin A＝ sinsin＝cossin＝.[准确规范答题]
(1)证明：由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，sin B－sin Csin B＋cos B＝，(3分)
易忽视角B－C的范围，直接由sin?B－C?＝1，求得结论.
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
即sin(B－C)＝1，(5分)
由于0<B，C<π，从而
B－C＝.(6分)
(2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.(8分)
由a＝，A＝，得b＝＝2sin ，
c＝＝2sin ，(10分)
所以ABC的面积S＝bcsin A＝sinsin
＝cossin＝.(12分)
[答题模板速成]
解决解三角形问题一般可用以下几步解答：
第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角) 第二步 三角变换 三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化 第三步 由值求角 代入求值 第四步 反思回顾 查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2012·上海高考)在ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
解析：选A 由正弦定理得a2＋b2＜c2，故cos C＝＜0，所以C为钝角．
2．(2012·广东高考)在ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
解析：选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.
3．在ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
解析：选B 由余弦定理得：()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
4．在ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )
解析：选C 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝(a2＋b2)，得2abcos C＝(a2＋b2)，即cos C＝≥＝.
5．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
解析：选A 由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝.
6．在ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则ABC的面积等于( )
解析：选D 依题意与正弦定理得＝，sin C＝＝，C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，ABC的面积等于AB·AC＝；当C＝120°时，A＝30°，ABC的面积等于AB·AC·sin A＝.因此，ABC的面积等于或.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012·福建高考)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析：依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a＞0)，则最大边2a所对的角的余弦值为＝－.
8．(2013·佛山模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，}
任意角： S={a|a=a+k*360°,k∈Z}; S={b|b=b+k*180°,k∈Z}；
都是以X的非负半轴为起点吗;S={b|b=b+k*180°,k∈Z}；有什么区别呢任意角：S={a|a=a+k*360°,k∈Z}
我有更好的答案
ベ你明白㏄点ダ我头像ο行不ㄍ
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
与60°角终边相同的角的集合可以表示为（ ）A．{α|α=ko360°+，k∈Z}B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}C．{α|α=ko180°+60°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+，k∈Z}
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与60°终边相同的角可表示为：{α|α=ko360°+60°，k∈Z}．用弧度角表示为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故选：D．
为您推荐：
根据终边相同的角相差360°的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合．
本题考点：
终边相同的角．
考点点评：
本题主要考查终边相同的角的集合，注意集合的表示方法是解题的关键，属基础题．
扫描下载二维码扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
a=90度+k360度和·a=90度+2k180度有什么区别
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
前面90°都一样,只要考虑k360°和2k360°的区别就可以了；假设K=1、2、3、4、.那么它们分别取：k360°：360、720、.2k360：360、、2880.它们取值的变化幅度是不是不一样?!
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码拒绝访问 | www.gkstk.com | 百度云加速
请打开cookies.
此网站 (www.gkstk.com) 的管理员禁止了您的访问。原因是您的访问包含了非浏览器特征(3f6dc0eb44ee43f5-ua98).
重新安装浏览器，或使用别的浏览器欢迎来到高考学习网，
免费咨询热线：010-
今日：1530套总数：5885151套专访：3372部会员：401265位
当前位置：
& 2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
资料类别: /
所属版本: 通用
上传时间：
下载次数：57次
资料类型：
文档大小：4.50M
所属点数: 0点
【下载此资源需要登录并付出 0 点，】
资料概述与简介
【创新设计】2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1.考查形式为选择题或填空题．2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如2011年新课标全国T5等．
3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如2012年山东T16等.
[归纳·知识整合]
1．角的有关概念
角的特点 角的分类
从运动的角度看 角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看 可分为象限角和轴线角
α与β角的终边相同 β＝α＋k·360°(kZ) (或β＝α＋k·2π，kZ)
[探究] 1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同．
2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．
2．弧度的概念与公式
在半径为r的圆中
分类 定义(公式)
1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝rad 1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形的面积公式 S＝lr＝|α|·r2
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(kZ) B．k·360°＋π(kZ)
C．k·360°－315°(kZ)
D．kπ＋(kZ)
解析：选C π＝×180°＝360°＋45°＝720°－315°，
与π终边相同的角可表示为k·360°－315°(kZ)．
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D 由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：选C 设扇形的弧长为l，半径为r，则
解之得l＝r＝2或r＝1，l＝4，
故圆心角θ＝1或4.
4．(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．
解析：cos α＝＝＝－，
解之得x＝.
5．若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．
解析：角π的终边落在第二象限，
可设P(x，y)，其中x＜0，y＞0，
由题意得即
P(－1，)．
答案：(－1，)
象限角及终边相同的角
[例1] (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．
[自主解答] (1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
终边在直线y＝x上的角的集合为.
(2)θ＝＋2kπ(kZ)，
＝＋(kZ)．
依题意0≤＋＜2π－≤k＜，kZ.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.
(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(kZ)，
2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(kZ)．
角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．
在(3)的条件下，判断为第几象限角？
解：π＋2kπ＜α＜＋2kπ(kZ)，
＋kπ＜＜＋kπ(kZ)．
当k＝2n(nZ)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ，
当k＝2n＋1(nZ)时，π＋2nπ＜＜π＋2nπ，
为第二或第四象限角．
———————————————————
1．由α所在的象限，确定所在象限的方法
(1)由角α的范围，求出所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成θ＋k·360°(kZ)的形式，然后判断所在象限．
2．已知三角函数式的符号判断角所在的象限
可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．
1．(1)已知角α＝2kπ－(kZ)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：(1)选B 由α＝2kπ－(kZ)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
因此，y＝－1＋1－1＝－1.
(2)选B 点P(tan α，cos α)在第三象限，
∴α是第二象限角.
三角函数的定义
[例2] 已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．
[自主解答] 由题设知x＝－，y＝m，
r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，
从而sin α＝＝＝，
r＝＝2，于是3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，
cos α＝－＝－，tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，
cos α＝＝－，tan α＝.
———————————————————
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；纵坐标y；该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|.
当t＞0时，即x>0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t＜0时，即x0部分时，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 弧度制下扇形弧长与面积公式的应用
[例3] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[自主解答] (1)α＝60°＝，R＝10 cm，
l＝Rα＝10×＝ cm.
(2)扇形的周长20，2R＋l＝20，
即2R＋Rα＝20，
S＝R2α＝R(20－2R)＝－R2＋10R
＝－(R－5)2＋25，
当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝＝2，
即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大．
(3)S弓形＝R2α－R2sin
＝×4×－×4×
即弓形的面积为－ cm2.
若将本例(1)中的“R＝10 cm”改为“扇形的弦AB＝10 cm”求扇形的弧长l.
解：由题意得＝sin 30°，即R＝10，
故弧长l＝Rα＝10×＝ cm.
———————————————————
弧度制的应用
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
记住下列公式：l＝αR；S＝lR；S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积．
3．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)如图所示，过O作OCAB于点C，则AC＝5，在RtACO中，
sinAOC＝＝＝，
AOC＝30°，α＝2AOC＝60°.
(2)60°＝，
l＝|α|r＝.
S扇＝lr＝××10＝.
又SAOB＝×10×10sin ＝25，
S弓形＝S扇－SAOB＝－25＝50.
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题
(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(3)要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．
(4)要注意三角函数线是有向线段.
创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题
三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大．
[典例] (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
[解析] 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即PCA＝2，则PCB＝2－，所以PB＝
sin＝－cos 2，CB＝
cos＝sin 2，所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2，1－cos 2)．
[答案] (2－sin 2,1－cos 2)
1．本题具有以下创新点
(1)本题考查三角函数与向量的知识，表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题．
(2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力．
2．解决本题的关键有以下几点
(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；
(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；
(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标．
1．(2012·安徽高考)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2)
D．(－4，2)
解析：选A 设从x轴正方向逆时针到向量的角为α，则从x轴的正方向逆时针到向量的夹角为α＋π，这里cos α＝，sin α＝.设Q坐标为(x，y)，根据三角函数的定义x＝10cos＝10××＝－7，y＝10sin＝－，
即Q(－7，－)．
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( )
如图取AP的中点为D.
设DOA＝θ，
则d＝2sin θ，l＝2θ，
故d＝2sin .
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若α＝k·180°＋45°(kZ)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．在第三或第四象限
解析：选A 当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．
2．点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C 由2 013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2 013°角的终边在第三象限，所以sin 2 013°＜0，cos 2 013°＜0，即点A位于第三象限．
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3]
B．(－2,3)
C．[－2,3)
D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
即－2＜a≤3.
4．若α是第三象限角，则y＝的值为( )
解析：选A 由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，
y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，
y＝＋＝－1＋1＝0.
5．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
解析：选A 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
6．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
解析：选A 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，
面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝＝＝2.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
解析：＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
8．(2013·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析：sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．
sin α＞0，cos β＜0，β为钝角．故三角形为钝角三角形．
答案：钝角三角形
9．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．
解析：r＝，cos α＝＝－，
m＞0，＝，m＝±.
m＞0，m＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ，求α的三角函数值．
解：θ∈，－1<cos θ<0.
r＝＝－5cos θ，
故sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
11．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解：设圆的半径为r cm，
弧长为l cm，
则圆心角α＝＝2.
如图，过O作OHAB于H.则AOH＝1，
故AH＝1·sin 1＝sin 1 cm，故AB＝2sin 1 cm.
12．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．
所以，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－2，
sin β＝＝，
cos β＝＝，
tan β＝＝，
α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝·＋·＋(－2)×＝－1.
1．(1)把－1 480°写成α＋2kπ(kZ)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)在0°～720°的范围内，找出与终边相同的角．
解：(1)－1 480°＝－1 480°×rad＝－rad，
又－＝－10π＋＝－5×2π＋，
故－1480°＝＋(－5)×2 π.
(2)＝×180°＝72°，终边与相同的角为θ＝72°＋k·360°(kZ)．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，在0°～720°的范围内，与终边相同的角为72°，432°.
2．(1)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．
(2)若θ是第二象限角，试判断的符号是什么？
解：(1)因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即
所以θ为第二象限角．
(2)2kπ＋＜θ＜2kπ＋π(kZ)，
－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π(kZ)，
－1≤sin 2θ＜0，
sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0.
＜0.的符号是负号．
3．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
S扇＝α·R2＝α·2
＝α·＝·≤，
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
4．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
解：θ是第二象限角，
＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，kZ，
＋kπ＜＜＋kπ，kZ，
是第一或第三象限的角．
(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：
当是第一象限角时，
sin＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT，
从而得，cos＜sin＜tan；
当是第三象限角时，
sin＝EF，cos＝OE，tan＝CT，
得sin＜cos＜tan .
综上所得，当在第一象限时，cos＜sin ＜tan；
当在第三象限时，sin＜cos＜tan.
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年辽宁T7等．2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用.
[归纳·知识整合]
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？
提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，tan 4α＝等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．
2．诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(kZ) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
即α＋k·2π(kZ)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
[探究] 2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(kZ)，你认为正确吗？
提示：不正确．当k＝2n(nZ)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；
当k＝2n＋1(nZ)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？
提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(kZ)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝，则sin α的值为( )
A．± B.
解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝，cos α＝－，
sin α＝±＝±.
2．tan 690°的值为( )
解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°)
＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
3．(教材习题改编)若tan α＝2，则的值为( )
解析：选C ＝＝＝.
4．(教材习题改编)已知tan α＝，π＜α＜π，则cos α－sin α＝________.
解析：tan α＝，π＜α＜π，α＝π，
cos α－sin α＝cos π－sin π
＝－cos ＋sin ＝－＋＝.
5．计算sin－cos＋tan＝________.
解析：原式＝sin－cos－tan
＝sin－cos－tan
＝－sin＋cos－＝－＋1.
答案：－＋1
同角三角函数关系式的应用
[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出来，并求其值．
[自主解答] (1)法一：
由得cos α＝－sin α，
将其代入，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
α是三角形内角，
∴tan α＝－.
法二：sin α＋cos α＝，
(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，
2sin αcos α＝－，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
sin αcos α＝－<0且0<α0，cos α0.
sin α－cos α＝.
tan α＝－.
(2)＝＝＝.
tan α＝－，
保持本例条件不变，求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由例题可知
tan α＝－.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
———————————————————
同角三角函数关系式及变形公式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.
解：sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
sin2α＝4sin2β，
tan2α＝9tan2β.
由÷②得：9cos2α＝4cos2β.
由＋得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
cos2α＝，cos α＝±.
诱导公式的应用
[例2] (1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
[自主解答] (1)＋＝π，
－α＝π－.
＝－cos＝－，
即cos＝－.
(2)cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
———————————————————
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式．
?2?化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2．(1)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则＝( )
A. B．－
(2)设f(α)＝，则f＝________.
解析：(1)选B 方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，
由题知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
原式＝＝－tan2α＝－.
(2)f(α)＝
f＝＝＝＝.
诱导公式在三角形中的应用
[例3] 在ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求ABC的三个内角．
[自主解答] 由已知得
2＋2得2cos2A＝1
即cos A＝或cos A＝－.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又A、B是三角形的内角，A＝，B＝，
C＝π－(A＋B)＝.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又A、B是三角形的内角，
A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
———————————————————
1．三角形中的诱导公式
在三角形ABC中常用到以下结论：
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
sin＝sin＝cos ，
cos＝cos＝sin.
2．求角的一般步骤
求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
3．在ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求ABC的三个内角．
解：sin A＋cos A＝，
1＋2sin Acos A＝2，sin2A＝1.
A为ABC的内角，
2A＝，A＝.
cos A＝－cos(π－B)，
cos＝cos B，
0＜B＜π，B＝.
A＋B＋C＝π，C＝.
A＝，B＝，C＝.
1个口诀——诱导公式的记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限．
1个原则——诱导公式的应用原则
负化正、大化小、化到锐角为终了．
3种方法——三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区
[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－，且α，则tan α＝________.
[解析] 依题意得sin α＝－＝－，
tan α＝＝.
1．解答本题时，常会出现以下两种失误
(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误；
(2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误．
2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点
(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉．
(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．
1．(2013·福州模拟)已知α，tan α＝2，则cos α＝________.
解析：依题意得由此解得cos2α＝，又α，因此cos α＝－.
2．(2013·泰州模拟)若θ，sin 2θ＝，则cos θ－sin θ的值是________．
解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝.
＜θ＜，cos θ＜sin θ.cos θ－sin θ＝－.
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．α是第一象限角，tan α＝，则sin α＝( )
A. B.
解析：选B tan α＝＝，sin2 α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝.
2．若sin＝，则cos＝( )
解析：选B cos＝cos＝sin＝.
3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝( )
解析：选B sin2x＋1＝＝＝.
4．已知f(α)＝，则f的值为( )
解析：选C f(α)＝＝－cos α，
f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则sin α＝( )
解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－＜α＜0，
解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－.
6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－，
sin θcos θ＝.(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
m≤0或m≥4，m＝1－.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．化简＋＝________.
解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
8．若cos(2π－α)＝，且α，则sin(π－α)＝________.
解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin2α＋cos2α＝1可得，sin α＝±，
α∈，sin α＝－.
9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.则sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，
将两边平方得1＋2sin α·cos α＝，
故2sin αcos α＝－.
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又＜α＜π，sin α＞0，cos α＜0.
sin α－cos α＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
解：sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，
sin θ＝－.
11．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根sin θ和cos θ，θ(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，
(2)由sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ
＝(sin θ＋cos θ)2，得m＝.
又θ(0,2π)，故θ＝或θ＝.
12．是否存在α，β(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？
若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．
解：假设存在α、β使得等式成立，即有
由诱导公式可得
sin2α＋3cos2α＝2，解得cos2α＝.
又α∈，α＝或α＝－.
将α＝代入得cos β＝.又β(0，π)，
β＝，代入可知符合．
将α＝－代入得cos β＝.又β(0，π)．
β＝，代入可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
1．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
解析：选B cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°＝，
tan 80°＝，tan 100°＝－tan 80°＝－.
2．sin 585°的值为( )
解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
3．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝( )
解析：选B cos α＋2sin α＝－，结合sin2α＋cos2α＝1得(sin α＋2)2＝0，sin α＝－，cos α＝－，
tan α＝2.
4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·
(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
5．若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．
解：由题意知：sin θ＋cos θ＝，
(sin θ＋cos θ)2＝.
∴sin 2θ＝－，
即2sin θcos θ＝－＜0，
则sin θ与cos θ异号．
又sin θ＋cos θ＝＞0，＜θ＜，π＜2θ＜.
故cos 2θ＝－＝－.
第三节 三角函数的图象与性质
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等.
[归纳·知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 递增区间：(kZ)
递减区间：(kZ) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间：(kZ)
最 值 x＝2kπ＋(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ－(kZ)时，ymin＝－1 x＝2kπ(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(kZ) 时，ymin＝－1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心(kπ，0)，kZ 对称中心，kZ 对称中心(kZ)
对称轴l x＝kπ＋，kZ 对称轴l x＝kπ，kZ 无对称轴
周期 2π 2π π
[探究] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是奇函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是偶函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是奇函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，xR，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选B f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x，
f(x)是最小正周期为π的偶函数．
2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在上是增函数，在上是减函数
解析：选B 由函数y＝4sin x，x[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数．
3．函数y＝ 的定义域为( )
解析：选C cosx－≥0，得cos x≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ.
4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，xR的最小正周期为________．
解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为
5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(kZ)．
答案：5 ＋2kπ(kZ)
三角函数的定义域和值域
[例1] (1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域；
(2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．
[自主解答] (1)要使函数有意义，必须有
解得(kZ)，
即＋2kπ≤x＜＋2kπ(kZ)．
故所求函数的定义域为(kZ)．
(2)y＝2cos2x＋5sin x－4
＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－2(sin x－)2＋.
故当sin x＝1时，ymax＝1，
当sin x＝－1时，ymin＝－9，
故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．
———————————————————
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的求法
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．(1)求函数y＝＋的定义域；
(2)设aR，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)要使函数有意义
利用数轴可得：
所以函数的定义域是.
(2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2
＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x.
由于f＝f(0)，
所以·sin－cos＝－1，
即－a＋＝－1，得a＝2.
于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由于x，所以2x－，
因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f＝2，
当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f＝.
三角函数的单调性
[例2] 求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝2sin；(2)y＝tan.
[自主解答] (1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，kZ，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ.
故函数y＝2sin的单调减区间为
(2)把函数y＝tan变为y＝－tan.
由kπ－<2x－<kπ＋，kZ，
得kπ－<2x<kπ＋，kZ，
即－<x0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
(3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin (φ[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)法一：(图象特征)
正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，kZ，x＝kπ＋，kZ.取k＝－1，则x＝－.
法二：(验证法)
x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确．
(2)由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(kZ)．
又0<φ0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α，f＝2，求α的值．
解：(1)函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2.
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
最小正周期T＝π，
ω＝2，故函数f(x)的解析式为
y＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，
0<α<，－<α－0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；
解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)·
(cos x－sin x)
＝4sin x·＋cos 2x
＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1，
故函数解析式为f(x)＝2sin x＋1.
(2)f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0.
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f(ωx)的增区间是，kZ.
∵f(ωx)在上是增函数，
∴－≥－且≤，
12．(2012·湖北高考)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(kZ)，即ω＝＋(kZ)．
又ω(，1)，kZ，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝2sin－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－ ]．
1．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg sin(cos x)；(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0.
－1≤cos x≤1，0＜cos x≤1.
利用单位圆中的余弦线OM，
依题意知0＜OM≤1，OM只能在x轴的正半轴上，
其定义域为
(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
2．写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
解：(1)y＝－sin，
它的增区间是y＝sin的减区间，
它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ＋≤x≤kπ＋，kZ.
故所给函数的减区间为，kZ；
增区间为，kZ.
最小正周期T＝＝π.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T＝π.
3．求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝sin2x－4sin x＋5.
解：(1)由y＝，得cos x＝.
因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤≤1，解得≤y≤6.
因此，原函数的值域为.
(2)y＝sin2x－4sin x＋5＝(sinx－2)2＋1.
因为－1≤sin x≤1，所以2≤y≤10.
因此，原函数的值域为[2,10]．
4．设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sin α的值．
解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
(2)f(x)的最小正周期为，
ω＝＝4.f(x)＝3sin.
(3)f＝3sin＝3cos α＝，
cos α＝，sin α＝±＝±.
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等．2.与三角恒等变换相结合考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等.
[归纳·知识整合]
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
[探究] 1.用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？
提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，π，，2π，然后求出x的值．
3．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
法一 法二
[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin的图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
解析：选C y＝3sin＝3sin，
要得到函数y＝3sin的图象，应把函数y＝3sin的图象上所有点向右平行移动π个单位长度．
2．(教材习题改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－
D．2，，－
解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，周期为π，频率为，初相为－.
3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
解析：选C 将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
4．将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．
解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，
得y＝sin，则＋φ＝kπ＋.又0≤φ≤π，故φ＝.
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝－＝，
T＝＝π，ω＝3.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[例1] 已知函数y＝2sin，
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
[自主解答] (1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
法二：将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
若将本例(3)中“y＝sin x”改为“y＝2cos 2x”，则如何变换？
解：y＝2cos 2x＝2siny＝2sin 2xy＝2sin，
即将y＝2cos 2x的图象向右平移个单位即可得到
y＝2sin的图象．
———————————————————
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
1．(2012·山东高考)已知向量m＝(sin x,1)，n＝Acos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解：(1)f(x)＝m·n
＝Asin xcos x＋cos 2x＝A
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g(x)＝6sin.
因为x，所以4x＋，
故g(x)在上的值域为[－3,6].
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例2] (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f(0)＝________.
(2)如图(2)所示是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B图象的一部分，则f(x)的解析式为________．
图(1) 图(2)
[自主解答] (1)由图可知
T＝π.又T＝＝π，
又图象过点，
由图可知π＋φ＝2kπ＋π，kZ.
∴φ＝2kπ＋，kZ.
故f(x)＝sin，f(0)＝sin＝.
(2)由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.
把(0,2)代入f(x)，得2＝2sin φ＋1，取φ＝.
由图，可知0＜ω＜1，令ω(－π)＋φ＝－＋2kπ，
所以函数的解析式是f(x)＝2sin＋1.
答案：(1) (2)f(x)＝2sin＋1
———————————————————
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示，直线x＝是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：选D 由题意可知，＝－＝，
T＝π＝，ω＝2.再将x＝代入B，D检验直线x＝是否是对称轴，得D选项正确.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
[例3] 函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0，求f(x0＋1)的值．
[自主解答] (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋sin ωx＝2·sin.
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4.
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
所以cos＝ ＝.
故f(x0＋1)＝2sin
———————————————————
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法
认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，xR，其部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上，求sinMNP的值．
解：(1)由图可知，
最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝＝8，ω＝.
又f(1)＝sin＝1，且－＜φ＜，
所以－＜＋φ＜，所以＋φ＝，φ＝.
所以f(x)＝sin(x＋1)．
(2)因为f(－1)＝sin(－1＋1)＝0，
f(1)＝sin(1＋1)＝1，f(5)＝sin(5＋1)＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)，
所以|MN|＝，|MP|＝，|PN|＝，
从而cosMNP＝＝－，
由MNP∈(0，π)，
得sinMNP＝＝.
1个区别——两种图象变换的区别
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
2个注意——作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象应注意的问题
(1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
3种方法——由函数图象求解析式的方法
方法一 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
方法二 通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.依据是五点法．
方法三 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.
答题模板——由三角函数图象确定解析式
[典例] (2012·)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
[快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察条件：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象(0,1)，，T＝2＝π.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求函数f(x)的解析式应建立关于A，ω，φ的三个方程．
3．建联系，找解题突破口
结合条件和求解可知＝π，即ω＝22×＋φ＝π＋2kπ，kZ，
即φ＝f(x)＝Asin
f(0)＝1Asin＝1A＝2
f(x)＝2sin.
1．审条件，挖解题信息
观察条件：f(x)＝2sin.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求函数g(x)＝f－f的单调递增区间g(x)＝2sin.
3．建联系，找解题突破口联想函数y＝sin x的单调性2kπ－≤2x－≤2kπ＋kπ－≤x≤kπ＋，kZ?g(x)的单调递增区间是，kZ.
[准确规范答题]
(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.(2分)
易忽视φ的范围或点为第二个平衡点而导致解题错误.
因为点(，0)在函数图象上，
所以Asin＝0，即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ0，0<φ0，φR)的部分图象如图所示，那么f(0)＝( )
解析：选C 由图可知，A＝2，f＝2，
2sin＝2，sin＝1，
＋φ＝＋2kπ(kZ)，φ＝－＋2kπ(kZ)，
f(0)＝2sin φ＝2sin＝2×＝－1.
3．设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2
又T＝π，＝π，即ω＝2.f(x)＝2sin，
函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2)列出下表
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点画出图象如图．
(3)把y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位，
得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，然后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
4.如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位后得y＝f(x)的图象，求f(x)的对称轴方程．
解：(1)由图象知A＝，以M为第一个零点，
N为第二个零点．
列方程组解之得
故所求解析式为y＝sin.
(2)f(x)＝sin＝sin.令2x－＝＋kπ，kZ，则x＝π＋(kZ)，
故f(x)的对称轴方程为x＝π＋(kZ)．
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如2012年江苏T11，广东T16等．2.考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题，如2012年安徽T16，山东T17等.
[归纳·知识整合]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β
cos(α±β)＝cos_αcos_βsin_αsin_β
tan(α±β)＝
[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？
提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(kZ)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(kZ)，可利用诱导公式化简．
2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？
提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos2α＝，sin2α＝，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
[自测·牛刀小试]
1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( )
A. B.
解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
解析：选D tan(α＋β)＝tan
3．(教材习题改编)下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°
解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝；
2sin215°－1＝－cos 30°＝－；sin215°＋cos215°＝1.
4．(教材习题改编)已知cos α＝，0＜α＜π，则cos＝________.
解析：cos α＝，0＜α＜π，
sin α＝，
cos＝cos αcos＋sin αsin
＝cos α＋sin α＝×＋×
5．(教材习题改编)在ABC中，cos A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________.
解析：在ABC中，cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝.
∴tan A＝＝.
∴tan 2A＝＝，
tan 2B＝＝－，
tan(2A＋2B)＝＝.
三角函数式的化简
[例1] (1)化简：(0＜θ＜π)；
(2)求值：－sin 10°.
[自主解答] (1)原式
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
———————————————————
1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：?1?化为特殊角的三角函数值；?2?化为正、负相消的项，消去求值；?3?化分子、分母出现公约数进行约分求值.
1．化简下列各式：
解：(1)原式
＝＝＝tan.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°.
∴＝＝. 三角函数的求值问题
[例2] (2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，xR)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
[自主解答] (1)f(x)＝2cos，ω>0的最小正周期T＝10π＝，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
而α，β，f＝－，
即2cos＝－，
即cos＝－，cos β＝，
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
———————————————————
解决给值求值问题的方法
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．
2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
解：0＜β＜＜α＜π，
－＜－β＜，＜α－＜π，
cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
三角函数的求角问题
[例3] 若sin A＝，sin B＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．
[自主解答] A、B均为钝角且sin A＝，sin B＝，cos A＝－＝－＝－，
cos B＝－＝－＝－，
cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×－×＝，
又＜A＜π，＜B＜π，
π＜A＋B＜2π，
由知，A＋B＝.
若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？
解：A，B均为锐角，且sin A＝，sin B＝，
cos A＝＝，
cos B＝＝，
cos?A＋B?＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.又A，B )，A＋B?0，π?，A＋B＝.
———————————————————
1．解决给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出要求的角．
2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值；(2)求β.
解：(1)由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝ ＝.
故tan α＝＝×＝4.
于是tan 2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β0，0<α0，
此时tan(2α－β)＝＝＝1.
tan β＝－<0，<β<π.
则－π<2α－β<0.2α－β＝－.
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11. 2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等.
[归纳·知识整合]
1．半角公式
(1)用cos α表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝；cos2＝；tan2＝.
(2)用cos α表示sin，cos，tan.
sin＝± ；
cos＝± ；
(3)用sin α，cos α表示tan.
[探究] 如何用tan α表示sin 2α与cos 2α？
提示：sin 2α＝2sin αcos α＝＝；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.
2．形如asin x＋bcos x的化简
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
D．－cos 1
解析：选C ＝＝＝cos 1.
2.的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
解析：选B ＝＝
3．若f(x)＝2tan x－，则f的值为( )
解析：选B f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋＝＝，f＝＝8.
4．(教材习题改编)函数y＝cos 4x＋sin 4x的最小正周期为________．
解析：y＝cos 4x＋sin 4x＝2
＝2＝2cos，
5．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________.
解析：cos α＝－，且α是第三象限角，sin α＝－，
＝＝＝＝－.
三角函数式的化简
[例1] (1)化简：＝________；
(2)已知0＜x＜，化简：
lg＋lg－lg(1＋sin 2x)．
[自主解答] (1)原式＝＝2·cos α.
(2)原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg＝lg＝lg 1＝0.
[答案] (1)2cos α
———————————————————
1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求?1?能求出值的应求出值；?2?尽量使三角函数种数最少；?3?尽量使项数最少；
?4?尽量使分母不含三角函数；?5?尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.
1．化简：·.
解：原式＝·
＝＝＝. 三角函数求值
[例2] 已知<α<π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[自主解答] (1)tan α＋＝－，
3tan2α＋10tan α＋3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－3.
<α<π，－1<tan α<0.
∴tan α＝－.
(2)∵tan α＝－，
保持本例条件不变，求的值．
＝＝－tan α＝.
———————————————————
已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路?1?先化简所求式子；?2?观察已知条件与所求式子之间的联系?从三角函数名及角入手?；?3?将已知条件代入所求式子，化简求值.
2．已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α，β，求sin α的值．
解：＜α＜π，π＜2α＜2π.
－＜β＜0，0＜－β＜，π＜2α－β＜，
而sin(2α－β)＝＞0，
2π＜2α－β＜，cos(2α－β)＝.
又－＜β＜0且sin β ＝－，cos β＝，
cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β
＝×－×＝.
又cos 2α＝1－2sin2α，sin2α＝.
又α，sin α＝.
asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)的应用
[例3] (2013·西域模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x，x.
(1)求f(x)的零点；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[自主解答] (1)令f(x)＝0，得
sin x·(sin x＋cos x)＝0，
所以sin x＝0或tan x＝－.
由sin x＝0，x，得x＝π；
由tan x＝－，x，得x＝.
综上，函数f(x)的零点为或π.
(2)f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x
因为x，所以2x－.
所以当2x－＝，即x＝时，
f(x)的最大值为；
当2x－＝，即x＝时，
f(x)的最小值为－1＋.
———————————————————
公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)的应用及注意事项
(1)利用asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．
(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即的值为1或时要熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．
3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋＋1.
(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当x时，求f(x)的值域．
解：f(x)＝sin 2x＋(1－2sin2x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
即kπ－≤x≤kπ＋(kZ)时，函数y＝sin为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)．
(2)x∈，2x＋，
sin∈[0,1]，
f(x)＝2sin＋1[1,3]．
f(x)的值域为[1,3]．
1个公式——辅助角公式
可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．
y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中tan φ＝有≥|y|.
2个方向——三角恒等变换的基本方向
三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
3个步骤——三角恒等变换的步骤
三角恒等变换可以归纳为以下三步：
创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题
1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．
2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．
[典例] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意xR，有g＝g(x)，且当x时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
[解] (1)f(x)＝cos＋sin2 x
＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
当x时，x＋.
由于对任意xR，g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin(π＋2x)＝－sin 2x.
当x时，x＋π，
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.
综合得g(x)在[－π，0]上的解析式为
1．本题具有以下创新点
(1)命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法．
(2)考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．
2．解决本题的关键有以下几点
(1)准确识别函数g(x)的周期T＝；
(2)根据周期恰当地将区间[－π，0]分成和两部分，并正确求出相应的解析式；
(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力．
1．设ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若n·m＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．
解析：m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故sin C＝1－cos C，即sin C＋cos C＝1，即2sin＝1，即sin＝，由于＜C＋＜，故只有C＋＝，即C＝.
2．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.
(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin x＋cos x，f(－x)＝cos x－sin x.
又f(x)＝2f(－x)，
sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)，且cos x≠0，
(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x，
F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1，
即F(x)＝sin＋1.
当sin＝1时，[F(x)]max＝＋1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(kZ)得－＋kπ≤x≤＋kπ(kZ)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(kZ).
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·济南模拟)函数y＝sin xsin的最小正周期是( )
A. B．π
解析：选B y＝sin xcos x＝sin 2x，T＝＝π.
2．(2013·沈阳四校联考)若＝，则tan 2α等于( )
解析：选D ＝＝＝，
tan α＝2，tan 2α＝＝＝－.
3．已知α(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga(a＞0，且a≠1)，则cos的值为( )
解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝，
又cos＝cos＝sin α，
α∈(－π，0)，
sin α＝－.
4．已知x，cos 2x＝a，则cos x＝( )
解析：选D 依题意得cos2x＝＝；
又x，因此cos x＝－ .
5．已知cos＋sin α＝，则sin的值是( )
解析：选C cos＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝，
则sin＝－sin＝－.
6．设α，则＋的最小值为( )
解析：选D ＋＝＝＝－2sin αcos α.
令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.
α∈，t∈.
令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，
当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________.
解析：sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.
α、β是锐角，且sin α－sin β＝－<0，0<α<β<.
∴－<α－β<0.
sin(α－β)＝－＝－.tan(α－β)＝＝－.
8．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin<cos，则cos＝________.
解析：α是第二象限角，可能在第一或第三象限．又sin<cos，为第三象限角，cos<0.
∵tan α＝－，
cos α＝－，cos＝－ ＝－ .
9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝sin 2cos －cos 2sin ＝.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．(1)化简；
(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.
解：(1)原式＝＝＝＝＝2cos 2x.
(2)原式＝··sin 80°
＝·cos 10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
11．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－·sin，
所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
x∈，2x＋，
∴函数F(x)的值域为[0,1＋ ]．
12．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象经过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f，α，β，且g(α)＝1，g(β)＝，求g(α－β)的值．
解：(1)依题意函数的最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)．
因为函数f(x)的图象经过点，
所以3cos＝0，得到2×＋φ＝kπ＋，kZ，即φ＝kπ－，kZ.
由－＜φ＜0得φ＝－.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝3cos.
(2)依题意有g(x)＝3cos＝3cos x，
由g(α)＝3cos α＝1，得cos α＝，
同理g(β)＝3cos β＝，得cos β＝.
而α，β，
所以sin α＝ ＝，
sin β＝ ＝，
所以g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×＝.
1．求值：(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°；
解：(1)原式＝
2．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．
解：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α－3cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，
tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，
即＝2x，y＝，即f(x)＝.
(2)角α是一个三角形的最小内角，
0＜α≤，则0＜x≤ ，
f(x)＝＝≤＝，故函数f(x)的值域为.
3．已知sin θ和cos θ是关于x的方程x2－2xsin α＋sin2β＝0的两个根．
求证：2cos 2α＝cos 2β.
证明：因为sin θ，cos θ是方程x2－2xsin α＋sin2 β＝0的两根，所以sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin2β.
因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β，
所以2(1－cos 2α)＝1＋1－cos 2β，所以2cos 2α＝cos 2β.
4．A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP＝θ(0＜θ＜π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.
(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；
(2)设点B的坐标为，AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．
解：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)．
则＝(1＋cos θ，sin θ)，·＝1＋cos θ.
又S＝2×|OP|·|OA|·sin θ＝sin θ，所以·＋S＝cos θ＋1＋sin θ＝·sin＋1(0＜θ＜π)．
故·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.
(2)cos α＝－，sin α＝，且sin θ0＝cos θ0＝，
cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－.
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津T6，北京T11等．2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏T15等.
[归纳·知识整合]
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_Csin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是ABC外接圆半径)a∶b∶c＝sin_Asin_B∶sin_C
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝
解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. 已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
[探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？
提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要条件．
2．在ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)
提示：cos A与b2＋c2－a2同号，
当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；
当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)在ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B．12 C．2 D．28
解析：选A 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.
2．(教材习题改编)在ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
解析：选D ＝，＝，
sin B＝×＝.
又a＞b，A＝60°，
cos B＝＝.
3．ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有( )
解析：选B asin B＝，asin B<b＝<a＝，
符合条件的三角形有2个．
4．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为________．
解析：cos C＝，sin C＝，
S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.
5．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________．
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，sin B≠0，
sin A＝，A＝30°或A＝150°.
答案：30°或150°
利用正、余弦定理解三角形
[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[自主解答] (1)由bsin A＝acos B及正弦定理
＝，得sin B＝cos B，
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
———————————————————
正、余弦定理的选用原则
解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．
1．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，ABC的周长为5，求b的长．
解：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理及cos B＝得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
[例2] 在ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断ABC的形状．
[自主解答] (a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝
a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，sin Acos A＝sin Bcos B，
sin 2A＝sin 2B.
在ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
2A＝2B或2A＝π－2B，A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰或直角三角形．
法二：由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
ABC为等腰或直角三角形．
若将条件改为“sin B＝cos Asin C”，试判断ABC的形状．
解：sin B＝cos A·sin C，
b＝·c，即b2＋a2＝c2，
ABC为直角三角形．
———————————————————
1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.?1?边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；?2?角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
2．在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝，试判断ABC的形状．
解：2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
cos A＝＝，A＝60°.
(2)A＋B＋C＝180°，
B＋C＝180°－60°＝120°.
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝.
∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.
又0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，
B＋30°＝90°，即B＝60°.
A＝B＝C＝60°，ABC为正三角形．
与三角形面积有关的问题
[例3] (2012·山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求ABC的面积S.
[自主解答] (1)证明：在ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，
所以sin B＝·，
因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C，
所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin B，因此sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0<B<π，所以sin B＝＝，
故ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.
———————————————————
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
3．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(2)若a＝2，ABC的面积为，求b，c.
解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，所以
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
1条规律——三角形中的边角关系
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.
2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2种途径——判断三角形形状的途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
2个防范——解三角形应注意的问题
(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
答题模板——利用正、余弦定理解三角形
[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求ABC的面积．
[快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察条件：A＝，bsin－csin＝a
sin Bsin－sin Csin＝sin A.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求证：
B－C＝sin(B－C)＝1或cos(B－C)＝0.
3．建联系，找解题突破口
考虑到所求的结论只含有B，C，因此应消掉sin B·sin－sin Csin＝sin A中的角Asin Bsin－sin Csin＝sin(B－C)＝1由0＜B，C＜，解得B－C＝.
1．审条件，挖解题信息
观察条件：a＝，A＝，B－C＝B＝，C＝.
2．审结论，明确解题方向
观察所求结论：求ABC的面积由＝＝，得b＝2sin，c＝2sin.
3．建联系，找解题突破口
ABC的边角都具备S＝bcsin A＝ sinsin＝cossin＝.[准确规范答题]
(1)证明：由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，sin B－sin Csin B＋cos B＝，(3分)
易忽视角B－C的范围，直接由sin?B－C?＝1，求得结论.
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
即sin(B－C)＝1，(5分)
由于0<B，C<π，从而
B－C＝.(6分)
(2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.(8分)
由a＝，A＝，得b＝＝2sin ，
c＝＝2sin ，(10分)
所以ABC的面积S＝bcsin A＝sinsin
＝cossin＝.(12分)
[答题模板速成]
解决解三角形问题一般可用以下几步解答：
第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角) 第二步 三角变换 三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化 第三步 由值求角 代入求值 第四步 反思回顾 查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2012·上海高考)在ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
解析：选A 由正弦定理得a2＋b2＜c2，故cos C＝＜0，所以C为钝角．
2．(2012·广东高考)在ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
解析：选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.
3．在ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
解析：选B 由余弦定理得：()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
4．在ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )
解析：选C 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝(a2＋b2)，得2abcos C＝(a2＋b2)，即cos C＝≥＝.
5．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
解析：选A 由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝.
6．在ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则ABC的面积等于( )
解析：选D 依题意与正弦定理得＝，sin C＝＝，C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，ABC的面积等于AB·AC＝；当C＝120°时，A＝30°，ABC的面积等于AB·AC·sin A＝.因此，ABC的面积等于或.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012·福建高考)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析：依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a＞0)，则最大边2a所对的角的余弦值为＝－.
8．(2013·佛山模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，}
我要回帖
更多关于 180k 的文章
更多推荐
- ·球球大作战人工申诉账号申诉网络检测异常怎么回事？
- ·王尼玛大战僵尸游戏植物大战僵尸的游戏信息
- ·阿代尔顿·达·内马尔·达席尔瓦的周薪·桑托斯简介
- ·飞电4c多少钱马内？
- ·足球训练班费用一般多少可以自学吗？
- ·常州宠物美容学校哪里有教学美容的给个意见吧
- ·高数，求高数数列极限怎么求限
- ·东明科目二考试视频啥时候能预约
- ·老师您好课文朗读，我是一名初二学生，成绩在学校名为数学的原因，我对中考和高中有点担心，希望能给我建议，谢谢
- ·请问你有什么事吗 翻译成英文这句英文怎么翻译
- ·有为什么特别讨厌张大大一些四五十岁等的一些老男人盯着自己看的吗？我在上大学。本人也不算漂亮，打扮的也不露骨，
- ·用“光““杰”二字作一首藏头古墓七字联，这祖先的名字。
- ·插场大丰知青农场 购票,调离农场（保留农工身份）回城在厂办五七厂待业,后被招工其连续工龄如何计算？
- ·楚恒易学顾海东老师讲课 水平水平如何？
- ·直系亲属因犯罪受过刑事处罚人的出路可报考教师吗
- ·员的尽的多音字组词。
- ·网约车上岗证能买吗资格证是否全国通用
- ·澳大利亚签证工作证明那明证
- ·有没有可以在手机上写小说的软件人能翻译一下医生写的什么字啊
- ·a=180°×k+60°与a=360°×k+60°有什么区别?
- ·我在商场的百货店当店长，刚开始，有没有QQ群或者软件学习交流一下别人的店长经验
- ·铁铁鹰仔是什么意思思
- ·山东威高集团有限公司的发展有什么样的愿望和前景？
- ·湛江的湛江经济开发区教育局局在哪里？还有那个东海大厦在哪里，
- ·中班幼儿评语简短家长家长评语
- ·噶你嘎弄小猪佩奇海南话版全集翻译是什么意思
- ·网上发的多益网络徐波老婆的回忆是真的吗。
- ·深圳临时工兼职招聘工价14/h~18/h差距在哪儿？
- ·请问邮政ems是什么意思地址啥意思
- ·遗传的暂时性失明，时不时暂时性失明，庄周的被动效果会每隔一段时间触发又恢复了 
- ·我是河北本地河北中考艺术考生生，文科生。今年因为老师大部分原因和自己一部分原因考了177没过联考
- ·中国快舟 11固体运载火箭十一号火箭计划什么时候首飞？
- ·比较好奇 这四个字什麼意思啊 怎麼念
- ·人,后老中痛带到头痛带着眼睛痛
