矩阵相似能推得出等价吗？若不能，请举个反例，谢谢_百度知道
矩阵相似能推得出等价吗？若不能，请举个反例，谢谢
我有更好的答案
B等价的充分必要条件是 秩r（A）= r（B）在大学数学线性代数中。合同的矩阵秩相等。当然有，相似的矩阵等价。合同的矩阵等价。秩的概念是中心。你知道吗，若AB=C（同类型）两个矩阵A，“向量组等价”是最复杂的关系。“相似”与“合同”是方阵内的讨论，“矩阵等价”是最简单的关系。每个对称阵与自己的特征值所排成的对角矩阵既相似又合同。相似的矩阵秩相等
指矩阵经初等变换可以得到另一个相似一定等价,范围太大!而相似两阵有相同的特征值!可由定义式直接看出来!但等价不一定相似!等价的范围更大
因为变换矩阵都是可逆阵，所以在合同变换，相似变换中，乘可逆阵后原矩阵的是秩是不变的，秩相等就是等价，相当于N阶矩阵的一种等价类
相似是，有可逆矩阵P使P^AP=B。等价的充要条件是，有可逆矩阵P、Q使PAQ=B。故相似必能推出等价。
其他1条回答
为您推荐：
其他类似问题
反例的相关知识
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。如何直观理解矩阵的“等价”“相似”“合同”及“二次型”问题
矩阵等价，
首先A和B同型，且r（A）=
可经有限次初等变换互推彼此，即存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B（或A=P-1BQ-1）。
矩阵可视作变换，是否保持作用对象的维度是关键。
满秩n阶方阵A，其作用保持了维度，效果可由初等变换合成，故等价于n阶E。
其它情况的A和B，都含降维投影作用（或逆向伪升维），如果都是m→n投影，则等价。
矩阵相似，比等价条件苛刻，首先A和B为同阶n方阵。
可经有限次成对同类型且互逆的初等变换互推彼此，即左行右列同类型且互逆初等变换，
使P-1AP=B（或A=PBP-1）。
矩阵相似让A和B比起等价更接近。秩、行列式、可逆性、特征多项式（特征值和迹）均相等。
简化计算便于研究是提出矩阵相似的出发点，若A能相似于对角阵Λ将最便利。
而实对称矩阵必可对角化，且P还特化为n阶正交矩阵T，带来了T-1=TT的优点，T的效果是坐标系旋转。
矩阵合同，虽在苛刻程度上介乎等价和相似之间，但与其视作变换，不如从产生的本质上更易于理解。
合同的本质，是用来判别一个二次曲面应划归哪个曲面家族的指标。
一个二次型与一个对称矩阵是一一对应的。
若存在可逆线性替换X=CY，使替换前后两个二次型矩阵符合
B=CTAC，则A与B合同。
二次型从对称矩阵经可逆线性替换后变为对角矩阵，称作化简二次型的一般形为标准形。
如果只谈实二次型，进一步还有规范型。矩阵合同，有相同的正惯性指数和负惯性指数。
这些指数可以用作二次曲面家族归类。
其中正惯性指数p=n称正定二次型，对应正定矩阵，二次曲面是封闭的，如椭球面。
下图12类二次曲面中，除了①椭球面外，成因机制为四类。
二次曲线旋转得来：②
抛物线沿另一抛物线移动得来：⑨
直线编织得来：④
二次曲面退化得来：⑩
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。阶数相同的两个矩阵均可逆，这两个矩阵等价吗？_百度知道
阶数相同的两个矩阵均可逆，这两个矩阵等价吗？
我有更好的答案
它们的标准型都是单位矩阵E，所以，这两个矩阵等价。
采纳率：86%
来自团队：
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。当前位置： >>
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、 化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。 本文先阐述了 三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体 体现三种关系的差别与应用。关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同 引言随着技术的发展， 矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵 所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵 的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义， 性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相 似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与 合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。一、矩阵的三种关系1）矩阵的等价关系 定义：两个 S×n 矩阵 A，B 等价的充要条件为：存在可逆的 s 阶矩阵 P 与可逆 的 n 阶矩阵 Q，使 B=PAQ。 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵 A 与 B 等价必须具备两个条件： （1）矩阵 A 与 B 为同型矩阵，不要求是方阵； （2）存在存在可逆的 s 阶矩阵 P 与可逆的 n 阶矩阵 Q，使 B=PAQ。 性质： （1）反身性：即 A≌A； （2）对称性：若 A≌B，则 B≌A； （3）传递性：即若 A≌B，B≌C 则 A≌C； 2）矩阵的合同关系 定义：设 A，B 均为数域 p 上的 n 阶方阵，若存在数域 p 上的 n 阶可逆方阵 P， 使得 P ' AP ? B 则称矩阵 A 与 B 为合同矩阵（若若数域 p 上 n 阶可逆矩阵 p 为正 交矩阵） ，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵 A 与 B 合同必须同时具备的两个条 件： （1）矩阵 A 与 B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。 （2）存在数域 p 上的 n 阶矩阵 P， P ' AP ? B 。性质： （1）反身性：任意矩阵 A 都与自身合同。 （2）对称性：如果 B 与 A 合同，那么 A 也与 B 合同。 （3）传递性：如果 B 与 A 合同，C 又与 B 合同，那么 C 与 A 合同。 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得，合同矩阵的秩 相等。 3）矩阵的相似关系 定义：设 A，B 均为数域 p 上 n 阶方阵，若存在数域 p 上 n 阶可逆矩阵 p 使得P?1AP ? B，则称矩阵 A 与 B 为相似矩阵（若 n 级可逆矩阵 p 为正交阵，则称 A与 B 为正交相似矩阵） 。 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵 A 与 B 相似必须同时具备两个条件： （1）矩阵 A 与 B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。 （2）在数域 p 上 n 阶可逆矩阵 P，使得 P ? 1 AP ? B 。 性质： （1）反身性： E T AE ? A ； （2）对称性：由 B ? C T AC 即得 A? C??1 T?BC?1；T（3）传递性： A1 ? C 1T AC 1 和 A 2 ? C 2T AC 2 即得 A 2 ? ?C 1C 2 ? A ?C 1C 2 ? 。 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二 次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。 （4） P ? 1 ? k 1 A1 ? k 2 A 2 ? P ? k 1 P ? 1 A1 P ? k 2 P ? 1 A 2 P （其中错误！未找到引用源。 k 2 是 ， 任意常数)； （5） P ? 1 ? A1 A 2 ? P ? ?P ? 1 A1 P ??P ? 1 A 2 P ? ； （6）若 A 与 B 相似，则 A m 错误！未找到引用源。与 B m 相似（m 为正整数） ； （7）相似矩阵有相同的秩，而且如果错误！未找到引用源。 P ? 1 AP ? B 为满秩 矩阵，那么 B ?1 ? ?P ?1 AP??1? P?1A P?1。即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。 （8）相似的矩阵有相同的行列式。 （9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩 阵相似。 设 P ? 1 AP ? B ，若 B 可逆，则 B ?1 ? ?P ?1 AP??1? P?1A P?1，从而 A 可逆，且 B ? 1与 A ? 1 相似，若 B 不可逆，则 ?P ? 1 AP ? 不可逆，即 A 也不可逆。除了他们各自定义所决定的性质外，这三种关系还具备着各自特定的性质， 以及三种关系彼此间的联系。二、相关定理由以上三种矩阵间的关系的定义， 可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备 的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系。 定理 1 若 A 为 m×n 矩阵，且 r(A)=r，则一定存在可逆矩阵 P(m 阶)和 Qr （n 阶)， 使得 PAQ ? ? ? 0 ??I0? ? ? B 0 ? m?n ?，其中错误！未找到引用源。为 r 阶单位矩阵。 推论 1 设 A ，B 是两 m×n 矩阵，则 A≌B 当且仅当 r(A)=r(B） 。 定理 2 数域 F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同。 定理 3 复数域上秩为 r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：f ? y1 ? y 2 ? y 3 ? ? ? y r2 2 2 2定理 4 相似矩阵的特征值相同。 推论 2 相似矩阵有相同的迹。 以上为三种关系各自的特点，以下是阐述三种关系彼此间的联系的定理。 定理 5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵。 定理 6 对于 n 阶方阵 A，B，若存在 n 阶可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=B(即 A 与 B 等价)，且 PQ=E(E 为 n 阶单位矩阵)，则 A 与 B 相似。 定理 7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵。 定理 8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。 但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称 性和传递性，即两者都是等价关系，另外，在一定条件下，两者是等价的，若矩 阵 A 与 B 正交相似，则它们既是相似也是合同的，对于相似与合同矩阵之等价 条件有以下定理： 定理 9 如果 A 与 B 都是 n 阶实对称矩阵， 且有相同的特征根， A 与 B 既 则 相似又合同。 定理 10 若 n 阶矩阵 A 与 B 中只要有一个正交矩阵， AB 与 BA 相似且合 则 同。 定理 11 若 A 与 B 相似且又合同，C 与 D 相似也合同，则有错误！未找到 引用源。与 ? ??B ?0 0 ? ? D? ?既相似又合同。通过以上的介绍，对于矩阵的三种关系有了一定的了解，一下再将这三种 关系做对比，从而进一步了解矩阵最重要的这三种关系。三、矩阵的等价、相似、合同之间的联系与差别1、矩阵等价 A、同型矩阵而言； B、一般与初等变换有关；C、秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等。 2、矩阵相似 A、针对方阵而言； B、秩相等是必要条件； C、本质是二者有相等的不变因子。 3、矩阵合同 A、针对方阵而言，一般是对称矩阵； B、秩相等是必需条件； C、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。 通过上述的横向对比可知， 等价关系是三种关系中条件最弱的。合同与相似 是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成 立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合 同的。 具体的差别就体现在相似与合同之间， 相似矩阵用的比较多的性质是相似矩 阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等。合同矩阵用的比较多的性质是 合同矩阵有相同的秩， 与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵，与实对称矩阵合 同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等。具体点儿说就是： （1）秩是矩阵等价的不变量；不变因子是相似的不变量；特征值是可对角化矩 阵相似的不变量；正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量。 （2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数（秩等于非零 特征值的数目，正惯性指数等于正特征值的数目）是合同的不变量，因此实对称 矩阵相似则一定合同。 但是一般情况下，相似不一定合同，合同也不一定相似，两者不能互推。 （3）A,B 相似不一定 A，B 都与对角阵相似，因此 A 不能与对角阵相似时，并 不意味着 A 不能与某一矩阵 B 相似。 （4）等价是经过有限次初等变换 A 可变为 B，相似矩阵可看作同一线性变化在 不同基下的矩阵； 合同可通过二次型的非退化线性替换来理解。只是通过文字描 述并不能很好的体现它们之间的关系，下面用几个例子来说明下： 例1? ? 1 设A ? ? ?? 1 ? ? 2 ? 1? ? 2? 1 ? ? ?，B ? ?0 ???1? 0? 1 3 ? ，C ? ? ? ? 4? ?01 21? T ? 2 ? 。不难验证： C AC ? B 1?3 4即矩阵 A，B 合同，但 A 的特征值为和3 2；B 的特征值为 1 和。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系。两者都具有反身性、对称性 和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。另外，在一定条件下，两者 是等价的。若矩阵 A，B 正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。 本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。 例2?4 ? 已知 A ? ? 0 ?0 ? 0 4 0 0? ? 0? 4? ? ?4 ? ，A ? ?0 ?0 ? 1 4 0 0? ? 1? 4? ? ?2 ? ，A ? ?2 ?0 ? 2 2 0 0? ? 0? 2? ?。试判断 A，B，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？ 解 矩阵 A 的秩和矩阵 B,C 的秩不等，则 A 不可能与 B，C 相似或合同，只有讨论 B， C 了；A 的秩为 3，而 B，C 的秩为 2，故 A 和 B，C 既不相似又不合 同，又 B 的迹是 8，而 C 的迹是 6，不相等，故 B 和 C 不相似，最后，C 是对称 矩阵，而 B 不是，所以，B 和 C 也不合同。 所以，矩阵 A，B，C 相互之间既不相似又不合同。 这个例子阐述了三种关系的判别方法，以及它们之间的差别。对于矩阵的三 种关系，在实际生产中也得到了广泛的应用，下面仅举一例来说明下： 例 3 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用 本公司的产品客户中有 60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的 被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率 60%， 能否预测 n 年后该产品市场占有状况？ 解：设第 i 年购买该公司产品的客户为 x i ，不购买该公司产品的客户为 y i ，则有x i ? 1 ? 0 . 6 x i ? 0 , 25 y i，写成矩阵的形式： ? ?? 0 .6 0 . 25 ? ? 0 . 75 ? ?? x i ?1 ? ? 0 .6 ??? ? ? ? y i ?1 ? ? 0 .40 . 25 ? ? x i ? ?? ? 0 . 75 ? ? y i ? ?? ?，其中，? x 0 ? ? 0 .6 ? ? xi ? ? ??? ? ，令 U i ? ? ? ? y ? ? 0 .4 ? ?y ? ? ? 0? ? ? i?n，P ? ? ? 0 .4 ?，则有 U 1 ? PU 0 ，U 2 ? P 2U 0 ，……，U n ? P U 0 ，由 ? E ? P ? ? ? ? 1 ?? ? ? 0 . 35 ? 得P 的特征值 ? 1 =1， ? 2 =0.35，分别解T T?? E? P ?x ?0 ， i=1,2 ， 得 到 相 应 的 特 征 向 量 为 ? 1 ? ?5 ,8 ? ， ? 2 ? ?1, ? 1 ? ， 令 ， T ?1 ? 则1 ?? 1 ?? ? 1 ?? 0 ??1 ?1 ? ? 13 ? 8 1 ? ? ? 5? ??5 T ?? ?8 ?1 ? ? ? 1? ?， 于是 T ? 1 PT ? ? ?0 ??10 ? ? 0 . 35 ? ?， P ?T? 则 ?0 ?? 0 . 385 ? ? 0 . 641 ? ? ??10 ? ?T 0 . 35 ? ??1，Un ?1 ?5 ? ? 13 ? 8?? 1 ?? n 0 . 35 ? ? 8 ?? 01 ? ? 0 .6 ? ?? ? ，当 ? 5 ? ? 0 .4 ? ?? ?n=5 时，计算 U 5 ≈ ? ?。这说明该产品市场占有率将由 0.6 下降到 0.385，因此该公司应根据这份预 测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率。四、结论矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又 蕴涵着差别。相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也 不一定是合同矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，秩 是矩阵等价的不变量， 不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相 似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量。参考文献：[1] 张禾瑞.高等代数[M].北京高等教育出版社,1983 [2] 姚慕生.高等代数学[M].复旦复旦大学出版社,1999 [3] 北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京高等教育出版社1988 [4]李志惠、李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京科学出版社 2006 [5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京高等教育出版社.2001 [6]阎家灏.线性代数[M].重庆大学出版社.1994 [7] Steven J.Leon 著。张文博，张丽静 译。线性代数（原书第 8 版） 。机械工 业出版社，北京，2010 [8］李桂荣．高等代数的方法研究[M]．香港亚太经济出版社．2001 [9］杨子胥．高等代数习题解（下册）[M]．山东科学技术出版社．2003 [10］ 上海交通大学数学系． 线性代数习题与精解[M]． 上海交通大学出版社． 2005 [11］刘光祖，刘迎洲．线性代数典型题解及自测试题[M]．西北工业大学出版 社．2002 [12］王品超．高等代数新方法（下册）[M]．中国矿业大学出版社．2003 [13］龚德恩，范培华，胡县佑．经济数学基础（第二分册，线性代数）[M]．四 川人民出版社．1995 [14］谢国瑞，应用矩阵方法[M].北京:化学工业出版社， [15］钱志强，线性代数（第三版）[M].北京:中国致公出版社， [16］张贤达，矩阵分析与应用[M].京:清华大学出版社，
赞助商链接
矩阵的相似与合同及其等价条件研究(数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班) ...变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件,可以用数学语言描 则称矩阵 A...相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为 三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①...矩阵的三种等价关系 摘要 本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、 合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。同时,也将 ...德州学院 数学系 2007 届 数学与应用数学专业 毕业论文 浅谈相似矩阵和合同矩阵...可逆矩阵, 但一个是可逆矩阵的逆,一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系,...相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为 三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①...矩阵的等价关系的讨论 与分析,可以帮助我们对矩阵中的其他关系,诸如矩阵的合同关系、相似关系等之间的联系有一个 更加明确的理解;也可以帮助我们解决工程应用中的...相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系,因为 三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①...(1) A 与 B 等价: A 可以经一系列初等变换得 ...2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《...矩阵等价相似合同的关系 暂无评价 2页 免费 喜欢...合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准...,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。...(英文) 张贤达,矩阵分析与应用,清华大学出版社,2004...矩阵的初等变换 18页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出...矩阵的相似、矩阵的合同这三种等价关系 的概念及其性质,以及它们之间的联系和区别...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。当前位置： >>
矩阵的合同与相似及其等价条件
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学 习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用， 能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对 其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1 矩阵等价的定义[1] 定义 1.1 的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义 1.2 如果 n 阶矩阵 A 可以由 n 阶矩阵 B 进过有限次初等变换得到，则称 A 与 B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描 述： 定义 1.3 设矩阵 A , B 为 n 阶矩阵， 如果存在 n 阶可逆矩阵 P 和 Q ,使得 PAQ ? B , 则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ∽ B . 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义 1.4 设矩阵 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个是 n 阶可逆矩阵 P，使得 如果矩阵 A 可以有矩阵 B 经过有限次初等变换得到，称 A 与 B 是等价P ?1 AP ? B ,则称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A ～ B .1.2.1n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质 :[3]性质 1.1 性质 1.2 性质 1.3 性质 1.4反身性，即任一 n 阶矩阵 A 与自身相似. 对称性，即如果 A ～ B ，则 B ～ A . 传递性，如果 A ～ B ， B ～ C ，则 A ～ C .P ?1 (k1 A1 ? k 2 A2 ) P ? k1 P ?1 AP ? k 2 A2 P .1（ k , k 是任意常数） 1 2宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究性质 1.5 性质 1.6P ?1 ( A1 A2 ) P ? ( P ?1 A1 P )( P ?1 A2 P ) .若矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 A m 与 B m 相似.m（ m 为正整数）证明 存在一个可逆矩阵 P ，使得 P ?1 AP ? B ，那么 ?P ?1 AP ? ? B m ? P ?1 A m P ，故 可以得到 A m 与相 B m 相似. 性质 1.7 证明 如果矩阵 A 、 B 都是满秩，则 A ～ B ，那么 B ～ A .?1 ?1 ?1存在一个可逆矩阵 P ，使得 P ?1 AP ? B ，那么 ?P ?1 AP ? ? B ?1 ? P ?1 A ?1 P ，?1 ?1故可以得到 B ～ A . 性质 1.8 证明 如果矩阵 A ～ B ，那么 A ? B .存在一个可逆矩阵 P ，使得 P ?1 AP ? B ，又因为 P ?1 AP ? B ， P ?1 P ? 1 ，故可以得到 A ? B . 性质 1.9 逆矩阵也相似. 证明 也相似. 若 B 不可逆，则 P ?1 AP 不可逆，即 A 也不可逆. 性质 1.10 证明 相似矩阵有相同的特征值. 设 B ? P ?1 AP ，若矩阵 B 可逆， B ?1 ? ?P ?1 AP ? ? P ?1 A ?1 P ，从而 B ?1 和 A ?1?1相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的设 B ? P ?1 AP ， ?E ? B ? P ?1?EP ? P ?1 AP? P ?1 ??E ? A?P ? ?E ? A故矩阵 A 的特征值与矩阵 B 有相同的特征值. 性质 1.11 证明 相似矩阵有相同的迹.可以设矩阵 A 与矩阵 B 相似，那么存在一个可逆矩阵 P ,使得 P ?1 AP ? B ，t r ?B ? ? t r P ?1 AP??2宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究? t r P ?1 PA ? t r ? A???例1? 2 0? ?3 0? A?? ? 0 3? ?，B ?? ?0 2? ? ，求分别求矩阵 A 、 B 的特征多项式，特征值秩, ? ? ? ?迹，行列式，矩阵 A 与 B 是否相似，它们之间有什么关系？ 解 从已知可知 A ?2 0 0 3 ? 6 ， Rank ( A) ? 2, t r ( A) ? 5对于 A 的特征多项式 ?E ? A ? 故 A 的特征值为 2 和 3. 对于矩阵 B , B ?3 0 0 2? ?2 0 ? (? ? 2)(? ? 3) 0 ? ?3? 6 ， Rank ( B ) ? 2, t r ( B ) ? 5矩阵 B 的特征多项式 B ?? ?3 0 ? (? ? 2)(? ? 3) . 0 ? ?2故矩阵 B 的特征值是 2 和 3.?0 1? ?1 存在一个可逆矩阵 P ? ? ?1 0? ? 使得 P AP ? B ，从定义矩阵 B 与矩阵 A 相似. ? ?从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、 相等的迹[2-4]. 例 2? 1 ? 2 ? 4? ? ? 设 实 数 域 上 的 3 级 实 对 称 矩 阵 A ? ? ? 2 4 ? 2? ， 对 角 矩 阵 ?? 4 ? 2 1 ? ? ??5 0 0 ? ? ? B ? ? 0 5 0 ? .求矩阵 A 、 B 的特征值，特征多项式并且矩阵 A 与矩阵 B 相似吗？如 ?0 0 ? 4? ? ?果相似求出可逆矩阵 P .? ?1 2 4 ? ?1 2 4 解 由矩阵 A 的特征多项式为 2 ? ?4 2 ? 2 ? ?4 2 4 2 ? ?1 0 ? 2? ? 10 ? ? 13宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究? ?1 2 4 ? 2 ? ?4 2 0 0 ? ?1? (? ? 5) 2 (? ? 4)故矩阵 A 的特征值为 5 和―4. 容易知道矩阵 B 的特征多项式和矩阵 A 的相同，? 1 5 ? ? 5 2 5 故矩阵 B 的特征值为 5 和-4.那么存在一个可逆矩阵 P , P ? ? ? ? 5 ? ? 0 ? 4 5 15 2 5 15 1 ? 5 3 2? ? 3? 1? 3? 2? ? 3?验证得到 P ?1 AP ? B ，那么矩阵 A 与矩阵 B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2] 定义 1.5 设 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 C ，使得 C T AC ? B ， 则称 A 与 B 合同，记作 A ? B .n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性: ⑵ 对称性: ⑶ 传递性:即任一 n 级矩阵与自身合同. 即如 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同.A 与 B 合同， B 与 C 合同，则 A 与 C 合同.⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 ⑴ 矩阵的相似与合同的相同点[5]. 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性. ⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.4宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究若矩阵 A 相似与矩阵 B ，则 Rank ( A) ? Rank ( B ) ，若矩阵 A 合同于矩阵 B ，则Rank ( A) ? Rank ( B ) .可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵 A 于矩阵 B 相似，则要求 A 、 B 都是方阵；若 A 合同与 B ，则要求 A 、 B 都 方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如 A ～ B ，则 A ? B ， A 与 B 有相同的特 征值.但若 A ? B ，那么 A 与 B 的行列式的值不一定相等； A 与 B 也不一定有相同的特 征值.? 2 ?? 5 ? 2 ? 2? ? 2 ? ? ? 1 设A?? 2 5 ? 4? ,T ? ? ?? 2 ? 4 5 ? ? 5 ? ? ? 0 ? ? 2 45 4 ? 45 5 45 1 ? ? 3 ? ?1 0 0 ? ? ? 2 ? , B ? 0 1 0 ? ?, 3 ? ? 0 0 10 ? ? ? ? 2 ? ? ? 3?例1不难验证：T T AT ? B ，有 A ? B .我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩 阵 T 为正交矩阵，故 A ～ B ，矩阵 A 的行列式可以等于 B 的行列式，下面举出合同但是 行列式不等的情况. 例2?1 2? ? 1 ? 4? ?1 0 ? A?? ? 2 3? ?， B ? ? ? ? 4 12 ? ? ，C ? ? ?0 ? 2? ?. ? ? ? ? ? ?经过验证可以知道 A ? ?1 ， B ? ?4 ，然而 C T AC ? B ， A ? B ，可以得到矩阵 A 合同于 B ，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设 A ～ B ，则有可逆矩阵 P ，使得 B ? P ?1 AP ，于是? E ? B ? ? E ? P ?1 AP ? P ?1 (? E ) P ? P ?1 AP?1 = P (? E ? A) P5宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究= ?E ? A 故特征值相同. 然而对于矩阵 A 合同与矩阵 B，但是它们的特征值不一定相同: 例3? ?1 设A?? 1 ? ? ?2 1? ? ?1 2? ，B ? ? ?0 1? ? ? ? 1? ? 0? 3 ? ，C ? ?1 ? 2 ? ? ? ? 4? ?0 1 ? 1 3 3 和 ，B 的特征值为 1 和 2 2 4不难验证 C T AC ? B ,即 A ? B ，但是 A 的特征值为 显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论 2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵. 证明 设 n 级矩阵 A 、 B 相似，从定义知道存在 n 阶矩阵 P ，使得 P ?1 AP ? B ，从 等价的定义 A ? B .?1 0 0 ? ?1 2 1 ? 反过来，对于矩阵 A ? ? ?0 1 0? ? ，B ?? ? 0 1 0? ? ， A 与 B 等价，但是 A 与 B 并不相 ? ? ? ?似. 结论 2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵. 证明 设 n 阶方阵 A, B 合同， 由定义 1.5 有， 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 P T AP 1 ? B， 1，T 若记 P ? P 1 ,Q ? P 1 ,则有 PAQ ? B 因此由定义 1.3 得到 n 阶方阵 A, B 等价.?1 0? ?1 2? 反过来对于矩阵 A ? ? ?0 1? ?,B ?? ?0 1? ? 等价，但是 A 与 B 并不合同，即等价 ? ? ? ?矩阵未必合同． 2.4 矩阵合同与相似的关系[7] 结论 2.3 同又相似. 证明 设 M 、N 的特征值均为 ?1 、? 2 、 因为 M 与 N 都是 n 级实对称矩阵， ? ?n ， 则一定存在 n 阶正交矩阵 P ，使得： 如果 M 与 N 都是 n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则 M 与 N 既合6宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究? ?1 ? ? ? P MP ? ? ? ? ? ?n ? ? ??1同理，可以找到一个正交矩阵 Q ，使得：? ?1 ? ? ? Q NQ ? ? ? ? ? ?n ? ? ??1从上面两式有：P ?1 MP ? Q ?1 NQ将上式两边分别左乘 Q 和又乘 Q ?1 ，得：N ? QP ? `1 MPQ ? PQ ?1`???1M PQ ?1??由于 故 PQ T 可逆，又由于：PP T ? E , QQ T ? E?1 ?1 ?1 ?1 T T （ PQ )( PQ ) ? PQ (Q ) P? PQ T QP T ?E所以 PQ ?1 是正交矩阵 故M ～ N ,M ? N 结论 2.4 若 n 阶矩阵 A 与 B 中只要有一个正交矩阵，则 AB 与 BA 相似且合同． 证明 不妨 A 是正交矩阵,则 A 可逆取, P ? A , 有 P ?1 ABP ? A?1 ABA ? ?A?1 A??BA? ? BA ，则 AB 与 BA 相似， 又 A 是正交阵，所以 AB 与 BA 既相似又合同. 结论 2.5 若 A ～ B ,且 A ? B ， C ～ D 且 C ? D ，则? A 0? ?B ? ? 0 C? ? ～? ? ? ? ?0 0 ? ? A 0? ?B ? ，? ? ? ??? ? D? ? ? 0 C? ? 070? ? D? ?宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究证明 从已知， C ～ B , C ～ D ，故存在可逆矩阵 P 1， P 2 使得?1 P AP 1 1 ? BP2?1CP2 ? D? P1 令 P?? ?0 ?0? ? P2 ? ? ? P1?1 P ?1 ? ? ? 0 ? 0 ? ? P2?1 ? ? ? ? P CP2 ? ? 0?1 2则且? P1?1 AP1 ?A 0? ? ? P ?1 ? P ? ? 0 C? ? 0 ? ? ? ?B ?? ?0 ? 0? ? D? ? 0? ? D? ?故? A 0? ?B ? ? 0 C? ? ～? ? ? ? ?0又因为 A ? B，C ? D ， ，故存在可逆矩阵 T1 ， T2 ， 使得? T1 0 ? 令T ? ? ?0 T ? ? 2? ? T1T AT1 ? B, T2T CT2 ? D则? T1T TT ? ? ? 0 ? ? T1T ?A 0? TT ? T ? ? ? ?0 C? ? 0 ? T1T ?? ? 00 ? ? T2T ? ? 0 ? ? A 0 ? ? T1 0 ? ?? ? ?? T2T ? ? 0 C ? ? 0 T2 ? 0 ? ? T1 0 ? ?? ? T2T ? ? 0 T2 ? 0? ? D?然而? T T AT1 0 ? ?B ?? 1 ??? T 0 T CT ?0 ? 2 2?故? A 0? ?B ? ? 0 C? ??? ? ? ? ?080? ? D? ?宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究3 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8] 在矩阵 A m 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵 A 相似的简单的 矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得 A ? P ?1 BP ，其中 P 为可逆矩阵, B 对角矩阵， 可知矩阵 A 与矩阵 B 相似， 那么 A m ? ?P ?1 BP ? ? P ?1 B m P ， 从而可以使得不宜求的矩阵m简单化。利用相似的关系把矩阵化简为对角矩阵，但并不是所有的矩阵都可以对角化.? 1 2? 例 1 求 Am （ m 是任一个正整数） ：A?? ? ? ?1 4 ?解 故由已知矩阵 A 的特征多项式为 ? E ? A?E ? A ? 0(? ? 1)(? ? 4) ? 2 ? ? 2 ? 5? ? 6 ? 0故有特征值为: ? ? 2 ，或 3. 可以看到 2 阶矩阵 A 有两个不同的特征值，故可以对角化.? 1 ?2 ? 当 ? ? 2 时, ? ? X ? 0 ， x1 ? 2 x2 ? 0 ，得到特征向量（2 ，1）. ? 1 ?2 ? ? 2 ?2 ? 当 ? ? 3 时, ? ? X ? 0 ，同理可以得到特征向量（1 ，1）. ? 1 ?1 ? ? 2 1? ? 1 ?1? ? 2 0? ?1 ?1 存在 T ? ? ? ，求得 T ? ? ? ， T AT ? ? ? ? 1 1? ? ?1 2 ? ? 0 3? ? 2 0? 即 A ?T ? ? T ? 0 3?m ?1 3? 2m ?1 ? 3m A ?? m m ? 2 ?3m2(3m ? 2m ) ? ? 2(3m ? 2m ?1 ) ?3.1.1 实对称矩阵一定相似于对角矩阵.9宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究例22 ? 2? ? 2 ? ? 设A?? 2 5 ? 4 ? ，求正交矩阵 T ，使得 T T AT 为对角矩阵. ?? 2 ? 4 5 ? ? ?2 计算可得 ? E ? A ? (? ? 1) (? ? 10) ，所以 ?1 ? ?2 ? 1 , ?3 ? 10 .解5? ? 当 ? ? 1 时,得到特征向量 a1 ? ?? 2,1,0 ? , a 2 ? ?1,2, ? 2? ?TT?1 ? 当 ? ? 10 时,得到特征向量 a 3 ? ? ,1,?1? ?2 ?T? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? 5? ? 45 ? ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1 ? ? 2 ? 将特征向量单位化，得 ? 1 ? ? ， ?2 ? ? ? ， ?3 ? ? 3 ? ? 5 ? 45 ? ? ? ? 2? 0 ? ? 5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? 45 ? ?1 ? ? ? 令 T ? ?? 1 , ? 2 , ? 3 ? ，则 T 为正交矩阵，且 T AT ? ? 1 ? ? 10 ? ? ?T即 A 正交相似与对角矩阵. 3.1.2 例3 矩阵不可以化为对角矩阵的情况[9].?4 0 ? ? 6 ? ? 设矩阵 B ? ? ? 2 6 ? 2 ? ，可以得到 ?E ? B ? 0 . ? ? 10 14 ? 2 ? ? ?得到特征值 ?1 ? 2，?2 ? 4 ( 2 重).? 2? ? ? 当 ?1 ? 2 时,得到特征向量 ?1 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ?4? ? ? 当 ?2 ? 4 时,得到特征向量 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ?只有两个特征向量,故矩阵 B 不可以对角化. 3.2 矩阵合同的应用[10]10宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下面介绍 几种求实对称矩阵合同标准型的方法： 3.2.1 非退化线性替换2 2 用正交替换把实二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) ? 2 x1 ? 5 x 2 ? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x3 ? 8 x 2 x3 化为例1 标准型.解2 ? 2 5 5 ? 15 ? x1 ? ? 5 1 4 ? ? 5 5 令 ? x2 ? ? ? ? 15 ? 5 ? 1 ? x3 ? ? ? 0 5 ? 3 ?1 ? 3 ? ? y1 ? 2 ?? ? ? y2 3 ?? ? 1 ? ? y3 ? ? ? ? ? 3?则 3.2.22 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? y12 ? y2 ? 10 y3利用配方法把二次型化成标准型.2 2 ? 2 x3 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 例 2 二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? x2 2 2 2 2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 ) ? ( x12 ? x3 ? 2 x1 x3 ) ? 2 x3 解 f ? x1 , x2 , x3 ? ? ( x12 ? x2 2 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x1 ? x3 ? ? 2 x3 2 2? y1 ? x1 ? ? 令 ? y2 ? ?y ? ? 3x2 ? x2 ?x3 x3 2 x32 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? y12 ? y2 ? 2 y3则3.2.3 通过矩阵成对的初等行、列变换法. 例3 用矩阵的成对初等行、列变换法把数域 K 上二次型化成标准形，2 2 g ? x1 , x2 , x3 ? ? x2 ? 2 x3 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3解1 ? ?0 0 ? ? g ? x1 , x2 , x3 ? 的矩阵是 A ? ? 0 1 ? 1 ? ，那么 ? A, E ? .经过成对的初等行列变换 ? 1 ?1 ? 2? ? ?得到:11宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究? ? ?1 0 0? ? 1 ?1 ? ? 对角矩阵矩阵 D ? ? 0 ? 1 0 ? ，可逆矩阵 C ? ? 0 1 ? ?0 0 2? ? ? ? ?0 0 ?? ? 0? 1? ，令 X ? CY ， 2? 1? ? 2?得2 2 g ( x1 , x2 , x3 ) ? y12 ? y2 ? 2 y3结论基于对矩阵相关知识概念的了解.本文对矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的 概念的把握,同时阐述了矩阵的等价、相似、合同的三者的关系.给予了矩阵的相似的 应用,矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相似标准型和合同标准型把矩 阵对角化使问题简单化.再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替换, 配方法和成对的初等行列变换.通过一些实例使我们更清楚的了解矩阵的相似于合同 及其等价三者的联系，对以后的学习提供的帮助和进一步了解.12宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究参考文献[1] 智婕. 矩阵等价、相似、合同联系[J].牡丹江师范学院报.. [2] 张禾瑞. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社.. [3] 丘维声. 高等代数(第二版).北京:高等教育出版社.. [4] 卢刚. 线性代数[M].北京:高等教育出版社.. [5] 耿秀荣. 概念辨析过程数学变式教学[D].山东师范大学数学系硕士学位论文.. [6] 王晓玲,候建文. 矩阵三种关系间的联系[J].山西农业大学学报.8-190. [7] 马蔚华. 矩阵的相似与合同之等价条件的探究[J].湖南广播电视大学学报.-71. [8] 李样明，金玲玲. 关于矩阵合同关系的几个问题[J].广东教育学院学报.-27. [9] 吴赣昌. 线性代数[M].北京:中国人民大学出版社.. [10] 同济大学教研室. 线性代数[M].北京:高等教育出版社..13宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究致 谢我所撰写的学位论文是在导师王晶晶认真指导下完成的.她严格地要求我，认真的的指导. 老 师渊博的知识认真的态度也使我受益匪浅，这对于我以后的工作学习都具有很好的示范作用.我的 论文的撰写和校对过程中，还得到了许多同学的帮助，同学和老师都给予我很大的帮助,使我熟悉 了撰写论文的一般格式和许多注意事项,对论文的写作又有了深刻的认识. 最后感谢王老师的辛勤指导.14
赞助商链接
矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 I 内江师范学院本科学年论文 引言:在高等代数中,讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似 和矩阵...如何矩阵的等价,相似,合同? (1) A 与 B 等价: A 可以经一系列初等变换得...(2) A 与 B 相似: P ?1 AP ? B , P 可逆. 相似有四个必要条件:秩...简要介绍矩阵的概念及基本运算,给出矩阵的秩和逆 的解法;最后,给出矩阵等价、合同、相似的定义,根据定义分析三者之间的联系与区别, 并进一步给出具体例子使同学们...线性代数关于等价、相似、合同的对比_数学_自然科学_...-1 相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的...定理 5.4.4 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定...等价、相似、合同的关系_理学_高等教育_教育专区。矩阵等价、 矩阵等价、相似与合同的区别与联系 矩阵等价、 矩阵等价、相似与合同的区别与联系
...矩阵的相 似,等价,合同 2页 免费 矩阵的相似变换与合同变换... 5页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行...? 矩阵的相似关系也是一种等价关系,具有反身性、...B 6 矩阵可对角化的条件 ? 矩阵 A 可对角化是...B (其中 C 是可逆矩阵),则称 A 和 B 合同. ...关于矩阵的相似,等价, 关于矩阵的相似,等价,合同一.矩阵等价 vs 向量组等价 矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的... ...矩阵的合同,等价与相似_数学_自然科学_专业资料。线性代数矩阵的合同,等价与相似 一、矩阵的合同,等价与相似的定义、性质及判定条件 (一)矩阵的等价: 1、定义:若...德州学院 数学系 2007 届 数学与应用数学专业 毕业论文 浅谈相似矩阵和合同矩阵...3 矩阵与合同矩阵的等价条件定理 1 如果 A 与 B 都是 n 阶实对称矩阵,且...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}