【秋季课程】高中数学导数与微积分零起点班课
函数极限与连续
连续，间断点，两个重要的极限公式
导数的概念与基本公式
导数，基本公式1
导数的概念与基本公式
导数，基本公式2
高阶导数、隐函数及参数方程的导数
函数的微分与微分的简单应用
微分的概念及近似计算
导数在研究函数中的应用
导数的运用
原函数与不定积分
原函数，不定积分概念
不定积分的换元积分法
不定积分求法1
分部积分法与特殊类型函数的积分
不定积分求法2
定积分的概念性质与积分方法
定积分的概念及求法
定积分在几何及物理中的应用
定积分的运用
微积分综合练习
微积分的综合运用
1、微积分是研究函数变化性质的一门学科，它的两类基本问题是微分和积分。在微积分中，研究问题的基本方法是极限方法和局部线性化方法（即函数在一点附近，以不变代替变，以直代曲，以线性函数近似非线性函数）；微积分主要是研究连续函数的变化性质。因此，微积分教材一般都是先讲函数、极限和连续的概念、性质和计算；然后讲一元函数微分学和一元函数积分学；进而讲多元函数微积分。 2、菁英教育《导数与微积分零起点班》讲解高中学习阶段可以用到的微积分相关知识，重点是全国教材选修2-2（选修2-2为理科必考内容）相关知识模块。利用导数分析函数的单调性、极值和最值到导数中的讨论思想和恒成立问题等等，都是全国统一高考常考内容。在历年自主招生中，微积分也是出现频率极高的知识点。 3、学习本课程，对于解决部分高中函数与解析几何疑难问题，物理部分繁杂计算（涉及导数与微积分）有实效。
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[第1课]导数和变化率
导数，斜率，速度与变化率 Derivatives.slope.velocity.rate.of.change
极限，连续和三角函数 Limits.continuity.Trigonometric.limits
导数，商数，正弦和余弦 Derivatives.of.products.quotients.sine.cosine
链式法则和高阶微分 Chain.rule.Higher.derivatives
隐函数微分 Implicit.differentiation,.inverses
指数,log,对数微分;双曲函数 Exponential.and.log.Logarithmic..hyperbolic.functions
扩展和复习 Continuation.and.Review
线性二次逼近 Linear.and.quadratic.approximations
曲线构图 Curve.sketching
极值问题 Max-min.problems
相关变率 Related.rates
牛顿迭代法及应用 Newton's.method.and.other.applications
微分中值定理与不等式 Mean.value..Inequalities
微分,不定积分 Differentials,.antiderivatives
微分方程和分离变量 Differential.equations,.separation.of.variables
定积分 Definite.integrals
微积分基本定理
介绍了微积分课程中最重要的定理——微积分基本定理的形式2。仅用一点板书，就证明了这个牛顿和莱布尼茨费尽心思才发现的“上帝秘密”最后以几个简单的例子，给大家以最直观的理解并且引入了“超越函数”
在介绍了微积分基本定理的两个形式之后紧接着就是定理的应用了利用此定理，来探究一些函数的性质，让学生豁然开朗尤其是在对数函数上的应用，从前的性质竟然变得如此显然
壳层体积与平均值 Volumes.by.disks.and.shells
工作，平均值，概率 Work,.average.value,.probability
数值积分 Numerical.integration
数学永远不是读懂的，只有通过练习才能更好地理解数学概念和方法的本质。同样，只看视频不做题也不会收获很多。这节课上，教授总结了前一段时间的内容，带领同学们计算了几个例子。如果你之前半懂不懂，那更不能错过这节复习课了！
三角代换 Trigonometric.integrals.and.substitution
返向代换积分 Integration.by.inverse..completing.the.square.use
有理函数是一大类函数。如果对于它们，我们也不能解析地写出原函数的话，那绝对是令人沮丧的。但是，上帝还是不忍心让数学家们失望的。这节课上，教授告诉我们。如何才能合理地来处理这一大类函数。
不是所有函数都能解析地写出原函数。对于那些有可能写出来的函数，也需要一定的积分技巧才能随心所欲。分部积分正是很重要的一种积分技巧。通过它，我们甚至可以得到某类型函数的原函数，这是利用了导出的公式——换算公式。
积分的概念来源于实际的应用。对一个函数积分可以理解为求曲线下的面积，但积分的作用不仅仅如此。有了积分，我们就可以去计算曲线的弧长，可以去求区域的面积，
也可以去计算很多物理问题。难怪微积分被誉为牛顿一生最伟大的发现。
直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，我们不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料地简洁，
也能让问题直观地清晰起来。数学嘛，直观起来的话，也是蛮可爱动人的。
学习离不开预习和复习，对于考试前的日子，同学们一定都是在复习中度过的。MIT也是学校，有学校的地方就有考试。这节课上，教授回顾了过去几节课的内容。包括几个积分技巧和积分的应用。所谓“温故而知新”嘛，看看也是有收获的啦！
尽管之前学习过如何处理极限了，但是对于一些特殊情形的极限问题，过去的方法显得有点苍白。在先前课程的内容铺垫下，我们终于可以处理一些不定型的极限问题了，其中包括“0/0”型、“∞/∞”型。这一切都是通过“洛必达法则”实现的。从此，我们甚至能够判断“∞的大小”。
过去我们学习了有限区间上的积分，但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况，看上去仍然无法理解。这节课上，教授不仅定义了两种反常积分——无穷积分和瑕积分，甚至还算出了几个神奇的例子。看上去，反常积分还是略显有趣的。
你是否考虑过这样的情况，龟兔赛跑中的乌龟若要赶上兔子，就必须先到达一半的距离，接着还要通过一半距离的一半...如此下去，似乎看上去乌龟永远也无法赶上兔子。但现实证明，乌龟是能够做到的！这个看似有点诡异的问题，在数学面前，神秘荡然无存。学习了本课之后，掌握了无穷级数的概念和其收敛性的判定准则，你就能破解以上谜题了。
三角函数的历史起源是几何，但是，大师欧拉用分析的办法，得到了正弦函数、余弦函数的又一个定义方法——无穷级数和。课上，教授向我们讲解了如何把某类函数展开成为一个无穷级数，所用的办法证实大名鼎鼎的“泰勒公式”。毫无疑问，通过本课的学习，你将感受到分析的强大威力。
教授度假去了，请来了代课教授。代课教授带领同学们回顾了过去的内容，并重点再次讲解了上节课的“泰勒展开”。更重要的是，他为后续课程——多变量微积分（我们已经翻译并发布完毕）做了一段广告，看上去内容很是丰满。最后，黑板上出现了Jerison教授送给大家的一首小诗。自此，本课程完美落幕。
学校：麻省理工学院
讲师：Prof. David Jerison
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：本微积分课程内容包括介绍一元函数的微分、积分和应用。
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一种多项式函数导数和定积分的计算方法
　　摘要 考虑到用H-M方法计算多项式函数在某点的函数值，用该方法和思想建立一种计算多项式函数在某点的导数值和某区间上定积分的有限迭代方法.相比用泰勒定理或者直接计算多项式函数在某点的导数值和用CTSR方法计算在某一区间上的多项式函数的定积分，该计算结果只与多项式函数的系数和多项式函数的次数有关，因而更简单，而且由于在计算中使用乘法次数相对要少得多，尤其没有累次相乘，因此其截断误差对结果的影响也相应要小得多. 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-4451108.htm　　关键词 多项式函数,计算方法,H-M方法,导数和积分的值,误差分析，截断误差 　　中图分类号：O241.4 ; 文献标识码:A; 文章编号： 　　0. 导言 　　众所周知函数在具体某点的导数值和其在某区间的定积分在数学应用中非常重要，诸如Newton-Raphson迭代法求非线性方程的根 和定积分求面积等.而且有时借助它们的计算能提高一些问题的计算质量，甚至为某些问题的计算开辟一条更有效的新的计算途径，尤其在一些误差分析当中更是离不开函数的导数计算. 根据 Taylor’s 定理 ，任何连续且可导函数都可以展开成在连续点的多项式函 　　数,因此如何求得任意连续可导函数在某点的导数就显得尤为重要，而多项式函数作为一种最为特殊的一类连续且任意阶可导函数，求其在某点的导数以及其在某确定区间上的定积分就成了一个最为常用且最基本的求导数值和定积分计算的问题.尽管有许多计算一般函数在某点的导数和固定区间上的定积分，但是相对而言比较复杂，尤其对多项式函数来言，其在某点的导数和某固定区间上的定积分的计算没有必要那样去算.考虑到计算多项式函数在某点的函数值，通过其方法和思想推导出具体详细的多项式函数在某点的导数和某固定区间的定积分的计算方法并比较该方法的复杂性和分析其相应误差. 　　虽然这样计算 在 的值没有利用众所周知的公式 计算来的方便,但它对于求解多项式函数在某点c的任何k阶导数值和在某固定区间的定积分确非常实用. 　　1.2求多项式函数的导数 　　由于在阶数上任何多项式函数的导函数都要低于原函一阶，因此对于多项式函数在某点的任意阶导数，我们可以得到任意k阶导函数在某点的导数值与其前一阶导函数的系数之间关系的如下两个计算结论. 　　与其他求函数在某点导数值不同，除了截断误差外本方法的计算结果几乎没有误差，而且其复杂度更为简单. 　　2.定积分计算 　　在数值分析时，我们通常用Composite Trapezoidal - Simp-son方法 来计算函数在某区间上的导数，但是当被积函数是多项式函数时，这种方法就已经没有必要,而且我们可以用Newton-Leibniz定理 来计算定积分. 　　. 　　2. 复杂度分析 　　从上面的结论中我们看到用该方法无论是求多项式函数在某点的导数值还是求多项式函数在固定区间上的定积分，都没有进行多次累乘的情况,在各阶迭代运算中都只对相应各个系数进行了一次乘法运算，这样在计算中，相比进行多次乘积运算，将降低因多次相乘的所带来的误差，而且在积分计算中,每个系数迭代用公式 和 ,这些分母 将降低截断误差，并使得计算更加有效和简单，而且在理论上该方法没有误差. 　　参考文献 　　[1]J.H.Mathews,K.D.Fink.Numerical Methods Using Matlab(third edition)[M], London:Prentice Hall . 　　[2] Yonatan Katznelson.Taylor polynomials[J],UCSC,AMS/ECON,):11-17. 　　[3]Uwe Naumann.the complexity of derivative computation[J],RWTH Achen,August,): 　　35-37. 　　[4] 林成森.数值分析[M},北京：科学出版社，3. 　　[5]Vladimir A.Zorich.Mathematical Analysis(first volume)[M].Berlin:Springer,. 　　[6]Rainer Kress.Numerical Analysis[M],Berlin:Springer,. 　　罗东升(1975.05-)，男，汉，湖南衡阳，副教授（硕士），主要研究方向：PDE及最优控制、数值分析和O.R. 　　罗东升：，Email:
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