带电粒子在磁场、复合场中的运动
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带电粒子在磁场、复合场中的运动
带电粒子在磁场、复合场中的运动
二. 教学过程：
（一）洛伦兹力
1、方向的判定：
（1）洛伦兹力的方向可以用____________判定。
（2）判定洛伦兹力的方向要注意区分粒子____________。
2、计算公式：
& （1）当v与B垂直时，F＝____________。
& （2）当v与B夹角为时，F＝____________。
3、洛伦兹力的特点：方向始终和带电粒子速度方向垂直，故永远不对运动电荷_________。
（二）带电粒子在匀强磁场和复合场中的运动
1、匀速圆周运动
& （1）条件：带电粒子初速度____________磁感线方向射入匀强磁场。
& （2）向心力：洛伦兹力提供向心力，即qvB＝____________，并可结合圆周运动公式推导出r＝____________，T＝____________等。
2、带电粒子在复合场中运动的应用
& （1）速度选择器
& （2）磁流体发电机
& （3）电磁流量计
& （4）霍耳效应
& 共同的规律公式：____________。
三. 重点知识和规律：
（一）带电粒子在匀强磁场中的运动规律
带电粒子仅受洛仑兹力时的匀速圆周运动，是比较常见的一种运动形式，也是考查得比较频繁的一类题目。通常所涉及到的有完整的圆周运动和部分圆周运动。
这类题目的解决办法是九个字：找圆心，定半径，画轨迹。找圆心，就是根据题目所描述的已知条件，找出带电粒子做圆周运动的圆心（找圆心的方法参见特别提示）；定半径，根据平面几何的知识（一般是三角形的关系：边边关系、边角关系、全等、相似等等），表示出带电粒子做圆周运动的半径来，以便利用相关的规律列方程；画轨迹，并不是可有可无的，一个准确的图形可以帮助判断分析问题的正确与否，对顺利的确定半径也很有帮助。
带电粒子做匀速圆周运动的圆心及运动时间的确定的方法
&&& 圆心的确定：通过速度的垂线ab，弦ac的垂直平分线de，入射速度与出射速度夹角的角平分线fe，三线中的任意两线来定。如图所示。
时间的确定：，式中为弧长，v为线速度，q为圆心角，w为角速度，T为周期。
1、圆心的确定：由圆周运动的特点和几何关系，可以用图所示方法：（1）圆心在入射点和出射点所受洛伦兹力作用线的交点上，即线速度垂线的交点上。
& （2）圆心在入射点和出射点连线构成的弦的中垂线上。
2、带电粒子在不同边界磁场中的运动
& （1）直线边界（进出磁场具有对称性）
& （2）平行边界（存在临界条件）
& （3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
3、运动时间的确定：根据带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，确定粒子转过的圆弧所对应的圆心角，由或即可确定。
［特别提醒］
（1）注意临界条件的挖掘，例如刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）由于各种因素的影响，带电粒子在磁场中的运动问题可出现多解，如带电粒子电性不确定、磁场方向不确定，临界状态不惟一等。
（二）带电粒子在复合场中的运动规律
带电粒子在复合场中做什么运动，取决于合外力及其初速度，因此处理问题时要把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，灵活运用不同规律解决问题。
1、匀速直线运动
& 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时的运动，加速度选择器，这类问题列平衡方程即可求解。
2、匀速圆周运动
& 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子可以在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，这类问题可根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿定律结合圆周运动规律，以及其他力的平衡条件求解。
3、较复杂的曲线运动
& 当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线，且不可能是匀变速运动，这类问题只能用功能关系（动能定理或能量守恒定律）求解。
4、分阶段运动
& 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成，例如质谱仪中，带电粒子先通过加速电场，再通过速度选择器，最后在磁场中偏转，不同阶段要选择不同的规律，列出相应的方程。
【典型例题】
一、带电粒子在有界磁场中的运动
例1. （2007·杭州模拟）两个同位素离子质量分别为和（），经同一电场加速后，进入顶角为30°的三角形磁场区域，进入的速度方向与磁场边界垂直，如图所示，两种离子均能穿过磁场区域，其中质量为的离子射出时速度方向恰与边界垂直，另一质量为的离子射出时速度方向与边界成角（角为钝角且为弧度单位）。
& （1）求质量分别为的两种同位素离子在磁场中运动半径之比；
& （2）若质量为的离子穿过磁场用时为t，求质量为的离子穿过磁场所用的时间。
& 思路点拨：先利用加速电场中关系式：，再根据洛伦兹力提供向心力，由可求出半径之比，然后由周期公式，确定圆心角，即可求离子在磁场中的运动时间。
& 标准解答：（1）两个同位素离子，其电量相等设为q，经同一电场加速后速度为v，则
& 即两种离子的运动半径之比为
& （2）根据带电粒子在磁场中运动的周期，质量为的离子在磁场中运动所对应的圆心角为，所以运动的时间为
& 由几何知识可得质量为的离子在磁场中运动所对应的圆心角
& 所以它在磁场中的运动时间t′为
二、带电粒子在不同边界磁场中运动
例2. （2007·临沂期末）如图所示在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.10T，磁场区域半径，左侧区圆心为，磁场向里，右侧区圆心为，磁场向外，两区域切点为C，今有质量，带电荷量C的某种离子，从左侧边缘的A点以速度正对的方向垂直射入磁场，它将穿越C点后再从右侧区域穿出，求：
& （1）该离子通过两磁场区域所用的时间；
& （2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）
& 思路点拨：（1）带电粒子进入圆形边界的磁场沿半径方向射入，必沿半径方向射出。
& （2）粒子在左右两区域的运动轨迹具有对称性。
& 标准解答：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，在左右两区域的运动轨迹是对称的，如图所示，设轨迹半径为R，圆周运动的周期为T。
& 由牛顿第二定律&&&&&&&&&&&& ①
& 又：& ②
& 联立①②得：& &&&&&&&&&&& ③
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④
& 将已知代入③得R＝2m&&&&&&&&&&&&& ⑤
& 由轨迹图知：，即
& 则全段轨迹运动时间：&&&&&&&&& ⑥
& 联立④⑥并代入已知得
& （2）在图中过向作垂线，联立轨迹对称关系
& 侧移距离
& 将已知代入得
三、电偏转和磁偏转的综合
例3. （2007·福州期末）如图甲所示，电子从加速电场的O点出发（初速度不计），经电压为的加速电场后沿中心线进入两平行金属板MN间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上的P点处，设M、N板间的电压为，两极板间距离d与板长l相等，均为L，已知，电子的比荷，求：
& （1）电子进入偏转电场时的速度；
& （2）电子离开偏转电场时的偏转角度；
& （3）若撤去M、N间的电压，而在两平行板间直径为L的圆形区域内加一方向垂直纸面向里的匀强磁场（如图乙所示，圆心恰好在平行板的正中间），要使电子通过磁场后仍打在荧光屏上的P点处，则磁感应强度B的大小为多大？
& 思路点拨：（1）由动能定理即可求得电子经加速电场加速后的速度。
& （2）电子在偏转电场中的运动为类平抛运动，偏转角。
& （3）电子在磁场中偏转仍到P点，偏转角不变，因此可以由几何关系和洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度。
&&标准解答：（1）根据动能定理
& （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，
& 联立以上式子代入数据得：。
& （3）加磁场后，电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周轨道为R，磁场半径r＝0.5L，要使电子通过磁场后仍打在P点，偏向角。
& 由几何知识得：
& 洛伦兹力提供向心力，即
& 整理并代入数据得：
四、带电粒子在复合场中的运动
1. 带电粒子在复合场中的运动
这一类严格来说不能叫在复合场中的运动，它只是在不同场中的运动，先在电场中应用电场中的物理规律，如式①；再在磁场中，应用磁场的物理规律，即定圆心，找半径，画轨迹的办法来解决，如式②③。即分析清楚题目中所描述的物理情景，分清几个过程，针对不同的物理过程遵循的物理规律列方程
例4. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度q，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
（全国理综卷）
解析：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。如图所示。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则
eU＝mv2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①
evB＝&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&②
又有tg＝&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ③
由以上各式解得
B＝&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④
2. 带电粒子在电磁场中的匀速直线运动
带电粒子在电磁场中做匀速直线运动时，合外力为零。
例5. 在如图所示的平行板器件中，电场E和磁场B相互垂直。如果电荷q具有适当的速度，它将沿图中所示虚线穿过两板的空间而不发生偏转。这种器件能把具有上述唯一速度的粒子选择出来，所以叫作速度选择器。试证明这种粒子必须具有的速率为，才能沿着图示的虚线路径通过。
&&& 解析：该题考查带电粒子在电场和磁场中的运动。通过粒子的轨迹说明粒子的运动，通过粒子的运动说明粒子的受力情况。
&&& 粒子既受电场力，又受洛仑兹力，在二力的作用下，能沿直线运动，则一定做匀速直线运动。故而有
3. 带电粒子在复合场中的匀速圆周运动
复合场指的是重力场、电场、磁场都存在所形成的场。此时做匀速圆周运动所需要的向心力由洛仑兹力提供，而重力和电场力平衡。
例6. 如图所示，带电液滴从h高处自由落下，进入一个匀强电场与匀强磁场互相垂直的区域，磁场方向垂直纸面，电场强度为E，磁感应强度为B，已知液滴在此区域中做匀速圆周运动，则圆周的半径R＝_______________。
（上海高考卷）
解析：进入磁场前的速度由动能定理（或机械能守恒定律）得：
mgh＝mv2，解得& v＝。
在复合场内，由于粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，故有mg＝qE。圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，即：qvB＝m，联立解得& R＝
4. 带电物体在复合场中的其它运动
& 例7. 一根光滑绝缘的细杆MN处于竖直面内，与水平面夹角为37°。一个范围较大的水平方向的匀强磁场与细杆相垂直，磁感应强度为B。质量为m的带电小环沿细杆下滑到图中的P处时，向左上方拉杆的力大小为0.4mg，已知小环的带电量为q。问：
&&& （1）小环带的是什么电？
（2）小环滑到P处时速度有多大？
（3）在离P点多远处，小环与细杆之间没有挤压？
解析：（1）小环下滑时所受的洛伦兹力总是垂直于细杆方向的，只有垂直杆向上才可能使小环向左上方拉杆，由左手定则可判定小环带负电。
（2）小环运动到P处时，受重力mg、洛伦兹力F、杆的弹力T如图所示。在垂直于杆的方向上，小环受重力的分力F2，杆的拉力T和洛伦兹力F互相平衡，即
Bqv＝T＋mgcos37°
解得环滑到P点的速度v＝1.2mg/Bq
（3）从上问的受力分析可知，当洛伦兹力F′＝mgcos37°时，环与杆之间无挤压，设此时环速度为v′，则Bqv′＝0.8mg，即v′＝0.8mg/Bq。
因为v′＜v，易知这个位置在P上边某点Q处。令QP＝s。因本题中洛伦兹力的变化没有影响小环沿光滑杆下滑的匀加速运动的性质，故有v2＝v′2＋2as
【模拟试题】
1. 如图所示，在真空中匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c向左做匀速运动，比较它们的重力Ga、Gb、Gc的关系，正确的是
&&& C. Gc最大
2. 如图所示，质量为m，电荷量为q的带负电的物体，在磁感应强度为B，方向垂直向里的匀强磁场中，沿着动摩擦因数为m的水平面向左运动，则
A. 当速度v＝mg/Bq时，物体做匀速运动
B. 物体的速度由v减小到零所用的时间小于mv/m（mg－Bqv）
C. 物体的速度由v减小到零所用的时间大于mv/m（mg－Bqv）
D. 当磁场反方向时，物体一定做匀减速运动
3. 如图所示，水平正交的匀强磁场和匀强电场，E＝4 V/m，B＝2 T，一质量m＝1 g的带正电的小物块A，从绝缘粗糙的竖直壁的M点无初速下滑，当它滑行h＝0.8 m到达N点时，离开壁做曲线运动。当A运动到P点时恰好处于平衡状态，此时速度方向与水平方向成45°角，若P与M的高度差H＝1.6 m，求：（1）A沿壁下滑时摩擦力做的功。（2）P与M间的水平距离为多少？
4. 如图所示，a、b是位于真空中的平行金属板，a板带正电，b板带负电，两板间的电场为匀强电场，场强为E。同时在两板之间的空间中加匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B。一束电子以大小为v0的速度从左边S处沿图中虚线方向入射，虚线平行于两板，要想使电子在两板间能沿虚线运动，则v0、E、B之间的关系应该是 &&&&&&
A. &&&&&&&&& B. &&&
C. &&&&&&&&&&&&& D.
（全国文理综合卷）
5. 如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比q/m。
（全国高考卷）
6. 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光干板ab，板面与磁场方向平行。在距ab的距离为l＝16 cm处，有一个点状的 放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s。已知 粒子的电荷与质量之比q/m＝5.0×107 C/kg。现只考虑到图纸平面中运动的 粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。
（广东物理卷）
7. 一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
（甘肃等四省理综卷）
8. 汤姆生用来测定电子的比荷（电子的电荷量和质量之比）的实验装置如图所示。真空管内的阴极K发出的电子（不计初速、重力和电子间的相互作用）经加速电压加速后，穿过A′中心的小孔沿中心轴O1O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P′间的区域，当极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；加上偏转电压U后，亮点偏离到O′点，O′与O点的竖直间距为d，水平间距可忽略不计，此时，在P和P′间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点，已知极板水平方向的长度为L1，极板间距为b，极板右端到荧光屏的距离为L2（如图所示）。
（1）求打在荧光屏O点的电子速度的大小
（2）推导出电子的比荷的表达式。
（江苏物理卷）
9. 空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为＋q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示。该粒子运动到图中Q点时速度与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示。已知P、Q间的距离为l。若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时的速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点。不计重力。求：
（1）电场强度的大小
（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差。
（内蒙古等四省理综卷）
10. K－介子衰变的方程为：K－→π－＋π0，其中K－介子和π－介子带负的基元电荷，π0介子不带电。一个K－介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP，衰变后产生的π－介子的轨迹为圆弧PB，两轨迹在P点相切，它们的半径RK-与Rπ-之比为2︰1。π0介子的轨迹未画出。由此可知π－的动量大小与π0的动量大小之比为
A. 1︰1&&& B. 1︰2&&& C. 1︰3&&& D. 1︰6
&（新课程全国理综卷）
11. 如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点。不计重力。求
（1）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时的速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
（湖北等八省理综卷）
12. 钍核Th发生衰变生成镭核Ra并放出一个粒子。设该粒子的质量为m、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极S1和S2间电场时，其速度为v0，经电场加速后，沿Ox方向进入磁感应强度为B，方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，Ox垂直平板电极S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方位的夹角q＝60°，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；
（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨迹半径；
（3）求粒子在磁场中运动所用的时间t。
【试题答案】
3. （1）6×10－3 J& （2）0.6 m
提示：由几何关系得，偏转半径；又，两式联立得。
提示： 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB＝m，由此得R＝＝10 cm。
因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。由图中几何关系得：
再考虑N的右侧，任何 粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径，S为圆心作圆，交ab于N的右侧的P2点，此即粒子打到右侧的最远点。由图中几何关系得：
所求的长度为P1P2＝NP1＋NP2＝20 cm
7. 由几何关系得到L=3r，又，得；R=2rsin60o=
8. （1）（2）
9. （1）（2）
11. （1）（2）与ｘ轴成45o夹角斜向下（3）
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