三角形的体积公式是什么_百度知道
三角形的体积公式是什么
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三角形的体积公式是什么？回答：三角形没有体积也就没有体积公式，只有面积和周长，要有体积的图形才有体积公式。分析：三角形是平面图形，平面图形只有面积和周长公式，只有立体图形才有体积公式，如：三棱锥、三棱柱、圆柱等。三角形的面积公式为：底边长×高÷2注意：如一个三角形底边长为10厘米，高为5厘米，则这个三角形的面积为：10×5÷2=25平方厘米
采纳率：96%
[公式描述]&由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形，已知三角形底a，高h，则S＝ah/2。1 基本定义 编辑由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形（triangle），符号为△。三角形是几何图案的基本图形。三角形具有稳定性。2 基本分类编辑按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90度。直角三角形：可记作Rt△。其中一个角必须等于90度。钝角三角形：有一个角大于90度。判定法二：三角形面积锐角三角形：最大角小于90度。直角三角形：最大角等于90度。钝角三角形：最大角大于90度。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。判断方法若一个三角形的三边a，b，c（a&b&c&0） 满足：（i）b²+c²&a²，则这个三角形是锐角三角形；（ii）b²+c²=a²，则这个三角形是直角三角形；（iii）b²+c²&a²，则这个三角形是钝角三角形。按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形。3 公式简介编辑已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c，则s=1/4*√[2(a^2b^2+ a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=(1/2)*底*高已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小。本题考点：三角形面积思路分析：三角形的面积=（底乘高）/2 。难 易 度：中[1]4 重要线段编辑中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线，平分三角形的面积的这条线叫做三角形的中线。高过三角形的顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高线。角平分线三角形的内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线中位线任意两边中点的连线。它平行于第三边且等于第三边的一半。[1][4]5 边角关系编辑三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。请参考相关词条。6 基本性质编辑角1° 三角形的内角和等于180°（内角和定理）；2° 三角形的外角和等于360° (外角和定理)；3° 三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4° 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。5° 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。边6° 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。7° 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。8° 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。9° 三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。10° 三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。11° 等底同高的三角形面积相等。12° 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。13° 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。14° 等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。其他15° 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。16° 在斜△ABC中恒满足：tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC。17° △ABC中恒有。18° 三角形具有稳定性。向左转|向右转
三角形只有面积，没有体积的说法。
三角形没有体积公式一说。三角形的高把它分成两个小的直角三角形，其中每个直角三角形的面积都是相应的小矩形面积的一半，所以这个三角形的面积是整个矩形面积的一半。因为矩形的面积等于长乘以宽，这里三角形的底相当于矩形的长，三角形的高相当于矩形的宽，所以：三角形的面积=底*高/2如果用a表示三角形的底，h表示三角形底边上的高，S表示三角形的面积，则：S=ah/2如果是三棱柱，则有体积。三个平面在空间形成的三棱锥（三棱柱或叫三角体），这是立体空间中最普通最基本的图形，正如三角形之于二维空间。三棱柱，或者是三棱锥是有体积计算公式。其体积文字表达为:底面积乘高再除以3，就是三个三角体可一平形柱体，再分成3份，即底面积乘高再除以3就是三个三角体可一平成正方体，再分成3份。数字公式为：V=底面积*高/3。
这句话是不正确的。因为三角形是平面图形，平面图形只有面积公式。三角形的面积公式：三角形面积=1/2
三角形没有体积，所以不可能有体积公式。三角形有面积公式，公式为:底乘高除以二。
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重难点突破案例集（教学设计、微课、进阶练习）
围绕本次研修主题，选取一个课时，提交一份该课时重难点突破的案例包（包括教学微课、学生活动设计和课堂分层检测试题）
提交人：王力
提交时间：Tue Dec 26 15:39:26 CST 2017
小学数学《三角形面积计算公式》教学设计教材分析：人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。教学目标：<span style="color:#、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。<span style="color:#、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。<span style="color:#、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。教学重点：三角形面积计算公式的推导。教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。教具准备：多媒体课件一套，投影仪。学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形各一个③任意三角形若干个）教学设计:一、创设问题情境，质疑激励探索师：同学们，今天老师为大家带来了几位老朋友，你们想和它们见见面吗？<span style="color:#、课件出示：&&学生说名称及特征后，平行四边形出示关系集合图&&&&&&&&长方形正方形师问：谁愿意说出三种图形的面积的计算方法和计算公式的推导过程。课件展示三角形的图片&&&&&请同学们观察猜测：三角形的面积会怎样计算呢？该怎样转化呢？揭题：三角形面积计算公式（板书课题）（设计意图：创设轻松的学习氛围，用多媒体手段帮助学生回忆长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式及其所属关系，为后面的探究活动中图形及公式的转化作好铺垫。激励学生用已有的经验深入认识“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同时又导出了探索的目标和方向。〕二、合作探索新知，循序渐进解谜。（一）实践操作的合作探索：：根据你的猜想，动手操作验证一下吧!第一次小组合作：1.&同学们，请你们选择三组学具中你喜欢的一种，用你们喜欢的方法进行实验<span style="color:#.通过折、剪、拼、你会转化成哪种已学过的面积的图形？<span style="color:#.转化后的图形与原三角形有什么联系？<span style="color:#.组内展示交流：你是怎样操作的，得到什么样的结论（二）汇报操作验证结果生上台展示：把一张三角形纸片的三个角向内对折，变成一个小长方形，得到长方形的长是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高的一半，为此，三角形的面积等于小长方形面积的2倍。2倍与其中的一个“一半”抵消，还剩一个“一半”为此，三角形的面积等于底乘高除以2生上台展示：将三角形的顶角向底边平行对折，再沿折痕剪开，把得到的小三角形沿中间对折再剪开，分别补在剩下图形的两侧，变成一个长方形。三角形的底没变，高缩小了一半，为此，三角形的面积等于底乘高除以2师：这个办法怎么样？生：也很合理。（表扬，祝贺）师：还有其他做法吗？生：把等腰三角形对折，剪开一半拼成平行四边形（含长方形、正方形），拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高是三角形的高，平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍生：选两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都可以拼成一个平形四边形（含长方形、正方形）拼得的平行四边形的底是原来三角形底的2&倍，高不变，所以，三角形的面积等于底乘高除以2。师：这个办法怎么样？看来同学们在探究三角形面积的推导想出的办法还真不少！那么，你感觉哪种办法最好？最有创意？〔设计意图：尊重学生的知识基础和喜好，让学生自由选择三组学具中的一组，使学生更满意地完成任务，同时也培养学生学会。倾听别人的正确意见，给予排斥、质疑、认同的思维空间，创造客观评价他人和自己的机会，掌握三种基本思路，（即拼法、剪法、和割补法），鼓励个性割补法。多媒体课件的分类图展，多次发散验证学生推导的准确性，更能帮助学生构建新的知识网，充分享受成功的喜悦，激发学生的积极性，真正体现的学生为主体，面向全体学生的教育思想。（三）各组同学可以上台采访和自己拼法不一样的小组，交流经验，比较这四种方法，你喜欢哪种方法？为什么？如果你觉得自己的拼法有不足之处，你想向哪一组同学学习？他们的拼法好在哪里。（各小组交流经验）〔设计用意：及时反思使学生产生鲜明的对照，能及时地改进自己操作中的不足，多吸取他人的优点，积累操作经验，拓宽思路。合理的评价机制真正起到了鼓励的作用。教师小组评价、同学对比评价、自己反思评价的客观多元评价方法，培养学生自我评价的能力，鼓励学生参与他人平等竞争，使学生产生挫败和成功的情感体验，提高心理素质。〕（四）小组合作二：小组交流：1.三角形的面积如何计算呢？用字母如何表示？<span style="color:#.在本上书写计算公式汇报结果：生：三角形的面积等于底乘高除以2。生：如果用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，字母表示三角形的面积公式S&=&&ah&÷&2（设计意图：通过比较、归纳，揭示三角形面积计算公式及字母表达式。公式的推导是全体学生亲身经历探索的过程、发现的过程，推理的过程，是学生个人独立思考与小组合作学习的过程，学生对公式的来源理解深刻，为实际应用及拓展创新铺下了坚实的基础）。（五）第三次合作：我们运用合作的力量探究出了三角形的面积计算公式，同学们太了不起了！请把三角形的面积的计算公式的推导过程与组内伙伴分享板书两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，这个平行四边形的高等于三角形的高，因为每个三角形的面积等于拼成平行四边形面积的一半，又因为平行四边形的面积=底×高&&&&&所以：三角形的面积=底×高÷2三、实践运用，拓展创新：<span style="color:#、尝试解答例题。课件出示：一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？（学生独立尝试解答，教师巡视辅导，集体订正。）课内作业，课外延伸。<span style="color:#、巩固练习&&&练习十七1-3题四、全课总结：通过与伙伴的合作探究，你有什么收获？你对自己的表现满意吗？板书设计：&&&&&&&&&&&&&&三角形的面积两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形拼成的平行四边形的底等于三角形的底，拼成的平行四边形的高等于三角形的高，因为每个三角形的面积等于拼成平行四边形面积的一半，又因为平行四边形的面积=底×高所以&&&三角形的面积=底×高÷2S&=&&ah&÷&2
附件一：微课视频.mp4
附件二：人教版五年级数学上册《三角形面积的计算》PPT课件.ppt
附件三：三角形的面积教学设计.doc
附件四：三角形的面积教学反思.doc|备考|互动
三角形的面积
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面积公式是数学公式，其中包括 公式，面积公式，，，，面积公式等多种图形的面积公式。
面积公式扇形公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C=2R+nπR÷180
=2×1+135×3.14×1÷180
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积：
S=nπR^2÷360
=135×3.14×1×1÷360
=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
其中l为弧长，R为半径
面积公式扇环面积
圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))
圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)
用字母表示：
S内+S外（πR方）
S外—S内=π(R方-r方）
还有第二种方法：
S=π[(R-r)×(R+r)]
R=大圆半径
r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径
还有一种方法：
已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。
D-d=2R-（R-r）=R+r，
可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，
圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。
面积公式三角形公式
面积公式海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 ：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为变形①，故得证。
证五： 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
面积公式坐标公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.
2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则
S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.
面积公式圆公式
设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .
则 面积 S= π·r^2 ; π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方
面积公式弓形公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）
计算公式分别是：
S=nπR^2÷360－ah÷2
S=nπR^2÷360+ah÷2
面积公式椭圆公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
椭圆面积公式应用实例
椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。　　答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm?）
面积公式菱形公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px
Ⅰ)当P&2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P&2bk时,l与C无交点(相离).
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.
解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.
解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.
常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、、（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；
7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分
．你知道扇形的面积公式吗?你能运用扇形面积公式吧！ &#91;引用日期&#93;
．巧计扇形和扇环的面积公式&#91;引用日期&#93;
．海伦公式的几种证明方法&#91;引用日期&#93;
．坐标计算的基本公式&#91;引用日期&#93;
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