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高一数学必修1知识点总结
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高一数学必修1知识点总结
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.Com 高一数学必修一知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C om& 非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集& ：N*或 N+& 整数集：&&& Z& 有理数集：& Q& 实数集：&&& R1）列举法：{a,b,c……}2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3&2} ,{x|x-3&2}3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类：(1)有限集&& 含有有限个元素的集合(2)无限集&& 含有无限个元素的集合(3)空集&&&& 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系―子集注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系：A=B& (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设& A={x|x2-1=0}& B={-1,1}&& “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③ 如果 AB, BC ,那么 AC④ 如果AB& 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集&
三、集合的运算
运算类型&交&& 集&并&& 集&补&& 集定&&& 义&由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作 ，即CSA=
韦恩图示&&&
质&A A=A& A Φ=ΦA B=B AA B A&A B BA A=AA Φ=AA B=B AA B ＡA B B(CuA)&& (CuB)= Cu (A B)(CuA)&& (CuB)= Cu(A B)A& (CuA)=UA& (CuA)= Φ．
二、函数的有关概念1．函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.& (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，& (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2．值域 : 先考虑其定义域(1)观察法& (2)配方法& (3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 1.描点法：&&& 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间& （2）无穷区间& （3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数&& (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)& 称为f、g的复合函数。二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1&x2时，都有f(x1)&f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1&x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：（1）任取x1，x2∈D，且x1&x2；（2）作差f(x1)－f(x2)；或者做商（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=―f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .10、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法11．函数最大（小）值○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第三章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 &1，且 ∈ *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：&， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1） • && ；（2） &&& ；（3） && ．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质a&1&0&a&1&&
定义域 R&定义域 R值域y＞0&值域y＞0在R上单调递增&在R上单调递减非奇非偶函数&非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）&函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；（3）对于指数函数 ，总有 ；
二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果& ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ ― 底数， ― 真数， ― 对数式）说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；○2& ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数 ；○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．指数式与对数式的互化幂值&&&&& 真数&&&&&&&&&&&&&&&&&& &＝ N& ＝ b
&&&&&&&&&&&&&&&&& 底数&&&&&&&&&& 指数&&&&&&&&&&&&& 对数（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：○1& •& ＋ ； ○2&& － ；○3&&&&&& ．注意：换底公式： &（ ，且 ； ，且 ； ）．利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） ． （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数；&& ②、 ，&&&& ③、对数恒等式 （二）对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ，& 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．2、对数函数的性质：a&1&0&a&1&& 定义域x＞0&定义域x＞0值域为R&值域为R在R上递增&在R上递减函数图象都过定点（1，0）&函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如& 的函数称为幂函数，其中 为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．第四章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程 的实数根；○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数 ． （1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．5.函数的模型& 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.Com
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