万有引力定律-物高一上末
　　　　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　　　　　　
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万有引力定律
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万有引力定律
本章重点是万有引力定律，能够把握万有引力定律，会运用万有引力定律计算有关重力的问题的；用万有引力定律和向心力公式分析天体运动，进行有关计算。难点是如何灵活的运用向心力的各种表达式。本章对学生来说较难把握，但只要抓住问题的要害：天体运动靠万有引力提供向心力。历届高考中和本章内容有关的试题都以万有引力和圆周运动规律为知识点，围绕人造地球卫星和行星的运动展开，题型以选择题为主对数字计算的技巧和准确性提出了较高的要求。
1、了解地心说和日心说两种不同的观点。
2、知道对行星运动的观点。
3、理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。
4、了解万有引力定律在天文学上有重要的应用
5、会用万有引力定律计算天体的质量
6、了解人造卫星的有关知识。
7、知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
学习本章时要注重能够看到问题的实质，始终抓住天体和卫星的运动都是靠天体之间的万有引力提供向心力的。
第一节 行星的运动
【基本点】
点1、地心说与日心说
地心说：认为地球是静止不动，是宇宙的中心，宇宙万物都绕地球运动
日心说：认为太阳不动，地球和其他行星都绕运动
【典型题解】
例1、下列说法中正确的是（ ）
A.地球是宇宙的中心，、月亮和行星都绕地球运动
B.太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕运动
C.地心说、日心说，现在看来都是错误的
D.月亮跟随地球绕太阳运动，但月亮不是系的行星，它是地球的一颗卫星
分析：地心说：认为地球是静止不动，是宇宙的中心，宇宙万物都绕地球运动；日心说：认为太阳不动，地球和其他行星都绕运动，
评析：本题处理好要害要了解地心说和日心说的两种说法的区别
例2.木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍,那么,木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕运动轨道的半长轴的多少倍?
分析:木星、地球都绕太阳沿不同的轨道运动，太阳在它们的椭圆轨道的一个焦点上。设木星、地球绕运动的周期分别为
，它们椭圆轨道的半长轴分别为
，根据开普勒第三定律得：
所以绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕运动轨道半长轴的5.24倍。
答案：5.24倍
评析：处理好本题的要害是要熟练把握开普勒的三大定律，第一定律是（焦点定律）：所有行星都绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，各行星的椭圆轨道虽然大小不同，但太阳处在所有轨道的一个共同焦点上。第二定律是（面积定律）：对于每一个行星而言，和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即
值是一个与行星无关的常量，只与有关
【巩固练习】
1.关于日心说被人们所接受的原因是（ ）
A.地球是围绕运转的
B.总是从东边升起，从西边落下
C.以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题
D.以为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变的简单了
2.下列说法正确的是（ ）
A.地球是一颗绕运动的行星
B.关于天体运动的日心说和地心说都是错误
C.太阳是静止不动，地球和其它行星都在绕转动
D.地球是宇宙的中心，、月亮及其它行星却绕地球转动
3.关于地球和，下列说法中正确的是（ ）
A.地球是围绕运转的
B.地球是围绕做匀速圆周运动的
C.由于地心说符合人们的日常经验，所以地心说是正确的
D.太阳总是从东边升起，从西边落下，所以围绕地球运转
4.关于公式
，下列说法中正确的是（ ）
A.一般计算中，可以把行星的轨道化成圆，
是这个圆的半径
B.公式只适用于围绕地球运行的卫星
C.公式只适用系中的行星或卫星
D.公式适用宇宙中所有的行星或卫星
5.关于公式
，下列说法中正确的是（ ）
值是一个与行星或卫星无关的常量
值是一个与星球（中心天体）无关的常量
值是一个与星球（中心天体）有关的常量
D.对于所有星球（中心天体）的行星或卫星，
6.宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9 倍，则它们飞船绕运行的周期是（ ）
A.3年 B.9年 C.27年 D.81年
7.开普勒仔细研究了第谷的观测资料，经过四年多的辛劳工作，终于发现：行星绕运动并不是 运动，所有行星绕的运动的轨道都是 ，处在 ； 所有行星的轨道的半长轴的 跟公转周期的 的比值相等。
【创新点】
点1、开普勒定律―关于行星运动的三大定律：
eq \o\ac(○,1)1所有的行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运动，处在这些这些椭圆的一个焦点上
eq \o\ac(○,2)2对每个行星而言，行星和的连线在任意相等的时间内扫过的面积都相等
eq \o\ac(○,3)3所有行星的椭圆轨道长半轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【创新题解】
例1、下列说法中正确的是（ ）
A.大多数人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球处在这些椭圆的一个焦点上
B.人造地球卫星在椭圆轨道上运动时速度是不断变化的；在近日点四周速率大，远地点四周速率小；卫星与地心的连线，在相等时间内扫过的面积相等
C.大多数人造地球卫星的轨道，跟月亮绕地球运动的轨道，都可以近似看做为圆，这些圆的圆心在地心处
D.月亮和人造地球卫星绕地球运动，跟行星绕运动，遵循相同的规律
分析：由于无论是地球还是月亮，还是人造地球卫星，之所以能够围绕其他星体做圆周运动都靠的是它们与星体之间的万有引力提供向心力，所以天体遵循的开普勒定律在这里都可适用。所以依据开普勒三大定律可知ABCD四选项都正确
答案：ABCD
评析：处理好本题同样要熟练把握开普勒三大定律
例2、关于开普勒定律，下列说法正确的是（ ）
A.开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论
B.根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小
C.行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，既可以认为行星绕做匀速圆周运动
D.开普勒定律，只适用于系，对其他恒星系不适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的
分析：恒星的行星、行星的卫星，都是在万有引力支配下的运动，所以开普勒定律不仅对太阳系的行星运动适用，对行星的卫星运动也适用；开普勒定律，是开普勒在日心说的基础上，根据他的老师（第谷）长期观测行星绕运动的位置变化的数据，经计算、分析得到的结果。有在开普勒定律的基础上，充分发挥了自己的数学才能，推导出与行星之间的相互作用力应与距离的平方成反比，从而发现了万有引力定律；椭圆的长半轴与短半轴相等时，椭圆就退化为圆，椭圆的长半轴与短半轴相差不是太大时，自然可以近似看做是圆。
评析：要害是熟练把握开普勒定律
【提升练习】
1.银河系中有两颗行星，它们绕运转周期之比为8∶1，则
（1）它们的轨道半径的比为 （ ）
A.4∶1 B.8∶1 C.2∶1 D.1∶4
（2）两行星的公转速度之比为 （ ）
A.2∶1 B.4∶1 C.1∶2 D.1∶4
2.已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕的公转均可看作匀速圆周运动，则可判定（ ）
A.金星的质量大于地球的质量
B.金星的半径大于地球的半径
C.金星运动的速度小于地球运动的速度
D.金星到太阳的距离小于地球到的距离
3.两颗行星的质量分别为m1、m2，它们绕运转轨道的半长轴分别为R1、R2，假如m1＝2m2，R1＝16R2，那么，它们的运转周期之比T1∶T2＝
4.若已知地球对它所有卫星的
值等于1.01×，试求月球运行的轨道半径。（月球绕地球运行的周期大约是27天）
5.两颗人造地球卫星A和B，A一昼夜绕地球转动
圈，B一昼夜绕地球转动
圈，那么A和B的运行轨道半径之比
等于多少？
第二节万有引力定律
第三节 引力常量的测定
【基本点】
点1.万有引力定律
eq \o\ac(○,1)1内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
eq \o\ac(○,2)2表达式：
eq \o\ac(○,3)3万有引力定律是两个具有质量的物体间的相互作用力，是宇宙中物体间的一种基本作用形式。公式中的
应理解为相互作用的两个物体质心间的距离；对于均匀的球体，
是两球心间的距离；对地表四周的物体，
是物体和地心间的距离。
点2.对万有引力定律，应从以下几方面理解：
eq \o\ac(○,1)1普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
eq \o\ac(○,2)2相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律。
eq \o\ac(○,3)3宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计。
eq \o\ac(○,4)4适用条件：
1、严格地说，万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用。当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用于近似计算两物体间的万有引力。
2、质量均匀的球体间的相互作用，也可用于万有引力定律公式来计算，式中的
是两个球体球心间的距离。
3、一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用计算，式中的是球体球心到质点的距离。
【典型题解】
例1、设地球的质量为
，地球半径为
，月球绕地球运转的轨道半径为
，试证在地球引力的作用下：（1）地面上物体的重力加速度
；（2）月球绕地球运转的加速度
分析：虽然地球表面物体所受重力不等于万有引力，但由于物体做圆周运动时从万有引力分的分力很小，所以一般我们在处理问题时，往往把重力近似看成等于万有引力；月球围绕地球做圆周运动，靠的是地球对月球的万有引力提供的向心力，所以由此可得等式关系
解析：（1）利用在地球表面重力近似等于万有引力，即
（2）利用万有引力提供向心力，即
评析：处理本章问题时，由于其运动的特点决定了：一般都是用 eq \o\ac(○,1)1万有引力提供向心力 eq \o\ac(○,2)2重力近似等于万有引力两个思路处理问题
【巩固练习】
1.下列关于万有引力定律说法正确的是( )
A.万有引力定律是牛顿发现的
B.万有引力定律适用于质点间的相互作用
是一个比例常数，没有单位
D.两个质量分布均匀的球体,
是两球心间的距离
2.如图6-2-1所示，两球的半径远小于
，而球质量均匀分布，
图6-2-1质量为
，则两球间的万有引力大小为（ ）
3.引力常量很小，说明了（ ）
A.万有引力很小
B.万有引力很大
C.很难观察到日常接触的物体间有万有引力，是因为它们的质量很小
D.只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力
4.下列关于万有引力定律的适用范围说法正确的是（ ）
A.只适用于天体，不适用于地面物体
B.只适用于质点，不适用于实际物体
C.只适用于球形物体，不适用与其他外形的物体
D.适用于自然界中任意两个物体之间
5.假如认为行星围绕做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.行星同时受到的万有引力和向心力
B.行星受到的万有引力，行星运动不需要向心力
C.行星受到的万有引力与它运动的向心力不等
D.行星受到的万有引力，万有引力提供行星圆周运动的向心力
6.假设火星和地球都是球体。火星的质量为
,地球的质量为
,两者质量之比为
；火星的半径为
,地球的半径为
,两者半径之比为
。求它们表面处的重力加速度之比。
7.某人质量为50kg，若
取9.8m/s2，
＝6.67×10-11N?m2/kg2，地球半径
＝6.4×106m，试求地球的质量。
8.万有引力常量
、地球半径
和重力加速度
，你能求出地球的质量吗？
9.地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它们的引力和它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距离月球的距离之比为多少？
【创新点】
点1、引力常量
引力常量：
＝6.67×10-11N?m2/kg2，适用与任何两个物体，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，由英国科学家用扭秤装置首先测定出来。
点2、引力常量的测定
（1）仪器：卡文迪许扭秤
m（2）原理： (如图6-2-2)
eq \o\ac(○,1)1固定两个小球的T形架，可以使
之 间微小的万有引力产生较大的力矩，使石英丝产生一定角度的偏转,这是一次放大。
eq \o\ac(○,2)2让光线射到平面镜M上，在M偏转
角后，反射光线偏转2
角。反射光点在刻度尺上移动的弧长
，又一次“放大”效应。
eq \o\ac(○,3)3测出
，根据石英丝扭转力矩跟扭转角度的 关系算出这时的扭转力矩，进而求得万有引力F。
点3、重力与万有引力的关系
地球上一切物体都受到地球的吸引，这种由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力，物体受的重力和地球对物体的引力并不严格相等，因为处于地球表面的物体会随着地球一起转动，所以需要力来提供向心力，就靠万有引力的一个分力来提供，则万有引力的另外一个分力作为重力。但若忽略地球自转带来的影响，也近似认为重力等于万有引力。
【创新题解】
例1、地球半径为
,地面四周的重力加速度为
,试求在地面高度为
处的重力加速度。
分析：在地球表面四周，重力近似等于万有引力，即
处时，万有引力提供向心力，
评析：根据重力近似等于万有引力处理。
【提升练习】
1.苹果落向地球,而不是地球向上运动碰到苹果,产生这个现象的原因是( )
A.由于地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力造成的
B.由于苹果质量小，对地球的引力小，而地球质量大，对苹果的引力大造成的
C.苹果与地球间的相互引力是相等的，由于地球质量极大，不可能产生明显加速度
D.以上说法都不对
2.两行星的质量分别为
，绕运行的轨道半径分别是
，若它们只要万有引力作用，那么这两个行星的向心加速度之比 ( )
3.地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法正确的是( )
A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力
B.在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心
C.在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴
D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大
4.地球和月球中心距离是3.84×108m，月球绕地球一周所用时间大约为27天，则地球的质量为 。
5.一个人在某一星球上以速度
竖直上抛一个物体，经时间
落回抛出点。已知该星球的半径为
，若要在该星球上发射一颗靠近该星球运转的人造卫星，则该人造卫星的速度大小为多少?
6.月球质量是地球质量的
，月球半径是地球半径的
，在距月球表面56m高处，有一个质量为60千克的物体自由下落。试求:
（1）它落到月球表面需要多长时间?
（2）它在月球上的“重力”跟在地球上是否相等?
第四节 万有引力定律在天文学上的应用
【基本点】
点1、用万有引力定律分析天体运动的基本方法
把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，即：
应用时根据已知条件选用适当公式进行分析。
点2.计算天体质量和密度的思路和方法
（1）对于行星或卫星的天体，可把行星或卫星绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。
① 若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为
和运行的线速度为
根据牛顿第二定律有
, 解得中心天体的质量为
② 若已知行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为
和运行的周期
根据牛顿第二定律有
,解得中心天体的质量为
（2）对于没有行星或卫星的天体（或虽有行星或卫星，但不知道其运行的有关物理量），可以 忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。
若已知天体的半径为
和该天体表面的重力加速度
， 解得天体的质量为
（3）计算天体密度的方法
我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为
, 球体的体积公式
由上面方法求得中心天体的质量为
代入密度公式
【典型题解】
例1. 宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间
，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为
。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为
，万有引力常数为
。求该星球的质量
图6-4-1分析：如图6－4－1所示，设抛出点的高度为
，第一次平抛的水平位移为
由平抛运动规律得知，当初速度增大到 原来的2倍时，其水平位移增大到
由①②式解得
设该球上的重力加速度为
，由平抛运 动的规律得
由万有引力定律与牛顿第二定律有
为小球质量） ⑤
由③④⑤解得
评析：本题有些学生会想到在星球表面某高处，星球某高处的重力加速度随高度的变化而变化。这样，小球究竟做什么运动无法得知。其实在本题中不需要考虑重力加速度随高度增大而减小的因素影响，而应抓住主要因素，认为整个过程
不变。解题时易出错的另一个地方是“抛出点与落地点之间的距离”误认为水平位移。
例2.海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道四周天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕运行的线速度之比。
分析：设的质量为
，行星运行的线速度为
，行星的质量为
评析：直接利用行星做圆周运动靠万有引力提供向心力。
例3．已知地球半径约为
，又知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算月球到地心的距离约为
。（结果保留一位有效数字）
分析：建立物理模型，质点绕地球作匀速圆周运动，（忽略月球半径，视其为质点），设地球质量为
，表面的重力加速度为
，月球绕地球的转动周期为
，轨道半径为
评析：向心力可以用周期，线速度，角速度来表示。
例4．1989年英国闻名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？
分析：设地球的质量为
，地球的半径为
，地球的表面的重力加速度为
，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：
将地球看作均匀球体有：
由①②得地球的平均密度
将常数代入有
分析：计算球体体积公式
【巩固练习】
1.已知万有引力常量
和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )
A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离
B.地球绕太阳运行的周期及地球离的距离
C.人造卫星在地面四周运行的速度和运行周期
D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
2.若知道太阳的某一颗行星绕运转的轨道半径为
，万有引力常量
，则可求得（ ）
　 A.该行星的质量 B.的质量
C.该行星的密度 D.的平均密度
3.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为
，引力常量为
，那么该行星的平均密度为（ ）
4.绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一质量为10千克的物体挂在弹簧秤上，这时弹簧秤的示数（ ）
A.等于98N B.小于98N C.大于98N D.等于0
5.一颗质量为
的卫星绕质量为
的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（ ）
A.与卫星的质量无关 B.与卫星的运行速度成正比
C.与行星质量
的平方根成正比 D.与卫星轨道半径的
6.太到达地球需要的时间为500s，地球绕太阳运行一周需要的时间为365天，试估算的质量（取一位有效数字）。
7.宇宙飞船飞到一个不知名的行星表面，能否用一只表通过测定时间测出行星的密度？
图６－４－28.两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6－4－2所示。已知双星的质量为
，它们之间的距离为
。求双星运行轨道半径
，以及运行的周期
9.两个行星质量分别为
，绕运行的轨道半径分别是
（1）它们与间的万有引力之比
（2）它们的公转周期之比
【创新点】
点1、星体表面及某一高度处的重力加速度的求法
图6-4-3（1）解释地球上的物体所受地球的万有引力（F）的方向沿半径指向球心，它的一个分力―重力（G）竖直向下，另一个分力―向心力（Fn ）垂直指向地轴。设重力与万有引力间的夹角
，所在处的纬度为
，由图6-4-3可知：
所以在地球上不同纬度的地方，同一物体的重力发生变化。 由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小。因此，若地球表面的重力加速为
，则根据万有引力定律：
为地球的半径）， 该式也适用于其它星体的表面。
（2）离地面高
处的重力加速度，根据万有引力定律：
为地球的半径）
点2、不同星球的表面力学规律相同，只是
（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。
点3、发现未知天体
海王星和冥王星的发现,是万有引力定律在天文学上具体应用的体现,这充分体现了万有引力定律对研究天体运动的重要意义.
点4、天体运行中的近似估算法
（1） 利用理想化模型进行估算
物理实际问题涉及的因素较多，为了研究解决问题的方便，需要突出主要因素，忽略次要因素，将研究对象进行科学的抽象，使其成为理想化模型而进行近似估算。
（2） 利用物理常数进行估算
估算问题往往告诉的已知量很少，甚至有时什么量也不知道，解题时就应 该灵活地运用一些物理常数，有时也要根据经验来适当地拟定一些物理常数进行估算。
【创新题解】
例1.地球绕太阳公转的轨道半径1.49×1011m，公转的周期是3.16×107s，求的质量是多少？
分析：根据牛顿第二定律，可知：
是由万有引力提供的，所以
∴由⑴，⑵联立可解
评析：万有引力提供向心力
例2．宇宙飞船由地球飞向月球，当飞到某一位置时，飞船中的宇航员感到自己不受重力作用，此时宇航员在空中的位置距地球中心
。（已知地球与月球中心距离
，地球与月球的质量之比为81：1）。
分析：当地球对宇航员的万有引力与月球对宇航员的万有引力大小相等时，宇航员感到自己不受重力，即满足
评析：此时宇宙员处于失重状态，此时万有引力恰好提供向心力。
【提升练习】
1.为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体作匀速圆周运动的另一星球（或卫星）的条件是（ ）
A.质量和运行周期 B.运转周期和轨道半径
C.轨道半径和环绕速度 D.环绕速度和运转周期
2.已知地球的质量为
，月球的质量为
，月球绕地球的轨道半径为
，万有引力常量为
，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于（ ）
3.已知地球和火星的质量比
，表面动摩擦因数均为0.5，用一根绳在地球表面上水平拖一个箱子，箱子能获得
的最大加速度。将此箱子和绳子送上火星表面，仍用该绳子水平拖木箱，则木箱产生的最大加速度为多少？（地球表面的重力加速度为
4．设地球表面的重力加速度为
，物体在距离地心
是地球半径）处，由于地球的作用产生的加速度为
为　　　（ ）
C.1/4 D.1/16
5.地球半径为
，地球四周的重力加速度为
，则在离地面高度为
处的重力加速度是（ ）
6.假如地球自转速度达到赤道上的物体“飘”起（即完全失重），那么估算一下，地球
上一天等于多少
？（地球半径取
，结果取两位有效数字）。
7．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两个星球中心距离为
，其运动周期为
，求两个星球的总质量。
第五节 人造卫星 宇宙速度
【基本点】
点1.人造卫星的发射速度和运行速度
eq \o\ac(○,1)1人造卫星的发射速度。
所谓发射速度是指被发射物在地面四周离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行。假如要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度。
eq \o\ac(○,2)2人造卫星的运行速度
所谓运行速度，是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。根据可知，人造卫星距地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小。实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度。
点2.人造卫星运行的线速度，角速度，周期与轨道半径的关系
eq \o\ac(○,1)1根据
，可得卫星运行的线速度为
；可见卫星运行的线速度与轨道半径的平方根成反比，即
eq \o\ac(○,2)2根据
，可得卫星运行的角速度为
；可见，卫星运行的角速度与轨道半径的3/2次方成反比, 即
eq \o\ac(○,3)3根据
，可得卫星运行的周期为
；可见，卫星的周期与轨道半径的3/2次方成正比, 即
由①、②、③式可以看出卫星的线速度随高度增大而减小，角速度随高度增大而减小，周期随高度增大而增大。在周期、角速度、线速度和轨道半径四个物理量中，一个量发生变化时，另外三个量一定同时变化。
点3.三种宇宙速度
eq \o\ac(○,1)1第一宇宙速度（环绕速度）
在地面四周运转的卫星：地球对卫星的引力近似等于卫星在地面四周所受的重力。
第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度。
eq \o\ac(○,2)2第二宇宙速度（脱离速度）
（卫星摆脱地球束缚的最小发射速度）。
eq \o\ac(○,3)3第三宇宙速度（逃逸速度）
（卫星摆脱束缚的最小发射速度）。
【典型题解】
例1.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为
=1∶8，则轨道把轨道半径之比和运行速度之比分别为(　　 ) A.
= 2∶1 分析：根据
根据圆周运动
评析：上题为曲线运动和万有引力部分常见题型，通过考查人造卫星的运动，一举两得，既考查了圆周运动的知识，又考察万有引力的知识。解决此类问题的要害就是把人造卫星（或天体）的运动近似认为匀速运动，其向心力的来源是万有引力，根据公式
例2、同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星（ ）
A.它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值
B.它可以在地面上任一点的正下方，但离地心的距离是一定的
C.它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值
D.它只能在赤道的正上方，切离地心的距离是一定的
分析：非同步的人造卫星其轨道平面可与地轴间有任意夹角，但同步卫星的轨道平面一定与地轴垂直，当卫星绕地轴转动的角速度与地球自转的角速度相同时，卫星即相对地面不动，而与地轴垂直的平面又有无限多个，由于卫星受地球的引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星就不可能停留在与赤道平面平行的其他平面上，因此，同步卫星的轨道平面一定与赤道共面，卫星位于赤道的正上方
设地球自转的角速度为ω，同步卫星离地心的距离为r，由牛顿第二定律有
。可见，同步卫星离地心的距离是一定的，且线速度
也是一定的
评析：同步卫星的问题解决的思路与人造地球卫星问题一样，但要注重区别其运动周期为已知与地球自转周期相同，且其位置是固定位置，只可能在赤道上空某一具体的高度。
【巩固练习】
1．关于人造卫星，下列说法正确的是（ ）
A.人造卫星环绕地球的运行的速度可能为5.0km/s
B.人造卫星环绕地球的运行的速度可能为7.9km/s
C.人造卫星环绕地球的运行的周期可能为80min
D.人造卫星环绕地球的运行的周期可能为200min
2．当人造地球卫星已进入预定轨道后，下列说法正确的是（ ）
A.卫星及卫星内的任何物体均不受重力作用
B.卫星及卫星内的任何物体仍受重力作用，并可用弹簧秤直接称出物 体所受的重力的大小
C.假如卫星自然破裂成质量不等的两块，则这两块仍按原来的轨道和周期运行
D.假如在卫星内有一个物体自由释放，则卫星内观察者将可以看到物体做自由落体运动
3．同步卫星离地心的距离为
，运行速度为
，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
第一宇宙速度为
，地球的半径为
4.关于第一宇宙速度，下列说法错误的是（ ）
A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B.它是人造地球卫星在近地轨道运行的最大速度
C.它是人造地球卫星进入近地轨道的最小发射速度
D.从人造卫星环绕地球运行的速度
，把卫星发射到越远的地方越轻易
5．人造卫星在环绕地球做圆周运动时，卫星中物体处于失重状态是指（ ）
A.不受地球重力，而只受向心力的作用
B.失重状态是指物体失去地球的重力作用
C.对支持它的物体的压力或拉力为零
D.受到地球引力和离心力的合力为零
6．关于人造卫星和宇宙飞船，下列说法正确的是（ ）
A.假如知道人造卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力常量，就可以算出地球质量
B．两颗人造卫星，只要它们的运行速度相等，不管它们的质量、外形差别有多大，它们的运行速度相等，周期也相等
C．原来在同一轨道上沿同一方向运转的人造卫星一前一后，若要后一个卫星追上前一个卫星并发生碰撞，只要将后面一个卫星速率增大一些即可
D．一艘绕地球运转的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受到的万有引力减小，故飞行速度减小
7．人造地球卫星围绕地球作匀速圆周运动，其速率（ ）
A.一定等于7.9
B.一定大于7.9
C.等于或小于7.9
D.介于7.9～11.2
8．关于人造卫星下列说法正确的是（ ）
A.假如人造卫星因受到空气阻力，所以其运转半径逐渐减小
B.假如人造卫星的轨道半径是地球半径的
倍的同步卫星的向心加速度是地面四周重力加速度的
C.假如人造卫星的轨道半径是地球半径的
倍的同步卫星的向心加速度是地面四周重力加速度的
D.假如人造卫星的轨道半径是地球半径的
倍的同步卫星的向心加速度是地面四周重力加速度的
9.一颗人造地球卫星离地面高
为地球的半径）。若已知地地球表面的重力加速度为
，则卫星做匀速圆周运动的速度是_________，角速度是________，周期是_________，若已知地球的质量为
，万有引力常量为
，则卫星做匀速圆周运动的速度是_______，角速度是_________，周期是_________。
【创新点】
点1.同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对地面静止的跟地球自转同步的卫星。卫星要与地球自转同步,必须满足下列条件：
eq \o\ac(○,1)1卫星绕地球的运行方向与地球自转方向相同，且卫星的运行周期与地球自转周期相同（即等于24h）。
eq \o\ac(○,2)2卫星运行的圆形轨道必须与地球的赤道平面重合。卫星位于赤道上空，则地球对卫星的引力全部用来提供其做匀速圆周运动的向心力，这时卫星才可能相对地球静止。
eq \o\ac(○,3)3由于卫星的周期与卫星的高度有关，所以要使其运动周期T=24h，卫星距地面的高度h必须一定。
点2．同步卫星与其它的卫星的不同
地球同步卫星和其它地球卫星虽然都绕地球运转，但是它们之间有着明显的区别。
eq \o\ac(○,1)1地球同步卫星是相对于地面静止并且和地球自转具有相同周期的卫星，它的周期
h。由于卫星受到的地球的引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其它平面，它一定位于赤道的正上方。如我国发射的一颗电视转播卫星，不是定点于在北京的上空或其它什么地方的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亚上空。根据牛顿第二定律
，可见同步卫星离地心的距离是一定的，代入数据得
m，且线速度
m/s也是一定的，其绕行方向与地球自转同向。同步卫星必须位于赤道的正上方距离地面高度
m处。其求法是：
N?m2/kg2，地球的质量
h，代入上式得：
m。故卫星离地面的高度
m，即同步卫星应定点于赤道上空3万6千千米处。
eq \o\ac(○,2)2一般卫星的周期、线速度等量可以比同步卫星大，也可以比同步卫星小，但是线速度最大值
km/s，最小周期大约85min，轨道也可以是任意的，轨道平面一定通过地球的球心。
点3、有关人造卫星问题的求解方法
eq \o\ac(○,1)1围绕地球做匀速圆周运动的卫星所需的向心力由万有引力提供，由此可以分析人造地球卫星的线速度
与轨道半径
与轨道半径
的关系 。根据
eq \o\ac(○,2)2围绕地球运动的人造卫星轨道可能是圆，也可能是椭圆。若是圆轨道，则地心在轨道的圆心；若是椭圆轨道，则地心应在椭圆的一个焦点上。
eq \o\ac(○,3)3卫星的变轨问题
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。由
。由此可知，轨道半径
越大，卫星的线速度越小。当卫星由于某种原因线速度
忽然改变时，
不再相等。因此，就不能再根据
的大小。当
时，卫星做近心运动；当
时，卫星做离心运动。
点4、人造卫星中的“超重”和“失重”
eq \o\ac(○,1)1在发射人造卫星时，卫星尚未进入轨道的加速过程中，由于具有竖直向上的加速度（或加速度由竖直向上的分量），卫星内的物体处于超重状态。这种情况与加速上升电梯中物体的超重相同。
eq \o\ac(○,2)2卫星进入轨道后，在正常运行过程中，卫星的加速度等于轨道处的重力加速度，卫星中的物体处于完全失重状态。凡是工作原理与重力有关的仪器（如天平、水银气压计等）在卫星中都不能正常适用。凡是与重力有关的实验，在卫星中都无法进行。
【创新题解】
例1．天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我们运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，宇宙膨胀。不同星体的运行速度
和它们离我们的距离
为一常量，称为哈勃常数，以由天文观测测定。为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的。假设大爆炸后各星体都以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观测一致。
由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄
，其计算式为
____________。根据近期观测哈勃常数
m/s?l.y，是光在一年中进行的距离，由此估算宇宙的年龄约为___________年。
分析：题目描述了宇宙膨胀的情景，不同星体都在以各自的速度背离为运动，其退行速度
为星体力我们的距离。为估算宇宙的年龄，假设各星体自形成之日其便以不同速度向外匀速运动。若假设我们最远的星体（距离
）为研究对象，其正以
的速度向外匀速运动，则该星体的退行时间即为宇宙年龄，由此可得
m/s?l.y，所以
＝1×1010年。
答案：1×1010年。
评析：此题是有关天体问题，在处理时要看清题目的本意是什么，找出问题的要害，不要被外表所蒙蔽
例2．日，发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于日坠落在南太平洋。“和平号”风风雨雨15年铸就里辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章。“和平号”空间站总质量137t，工作容积超过400m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称。在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确溅落在预定海域，这在人类历史上还是第一次。“和平号”空间站正常行动时，距离地面的平均高度大约为350km。为了保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制。在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km。在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km。
设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350km圆形轨道运行，在坠落前高度240km的指定圆形低空轨道运行。而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此，计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理。
（1）空间站沿正常轨道运行知的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字。
（2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径
=6.4×103km，计算结果保留一位有效数字。
分析：（1）不管空间站沿正常轨道运行，还是沿指定低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
空间站运行时向心加速度是
，空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是
（2）万有引力提供空间站运行时的向心力，有
不计地球自转的影响，根据
则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期
设一昼夜的时间为t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为
空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小
答案：充分利用向心力各个公式之间的关系，根据已知量灵活运用公式
【提升练习】
1．人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ）
A.速度越小，周期越小 B.速度越小，周期越大
C.速度越大，周期越小 D.速度越大，周期越大
2．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，则（ ）
A. 它可以在地面上任一点的正上方，离地心的距离可以按需要选择不同值
B. 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定
C. 它只能在赤道的正上方，但离地心的距离是一定的
D. 它只能赤道的正上方，但离地心的距离可以按需要选择不同值
3．关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下列说法正确的是（ ）
A. 在发射过程中向上加速时产生超重现象
B. 在降落过程中向下减速时产生失重现象
C. 进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象
D. 失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的
4．如图6－5－1所示，有 A、B、C三颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星
图6－5－1A和B质量相同，C的质量比A和B要大，根据万有引力定律可以判定它的线速度大小关系是：
运动周期大小关系是:
5．地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，卫星离地面越高，其线速度越________，角速度越_______，旋转周期越__________。
6．已知月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，一位举重运动员在地球表面最多能举起质量为100kg杠铃，则他在月球表面上最多能举起多重的杠铃？
7．1990年3月，紫金山天文台将该台发现的2752号小行星命名为“吴健雄星”。将其看作球形，直径为32km，它的密度和地球密度相近。若在此小行星上发射一颗卫星环绕其表面四周运转。求此卫星的环绕速度。（地球半径取6400km）
8.已知地球的质量约为月球质量的81倍,地球半径于约为月球半径的4倍,在地球上发射近地卫星的环绕速度为7.9km/s,周期为84min,那么在月球上发射一颗近地卫星的环绕速度多大?它的周期多大?
9. 如图6－5－2所示，火星和地球绕的运动可以近似看作在同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道
=2.3×1011m，地球的轨道半径
=1.5×1011m，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，试估算火星再次与地球相距最近需经多长时间。（以年为单位计算)
一、选择题
1．关于万有引力定律的正确的说法是（ ）
A．万有引力定律仅对质量较大的天体适用，对质量较小的一般物体不适用
B．开普勒等科学家对天体运动规律的研究为万有引力定律的发现作了预备
C．恒星对行星的万有引力都是一样大的
D．两物体间相互吸引的一对万有引力是一对平衡力
2．在绕地球做圆周运动的太空实验舱内，下列可正常使用的仪器有（ ）
A．温度计 B．天平 C．水银气压计
D．摆钟 E．秒表
3．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（　　　）
A．牛顿、卡文迪许　　　　　B．开普勒、
C．开普勒、卡文迪许　　　　D．牛顿、伽利略
4．太空舱绕地球飞行时，下列说法正确的是（　　　）
A．太空舱作圆周运动所需的向心力由地球对它的吸引力提供
B．太空舱内宇航员感觉舱内物体失重
C．太空舱内无法使用天平
D．地球对舱内物体无吸引力
5．关于重力和万有引力的关系，下列熟悉正确的是（　　　）
A．地面四周物体所受到重力就是万有引力
B．重力是由于地面四周的物体受到地球吸引而产生的
C．在不太精确的计算中，可以认为其重力等于万有引力
D．严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
6．行星绕恒星的运动轨道我们近似成圆形，那么它运行的周期
的平方与轨道半径
的三次方的比例常数
的大小（　　　）
A．行星的质量有关
B．只与恒星的质量有关
C．与恒星的质量及行星的质量没有关系
D．与恒星的质量及行星的质量有关系
7．一颗人造卫星以地心为圆心做匀速圆周运动，它的速率、周期跟它的轨道半径的关系（　　　）
A．半径越大，速率越小，周期越大　　B．半径越大，速率越大，周期越大　
C．半径越大，速率越小，周期越小　　D．半径越大，速率越小，周期不变　　
8．两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上的某点为圆心作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　　）
A．它们作匀速圆周运动的半径与其质量成正比
B．它们作匀速圆周运动的向心加速度大小相等
C．它们作匀速圆周运动的向心大小相等
D．它们作匀速圆周运动的周期相等
9．若某星球的质量和半径均为地球的一半，那么质量为５０kg的宇航员在该星球上的重力是地球上重力的（　　　）
A．1/4 B．1/2 C．２倍　　　D．４倍
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6-1所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
图6-1A.卫星在轨道3上速率大于在轨道1的速率
B.卫星在轨道3上角速度大于在轨道1的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在
轨道2上经过Q点时的加速度
D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度大于它在
轨道3上经过P点时的加速度
11．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍看作均匀球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）
A.球与月球间的万有引力将变大
B.球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运动的周期将变长
D.月球绕地球运动的周期将变短
二、填空题
1．一颗人造卫星绕地球作匀速圆周运动，轨道半径为
，已知地球的半径为
，地面上重力加速度为
，则这颗人造卫星的运行周期
＝________。
2．两个质量相等的球体,球心相距
时,它们之间的引力为10-8N,若它们的质量都加倍,球心间的距离也加倍,则它们之间的引力为________N。
3．已知地球的半径为
，地面上重力加速度为
，万有引力常量为
，假如不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为_________。
4．火星的质量是地球质量的
，火星半径是地球半径的
，地球的第一宇宙速度是7.9km/s，则火星的第一宇宙速度为______________。
5．宇航员站在某型球表面上用弹簧秤称量一个质量为
的砝码，示数为
，已知该星球半径为
，则这颗人造卫星的运行周期
为_______________。
三、计算题
1．一颗卫星在行星表面上运行，假如卫星的周期为
，行星的平均密度为
是一个恒量。
2．已知地球的半径为6.4×106m，又知道月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动。试估算出月球到地心的距离（结果保留一位有效数字）。
3．已知登月火箭在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运行，周期是120.5min，月球的半径1740km。根据这些数据计算月球的质量。
4．一物体在地面受到的重力为160N,将它放置在航天飞机中，当航天飞机以
加速度随火箭向上加速度升空的过程中，某一时刻测的物体与航天飞机中的支持物的相互挤压力为90N，求此时航天飞机距地面的高度。（地球半径取6.4×106m，
取10m/s2）
5．宇宙中一个星球的质量约为地球的质量的9倍，半径约为地球的半径的一半。若从地面上高为
处平抛一个物体，射程为60m，那么在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一个物体，射程是多大？
6．假定有三个完全相同的、质量均为
的小星体，正好位于彼此相距为
的等边三角形的 三个顶点上，由于彼此的引力作用，它们一起沿着这个三角形的外接圆轨道作匀速运动，试求星体运动的速率和转动周期。
7．已知靠近地面运转的人造卫星，天天转n圈，假如发射一颗同步卫星，它离地面的高度应是地球半径的多少？
和地球半径
之比是110∶1，的平均密度和地球的平均密度之比是1∶4，地球表面的重力加速度
＝9.8m/s2，试求表面的重力加速度。
9.某物体在地面上受到的重力为160N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以
的加速度匀加速上升时，上升到某高度时物体所受的支持力为90N，求此宇宙飞船离地面的高度。（取地球半径
6.4×103km，地球表面处重力加速度
第一节 行星的运动
【巩固练习】
1. D 2. A 3. A 4. AD 5. AC 6. C 7. 匀速运动，椭圆，椭圆的一个焦点上，三次方，二次方
【提升练习】
1.(1) A (2) C 2. D 3. 64∶1 4. 3.8×108m 5.
第二节万有引力定律
第三节 引力常量的测定
【巩固练习】
1. ABD 2. D 3. C 4. D 5. D 6.
7. 6.02×1024kg 8.
9. 9∶1 提示：飞行器受到月球与地球的万有引力相等，则有
【提升练习】
1. C 2. C 3. CD 4. 6×1024kg 5.
6. 8s , 不等
第四节 万有引力定律在天文学上的应用
【巩固练习】
1. ACD 2. B 3. D 4. D 5. AD 6. 2×1030kg 7. 提示：根据万有引力提供向心力
【提升练习】
1. BCD 2. BD 3. B 4. D 5. C 6. 1.4 7.
第五节 人造卫星 宇宙速度
【巩固练习】
1. ABD 2. C 3. AC 4. AD 5. C 6. AB 7. C 8. C 9.
【提升练习】
1. B 2. C 3. AC 4. & ,& ,& ,& 5. 小，小，大 6. 600kg 7. 20m/s 8. 1.7km/s , 94.5min 9. 2.1年
一、选择题
1. B 2. AE 3. A 4. ABC 5. BCD 6. B 7. A 8. ABC 9. C 10. BD 11. D
二、填空题
2. 10-8 3.
4. 3.53km/s 5.
三、计算题
1. 略 2. 4×108m 3. 7.1×1022kg 4. 19.2×106m 5. 10m 6.
＝269.5 m/s2
9. 1.92×107m
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