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第3讲：向心加速度的四大公式
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向心加速度推导过程
　　　向心加速度推导过程　　　　　捧真心于日
高中物理一年级中学到匀速圆周运动。有关圆周运动有几个概念：
1.运动半径R；
2.线速度V ：质点沿切向的即时速度；
3.角速度ω：质点绕某点运动通过弧度角与所用时间的比值；
4.向心加速度a：速度变化与时间的比值；
5.圆心角θ；
现在对向心加速度公式进行推导：
现设一质点以R为半径作匀速圆周运动，质点的线速度为V，周期为T，角速度为ω。
当质点运动一周时，周角为2π，是间为T，由定义有：
因为线速度又等于周长与周期比值
∵V ＝L/T=2πR/T＝ωR
∴V=ωR…………………………（1）
如图甲，质点在时间差Δt内从a点运动到b点，则它的速度变化量为ΔV，
如图乙。速度变化的角等于圆心角θ。
在Va、Vb、ΔV组成的小三角形成中，
把它补成小扇形。在数学上有弧长等于半径与圆心角的积。
当θ足够小时，则可以认为弧长等于弦长。
这时ΔV相当扇形的弦，Va＝Vb＝V相当于半径
ΔV＝θV……………………………………（２）
因为圆心角等于角速度与时间的积
θ=ωΔt……………………………………（３）
由（１）、（２）、（３）可得
a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω２R
还可以推出
a＝ω２R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V２/R
a=ωV＝ω２R＝V２/R
证明完毕，愿对你有所帮助。　捧真心于日
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资源简介：
湖北省咸丰一中人教版高中物理必修二第五章第5节：向心加速度（导学案）.doc
湖北省咸丰一中人教版高中物理必修二第五章第5节：向心加速度（教案）.doc
湖北省咸丰一中人教版高中物理必修二第五章第5节：向心加速度（课件）.ppt
　　向心加速度
　　咸丰县第一中学汪宏斌
　　【教材分析】
　　⑴.教材地位：前面有了描述匀速圆周运动的的几个基本概念，本节研究向心加速度这一重要概念，本节是本章的重点和难点，对本章知识点的学习有承上启下的作用。为后面学习匀速圆周运动实例分析，万有引力与天体运动，带电粒子在磁场中的运动起准备作用。
　　⑵.教材思路：通过对实验匀速圆周运动现象的观察、通过受力感悟得出向心加速度方向指向圆心，接着应用加速度的定义、矢量运算方法进行探究，推导出匀速圆周运动的加速度的方向和大小，逐步完成对匀速圆周运动探究。
　　【学情分析】
　　⑴.学生具备牛顿第二定律的知识，有进行对新知识“匀速圆周运动的加速度方向”的同化认知的能力。
　　⑵.学生具备研究直线运动的思路，有能力将本课探究的课题分解为几个相对独立的小问题即对圆周运动现象进行观察和描述，应用相关定义进行探究，应用数学运算方法进行推导。
　　⑶.学生对加速度的矢量性理解还停留在直线运动范畴，能理解加速度与速度同向和反向的情况，这节课理解向心加速度的方向与速度方向垂直将成为学生认知和思维上升的一个台阶。
　　⑷.学生对矢量运算的不熟练将成为具体探究过程的思维难点和操作难点。
　　【教学目标设计】
　　1.知识与技能：
　　⑴.理解速度变化量与加速度的概念。
　　⑵.知道向心加速度大小与线速度，角速度的关系。
　　⑶.能够运用矢量运算规则和相关数学知识推导出向心加速度的大小表达式。
　　《向心加速度》导学案
　　【教学目标设计】
　　1.知识与技能：
　　⑴.理解速度变化量与加速度的概念。
　　⑵.知道向心加速度大小与线速度，角速度的关系。
　　⑶.能够运用矢量运算规则和相关数学知识推导出向心加速度的大小表达式。
　　⑷.能够应用向心加速度的相应表达式解决问题。
　　2.过程与方法：
　　⑴. 通过实验感知使学生树立实事求是的科学态度，建立科学的方法。
　　⑵. 经历矢量差法、比值定义法、极限法，渗透“无限逼近”的思维方法，尝试用数学方法解决物理问题，感悟科学探究的方法。
　　⑶. 通过探究过程，引发学生思考，分析，归纳，从而培养学生的分析，归纳能力。
　　3.情感、态度与价值观：
　　⑴培养学生认识未知世界要有勇于猜想的勇气和严谨的科学态度。
　　⑵感知物理源自生活，激发学生热爱科学学习科学的热情。
　　【教学重点】
　　1.向心加速度的定义。
　　2.向心加速度的公式及其应用。
　　【教学难点】
　　向心加速度的方向。
　　向心加速度公式推导过程。
　　【温故而知新】
　　1.已知物体受到的合外力和质量，可以用什么公式求解物体的加速度？
　　已知物体在内的速度变化量为，可以用什么公式求解物体的加速度？
　　2. =___________,直线运动如何确定的方向？曲线运动又如何确定？
　　3.匀速圆周运动的几个物理量的公式:
　　=____________,&&&&&&&&&&& =___________________
　　与的关系表达式为：____________________
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向心力和向心加速度教学设计
新课程强调“将学习的重心从过分强调知识的传承和积累向获取知识的探究过程转化，从学生被动接受知识向主动获取知识转化，从而培养学生的探究能力、实事求是的科学态度和敢于创新的精神”。为此本教学设计和教学实施就是采用学生实验探究和教师演示实验相结合的实验探究教学法。
《普通高中课程标准实验教科书·物理（2）》（司南版）
1、知识与技能
（1）知道向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源
（2）通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关系，能运用向心力公式进行计算。
（3）知道向心加速度及其公式，能运用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力和向心加速度。
2、过程与方法
（1）经历形成向心力概念的过程，培养学生观察、分析、归纳能力。&
（2）通过创设一定的问题情境，让学生经历探索向心力F与哪些因素有关的过程，学习控制变量法，培养学生分析论证等能力。&
3、情感态度与价值观
学习科学研究方法和科学研究态度，发展学生对科学的好奇心与求知欲，使学生乐于探究自然界的奥秘，体验探索自然规律的艰辛与喜悦，培养学生主动参与活动的热情和与他人合作的精神，有将自己的见解与他人交流的愿望，敢于坚持正确观点，勇于修正错误，具有团队精神。&
《向心力和向心加速度》司南版必修2第三章第二节。&F=mv2/r
在前面的教学中，学生已经学习了匀速圆周运动。知道描述匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，并理解它们之间的关系。知道在传动装置中，共轴的轮子上各点的角速度相等；皮带转动（不打滑）中，凡和皮带接触的点，线速度的大小相等。这些都为本节课的学习奠定了基础。但学生只是表面知道匀速圆周运动是一种变速运动，因为它的线速度方向时刻在变，更深一步来分析，为什么线速度的方向时刻在变？是什么力来改变物体的这种运动状态，这个力有何特点？学生将带着这些疑问来进入本节课的学习。
一、引入新课
1、&设置情景
教师做“水流星”实验,并设下疑问：为什么盛水的杯子以一定的速度做圆周运动，水不从杯里洒出，甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，杯口已经朝下，水也不会从杯里洒出来？
[在课堂上创设真实可见的物理情景，通过演示实验的现象，使学生产生悬念，激发好奇心和探索欲望，培养学生把生活与物理联系一起的习惯。]
2、&复习提问
（1）什么是匀速圆周运动?
（2）“匀速”的含义是什么？
在上节课的基础上，学生很快得出答案。教师引导学生分析：由于匀速圆周运动的速度方向时刻在变，所以匀速圆周运动是变速曲线运动。而力是改变物体运动状态的原因。那么做匀速圆周运动的物体所受合外力一定不为零。那么物体所受的外力有何特点？加速度怎样呢？指出：这两个问题即是我们这节课要研究的问题，且通过这节课的学习大家即可自行解释前面小实验的因果。
二、向心力
1、实验探究“小球在光滑水平面做圆周运动”。
（1）、步骤
&&&&①一个小球，拴在绳的一端，绳的另一端固定于桌上，原来细绳处于松驰状态
&&&&②用手轻击小球，观察绳绷直前后小球的运动情况。
（2）、借助课件引导学生讨论、分析：
&&&①绳绷紧前，小球做匀速直线运动，小球受到哪些力的作用？
&&&②绳绷紧后，小球做匀速圆周运动，小球受到哪些力的作用？合外力是哪个力？这个力的方向有什么特点？这个力起什么作用？
（3）、通过讨论得到：
&&&&①做圆周运动的物体始终受到一个指向圆心的力的作用，这个力叫向心力。
&&&&②向心力指向圆心，方向不断变化。是变力。
③向心力的作用效果——只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小
[这实验简单易做，效果明显，通过亲身感受学生获得了成功的乐趣。讨论时教师应适时介入引导学生得出正确的结论。]
2、课件展示动画：（1）圆锥摆&（2）&物体相对转盘静止，随盘做匀速圆周运动&&（3）汽车转弯&&（4）卫星绕地球运行
3、向心力的来源：通过对以上四个典型的圆周运动实例的分析得出向心力的来源可以是某一个力（重力、弹力、摩擦力）或几个力的合力，也可以是某个力的分力。
4、应用：学生尝试解释“水流星”的实验现象。
&[向心力的来源是学生在本章学习中的一个难点，用多媒体呈现直观刺激材料，易引起学生注意，提高学习兴趣。&圆锥摆等现象中，物体都做圆周运动，具有运动方面的共性，由此启发学生对这些物体的受力进行分析，寻找受力方面的共性，使学生经历了分析、比较、归纳等思维过程，也体验到了成功的喜悦。学生在未来的学习中可能将向心力当成独立的一个力，教师此时应特别指出：受力分析时,&不能多出一个向心力。且①物体做匀速圆周运动时，向心力就是物体所受到的合外力。②物体做非匀速圆周运动时，向心力物体并非是所受到的合外力。]
三、&向心力的大小
1、&实验探究：感受向心的大小
让学生利用身边的材料如钥匙串、橡皮擦、笔、细绳等动手实验并感受向心的大小。
（1）让学生用细线联结钥匙串、橡皮擦、笔等，然后拉住绳的一端，让钥匙串、橡皮擦、笔等尽量做匀速圆周运动，改变转动的快慢、细线的长短多做几次。
（2）引导学生猜想：向心力的大小可能与物体的质量、角速度、半径有关。因此在探究向心力大小的实验中应采用控制变量法来研究这一问题。
[该小实验在此做了改动，与课本上的不尽相同。做该实验时学生的感受更直接，更易操作。提醒学生实验时应使物体尽可能在水平面内做圆周运动，这样绳的拉力近似等于向心力。]
课件展示：
2、&实验探究向心力大小
（1）实验方法：控制变量法
（2）介绍向心力演示器的构造和使用方法。
（3）实验过程
①质量不同的钢球和铝球，当它们运动的半径r和角速度ω相同时，比较向心力的大小
②两个质量相同的小球，保持运动半径相同，观察向心力与角速度之间的关系
③两个质量相同的小球，保持小球运动的角速度相同，观察向心力的大小与运动半径之间的关系
（4）实验记录表格&&
质量比值(m1:m2)
半径比值&&&&&&&&(r1:r2)
角速度比值(ω1:ω2)
向心力近似比值&(F1:F2)
（5）实验结论：
①实验表明物体做圆周运动所需向心力大小为：
F=mω2r&（式中F表示向心力，m表示物体的质量，ω是物体做圆周运动的角速度，r是所做圆周运动的圆周半径。）
②应用线速度和角速度的关系，上述公式可变形为：
&&&&&&&&&F=mv2/r&（式中v是做匀速圆周运动的线速度）&
&[对于控制变量法学生已有一定程度的认知，因此在学生的自主探究并提出猜想后通过演示实验师生一起探究最后得出向心力大小的关系式。在介绍向心力演示器的构造和使用方法时教师可结合传动装置中，共轴的轮子上各点的角速度相等，皮带传动（不打滑）中，凡和皮带接触的点，线速度的大小相等这一知识点让学生思考怎样控制角速度不变。当学生明白这一问题后，教师的演示也可换成学生的演示。不然，台上的忙得不亦乐乎，台下的却不知所以然，纯看热闹。]
四、向心加速度：
⒈&定义:&由向心力产生的加速度叫向心加速度。
2、物理意义:&它是表示速度方向变化快慢的物理量。
3、向心加速度的大小与方向
（1）引导学生利用牛顿第二定律推导出向心加速的表达式----a=ω2r.
向心力的大小还可以用F=mν2/r来表达，同样向心加速度也可表示为--a=ν2/r.
（2）方向：与向心力的的方向一致。沿半径指向圆心，方向不断变化，所以匀速圆周运动是变加速运动。
4、动动脑：a=ω2r、a=ν2/r&，a与r究竟是成正比呢，还是成反比？
指出：当w一定时，a∝r
&&&&&&当v一定时，a∝1/r
5、课本例题：在航空竞赛场里，由一系列路标塔指示飞机的飞行路径。在飞机转弯时，飞行员能承受的最大向心加速度大小约为6g(g为重力加速度)。设一飞机以150&m/s的速度飞行，当加速度为6g时，其路标塔转弯半径应该为多少?&
[在小结中需给学生指出,向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中推导出来的,但这些公式对变速圆周运动中求某点的向心力和向心加速度也适用.]
七、作业：P72&3、4、5小题
向心力和向心加速度是高中物理的一个难点内容，学生对于向心力一直很难理解。为了突破重点，难点，本节课本节首先通过创设真实可见的物理情景，激发他们的求知欲，引起学习的兴趣。然后学生亲身进行实验探究来感受向心力。当学生对向心力的概念有了一定的认识后，就进一步提出向心力的大小与哪些因素有关呢？再让学生动手完成感受向心力大小的小实验后做出猜想，然后借助了向心力演示器进行实验，从而得出了向心力公式。接着运用牛顿第二定律，给出向心加速度的公式，让学生明白匀速圆周运动的向心力和向心加速度的大小不变，但方向时刻在改变。
本教学设计和教学实施都落实了高中物理新课程的目标要求，体现了新课程的精神，采取“学生自主探究，教师启发导学”的新教法，充分调动学生自主学习，让学生自主探究，亲身体会到科学探究的过程。通过实验探究，让学生人人参与，亲身体验探究过程，活跃学生思维，并在探究中突破教学难点。教师结合演示实验，同时充分利用多媒体课辅助教学，使课堂的教学效果大大提高。这是一节科学的、操作性很强的教学设计案例。
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