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有关极限和导数定义的思考题
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极限与导数期末复习训练题
湖北省黄石市第三中学(http://www.)课题名:极限与导数期末复习训练题极限与导数期末复习训练题二一,选择题(12×5 分) 1.已知函数 f ( x ) = 2o3x1 2x2+ m(m 为常数)图像上点 A 处的切线与直线 2x 一 y+3=0的夹角为 45 .则点 A 的横坐标为(C) A.0 2.若函数 B.1 C.0 或1 6D.l 或1 6f ( x) = a( x
x3 ) 的递减区间为( 3 3 , ) ,则 a 的取值范围是(A) 3 3A.a&0 B.-1&a&0 C.a&1 D.0&a&1 3 3.直线 y=kx+1 与曲线 y=x +a+b 相切于点 A(1,3),则 b 的值为(A) A.3 B.-3 C.5 D.-5 4.曲线 y = x ( x
50) 在原点处的切线方程为(D) A. y = 1275x B. y = 50 2 x C. y = 100 x D. y = 50 x5.与直线 y = 4 x
1 平行的曲线 y = x 3 + x
2 的切线方程是(D) A. 4 x
y = 0 C. 4 x
2 = 0 B. 4 x
4 = 0 D. 4 x
y = 0 或 4 x
4 = 06.函数 f ( x ) = ax 3 + ( a
1) x 2 + 48(b
3) x + b 的图象关于原点中心对称,则 f(x) (D) A.在[
4 3 ,4 3 ]上为增函数 B.在[
4 3 ,4 3 ]上非单调函数C.在[ 4 3 ,+∞) 上为增函数,
∞,4 3 ] 为减函数 ( D.在(
∞,4 3 )为增函数,在[ 4 3 ,+∞) 上也为增函数 7.设 f ( x ) 为可导函数,且满足 lim f (1)
2 x) = 1 ,则过曲线 y = f ( x ) 上点(1, f x →0 2x (1) )处的切线斜率为(B) A.2 B.-1 C.1 8.已知函数 y = f (x ) 的导函数的图象如图甲所示, 则 y = f (x ) 的图象可能是(D) y x y x B y x C y D.-2 O y 甲 xOAOOODx3 9. lim x 2
x = (D) x →0x +x1湖北省黄石市第三中学(http://www.)课题名:极限与导数期末复习训练题A.0B.1 2C.1D.-110.已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c, x ∈ [2,2] 表示的曲线过原点,且在 x = ±1 处的切线 斜率均为-1,给出以下结论:① f (x ) 的解析式为 f ( x) = x 3
4 x, x ∈ [2,2] ;② f (x ) 的 极值点有且仅有一个;③ f (x ) 的最大值与最小值之和等于 0,其中正确的结论有(C)A.0 个 B .1 个 11.下列函数在 x = 0 连续的是(A) 1( x ≤ 0) A. f ( x ) =
1( x & 0)C .2 个D.3 个 1( x & 0)
D. f ( x) = 0( x = 0) 1( x & 0) B. y = ln x|x| C. y = x12.如图,在杨辉三角中,斜线 l 的上方,从 1 开始箭头所示的 数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,……,记 其第 n 项为 an,则 a19 等于(C) B.12 A.11 D.78 C.55 二,填空题(4×4 分) 1
13.关于函数 f ( x) =
2 ax ( x ≥ 0) (a 是常数且 a≠0),给出 2ax ( x & 0)
下列命题:①它是一个奇函数;②它在每一点都连续;③它在每一点都可导;④它是一 个增函数;⑤它有反函数.其中不正确的命题序号是 ①③④ . ... 14. limx→π21
sin x = cos x0.15.若直线 y= x 是曲线 y = x 3
3x 2 + ax 的切线,则 α= 16.已知 f (x ) 是可导的偶函数,且 limx →01或13 4.f (1 + x)
f (1) = 2 ,则曲线 y = f (x ) 在 2x(-1,2)处的切线方程是17.函数 f ( x) =y = 4 x + 6..三,解答题(12+12+12+12+12+14 分)1 的定义域为 R,且 lim f (
n) = 0( n ∈ N *) n →∞ 1 + a
2 bx 4 1 , 且f ( x)在[0,1] 上的最小值为 ,试求 f(x)的解析式; 5 2 1 2n +1(1)求证:a&0,b&0; (2)若 f (1) =(3)在(2)的条件下记 S n = f (1) + f (2) + … + f (n)(n ∈ N ), 试比较S n 与n + + 1 (n ∈ N ) 的大小并证明你的结论. 2解(1)∵f(x)定义域为 R,∴1 + a 2 bx ≠ 0,即a ≠ 2 bx 而x ∈ R,∴ a ≥ 0.若a = 0,2湖北省黄石市第三中学(http://www.)课题名:极限与导数期末复习训练题f ( x) = 1与 lim f (n) = 0矛盾,∴ a & 0,∴ lim f (n) = limn→∞ n→∞1 = n → ∞ 1 + a
bx1(0 & 2 & 1)
b = 1) ∴ 2
b & 1即b & 0, 故a & 0, b & 0.
0(2 b & 1) b(2)由(1)知 f(x)在[0,1]上为增函数,∴ f (0) =1 1 1 ,即 = ,∴ a = 1, f (1) = 2 1+ a 21 4 1 1 4x 1 = ,∴ 2 b = ,∴ b = 2,∴ f ( x) = = = 1 . b 2 x x 5 4 1+ a
2 1+ 2 1+ 4 1+ 4x 1 1 (3)当k ∈ N * 时, S n & n + n +1 + , 证明如下 : 2 2 1 f (k ) = 1
& 1,∴ f (1) + f (2) + f (3) + … + f (n) & n 1
4k 1 1 1 1 而n + n +1 + & n,∴ k ∈ N * 时, S n & n + n +1 + 2 2 2 218. 已知 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + d在(∞,0) 上是增函数, 在[0, 2]上是减函数, 且方程 f ( x) = 0 有 三个根,它们分别为 α ,2, β . (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求证 f (1) ≥ 2; (Ⅲ)求 | α
β | 的取值范围. 2 解(Ⅰ) f ′( x) = 3 x + 2bx + c, ∵ f ( x)在(∞,0) 上是增函数,在[0,2]上是减函数, ∴当 x = 0时, f ( x) 取到极大值,∴ f ′(0) = 0,∴ c = 0.2b , 3(Ⅱ)∵ f (2) = 0,∴ d = 4(b + 2). f ′( x) = 3x 2 + 2bx = 0 的两个根分别为 x1 = 0, x 2 =
∵函数 f ( x)在[0,2] 上是减函数,∴ x 2 = 2b ≥ 2,∴ b ≤ 3 . 3 ∴ f (1) = b + d + 1 = b
4(b + 2) + 1 = 7
3b ≥ 2.α + β = b
∴ 1 αβ =
2 d . (Ⅲ)∵α ,2, β是方程f ( x) = 0的三根, 可设f ( x) = ( x
β )∴ f ( x) = x 3
(2 + α + β ) x 2 + (2α + 2 β + αβ ) x
2αβ , ∴ b = 2
β , d = 2αβ .∴| α
β |= (α + β ) 2
4αβ = (b + 2) 2 + 2d = (b + 2) 2
8(b + 2) = (b
16.∵ b ≤ 3,∴| α
β |≥ 3 .19.已知函数 f ( x) = x( x
b), 其中0 & a & b. (1)设 f ( x)在x = s与x = t 处取得极值,其中 s & t , 求证: 0 & s & a & t & (2)设点 A( s, f ( s )), B(t , f (t )) ,求证:线段 AB 的中点 C 在曲线 y = f ( x)上. 解(1) f ′( x) = 3 x 2
2(a + b) x + ab 据题意知 s,t 为二次方程 f ′( x ) = 0 的两根3湖北省黄石市第三中学(http://www.)课题名:极限与导数期末复习训练题∵ f ′(0) = ab & 0,f ′(a) = a 2
b) & 0,f ′(b) = b 2
a) & 0,∴ f ′( x)在区间(0, a)与(a, b)内分别有一根∵ s & t,∴ 0 & s & a & t & b.∴s + t = 2( a + b ) ab , st = 3 3 4 2 (a + b) 3 + (a + b)
ab 27 3(2)∵ s, t分别为f ′( x) = 0的两个实数根,f ( s ) + f (t ) = ( s 3 + t 3 )
(a + b)( s 2 + t 2 ) + ab( s + t ) = 又∵ f (s+t a+b 2 1 1 )= f( ) =
(a + b) 3 + ab(a + b) = [ f ( s ) + f (t )], 2 3 27 3 2s+t s+t , f( ))在曲线y = f ( x)上 2 2 2 20.已知 f (x)=x3+ax2+bx+c 在 x= - 与 x=1 时,都取得极值. 3故 AB 中点 C ((1)求 a,b 的值; (2)若对 x∈[-1,2],f (x)&c2 恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1)由题知 f / (x)=3x2+2ax+b=0 的两根为 2
∴由韦达定理有
b = 2 2 和1 3(2)由(1)知 f / ( x) = 3x 2
2 = (3 x + 2)( x
1) 当 x∈[-1, 2 2 ]时,f / (x)&0;x∈(- ,1)时,f / (x)&0;x∈(1,2)时,f / (x)&0 3 3 2 22 ∴当 x=- 时,f (x)有极大值 + c 3 27 22 1 22 又 f (2)=2+c& + c ,f (-1)= +c& + c 27 27 2∴x∈[-1,2]时,f (x)的最大值为 f (2)=2+c ∵对 x∈[-1,2],f (x)&c2 恒成立, ∴c2&2+c,解得 c&-1 或 c&2. 21.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象关于原点对称,且在 x=1 时取得极小的值
(1)确定 f(x)的解析式; (2)证明:当 x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 解: (1)∵f(x)的图象关于原点对称 ∴f(-x)≡-f(x),即-ax3+bx2-cx+d≡-ax3-bx2-cx-d ∴bx2+d=0 ∴b=d=0 ∴f(x)=ax3+cx 又 f(x)在 x=1 时取得极小值 2 34 32 . 34湖北省黄石市第三中学(http://www.)课题名:极限与导数期末复习训练题∴f′(1)=0 及 f(1)=
解得 a= ,c=-11 32 ,但 f′(x)=3ax2+c 3∴3a+c=0 及 a+c= 2 3∴f(x)=1 3 x x 3(2)∵f′(x)=x2-1,由 f′(x)=0 得,x=±1,当 x 变化时,y,y′的变化情况是 x y′ y 故 f ( x) max = (-∞,-1) + J -1 02 3(-1,1) - K1 0 2 3(1,+ ∞) + J2 32 2 , f ( x) min =
3 3∴x∈[-1,1]时,|f(x)|≤从而,当 x1,x2∈[-1,1]时|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)+f(x2)| ≤2 2 4 + = 3 3 322.已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , 其中a, b, c, d 是实数. (1)若函数 f (x ) 在区间 (∞,1)和(3,+∞) 上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函 数,并且 f (0) = 7, f ′(0) = 18, 求函数 f (x ) 的表达式; (2)若 a, b, c满足b 2
3ac & 0 ,求证:函数 f (x ) 是单调函数. 解(1) f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx + c. 由 f ′(0) = 18得c =18, 即f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx
18. 又由于 f (x ) 在区间 (∞,1)和(3,+∞) 上是增函数,在区间(-1,3)上是减函数, 所以-1 和 3 必是 f ′( x ) = 0 的两个根.从而 3a
18 = 0, a = 2, 解得 27 a + 6b
18 = 0. b = 6. 所以f ( x) = 2 x 3
7. 由条件b 2
3ac & 0, 可知a ≠ 0, c ≠ 0.又根据 f (0) = 7得d = 7, (2) f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.因为 f ′(x ) 为二次三项式,并且
4(3ac ) = 4(b 2
3ac ) & 0 , 所以,当 a & 0时, f ′( x) & 0 恒成立,此时函数 f (x ) 是单调递增函数; 当 a & 0时, f ′( x) & 0 恒成立,此时函数 f (x ) 是单调递减函数. 因此,对任意给定的实数 a,函数 f (x ) 总是单调函数.5
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导数及其应用
【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数导数的运算 一、导数的概念 ?y?y=f（x+?x）－f（x）?x叫做函函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量00，比值?yf(x0??x)?f(x0)?y?x数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x=。如果当?x?0时，?x有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。 f(x0??x)?f(x0)?ylimlim?x?x?0??x即f（x0）==x?0。 说明：
函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
?y?y（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，?x有极限。如果?x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。 （2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）； ?yf(x0??x)?f(x0)?x（2）求平均变化率?x=； ?y（3）取极限，得导数f’(x0)=?x?0?x。 lim二、导数的几何意义 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 三、几种常见函数的导数
xn??nxn?1;???C?0;①
④(cosx)?? ??xxxx??⑤(e)?e;⑥(a)?
⑦?lnx???11?logax???
⑧x. 四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， '''u?v)?u?v. 即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，'''(uv)?uv?uv. 即：'''''(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)'?Cu'.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：?u?u'v?uv'???v?‘=v2（v?0）。 形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解――求导――回代。法则：y＇|x= y＇|u ?u＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，
'f如果(x)?0，则f(x)为增函数； 'f如果(x)?0，则f(x)为减函数； 'f如果在某区间内恒有(x)?0，则f(x)为常数； 2、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值； ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分 (1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝i＝1?fn(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：a?bf(x)dx，即?baf(x)dx＝lim?fn??i?1n(ξi)△x。 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式： 1m?1x?0dx＝C；
?xdx＝m?1＋C（m?Q， m≠－1）； m1?xdx＝lnx＋C；?exdx＝ex＋C； axxa?dx＝lna＋C；?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。 (2)定积分的性质 ①②bb?abkf(x)dx?k?f(x)dxaba（k为常数）； ba?abf(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dxf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxccb； a③a(3)定积分求曲边梯形面积 ?（其中a＜c＜b)。
由三条直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的。 如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝a面积S??f(x)dxb＝b（a<b）?baf1(x)dx??f2(x)dxab。 【经典例题】 【例1】（2012广东）曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程：
。 【解析】先对函数y=x3-x+3求导，得：y=3x2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。 【例2】（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A的纵坐标为
。 【解析】抛物线变形为：y=12x。求导y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P，Q两点坐标2aInxb?，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。 x?1x为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。 【例3】（2011课标）已知函数f(x)=(1)求a，b的值； (2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>Inxk?，求k的取值范围。 x?1xa(【解析】(1)f,(x)=f(x)=1 b=1 故
解得a=1，b=1。 11af,(1)=?
?b=? x?1?Inx)1bx由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)， ??2(x?1)2x22lnxk1(k?1)(x2?1)lnx1?)?(2lnx?)。 (2)由（1）知?，所以f(x)?(x?1x1?x2xx?1x22(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x考虑函数h(x)?2lnx?。 (x?0)，则h'(x)?xx2k(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故 2x1h(x)?0； 1?x21当x?（1，+?）时，h（x）0 21?x当x?(0,1)时，h(x)?0，可得 4
lnxklnxk+）>0，即f（x）>+. x?1xx?1x112 （ii）设0<k0,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，）1?k1?k1时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。 21?x1’（iii）设k?1.此时h （x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设1?x2矛盾。综合得，k的取值范围为（-?，0]. lnx?k【例4】（2012山东）已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，xe从而当x>0,且x?1时，f（x）-（f(1)）处的切线与x轴平行。 （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x)=(x2+x) f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)?1?e。 ?21?k?lnxlnx?k1?kx??【解析】由f(x) = 可得，而，即?0，解得k?1； f(x)?f(1)?0xxeee1?1?lnx（Ⅱ）f?(x)?x，令f?(x)?0可得x?1， xe11当0?x?1时，f?(x)??1?lnx?0；当x?1时，f?(x)??1?lnx?0。 xx于是f(x)在区间(0,1)内为增函数；在(1,??)内为减函数。 1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2x（Ⅲ）g(x)?(x?x)， ?xxee当x?1时， 1?x?0,lnx?0,x?x?0,e?0，g(x)?0?1?e22x?2. 1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2x当0?x?1时，要证g(x)?(x?x)??1?e?2。 xxee只需证1?x?(x?x)lnx?e(1?e)，然后构造函数即可证明。 22x?2【例5】（2012北京）已知函数f(x)?a(x?1)x2，其中a?0. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若直线x?y?1?0是曲线y?f(x)的切线，求实数a的值； 2g(x)?xlnx?xf(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数） （Ⅲ）设 5 三亿文库包含各类专业文献、行业资料、外语学习资料、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案80等内容。　
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一道大一高等数学的题目求解！！关于极限和导数的
写错了，第二个条件那应该是等于正无穷
我有更好的答案
h(X)=x^3就满足题中所有条件
第二个条件写错了，应该是等于正无穷
y=x,就复合。
第二个条件写错了，应该是等于正无穷
图看不清啊
是吗？我这儿蛮清楚的。题目是：是否存在函数f(x)满足以下条件：f在(0,c)可导lim(x-&0+) h(x) = 正无穷lim(x-&0+) h&#39;(x) 不等于正负无穷。如存在，给出例子；不存在，证明。
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