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矩阵合同的符号(共7篇).doc 51页
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矩阵合同的符号(共7篇)
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矩阵合同的符号(共7篇)
相似矩阵与合同矩阵
浅谈相似矩阵和合同矩阵
摘 要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义 中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价.
关键词： 相似矩阵；
合同矩阵；
相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处.
2 相似矩阵与合同矩阵的定义及性质
2．1 相似矩阵的定义及性质
2．1．1 相似矩阵的定义 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得
则称A与相B似，记为A～B称可逆矩阵C为相似变换矩阵.
在线性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵.
相似是矩阵之间的一种关系，它满足 （1）反身性，即A～A；
（2）对称性，即若A～B，则有B～A； （3）传递性，即若A～B且B～C，则A～C.
2．1．2 相似矩阵的性质 性质1
若矩阵A~B，则A?B. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得
两边同时取行列式，得
B?C?1AC?C?1AC?A
可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似.
A，B均为可逆矩阵，且A~B，则存在可逆矩阵C，使得
B?1??C?1AC??C?1A?1C，
即A?1?B?1.
若A~B，则kA?kB，An?Bn其中k是任意常数，m为正整数. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得 从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C, 即kA?kB.
Bn??C?1AC???C?1AC??C?1AC???C?1AC??C?1AnC
若A~B，f?x?是一个多项式，则f?A??f?B?. 证
设f?x??a0?a1x?a2x???anx 因为A~B，所以存在可逆矩阵C，使得
f?B??a0E?a1B?a2B2???anBn
?a0E?a1?C?1AC??a2?C?1AC???an?C?1AC?
?C?1?a0E?a1A?a2A2??anAn?C?C?1f?A?C
即f?A??f?B?.
相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
A~B，则存在可逆矩阵C，使得
而?E?B??E?C?1AC?C?1??E?A?C?C?1?E?AC??E?A 即矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
两个n阶方阵A,B有相同的特征值 ，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子.
若矩阵A,B相似，则存在X，使得B?X?1AX，进而设A的属于?0的特征向量为
?，则??0E?A??=0，于是由A?XBX?1知，??0E?A??=??0E?XBX?1??=0
用X?1左乘上式，得??0E?B?X?1?=0.这就意味着X?1?是B的属于特征值?0的特征向量. 同理可证，若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量，则X?必为A的属于?0的特征向量.
tAtB?另外，相似矩阵有相同的迹.即若A~B，则r?r?
且B?diag??1,?2,??n?,??;若A~B，
则?1，?2…?n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且A~B，则A*?B*.
2．1．3 相似矩阵的判定
定理1 两矩阵相似的充要条件是?E?A等价于?E?B. 为此,引入以下引理
引理1 如果有P,Q使得?E?A?P??E?B?Q,则A与B相似.
引理2 对于任何不为零的矩阵A和?-矩阵U???，V???, 一定存在Q???，R???，
U0，V0，使得
U??????E?A?Q????U0 V????R?????E?A??V0.
2.2 合同矩阵的定义及性质
2．2．1合同矩阵定义 设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称矩阵A与B合同，记A?B
合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即A?ETAE；
（2）对称性，即若B?CTAC，则有A??C?1?BC?1；
（3）传递性，若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12，则有A2??C1C2?A?C1C2
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i请填写生词本名称!矩阵的合同、相似与二次型
Congruent and Similarity of Matris and Its Quadric Form
矩阵的合同关系、相似关系都是等价关系.它们虽然不同,但又有联系.对称矩阵是这两个知识点的交汇点,即两个实对称矩阵合同当且仅当它们相似.进一步得到二次型可以通过一个正交变换化为标准型.这一理论是高等代数教科书的重要内容.然而,现行的教科书对该理论的证明至少涉及到二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间的内容.本文利用欧氏空间的正交性质给出这一理论新的简洁证明,以供教学参考之用.
新疆大学,数学与系统科学学院新疆,乌鲁木齐830046
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