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摘要：巧构三角形 简证不等式
论文关键词：巧构三角形 不等式
　　解答一道数学题，如果直接从条件到结论用定势思维去探索解题途径比较困难时，可以根据题设及其特点，用已知条件中的元素为元件，用已知的数学关系为支架，通过联想，展开丰富的想象，构造出方程、函数、数列、复数及其新的图形，从而得到新颖独特的解题方法，这就是构造性解法。这样常使数学解题突破常规，另辟蹊径，具有简捷、明快、简明的优点，下面是我在教学中通过构造单调函数的方法来解题，从而使好多复杂的问题得到简化的一点体会。
例1、求证|sin&|+|cos&|&1
解：在单位圆中作&角,则&的终边与单位圆的交点为A ,过A 点作X轴的垂线,垂足为M,由正弦线与余弦线的定义知|sin&|，|cos&|分别为&对应的正弦线OM和余弦线AM，而单位圆的半径恰为OA=1，在三角形OAM中OM+AM&OA,即|sin&|+|cos&|＞1，当&角的终边与坐标轴重合时，三角形变为一条线，取等号
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Y
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&A
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
O&&&&&&&&& M&&&&X
例2在高中数学竞赛上有一题,设0&a,b&1,证明+++&2
解:此题可以看成为正方形内任一点P到四个顶点,即到O(0,0),A(0,1),C(1,0),B(1,1)的距离,即证PO+PA+PC+PB&2如图所示
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&A&&& P& B
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&O&&&&& C
设P点的坐标为(a,b),因为P在正方形的内部,所以0&a,b&1,连接PA,PO,PC,PB,OB,AC
在三角形PAC与POB中PA+PC&AC,PO+PB&OB
所以PA+PC+PB+PO&AC+OB,而AC与OB为正方形的对角线,故AC=OB=
即PA+PB+PC+PO&2,当P点为AC与OB的交点时,取等号,此题得证
例3& 求证不管x为何值时,下列不等式恒成立
证明:把此式子变形为+&4
这可以看作是直角坐标系中动点P(x,0)到A(1,1),与B(5,3)的距离之和.作出A关于x轴对称点A&(1,-1),则A&B和x 轴的交点C(2,0)到A,B的距离之和最小,且最小值为4,所以上式成立.如图所示
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&B(5,3)
&&&&&&&&&&&&&&&&A(1,1)
&P&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&A&(1,-1)
在x轴上任取一点P,要证不等式成立,只要证PA+PB&CA+CB即可
由对称性的性质知:PA=PA&,CA=CA&而在三角形PA&B中,显然有PA&+PB&A&B
而A&B=CA&+CB=CA+CB＝4
所以PA+PB&AB当Ｐ为ＡＢ上的点Ｃ重合时取等号
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同角三角函数的基本关系
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分类：数学
tan^2(a)-sin^2(a)=sin^2(a)/cos^2(a)-sin^2(a)=sin^2(a)(1-cos^2(a))/cos^2(a)=sin^4(a)/cos^2(a)=tan^2(a)sin^2(a)
∵sina=2/根号5 ,sin2a+cos2a=1,cosa∴cosa=-1/ 根号5∴k=tana=sina/cosa=-2.
sin?α+cos2α=sin?α+cos?α-sin?α=cos?α=1/4又因为α∈(0,π/2)所以cosα=1/2所以α=60°所以tanα=tan60°=√3
已知函数f(x)=2sin(1/3x-π/6)（1）求f(5π/4) (2)设α,β∈[0,π/2],f(3α+π/2)=10/13,f(3β+π/2）=6/5.求cos(α+β)的值.
（1）π=180°所以f(5π/4) =2sin（5/4*1/3π-π/6）=2sin45°=根号2（2）f(3α+π/2)=2sin(α+π/6-π/6)=2sinα=10/13 sinα=5/13 f(3β+π/2）=2sinβ=6/5 sinβ=3/5因为sin^2(α)+cos^2(α)=1且α,β∈[0,π/2],所以cosα=12/13 cosβ=4/5cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=33/65
f(x)=e^2x+|e^x-a|　当e^x大于a时,函数为：f(x)=e^2x+e^x-a　对x求导为：f '(x)=2e^2x+e^x因2e^2x+e^x恒大于0,故e^x大于a时无极值点.今设e^x＜a,函数为f(x)=e^2x+a－e^x　对x求导为：f '(x)=2e^2x－e^x　令其为0,得极值点x为：2e^2x＝e^xe^x＝1/2x＝－ln2f(x)极值=1/4+a－1/2
=a－1/4对f '(x)=2e^2x－e^x再次求导,得：f ''(x)=4e^2x－e^x　代入x＝－ln2　得f ''(－ln2)=1-1/2＝1/2＞0故可知f(x)的极小值为a－1/4
已知奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（1218）的值为___．
∵f（x+2）=-f（x）∴f（x+4）=f（x）∵f（-x）=-f（x）∵x∈（0，1），f（x）=2x当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-2-x=-x∴f（1218）=f（-log218）=f（4-log218）=f（289）=-故答案为：
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