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人教版七年级下学期全册教案 5.1 相交线[教学目标] 1. 通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2. 在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角相等，并能运用 它解决一些简单问题 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用 难点:理解对顶角相等的性质的探索 [教学设计] 一.创设情境 激发好奇 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角 在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的特征。 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角。 学生观察、思考、回答问题 教师出示一块布和一把剪刀，表演剪布过程，提出问题：剪布时，用力握紧把手，两个把手之间的的角发生了什 么变化？剪刀张开的口又怎么变化？ 教师点评：如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线，以上就关系到两条直线相交所成的角的问题， 二．认识邻补角和对顶角，探索对顶角性质 1．学生画直线 AB、CD 相交于点 O，并说出图中 4 个角，两两相配 共能组成几对角？根据不同的位置怎么将它们分类？ 学生思考并在小组内交流，全班交流。 当学生直观地感知角有“相邻”“对顶”关系时，教师引导学生用 、 几何语言准确表达∠AOC与∠AOD有一条公共边OA， 它们的另一边互为反向延长线 ； ∠AOC与∠BOD 有公共的顶点 O，而且 ∠AOC 的两边分别是 ∠BOD 两边的反向延长线2．学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各类角的度数有什么关系？ （学生得出结论：相邻关系的两个角互补，对顶的两个角相等） 3 学生根据观察和度量完成下表： 两条直线相交 所形成的角 分类 位置关系 数量关系教师提问：如果改变 ∠AOC 的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗? 4．概括形成邻补角、对顶角概念和对顶角的性质 三．初步应用 练习： 下列说法对不对 （1） 邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角 （2） 邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角 （3） 对顶角相等，相等的两个角是对顶角 学生利用对顶角相等的性质解释剪刀剪布过程中所看到的现象1四．巩固运用例题：如图，直线 a,b 相交， ∠1 = 40 ，求 ∠2, ∠3, ∠4 的度数。o[巩固练习]（教科书 5 页练习）已知，如图， ∠AOC = 35 o , ∠COF = 80 o ，求： ∠AOD和∠DOF 的度数 [小结] 邻补角、对顶角.[作业]课本 P9-1，2P10-7，8 [备选题]一判断题： 如果两个角有公共顶点和一条公共过，而且这两个角互为补角，那么它们互为邻补角（ 两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补（ 二填空题 1 如图， 直线 AB、 CD、 相交于点 O，∠AOE 的对顶角是 EF ， ） ）∠COF 的邻补角是 o 若 ∠AOC ： ∠AOE =2：3， ∠EOD = 130 ，则 ∠BOC =2 如图，直线 AB、CD 相交于点 O∠COE = ∠FOB = 90 o , ∠AOC = 30 o 则 ∠EOF =5.1.2垂线[教学目标 教学目标] 教学目标 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点 教学重点与难点] 教学重点与难点 1．教学重点：垂线的定义及性质。 2．教学难点：垂线的画法。 [教学过程设计 教学过程设计] 教学过程设计 复习提问： 一. 复习提问： 1、叙述邻补角及对顶角的定义。 2、对顶角有怎样的性质。 新课： 二．新课： 引言： 前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有 怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究 这个问题。 C （一）垂线的定义 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相 垂直的， 其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 如图，直线 AB、CD 互相垂直，记作 AB ⊥ CD ，垂足为 O。 A O B 请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。2D注意： 1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在 的直线互相垂直。 2、掌握如下的推理过程： （如上图）Q AB ⊥ CD (已知），∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠AOD = 90°(垂直定义） . 反之，Q ∠AOC = 90°(已知）∴ AB ⊥ CD (垂直定义）（二）垂线的画法 探究： 1、用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 2、经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 3、经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 画法： 让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已 知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。 （三）垂线的性质 经过一点（已知直线上或直线外） ，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即： 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 练习：教材第 7 页 P 探究： 如图，连接直线 l 外一点 P 与直线 l 上各点 O， A,B,C,……,其中 PO ⊥ l （我们称 PO 为点 P 到直线 l 的垂线段） 。比较线段 PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段 A C B O 中，哪一条最短？ 性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成： 垂线段最短。A（四）点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如上图，PO 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离。 例 1 如图，∠BAC = 90°, AD ⊥ BC , 垂足为D, 则下列结论： （1）AB 与 AC 互相垂直； （2）AD 与 AC 互相垂直； （3）点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB； （4）点 A 到 BC 的距离是线段 AD; （5）线段 AB 的长度是点 B 到 AC 的距离； （6）线段 AB 是点 B 到 AC 的距离。 其中正确的有（ ） 1个 B. 2个3BDCF DA O C EA.BC. 3个 D. 4个 解：A 例 2 如图，直线 AB,CD 相交于点 O,OE ⊥ CD, OF ⊥ AB, ∠DOF = 65°, 求 ∠BOE和∠AOC的度数。 解：略 例 3 如图，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M,N 分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点 P 位置时，距离村庄 M 最近， 行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近，请在图中公路 AB 上 分别画出 P,Q 两点位置。 解：如图所示，过M , N两点分别作MP ⊥ AB, NQ ⊥ AB, 垂足分别为P, Q, 则点P, Q即为所求。 练习： 1. 如图，已知?ABC中，∠BAC为钝角。C（ ）画出点C到AB的垂线段； 1 （2）过A点画BC的垂线； （3）点B到AC的距离是多少？A B2.教材第 9 页 3、4 教材第 10 页 9、10、11、12 小结： 1. 要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念； 2. 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形； 3. 垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。 作业：教材第 9 页 5、6.5．2．1 ． ．平行线[教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容； 3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线； 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； 4．了解平行线在实际生活中的应用，能举例加以说明． [教学重点与难点] 1．教学重点：平行线的概念与平行公理； 教学重点： 2．教学难点：对平行公理的理解． 教学难点： [教学过程] 一、复习提问 相交线是如何定义的？4二、新课引入 平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？ 制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念． 三、同一平面内两条直线的位置关系 平行线． 1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线 a 与 b 平行，记作 a∥b． 平行线 （画出图形） 2．同一平面内两条直线的位置关系有两种： ）相交； ）平行． （1）相交； （2）平行． （ 3．对平行线概念的理解： 两个关键：一是“在同一个平面内” （举例说明） ；二是“不相交” ． 一个前提：对两条直线而言． 4．平行线的画法 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方 法为：一“落” （三角板的一边落在已知直线上） ，二“靠” （用直尺紧靠三角板的另一边） ，三“移” （沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点） ，四“画” （沿三角板过已 知点的边画直线） ． 四、平行公理 ． 1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 经过直线外一点， 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行． 提问垂线的性质，并进行比较． 3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果 b 如果两条直线都与第三条直线平行， 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行． ∥a，c∥a，那么 b∥c． 五、三线八角 由前面的教具演示引出． 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，形成的 8 个角中，其中同位角有 4 对，内错角有 2 对，同旁内角 有 2 对． 六、课堂练习 1．在同一平面内，两条直线可能的位置关系 是 ． 2．在同一平面内，三条直线的交点个数可能 是 ． 3．下列说法正确的是（ ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．若∠ α 与∠ β 是同旁内角，且∠ α =50°，则∠ β 的度数是（ ）A．50° B．130° C．50°或 130° D．不能确定 5．下列命题： （1）长方形的对边所在的直线平行； （2）经过一点可作一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线 相交； （4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确 的个数是（ ） B．2 C．3 D．4 A．1 6． 如图， 直线 AB， 被 DE 所截， CD 则∠1 和 是同位角，5∠1 和 是内错角，∠1 和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3． 七、小结 让学生独立总结本节内容，叙述本节的概念和结论． 八、课后作业 1．教材 P19 第 7 题； 2．画图说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况． [补充内容 补充内容] 补充内容 1．试说明，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2．在同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种：相交或平行．但现实空间是立体的， 试想一想在空间中，两条直线会有哪些位置关系呢？（用长方体来说明） 课时) 5.2.2 直线平行的条件 (第 2 课时) 一．教学目标 (1)使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法； (2)了解简单的逻辑推理过程. 二．教学重点与难点 重点：判定两条直线平行方法的应用； 难点：简单的逻辑推理过程. 三．教学过程 复习提问： 1．判定两条直线平行的方法有哪些？ 2.如图(1) (1)如果∠1=∠4，根据_________________，可得 AB∥CD； (2)如果∠1=∠2，根据_________________，可得 AB∥CD； (3)如果∠1+∠3=1800，根据______________，可得 AB∥CD .E A 2 C F 1 3 D B 如图(1) 如图(2) C 1 4 A B Da3．如图(2) (1) 如果∠1=∠D，那么______∥________； (2) 如果∠1=∠B，那么______∥________； (3) 如果∠A+∠B=1800，那么______∥________； (4) 如果∠A+∠D=1800，那么______∥________； 新课： 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什 例1 么？ 分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？ 答：这两条直线平行. b c 如图所示 理由如下： ∵b⊥a,c⊥a ∴∠1=∠2=900(垂直定义) ┐1 ┐26∴b∥c(同位角相等，两直线平行) 思考： 思考： 这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分，其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别 方法？例2如图所示，∠1=∠2，∠BAC=200，∠ACF=800. (1)求∠2 的度数； (2)FC 与 AD 平行吗？为什么？E A 2 F 1B C D 巩固练习 1．教科书 19 页练习 2． 如图所示，如果∠1=470，∠2=1330，∠D=470，那么 BC 与 DE 平行吗？AB 与 CD 平行 吗？ A 2 C1BD E 3．如图所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，试问 ED 与 CF 平行吗？ E C D F4．如图，∠1=∠2，∠2=∠3，∠3+∠4=1800，找出图中互相平行的直线. m 2 3 5 4 作业：教科书 19 页习题 5.2 第 7、8 题b7ABn l1a5．2．2 直线平行的条件（一） ． ． 直线平行的条件（[教学目标]3. 借助用直尺和三角板画平行线的过程 得出直线平行的条 借助用直尺和三角板画平行线的过程,,得出直线平行的条 件. 4. 会用直线平行的条件来判定直线平行 会用直线平行的条件来判定直线平行. 5. 激发学生学习数学的兴趣 激发学生学习数学的兴趣.[教学重点与难点] 教学重点与难点 教学重点与难重点: 理解直线平行的条件. 重点 理解直线平行的条件 难点: 直线平行的条件的应用 [教学设计]提问 复习题： 1．如图，已知四条直线 AB、AC、DE、FG ．如图， 、 、 、 是直线_____和直线 和直线____被直线 被直线________所截而 （1） 1 与∠2 是直线 ） ∠ 和直线 被直线 所截而 成的________角. 成的 角 (2) ∠3 与∠2 是直线 是直线_____和直线 和直线____被直线 被直线________所截而成的 所截而成的________角. 和直线 被直线 所截而成的 角 (3) ∠5 与∠6 是直线 是直线_____和直线 和直线____被直线 被直线________所截而成的 所截而成的________角. 和直线 被直线 所截而成的 角 (4) ∠4 与∠7 是直线 是直线_____和直线 和直线____被直线 被直线________所截而成的 所截而成的________角. 和直线 被直线 所截而成的 角 (5) ∠8 与∠2 是直线 是直线_____和直线 和直线____被直线 被直线________所截而成的 所截而成的________角. 和直线 被直线 所截而成的 角2.下面说法中正确的是 下面说法中正确的是().(1) 在同一平面内 两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、 两条直线的位置关系有相交 (2) 在同一平面内 不垂直的两条直线必平行 在同一平面内, (3) 在同一平面内 不平行的两条直线必垂直 在同一平面内, (4) 在同一平面内 不相交的两条直线一定不垂直 在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直 3．如果 a∥ b ,b ∥c ，那么 ． 那么_______,理由是 理由是_____________________. ∥ 理由是 导言: 导言 上节课我们学习了平行线的意义, 在同一平面内,两条直线的位置关系 以及平行公理, 两条直线的位置关系,以及平行公理 上节课我们学习了平行线的意义 在同一平面内 两条直线的位置关系 以及平行公理 在此基础上,我们再来研究直线平行的条件 在此基础上 我们再来研究直线平行的条件. 我们再来研究直线平行的条件 新课: 新课 直线平行的条件 演示用直尺和三角板画平行线的过程, 演示用直尺和三角板画平行线的过程8如果∠4+∠2=180°, a∥ b 吗? ∠ ∠ ° ∥9三种方法可以简单地说成: 三种方法可以简单地说成已知:如图 如图， 所截, 例题 已知 如图，直线 AB ,CD,EF 被 MN 所截 ∠1=∠2, ∠3+∠1=180°,试说明 CD ∥EF. ∠ ∠ ° 试说明 因为∠ ∠ 解:因为∠1=∠2, 因为 所以 AB ∥CD. 又因为 ∠3+∠1=180°, ∠ ° 所以 AB ∥ EF. 为什么?). 从而 CD ∥EF (为什么 为什么课堂练习: 课堂练习 1．下列判断正确的是 ． B. 因为∠1 和∠2 是内错角 所以∠1=∠2 因为∠ 是内错角,所以 所以∠ ∠ C. 因为∠ 是同位角,所以 所以∠ ∠ 因为∠1 和∠2 是同位角 所以∠1=∠2 D. 因为∠1 和∠2 是补角 所以∠1+∠2=180° 因为∠ 是补角,所以 所以∠ ∠ ° 2.如图 如图:(1) 已知∠1=65°, ∠2=65°,那么 DE 与 BC 平行吗 为什么 已知∠ 平行吗?为什么 为什么? 如图 ° ° 那么 (2)如果∠1=65°, ∠3=115°,那么 AB 与 DF 平行吗 如果∠ 平行吗? 如果 ° ° 那么 为什么? 为什么 (3) )如果∠4=60°, ∠2=65°,那么 DE 与 BC 平行吗 如果∠ 平行吗? 如果 ° ° 那么 为什么? 为什么 3. ( ). A. 因为∠1 和∠2 是同旁内角 所以∠1+∠2=180° 因为∠ 是同旁内角,所以 所以∠ ∠ °104．如图所示： ．如图所示： (1)如果已知∠1=∠3，则可判定 AB∥______,其理由是 如果已知∠ ∠ ， ∥ 其理由是__________________; 如果已知 其理由是 (2)如果已知∠4+∠5=180°，则可判定 如果已知∠ ∠ 其理由是__________________; 如果已知 ° 则可判定___________∥______,其理由是 ∥ 其理由是 (3)如果已知∠1+∠2=180°，则可判定 如果已知∠ ∠ 其理由是__________________; 如果已知 ° 则可判定___________∥______,其理由是 ∥ 其理由是 (4)如果已知∠5+∠2=180°那么根据对顶角相等有∠2=__, 如果已知∠ ∠ 如果已知 °那么根据对顶角相等有∠ 因此可知∠ ∠ 其理由是__________________; 因此可知∠4+∠5= ____,所以可确定 ___________∥______,其理由是 所以可确定 ∥ 其理由是 (5)如果已知∠1=∠6，则可判定 如果已知∠ ∠ ，则可判定_____∥______,其理由是 其理由是 如果已知 ∥ 其理由是__________________.第 (2) 如果∠1=________,那么 EF∥ BC; 如果∠ 那么 ∥4题图第 5 题图5.如图， ）如果∠1=________,那么 DE∥ AC; 如图， 如图 （1）如果∠ （ 那么 ∥ (3)如果∠FED+ ∠________=180°,那么 AC∥ED; 如果∠ 如果 ° 那么 ∥ (4) 如果∠2+ ∠________=180°,那么 AB∥DF. 如果∠ ° 那么 ∥6.117.课后作业:习题 课后作业 习题 5.2 第 1,2,4 题. 补充练习: 补充练习 已知:如图， 已知 如图，AB ∥CD,EF 分别交 AB、CD 如图 、 平分∠ 于 E、F，EG 平分∠ AEF ， 、 ， FH 平分∠ EFD EG 与 FH 平行吗？为什么？ 平分∠ 平行吗？为什么？§5.3 平行线的性质（一）教学目标1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．重点难点 重点：平行线的三个性质． 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定． 关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质． 教学过程 一、复习1．如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？ 2．把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？二、新授 1．实验观察，发现平行线第一个性质请学生画出下图进行实验观察． 设 l1∥l2，l3 与它们相交，请度量∠1 和∠2 的大小，你能发现什么关系？ 请同学们再作出直线 l4，再度量一下∠3 和∠4 的大小，你还能发现它们有什么关系？平行线性质 1(公理)：两直线平行，同位角相等． 2．演绎推理，发现平行线的其它性质（1）已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD． 求证：∠1= ∠2． （2）已知：如图 2-64，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD． 求证：∠1+∠2=180°．在此基础上指出：“平行线的性质 2 (定理)”和“平行线的性质 3 (定理)”．3．平行线判定与性质的区别与联系投影：将判定与性质各三条全部打出．12（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． （2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的．三、例题例 2 如图所示，AB∥CD，AC∥BD．找出图中相等的角与互补的角． A B3 7C1 2 45 86D此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截． 答： 相等的角为： 1=∠2， 3=∠4， 5=∠6， 7=∠8． ∠ ∠ ∠ ∠ 互补的角为： ∠BAC+∠ACD=180°， ∠ABD+∠CDB=180°， ∠CAB+∠DBA=180°，∠ACD+∠BDC=180°． 相等的角还有：∠ACD=∠ABD，∠BAC=∠BDC．(同角的补角相等) 例 3 如图所示．已知：AD∥BC，∠AEF=∠B，求证：AD∥EF． 分析： 分析：(执果索因)从图直观分析，欲证 AD∥EF，只需∠A+∠AEF=180°， (由因求果)因为 AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又∠B=∠AEF，所以∠A+∠AEF=180°成立．于是得证． 证明：因为 AD∥BC，(已知) 所以 ∠A+∠B=180°．(两直线平行，同旁内角互补) 因为 ∠AEF=∠B，(已知) 所以 ∠A+∠AEF=180°，(等量代换) 所以 AD∥EF．(同旁内角互补，两条直线平行)A ED F四、练习：1．如图所示，已知：AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且 AB∥CD． 求证：∠1+∠2=90°． 证明：因为 AB∥CD， 所以 ∠BAC+∠ACD=180°， 又因为 AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD， 所以 ∠1 =BC1 1 ∠BAC ， ∠2 = ∠ACD ， 2 21 1 (∠BAC + ∠ACD) = × 1800 = 900 ． 2 2 即 ∠1+∠2=90°． (理由略) 2．如图所示，已知：∠1=∠2， 求证：∠3+∠4=180°． 分析：(让学生自己分析)故 ∠1 + ∠2 =13证明：(学生板书)小结我们是如何得到平行线的性质定理？通过度量，运用从特殊到一般的思维方式发现性质 1(公理)，然后由公 理通过演绎证明得到后面两个性质定理．从因果关系和所起的作用来看性质定理和判定定理的区别与联系．作业：1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2、 ∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？ 2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且 EF∥BC， 如果∠B＝40°， 2＝75°， ∠ 那么∠1、 ∠3、∠C、∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度， 为什么？ 3．如图，已知AD∥BC，可以得到哪些角的和为180°？已知AB∥CD，可以得到哪些角相等？并简 述理由．5.3 平行线性质（二）[教学目标] 6. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力 7. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论 8. 能够综合运用平行线性质和判定解题 [教学重点与难点] 重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点:平行线性质和判定灵活运用 [教学设计] 一.复习引入 复习引入 1．平行线的判定方法有哪些？ 2．平行线的性质有哪些？ 3．完成下面填空 已知：BE 是 AB 的延长线，AD//BC，AB//CD，若 ∠D = 100 4． a ⊥ b, c ⊥ b 那么 a，c 的位置关系如何？ 二．新课 1．例 1，已知 a//c, a ⊥ b, 直线 b 与 c 垂直吗？为什么？ 例 2 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得 ∠A = 100 o , ∠B = 115 o ，梯形另外两个角分别是多少度？o则 ∠C , ∠A, ∠EBC142．实践 与探究 （1） 学生操作： 用三角尺和直尺画平行线， 做成一张 5 × 5 个格子的方格纸。观察并思考：做出的方格纸的一部分，线段 B1C1 , B2 C 2 … B5 C 5 都与两条平行线 A1 B5 , A2 C 5 垂直 吗？它们的长度相等吗？ 教师给出两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线， 并且夹在这两条平行线间的线段长度叫做两条平行线的距离。 问题：AB//CD，在 CD 上任取一点 E，作 EF ⊥ AB, 垂足 F，问 EF 是否垂直 DC？垂线段 EF 是平行线 AB、CD 的距 离吗？ 结论：两条平行线的距离处处相等，而不随垂线段的位置而改变 3．命题和它的构成 下列语句，分析语句的特点 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 （2）对顶角相等 （3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式 （4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等 这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断 命题：判断一件事情的句子，叫做命题 （1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知项推出的事项 （2）形式：通 常写成“如果…,那么…”的形式， 三．巩固练习 1． “等式两边乘以同一个数，结果仍是等式”是命题吗？如果是，它的题设和结论分别是什么？ 2 举出一些命题的例子 四．作业 课本 P255.4 平移[教学目标]9. 了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 10. 培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题.[教学重点与难点]重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图.15[教学设计]一. 观察图形 形成印象 生活中有许多美丽的图案，他们都有着共同的特点，请 同学们欣赏下面图案.观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复 制他们吗? 学生思考讨论,借助举例说明. 二.提出新知 实践探索 提出新知 平移:(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状 平移 和大小完全相同. (2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是对应点. (3)连接各组对应 的线段平行且相等. 图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移(translation) 探究:设计一个简单的图案,利用一张半透明的纸附在上面,绘制一排形状,大小完全一样 的图案三.典例剖析 深化巩固 典例剖析 例 如图,(1)平移三角形 ABC,使点 A 运 动到 A`,画出平移后的三角形 A`B`C`.[巩固练习]教材 33 页:1,2,4,5,6,7[小结]1. 在平移过程中,对应点所连的线段也可 能在一条直线上,当图形平移的方向是16沿着一边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上 2. 利用平移的特征,作平行线,构造等量关系是接 7 题常用的方法.[作业]必做题:教科书 33 页习题:3 题[备选题]1. 经过平移,三角形 ABC 的边 AB 移到了 EF,作出平移后的三角形, 2. 3. 你能给出几种作法? 如图,将半圆图形按箭头所指的方向平移,其中 A 点到了 A`点, 作出平移后的图形. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD,AD&BC,AE⊥BC 垂 足为 E,画出三角形 ABE 平移后的三角形,其平移方向为射线 AD 的方向,平移的距离为 AD 的长. (1) 平移后的三角形中,与 B,E 的对应点 F,G,还是在 BC 边上吗? (2) ∠B 和∠C 相等吗?说明理由。176.1．1 有序数对[教学目标]11. 理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 12. 培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣.[教学重点与难点]重点:有序数对及平面内确定点的方法. 难点:利用有序数对表示平面内的点.[教学设计]一.问题探知 问题探知 1．一位居民打电话给供电部门： “卫星路第 8 根电线杆 的路灯坏了， ”维修人员很快修好了路灯同学们欣赏下面图 案. 2． 地质部门在某地埋下一个标志桩， 上面写着 “北纬 44.2°， 东经 125.7°” 。 3．某人买了一张 8 排 6 号的电影票，很快找到了自己的座 位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二.概念确定 概念确定 有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其 有序数对： 中各个数表示不同的含义， 我们把这种有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对（ordered pair）,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 与 3 大道例 1 如图，点 A 表示 3 街与 5 大道的十字路口， 点 B 表示 5 街与 3 大道的十字路口，如果用（3，5） （4，5） →（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由 A 到 B 的一条路 径，那么你能用同样的方法写出由 A 到 B 的其他几条路径 吗？6 大道 5 大道 4 大道 3 大道 2 大道 1 大道 1街 2街 3街 4街 5街 6街 A B[设计说明] 设计说明]根据描述的情景找出表示 地点的数量学生举例说明生活中的类 似确定点的我位置的例子明确数对的表示含义和格 式寻找规律确定路线分析： 图中确定点用前一个数表示大街， 后一个数表示大道。 解：其他的路径可以是： （3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3） ； （3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3） ； （3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3） ； （3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3） ； （3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3） ；181．在教室里，根据座位图，确定数学课代表的位置 2．教材 46 页练习 三.方法归类 方法归类 常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形 的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离 这两个数来确定目标所在的位置。 1．如图，A 点为原点（0，0） ，则 B 点记为（3，1北结合实际问题归纳方法B（小小） 45°？A（灯灯）2．如图，以灯塔 A 为观测点，小岛 B 在灯塔 A 北偏东 45， 距灯塔 3km 处。 例 2 如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 ，对我方舰艇来说： （1）北偏东方向上有哪些目标？要想确定敌舰 B 的位置， 还需要什么数据？ （2）距我方潜艇图上距离为 1cm 处的敌舰有哪几艘？ （3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？ 学生尝试描述位置北小小敌方 我我 B 我 方 我 我 2号 号 我方 我我 敌方 我我 C 我 方 我 我 1号 号 敌方 我我 A[巩固练习]1． 如图是某城市市区的一部分示意图，对市市市来说： （1） 北偏东 60 的方向有哪些单位？要想确定单位的位 置。还需要哪些数据？ （2） 火火火与学学分别位于市市市的什么方向，怎样确19定他们的位置？ 仿 照 前 面 方法 确 定位 置关系购购购购 酒酒 银银市市市学学摩摩摩摩 火火火2． 如图，马所处的位置为（2，3）. （1） 你能表示出象的位置吗？ （2） 写出马的下一步可以到达的位置。5 4可 以 变 化 出其 他 的象 棋盘上的位置，也可以引申 到围棋盘或其他棋类。象马32987654321[小结] 3. 为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以 吗？ 4. 几种常用的表示点位置的方法. [作业] 必做题:教科书 49 页:1 题206.1．2 平面直角坐标系[教学目标]13. 认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能 画出点的坐标位 14. 渗透对应关系，提高学生的数感.[教学重点与难点]重点:平面直角坐标系和点的坐标. 难点:正确画坐标和找对应点.[教学设计] 设计说明] 利用已有知识， [设计说明] 一.利用已有知识，引入 利用已有知识1．如图，怎样说明数轴上点 A 和点 B 的位置，A-4 -3 -2 -1 0 1由数轴的表示引入，到两个数轴 和有序数对。B2 3从学生熟悉的物品入手，引申到 平面直角坐标系。2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直 角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有序数对表示 平面上的点，这对数叫坐标。表示方 法为（a,b）.a 是点对应横轴上的数值， b 是点在纵轴上对应的数值。 例 1 写出图中 A、B、C、D 点的坐标。 二.明确概念 明确概念 平面直角坐标系： 平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组 成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）.水平的数轴称为 x 轴 （x-axis） 或横轴， 习惯上取向右为正方向； 竖直的数轴为 y 轴 （y-axis） 或纵轴，取向上方向为21明确点的坐标的表示法C D OA B仿照例题，画坐标轴，描点，要 求能正确画平面直角坐标系建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一 象限，第二象限，第三象限和第四象限。 你能说出例 1 中各点在第几象限吗？ 例 2 在平面直角坐标系中描出下列各点。 （）A（3，4） ；B（-1，2） ；C（-3，-2） ；D（2，-2） 问题 1：各象限点的坐标有什么特征？ 练习：教材 49 页：练习 1，2。 三.深入探索 深入探索 教材 48 页：探索： 识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确 定的直线的位置关系。 通过探究，发现坐标不但能代表 点的位置，而且能反映他所在的直线 的特征[巩固练习]3． 教材 49 页习题 6.1――第 1 题 4． 教材 50 页――第 2，4，5，6。 [小结] 1． 平面直角坐标系； 2． 点的坐标及其表示 3． 各象限内点的坐标的特征 4． 坐标的简单应用 [作业] 必做题:教科书 50 页:3 题 （教材 51 页综合运用 7，8，9，10 为练习课内容）226．2．1 用坐标表示地理位置 ． ．[教学目标 教学目标] 教学目标 1．知识技能 ． 了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程； 培养学生解决实际问题的能力． 2．数学思考 ． 通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念． 3．解决问题 ． 通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．情感态度 ． 通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． 教学重点与难点] [教学重点与难点 教学重点与难点 1．重点：利用坐标表示地理位置． ．重点： 2．难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题． ．难点： 教学过程] [教学过程 教学过程 一、创设问题情境 观察：教材第 54 页图 6．2-1． 观察今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题． 师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法 二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法 活动 1： ： 根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置． 小刚家：出校门向东走 150 米，再向北走 200 米． 小强家：出校门向西走 200 米，再向北走 350 米，最后再向东走 50 米． 小敏家：出校门向南走 100 米，再向东走 300 米，最后向南走 75 米． 问题： 问题：如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定 x 轴、y 轴？如何选比 例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根 据描述， 可以以正东方向为 x 轴， 以正北方向为 y 轴建立平面直角坐标系， 并取比例尺 1： 10000 （即图中 1cm 相当于实际中 10000cm，即 100 米） ． 由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0） ． 引导学生一同完成示意图． 问题： 问题：选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向有什么优点？ 可以很容易地写出三位同学家的位置． 活动 2：归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程． ： 经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论： 轴的正方向； （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； ）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，23体问题确定适当的比例尺， （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； ）根据具体问题确定适当的比例尺 在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． ）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 应注意的问题： 应注意的问题： 用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常 要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以 正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比 例尺和坐标轴上的单位长度． 有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图 外另附名称． （举例） 活动 3：进一步理解如何用坐标表示地理位置． ： 展示问题： （教材第 62 页，公园平面图）春天到了，初一（13）班组织同学到人民公园春游，张明、王丽、李华三位同学和其他同 学走散了，同学们已经到了中心广场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电话中 向老师告诉了他们的位置． 张明： “我这里的坐标是（300，300）． ” 王丽： “我这里的坐标是（200，300）． ” 李华： “我在你们东北方向约 420 米处” ． 实际上，他们所说的位置都是正确的．你知道张明和王丽同学是如何在景区示意图上建立 的坐标系吗？你理解李华同学所说的“东北方向约 420 米处”吗？ 用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？ 让学生分别画出直角坐标系，标出其他景点的位置． 三、小结 让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置． 四、课后作业 教材第 60 页第 5 题、第 8 题． 五、备选练习 1．根据以下条件画一幅示意图，标出某一公园的各个景点． 菊花园：从中心广场向北走 150 米，再向东走 150 米； 湖心亭：从中心广场向西走 150 米，再向北走 100 米； 松风亭：从中心广场向西走 100 米，再向南走 50 米； 育德泉：从中心广场向北走 200 米． 2．教材第 65 页第 4 题．246．2．2 用坐标表示平移 ． ．[教学目标 教学目标] 教学目标 1．知识技能 ． 掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形 上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程． 2．数学思考 ． 发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识． 3．解决问题 ． 用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用． 4．情感态度 ． 培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化． [教学重点与难点 教学重点与难点] 教学重点与难点 1．重点：掌握坐标变化与图形平移的关系． ．重点： 2．难点：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题． ．难点： [教学过程 教学过程] 教学过程 一、引言 上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用． 二、新课 展示问题：教材第 56 页图．（1）如图将点 A（－2，－3）向右平移 5 个单位长度，得到点 A1，在图上标出它的坐标， 把点 A 向上平移 4 个单位长度呢？ （2） 把点 A 向左或向下平移 4 个单位长度， 观察他们的变化， 你能从中发现什么规律吗？ （3）再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现的规律变化？ 规律：在平面直角坐标系中，将点（ ， ）向右（或左） 个单位长度， 规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对 应点（ （或 ；将点 个单位长度， 应点（x+a，y） 或（ ， ） （ ， ）；将点（x，y）向上（或下）平移 b 个单位长度，可 ） 将点（ ， ）向上（或下） 以得到对应点（ ， （或 以得到对应点（x，y+b） 或（ ） （ ， ）． ） 教师说明： 教师说明：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． ，三角形 ABC 三个顶点坐标分别是 A（4，3） ，B（3，1） ，C（1，2） ． 例 如图（1） （1）将三角形 ABC 三个顶点的横坐标后减去 6，纵坐标不变，分别得到点 A1、B1、C1， 依次连接 A1、B1、C1 各点，所得三角形 A1B1C1 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么关 系？ （2）将三角形 ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5，横坐标不变，分别得到点 A2、B2、C2， 依次连接 A2、B2、C2 各点，所得三角形 A2B2C2 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么关 系？25引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．，所得三角形 A1B1C1 与三角形 ABC 的大小、形状完全相同，三角形 A1B1C1 解：如图（2） 可以看作将三角形 ABC 向左平移 6 个单位长度得到．类似地，三角形 A2B2C2 与三角形 ABC 的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形 ABC 向下平移 5 个单位长度得到． 思考题： 思考题：由学生动手画图并解答． 归纳： 归纳：三、练习 教材第 58 页练习；习题 6．2 中第 1、2、4 题． 四、作业 教材第 59 页第 3 题．26多边形的内角和》 7.3.2 《多边形的内角和》教案教 学 任 务 分 析知识目标 了解多边形的内角和与外角和公式, 了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想 让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程， 1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和 教 学 目 标 能力目标 语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。 语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。 2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到 通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用, 转化思想在几何中的运用 一般的认识问题的方法。 一般的认识问题的方法。 通过探索多边形的内角和与外角和， 3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问 题的方法，并能有效地解决问题。 题的方法，并能有效地解决问题。 通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的 通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望， 数学思维品质。 数学思维品质。情感情感 重点 难点探索多边形的内角和及外角和公式 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。教 学 流 程 安 排活 动 流 程 活 动 内 容 和 目 的 回顾三角形内角和知识， 为后继问题解决 回顾三角形内角和知识， 和知识 激发学生的学习兴趣， 激发学生的学习兴趣， 作铺垫。 作铺垫。 活动 2 探索四边形内角和 鼓励学生寻找多种分割形式， 深入领会转化的本质―将四边形转 鼓励学生寻找多种分割形式， 深入领会转化的本质― 化为三角形问题来解决。 化为三角形问题来解决。 通过类比得出方法， 探索多边形内角和公式， 体会数形间的联系， 探索多边形内角和公式， 体会数形间的联系， 探索五边形内角和， 活动 3 探索五边形内角和， 推导出任意多 通过类比得出方法， 边形内角和公式 感受从特殊到一般的思考问题的方法。 感受从特殊到一般的思考问题的方法。 通过类比和扩展方法的使用， 通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问 题，化未知为已知的思想方法。 化未知为已知的思想方法。 活动 5 用 归纳总结， 活动 6 归纳总结，布置作业 多边形内角和与外角和公式的运 综合运用所学知识去解决问题。 综合运用所学知识去解决问题。 小结及课后探究习题梳理所学知识， 达到巩固， 发展提高的目的。 小结及课后探究习题梳理所学知识， 达到巩固， 发展提高的目的。回顾三角形内角和， 活动 1 回顾三角形内角和，引入课题活动 4 探索六边形及 n 边形外角和教 学 过 程 设 计问 题 与 情 况 师 生 行 为 设 计 意 图27活动 1 问题： 问题：你知道三角形的内角和是多 少度吗？ 少度吗？ A1、教师提问，学生思考作答。 回顾已学知识：三角形的内角和等于 教师提问，学生思考作答。 回顾已学知识： 教师总结： 2 、 教师总结 ： 三角形的内角 180° 和等于 180°。 引出课题： 3 、 引出课题 ： 您想知道任意 一个多边形的内角和吗 ？ 今 180° 为后继问题的解决作铺垫。 180°，为后继问题的解决作铺垫。 利用学生的好奇心设疑， 利用学生的好奇心设疑，激发学生的 求知欲望， 求知欲望，使他们能自觉地参与到下 面多边形内角和探索的活动中去。 面多边形内角和探索的活动中去。BC天我 们就来进一步探讨多边 形的内角和与外角和。 形的内角和与外角和。180° 三角形的内角和等于 180° 课题： 课题：多边形的内角和与外角和 活动 2 问题： 问题：你知道任意一个四边形的内 角和是多少吗？ 角和是多少吗？ 学生展示探究成果 A D引导学生猜想： 1 、 引导学生猜想 ： 四边形的 360° 内角和等于 360°。 学生分小组交流与探究， 2 、 学生分小组交流与探究 ， 进一步来论证自己的猜想。 进一步来论证自己的猜想。 3 、 由各小组成员汇报探索的 思路与方法，讲明理由。 思路与方法，讲明理由。教师可点拨学生从正方形、 教师可点拨学生从正方形、长方 形这两个特殊的多边形的内角和， 形这两个特殊的多边形的内角和，进 而猜测出四边形的内角和等于 360° 360°。 “解放学生的手，解放学生的大 解放学生的手， ，鼓励学生积极参与，合作交流， 脑” 鼓励学生积极参与，合作交流， 用自己的语言表达解决问题的方式方 法，发展学生的语言表达能力与推理 能力。 能力。 鼓励学生寻找多种分割形式， 鼓励学生寻找多种分割形式，深 入领会转化的本质――将四边形转化 入领会转化的本质――将四边形转化 ――B 分成 2 个三角形 180°×2=360° 180°×2=360° °×2=360C4 、 教师汇总学生所探索出的 不同方法 ， 除测量与拼凑法 外，并提出疑问：你们添加辅 并提出疑问：D A O B 分割成 4 个三角形 180°×4 360°=360° 180°×4-360°=360° °× A D C助线的目的是什么 ？ 说一说 你的想法。 你的想法。为三角形问题来解决。 为三角形问题来解决。 5 、 教师在学生回答的基础上 小结： 小结：借助辅助线把四边形分 割成几个三角形， 割成几个三角形，利用三角形 内角和求得四边形内角和。 内角和求得四边形内角和。BP 分割成 3 个三角形C180°×3 180°=360° 180°×3-180°=360° °×28活动 3 问题 1：你知道五边形的内角和是 多少度吗 多少度吗？ A B D C A O B C A B D P C E D E E1、教师提出问题，学生思 教师提出问题， 考后分组活动。 考后分组活动。通过增加图形的复杂性， 通过增加图形的复杂性，让学生 再一次经历转化的过程， 加深对转化思 再一次经历转化的过程，想方法的理解， 2、教师深入小组，参与小 想方法的理解， 教师深入小组， 在探索过程中进一步体 组活动， 现新课标“以人为本”的思想， 组活动 ， 及时了解学生探索的 现新课标“以人为本”的思想，再一次 情况。 情况。 3、让学生归纳借助辅助线 发展学生的平理能力和语言表达能力。 发展学生的平理能力和语言表达能力。 通过四边形、五边形特殊， 通过四边形、五边形特殊，多边形内角和的探索， 将五边形分割成三角形的不同 形内角和的探索， 让学生从特殊到一般 分法。 分法。 归纳总结出多边形内角和公式， 体会数 归纳总结出多边形内角和公式，形间的联系， 4、探究五边形的边数与所 形间的联系， 感受从特殊到一般的数学 分割的三角形个数间的关系， 推理过程和数学思考方法。 分割的三角形个数间的关系 ， 推理过程和数学思考方法。 进而得出五边形内角和与边数 的关系。 的关系。 5、根据以上分割三角形的 方法， 方法，引导学生归纳 n 边形内 角和公式及不同公式间的联 指明为了书写整齐， 系 ， 指明为了书写整齐 ， 便于(n边形的内角和吗？ 记忆，我们选择(n 2)?180° 问题 2： 你知道 n 边形的内角和吗？ 记忆 ， 我们选择 (n-2) ? 180 ° 这个公式。 这个公式。 (n-2)?180° (n-2)?180° 180° 360° 180°n-360° 180°(n-1)-180° 180°(n-1)-180° 板书： 板书： 多边形内角和公式：(n-2)?180° 多边形内角和公式：(n-2)?180° 例：求 15 边形内角和的度数 活动 4 问题 1：小明家有一张六边形的地 毯，小明绕各顶点走了一圈，回到 小明绕各顶点走了一圈 1、学生思考作答，教师作 学生思考作答， 经历现实情况引出六边形的外角 6、通过计算让学生巩固并 边形内角和公式。 掌握 n 边形内角和公式。适当点拨。通过课件演示， 360° 适当点拨 。 通过课件演示 ， 由 和等于 360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣。 他的身体旋转了多少度？ 学生发现： 起点 A，他的身体旋转了多少度？ 学生发现 ： 六边形的外角和等 出发，更能激发学生的学习兴趣。 360° 通过类比和扩展方法的使用， 使学 通过类比和扩展方法的使用， 六边形外角和等于多少度？ 例：六边形外角和等于多少度？ 于 360°。 2、教师引导学生利用多边 生掌握复杂问题化为简单问题， 教师引导学生利用多边 生掌握复杂问题化为简单问题， 化未知 形的内角和公式， 为已知的思想方法。 形的内角和公式 ， 进一步论证 为已知的思想方法。 E5 4 D 3 C360° 六边形外角和等于 360°。即： 六个平角减去六边形内角和等 360° 于六边形外角和 360°2F63、进行类比推理并小结： 进行类比推理并小结： n 边形外角和等于 n 个平角减去 边形内角和，与边数无关。 n 边形内角和，与边数无关。A 1B?180°=360° 问题 2： 边形外角和等于多少度？ 180°n-（n-2） 180°=360° n 边形外角和等于多少度？ 180° 360° n 边形外角和等于 360°29活动 5 问题： 问题：你能运用多边形内角和与 外角和公式解决问题吗？ 外角和公式解决问题吗？ （1）教科书 P88 例 1 （2）求下列图中 x 值150 °2x° 2x° 120 °1 、 学生利用当堂所学的知识学生自主探索巩固知识和获得技通过小组合作解决问题， 掌握基本的数学思想。 通过小组合作解决问题，巩固本节 能，掌握基本的数学思想。 知识。 知识。 教师及时了解学生的学习效果， 教师及时了解学生的学习效果，教师从学生的回答中， 让学生经历用知识解决问题的过程。 2 、 教师从学生的回答中， 了 让学生经历用知识解决问题的过程。 解学生有条理表达自己的思考过 程。 同时激发学生的学习和积极性， 同时激发学生的学习和积极性， 建立学好数学的自信心。学生巩固、 建立学好数学的自信心。学生巩固、 发展、提高。 3 、 引导学生利用多边形的内 发展、提高。x°角和公式解释小明的设想能否实80 ° 120 °现，进一步让学生感受到数学的趣 味性， 味性，以及与实际生活间的密切联x°75 °系。（ 3 ） 一个多边形的内角和与外 角和相等，它是几边形？ 角和相等，它是几边形？ 探究题：小明有一个设想:2008 探究题 ： 小明有一个设想 :2008 年奥运会在北京召开， 年奥运会在北京召开，他设计一 2008° 个内角和是 2008 ° 的多边形图 案多有意义，小明的想法能实现 案多有意义，小明的想法能实现 吗？ 活动 6 问题 ： 谈谈本节课你有哪些收 获？ 作业： P90. P90. 作业：课本 P90.2 P90.6 1 、 学生反思学习和解决问题 的过程。 的过程。 通过回顾和反思， 通过回顾和反思，让学生看到自 己的进步，激励学生， 己的进步，激励学生，使学生自己在鼓励学生大胆表达， 今后的学习中会不断进步， 2 、 鼓励学生大胆表达 ，并对 今后的学习中会不断进步，提高学生 学生的进步给予肯定， 的学习热情。 学生的进步给予肯定，树立学生学 的学习热情。 好数学的自信心。 好数学的自信心。7.4 课题学习《镶嵌》一、 教材分析1．教材地位和作用 ．第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外 角和公式. 镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问 题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力.2．重难点分析 ．教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发学生的思索， 接着 又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌？为了深化课题研究，教材进一步提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌？ 设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习. 因此，本节的重点是经历平面镶嵌30条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌. 为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得 到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题， 进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型.二、 教学目标分析课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实验，是对已学知识的复习、巩固和应用的过 程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标： 1．知识技能目标：①了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽 的图案，积累一定的审美体验. ②经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计. 2．数学思考目标：由多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面. 3．解决问题目标：观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件. 4．情感态度目标：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形平面图 形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性， 培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展.教学流程安排 三、 教学流程安排活动流程图 活动 1 引入背景 活动 2 实验探究 活动 3 结果分析 活动 4 知识运用 实际 发现有的多边形能够覆盖平面，有的则不能 讨论多边形能覆盖平面的基本条件，运用多边形内角 和公式对实验结果进行分析. 进行简单的镶嵌设计，把所学知识运用到实践中. 活动内容和目的 创设情境，导入新课，了解多边形平面覆盖来自生活四、 教学过程设计问题与情景 [活动 1] 1．引入背景 师生行为 学生欣赏美丽的校园一角，教师 指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都 要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把 地面或墙面全部覆盖.从数学角度去 分析，这些工作就是用一些不重叠摆 放的多边形把平面一部分完全覆盖， 通常把这类问题叫做用多边形覆盖 平面（或平面镶嵌）的问题. 设计意图 从观察生活现象入手， 抽象出数学问 题――平面镶嵌的问题,激发学习兴趣.[活动 2] 实验探究 实验 1 尝试用手中的 正三角形、正四边形、 正五边形、正六边形进 行平面镶嵌 实验 2 用正三角形与 正四形镶嵌成一个平 面图案,用正三交形与 学生在拼图的过程中,教师巡回 指导. 教师对出现的不同的拼图方法 学生通过实验知道两种正多边形也 可以进行平面镶嵌. 学生动手操作， 记录结果.教师巡 回指导,并展示镶嵌效果图案. 通过实验,让学生发现正三角形、 正四 边形、 正六边形可以镶嵌成一个平面图案, 而正五边形则不能.31正六边形镶嵌成一个 平面图案予以肯定.学生完成实验后,出示镶嵌 效果图案. 学生拼图,教师重点关注学生能 培养学生的操作能力,了解一般的三实验 3 用任意三角形 或任意四边形镶嵌成 一个平面图案 问题与情景 [活动 3] 问题 1 分析实验 结果否把不相等的角拼接在一个顶点处， 角形或四边形可以进行平面镶嵌. 能否把相等的边拼在一起. 教师出示 镶嵌效果图. 师生行为 学生观察上述的实验结果,分组 讨论平面镶嵌的条件, 发现问题与多 边形的内角大小有密切关系，教师出 示图例，引导学生发现拼接在同一点 的各个角的和恰好等于 360°. 师生归纳得出多边形平面镶嵌 的条件: ①拼接在同一点的各个角的和 恰好等于 360°; ②相邻的多边形有公共边. 例如下图中的点 O 处∠1+∠2+ ∠3+∠4=360°,OA 两侧的多边形有 公共边 OA. 图 设计意图 学生运用已有的知识对实验结果进 行推理分析,把感性认识上升到理性认识 的高度,说明了理论来源于实践.验证平面镶嵌的条件,说明理论来源 于实践又运用于实践. 问题 2 解释实验 结果 学生解释任意三角形能够进行 平面镶嵌的理由:图中 ∠1+∠2+ ∠3=180°,把 6 个全等的三角形适当 地拼接在同一个点,一定能使这点为 顶点的 6 个角的和恰好等 360°,并且 使边长相等的两边贴在一起. 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案.学生说明正五边形不能镶嵌成 一个平面图案的原因: 由多边形内角和公司,可以得到 五边形内角和等于（5-2）×180° =540°，因此，正五边形的每个内角 等 于 540 ° ÷ 5=108 ° .360 ° 不 是 108°的整数倍,也就是用一些 108° 的角不能拼出 360°的角.32问题与情景 [活动 4] 问题 1 小结反思师生行为 学生自由谈本节课的收获.教师 注意纠正学生的错误与不足，对学生 的进步予以表扬. 教师先展示几组其它平面镶嵌 的图形,扩展学生视野,然后要求学生 思.设计意图 复习巩固已学知识， 学生学会小结反将已学的知识用于实际.培养学生的 创造能力,发展学生的审美意识.问题 2 自由设计独立设计一份平面镶嵌的图案，教师 先个别辅导， 再集中欣赏学生的作品.五、 回顾与小结本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从 实践到理论,再从理论到实践的全过程,教师对学生的实践进行指导,帮助学生优化思维过程，在此基础上，学 生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学 语言的能力.课题： 课题：8.1 二元一次方程组1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个 教学目标 二元一次方程组的解； 2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受 数学的乐趣． 教学难点 知识重点 弄懂二元一次方程组解的含义。 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。 教学过程（师生活动） 幻灯：古老的“鸡兔同笼问题” “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各 几何？” 师： 这是我国古代数学著作 《孙子算经》 中记载的数学名题． 它 曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的 各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 学生思考自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础 上，班级集体讨论给出各种解决方案． 创设情境 导入课题 方案一：算术方法 把兔子都看成鸡，则多出 94－35 × 2=24 只脚，每只兔子比 鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有 24÷2=12 只， 进而鸡有 35－12=23 只． 或类似的也可以先求鸡的数量． 35×4－94=46，46÷2＝23 方案二：列一元一次方程解 设有 x 只鸡，则有（35－x）只兔．根据题意，得 2x 十 4(35－x)=94. （解方程略） 方案二既是对一元 一次方程的复习与 巩固， 又为二元一次 方程组的引出做好 能用方案本来解的 学生算术功底比较 好，应给予高度赞 赏． 设计理念 以古老的数学名题 引入， 可以增强学生 的民族自豪感， 激发 学好数学的感情33教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念， “元”是指什 么？“次”是指什么？ （一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念 师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？ （若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设 两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程） 方案三：设有 x 只鸡，y 只兔，依题意得 x＋y=35，① 2x＋4y=94.② 针对学生列出的这两个方程，提出如下问题： （1） 、你能给这两个方程起个名字吗？ （2）为什么叫二元一次方程呢？ （3）什么样的方程叫二元一次方程呢？ 结合学生的回答，教师板书定义 1：含有两个未知数，并且未 知数的指数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方 程．把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接．我们 也给它起个名字，叫什么好呢？铺垫在。引导学生利用一元 一次方程进行知识 的迁移与奚比， 让学 生用原有的认知结 构去同化新知识，符 合建构主义理念通过探究活动得出 结论： 1、二元一次方程的 解是成对出现的；2、 二元一次方程的解 有无 数多个．这与一元一 次方程有显 著的区别．? x + y = 35 ? ?2 x + 4 y = 94定义 2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组． （二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念 分析问题 X y 教师启发： （1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些 值？ （2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义 吗？ （3）它与一元一次方程的解有什么区别？ 定义 3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元 一次方程的解，记为 ? 探究活动：满足 x＋y=35 的值有哪些？请填入表中： … …?x = a ?y = b师：那么什么是二元一次方程组的解呢？ 学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组 中的两个方程．即：既是方程①又是方程②的解． 定义 4：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方 程组的解． 比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12 使方程组中每一个方 程成立．所以我们把 x=23，y=12 叫做 通过对比， 让学生体 脸到从算术方法到 代数方法是一种进 步．而当我们遇到求 多个未知量，而且数? x + y = 35 ? x = 23 的解记为： ? ? ?2 x + 4 y = 94 ? y = 1234注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接， 量关系较复杂时，列 表示“且” ． 你有哪些想法呢？ 例 1 下列各对数值中是二元一次方程 x＋2y=2 的解是 （ ） 二元一次方程组比 易，它大大减轻了我 们的思维负担． 本例先检验二元一 次方程的解，再检脸 二元一次方程组的 解，符合从简单到复 杂的认知规律． 使学 生更深刻地理解二 元一次方程组的解 的概念． 目的在于培养分析 等量关系并列方程 组的能力； 培养观察 估算能力； 使学生进 一步熟悉二元一次 方程组及其解的概 在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进 行． 本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？ （什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二 元一次方程组的解？） 1、必做题：教科书 102 页习题 8.1 第 1、2 题． 2、选做题：教科书 102 页习题 8.1 第 3 题． 3、备选题： （1）根据下列语句，列出二元一次方程： ①甲数的一半与乙数的 发挥学生主体意识， 培养学生归纳小结 的能力。 议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比， 列 一 元 一 次 方 程 容?x = 2 A ? ?y = 0? x = ?2 B ? ?y = 2?x = 0 C ? ?y = 1? x = ?1 D ? ?y = 0解法分析： 将 A、B,C,D 中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选 A,B,C. 巩固新知 变式：其中是二元一次方程组 ??x + 2 y = 2 解是( ) ?2 x + y = ?2解法分析： 在例 1 的基础上，进一步检验 A、B、C 中各对值是否满足方程 2x＋y=－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足 两个方程． 例 2（教材 102 页练习） 解答过程略小结提高2 的和为 11 3不同层次的学生根 据自身的需要选择 不同的备用题， 实现 不同的人在数学上 获得不同的发展的 教学理念．布置作业②甲数和乙数的 2 倍的差为 17 （2）方程 x＋2y=7 在自然数范围内的解（ ） A 有无数个 B 有一个 C 有两个 D 有三个 （3）若 mx＋y=1 是关于 x,y 的二元一次方程，那么 m 的值应是（ ） A.m≠O B. m=0 C. m 是正有理数 D. m 是负有理数 （4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发 到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的 4 倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的 5 倍，请问他俩人中谁 骑车的速度快？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历 从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣．以算 术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更 使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章． 本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的 能力后展开的．根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳 人自己的知识体系中．所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，35主动迁移知识，建立起新的概念．使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要 的。课题： 消元（ ） 课题： 8.2 消元（1）1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组； 教学目标 教学难点 知识重点 2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法； 3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想． 代入消元法的基本思想。 用代入法解二元一次方程组。 教学过程（师生活动） 播放学生篮球赛录像剪辑． 体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次， 他们想在全部 22 场比赛中得到 40 分．已知每场比赛都要分出胜负，胜 队得 2 分，负队得 1 分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？ 创设情境 引入课题 你会用二元一次方程组解决这个问题吗？ 问题情境是 学生喜闻乐见的 体育活动，增强 知识产生亲切 感。 设计理念根据问题中的等量关系设胜 x 场， y 场， 负 可以更容易地列出方程． 求知欲，对所学? x + y = 20 ? ?2 x + y = 40那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？ 1、 引导： 什么是二元一次方程组的解？ （方程组中各个方程的公共解） 满足方程①的解有：? x = 21 ? x = 20 ? x = 19 ? x = 18 ? x = 17 ，? ，? ，? ,? ? ?y = 1 ?x = 2 ?x = 3 ?x = 4 ? y = 5满足方程②的解有：可以采用观察与 估算的方法．但 很麻烦，故引发 学生产生寻找新 方法的需求．? x = 19 ? x = 18 ? x = 17 ? x = 16 ，? ，? ，? … ? ?y = 2 ?y = 4 ?y = 6 ?y = 6这两个方程的公共解是 ? 探究新知 学生思考并列出式子． 设胜 x 场，负(22－x)场，解方程 2x＋(22－x) =40 ③ 解法略． 观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导． （1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？ （2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？ （3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？ （4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？? x = 18 ?y = 4以退为进的思 想．2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？重视知识的 发生过程，让学 生了解代入消元 法解二元一次方 程组的过程及依 据．体会未知向 已知，陌生向熟36结合学生的回答，教师做出讲解． 由方程①进行移项得 y=22－x, 由于方程②中的 y 与方程①中的 y 都表示负的场数，故可以把方程 ②中的 y 用(22-劝来代换， 即得 2x+（22－x) =40.由此一来，二元化为一元了． 解得 x=18. 问题解完了吗？怎样求 y 将 x=18 代入方程 y=22－x，得 y=4. 能代入原方程组中的方程①②来求 y 吗？代入哪个方程更简便？ 这样，二元一次方程组的解是 ?悉转化这一重要 思想―化归思 想．? x = 18 ?y = 4归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程， 从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法． （板书课题） 例 1 用代入法解方程组 例 1 改编自 教材 105 页例 1， 暂时省略了 “用含一个 未知数的式 子去表示另 一未知数” 这一步骤， 而将其放在 例 2 中介绍， 这样处理降 低了难度， 利于分阶段 达成本课的 知 识 目 标．本例的 重点在于让 学生掌握代 入法的基本 步骤．?x = y + 3 ? ?3 x ? 8 y = 14本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价． 解：把①代入②，得 3（y＋3）-8y＝14 所以 y=－1 把 y=－1 代人①，得 x=2. 所以 ??x = 2 ? y = ?1巩固新知解后反思．教师引导学生思考下列问题： (1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？ (2)为什么能代？ (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？ (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值 较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？ （与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数 的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否 相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算） 例 2（为例 1 的变式）解方程组?1 ? x? y =3 ?2 ?3 x ? 8 y = 14 ?分析： (1)从方程的结构来看：例 2 与例 1 有什么不同？ 例 1 是用 x=y＋3 直接代人②的．而例 2 的两个方程都不具备这样 的条件都不能直接代入另一条方程． (2)如何变形？ 把一个方程变形为用含 x 的式子表示 y（或含 y 的式子表示 x） ． (3)那么选用哪个方程变形较简便呢？ 通过观察，发现方程①中 y 的系数为－1，因此，可先将方程①变 形，用含 x 的代数式表示 y，再代入方程②求解． 解：由①得，y=例 2 进一步巩固 代 入 法 的 步 骤．重点在于说 明解二元一次方 程组的一些技巧 问题，主要表现 在如何选择一个 方程，如何用含 一个未知数的式1 x ? 3 ，③ 2把③代人②，得（问：能否代入①中？）373x－8（1 x ? 3 ）=14， 2子去表示另一未 知数．所以－x=－10, x=10. （问：本题解完了吗？把 y=37 代入哪个方程求 x 较简单？） 把 x=10 代入③，得 y=1 x × 10 ? 3 2所以 y=2 所以 ?? x = 10 ?y = 2（本题可由一名学生口述，教师板书完成） 小结与作业 合作交流： 你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主 要步骤有哪些呢？与你的同伴交流． 学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最 后，由老师出示幻灯片． 代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤 为： ①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中 小结提高 的一个未知数，例如 y，用含 x 的式子表示出来，也就是化成 y=ax＋b 的形式； ②将 y=ax＋b 代人方程组中的另一个方程中，消去 y,得到关于二 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出 x 的值； ④把求得的 x 值代人方程 y=ax＋b 中，求出 y 的值，再写出方程 组解的形式； ⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的， 若能肯定解题无误，这一点可以省略。 反馈练习 1、 教材 105 页 1.（补充：再改写成用含 y 的式表示 x） 2、 教材 105 页练习 2 用代入法解方程组 3、 教材 107 页 3 应用题 1、必做题：教科书 111 页习题 8.2 第 1 题，112 页习题 2 第 2(1)(2)题． 2、选做题：教科书 112 页习题 8.2 第 6 题． 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 及时梳理知识， 形成模―用代入 法解二元一次方 程一般步骤。布置作业代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题 化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题．基于这点认识，本课按照 “身边的数学问题引入―寻求一元一次方程的解法―探索二元一次方程组的代入消元法―典型例题―归 纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导 作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程 融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相 比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新 知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．38课题： 消元（ ） 课题： 8.2 消元（2）1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组； 教学目标 教学难点 知识重点 2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识； 3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。 学会用代入法解未知数系数的绝对值不为 1 的二元一次方程组。 教学过程（师生活动） 1、 请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的 同桌，看看他是否掌握了． 设计理念 本课是对代入 消元法的巩固和 深化，设置活动 创设活动 目的在于帮助学 2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤． 生迅速再现以往 的知识经验，起 到承上启下的作 用。 1、探索分析问题： 教材 105 页例 2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小 瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为 2：5.某厂每天生 产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多 少瓶？ 学生独立分析，列出方程组，全班交流． 解：设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶，则?5 x = 2 y ? ?500 x + 250 y = 探究新知 2、引导学生思考： 问题 1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？ （两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为 1） 问题 2：能用代入法来解吗？ 问题 3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？ 在师生对话交流中，完成本题的板书示范． 3、解后反思： （1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为 1 的二元一 次方程组？ （2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。 (3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、 设、列、解、检、答． 练习 1：用代入法解下列方程组． （1） ? 巩固新知 整体代入无代入 法的一种重要技 巧，它实质就是 换元的思想．若 学生仍感困惑也 可用新未知数去 替换原来视为整 这里的反思 突出了本课的重 点，既帮助学生 进一步完善代入 法解题的步骤， 又渗透解决实际 问题的程序化思 想。?2 s = 3t ?3s ? 2t = 5 ?5 x + 6 y = 13 （2） ? ?7 x + 18 y = ?1两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2)小题． 第(2)题大多数同学的方法是：39由①得：x=13 ? 6 y ③ 把③代入②，… 5体的那一部分．这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问： “是否还有更好的解 答方法？通过自主探究后发现 由①得，6y=13-5x ④，把④代人②解得， x=5，把 x=5 代入④解得：y=－2 ∴?这里安排分层次 练习，让学生根 据自身的需要自 由选择不同的题 目，在自我挑战 中获得成就感教 师根据实际情 况，对不同的学 生进行有针对性 的指导，使不同 的学生都有发 展．这符合新课 标的新理念：不?x = 5 ? y = ?2解后反思： 1、把 6y 看作一个整体，代入消元，使解方程变得简单许多． 2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于动笔． 练习 2.分层练习： 学生必须先尝试完成 B 层练习，如果有困难，那么可以先完成 A 层 练习后再做 B 层练习，顺利完成 B 层的同学可以尝试完成 C 层练习． A 层： 1.将二元一次方程 5x＋2y=3 化成用含有 x 的式子表示 y 的形式是 y= ；化成用含有 y 的式子表示 x 的形式是 x= 。?4 y = x + 4 2．已知方程组：? ,指出下列方法中比较简捷的解法是 同的人在数学上 5 y = 4x + 3 ? 都能获得不同的（ ） A.利用①，用含 x 的式子表示 y，再代入②； B 利用①，用含 y 的式子表示 x，再代入②； C.利用②，用含 x 的式子表示 y,再代入①； D.利用②，用含 x 的式子表示 x，再代人①; 发展.B组 3、用代入法解方程组：（1） ??3 x ? 5 y = ?1 ?2 x = 3 y?m ?4 + ? （2） ? ?m + ?6 ?n =2 4 n =2 3C组 4、解方程组：?3 x + 2 y ? 2 = 0 ? 2 ? 3x + 2 y + 1 =? ? 5 5 ? ?x = 1 ?ax ? by = 1 ? 5、已知方程组 ? 的解为 ? 1 ，求 a、b x= ?bx + ay = 3 ? 2 ?练习 3：实践活动 请你根据方程组 ?? x + y = 16 编一道符合实际的应用题。 ?3 x + 5 y = 60小结与作业1、这节课你学到了哪些知识和方法？ 比如： ①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是 1 的二元一次方 小结提高 程组， 解题时， 应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形， 这样可使运算简便． ②列方程解应用题的方法与步骤． ③整体代入法等． 2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？ 布置作业 1、 做题：教科书 112 页习题 8.2 第 2（3） （4）题，第 4 题。让学生更加明确 本节课的知识 点，达到查漏补 缺的目的。 不同层次的学生402、 选做题：教科书 107 页练习。 3、 备选题：根据自身的需要 选择不同的备用 题，达到因材施 教的目的。?5s ? 3t = 0 （1） 解方程组 ? ?5t ? 3s + 5 = 0（2） 利用你学会的整体代入法解下面的方程组：?3( x ? 3) = y ? 1 ? ?5( y ? 1) = 2( x + 5)（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装 55 只左右．小明 3 只一数，结果剩下 1 只，但忘了数多少次，只好重数．他 5 只一数，结 果剩下 2 只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说： “不用 数了，共有 52 只． ”小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同 学们，你们知道这是为什么吗？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 代入法解二元一次方程组是一项重要的数学基本技能．它需要通过一定的训练才能达到熟练、准确 的程度．而学生最反感的就是机械的训练．本课设计充分考虑到这点，因而使练习呈现形式的多样化．比 如自编考题、分层练习、实践活动等不时地给学生以新鲜感，而无重复枯燥之感． 学习数学，要不断归纳总结才能事半功倍，借以提高技能，提高才智．代入消元法的消元思想体现 了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后， 都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处．课题： 消元（ ） 课题： 8.2 消元（3）1、掌握用加减法解二元一次方程组； 教学目标 教学难点 知识重点 2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法； 3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心． 用“加减法“解二元一次方程组。 学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。 教学过程（师生活动） 王老师昨天在水果批发市场买了 2 千克苹果和 4 千克梨共花了 14 元，李老师以同样的价格买了 2 千克苹果和 3 千克梨共花了 12 元，梨 每千克的售价是多少？比一比看谁求得快． 创设情境 最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了 1 千克的 梨，多花了 2 元，故梨每千克的售价为 2 元． 设计理念 问题解决过 程中蕴含了朴素 的加减消元的思 想．反映出，科 学的每一次进 步，都可以在实 际的实戏活动中 找到依据． 1、 解方程组?2 x + 3 y = ?1 ? ?2 x ? 5 y = 7?1? 3y y 代人方程②，消去 x. 2使学生进一步巩 固用“代入法” 解二元一次方程 组， 并在体会 “代 入法＂存在不足 的同时，感受用 “加减法”解二（由学生自主探究，并给出不同的解法） 探究新知 解法一由①得：x=解法二：把 2x 看作一个整体，由①得 2z=－1－3y,代入方程②， 消去 2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入41更简便，准确率更高． 有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发： 问题 1.观察上述方程组，未知数 z 的系数有什么点？（相等） 问题 2.除了代入消元，你还有别的办法消去 x 吗？ （两个方程的两边分别对应相减，就可消去 x，得到一个一元一次 方程． ） 解法三：①－②得：8y=－8,所以 y=－1 Y=－1 代人①或②，得到 x=1 所以原方程组的解为 ?元一次方程组的 优越性，并掌握 “加减法” ．?x = 1 ? y = ?1变式的意义在于 从“减“的情形 自然地过渡到” 加“的情形，浑 然一体。2、变式一 ??? 2 x + 3 y = ?1 ?2 x ? 5 y = 7启发： 问题 1.观察上述方程组，未知数 x 的系数有什么特点？（互为相 反数） 问题 2.除了代人消元，你还有别的办法消去 x 吗？ （两个方程的两边分别对应相加，就可消去 x，得到一个一元一 次方程． ） 解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过 两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一 次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元 法，简称加减法． 想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？ 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.?4 x + 3 y = 1 3、变式二： ? ?2 x ? 5 y = 7观察：本例可以用加减消元法来做吗？ 必要时作启发引导： 问题 1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？ 问题 2.那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？ 启发学生仔细观察方程组的结构特点， 发现 x 的系数成整数倍数关 系． 因此：②×2，得 4x－10y=14③ 由①－③即可消去 x，从而使问题得解． （追问：③－①可以吗？怎样更好？）例题及变式一解 决用了加减法解 某一未知数的系 数的绝对值相等 的二元一次方程 组的问题。变式二解决用加 减法解某一未知 数的系数成整数 倍数关系的二元 一次方程组。?? 2 x + 3 y = ?1 4、变式三： ? ?3 x ? 5 y = 7想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？ 让学生独立思考， 怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对 值相等呢？ 分析得出解题方法： 解法 1：通过由①×3，②×2，使关于 x 的系数绝对值相等，从而 可用加减法解得．42解法 2：通过由①×5，②×3，使关于 y 的系数绝对值相等，从而 可用加减法解得． 怎样更好呢？ 通过对比， 使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对 值的最小公倍数较小的未知数消元． 解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成 整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的 数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方 程组求解． 变式三的设置目 的是引导学生学 会用加减法解同 一个未知数的系 数绝对值不相 等，且不成整数 倍的二元一次方 程组．这是本课 的难点．通过三 个变式，搭建了 降低难度的阶 梯． 练习 1：教科书第 111 页练习第 1 题 练习 2：自行设计一些错题让学生判断。 巩固新知 收集学生的易 错点，让学业生 在改错中，自我 诊断。 小结与作业 引导学生思考、 交流、梳理所学 小结提高 回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？ 这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？ 知识，培养学生 的理性思维能力 和良好的口头表 达能力． 布置作业 4、 做题：教科书 112 页习题 8.2 第 3 题。 5、 选做题：教科书 112 页习题 8.2 第 6 题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 在学习加减法解题之前，学生们已经知道了代人法解二元一次方程组的核心是代人“消 元” ，以使二元方程转化为一元方程求解．因此本节课例 1 的提出既是对代人法的复习，又是 加减法的探索．同时，也通过一题多解培养学生开放性思维． 解题方法应由学生自己去探索、发现，只有自己探索出来的，才是属于自己的，印象也就最深刻．本 课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同 解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的乐趣，更 重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高． 思维发散，是培养创新思维的基础．透彻理解一个题，胜过盲目的多个演练题．本课设计采用变式 教学，充分利用一道例题，由浅人深，不断地注人新元素，不时地给学生以新鲜感，避免了频繁地更换 例题带给学生的枯燥与疲惫感，并且使整堂课节奏紧凑，一气呵成．的消元思想体现了数学学习中“化 未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思， 加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处．43课题： 消元（ ） 课题： 8.2 消元（4）1、熟练掌握加减消元法； 教学目标 教学难点 知识重点 2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组， 3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性． 教材中例 4 的数量关系较复杂，是本课的难点。 能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 教学过程（师生活动） 1、 复习提问 解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？ 一元一次方程 代入}