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浅谈魔方中的数学思想
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你可能喜欢魔方里的数学密码
& &魔方于1974年由匈牙利人鲁毕克发明。它能征服全世界，与匈牙利众多伟大的数学家（例如冯?卡门、冯?诺伊曼以及5位获得过沃尔夫奖和阿贝尔奖的数学家）有很大关系――匈牙利的数学家们通过1978年的世界数学家大会，把魔方推广到了全世界。那么，这个小小的立方体到底与数学有怎拥墓叵的兀恳黄鹄纯纯窗桑
& &鲁毕克是布达佩斯工艺美术学院的教师，主要讲授外形研究与画法几何学。为培养学生的三维想象力，他于1974年设计、制造了三阶魔方，并将其称为Magic Cube。Magic Square（即幻方）是数学的一个分支，所以Magic Cube早年被译为幻立方体。1979年后，Magic Cube改为Rubik’s Cube，成为现在数学中的专有名词。
魔方起源―15子棋
& &追溯魔方的起源，不免要谈到1880年时美国的15子棋。15子棋棋子和魔方小块运动的数学原理是相同的。如图①～③所示，通过滑动周围的棋子，棋盘中的空格可以沿着图示的线路转动起来，这和魔方小块的转动是一样的。
延伸阅读：重排九宫图
& &15子棋的前身是重排九宫图，重排九宫游戏棋最早出现在元代。在宋代，九宫图被叫作纵横图（即幻方）。杨辉是南宋研究纵横图的著名数学家。《易传?系辞》曰：“河出图，洛出书，圣人则之。”洛书是中国5000年前的产物，是幻方的先祖。
“离家”和“回家”
& &魔方一路走来，能风靡全球、经久不衰，和其中蕴藏的数学密码有密切关系。那么，魔方里到底有什么数学密码呢？
& &我们先简单讨论魔方的“离家”和“回家”问题。当你拿着一个处于原始状态的魔方（即魔方处于复位状态），我们说魔方是在“家里”。如果你是个新手，扭转魔方时，不要让魔方“离家”太远，可以靠直觉使魔方“回家”。
& &首先，随便选择一面，转动魔方1步，转角可以是90°或180°或270°。对于魔方“离家”1步远的情况，不难计算其状态共有6×3=18个。换句话说，即每个面分别转动90°或180°或270°，6个面共有18个状态。为了叙述方便，我们分别用F、R、U、B、L、D表示魔方的前面、右面、上面、后面、左面和下面。
& &然后，让魔方“离家”2步远，即先转动一个面，再转动另外一个面。如果用符号表示就是：
& &F（R、U、B、L、D）；R（F、U、B、L、D）；U（F、R、B、L、D）；
& &B（F、R、U、L、D）；L（F、R、U、B、D）；D（F、R、U、B、L）。
& &上面的组合共有30组，每个字母有3个可选择的转角，共有30×3×3=270个状态。需要强调的是，我们是在计算魔方的状态数，这涉及魔方的几何问题。例如，组合FB和BF给出的魔方状态是完全相同的。因为F面和B面平行，转动的先后次序不影响魔方的状态。因此，FB和BF，RL和LR，UD和DU分别相同，要去掉3个，剩下27个组合。那么，27×3×3=243，即魔方“离家”2步远，共有243个状态。魔方“离家”2步远时，我们也可以轻松让魔方“回家”。
& &按照以上组合操作和比较魔方状态的方法，可以计算出：
& &魔方“离家”3步远，共有3，240个状态；
& &魔方“离家”4步远，共有43，239个状态；
& &魔方“离家”5步远，共有574，908个状态。
& &如果随意让魔方离家5步远，而你仅仅用5步就能把它复位，那么你就是地地道道的天才。换句话说，面对574，908个魔方状态，仅凭直觉用5步将这些魔方复位，世界上还没有人能够做到。
& &如果把魔方离家的所有状态求和，再加上一个在家的状态，这个数就是43，252，003，274，489，856，000。
& &2010年，谷歌的一个团队计算出魔方离家21步远的状态为0，也就是说，魔方离家最远是20步。于是，他们宣布：对于任何一个被搅乱了的魔方，都可以在20步以内将其复原。
& &目前，复位三阶魔方最快者所用时间不到5秒，但是他们需要转动魔方50多次。2017年3月有报道称，一位德国工程师设计的机器人，复位魔方只需0.637秒，仅需转动魔方21次。
魔方小块的方位
& &魔方里用到的数学既简单又撩人。
& &三阶魔方有8个角块、12个边块和6个心块，描述这些小块的空间方位有很简单的方法。如图④所示，用数组描述角块，用数组描述边块，用数组描述心块。如果用负号（数字1上加横线），让这些数组中的三个数排列组合：有8种情况，和魔方的角块一一对应；有12种情况，和魔方的边块一一对应；有6种情况，和魔方的心块一一对应。用这种方法，还可以描述2阶魔方、高阶魔方和某些异型魔方。
& &12面魔方有12个心块、20（=5×12÷3）个角块、30（=5×12÷2）个边块。如果能计算出这些小块的空间坐标，就可以建立数学模型来描述这些小块的运动。
& &我们可以借助三阶魔方，计算出12面魔方各小块的空间坐标。如图④所示，魔方12条棱边中心的黑点，分布在6个面上，每面有2个。例如，蓝色面的前后两个黑点属于该面，黄色面上下两个黑点属于该面，以此类推。图④中魔方的边长由2个单位压缩到1.618，每个面上的黑点之间的距离压缩到1，如图⑥所示。把这些黑点近邻地连接起来，就构成一个正20面体，同时，我们得到了12个顶点的坐标。例如，A、B、C三点的坐标分别为（0.5，0，0.809）、（-0.5，0，0.809）、（0，0.809，0.5）。
& &图片/本文来源：《知识就是力量》杂志
& &参照图⑥的坐标系，可以把12个顶点的坐标标注在12面魔方的心块中心，一一对应。根据12面魔方心块的坐标，经简单的几何算，可以求出20个角块和30个边块的空间坐标，然后就可以计算12面魔方转动后小块坐标的变化。参照魔方的“离家”和“回家”，12面魔方也可以按步找到和三阶魔方的对接点。
5个公式复位法
& &魔方的复位方法很多，下面给大家介绍最简单的“5个公式复位法”。
& &首先，根据直觉能力，复位魔方的第一层―通过魔方“离家”和“回家”操作，可以轻松培养这种直觉能力。然后，根据“牛郎和织女的故事”复位魔方的第二层（可以参看《魔方和数学建模》视频公开课）。最后，根据5个公式，复位魔方的第三层。
& &本文给出操作序列的两种表达形式：①6个字母表示魔方的6个面，带“’”表示逆时针转动90°，否则为顺时针转动90°，带“2”表示转动180°；②此种表达基于笛卡儿坐标系，坐落方向的面用右手操作，转动方向满足右手规则，坐落于负方向的面用左手操作，转动方向满足左手规则。
& &魔方里所包含的数学知识，如同浩瀚海洋的沙滩海岸，浅的地方谁都可以来玩，包括幼儿园的小朋友，不需要什么装备；深的地方更好玩，但需要一些数学上的技能。群论是研究魔方的主要数学理论，同样，魔方也是学习群论的最好模型。近年来兴起的几何代数学，可以用来研究魔方问题，同样，通过玩魔方也可以学习几何代数学。
知识链接 盲拧的秘密
& &三阶魔方是变种魔方和高阶魔方的基础，三阶魔方的复位是魔方的经典内容。那些能快速复位魔方的人，除了勤学苦练之外，他们都具有非凡的记忆力。手法相同的情况下，记忆的公式越多，复位的速度就越快。特别是那些盲拧的人，没有非凡的记忆力是不可能将魔方复原的。
& &动手之前，他们要长时间观察魔方，其目的是为了让角块和边块“对号入座”，编码相关的操作序列。以角块为例，来说明蒙眼复位魔方的基本方法。若8个角块分别为ABCDEFGH，原始状态为A1B2C4E5F6G7H8占位，而现在的状态是A2B1C4D3E8F6G7H5，对比原始状态可知：A和B、C和D、E和H分别交换了位置。对于以上魔方，在操作之前要分别记住交换A和B、C和D、E和H所需要的操作公式，那么蒙眼后就可以把魔方复位。
& &李世春，获清华大学材料学博士学位，中国石油大学（华东）材料系退休教授，长期从事魔方研究，先后出版了《魔方及其应用》《魔方的科学和计算机表现》和《魔方里的科学和文化》等著作。
& &图片/本文来源：《知识就是力量》杂志一个数学 魔方 的问题
【请问魔方可以弄出多少种不同的组合】
魔方是一个正方体，每个面由9个小方块组成，同一面的每个小方块上都涂上同一种颜色，一共是6种颜色，转动这些小方块竟能组成 8!×37×12!×210 =43,252,003,274,489,856,000 ≈4×1019种不同的颜色组合图案！大约为4000亿亿种。
为了便于描述及记忆，我们定义一下魔方各个方块的名称：
角方块：8个顶角上的方块，每个方块只看到3面，有3种不同颜色；
棱方块：两个角方块之间的方块，整个魔方有12条棱故共有12个棱方块，每个方块只看到2个面，有2两种颜色；
中方块：每个面中央的方块，它只露出一面。
我们再分析一下上面的计算：
8!(8个角方块可能有8个位置) ×37(8个角方块各有3种不同的颜色朝向，注意不是38，因为决定了7个角方块方向后，第8个角方块的方向也就固定) ×12!(12个梭方块各有12个可能的位置，但11个梭方块也决定第12块的位置，故应为12!×1/2) ×210(12个梭方块各有2个不同颜色朝向，同样11个梭方块的方向也决定 了第12个梭方块的方向，故为211)。
魔方，全称鲁毕克魔方，由瑞士人鲁毕克在1979年间发明。 
魔方由26个立方块和一个三维的十字连接轴组成，它的物理结构非常巧妙，这26个立方块由连接轴连接构成一个大的立方体，在立方体的每个面上有9个小立方块，每个坐标轴方向上分为三层，每层都可以自由转动，通过层的转动改变小立方块在立方体上的位置。小立方块依据其所处的位置分为角立方块、边立方块、中心立方块：处在8个角上的为角立方块、处在12条边上中间的为边立方块、处在6个面中心的为中心立方块，在一个魔方中有8个角立方块、12个边立方块、6个中心立方块。角立方块有3个面可见、边立方块有2个面可见、中心立方块只有1个面可见，共有54个面可见，即立方体的每个面上各有9个可见的小立方块的面。我们称这些小立方块的面为方块（不是立方块），相应的有角方块、边方块、中心方块。转动层时，改变了小立方体的位置，也改变了方块的位置。 
将大立方体的各个面涂上颜色，同一个面的各个方块的颜色相同，面与面之间的颜色都不相同，这样，共有6种颜色，每种颜色的方块各有9个，这种最初的状态称为魔方的原始状态。 
转动魔方的各个层（以下称转动魔方或转动），改变了方块的位置，使得魔方的各个面上方块的颜色变得不相同了，即转乱了魔方。我们可以按照某种规则转动魔方，使其回复到原始状态，这就是所说的魔方的复原；还可以通过颜色的搭配，使魔方的面呈现出各个图案，如：L形、U形、工字形、口字形等等，这种特定的转动程序称为图案转动。 
转动魔方，可以使任意一个方块落到任意一个相应的位置（“相应”的含义是：角方块只能落到立方体的8个角、中心方块只能落到立方体的6个面的中心等），由这些方块不同颜色、不同位置的组合，魔方共有（12！*312）*（8！*28）*6！/6=3.153*1023种状不同状态，由此可见，要将一个转乱的魔方用随机转动的方法进行复原是不可行的。 
2. 预备知识 
1。面：魔方有6个面。用手将魔方水平握住，以自己为参照，把魔方的各个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面；前面是魔方正对自己的一面，后面是看不见的那一面。在以下的转动程序中把各个面相应的简记为：U、D、B、A、L、R； 
2。位置：握住魔方后，魔方的各种方块都有了其位置，我们用各面相交的形式来标定方块的位置，三个相交面确定一个角方块，两个相交面确定一个边方块，中心方块只用一个面就可以确定，用如：“上前左”表示处于上面和前面和左面相交的那个角方块，“后右”表示处于后面和右面相交的那个边方块，“下”表示处于下面的那个中心方块。在以下的转动程序中同样以简记方式来指示方块的位置，如：“DAR”表示下面和后面和右面相交的角方块等； 
3。转动方向：转动有顺时针、逆时针之分，以各个面为时钟面作参照，这样，各相对面（上与下、左与右、前与后）的相同的转动方向在实际转动时正好相反，由于各个面有4条边，转动时有90度、180度和270度三种情况，如顺时针90度、逆时针90度、逆时针180度等，显然，顺时针180度=逆时针180度、顺时针270度=逆时针90度等，所以，只用考虑三种转动情况：顺时针90度、逆时针90度、180度。在以下的转动程序中，把顺时针90度简记为“+”、逆时针90度简记为“-”，180度简记为“=”。因此，可以把“将魔方的上面顺时针转动90度”这个动作简记为“U+”，而“A=”表示“将魔方的后面转动180”，等等； 
4。定位：指方块的定位，是将一个方块转动到它应处的位置，要复原魔方，则每个方块都必须“归位”即回到应处的位置，如“上前左”角方块可能处在8个角中的任意一个角上，当它在其它7个角上就必须通过适当的转动使其回到“上前左”位置，这个过程就是定位； 
5。对色：魔方复原后，同一面方块的颜色都相同。以每个面的中心方块的颜色为参照，当某个已定位方块的颜色与中心方块的颜色相同时，称为对色。 
3. 复原魔方的四要素： 
要想“玩转”魔方，必须具有以下几点： 
1。大小适中且转动灵活的魔方 
2。灵巧的双手 
3。敏锐的观察力 
4。高效实用的转动程序 
4. 魔方复原的原理、复原方法的种类 
1。原理 
2。种类 
5. 本魔方复原方法的特点： 
6. 复原初步 
7. 从第一个角方块开始 
8. 上面角方块的定位与对色 
9. 下面的四个角方块 
10. 上面的四个中心方块 
11. 下面的四个中心方块 
12. 中层的四个中心方块 
13. 请欣赏已复原的魔方 
14. 65种魔方图案的转动程序 
1。L 
2。双L 
3。U 
4。H 
5。口 
参考资料：
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