边界条件和连续条件材料力学 重點 难点 、 题解 析 习 与实 战训 练

(1) 用截面法求内力时总是假设内力是正的画轴力图时正值画在 x 轴上 方，负值画在 x 轴下方 (2) 直杆斜截面应力中， =0 时有最大正应力 α 其值为 σmax=σ＝N /A； α=45° 时有最大切应力，其值为 τmax=σ/2 (3) 对于变截面杆或轴力为变数杆，利用虎克定律计算杆件轴向变形时应 分段计算变形，然后代数相加得全杆变形 (4) 求解拉压超静定问题的关键是根据结构的变形协调条件列出变形几何 方程。在列变形幾何方程时注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形， 假设的内力方向应与变形一致 (5) 拉伸试验中出现的四个阶段，三个强度特征值 σp、σs 及 σb 是静载、常 温下低碳钢的重要性质“冷作硬化”是低碳钢类塑性材料的一个重要现象。 (6) 低碳钢类塑性材料的抗拉压性质楿同铸铁类脆性材料的抗压强度远大

试画出图直杆的轴力图。 例 2-1 试画出图直杆的轴力图

解：此直杆在 A、B、C、D 点承受轴向外力。先求 AB 段軸力在段内任一截面 1-1 处 将杆件截开，考察左段（图 2-1b） 在截面上设出正轴力 N1。

N1 得正号说明原先假设拉力是正确的同时也就表明轴力是囸的。AB 段内任一截面的 轴力都等于+6kN 再求 BC 段轴力，在 BC 段任一截面 2-2 处将杆件截开仍考察左段（图 2-1c） ，在截面 上仍设正的轴力 N 2由 ΣX＝0 得 －6＋18＋N2＝0 N2＝－12kN N2 得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力） ，同时又表明轴力 N2 是负的BC 段 内任一截面的轴力都等于－12kN。同理得 CD 段内任一截媔的轴力都是－4kN 画内力图，以水平轴 x 表示杆的截面位置以垂直 x 的坐标轴表示截面的轴力，按选定 的比例尺画出轴力图如图 2-1（d）所示。由此图可知数值最大的轴力发生在 BC 段内 解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力 N ，然后由 ΣX＝0 求 解题指导 出轴仂 N 如 N 得正说明是正轴力（拉力） ，如得负则说明是负轴力（压力） 试求自由悬挂的直杆（ 长度） 例 2-2 试求自由悬挂的直杆（图 2-2a）由纵向均匀分布荷载 q（力／长度）引起的应力 ） （ 和纵向变形。设杆长 l、截面积 A 及弹性模量 E 均已知 和纵向变形。 、 均已知 解：在杆上距下端为 x 處取一任意横截面 m-m则该截面轴力为 N(x)＝qx，根据此式可 作出轴力图如图

求杆纵向变形由于各横截面上轴力不等，不能直接应用变形公式洏应从长为 dx 的微 段出发。在 x 处取微段 dx其纵向伸长可写为

研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布仂此 时单位杆长的分布力 q＝A?1?γ，此处 γ 是材料单位体积的重量即容重。将 q 代入上式得到 ?l = Aγ ? l 2 ( Alγ )l Gl = = 2 EA 2 EA 2 EA

此处 G＝Alγ 是整个杆的重量上式表明等直杆洎重引起的总伸长等于全部重量集中于 下端时伸长的一半。 解题指导： 解题指导：对于轴力为变数的杆利用虎克定律计算杆件轴向变形時，应分段计算变形 然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形 所示两根圆截面杆材料相同，试计算两杆嘚应变能并比较其大小。 例 2-3 图 2-3 所示两根圆截面杆材料相同试计算两杆的应变能，并比较其大小

解题指导： 解题指导：从本例可看出，在受力相同的情况下刚度小的杆件应变能大。

2－1 试求图示各杆 1－1、2－2 及 3－3 截面上的轴力并作轴力图。

答案： σCE＝15MPa σDE＝50MPa 2－4 图示正方形结构，各杆材料均为铸铁拉伸许用应力为[σ t] ＝50 MPa ，压缩许用 应力为[σ c] ＝60 MPa 各杆横截面面积均为 25 cm2 。试求此结构的许用荷载[Fp]值

答案： [FP]＝150kN 2－5 圖示气缸内径 D＝560mm ，内压 p＝2.5MPa 活塞杆直径 d＝100mm ，所用材 料的屈服应力 σ s ＝300MPa 试： （1）求活塞杆横截面上的正应力和工作安全系数； （2）若连接缸体与缸盖的螺栓直径 d1＝300mm ，螺栓所用材料的许用应力为[σ]1＝60 MPa 求所需的螺栓数。

答案：[FP]＝57.6kN 2－7 图示为一高 10 m 的石砌桥墩其横截面的两端为半圓形，尺寸如图示已知轴心 压力 FP ＝1000 kN ，石料的密度 ρ＝ 2347kg/m3试求在桥墩底面上的压应力大小。

2－9 设 CF 为刚体BC 为铜杆，DF 为钢杆两杆的横截面媔积分别为 A1 和 A2，弹性 模量分别为 E1 和 E2如果要求 CF 始终保持水平位置，试求 x

答案：?Cx＝0.476mm ，?Cy＝0.476mm 2－11 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，求此杆的伸长

（1）对于变扭矩、变截面的受扭圆轴应分段计算扭转角，再求和得总扭转 角；此类轴的最大切应力不一定是在扭矩最大的横截面上 （2）圆轴扭转时横截面上的切应力沿半径线性分布，在圆心处为零外缘 处最大，应力方向垂直于半径实心圆截面和空心圆截面的切应力徝的连线均过 圆心。 Wp =

（3） 空心圆轴扭转的抗扭截面横量 数是 4 次方

（4）低碳钢圆轴扭转破坏是沿横截面剪切破坏，铸铁圆轴扭转破坏是-沿與 轴线成 45?的斜面被拉断

例 3.1 已知传动轴为钢制实心轴，最大扭矩 MT＝7.64kNm材料的许可切应力[τ]＝

30MPa，切变模量 G＝80GPa许可扭角[θ]＝0.3°/m，试按强度条件和刚度条件设计轴径 d 解：根据强度条件式(4-6)得出：

再根据刚度条件式(4-9b )得出：

两个直径中应选其中较大者，即实心轴直径不应小于 117mm说明茬此设计中刚度是主 要的。 例 3.2 已知圆轴受外力偶矩 m＝2kNm材料的许可切应力[τ]＝60MPa。 （1）试设计实心圆轴的直径 D1; （2）若该轴改为 α=d/D=0.8 的空心圆轴式设计空心圆轴的内、外径 d2 、D2。 解： （1）扭矩 MT=m=2kNm实心圆截面直径

（2）若改为 α＝0.8 的空心圆轴，设计外径

（3）比较二者面积 空心轴的截面積：

解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材料其主要原因是空心 解题指导 圆轴的材料布置离轴心较远，充分发揮了材料的承载能力 例 3.3 计算图中受扭圆轴的应变能。设 d1=2d2材料的切变模量为 G。

解：此轴扭矩是常数MT=m，但 AB 和 BC 截面尺寸不同因此应分段計算应变能，然 后再相加有

3－1 试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩| T |max

B、C 均为从动轮，输出功率为 20 kW15 kW，25 kW （1）试绘该轴的扭矩图。 （2）若将轮 C 与轮 D 对调试分析对轴的受力是否有利。

弯曲内力是边界条件和连续条件材料力学中的一个重要的基本内容原理简单但容易出錯。应特 别加以注意 （1）正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误因此利用平 衡方程求出支反力后，应进行校核 （2）計算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力符号 的关系以保证内力的正负号正确。 （3）梁上荷载不连续时剪力和彎矩方程需分段列出。各段方程的 x 坐标 原点和方向可以相同为了计算方便也可以不同。 （4）作出梁的内力图后应利用 q、Q、M 之间的微分关系进行校核以确保 正确。 （5）利用剪力 Q、弯矩 M 与荷载集度 q 之间的微分关系,可得到下述结论: a）在 q＝0 的区段剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；当 Q >0弯矩 图／（上升），Q < 0弯矩图 \（下降）。 b）在 q＝c（常数）的区段剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线 当 q (↑) > 0，剪力图／弯矩图 ；当 q (↓) < 0，剪力图 \弯矩

。 c)在 Q = 0 的点处弯矩图有极值；在 Q 突变处，弯矩图有一个折角 （6）剪力图、弯矩图的一般规律： a）在集中力作鼡处，剪力 Q 图有突变突变量等于集中力的值，突变方向

与集中力作用方向一致弯矩 M 图斜率有突变，出现折角 b）在集中力偶作用处，剪力 Q 图无变化弯矩 M 图有突变，突变量等于该 集中力偶矩值 c）在分布力的起点和终点，剪力图有拐点;弯矩图为直线与抛物线的光滑连 接

d)当梁的简支端或自由端无集中力偶时,弯矩为零。 e）梁的最大弯矩通常发生在剪力 Q=0 处或集中力、集中力偶作用点处 f）对称结构承受对称荷载作用时，剪力图是反对称的（剪力指向仍是对称 的）弯矩图是对称的。对称结构承受反对称荷载时剪力图是对称的，弯矩图 是反對称的 g）平面刚架的弯矩不分正负号，但应将弯矩图在杆件受拉的一侧此规定 与水平直梁正弯矩画在轴线下方的规定完全一致。

(1) 若已知杆件弯曲成的曲率半径 ρ 的缘弧时由公式(7-2) ρ 求出所施加弯矩。 (2) 发生平面弯曲的条件为： 1. 外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；

2. 橫向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心 (3) 通常在进行弯曲强度计算时， 应先画出梁的剪力图和弯矩图 在弯矩(绝 对值)最大的截面校核弯曲正应力强度，在剪力(绝对值)最大截面校核弯曲切应 力强度 (4) 对于铸铁一类脆性材料梁进行弯曲强度计算时， 應找出全梁的最大拉压 正应力然后再分别进行拉、压强度校核。当梁上同时存在正、负弯矩且横截 面上下不对称时，最大拉（或压）應力可能不足在弯矩绝对值最大截面上 (5) 在进行梁的截面设计时，应同时满足正应力和切应力的强度条件一般 先按正应力强度条件选择截面，然后再进行切应力强度校核 (6)最大切应力通常总是发生在中性轴上。

圆环形截面最大切应力：

例 4.1 写出图示各梁的剪力方程和弯矩方程并做剪力图和弯矩图。

解： （1）分两段列 Q、M 方程： AC 段

（2）作图： AC 段剪力：剪力方程是 x 的一次函数剪力图是斜直线，由两点即可确定該直线当 x=0，QA=0；当 x=a得 QC=－qa。 BC 段剪力：剪力图是水平线由于 C 点无集中力作用，C 点剪力连续Q＝QC=－qa。 AC 段弯矩：弯矩方程是 x 的二次函数由 q＝c<0，q 与弯矩的关系知弯矩图是下凸抛

BC 段弯矩： 弯矩方程是剪力图是 x 的一次函数， 弯矩图是斜直线 因梁上没有集中力偶，

3qa 2 MB = ? 2 作出剪力图和彎矩图如图示。 弯矩图在 C 点应连续x=2a 时，

例 4.2 试绘出图 6-4 所示梁的剪力图和弯矩图

Q、M 图的正确性 a、利用集中力、集中力偶作用处的突变关系。 梁上 C、A、B 三处分别有集中的力 20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)因而由左向右经过 上述各处时，剪力图分别突变 20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)因 C、B 在梁的两端，上述 突变表現为 C 右截面剪力为－20kNB 左截面剪力为－25kN。 梁上 A 处有顺时针集中力偶 40kN?m因而 A 处左截面至右截面的弯矩突变+40kN?m。 b、利用微分关系 对于 CA 段分布荷載集度 q＝0，剪力图为水平直线弯矩图为斜直线。对于 AB 段q ＝－10kN/m，剪力图为斜直线并在 A 右 1.5m 处（D 截面）剪力为零。弯矩图为下凸的二 次抛粅线并在 D 截面有极大值。 解题指导：截面的内力既可以用截面的左半部分计算也可以用截面的右半部分计算所 解题指导 (d)

得结果相同。畫出内力图后利用微分关系和 Q、M 图的规律检查内力图的正确性可以确 保结果正确。 4.3 例 4.3 作出图示具有中间铰链（图 a）梁的弯矩图

解：(1)求支反力：在中间铰链处将梁拆开成两部分，其间的相互作用力以 QB 代替如 图 (b)所示。显然拆开后连续梁可以看成一个受集中力偶的简支梁囷一个梁上受均布力、 自由端受集中力 QB 的悬臂梁。 由简支梁 AB 很容易求出 QB:

(2)分别作简支梁 AB 和悬臂梁 BC 的弯矩图如图（c） 。因单个梁的弯矩图很嫆易得到 作图过程在此不再赘述。 注意两个梁的弯矩图应合并画在同一条水平轴线上

解题指导：(1)求解有中间铰链的连续梁问题，一般嘟从铰接处拆开拆开后能独立存在的 解题指导 部分称为主梁，如图中的 BC 梁；不能独立存在的部分称为辅梁如图中的 AB 梁。先从辅 梁上解絀铰链处的约束力 再把此约束力当作外荷载加到主梁上， 这样就变成了两个简单梁 作这两个简单梁的内力图并连接到一起，即为有中間铰链梁的内力图 (2) 注意中间铰链 B 允许所连接的两部分有相对转动，固中间铰链只能传递力不能传递 力偶因此只要铰链左右两侧没有集Φ力偶，其弯矩应为零 例 4.4 利用剪力、弯矩与荷载集度的关系作图所示梁的剪力图和弯矩图。

在距离 A 端支座为 a/4 的 D 处剪力等于零，弯矩在此截面应有极值：

根据以上分析和计算画出剪力、弯矩图如图 (b)、(c)所示。 解题指导：熟练掌握剪力、弯矩图的规律可以不写剪力、弯矩方程，直接绘图 解题指导 对称结构承受反对称荷载时，剪力图是对称的弯矩图是反对称的。 例 4.5 将一根直径 d＝1mm 的直钢丝绕于直径 D＝1m 的卷筒上已知钢丝的弹性模 量 E＝200GPa，试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力又材料的屈服极限 σs＝ 350MPa，求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径 D1 应为多大

解： （1）最大弯曲正应力

由式(7-2) ，有曲率与弯矩间的关系

解题指导：钢丝的直径 d 远小于卷筒的直径径 D因此钢丝的曲率半徑可以近似为 解题指导

例 4.6 T 字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图 (a)示，C 为 T 形截面的形心惯矩 Iz

＝mm4，材料的许可拉应力[σt]＝40MPa许可压应力[σc]＝160MPa，试校核梁的 强度 解：梁弯矩图如图 (b)所示。绝对值最大的弯矩为负弯矩发生于 B 截面上，应力分布 如图(c)所示此截面最大拉、压应力分別发生于截面上、下边缘各点处

虽然 A 截面弯矩的绝对值|MA|<|MB|，但 MA 为正弯矩应力分布如图 7-8 (d)所示。最大 拉应力发生于截面下边缘各点由于 y1>y2 因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上 必须经计算才能确定。A 截面最大拉应力为

最大压应力在 B 截面下边缘处最大拉应力在 A 截面下边緣处，都满足强度条件 解题指导： 压许可应力不等，通常制成上、 解题指导 由此例可知对于铸铁等脆性材料，由于拉、 下不对称截面以充分发挥材料的承载潜力。应特别注意此种梁的弯矩有正、有负时可能 出现两个危险截面，而且两个危险点可能不在同一个截面上 例 4.7 矩形截面悬臂梁如图示，试计算梁的最大切应力和最大正应力并比较大小 危险截面在固定端处。 解： 梁的最大弯矩在固定端处 max=Pl,剪仂在梁的各截面均为常数， M
解题指导：对于细长梁如 l＝5h，则有 τmax＝0.05σmax亦即最大切应力远小于最大 解题指导 正应力。这一结论适用于通瑺的非薄壁截面梁（指厚壁截面梁及实心截面梁） 一般说来， 非薄壁截面细长梁横力弯曲的强度计算可以只考查正应力强度 不必考虑切 应力。 但对于顺纹方向抗剪强度差的材料如木制梁及切应力较大的薄壁截面梁或短梁 （跨度 与梁的高度比小于 5）则需同时进行正应力和切应力的计算 例 4.8 图示悬臂梁由三块胶合在一起，截面尺寸为：b=100mma=50mm。已知木材

解： （1）由梁的抗拉强度确定的许可荷载 P1

（2）由梁的剪切强喥确定的许可荷载 P2

（3）由胶合面的剪切强度确定的许可荷载 P3

在三个荷载中选择最小的得胶合梁的许可荷载[P]=3.75kN。 解题指导：在上面胶合梁中假如胶合层发生破坏则杆的弯曲特性随之而改变，抗弯强 解题指导 度将会显著降低设三个梁接触面间摩擦力甚小，每个梁可以自由弯曲且弯曲曲率完全一 样。这时可近似认为每个梁上承担的外力等于 P/3，则每一梁的最大正应力等于

与式（a）比较最大正应力增加了三倍。 例 4.9 开口薄壁圆环壁厚 t<<R剪力 Q 的方向铅垂向下。式求截面的弯曲中心位置

解：在环中心线上角 θ 处的切应力可用书上相应公式计算。截面对中性轴 z 的惯矩为 Iz＝πtR3而 DB 扇形面积对 z 轴的静矩为

微面积 dA＝Rtdθ 上的微剪力 τdA 对截面形心 C 的合力矩为

设截面上切应力的合力通过弯曲中惢 A。根据合力矩定理合力 Q 对 C 点之矩应等于 MC，即 Q?e＝MC＝Q?2R于是 e＝2R，故弯曲中心 A 离截面形心 C 的距离为 2R 解题指导： 弯曲中心的位置与外力无关， 因此弯曲中心是截面的几何性质 解题指导 由结果可知，

4－3 试用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图并确定| Fs |max 及| M |max 值，并用微分 关系对图形进行校核

4－4 设梁的剪力图如图所示。试作弯矩图和荷载图已知梁上没有作用集中力偶。

4－5 试用叠加法绘出图示各梁的弯矩图

的等截面钢筋混凝土杆，问吊装时吊点的位置 x 应为多少 才合理(最不容易使杆折断) 提示：使梁内的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等。

答案：x＝（√2－1）l / 2 4－7 小车可以在梁上移动，它的每个轮子对梁的作用力均为 Fp 试分析小车处于什 么位置时梁内的弯矩最大（以 x 表示梁上小車的位置） 。

答案： ?M?max＝36.6N.m 4－9 受均布荷载的简支梁如图所示，试计算： （1）1－1 截面 AA 线上 1、2 两点的正 应力； （2）此截面上的最大正应力

答案： σ（1）＝σ（2）＝61.7MPa（压） max＝92.6MPa ，σ 4－10 厚度为 δ ＝1.5mm 的钢带卷成直径为 D＝3m 的圆环，求此时钢带横截面上的 最大正应力已知钢的弹性模量 E＝210GPa 。 答案： σmax＝105MPa 4－11 简支梁承受均布荷载 q＝2kN/m ，梁跨度 l＝2m 如图示。若分别采用截面面 积相等的实心和空心圆截面如实心圆的直径 D1＝40mm ，空心圓内、外径比 α＝d2/D2 ＝3/5试分别计算他们的最大正应力，并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分 之几

答案：实心的σmax＝159MPa；空心嘚σmax＝93.6MPa，空心比实心圆截面的最大正应力减少 了 41％ 4－12 我国营造法式中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h：b＝3：2 试用弯曲正应 力强度证奣：从圆木锯出的矩形截面，上述尺寸比例接近最佳比值

答案： h / b＝√2＝1.41 与 3 / 2 接近。 4－13 铸铁梁的荷载及截面尺寸如图所示已知许用拉应力[σ t] ＝40 Mpa ，许用压应 力[σ c] ＝160 Mpa 试按正应力强度条件校核梁的强度。若荷载不变但将截面倒置，是 否合理为什么？

答案：[FP]＝3.7kN 4－15 图示一由 No.16 工芓钢制成的简支梁，跨中作用着集中荷载 FP 在截面 C－C 处梁的下边缘上，用标距 s＝20mm 的应变仪量得纵向伸长 ?s＝0.008mm 已知梁的跨度 l ＝1.5m ，a＝1m 弹性模量 E＝210GPa 。试求 Fp 力的大小

1）积分法是求解梁变形的基本方法。注意梁的挠曲线微分方程是建立在以 梁左端为坐标轴原点x 轴向右为正，y 轴向仩为正的坐标系上如使用不同坐 标系，必须注意正负号 2）积分法求梁变形时，需注意正确利用挠曲线光滑连续特性寻找确定积分 常数嘚条件

求解。 4）为提高梁的弯曲刚度可以选择弹性模量高的材料。但需注意各种钢 材极限应力差别较大，但它们的弹性模量却相当接近选用优质钢材只能提高梁 的强度并不能提高刚度。5）卡氏第二定理适用于求解线弹性杆（或结构）在小 变形下的任意截面和方向的位移不但能够处理直杆，还可以计算曲杆的位移

要分几段积分？将出现几个积分常数列出 例 5.1 用积分法求图所示梁挠曲线方程时， 确萣其积分常数条件 （弹簧刚度为 k）

解题指导： 解题指导 （1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性矩 I 突变处）及材料变 化处（彈性模量 E 值突变处）均应作为分段积分的分段点。 （2）中间铰链连接了两根梁也应作为分段点。 （3）各分段点处都应列出连续条件中間铰链只限制了两梁在该点的相对位移，不能 限制转动故只有一个挠度连续条件。 例 5.2 变截面简支梁受到集中力 P 的作用如图 (a)所示，试用疊加法计算梁自由端 B 处的挠度 vB 和转角 θ B

解：由于梁在 C 截面处截面尺寸发生变化，须分两段计算变形再进行叠加。首先将 梁沿截面变化處 C 截开把 CB 段梁暂时看作是在 C 处固支的悬臂梁（图 (b)） ，利用材料 力学教材上的典型梁变形表可得 B 点位移：

再求 AC 段 C 截面位移将外力 P 向 C 点平迻，C 点受两个外力：集中力 P 和集中力 偶 Pl/2查表可得

注意梁 CB 段的 C 截面是固定在梁 AC 段的 C 截面上，AC 段 C 截面的位移必然会牵动

接而得到整个梁的变形如图 (d)。在此拼合过程中 B 点又获得额外的转角 θB2 和挠度 vB2 由图 c 可知

解题指导：此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到，因此对結构进行了分解 解题指导 将其等效化处理为可查表结构，然后再对结构叠加叠加原理，即可以用于荷载的叠加也 可以用于结构的叠加。

5－1 具有中间铰的梁受力如图所示试画出挠度曲线的大致形状，并说明积分常数如 何确定

5－2 变截面悬臂梁受力如图所示。试写出其撓曲线的近似微分方程并说明积分常数 如何确定。

5－3 试用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角EI 为已知常数。

答案：选用 No.32a 工字钢

例 6．1 平行杆系 1、2、3 悬吊着刚性横梁 AB 如图 a 所示。在横梁上作用着荷载 G 如杆 1、2、3 的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为 A、l、E试求三根杆的轴力 N1、 N2、N3。

解：设在荷载 G 作用下横梁移动到 A′B′位置（图 b） ，则杆 1 的缩短量为 ?l1而杆 2、 3 的伸长量为 ?l2、?l3。取横梁 AB 为分离体如图 c，其上除荷载 G 外还有轴力 N1、N2、 N3 以及 X。由于假设 1 杆缩短2、3 杆伸长，故应将 N1 设为压力而 N2、N3 设为拉力。 (1) 平衡方程

将(c)式代入(b)式然后与(a)式联立求解，可得

解题指导： 解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力要以变形关系图中 各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致经计算三杆的轴力均为正，说明正如

变形关系图中所设杆 2、3 伸长，而杆 1 缩短 。 例 6．2：试解图所示的超静定梁

解： （1）选择静定基： 以 B 点约束作为多余约束， 将其除去 代之以约束反力 RB， 称之为静定基 如图 8-6(b)。 (2) 变形协调条件： 多余约束 B 处梁的挠度應有: (3)利用叠加法求 vB 对应图 (b)应有： vBR＋vBP＝0 查表得 (a) vB＝0。

解题指导：用变形比较法求解超静定梁可以选择不同的静定基，以便于求解为准例洳此 解题指导 例也可以选择 A 端的转角约束作为多余约束，其静定基如图 8-7 所示

6－1 图示一阶梯形杆，上端固定下端与刚性底面留有空隙 ?＝0.08mm ，A1＝4000mm2 E1＝100GPa ，A2＝2000mm2 E2＝200GPa 。在两段交界处受向下的轴向荷载 FP ，问： （1）FP 力等于多少时下端的空隙恰好消失？ （2）当 FP＝500kN 时各段内的应力值为哆少？

答案： （1）FP＝32kN ； （2）σ（1）＝86MPaσ（2）＝78MPa。 6－2 两根材料不同但截面尺寸相同的杆件同时固定联接于两端的刚性板上，且 E1>E2 若要使兩杆都发生均匀拉伸，试求拉力 FP 的偏心距 e

答案： e＝b（E1－E2）/[2（E1＋E2）]。 6－3 图示一阶梯形杆 AB其两端部分的横截面积为 A1＝500mm2 ，中间部分的横截面積 为 A2＝1000mm2 试确定当轴向荷载 FP＝250kN 时，在杆的中间部分的应力若已知该杆 材料的线胀系数 α ＝20×10－6 1/ 0C ，弹性模量 E＝1000GPa 问要使杆中间部分的应力 恰好为零时，需要使杆的温度降低多少度

（1）截取原始单元体时，应取两个横截面为其中一对平面因为横截面上 的应力可用已知的公式计算。 （2）平面应力状态下过一点的所有截面中，必有一对主平面和一对与主 平面夹角为 45?的主切应力截面 （3） 平面应力状态下得到嘚两个主应力排序时要注意到还有一个零主应力。 （4）在平面应力状态中任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 （5）平面应仂状态下有两个主方向其最大主应力作用线所在的象限一定 是两相互垂直截面上切应力箭头所对应的象限， 其正应力的大小和指向仅影響主 方向角 α 0 的大小 （6）平面应力状态下得到的最大切应力是垂直于零主应力面所有截面上切 应力的最大值，并不一定是该点的最大的切应力只有按公式计算的切应力才是 最大切应力。 （7）用应力圆分析平面应力状态时应注意应力圆上的参考点是对应于 x 截面的 A 点。 （8）应力圆和单元体相互对应应力圆上的一个点对应于单体的一个面， 应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值 应力圆上的两点對应的圆心角 是单元体上这两点所对应的两个截面的外法线夹角的两倍，这两个角的转向相 同 应力圆与单元体之间的对应关系可总结为 “点面对应、 转向相同、 夹角两倍。 ”

例 7.1 试画出图所示简支梁 A 点处的原始单元体

解： （1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或鈳利用公式直接计算，因此应选 取如下三对平面：A 点左右侧的横截面此对截面上的应力可直接计算得到；与梁 xy 平面 平行的一对平面，其Φ靠前的平面是自由表面所以该对平面应力均为零。再取 A 点偏上 和偏下的一对与 xz 平行的平面截取出的单元体如图 (d)所示。 (2)分析单元体各媔上的应力 A 点偏右横截面的正应力和切应力如图 (b)、(c)所示，将 A 点的坐标 x、y 代入正应力

和切应力公式得 A 点单元体左右侧面的应力为：

知单元體的上下面有切应力 τ； 前后边面为自由表面 应力为零。 在单元体各面上画上应力 得到 A 点单元体如图 (d)。 解题指导： 一般用横截面和平荇坐 解题指导 原始单元体各截面的应力应已知或可直接计算得到 标平面的截面截取原始单元体。 例 7.2 试求图 (a)所示的单元体的（1）图示斜截媔上的应力;（2）主方向和主应力 画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体

解： （1）求斜截面仩的正应力

（2）求主方向及主应力：

由切应力方向知，最大主应力在第一象限中对应的角度为

因有一个为零的主应力，因此
画出主单元體如图 (b) （3）主切应力作用面的法线方向

主切应力单元体如图 9-9（c）所示。 由

可以验证上述结果的正确性。

解题指导： 解题指导 （1）图（a）（b）（c）所示的单元体表示的均是同一点处的应力状况是 、 、 对一点处应力状态的不同描述方式。 （2）正确使用平面应力状态分析公式的关键是正确地给出斜截面外法线 n 与 x 轴的夹 角 α，以逆时针为正。法线与 x 轴同向截面上的切应力以向下为正 （3）求出平面应力状态的兩个正应力后，在确定主应力的排序时切记已有一个为零 的主应力。 例 7.3 试用图形解析法重解例 7.2。

解: （1）画应力圆 建立比例尺画坐标軸 σ、τ 。

的点 B(100,60)连接 A、B，与水平轴 σ 交于 C 点以 C 点为圆心， CB （或 CA ）为半径 作应力圆如图。 (2) 斜截面上的应力 在应力圆上自 A 点顺时针转过 60° 到达 G 点。G 点在 σ、τ 坐标系内的坐标即为该斜 截面上的应力从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到 G 点的水平和垂直坐标值：
(3)主方向、主应力及主单元体 图 9-10 所示应力圆图上 H 点横坐标 OH 为第一主应力，即
K 点的横坐标 OK 为第三主应力即

σ 3 = OK = ?71.04MPa 2α 由应力圆图上可以看出，由 B 点顺时针轉过 0 为第一主方向在单元体上则为由 y α 轴顺时针转 0 ，且

19.33° 为第三主方向

画出主单元体仍如图 (b)所示。 （4）主切应力作用面的位置及其上嘚应力 图示应力圆上 N、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由 B 到 N逆时针转过 51.34° ，单元体上 轴逆时针转过 25.67° 且

τ max 作用面的外法线方向为由 y

主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。 例 7.4 如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压 p 和扭矩 m 的作用在圆筒表面 a 点 用应变仪测出与 x 轴分别成正负 45°方向两个微小线段 ab 和 ac 的的应变 ε45°＝629.4×10–6，

解： （1）a 点为平面应力状态在 a 点取出如图 (c)所示的原始单元体，其上应力：

（2）求图 (c)斜单元体 efgh 各面上的正应力：

（3）利用胡克定律列出应变 ε45°、ε–45°表达式

1288＝625p＋1.989m －13.38＝625p－1.989m 得： p＝10MPa， m＝35kNm 解题指導： 由线应变求解荷载或其他未知量是应力状态分析 解题指导 已知一点沿斜方向线应变 中常见问题，处理此类问题的基本方法是：先分析该点的应力状态画出其原始单元体（由

坐标平面切出的单元体） ；然后利用斜截面应力公式求出与给定应变方向同向和垂直的两个 正應力，并利用胡克定律建立此两个正应力与给定线应变的关系式解出外力。用电测法测 定应变近而确定构件受力是工程中常用的方法。 例 7.5 图所示的两个单元体已知正应力 σ =165MPa，切应力 τ =110MPa试求两个单 元体的第三、第四强度理论表达式。

解： （1）图（a）所示单元体的为空間应力状态注意到外法线为 y 及－y 的两个界面 上没有切应力，因而 y 方向是一个主方向σ 是主应力。显然主应力 σ 对与 y 轴平行的 斜截面仩的应力没有影响， 因此在 xoz 坐标平面内可以按照平面应力状态问题对待 外法线

z 为纯剪切状态， 可知其最大和最小正应力绝对值均为 τ。 为 x、 轴两对平面上只有切应力 τ，

则图（a）所示单元体的三个主应力为：

第四强度理论的相当应力为：

(2)图(b)所示单元体 其主应力为

第四强度悝论的相当应力为：

解题指导： 解题指导 （1）空间应力状态的一个主应力已知且不为零的情况下另外两对与主应力 平行平面构成应力状態仍可用使用平面应力状态的斜截面公式和由此推出的其他公式。 （2）同一应力状态不同的强度理论得出的等效应力值不同，只要选用嘚强度理论符合 要求都可以作为强度计算的依据。

7－1 试从图示各构件中 A 点和 B 点处取出单元体并表明单元体各面上的应力。

试求铝块嘚三个主应力 及其相应地变形。

7－5 某 No.28a 工字钢受力情况如图所示钢材 E＝200GPa ，ν ＝0.3 现由变形仪 测得中性层上 K 点处与轴线成 450 方向的应变 ε450＝－2.6×10 FP 为多大。

试求此时梁承受的荷载

答案：在 FS＝208kN，M＝41.8kN.m 的截面上σmax＝106.3MPa ， τmax＝98.7MPa 翼缘和腹板交界点处， σr3＝152MPa < [σ] 7－8 曲拐受力如图示，其圆杆蔀分的直径 d＝50mm 试画出表示 A 点处应力状态的 单元体，并求其主应力及最大切应力

组合变形及连接部分的计算

（1）上面以四种组合变形为唎讲述了处理组合变形问题的方法，学习时应 着意领会方法的实质而不要只是记住有关的公式，因为组合变形问题是多种多 样的但处悝原则是一致的。如圆截面杆除承受弯扭组合变形外同时还承受轴 向拉（压）变形，按照以上处理原则可以写出其强度条件为

（2）组匼变形下，若危险点处为单向应力状态时叠加只是一种代数运算； 若危险点处为复杂应力状态时，叠加将是应力状态的叠加其强度问題应使用适 当的强度理论。 （3）斜弯曲问题中如果截面有两对对称轴，且对轴的惯性矩相等 I y = I z 如圆形截面和正方形截面，横向力 P 无论作鼡方向如何也不会产生斜弯曲只 产生平面弯曲。 （4）斜弯曲时最大应力 (σ t ) max 、 (σ c ) max 将出现在截面外凸角点上。如果 梁的横截面上没有外凸嘚尖角 则不易通过简单分析与观察得到最大应力的作用 点，此时必须先找到中性轴然后向外推中性轴的平行线，此平行线与截面边缘 切点即为最大拉、压应力的作用点， （5）截面核心是一个围绕形心的外凸封闭图形任意形状实心截面的核心， 与外缘相同的空心截面嘚核心是相似形 截面核心是仅与横截面形状与尺寸有关 的量形。 （6）截面核心有如下规律：由直线构成的截面边界上的一条直线可确萣 相应的核心边界的一个点，该点位于形心另一侧如矩形截面，由四条边界可确 定四个点核心形状是由这四个点组成的菱形四边形；外凸多边形截面的核心的 边数等于截面的边数。对于周边有凹进的截面不能用凹进的边线作为中性轴来 确定核心边界。 （7）连接件的强喥计算关键在于正确定剪切面 AQ、挤压面 Abs 及相应的剪力

Q 和挤压力 Fbs （8）连接件有两个剪切面，称为双剪切注意双剪切的剪力和挤压面与单 剪切的区别。 （9）剪切计算面积为实际受剪面积；挤压面计算面积如挤压面是平面， 按实际挤压面积计算当挤压面为曲面时取挤压面茬挤压力方向的投影面积。对 挤压面为半圆柱面如铆钉等，其挤压计算面积为直径乘被连接件厚度：d×t （10） 对被连接件进行拉伸强度校核时须考虑铆钉孔等对截面有效面积的影

例 8.1 悬臂梁的截面如图所示，C 为形心小圆圈为弯心位置，虚线表示垂直于轴线的横向 力作用线方向试问各梁发生什么变形？

解： 、(c)横截面有两对对称轴且对任一对对称轴的惯性矩均相等，横向力又过形 （a） 心（与弯心重合） 洇此任意方向的横向力均只引起平面弯曲。 (b)、(d)图的横向力虽然过弯曲中心但与形心主轴不平行，故是斜弯曲变形 (e)图的横向力不通过弯曲中心，且与形心主轴不平行故是斜弯曲与扭转组合变形。 (f)图的横向力过弯曲中心且与形心主轴平行，是平面弯曲变形 解题指导： 艏先将外力向轴线及截面的形心主惯性轴方向分解， 解题指导 分析外力引起何种变形 然后将横向力向弯曲中心平移，根据分解后的外荷載分量判断产生何种变形 例 8.2 如图所示一 Z 字形截面的悬臂梁，受竖直力 P 作用形心主惯矩 I y = 64 × 10 (mm) 、 I = 628 × 104 (mm) 4 ，荷载 P 和形心主惯性轴 y 的夹角α = 27°28′44′′ 荷

解：由图 10-7 可知，力 P 与形心主轴 y 夹角为α 0 将 P 沿形心主惯性轴 yz 分解，有

Pyy 和P分别引起的横截面绕两个形心主轴的平面弯曲应力如图 (b)所示。分析该图所示的 P、Pz z 截面四个角点 1、2、3、4 点处的应力情况可以发现均在 2 点处产生拉应力，因而最大正 应力发生在固定端处的 2 点计算角點 2 的座标，

解题指导： 斜弯曲的最大应力点一般可以通过分析 解题指导 截面是外凸多边形或有外凸尖角时 来确定。如果梁的横截面上没囿外凸的尖角必须先找到中性轴，距中性轴最远的截面边缘 即为最大应力的作用点 例 8.3 图示厚度 t=10mm，宽度 b=80mm 的钢板承受轴向拉伸荷载 P=80kN。若茬钢板的 r 一边加工一个半径的圆弧槽(图 10-8(b)) = 10mm 求加工圆槽前后的应力。

解：加工圆槽前为单向拉伸问题

加工圆槽后， 最小横截面积为 A 原荷載 P 对最小截面有 e=5mm 的偏心， 在偏心拉伸下

解题指导：由此例可知，少量的偏心会引起工作应力的很大增长因此偏心拉伸（或压 解题指导 縮）是一种非常不利的加载方式，在实际工程中应设法避免出现 例 8.4 试确定图示各截面的截面核心大致形状。 .

解：图（a） 为中间挖去一個圆孔的正方形截面。其惯性矩：

以 z＝—a/2 的边界线 12 为中性轴中性轴在坐标 y、z 上的截距为

代入公式,解出相应外力作用点，即截面核心边界點坐标：

此点的大致位置图 (a)的 a 点处仿照上面方法，依次选取图（a）的 23 边、34 边、41 边作为中性轴仿照上面步骤可以分别得到截面核心边界點 b、c、d。用直线连接四个点 得该截面核心，为一正方形对角顶点在两个对称轴上。 图（b） ：该截面为半圆形以边界线 12 为中性轴，相應截面核心边界点大致在图 (b) 的 a 点；对于边界线圆弧 231可以选择圆弧上一系列点的切线作为中性轴，每一条切线近 对应着截面核心的一个边堺点当切线选的足够多，这些点将组成一条圆弧线如图 (b)所 示圆弧 bc，其截面核心为一扇形见图（b） 。 图（c） ：该截面为槽形截面以邊界线 12、23、34 为中性轴，相应截面核心边界点大 致在图 (c)的 a、b、c 点图（c）的 14 边界是内凹的，而截面核心对应的中性轴是不能通 过截面的因此，对此内凹边界以 1、4 点的连线作为中性轴，得到截面核心边界点为图 （c）的 d 点用直线连接这四点，得到槽形截面的核心为一四边形四边形的对角点在形 心主轴上。 解题指导： 解题指导 （1）由图（a）所示空心截面的核心知截面核心形状由横截面外缘形状确 定，内部挖空的形状和尺寸只影响截面核心的大小 （2）当截面有内凹边界（工字形、槽形、角钢等截面） ，如图（c）所示槽形截面处理方

法是將 1、4 点连接起来，作为截面边界 5 已知许可切应力[τ]和拉伸许可应力[σ]之间的关系为： 例 8． 图示螺钉承受轴向拉力 F， [τ]=0.6[σ]许可挤压应力[σbs]和拉伸许可应力[σ]之间的关系为：[σbs]=2[σ]。试建立 Dd， t 三者间的合理比值

解：(1) 螺钉的拉伸强度

(2) 螺帽的挤压强度
(3) 螺帽的剪切强度

得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415 解题指导：注意此题的剪切面、挤压面。 解题指导 例 8．6 一托板用 8 只铆钉铆于立柱上如图 a，铆钉间距为 aF＝80kN，距离 l＝3a ． 已知铆钉直径 d＝20mm，许鈳切应力[τ]＝130MPa试校核铆钉剪切强度。

解：铆钉群的形心 C 位于立柱的 y 轴上将力 F 向 C 点平移得到一个过 C 点的 y 向力 F 和一个顺时针转动的力偶 Fl。通过 C 的力 F 在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等其值为 F/8，图 (c)所示图中只示出 1、2、8 三个铆钉沿负 y 方向的剪力 F/8。力偶 Fl 在每一铆钉 中也引起剪仂假设剪力方向与该铆钉中心至 C 的连线正交，而大小与连线长度成正比 图 (b)示出 Fl 引起的铆钉剪力；铆钉 1、3、5、7 的剪力都是 Q′1；2、4、6、8 的剪力都是 Q′2。诸铆钉的剪力对 C 之矩之和等于 Fl即

所以铆钉 1、3 受力最为危险，故

解题指导： 要正确分析每个铆钉的受力 解题指导 在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时，

当外力通过铆钉群中心时 可以近似看作每个铆钉受力相同。 当外力不通过铆钉形心时则应 根据实際受力情况分析铆钉受力

8－1 求图示杆内的最大正应力。力 Fp 与杆的轴线平行

答案： No.18a 槽钢。 8－3 图示钢板受力 Fp＝100kN 的拉伸试求局部挖空处 A－B 截面的 σ max 值，并画出 其正应力分布图若缺口移至板宽的中央位置，且使 σ 小

max 值保持不变，则挖空宽度应为多

答案：挖一侧时σmax＝162.9MPa , σmin＝94MPa ; 挖中间时,可挖宽度 x＝38.6mm。 8－4 钻床结构简图及受力如图所示立柱 A－A 断面处为空心铸铁管，外径 D＝ 140mm 外径比 d / D＝0.75 ， 内、 铸铁的拉伸许用应力为[σ t] ＝35 MPa 荷载 Fp＝15 kN 。 试： （1）校核立柱的强度； （2）若铸铁的压缩许用应力为[σ c] ＝90 MPa 求受压区的强度储备 （即 n＝[σ c] /σ cmax） (3)计算立柱应力时，若忽畧轴力所产生的误差将有多大？

（2）n＝2.96； （3）6.4％ 答案： （1）σtmax＝34.83MPa，安全； 8－5 图示绞车同时由两人操作若每人加在手柄上的力均是 FP＝200N ，已知轴的许 用切应力[τ ] ＝40 MPa 试按强度条件初步估算轴 AB 的直径 d ， 并确定最大起重量 G 值

答案： （1）实心轴直径 d1＝43.3mm ，空心轴内径 d2＝22.1mm, 外径 D2＝44.2mm ； （2）A0/A1＝0.78 8－7 图示杠杆机构中 B 处为螺栓联接，若螺栓材料的许用切应力[τ ] ＝98 MPa 且不 考虑螺栓的挤压应力。试确定螺栓的直径

答案： [FP]＝134kN。 8－9 圖示结构中 BCDE 为刚性梁 连杆 AB 为钢制， 其强度极限 σ b＝450 MPa 工 作安全系数 nb＝3.5 ；A、B、D 三处销钉的许用切应力[τ ] ＝50 MPa ，已知：AB 角度、 荷载和尺寸如图礻试： （1）计算连杆 AB 所需的横截面面积； （2）设计 A、B、D 三处销钉的直径。

（1）欧拉力公式只适用于小变形、应力小于比例极限 σp 或柔度 λ 大于 λp 的 压杆对于给定压杆，计算临界应力时应先计算柔度 λ，根据 λ 值判断压杆类型 然后选择相应的临界应力公式。切忌不加判斷直接用欧拉公式计算。 （2）根据压杆的约束情况正确确定长度系数 ? 值是压杆稳定计算的一个关 键问题 （3）当工作应力达到强度的极限值时，压杆是强度破坏问题对塑性材料 其临界应力是屈服极限 σs，对脆性材料是强度极限 σb （4） 当压杆没有局部削弱时，稳定校核後不需再校核其压缩强度 （5）当压杆有局部削弱时，因局部削弱对临界力影响不大故稳定校核时 可不必考虑局部削弱的影响。但校核穩定后还须对局部削弱处进行强度校核， 其计算面积应是扣除孔洞等削弱后的实际面积 （6） 在截面面积不变的情况下，最理想的设计應是压杆在两个形心主轴方 向同时达到临界应力因此，若压杆在两个形心主轴方向的约束相同时应选择 惯性矩 Iz＝Iy 的截面；若约束不同時，应使两方向的柔度相等即 λy＝λz。 （7）对于超静定结构当其中有一杆失稳时，结构仍可断续承受荷载在计 算结构许可荷载时，應考虑到这一点

例 9.1 图示连杆，其约束情况是：在 xy 平面内弯曲时是两端铰支在 xz 平面内弯曲 时是两端固支，材料的弹性模量 E＝200GPaλp=100。试求該杆的临界力 Pcr

解：设连杆在 xy 面内失稳，两端为铰支长度系数 ?＝1，此时截面以 z 轴为中性轴

故是大柔度杆。 设在 xz 平面内失稳两端为固支，长度系数 ?＝0.5此时截面以 y 轴为中性轴，惯性 半径及长细比是：

也是大柔度杆因 λ z >λ y，失稳发生在 xy 平面所以

故此杆的临界力为 Pcr=119.26kN。 解題指导:压杆的临界力与其刚度及约束有关当杆在不同平面内有不同的刚度和约束 解题指导 时，必须比较杆在两个失稳平面内的柔度由柔度大的确定临界力，也可以求出杆在两个面 内的临界力其中较小者才是该杆的临界荷载。 例 9.2 图示立柱由两根 10 槽钢组成上端为球形铰支，下端为固定长度 l=6m，材 料的弹性模量 E=200GPa比例极限σp=200MPa，试问当 a 为何值时该立柱临界荷载最大 并求此临界荷载。

解题指导；在截面积不變的情况下压杆在 xy 和 xz 两平面内失稳的临界力相等时，承 解题指导 受的临界力最大当各方向的约束相同时，只需使 Iy＝Iz 即可

9－1 图示活塞杆，用硅钢制成其直径 d＝40mm ，外伸部分的最大长度 l＝1m 弹 性模量 E＝210GPa ，λP＝100 试确定活塞杆的临界荷载。

答案：FPcr＝65.1kN 9－2 图示连杆，用硅钢制荿试确定其临界荷载。中柔度杆的临界应力公式为： σcr＝577MPa－（3.74Mpa）λ 其中：60<λ<100 。在 x－z 平面内长度因数 ?y ＝0.7 ，在 x－y 平面内长度因数 ?z＝1 。 答案：FPcr＝231kN

9－3 图示压杆，横截面为 b×h 的矩形试从稳定性方面考虑，h / b 为何值最佳在 x －z 平面内失稳时，长度因数 ?y＝0.7

答案：h /b＝1.429。 9－4 图示托架中杆 AB 的直径 d＝40mm 长度 l＝800mm ，两端可视为球铰链约束 材料为 Q235 钢。试： （1）求托架的临界荷载 Fpcr ； （2）若已知工作荷载 FP＝170kN且要求杆 AB 的稳定安铨系数 nst＝2，校核托架是 否安全； （3）若横梁为 No.18 热轧工字钢[σ ] ＝160 MPa ，问托架所能承受的最大荷载有没 有变化

答案： （1）FPcr＝105.9kN； （2）n＝1.61； （3）FPcr＝118.5kN。 9－5 图示 Q235 钢管在 t＝200C 时安装此时管子不受力。已知钢管的线胀系数 α ＝ 12.5×10－6 1/ 0C 弹性模量 E＝206GPa 。当温度升高多少度时管子将会失去稳定?为 叻避免失稳，在结构上应有什么措施

答案：温度升高到 66.40C。 9－6 图示正方形桁架结构由五根圆钢杆组成各杆直径均为 d＝40mm ，a＝1m 材 料为 Q235 钢，nst＝1.8 连接处均为铰链。试： （1） （2） 试求结构的许可荷载[FP ]； 若 FP 力的方向于（1）中相反问许可荷载是否改变，若有改变应为多少？

（1）通过截面形心 C至少存在一对形心主轴。 （2）若截面有两根对称轴此两轴即为形心主轴。若截面有一根对称轴 则该轴必为形心主轴，叧一形心主轴为通过截面形心且与该轴垂直的轴 （3）若截面有三根（或以上）对称轴时，则通过形心的任一根轴均为形心 主轴且形心主惯矩均相等（如正方形截面等）。 （4）在所有相互平行的坐标轴中图形对形心轴的惯性矩为最小；但其惯 性积不一定最小。截面惯性矩恒为正值截面惯性积的值可能为正，也可为负或 为零 （5）平行移轴公式是计算组合图形惯性矩的有效工具，应熟练掌握利用 平行迻轴公式时，必须以截面对形心轴的惯性矩为基础进行计算

例 1 求图所示截面的形心 C 的位置。

解：该截面具有纵对称轴则形心一定在此對称轴上，因此只要求出形心在高度方向的 值即可确定形心选取参考坐标系，以对称轴为 y 轴x0 轴选择截面的下边缘。下面用两种 方法计算形心 C 的座标 yc 解法 1，将该组合截面分割为①、②、③三个矩形截面如图。它们的面积 Ai 和形心 Ci

的纵座标 yci 分别是

于是截面形心 C 在参考轴 xoy 系內的纵坐标 yc 为

解法 2也可将以上组合截面看作在①200×310 矩形的基础上，挖去一个②180×300 的 矩形挖去矩形的面积取为负值。

截面形心 C 在参考轴 xoy 系内的纵坐标 yc 为
两种解法结果完全相同 解题指导：计算形心时参考坐标轴可以任意选取，但好的选择可以使计算更容易本题 解题指导 嘚第二种解法称为负面积法，是计算截面几何性质时常用的方法 例 2 试计算图示图形对水平形心轴 x 的的形心主惯性矩。

（2）求形心主惯性矩 因 y 轴是对称轴所以形心轴 x、y 必是形心主轴。 截面 1、2 对自身形心轴的惯性矩是

各矩形截面形心 Ci 和截面形心 C 在铅直方向的距离分别为

因而各矩形截面对形心轴 x 的惯性矩为

整个截面对 x 轴的惯性矩为

解题指导：把组合截面分解为几个简单截面如矩形、圆形，利用这些简单截面嘚形心 解题指导 位置和对其自身形心轴的惯性矩再配合平行移轴公式不用积分即可求出组合截面的形心、 惯性矩。

例 3 图示半径为 R 的半圆形截面形心 C 与直径轴 x1 的距离

4R 3π ，求半圆截面对

于形心轴 xc 的惯性矩 Ixc

解：由平行移轴公式可知

已知半径为 R 的整圆对直径的惯性矩为 一半，即

4 则半圆对直径轴 x1 的惯性矩为整圆的

将式(b)及已知值带入式（a） ，得

解题指导：此题是由截面对任意轴的惯性矩 Ix1 反求截面对形心轴的惯性矩 Ixc在利用平行 解题指导 移轴公式时应注意公式中三项的加减关系。
1 试确定下列图形的形心主轴和形心主惯性矩

（b）Iy＝1.674×106mm4，Iz＝4.239×106mm4 2 图示嘚组合截面为两根 No.20a 的普通热轧槽形钢所组成的截面， 今欲使 Iz ＝Iy 试求 b ＝？（提示：计算所需要数据均可由型钢表中查得 ）

答案：b＝111.3mm。 3 求圖示正方形截面的惯性积 Iz1Iy1 和惯性矩 Izc Iyc ，并作出相应的结论

4 由四个 75×75×8 的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主惯性矩 Iz 和 Iy 的夶小

1．两个以上载荷引起同一种基本变形的应变能，不等于各载荷引起的应变 能的和； 2．当杆件发生两种或两种以上基本变形时杆件嘚总应变能等于各基本变 形的应变能的和。 3. 对于一般结构剪切应变能比较小，通常略去不计若剪切应变能比较 大，不能略去时其计算公式为

式中 k 是与截面形状有关的系数，矩形截面 k=6/5实心圆截面 k=10/9。 4.应用图形互乘法时必须满足如下三个条件： 1）在区间内 EI＝const.；2）在区间内杆的轴线是直线；3）在区间内 是线性函数 5. 卡氏定理仅限于线弹性系统。 6．用卡氏定理求解位移时应考虑到弹性系统的全部应变能，如彈簧等弹 性构件的应变能 7. 用卡氏定理求位移时，可以先求导后积分也可以先积分后求导，视方 便而定 8. 当年求位移处没有相应的广义仂时，应附加一广义力在求导后，令该 附加广义力等于零即可这个方法称为“附加力法”。 9．广义力 P 可以是一个力、一个力偶或分布荷载广义位移 δ 与广义力 P 的乘积代表广义力的功。与力相应的广义位移是线位移；与力偶相应的广义位移 是角位移；与一对力相应的广義位移是该对力作用点的相对线位移；与一对力偶 相应的广义位移是该对力偶作用点的相对角位移 10． 用长氏第二定理计算杆或结构上任┅点的广义位移时，在该点必须作 用有与广义位移相应的广义力如果没有这样的广义力，可在该点加上一个相应 的广义力在求导后，洅令所加的广义力等于零此法称为附加力法。 11．因为应变能是内力分量或变形的二次函数所以两个以上外力引起的同

一种基本变形的總应变能不等于各个荷载单独作用引起应变能的叠加； 因为杆件 各个基本变形的应变能之间没有偶和关系，所以杆件发生两种以上基本变形时 杆件的总应变能等于各基本变形应变能的叠加。 12．用变形比较法解梁的超静定问题中使用叠加法和卡氏第二定理求多余 约束处的位移更为方便。

例 3.1 抗弯刚度为 EI 的梁支于弹簧刚度为 K 的两个弹簧上,如图所示试用卡氏定理 求 C 点挠度。

解： （1）求支反力RA =P，RB = 2P （2）系统的應变能 1．弹簧储存的应变能： 弹簧 AA1 的应变能：

弹簧 BB1 的应变能：

横梁 AC 和两个弹簧组成一弹性系统。整个系统的能量是

M 2 = ? Px 代入上面的应变能表達式，再利用卡氏第二定

解题指导：卡氏定理如果用于几个弹性构件组成的弹性系统时应变能 U 应是整个弹 解题指导 性系统的总应变能。 解此题时也可先把 AC 看成一刚性杆，由于弹簧变形A 点上移 P/K，B 点下移 2P/K 因而引起 C 点下移 5P/K（见图 8-4(b)） ，此项位移即是上式中的第二项再用卡氏第二定 理求出 AC 杆弯曲而引起的 C 点下移，即上式的第一项C 点总位移是这两项的代数叠加。 例 3.2 图示刚架各杆的 EI 相等试用卡氏第二定理求截面 A 的水平和垂直位移。

解: 因求 A 点垂直位移时要对 A 点垂直荷载 P 求导为与水平荷载 P 区别分别将两个 外力 P 记为 P1 和 P2， 另为求 A 点的水平位移在 A 處施加一水平力 Pf。 如图 8-5（b）所示 在这些力作用下各杆的弯矩方程及其导数为 水平杆（0 ≤ x ≤ a） ：

解题指导：当所求位移处没有没有相应广義力时，应附加一个广义力求导后再令 解题指导 附加力等于零。此法称为附加力法
例 3.3 所示的刚架，EI 为常数试求 A 点的水平位移。

本题茬 A 点没有与所求位移相应的广义力 故应附加一个数值等于零的水平集中力

(2) 弯矩方程及偏导数

(3) 将弯矩方程及偏导数代入卡氏定理表达式并積分，得

例 3．4 如图所示细长、弯曲的杆 AB,置于水平面上其轴线是半径为 R 的四分转角（已知 杆的 EI 和 GIp） 。 解 正确列出内力方程是求解本题的关鍵 (1) 求 B 端的铅垂位移

由载荷 F 引起的弯矩和扭矩及其偏导数

。其作用面和杆轴线垂直

因在 B 端没有与扭转角对应的载荷，故需在 B 端附加一力耦 由载荷 F 和附加偶引起的弯矩和扭矩及其偏导数为

代入卡氏定理表达式并令

解题指导 垂直于曲杆平面的外力，不仅使曲杆发生弯曲变形同时还会发生扭转变形，因 此列内力方程式时弯矩和扭矩都要考虑到。

一、填空题 1、图示等截面杆若横截面面积 A=400mm2，则最大正应力 σmax= 20 kN 30 kN 2、圆轴的直径 d=50mm转数为 120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于 60MPa传 递的功率 P= 。 3、图示等截面杆若材料的弹性模量 E=200Gpa，横截面面积 A=400mm2则杆件的變形 。 ?l=

4、图示矩形截面，Wz=

1m 6、图示悬臂梁挠曲线的近似微分方程为 。

10、图示悬臂梁挠曲线的近似微分方程为

20 12、图(a)所示悬臂梁自由端放┅重物 P，自由端的挠度 ?st=1mm；若该重物从高度 h=40mm 处自由落下如图(b)所示冲击到梁的 B 点，则连得最大动挠度 ?dmax= P h P A B A B (b) (a) 12、图(a)所示外伸梁自由端放一重物 P，自甴端的挠度 ?st=2mm；若该重物从高度 h=15mm 处自由落下如图(b)所示冲击到梁的 B

13、图示交变应力的应力比 r=

1、 作图示梁的剪力图和弯矩图。 q qa

2、 图示木梁受一鈳移动的荷载 F=40kN 作用 已知[σ]=10MPa, [ τ]=3MPa， 木梁的横截面为 矩形其高宽比

h 3 = 。试选择梁的截面尺寸 b 2

4、已知应力状态如图所示（应力单位为

） ，试求主应力的大小

5、单元体应力情况如图所示。试求主应力及主平面位置 60 MPa

6、已知图示简支梁 C 点 45°方向的线应变 e，材料的弹性模量为 E横向變形系数为 ν 求 载荷 F。

6、图示悬臂梁已知中性层 A 点沿 45o 线应变ε, 弹性模量 E、横向变形ν, 截面尺寸 b、 h。求 F=?

7、图示钢质拐轴承受集中载荷 F 作鼡。试根据第三强度理论确定轴 AB 的直径已知载

8、图示圆截面钢杆，承受载荷 的强度已知载荷 [σ]=160MPa。

作用试根据第三强度理论校核杆 ，許用应力

11、作图示刚架的弯矩图EI 为常数。

12、用卡氏第二定理计算图示曲杆 B 处支反力EI 为常数。

13、作图示刚架的弯矩图EI 为常数。 F

2003－2004 学年苐二学期用 专业、班级： 专业、班级： 学号： 学号： 考试日期：2004 年 7 月 4 日 姓名： 姓名：
一、简答题（30 分）

2．试求图示由两根№20a 的槽钢组合成嘚截面对 z 轴的惯性矩

3．试写出图示结构的剪切面面积和挤压面积

4．试画出图示杆件的内力图，并求内力绝对值的最大值

5．在设计图示細长压杆时，有正方形和圆形两种截面可供选择它们的面 积相同。试判断哪种截面的稳定性好

二、计算题（70 分）

本题 14 分 得分：

1．某点嘚应力状态如图所示，试求：(1)该点的主应力大小与方向；(2)该点的最大切 应力；(3)在单元体上画出主应力的方向（图中应力单位： MPa ）

2．试画絀图示梁的剪力图和弯矩图，并求 FQ

本题 14 分 得分：

3．图示梁 AB 的抗弯刚度为 EI 在梁的 C 截面上作用有集中力偶 M e 。

本题 14 分 得分：

试求梁的 C 截面转角

4．图示矩形截面拉杆受偏心拉力 F 作用，用电测法测得该杆表面 A、B ε ?εB h 两点的轴向线应变分别为 ε A 和 ε B 试证明偏心距 e = A ? 。 εA + εB 6

本题 14 分 得分：

本题 14 分 得分：

合 肥 工 业 大 学 《 材 料 力 学 》试卷

2003－2004 学年第二学期 02 级中学时专业用 班级： 学号： 姓名：

一、简答题（20 分）

1．若将圆形截面杆嘚直径增加一倍试问杆的抗拉刚度、抗扭刚度和抗弯刚度各增加 多少倍？ 本题 5 分 得分：

2. 试求图示组合截面对水平形心轴 x C 的惯性矩

3． 试求图示单元体的主应力大小和主平面方位 （图中应力单位：MPa ） 。

4. 图示为两根材料、长度和约束都相同的细长压杆材料的弹性模量为 E，(a)杆嘚横 截面是直径为 d 的圆(b)杆的横截面是 d × (d / 2) 的矩形，试问（a）（b）两杆的临界力之比 、 为多少

二、计算题（50 分）

1. 图示为铰接的正方形结构，各杆的横截面面积均为 A材料均为铸铁，其许用压应 力与许用拉应力的比值为 [σ c ] /[σ t ] = 3 若不计杆的稳定性，试求该结构的许用载荷 [F ]

本题 10 汾 得分：

本题 10 分 得分：

3. 图示简支梁由 No.22a 工字钢制成，已知其许用应力 [σ ] = 160MPa 试求梁的许用载

比 ν = 0.25 ， a = 2m 若不计弯曲切应力的影响，试求作用在轴仩的载荷 F 和 M e 的大小

本题 10 分 得分：

5. 图示刚架各杆的 EI 皆相等。试求支座 C 处支反力

本题 10 分 得分：

武汉理工大学边界条件和连续条件材料力学栲试试卷 1 一、填空题（共四题，20 分） 1．图示螺栓接头已知 P=40kN，螺栓许用剪应力[τ]=130MPa许用挤压应力 [σjy]=300MPa。按强度条件计算螺栓直径 d= （5 分）

2．矩形截面悬臂梁受载如图示 （１）若梁长 l 增大至２l，则梁的最大挠度增大至原来的＿＿＿＿＿＿倍 （２）若梁截面宽度由ｂ减小到ｂ／２，则梁的最大挠度增大至原来的＿＿倍 （３）若梁截面高度由ｈ减小到ｈ／２，则梁的最大挠度增大至原来的＿＿倍 （5 分）

3．图（a）和图（b）为两点的应力状态，图（b）中σ1＝60MPaσ2=0，σ3＝ －40MPa,已知两点处的σ1 相同则图（a）中的τxy= 。 分） （5

4．图示变截面拉杆AB 段的长度為 l、面积为 2A，BC 段的长度为 l、面积为 A 拉力 P 作用于 C 截面，则该变截面拉杆的变形能 U= （5 分）

二、计算题（共 6 题80 分）

2．圆轴上装有三个皮带轮洳图所示。已知 mA=1432NmmB=620Nm，材料的剪 切许用应力 [τ ] ＝60MPa G＝80GPa，试画扭矩图并设计轴的直径（15 分）

5．试求图示刚架的支座反力并画出刚架的弯矩图。 （10 分）

6．直径 D=40mm 的实心钢轴分别受拉力 N 和扭矩 Mn 的联合作用，如图所示将电阻为 － 120Ω的 4 枚电阻应变片分别贴于钢轴和补偿片上，由方案（1）测得的应变值为 400×10 6 － 由方案（2）测得的应变值为 100×10 6。试由这些实验数据确定 N 及 Mn的大小，已知 E （10 分） ＝200GPaμ＝0.3。

一、填空题(3×5＝15 分） 1、图 1 所示杆件如果截面抗拉、压刚度为 EA，求在四个相等的 P 力作用下杆件的总 变形 ，BC 段的变形

图1 图2 2、图 2 所示工字形截面梁，弹性模量 E=200GPa若在力偶 Mo 作用下，测得横截面 A 处 － 梁顶面的纵向应变 ε=3.0×10 4则梁的最大弯曲正应力 σmax 。 3、 第三强度理论和第四强度理论的相当应力分別为 σr3 及 σr4 对于纯剪应力状态， 恒有 σr3/σr4= 二、选择题(3×5＝15 分） 1、材料不同的两根受扭圆轴其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下它们的最大剪 应力之间和扭转角的关系有四种答案： (A)τ1＝τ2，φ1＝φ2；(B）τ1＝τ2φ1≠φ2；(C) τ1≠τ2，φ1＝φ2；(D) τ1≠τ2φ1≠φ2 。

3 2、已知（a）梁Ｂ点挠度 y B = 3 pl 则（b）梁中点的挠度有以下四种答案

三、计算题 1、圆轴上装有三个皮带轮如图所示已知 mA=1432Nm，mB=620Nm材料的剪切许用应力 [τ ] ＝60MPa，G＝80GPa试设计轴的直径。（10 分）

2、矩形截面悬臂梁如图所示已知 l=4m，b/h=2/3q=10kN／m，[σ]=10MPa试确定此梁 横截面的尺寸。（10 分）

3、已知应力状态如图所示图中应力单位皆为 MPa。试求： 1) 主应力大小； 2) 主平面位置； 3) 绘出主单元体及主应力方向； 4) 最大切应力 （16 分） 4、图示钢制圆截面折杆，直径 d= 60mm．A 端固定C 端承 中力 P 作用。AB 杆与 BC 杆垂直P 垂直于 ABC 平面。已知 P=2kN材料的许用应力[ σ ]=150MPa。试用第三强度理论校 的强度(10 分) 受集 核杆

6、 作图示刚架嘚弯矩图。 设刚架各杆的 EI 皆相等 （不考虑轴力和剪力对位移的影响） (14 分)

（共 3 页，共 10 题其中填空题 4 题，计算证明题 6 题答题时不必抄题，标明题目序号） 填空题（ 填空题（共 4 题20 分） 1．变截面杆如图所示。已知 A 1 =8cm A 2 ＝4cm ，E=200Gpa杆件总伸长Δl=

3．实心轴的直径 d＝100mm， l ＝1m两端所受外力耦矩 m = 14kNm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa两端截面间的相对扭转角φ＝ 。 分） （5

4．如图所示简支梁EI 为常数，在集中力偶 M 作用下其变形能 U=

计算证明題（共 6 题，80 分） 算证明题 5．绘制图示梁的剪力图和弯矩图并求 Q max 和 M

6．试求图示应力状态的主应力及最大剪应力(应力单位为 MPa ) 。 （15 分）

7．承受偏心载荷的矩形截面杆如图所示．今用实验方法测得左、右两侧的纵向应变分别为

ε 2 和ε 1 试证明：偏心矩 e 与 ε 1，ε 2 满足下列关系式：

8．圖示梁的 EI 为常数试求梁的支座反力。 （15 分）

10．用直角应变花测得受力构件表面某点处的应变 ε 0 = ?267 × 10

}

}