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求函数f（x）=x2e-x的极值。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：函数的定义域为R，f′（x）=2xe-x+x2·e-x·（-x）′=2xe-x-x2e-x=x（2-x）e-x，令f′（x）=0，即x（2-x）·e-x=0；得x=0或x=2，当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：因此，当x=0时f（x）有极小值，并且极小值为f（0）=0；当x=2时，f（x）有极大值，并且极大值为。
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据魔方格专家权威分析，试题“求函数f（x）=x2e-x的极值。-高二数学-魔方格”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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278607772377567045622982561257438114函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值
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函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值
函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值
二. 本周教学重、难点：
1. 函数的单调性
设函数在某个区间内可导
（1）如果时，则函数为增函数
（2）如果时，则函数为减函数
（3）如果恒有，则为常函数
2. 函数的极值
（1）函数极值的概念
（2）判断是极值的方法
设函数在点及其附近可导，且=0
① 如果的符号在点的左右由正变负，则为函数的极大值；
② 如果的符号在点的左右由负变正，则为函数的极小值；
③ 如果的符号在点的左右符号不变， 则不是函数的极值。
& 3. 函数的最值
（1）函数最值的概念
（2）求在上最值的方法
① 设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数的最值，可分三步进行：
&1& 求函数在内的极值；
&2& 求函数在区间端点的函数值；
&3& 将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
② 若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值，若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。
【典型例题】
[例1] 讨论函数在内单调性。
即函数在上单调递增
由即&& ∴ 或
∴ 在（0，）上单调递减，在（）内也单调递减
[例2] 设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。
故当时，恒成立，即时，在上单调递减，又当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在区间上不是单调函数。
[例3] 已知函数（且）在定义域上是减函数，求的取值范围。
∵ &&&∴ &&&又由
[例4] 已知，且，设，问：是否存在实数使在上是减函数，并且在上是增函数。
解：由，得，得
∴ 是连续函数，
由在上是减函数，且在上是增函数
∴ ，即存在实数使满足条件
[例5] 设函数（其中）
（1）若在处取得极值，求常数的值；
（2）若在上为增函数，求的取值范围。
∵ 在处取得极值&&& ∴
经验证知当时，在处取得极值
（2）令&&& 得
当时，若&& 则
∴ 在和上为增函数
故当时，在上为增函数
当时，若&& 则
∴ 在和上为增函数，从而在上也为增函数
综上所述，当时，在上为增函数
[例6] 已知为实数，，若在和上都是递增的，求的取值范围。
函数图象为开口向上且过点的抛物线
即的取值范围是
解法二：令，即
由求根公式得
∴ 在和上非负
由题设可知：当或时
解不等式组得
∴ 的取值范围是
[例7] 设，函数的最大值为1，最小值为，求的值。
当变化时，变化情况列表如下：
当时，取极大值，而
&&&& ∴ 需要比较与的大小
∵ &&&&∴ 最大值为
[例8] 已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
∴ 在上单调递增
∴ 在上单调递减
因此和分别是在区间上的最大值和最小值
又 ∵ &&&&∴ &&&解得
即函数在区间上的最小值为
[例9] 设函数，求正数的范围，使对任意的都有不等式成立。
解：，令得
∴ 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点
要使恒成立&&& ∴
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 函数的单调递增区间为（&&& ）
&& A. &&&&B. &&&&C. &&&&D. 及
2. 若函数的递减区间为，则的取值范围是（&&& ）
&&& A. &&&&B. &&&&C. &&&&D.
3. 函数的一个单调区间为（1，2），则（&&& ）
4. 函数，已知在时取得极值，则等于（&&& ）
&&& A. 2&& B. 3&&& C. 4&&& D. 5
5. 函数有（&&& ）
A. 极小值，极大值1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 极小值，极大值3
C. 极小值，极大值2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 极小值，极大值3
6. 函数在（0，1）内有极小值，则（&&& ）
&&& A. &&&&B. &&&&C. &&&&D.
7. 函数的最小值为（&&& ）
&&& A. 0&&& B. &&&&C. &&&&D.
8. 函数在区间上的最大值为（&&& ）
A. 10&&& B. &&&&C. &&&&D.
二. 解答题：
1. 确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：
2. 求函数的极值。
3. 如果函数在1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求的值。
【试题答案】
2. A&&& 3. C
&&& 解析：。
解析：，令，得
当时，，函数在这个区间为增函数
当或时，，函数为减函数
∴ 当时，有极小值；当时，有极大值3
解析：由（因有极小值，故=0有解），得
又 ∵ 在（0，1）内有极小值
解析：，令，得
解析：。由得或
∴ 的最大值为10
（1）&&& 令，解得
因此，当时，是增函数
再令，解得
因此，当时，是减函数
令，解得或
因此，当及时，是增函数
再令，解得
因此，当时，是减函数
因此，当时，是增函数
再令，解得
又函数的定义域为，即
因此，不存在某一区间，使是减函数
2. 解：函数的定义域为
∵ &&&&令得
当变化时，的变化情况如下表：
3. 解：，令
∵ 是极值点
又 &&&&&∴ 可疑点为
当变化时，的变化情况如下表：
由上表可知，当时，有极大值，当时，有极小值
若，同理可得
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& 多元函数的极值及其求法
了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
多元函数极值的求法。
利用拉格朗日乘数法求条件极值。
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1 0000(00)00000
00000000000
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1,01,2-3,0-3,2
(1,2) (1,2)
(-3,0) (-3,0)
(-3,2) (-3,2)(-3,2)=31
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& &&&&&& &&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&& &&&&&&
二、条件极值 拉格朗日乘数法
&&&&&&&&&&&&& & &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1
&&&&&&&&&&
&& && &&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&& (2)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4
&&&&&&&&&&&&& &&&& &&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。扫二维码下载作业帮
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如何用导数求函数的极值呢?
東邪西毒1B1
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1、先求一次导数,这个一次导数,全名叫一次导函数(first derivative, 或 first differentiation)；2、令一次导函数为0,解出来的x,称为静态点(stationary point)；3、继续对一次导函数求导,求出来的是二次导函数.
将刚才的静态点的x,代入到二次导函数中,
如果大于零,刚才的静态点为极小值点；
如果小于零,刚才的静态点为极大值点；
如果等于零,刚才的静态点既非极大值点,也非极小值点,称为拐点,
拐点 = POI = Point of Inflexion = 图像上凹下凹的转折点.4、将静态点的坐标代入到原函数,就得到了最大或最小值.说明：楼上说到了,画表讨论,而不计算二次导数.这是一种方法,但是是一种不适用的方法,是事倍功半的教学法.一方面它太浪费时间；另一方面,没有给学生完整的概念,不知道二次导数的意义与运用,不利于后面的学习.这种画表格法,可以了解,但是最好在解题时用一两次即可.平时养成计算二次导数的习惯.可以概念完整,方法高级,节省时间,有利于后续课程的学习.无论老师怎样渲染画表格的方法,都一定要保持头脑清醒,才能以后学习时事半功倍!如有问题,请Hi我.
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