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考试点冯晓慧2014考研数学《微积分》典型题精讲精练（数学三）
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求一道不定积分的题.用分部积分法,急∫sinxlntanxdx 设U=lntanx v＝sinxdx
妙妙343yEs
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∫sinxlntanxdx
设U=lntanx
dv＝sinxdx 则du=1/tanx*sec^2x,v=-cosx.根据分部积分公式:原式=-cosx*lntanx+∫cosx*1/tanx*sec^2xdx=-cosx*lntanx+∫cscxdx=-cosx*lntanx-ln(cscx+cotx)+C 注:ln(cscx+cotx)中的括号实际上是绝对值符号,无因法打出来,故用括号表示.
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原式=-∫lntanxdcosx=-cosxlntanx+∫cosxdlntanx=-cosxlntanx+∫cosx*1/tanxdtanx=-cosxlntanx+∫cos²/sinx*sec²xdx=-cosxlntanx+∫dx/sinx=-cosxlntanx+∫sinxdx/sin²x=-cosx...
扫描下载二维码x3x3?9x?9x9x(16)?dx?dx?(；(24)?tan3xsecxdx??tan2xd；x(1?x)2x(1?x)dx(arcsinx)；1?lnx111(28)?dx??(1?lnx)；xa2x1a2x122arcsin?xa?x?C；ππ,),则dx?sec2tdt.22?dx(x；(31)令x?3sect,t?(0,),可求得被；dx?3s
x3x3?9x?9x9x(16)?dx?dx?(x?)dx222??9?x9?x9?x911292
??xdx??d(9?x)?x?ln(9?x2)?C229?x22dx)?2??(?)dx??dx??dx2x?1x?12x?11111
?d(2x?1)?d(2x?1)??222x??Cdx)???(?)dx??d(x?2)??d(x?1)(x?1)(x?2)3x?2x?13x?23x?1
?ln2x?1?ln2x?1?C?ln111x?2
?lnx?2?lnx?1?C?ln?C333x?11?cos(2?t?2?)11(19)?cos2(?t??)dt??dt??dt?cos(2?t?2?)(2??dt)224??11
?t?cos(2?t?2?)d(2?t?2?)24??11
?t?sin(2?t?2?)?C24?1(20)?cos2(?t??)sin(?t??)dt???cos2(?t??)dcos(?t??)111?1cos3(?t??)?C3?111(21)?sin2xcos3xdx??(sin5x?sinx)dx??sin5xd5x??sinxdx210211
??cos5x?cosx?C102x13xx13x3xxx(22)?cosxcosdx??(cos?cos)dx??cosd()??cosd()xx
?sin?sin?C3221(23)?sin5xsin7xdx???(cos12x?cos2x)dx211
???cos12xd(12x)??cos2xd(2x)24411
??sin12x?sin2x?C244
6 (24)?tan3xsecxdx??tan2xd(secx)??(sec2x?1)dsecx1
?sec3x?secx?C3(25)?arctanx1dx?2?arctanx?dx?2?arctanx?d(arctanx) x(1?x)2x(1?x)dx(arcsinx)2?1?x211d(arcsinx)???C(arcsinx)2arcsinx
?(arctanx)2?C(26)???lntanx1dx??lntanx??sec2xdxcosxsinxtanx1
??lntanxd(lntanx)?(lntanx)2?C2 1?lnx111(28)?dx??(1?lnx)dx??d(xlnx)???C22(xlnx)xlnx(xlnx)xlnx(27)?(29)?x2dxa2?x2??(a2a2?x2?a2?x2)dx?a2?dxa2?x2??a2?x2dx利用教材§5.2例16及公式(20)可得: xa2x1a2x122arcsin?xa?x?C?arcsin?xa2?x2?C. 原式=aarcsin?a2a22a22(30)令x?tant,t?(?所以ππ,),则dx?sec2tdt. 22?dx(x2?1)3??1(tan2t?1)3x1?x?sec2tdt??dt?costdt?sint?C sect?x1?x2?x?tant,
?sint?π22
?原式??C. (31)令x?3sect,t?(0,),可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时 dx?3sect?tantdt?x2?9?3tant 故
?x2?93tantdx???3sect?tantdt?3?tan2tdt?3?(sec2t?1)dt x3sect?3tant?3t?C. π由x?3sect,t?(0,)得tant?2又由x?3sect得sect?x2?9, 3x33,cost?,t?arccos, 3xx7
??x2?933dx?x2?9?3arccos?C?x2?9?3arccos)?C xxxx2?93322dx?x?9?3arccos?C?x?9?3(π?arccos)?C11?xxx 3
?x2?9?3arccos?Cx又令x=3sect,类似地可得被积函数在x<-3上的不定积分. 综上所述有 ?(32)令x?sint,t?(?x2?93dx?x2?9?3arccos?C. xxππ,),则dx?costdt. 22?x?dx1?x2???11cost?sint?cost?sint?costdt??dtsint?cost2sint?cost11111dt?d(sint?cost)?t?lnsint?cost?C 2?2?sint?cost2211?arcsinx?lnx?1?x2?C.22(33)令x?sint,t?(?ππ,),则dx?costdt, 22??dx1?1?x2??cost1ttdt??(1?)dt?t??sec2d()1?cost1?cost222 t1?1?x
?t?tan?C?arcsinx??C.2x(34) ?a?x1dx1dx2 dx??(a?x)dx?a???222222a?x2a?xa?xa?xx?a2?x2?C. a
?a?arcsin 习题5-3 1.求下列不定积分： (1) (3) (5) ?
(2) ?xex?2
(6) ?28 ? ?
(4) ?? 2 ? (7) (9) ?2t2tedt(arcsinx) ;
(10) ?? 32(11)cos(lnx)
(12)(x?1)sin2 ??(13)xln(x?1)
(14)xcos??22 2ln3x(15)?2
(16)? x. ndx??解
(1)xsix???xdxcox?s?xcox?s?dcxosx??x c?xosxsiC ?(2)?xe?xdx???xde?x??xe?x??e?xdx??xe?x??e?xd(?x)
??xe?e?C??(x?1)e?C(3)?arcsinxdx?xarcsinx??x?11?x2dx?xarcsinx??x?x112d(1?x)?221?x
?xarcsinx?1?x2?C(4)?e?xcosxdx???cosxde?x??e?xcosx??e?x(?sinx)dx??e?xcosx??sinxde?x
??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdx
?x?2?e?xcoxsdx?e?x(sxi?nxco?sC1)e?x(sinx?cxos) ??ecosxdx??C2x1x1x11x(5)?e?2xsindx???sinde?2x??e?2xsin??e?2x?cosdx
1x1x??e?2xsin??cosde?2xx??e?2xsin?e?2xcos??e?2x(?sin)dx x1x??e?2xsin?e?2xcos??e?2xsindxxx1?2xx1?2xxesindx??esin?ecos?C116?22282 x2xx??e?2xsindx??e?2x(cos?4sin)?C21722? 9 (6)?xtan2xdx??(xsec2x?x)dx??xsec2xdx?12x2
??xd(tanx)?1x2?xtanx??tanxdx?12x22
?xtanx?lncosx?12x2?C(7)?te?2tdt??1112?tde?2t??2te?2t?2?e?2tdt
??1te?2t?1?e?2td(?2t)??1te?2t?1e?2t2424?C(8)?(arcsinx)2dx?x(arcsinx)2??x?2arcsinx?11?x2dx
?x(arcsinx)2?2?arcsinxd1?x2
?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx
?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx
?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C(9)?exsin2xdx??1?cos2xx11 2edx?2?exdx?2?excos2xdx
?12ex?12?excos2xdx而
?excosx2dx??cosxd2ex?excox?s2?ex2xsidxn?2xex?co?s2?excos2x?2exsin2x?4?excos2xdx ??excos2xdx?15ex(cos2x?2sin2x)?C1,?原式?1x1x2e?10e(cos2x?2sin2x)?C?(1112?5sin2x?10cos2x)ex?C.(10)令3x?t,则x?t3,dx?3t2dt ?e3xdx?3?t2etdt?3?t2det?3t2et?6?tetdt?3t2et?6?tdet?3t2et?6tet?6?etdt ?3t2et?6tet?6et?C?3et(t2?2t?2)?C?3e3x(3x2?23x?2)?C(11)令lnx=t,则x?et,dx?etdt,
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TP中用D方法创建了模型后，为何调用不了creat，add等方法？？！
在TP框架中，若出现creat ，add等方法，应从两方面考虑：
第一，是否有引入正确的命名空间；
第二，实例化的表名是否正确。
拓展：来自：/content-3014378.html
D()与M()方法中，表名的设置注意：
使用 D()方法比直接使用模型类更加的智能，如果在HomeModelUserModel 找
不到该模型类， 那么就会去公共模块下找CommonModelUserModel 去找。 如果还找不到，
就会直接实例化基类 Model()类，也就是等同于使用 M()方法。
需要注意的是：D(‘User’)方法中的表名需要首字母大写，因为查找跳到公共模块里时无法识别小写的user，除非你显式的写成：D(‘Common/user’),这样完整的写法用小写user也行，否则若你直接用 D(‘user’) 的话，它会跳过公共模块直接去实例化基类Model()。因此建议养成表的首字母大字的习惯，以防出错。
当然，上述问题主要是由于用小写的user时：
Ｄ（'user'）方法在 Home 模块里可以识别，，直接实例化也没问题，唯有跨模块（比如Common）仿问时才会发生。
当然，Ｍ（'user'）方法用小写也可以识别。
另外，如果使用索引数组作为查询条件也要注意：
Ｄ('User')方法查找到的模型如果有手工定义数据字段的话，那么查询将无法生效。意思是这样滴：
namespace HomeM
use ThinkM
class UserModel extends Model{
protected $fields=array( &// 这是手工定义字段
'_pk'=&'id',
'type'=&array(
'id'=&'smallint',
'user'=&'varchar'
& & & & // ...
此时在控制器下使用如下代码时：
& & & & $user=D('User');
& & & & $c['id']=2;
& & & & $c['user']='樱桃小丸子';
& & & & print_r($user-&where($c)-&select());　// 使用索引数组查询
将不会查询到结果，除非注释掉手工字段，或者使用M(‘User’)方法。
本文已收录于以下专栏：
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