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二元函数求极限的方法_2900字
二元函数求极限的方法!郭俊杰（衡水学院数学与计算机科学系，河北衡水!摘$要：二元函数求极限是高数中的难点，现归纳了%种求二元函数极限的方法，分别为：直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限&’(!)!*’+!,-、用两边夹定理.!关键词：二元函数；极限；方法中图分类号：/-01$$文献标识码：2$$文章编号：-%0#34!%连续性、可微性、可积限.通过极限研究函数的性质：性.因此，求极限就成了数学分析中一种最基本、最不仅可提高学生分主要的运算.掌握好极限的教学，析问题、解决问题的能力，对后续课程也将产生深刻影响，并且可增强学生的学习兴趣.下述几种求二元函数极限的方法.-$直接证明法例-$证明函数--!*’+5#*’+$$!##!!$$!#,!，（!，#）（!，!）在原点（!，!）的极限是!$证明：6--6!*’+（）5#*’+（）6$!##!!$$!#,!分4种情况讨论：对于#!)!（-）当!#,!而（!，#）即函数此方法的运用往往是先通过观察，推断出函数的极限，然后用定义证明$4!4#4例4$求函数!5#解：分4步考虑：先令#,(!，考虑（!，!）时的极限
推论如果limf(x)存在,则nn(1)lim[cf(x)]=climf(x).(c为常数)(2)lim[f(x)]=[limf(x)].(3)lim[f(x)]α-n(n∈N)+=[limf(x)].(n∈N且limf(x)≠0)+-nlim[f(…首先说下我的感觉,假如是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面：… 1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x?2lim(3x?1)?5 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定…
二元函数求极限的方法!郭俊杰（衡水学院数学与计算机科学系，河北衡水!摘$要：二元函数求极限是高数中的难点，现归纳了%种求二元函数极限的方法，分别为：直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限&’(!)!*’+!,-、用两边夹定理.!关键词：二元函数；极限；方法中图分类号：/-01$$$文献标识码：2$$$文章编号：-%0#34!%连续性、可微性、可积限.通过极限研究函数的性质：性.因此，求极限就成了数学分析中一种最基本、最不仅可提高学生分主要的运算.掌握好极限的教学，析问题、解决问题的能力，对后续课程也将产生深刻影响，并且可增强学生的学习兴趣.下述几种求二元函数极限的方法.-$直接证明法例-$证明函数--!*’+5#*’+$$$$!##!!$$$$!#,!，（!，#）（!，!）在原点（!，!）的极限是!$证明：6--6!*’+（）5#*’+（）6$$!##!!$$$$!#,!分4种情况讨论：对于#!)!（-）当!#,!而（!，#）即函数此方法的运用往往是先通过观察，推断出函数的极限，然后用定义证明$4!4#4例4$求函数!5#解：分4步考虑：先令#,(!，考虑（!，!）时的极限$&’(（!%!!%!!（-5(）!%!#,(!(4,!-5(4［-］（8--9）（4）再用定义证明!为{!4#4!4#4因为6!5#!5#6!#6-46!#66!#64!#,6!3!6?6#3!6$（44$-）44$4!5#44!5#于是#!)!，取74!4#4-4（!，#）444!5#{)!，对于#（!，#）：6!64--7#!--6!6?6*’+（）656#6?6%&’（）6$6!656#674#!（4）当!#!!4#4所以&’(44,!$!%!!5##%!#$利用二元函数的连续性收稿日期：4!!作者简介：郭俊杰（-9等于（!!*#利用重要极限’()3(4$!例5#求’()$!#%(（%）通过有理化，把所给的函数转化为连续函数%-例+求’()#%,%-解：’()$#%,3(4$#0，当3(4#%(#%(（%-（%&%&’()#%,5#利用两边夹定理例/#求’()#%,%$6$,$而’()（6#%,$（./-!!［%］!%&’$-$-+#利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论%（例*求’()%%%参考文献：［!］#武汉大学数学系7数学分析：下册［8］7北京：人民教育出版社，!1/97［%］#樊映川7高等数学讲义：下册［8］7北京：高等教育出版社，!15+7［等教育出版社，!19解：因为%%（$［（0（#-%）!（有界，’()（#%%（%!:;4-?(@（A@BCDE)@4EFG8CEH3C4IJF)B>E@DKL(@4L@，M@4N3H>(;4(O@D3(EP，M@4N3H>(，M@Q@(,*567%814%：MFREFN@EEH@’()(EFGEH@I>C’G>4LE(F4(3CI(GG(L>’EBF(4E(4CIOC4L@I)CEH37SFR3(T)@EHFI3CD@BDFO(I@I：EH@I(D@LEBDFFG，@OC’>CE(F4Q@GFD@BDFFG，R(EHEH@I>C’G>4LE(F4LF4E(4>(EP，R(EHEH@LF4L’>3(F4EHCEEH@I()@43(F4’@33)>’E(B’PQF>4I@IOCD(CQ’@(33E(’’I()@43(F4’@33，R(EHEH@()BFDEC4E’()(E’()3(4$!，R(EHEH@ERF3(I@L’C)B3EH@FD@)79#:;&8’7：EH@I>C’G>4LE(F4；EH@’()(E；EH@)@EHFI〔责任编校：曹保合###英文校对：李玉玲〕二元函数求极限的方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：郭俊杰， GUO Jun-jie衡水学院,数学与计算机科学系,河北,衡水,053000衡水学院学报JOURNAL OF HENGSHUI UNIVERSITY)0次 参考文献(3条) 1.武汉大学数学系 数学分析:下册 19782.樊映川 高等数学讲义 19643.东北师范大学数学系 数学分析 1983 相似文献(10条)1.期刊论文 王润桃 关于二元函数的极限 -株洲工学院学报)讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法.2.期刊论文 闫彦宗 关于二元函数分析性质的讨论 -宜宾学院学报)讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系.3.期刊论文 王海燕 二元函数求极限的方法 -考试周刊2007,二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法.4.期刊论文 王旭琴 二重极限与累次极限的关系 -南昌高专学报)本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系.5.期刊论文 樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min 视一元函数为二元函数时的极限与连续 -长春师范学院学报（自然科学版）)本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续.6.期刊论文 何鹏.俞文辉.雷敏剑 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究 -南昌高专学报)本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明.7.期刊论文 郭安学 二元函数的极限 -科学决策2008,本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异.8.期刊论文 邹泽民.Zhou Zemin 二元函数未定型极限问题的研究 -广西梧州师范高等专科学校学报)给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理.9.期刊论文 齐小忠 关于二元函数二阶混合偏导数的注记 -许昌学院学报)大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f10.期刊论文 赵书改 关于求重极限的方法与技巧的一些研究 -大众科技2010,文章研究求解重极限的方法与技巧,首先指出可以利用求一元函数的极限的一些方法求解重极限,然后给出把二元函数转化为一元函数再求极限的方法与极坐标变换法,最后阐述用重极限的ε-δ定义求解重极限的方法以及求解重极限过程的一些技巧. 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hsszxb.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：09e-476d-86dd-9dca00f75868下载时间：日
二元函数求极限的方法!郭俊杰（衡水学院数学与计算机科学系，河北衡水!摘$要：二元函数求极限是高数中的难点，现归纳了%种求二元函数极限的方法，分别为：直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限…第６卷第１ｌ期Ｖ０１．６Ｎｏ．１１Ｒｅａｄ读与写杂志ａｎｄＷｒｉｔｅＰｅｒｉｏｄｉｃａｌ２００９年１１月Ｎｏｖｅｍｂｅｒ２００９探析夹逼准则在求极限中的应用夏滨（四川建筑职业技术学院四川德阳６１８０００）摘要：本文主要通过几类函数的极限问题对夹逼准则…定积分在求极限中的应用1、知识准备1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的…研 究 与 开发　文章编号 ： １ ０ ０ ７ — １ ４ ２ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ３ ５ — ０ ０ ３ ３ — ０ ２ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ６ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — １ ４ ２ ３ ． ２ ０ …就爱阅读www.92to.com网友整理上传,为您提供最全的知识大全,期待您的分享，转载请注明出处。
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推荐： 　　　已知二元函数u=f(x,y)在(x0,y0)处连续，证明：一元函数u=f(x,y0)在x0处连续。
由函数f(x,y)在(x0，y0)处连续，当(x，y)→(x0，y0)时，f(x,y)→f(x0，y0)。
取一特殊路径C：y＝y0，当(x，y)沿直线C趋向于(x0，y0)时，f(x,y)→f(x0，y0)仍然成立。此时f(x，y)＝f(x，y0)，而(x，y)→(x0，y0)即为x→x0，所以得：当x→x0时，f(x,y0)→f(x0,y0)，这说明函数f(x,y0)在x0处连续。
f’x(x，y)＝0，说明f(x，y)与 x 无关，只与y有关.
所以f(x，y)=g(y).
f’y(x，y)＝0，就是g'(y)=0，所以g(y)=C.
z=x^3-4x^2+2xy-y^2, 得
z'=3x^2-8x+2y, z'=2x-2y.
令z'=0，z'=0， 联立解得驻点 (0,0), (2,2)。
偏导数不存在很容易证因为其中分母上含有√(x^2+y^2，因此（０，０）处不存在．
连续则用两边极限都等于在（０，０）处的值即可证．
只能证明直角三角形ANE与直角三角形MBF相似,要想让他们全等似乎还缺少条件.如果有CD所在直线的斜率与a相等(也就是说CD所在的直线与直线平行),就可以了.利...
能否考研与是否挂过科没有必然联系，只是挂科的人不能推免(保送)。应届生如果在考上研后因为有挂科没补过而无法拿到毕业证，则会在研究生开学时被取消入学资格。往届生只...
答: 金师傅!
答: 第一题：由于（n+1）^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1（（n+1）^3表示n+1的立方， n^2表示n的平方，其余依此类推）
n^3 -(n-1...
每家运营商的DNS都不同，而且各省的也不同。你可以问问你的网络提供商，他们会告诉你的。（也可以通过分别访问域名和IP来检查DNS是否正常，访问域名不行，而访问IP可以，则说明DNS设置不对）
另外，如果ADSL-电脑没问题，一般ADSL-路由器也没问题的。而且采用ADSL拨号的话，DNS可以不设置的，拨号成功后会自动取得DNS服务器。
问题可能出在路由器设置上。进去检查一下吧。看看上网方式，上网用户名密码是否正确。
（有个问题要注意一下，有些地方的运营商会限制使用路由器或者限制接入数量，一般是采取绑定网卡MAC地址的方式，如果路由器设置都正常，试试路由器的MAC地址克隆功能，把电脑网卡的MAC复制过去）
根本就没有正式的国际驾照，如果到国外开车，正式的程序：
1、到公证处办理驾照的公证书，可以要求英文或者法文译本（看看到哪个国家而定）；
2、拿公证书到外交部的领事司指定的地点办理“领事认证”，可以登录外交部网站查询，北京有4、5家代办的，在外交部南街的京华豪园2楼或者中旅都可以。
3、认证后在公证书上面贴一个大标志；
4、有的国家还要到大使馆或者领事馆盖章一下。
偶前几天刚刚办过。
铝属于两性金属，遇到酸性或碱性都会产生不同程度的腐蚀，尤其是铝合金铸件的孔隙较多，成分中还含有硅和几种重金属，其防腐蚀性能比其他铝合金更差，没有进行防护处理的铝铸件只要遇到稍带碱性或稍带酸性的水，甚至淋雨、水气、露水等就会受到腐蚀，产生白锈。
解决的办法。
铝铸件完成铸造后，在机械加工前，先要进行表面预处理，如预先对铸件进行喷砂，涂上一道底漆（如锌铬黄底漆），在此基础上再进行机械加工，以避免铸铝件在没有保护的情况下放久了被腐蚀。
工行的网银没有软键盘，主要通过安全控件来保证安全，只有安装了工行的安全控件，才能在工行网页上输入密码。
修改密码的操作，你可以在登陆工行网银以后，在“客户服务”的“修改客户密码”里找到相关链接。
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
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用matlab,二元函数已知形式,看了不少二元函数拟合的帖子,但自己要拟合的还是不会编.要拟合函数的形式z=(A*x^2+B*x+C)*y^2+(D*x^2+E*x+F)*y+G*x^2+H*x+LABCDEFGHL为要求的系数.xyz= [35.63 93.92 618.9136 35.85 93.93 618.5563 36.35 93.92 617.7082 35.63 93.94 618.9354 35.28 93.95 619.532 35.6 93.94 618.9856 35.85 93.94 618.5673 36 93.93 618.3052 36 93.96 618.3383 ]xyz 的数据还有很多,关键是方法怎么搞.到底怎么编程,我仿照别人的二元拟合总是报错,我觉得跟那些自变量x1和x1.有关,但我搞不懂该怎么编,虚心求教!
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x=xyz(:,1)y=xyz(:,2)z=xyz(:,3)p=[x.^2.*y.^2 x.*y.^2 y.^2 x.^2.*y x.*y y x.^2 x ones(length(x),1)]\z这样得到的p就是依次的系数
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中国科学技术大学数学科学学院
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将$Oxy$平面矩形区域$R$分割成互不重叠的小矩阵$R_{ij}$, 面积为$\Delta R_{ij}$，$i=1,\cdots,n$, $j=1,\cdots,m$。
在$R_{ij}$内任取一点$(x_{ij}^*, y^*_{ij})$， 则曲顶小柱体的近似体积为
\[f(x_{ij}^*, y^*_{ij})\Delta R_{ij}
所有这些近似小柱体的体积和为
\[\sigma=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x^*_{ij},y^*_{ij})\Delta R_{ij}
当$R$越分越细时，$\sigma$的极限就是曲顶柱体的体积。
与一维不同的是，对于一般的平面区域$D$，分割方式是多种多样的。每个小块是否有面积，如何计算它们的面积，是建立二重积分的难点。
先从矩形区域开始
定义 1.
设$R=[a,b]\times[c,d]$，$f(x,y)$是$R$上的一个函数。作$[a,b]$和$[c,d]$的分割：
\[T_x: a=x_0&x_1&\cdots&x_n=b, \\
T_y: c=y_0&y_1&\cdots&y_n=d
两组平行直线将$R$分割成$n\times m$个二维子区间
\[R_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]
这样，就得到$R$的一个分割$T$，记为$T=T_x\times T_y$，$\|T\|=\max\{\|T_x\|,\|T_y\|\}$为分割$T$的宽度。
在$R_{ij}$中任取一点$M_{ij}(x^*_{ij}, y^*_{ij})$，用$M$表示这样一组取值，做Riemann和(或称为积分和)
\[S(f,T,M)=\sum_{i,j}f(M_{ij})\Delta R_{ij}
若存在实数$A$，使得$\forall \eps&0$, $\exists \delta&0$，当$\|T\|&\delta$时，满足
\[|S(f,T,M)-A|&\eps , \forall M_{ij}\in R_{ij}
则称二元函数$f(x,y)$在二维闭区间$R$上Riemann可积，而
\[A=\lim_{\|T\|\to0}\sum_{i,j}f(M_{ij})\Delta R_{ij}
为$f(x,y)$在$R$上的二重积分，记为
\[\iint\limits_Rf(x,y)dxdy , \mbox{或} \int_Rf
$f(x,y)$称为被积函数，$R$为积分区间，$f(x,y)dxdy$为被积表达式，$dxdy$为面积元。
定义 2.
$f(x,y)$是有界集$D$上的函数，取二维闭区间$R\supset D$，做$f(x,y)$的零延拓
\[f_D(x,y)=\casefunc{
& f(x,y), & (x,y)\in D \\
& 0 , & (x,y)\notin D
若$f_D(x,y)$在$R$上可积，则称$f(x,y)$在$D$上可积，并称$\iint\limits_Rf_D(x,y)dxdy$为$f(x,y)$在$D$上的二重积分，记为
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy , \mbox{或} \int_Df
这样定义的二重积分与闭区间$R$的选取无关。
定义 3.
设$D$是有界的平面点集，如果$D$上取值为$1$的常值函数可积，则称$D$是有面积的，并称
\[\iint\limits_D1dxdy
为$D$的面积。
定理 1.
有界平面点集$D$是有面积的$\Leftrightarrow$$\partial D$的面积为$0$。
特别地，由有限条分段光滑曲线围成的区域或闭域是有面积的
以后，总假定积分区域$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域。
定理 2.
$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，$f(x,y)$是$D$上的函数。
（1） 若$f(x,y)$在$D$上可积，则$f(x,y)$在$D$上有界；
（2） 若有界函数$f(x,y)$的不连续点分布在$D$中的有限条光滑曲线上，则$f(x,y)$在$D$上可积；
（3） 若有界函数$f(x,y)$，$g(x,y)$是$D$上的函数，且$f(x,y)\neq g(x,y)$的点分布在有限条光滑曲线上，则$f(x,y)$和$g(x,y)$在$D$上有相同的可积性。当它们可积时，有
\[\int_D f=\int_D g
定理 3.
$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，$f(x,y)$, $g(x,y)$是$D$上的可积函数。
（线性）对任意常数$c_1$, $c_2$ 和$c_1f+c_2g$在$D$上可积，且
\[\int_D(c_1f+c_2g)=c_1\int_Df+c_2\int_D g
（乘积） $f(x,y)g(x,y)$在$D$上可积
（保序性）若在$D$上$f(x,y)\geq g(x,y)$，则$\int_Df\geq\int_D g$
（绝对可积性）$|f(x,y)|$在$D$上可积，且有
\[|\int_D f|\leq \int_D|f|
定理 4.
$D_1$, $D_2$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，且$D_1\cap D_2=\emptyset$。
函数$h(x,y)$在$D_1$, $D_2$上都可积。
则$h(x,y)$在$D_1\cup D_2$上可积，且
\[\int_{D_1\cup D_2}h=\int_{D_1}h+\int_{D_2}h
定理 5. (积分中值定理)
$f(x,y)$在闭域$\bar D$中连续，则存在$(x_0,y_0)\in D$, 使得
\[\int_{D}f=f(x_0,y_0)S_D
其中$S_D$是$D$的面积。
定理 6.
$D$是有面积的平面点集，$f(x,y)$为$D$上的函数，那么$f(x,y)$在$D$上可积
且积分等于$A$的充要条件是，对$\forall \eps&0$, $\exists \delta&0$，
将$D$侵害为有限个内部互不相交的有面积的小块
$D_1,D_2,\cdots,D_n$，记
\[\lambda_i=sup|M_i-N_i|, M_i,N_i\in D_i
为$D_i$的直径，只要分割的宽度$\lambda=\max_i\lambda_i$满足
$\lambda&\delta$，就有
\[|\sum_{i=1}^nf(x_i,y_j)\Delta D_i-A|&\eps
函数$f(x,y)$在二维闭区间$R=[a,b]\times[c,d]$上可积。把二重积分看做是以
$R$为底、$z=f(x,y)$为顶的曲顶柱体的体积，则
\[A(x_0)=\int_c^df(x_0,y)dy
就是用平面$x=x_0$去截这个柱体得到的截面的面积。这样，柱体的体积也可以
用截面积的积分来表示
\[V=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy=\int_a^bA(x)dx \\
=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y)dy\right]dx
定理 7. (Fubini定理)
函数$f(x,y)$在二维闭区间$R=[a,b]\times[c,d]$上可积。
如果对每个$y\in[c,d]$，$f(x,y)$作为$x$的函数在$[a,b]$上可积，记
$\phi(y)=\int_a^bf(x,y)dx$
则$\phi(y)$在$[c,d]$上可积，且有
\[\int_c^d\phi(y)dy=\int_c^d\left[\int_a^bf(x,y)dx\right]dy=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy
如果对每个$x\in[a,b]$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$[c,d]$上可积，记
$\psi(x)=\int_c^df(x,y)dy$
则$\psi(x)$在$[a,b]$上可积，且有
\[\int_a^b\psi(x)dx=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y)dy\right]dx=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy
$R=[a,A]\times[b,B]$，则
\[\iint\limits_RX(x)Y(y)dxdy=\int_b^BY(y)dy \int_a^AX(x)dx
若$F''_{xy}(x,y)=f(x,y)$，则
\[\int_a^A\int_b^Bf(x,y)dxdy= \\
F(A,B)-F(a,B)-F(A,b)+F(a,a)
例 1.
$f(x)$为闭区间$[a,b]$上的连续函数，则有
\[(\int_a^bf(x)dx)^2\leq(b-a)\int_a^bf^2(x)dx
等号成立，当且仅当$f(x)$为常数
\[\iint\limits_RX(x)Y(y)dxdy=
\[\int_a^A\int_b^Bf(x,y)dxdy=
I型区域$D$是由曲线$y=\phi_1(x)$, $y=\phi_2(x)$和直线$x=a$, $x=b$围成
的区域，即
\[D=\{(x,y)|\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x), a\leq x\leq b\}
定理 8.
\[D=\{(x,y)|\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x), a\leq x\leq b\}
其中$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$为连续函数。$f(x,y)$在$D$上可积，
且对于$\forall x\in[a,b]$，积分
$\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_a^b\left[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy\right]dx
定理 9.
\[D=\{(x,y)|\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y), c\leq y\leq d\}
其中$\psi_1(y)$, $\psi_2(y)$为连续函数。$f(x,y)$在$D$上可积，
且对于$\forall y\in[c,d]$，积分
$\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\right]dy
例 2.
计算二重积分
\[\iint\limits_D\frac1{(x+y)^2}dxdy , D=[3,4]\times[1,2]
例 3.
计算累次积分
\[\int_0^1dx\int_x^{\sqrt x}\frac{\sin y}y dy
例 4.
\[\int_0^2dy\int_{\frac{y}2}^yf(x,y)dx+\int_2^4dy\int_{\frac{y}2}^2f(x,y)dx
\[\iint\limits_D\frac1{(x+y)^2}dxdy
例 5.
\[\int_{-1}^0dy\int_{-2\sqrt{y+1}}^{2\sqrt{y+1}}f(x,y)dx+\int_0^8dy\int_{2\sqrt{1+y}}^{2-y}f(x,y)dx
例 6.
计算由两个圆柱面$x^2+y^2=a^2$与$x^2+z^2=a^2$所围成的立体的体积
\[V=8\iint\limits_{x^2+y^2\leq a^2, x\geq0, y\geq0}\sqrt{a^2-x^2}dxdy \\
=8\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{a^2-x^2}dy \\
=8\int_0^a(a^2-x^2)dx
例 7.
\[\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy
其中$D$是以原点为圆心的单位圆盘$x^2+y^2\leq 1$
用累次积分来解
\[\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy=4\int_0^1dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dxdy \\
=2\int_0^1[y\sqrt{x^2+y^2}+x^2\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})]|_0^{\sqrt{1-x^2}}dx \\
=2\int_0^1(\sqrt{1-x^2}+x^2\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x)dx
换用极坐标
\[D'=\{(r,\theta):r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi)\}
\[D=\{(x,y): x^2+y^2\leq 1\}
极坐标变换 $\Phi: D'\to D$定义为
\[\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)
对$D'$区域做平行于坐标轴的分割：
\[T_r: 0=r_0&r_1&\cdots&r_n=1 \\
T_\theta: 0=\theta_0&\theta_1&\cdots&\theta_m=2\pi
则直线段$r=r_i$和$\theta=\theta_j$在映射$\Phi$处的像为$D$中的$\theta$曲线和$r$曲线。这些曲线给出了$D$的一个分割$T: D_{ij}, i=1,\cdots,n, j=1,\cdots,m$，其中
\[D_{ij}=\Phi([r_{i-1},r_i]\times[\theta_{j-1},\theta_j])
\[M_{ij}=\Phi(r_i,\theta_j)\in D_{ij}
则Riemann和$\DS\sum_{ij}f(M_{ij})\Delta D_{ij}$的极限为$\iint\limits_Df(x,y)dxdy$
而$\Delta D_{ij}\approx r_i\Delta \theta_j \Delta r_i$，这样，有
\[\iint\limits_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta=\iint\limits_Df(x,y)dxdy
更一般地，
$D$为$Oxy$平面上的有界区域，$f(x,y)$为$D$上的可积函数。
$D'$为$Ouv$平面上的区域，$\Phi: D'\to D$为一一的$C^1$映射，且$\mbox{det} J\Phi\neq0$，记为
\[\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))
则$f(x(u,v),y(u,v))$为$D'$上的可积函数
当$D'$上有分割，
\[T_u: a=u_0&u_1&\cdots&u_n=b \\
T_v: c=v_0&v_1&\cdots&v_n=d
则映射到$D$上有分割$T: D_{ij}$，其中
\[D_{ij}=\Phi([u_i,u_{i+1}]\times[v_j,v_{j+1}])
则$\Delta D_{ij}\approx |r'_u\times r'_v|\Delta u_i\Delta v_j$，而
\[|r'_u\times r'_v|=\abso{\abso{\begin{aligned} & i & j && k \\
& \pd{x}u & \pd{y}u && 0 \\ &\pd{x}v & \pd{y}v && 0 \end{aligned} }}=\abso{\pd{(x,y)}{(u,v)}}
取$(x_{ij},y_{ij})=\Phi(u_i,v_j)=(x(u_i,v_j),y(u_i,v_j))$，则
\[\sum_{i,j}f(x_{ij},y_{ij})\Delta D_{ij}\approx \\
\sum_{ij}f(x(u_i,v_j),y(u_i,v_j))|\pd{(x,y)}{(u,v)}|_{(u_i,v_j)}\Delta u_i\Delta v_j
上式的两边分别为积分
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy , \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|\pd{(x,y)}{(u,v)}|dudv
定理 10.
设$D$, $D'$为由分段光滑曲线围成的区域，$\Phi: D'\to D$， $\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$为$C^1$的一一映射，且
$\pd{(x,y)}{(u,v)}\neq0$。若$f(x,y)$为$D$上的可积函数，则
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy= \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\abso{\pd{(x,y)}{(u,v)}}dudv
公式说明了区域$D$的面积元素$dxdy$与$D'$的面积元素$dudv$之间有如下关系：
\[dxdy=\abso{\pd{(x,y)}{(u,v)}}dudv
如果变换为极坐标变量，$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则
\[\pd{(x,y)}{(r,\theta)}=\abso{\begin{aligned} & \cos\theta & -r\sin\theta \\ & \sin\theta
& r\cos\theta \end{aligned}}=r
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy= \iint\limits_{D'}f(r\cos\theta,r\sin\theta) r drd\theta
关键在于，$D'$上的积分易于求解
例 8.
\[\iint\limits_{x^2+y^2\leq x}f(\frac{y}x)dxdy
例 9.
\[\iint\limits_{\pi^2\leq x^2+y^2\leq 4 \pi^2}\sin(\sqrt{x^2+y^2}) dxdy
例 10.
\[\iint\limits_{ x^2+y^2\leq R^2}e^{-(x^2+y^2)} dxdy ,
\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx
例 11.
\[\iint\limits_D(x+y)dxdy
其中$D$由 $x^2+y^2=x+y$围成
例 12.
\[\iint\limits_D\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} dxdy
其中$D$由 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$围成
例 13.
\[\iint\limits_{\Omega} f(x,y)dxdy
（1） $\Omega$由$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$， $x=0$, $y=0$ 围成
（2） $\Omega$由$y=\frac1x$， $y=\frac2x$, $y=x+1$, $y=x-1$ 围成
（3） $\Omega$由$x+y=1$， $x=0$, $y=0$ 围成
例 14.
\[\int_a^b dx\int_{\alpha x}^{\beta x} f(x,y)dy , 0&a&b , 0&\alpha&\beta
例 15.
\[\iint\limits_{|x|+|y|\leq1}f(x+y)dxdy
定义 4.
(1) 设$f(x,y)$是定义在有界区域$D$及$\partial D$上的非负函数。在$\partial D$上的某些点的邻域中，$f(x,y)$无界（这种点叫作函数的瑕点）。假定$f(x,y)$在$D$内的任何闭区域上可积，做$D$中任一有界闭域列$\{D_n\}$，使得$D_n\subset D_{n+1}$及$\bigcup\limits_n^{\infty}D_n=D$，如果
\[\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy
存在有限，且与闭域列$\{D_n\}$的取法无关，那么称瑕积分是收敛的，
并规定瑕积分的值为
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy
否则称$f(x,y)$在$D$上的瑕积分发散。
例 16.
$D=[0,1]\times[0,1]$，
\[\iint\limits_D\frac{y}{\sqrt{x}}dxdy
定义 5.
(2) 设$f(x,y)$是定义在无界闭区域$D$上的非负函数， 且在$D$内的任意有界闭区域上可积。做$D$中任一有界闭域列$\{D_n\}$，使得$D_n\subset D_{n+1}$及$\bigcup\limits_n^{\infty}D_n=D$，如果
\[\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy
存在有限，且与闭域列$\{D_n\}$的取法无关，那么称无穷积分是收敛的，
并规定无穷积分的值为
\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy
否则称$f(x,y)$在$D$上的无穷积分发散。
例 17.
$D$为第一象限，求
\[\iint\limits_D\frac1{(1+x+y)^3}dxdy
定义 6.
在$f(x,y)$可正可负的情形下，令
\[p(x,y)=\frac12[|f(x,y)|+f(x,y)] \\
q(x,y)=\frac12[|f(x,y)|-f(x,y)]
若$p(x,y)$和$q(x,y)$在$D$上的瑕积分(或无穷积分)都收敛，则称$f(x,y)$在$D$上的瑕积分（或无穷积分）绝对收敛，并规定瑕积分（无穷积分）的值为
\[\iint\limits_Df(x,y)dx=\iint\limits_Dp(x,y)dx-\iint\limits_Dq(x,y)dx
例 18.}