§2.8  微分在近似计算中的应用

设函數在处的导数且充分小时，有

(1)、(2)、(3)式在近似计算中的作用：

(1)式可用于近似计算函数在处的增量

(2)式可用于近似计算函数在附近的函数值。

(3)式表明： 只要充分接近函数可用线性函数

用(2)、(3)式来作近似计算，关键是选择点的选取标准有两条：

【例1】有一批半径为1厘米的球， 為了提高球面光洁度要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米试估计每只球需用多少克铜(铜的比重是)?

解：镀铜前的球半径为=1 (厘米)

镀铜后球的半径嘚增量为 =0.01 (厘米)

而球的体积公式是 ， 这里是球的半径。

每只球的需铜量约为

由近似公式(2)计算函数  的近似值

注：值的计算可在MATLAB中键入表达式

二、几个工程中常用的近似公式

在(3)式中，取时形式变为  (充分小)

利用此式， 可以得到几个工程中常用的近似计算公式

这些公式的证明較容易，仅证第(5)式其余的留给同学们自行验证。

【例3】计算  的近似值

1、误差估计中的几个概念

设某个量的精确值为，它的近似值为則称为的绝对误差。

而比值称为的相对误差

一般说来，某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差就无法求得。因此在误差估计中， 常常是确定误差的范围

 称为测量的绝对误差限；

而比值  称为测量的相对误差限。

【例4】测得圆钢截面的直径测量的絕对误差限为
。若利用公式计算圆钢的截面积试估计面积

解：将测量时所产生的误差当作自变量的增量，

利用计算时的误差可看作函数嘚对应增量

当充分小时，可以用近似代替

而的绝对误差限为毫米，即：

仿上例可给出利用测量值，按公式计算值时其误差限的确萣公式。

设测量的误差限为即： ，当  时