当前位置： >>
二年级上册最小最大能填几
开火车，看看最大，最小，能填几。３６＝（ ） 4×9 ＝（ ） ４５ ＞（ 5×9 ＞（ ） ） ４9 ＞（ ） ）7×7 ＞（4×8+4 ＝（ ）5 ×8+5 ＞（ ）6×7+7＞（）30+（）=3642+（） ＞4545+（）＞49一、想一想， ）里最大能填几。 （ 25 ＞ 4 × （ ） 34 ＞ 6 × （ ） 73 ＞ 7 ×（ ） 57 ＞ 7 ×（ ） 65 ＞ 8 ×（ ） 21 ＞ 4 ×（ ） 49 ＞ 8 ×（ ） 64 ＞ 9 ×（ ） 46 ＞ 7 ×（ ） 49 ＞ 6 ×（ ） 43 ＞ 7 ×（ ） 29 ＞ 7 ×（ ） 19 ＞ 6 ×（ ） 13 ＞ 2 ×（ ） 19 ＞ 5 ×（ ） 50 ＞ 7 ×（ ） 26 ＞ 8 ×（ ） 22 ＞ 7 ×（ ） 32 ＞ 5 ×（ ） 同学们，你找到方法了么？ 最大能填几。 23 ＞ 3 ×（ ） 35 ＞ 8 ×（ ） 80 ＞ 9 ×（ ） 45 ＞ 6 ×（ ） 33 ＞ 8 ×（ ） 26 ＞ 3 ×（ ） 57 ＞ 7 ×（ ） 33 ＞ 3 ×（ ） 63 ＞ 8 ×（ ） 65 ＞ 8 ×（ ） 29 ＞ 4 ×（ ） 54 ＞ 8 ×（ ） 23 ＞ 3 ×（ ） 67 ＞ 9×（ ） 28 ＞ 3 ×（ ） 43 ＞ 6 ×（ ） 44 ＞ 6 ×（ ） 63 ＞ 7 ×（ ） 37 ＞ 5 ×（ ） 58 ＞ 9 ×（ ） 二、想一想， （ ）里最小能填几。 23 80 33 57 63 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 3 9 8 7 8 ×（ ×（ ×（ ×（ ×（ ） ） ） ） ） 35 45 26 33 65 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 8 6 3 3 8 ×（ ×（ ×（ ×（ ×（ ） ） ） ） ）35 ＞ 7 × （）29 ＜ 4 ×（ ） 23 ＜ 3 ×（ ） 28 ＜ 3 ×（ ） 44 ＜ 6 ×（ ） 37 ＜ 5 ×（ ） 最小能填几？ 4×（ ） ＞ 25 （ ） ＞ 29 8×（ ） ＞57 7×（ ） ＞54 8×（ ） ＞ 73 7×（ ） ＞ 43 3×（ ） ＞ 25 6×（ ） ＞ 45 5×（ ） ＞ 46 6×（ ） ＞ 49 4 ×5 +（ ）＜ 25 6× 5 +（ ）＜ 38 8 ×3 +（ ）＜ 25 3 ×6 +（ ）＜ 20 2 ×9 +（ ）＜ 21 9 ×5 +（ ）＜ 46 7 ×6 +（ ）＜ 45 6 ×9 +（ ）＜ 55 7 ×7 +（ ）＜ 52 9 ×5 +（ ）＜ 47 1 ×5 +（ ）＜ 25 8 ×5 +（ ）＜ 44 最小能填几？ 4×（ ） ＞ 25 （ ） ＞ 29 8×（ ） ＞57 7×（ ） ＞54 8×（ ） ＞ 73 7×（ ） ＞ 43 3×（ ） ＞ 25 6×（ ） ＞ 45 5×（ ） ＞ 46 6×（ ） ＞ 4954 67 43 63 58＜ ＜ ＜ ＜ ＜8 ×（ ） 9×（ ） 6 ×（ ） 7 ×（ ） 9 ×（ ） ） ＞ 34 ） ＞ 32 ） ＞ 65 ） ＞ 17 ） ＞ 27 ） ＞ 53 ） ＞ 69 ） ＞ 48 ） ＞ 35 ）＜ 30 ）＜ 46 ）＜ 25 ）＜ 56 ）＜ 45 ）＜ 43 ）＜ 67 ）＜ 25 ）＜ 78 ）＜ 65 ）＜ 67 ）＜89 ） ＞ 34 ） ） ） ） ） ） ） ） ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ 32 65 17 27 53 69 48 35 6×（ ） ＞ 55 9 × 6×（ ） ＞ 55 9 ×4 ×（ 5 ×（ 9 ×（ 4 ×（ 7 ×（ 9 ×（ 8 ×（ 7 ×（ 6 ×（ 9 ×3 +（ 4 ×9 +（ 4 ×3 +（ 5 ×5 +（ 4 ×4 +（ 6 ×6 +（ 7 ×5 +（ 2 ×9 +（ 6 ×8 +（ 7 ×5 +（ 7 ×9 +（ 8 ×9 +（ 4 ×（ 5 9 4 7 9 8 7 6 ×（ ×（ ×（ ×（ ×（ ×（ ×（ ×（
人教版二年级上册数学练习题(___)里最大能填几_二年级数学_数学_小学教育_教育专区。( )里最大能填几? )×8 ) 21&( 7×( 7×( 9×( 73&()×4 ...二年级数学最大能填几_数学_小学教育_教育专区。口诀练习括号里最大能填几? ...人教版小学二年级数学上... 小学二年级数学上册期末... 数学苏教版二年级上册...)×6&45 )&30 6×(( 7×(( )×8&65 )×7&48 ( )里最大能填几?...二年级上册最小最大能填... 2页 免费
最大能填几 3页 5下载券
【人教...最大最小能填几_二年级数学_数学_小学教育_教育专区。( )里最大能填几? ...提示:钟面上的时间分别是 2 时,3 时,4 时,5 时。 七、请你画出下面的...小学数学二年级上册最大能填几_数学_小学教育_教育专区。掌握最大能填 几 ( )最大能填几 9×( 8×( 6×( 2×( 7×( 2×( 7×( 3×( 4×( 5×...二年级数学下册最小最大能填几强化训练_数学_小学教育_教育专区。二年级数学...人教版二年级数学上_(括... 9页 免费
二年级数学下册知识点归... 6页 ...二年级最大最小能填几练习_二年级数学_数学_小学教育_教育专区。二年级最大最...三上练习括号里最大能填... 暂无评价 2页 免费喜欢此文档的还喜欢 ...(每小 【人教版】小学数学二年级上册期末(试卷一)(监考教师念题一遍,90 分钟...一个因数是 8 ,另一个因数是 7 ,列成算式是( )里最大能填几? )×8&...二年级上册数学填空题_二年级数学_数学_小学教育_...___=___(个) 1、 )里最大能填几?(6 分) ...( )个不同的两位数,最大的是( ), 最小的是(...二年级上平均数和最大填几精典练习题_其它课程_小学教育_教育专区。[知识要点]...最小能填几 8×6&(49) 7×8&(57) 6×6+12&(49) 6×3+12&(31) ...
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
二年级括号里最大能填几练习题.doc 4页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
需要金币：200 &&
二年级括号里最大能填几练习题
你可能关注的文档：
··········
··········
二年级括号里最大能填几练习题
×& ×66×＜44x8＜6＞×x＜3020＞x×＜30 ×＜61
×3＜26＞5× ×6＜2850＞6×
×8＜55×6＜38×＜30×9＜324＞5×0＞×7& ×9& ×8××
里最大能填几？
29＞×821＞×446＞9××4＜29
34＞5×7×＜30×8＜5560＞××6＜387×＜43×9＜65×8＜49
6×＜329×＜567×＜5 ×6＜4×8＜6573＞里最大能填几？
29＞×821＞7××6＜387×＜329××8＜6573＞里最大能填几？
29＞×821＞7××6＜387×＜329××8＜6573＞×9）×446）＜30）＜43）＜567）×9）×446）＜30）＜43）＜567）×9×7＜483＞9××8＜×＜5 ×7＜483＞9××8＜×＜5 ×7＜483×＜30 ×4＜29
＞××8＜49
×6＜4×＜30 ×4＜29
＞××8＜49
×6＜4×＜30
里最大能填几。
第二、三周——认识多位数第四、五周 ——三位数乘两位数第六、七周 ——用计算器计算第八、九周 ?——一亿有多大、半期考试 第十、十一周——解决问题的策略第十二、十三、十四周——运算律第十五、十六周——三角形、平行四边形和梯形 第十七周——多边形的内角和 第十八周——确定位置第十九周——整理与复习、考试jks6s4g6s44dffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff6+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+5ddgfgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg456+jkasfsgnjskdjfoaejfwareuyurewqyhweoiakrfiawkjrowjjaokjfaojrfjkajkfklasfooiafjasiojiefjioweijojiweejkwejoiafjwijaa积分搜积分税务局 发饿哦家人佛教违反 挖挖看你俩就惊扰囧啊 二房东家附近偶爱进入房间哦艾薇 上打孔机经费为奇偶积分挖机 按违法及开放口岸时间发放 发饿哦看见他认识我宽容她婆婆【‘’手机看图片欧锦赛搜几个贴士 通过无色我人机票二批加热几个天然 热可就是宽容破解诶及平台根据彭 热卡勒特我跑人口配哇哦套空陪我 哥特客人铁皮人卡通片饿哦看他 儿童款我呕吐陪同姑婆而欧赔二批我怕认他今儿我怕看见他人配偶挖
二娃认可苹果头碰头我看人颇为头呕吐 特温柔普通人科融科技太热加热即可条款及儿童惹我了入口平台喷口绕开通往【二课堂 抛开了事实上事实上事实上事实上开始给他二热挺认可普通人可破特务让他今儿我让他接受的快乐健康而温柔提每天各类可让人家特胸脯肉我脚疼今晚上额外时间特日破截图给欧赔数据图搜片而我是 蛇肉我金额肉IP我我碰见人提供我破解诶体弱
了哇破我件套啤酒特澳网IT界二娃具体额阿瓦盘搜就看他
让搜我今天三级手机搜是偶尔is九头色我搜就是破解SEO啤酒提供is及
是IE 进而通过二级客厅及配偶体检科视频监控破特色家庭个配色欧克 搜我今天看具体各搜救可通过破解可提供客人 热水卡普及推广我破色即可通过婆儿婆gds635g6s4g6s44dffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff6+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+56+5ddgfggggggggggggggggggggggggg
正在加载中，请稍后...
33页31页27页29页30页14页17页16页42页24页当前位置： >>
小学奥数三年级11
第一部分第一讲数字与计算速算与巧算【专题知识点概述】本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算 规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。一、 巧算的几种方法：分组凑整法： 就是将算式中的数分成若干组， 使每组的运算 结果都是整十、 整百、 整千...... 的数，再将各组的结果求和（差） 加补凑整法 1、移位凑整法：先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其 它的数相加。 2、借数凑整法：有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整。 其他类型的巧算二、基本运算律及公式：两个运算律： 一、加法 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位Z，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a 其中 a，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15. 总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后 两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。 即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 其中 a，b，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。-1-二、减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面 的运算符号“搬家” ．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中 a，b， c 各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后， 括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括 号内的数的运算符号“＋”变为“－”“－”变为“＋” ， ． 如：a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋” ，那么括号内 的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－” ，那么括号内的数的原运 算符号“＋”变为“－”“－”变为“＋” ， 。 如：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）【重点难点解析】1. 找出题目中可以进行“凑整”的数。 2. 利用运算律或者公式调整运算顺序。【竞赛考点挖掘】1. 做复杂、多个数的连加计算时，利用运算律或者公式，尽量避免进位。 2. 适当调整运算顺序。-2-【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）计算： （1）117＋229＋333＋471＋528＋622 （2） （＋468）＋（251＋332＋1650） （3）756－248－352 （4）894－89－111－95－105－94【分析与解】 在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑 整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数 减去后两个数的和．具体分析如下： （1）式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622） ＝450＋700＋1150 ＝（450＋1150）＋700 ＝ ＝2300 （2）式＝＋468＋251＋332＋1650 ＝（）＋（249＋251）＋（468＋332） ＝＋800 ＝4300 （3）式＝756－（248＋352） ＝756－600 ＝156 （4）式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105） ＝800－200－200 ＝400【例 2】 （难度等级 ※）计算： （1）－76＋ （2）＋536－154－46-3-（3）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+??+2006 （4）01-98-+2-1 【分析与解】 在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注 意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下： （1）式＝（1348－48）＋（）－（76＋24） ＝－100 ＝3200 （2）式＝1847－（）－（154＋46） ＝－200 ＝247 （3）式＝1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（04+2005） +2006 ＝2007 （4）式＝（01-2000）+（97-1996）+……+（3+2-1-0） ＝4×（2004÷4） ＝2004【例 3】 （难度等级 ※）计算 6472－()＋5319－()＋9354－()＋6839－() 【分析与解】 原式＝（＋1）＋（＋3）－（－4）－(－4) －(－4)－(－4) ＝1－－＋20 ＝2＋20 ＝20000【例 4】 （难度等级 ※）乒乓球训练所为了方便乒乓球的管理与取放，将乒乓球 放在如右图所示的容器中， 已知这个容器可以放 20 层乒 乓球，最下面一层可以放 12 个，每层都比上一层多 1 个，问这个容器可以盛放多少个乒乓球？ 【分析与解】-4-因为这些乒乓球从下向上看，从第 2 层起，每层比下一层多 1 根，共有 20 层，所以这个容 器中的乒乓球总数为： 12+13+14+…+29+30+31= （12+31） （13+30） （14+29） + + +…+ （21+22） =43×10=430【例 5】 （难度等级 ※※）有一个挂钟，一点钟敲 1 下，两点钟敲 2 下，三点钟敲 3 下，?十二点钟敲 12 下，每逢分 针指向 6 时敲 1 下。问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？ 【分析与解】 一昼夜有 24 个小时，把整点的与分针指向 6 时的分开算，整点一共敲： 1+2+3+…+10+11+12+1+2+3+…+10+11+12=（1+2+3+…+10+11+12）×2 1+2+3+…+10+11+12=（1+12）+（2+11）+（3+10）+…+（6+7）=13×6=78 78×2=156 指向 6 时一共敲 24 下，所以，一昼夜一共敲 156+24=180（下）【例 6】 （难度等级 ※※）计算 （1）298＋396＋495＋691＋799＋21 （2）195＋196＋197＋198＋199＋15 （3）98－96－97－105＋102＋101 （4）399＋403＋297－501 【分析与解】 在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下： （1） （法 1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1 ＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1） ＝300＋400＋500＋700＋800 ＝2700 （法 2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21 ＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21 ＝2700 （2） （法 1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1） ＝200＋200＋200＋200＋200 ＝1000 （法 2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15 ＝200＋200＋200＋200＋200 ＝1000-5-（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1） ＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1 ＝3 （4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1） ＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1 ＝598 注：在（1）中，在加 100 时多加了 1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要 减去”（2）中，少加了 2，在后面要加上，所以“少加的要加上”（3）中，多减了 2，所 ； ； 以要加上，所以“多减的要加上”（4）中，少减了 3，后面要再减去 3，所以“少减的要 ； 再减” ．【例 7】 （难度等级 ※※）计算： （1）19+199+1999+??+199??91999 个 9（2）00-1999+?+6+5-4-3+2+1 【分析与解】 （1） 原式＝2222……0-1999×11999 个 2＝22……202211996 个 2（2）原式＝01-1999+…+6-4+5-3+2-1 ＝2×3 ＝2002+1 ＝2003【例 8】 （难度等级 ※※※）计算 9+99+999+??+9个9【分析与解】 本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数 原式＝10+100+1000+……+-99个0＝-9＝-6-【例 9】 （难度等级 ※※※）计算（1）7＋7＋997＋97＋7 （2）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋ 98 【分析与解】 （1） （法 1）原式＝（）＋（）＋（）＋（72000－3）＋（2000 －3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3） ＝7＋7＋＋10－8×3 ＝ ＝ （法 2）原式＝000×3+70×5+900×6+90×7+7×8 ＝0+0+ ＝（2）原式＝83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83 ＋96＋98 ＝90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8 ＝1080+6 ＝1086 总结:找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数” （要注意把多加的数减去，把少加的数加上）【例 10】 （难度等级 ※※※）加法金字塔，计算右面数的和【分析与解】 这一列数的前九行是从上到下、从小到大排，后九行是从下到 上、从大到小排，所以从中间对折，上、下对应的两个数字之 和是 10，由此推知，个位的 18 个数之和是（1+9）+（3+7）+ （4+6）+…+（1+9）=10×9=90，同理，十位的 16 个数之和是 80，百位的 14 个数之和是 70……亿位的两个数之和是 10，按 照加法进位的法则，上面的金字塔的结果是 。-7-【例 11】 （难度等级 ※※※）计算 （1）100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108 （2）123＋234＋345－456＋567－678＋789 【分析与解】 （1）原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107） ＝100＋1＋1＋1＋1 ＝104 （2） （法 1）原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678） ＝123＋234＋345＋111＋111 ＝234＋（123＋567） ＝234＋690 ＝924 （法 2）原式＝123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+ （123+666） ＝123×3+（111+222-333+444-555+666） ＝369+555 ＝924【例 12】 （难度等级 ※※※）计算：＋ 【分析与解】 原式＝（＋30＋4）＋（＋40＋2）＋（＋20＋1）＋（2000 ＋400＋10＋3） ＝（＋）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋ （1＋2＋3＋4） ＝1＋100＋10 ＝11110【例 13】 （难度等级 ※※※）在右图的 36 个格子中各有一个数， 最上面一横行和最左面一竖列 中的数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最 左面数与同一竖列最上面数之和（例如：a＝14＋17＝31） ，问这 36 个数的总和是多少？-8-【分析与解】 （法 1）第二横行的空格应该填的数字分别是 11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12， 同理，下面每一横行都是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这 36 个格 子中的所有数字之和，第一横行的和为：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋ 19）＋（13＋17）＝85，第二横行的和为：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋ 12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三横行的和为：14＋11＋14＋13＋ 14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四横行的和 为 16×6＋75＝171， 第五横行的和为： 18×6＋75＝183， 第六横行的和为： 20×6＋75＝195. 所以 36 个格子的和为 85＋147＋159＋171＋183＋195＝940. （法 2）法 1 比较笨拙，没有体现该题解法的精髓，在我们解这道题之前，我们看看下面的 例子： 2 4 6 8 上表空格处的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和，求这 16 个数之 和。 每列第一个数为 a,所填每列和＝3a+4+6+8， 所填写各列总和＝3×(3+4+5)+(4+6+8)×3， 所 以除角上 2 以外的所有数之和为 4×(4+6+8+3+4+5)， 所以 16 格总和为 4×(4+6+8+3+4+5)+2 ＝122. 再类推到原题，则有： 所有数之和＝（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10＝940. 3 4 5【例 14】 （难度等级※※※）在 134＋7，134＋14，134＋21，??，134＋210 这 30 个算式中，每个算式的计算结果都 是三位数，求这些三位数的百位数字之和． 【分析与解】 我们只要求百位数字之和，仔细观察这些计算结果，发现百位数字最小是 1，最大是 3，当 134＋7×9＝134＋63 时，前面的和的百位数都是 1，这一共有 9 个数；从 134＋7×10＝134 ＋70 开始，到 134＋7×23＝134＋161，这些和的百位数是 2，一共有 14 个数；从 134＋7 ×24＝134＋168 到 134＋7×30，这些和的百位数都是 3，一共有 7 和数．所以这些算式的 和的百位数字之和为：1×9＋2×14＋3×7＝58.-9-【例 15】 （难度等级※※※）魔术师有 6 粒骰子，每粒骰子的 6 个面上写的数字如下： 256，850，157，553，454，652； 814，616，319，715，418，913； 585，387，882，189，684，783； 437，635，129，833，536，734； 168，663，267，564，762，861； 671，374，572，473，176，275 这 36 个数没有一个相同的，魔术师将 6 粒骰子随意洒在桌面上，请观众将 6 粒骰子顶面上 的 6 个数相加，每次魔术师都比观众加的快，你知道为什么吗？你能做到吗？ 【分析与解】 仔细观察可以发现，在每粒骰子的 6 个数中，十位数都相同，个位数与百位数之和也相同， 6 粒骰子的十位数依次为：5，1，8，3，6，7，个位数与百位数之和依次为：8，12，10， 11，9，7。当 6 粒骰子掷在桌面上，顶面的 6 个数相加，十位数之和是：5+1+8+3+6+7=30， 个位数与百位数之和是：8+12+10+11+9+7=57。将十位向百位进 3 加进去，得：57+3=60。 所以你只需计算这 6 个数的个位数之和，如果个位数之和为 n，那么百位数之和为 60-n， 则这六个三位数之和的前两位是（60-n） ，后两位是 n 例如 6 粒骰子顶面的 6 个数分别是：850，715，783，437，762，275，它们的个位数之和 为：0+5+3+4+3+7+2+5=22，60-22=38，所以这 6 个数之和是 3822【作业】1、计算：195＋196＋197＋198＋199 【答案】9852、计算：89+899++899999 【答案】9999853、11+192++199995 所得和数的数字之和是多少？ 【答案】20。4、请从 3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985 这 12 个数中选出 5 个数，使 它们的和等于 1995。- 10 -【答案】9，77，231，693，985 5、计算：-3+4+5-6-7+8+9-10-11+??+95+1996 【答案】1997挑战自己（难度等级※※※）从 1999 这个数里减去 253 以后，再加上 244，然后在减去 253，再加上 244，??，这样一 直减下去，减到第多少次，得数恰好等于 0？【答案】253-244=9，6，，194+1=195，所以减到第 195 次，得数 恰好等于 0。- 11 -第二讲等差数列的认识与计算【专题知识点概述】本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记等差数列各 个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。一、等差数列的定义：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项 称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后 项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、9??96，这是一个首项为 3， 末项为 96，项数为 32，公差为 3 的数列。【授课批注】 一般情况下，等差数列是按照从小到大进行排列的，有时会出现从大到小排列顺序，此时 可以改变数列顺序，从而让数列变为从小到大，并避免出现公差小于零的情况。二、等差数列的相关公式：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数 平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2【授课批注】 第一个公式中，有时会遇到求中间项、而非末项，此时可以截取一个新的数列，把该项作 为“新的末项” ，即可继续用此公式。【重点难点解析】1．找出题目中首项、末项、公差、项数。 2．必要时调整数列顺序。- 12 -【竞赛考点挖掘】1．找到数列规律。 2．适当调整数列顺序。【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）2，5，8，11，14??是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？ 【分析与解】 此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。 末项=2+（21-1）×3=62【例 2】 （难度等级 ※）计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 【分析与解】 原式=（1+12）×12÷2 = 78【例 3】 （难度等级 ※）计算 11+12+13+14+15+16+17+18+19 【分析与解】 原式=（11+19）×9÷2 = 135【例 4】 （难度等级 ※）计算 100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90 【分析与解】 原式=（100+90）×11÷2 = 1045- 13 -【例 5】 （难度等级 ※※）把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？ 【分析与解】 该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项数为 21. 101+（21-1）×2=141【例 6】 （难度等级 ※※）已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项 是多少？ 【分析与解】 公差=137-131=6 131=首项+（9-1）×6 所以，首项=83 末项（第 19 项）=83+（19-1）×6=191【例 7】 （难度等级 ※※）体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如 果冬冬报 17，阿奇报 150，每位同学报的数都比前一位多 7，那么队伍里一共有多少人？ 【分析与解】 首项=17，末项=150，公差=7 项数=（150-17）÷7+1=20【例 8】 （难度等级 ※※※）已知一个等差数列第 8 项等于 50，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是多少？ 【分析与解】 71-50=21 21÷（15-8）=3（公差） 50=首项+（8-1）×3 所以首项=29【例 9】 （难度等级 ※※※）一个数列共有 13 项，每一项都比它的前一项小 7，并且末项为 125，求首项是多少？ 【分析与解】- 14 -将数列顺序进行调整：首项为 125，公差为 7，项数为 13. 所以末项（所求的“首项” ）=125+（13-1）×7=209【例 10】 （难度等级 ※※※）已知等差数列 15，19，23，27??443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差 是多少？ 【分析与解】 公差=19-15=4 项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为 8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为 8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为 =216【例 11】 （难度等级 ※※※）建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块 砖，第 3 层 10 块砖?，依次每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最 下层 2106 块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【分析与解】 项数=（2106-2）÷4+1=527 因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054 数列和=中间项×项数=5458 所以中间一层有 1054 块砖，这堆砖共有 555458 块。【例 12】 （难度等级 ※※※）把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？ 【分析与解】 平均数：248÷8=31 第 4 个数：31-1=30 第 1 个数：30-6=24 末项：24+（8-1）×2=38 即：最大的数为 38。【例 13】 （难度等级 ※※※）- 15 -求 99，89，88，79，77，69，??11 这个数列的和 【分析与解】 将该数列分解为两个等差数列：99，88，77……11；89，79，69……19 改变两个数列顺序并相加： （11+99）×9÷2=495 （19+89）×8÷2=432 495+432=928【例 14】 （难度等级※※※）在 289 和 715 之间插入 5 个数，使这个数列成为等差数列，求这 5 个数的和是多少？ 【分析与解】 数列和=（289+715）×7÷2=9-715=2510【例 15】 （难度等级※※※）小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000 元工资，以后每月多得 60 元；小高第 一个月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少 元？ 【分析与解】 小王：1000+60×（12-1）=1660 （）×12÷2=15960 小高：500+45×（12-1）=995 （500+995）×12÷2=- 即一年后两人所得工资总数相差 6990 元。【例 16】 （难度等级 ※※※※）把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那 么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 【分析与解】 由题可知：由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列，则中间一个数为 210÷7=30，所以，这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40。【例 17】 （难度等级 ※※※※）100 个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个?第- 16 -99 个，再把剩下的 50 个数相加，结果是多少？ 【分析与解】 我们考虑这 100 个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩 下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1，因此，剩下的数的总和比取走的 数的总和大 50， 又因为它们相加的和为 8450.所以， 剩下的数的总和为 （8450+50） ÷2=4250。【例 18】 （难度等级 ※※※※）求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 【分析与解】 解法 1：可以看出，2，4，6，…，2000 是一个公差为 2 的等差数列，1，3，5，…，1999 也是一个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以： 原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×0 解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000 项就差 了 1000 个 1，即 原式=0【例 19】 （难度等级 ※※※※）在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 656，且第一 名的分数超过了 90 分（满分为 100 分） 。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是 多少？ 【分析与解】 他们的平均分为 656÷8=82 82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为 1×2=2、2×2=4、 3×2=6…… 若第四名为 82+1=83 分，则第一名为 83+（4-1）×2=89 分，不符合题意，舍； 若第四名为 82+2=84 分，则第一名为 84+（4-1）×4=96 分，不符合题意； 若第四名为 82+3=85 分，则第一名为 85+（4-1）×6=103 分，不符合题意。 因此，第四名为 84 分，公差为 4，所以第三名为 84+4=88 分- 17 -【例 20】 （难度等级 ※※※※※）把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197 排在第几行的第几个数？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 ? ? 【分析与解】 197 是奇数中的第 99 个数. 数表中，第 1 行有 1 个数. 第 2 行有 3 个数. 第 3 行有 5 个数… 第几行有 2×行数-l 个数 因此，前 n 行中共有奇数的个数为： 1+3+5+7+…+（2×行数-1） =［1+（2×行数-1） 〕×行数÷2 =行数×行数 因为 9×9＜99＜10×10.所以，第 99 个数位于数表的第 10 行的倒数第 2 个数，即第 18 个 数，即 197 位于第 10 行第 18 个数。【作业】1、求值： （1）6+11+16+?+501 （2）101+102+103+104+?+999【答案】 2、下面的算式是按一定规律排列的，那么，第 100 个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14， 7+20，?【答案】699。 3、11 至 18 这 8 个连续自然数的和再加上 1992 后所得的值恰好等于另外 8 个连续数的和， 这另外 8 个连续自然数中的最小数是多少？【答案】260。 4、把 100 根小棒分成 10 堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？- 18 -【答案】分为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 5、把一堆苹果分给 8 个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不 同的话，这堆苹果至少应该有几个？ 【答案】36 个。挑战自己（难度等级※※※※※）下表是一个数字方阵，求表中所有数之和. 1，2，3，4，5，6?98，99，100 2，3，4，5，6，7?99，100，101 3，4，5，6，7，8?100，101，102 ???????????????? 100，101，102，103，104，105?197，198，199【答案】 第一行平均数为（1+100）÷2=50.5，第二行为 51.5，第三行为 52.5??每行平均数的公 差为 1。 第一行总和为 50.5×100，第二行总和为 51.5×100，第三行总和为 52.5×100??最后一 行为[50.5+（100-1）×1] ×100=149.5×100。 因此所有数的总和为（50.5+149.5）×100÷2×100=1000000- 19 -第三讲数字找规律【专题知识点概述】在今天这节课中，我们将来研究数列问题．正确认识数列，并且掌握研究 数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1） 年份：，，，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3） 像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个 数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为这个数列的第 1 项，第 2 个数称为 第 2 项，…，第 n 个数就称为第 n 项.如数列（3）中，第 1 项是 45，第 2 项也 是 45，第 3 项是 44，第 4 项是 46，第 5 项 45。 根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数 列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数 列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。 研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据， 本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。【授课批注】 从日常生活中找出例子来举例说明，数列在生活中处处相关，例如日期，时间，年龄等等【重点难点解析】1、掌握一些常见的数列的规律. 2、掌握一些特殊数列的规律，并熟练应用规律解决问题. 3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.- 20 -【竞赛考点挖掘】1. 数列规律的发现 2. 综合数列的区分和解答【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※※）观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（），17，20 ②19，17，15，13，（），9，7 ③1，3，9，27，（），243 ④64，32，16，8，（），2 【分析与解】 ①不难发现，从第 2 项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于 3.因此，括号中应填 的数是 14，即：11＋3=14。 ② 同①考虑， 可以看出， 每相邻两项的差是一定值 2.所以， 括号中应填 11， 即： 13―2=11。 ③此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第 2 项开始，每一项都是其前面 一项的 3 倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代 入后， 243 也符合规律，即 243＝81×3。 ④与③类似，本题中，从第 1 项开始，每一项是其后面一项的 2 倍，即： 因此，括号中填 4，代入后符合规律。【例 2】 （难度等级 ※※）（1） 1，1，2，3，5，8，（），21，34? （2） 1，3，4，7，11，18，（），47? （3） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）. （4） 1，2，6，24，120，（），5040。 【分析与解】 （1）首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻 项之间是否还有别的关系， 可以发现， 从第 3 项开始， 每一项等于它前面两项的和.即 2=1+1， 3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。- 21 -（2）从第 3 项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是 29，即 29=11＋ 18。 （3）这一列数有如下的规律： 第 1 项：1=1 第 2 项：3=1＋2 第 3 项：6=1+2+3 第 4 项：10=1+2+3+4 第 5 项：（ ） 第 6 项：21=1+2+3+4+5+6 第 7 项：28=1+2+3+4+5+6+7 第 8 项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第 9 项：（ ） 即这个数列的规律是：每一项都等于从 1 开始，以其项数为最大数的 n 个连续自然数的和. 因此， 第五项为 15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5； 第九项为 45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。 （4）显然： 第 1 项 1=1 第 2 项 2=1×2 第 3 项 6=1×2×3 第 4 项 24=1×2×3×4 第 5 项 120=1×2×3×4×5 第6项 （ ） 第 7 项 ×3×4×5×6×7 所以，第 6 项应为 1×2×3×4×5×6=720【例 3】 （难度级别 ※※）（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），?? ） （2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ （3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ 【分析与解】 （1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），…… ）这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14， 20，……．- 22 -对于数列 4，5，6，7，……，由观察得知，第 2 项等于第 1 项加上 1，第 3 项等于第 1 项 加上 2，第 4 项等于第 1 项加上 3，……，所以第 5 项等于第 1 项加上 4，即 4＋4＝8． 同 理，数列：2，8，14，20，……，第 2 项等于第 1 项加上 1×6，第 3 项等于第 1 项加上 2 ×6，第 4 项等于第 1 项加上 3×6，……，所以第 5 项等于第 1 项加上 4×6，即 2＋4×6 ＝26． 所以，括号里应填 8+26． ）（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ 观察这个数列中每一组中对应位Z上的数字，可以得到如下规律： 每组第一个是 1、2、3、4、......这是一个自然数列， 第二个是 2、4、8、16、......，这是一个等比数列， 第三个 100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；所以，第 5 组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）． （3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ ）这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后 一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于第一个数列，是由 1、2 两个数字循 环组成的，所以第八项应为 2；对于第二个数列，是由 3、2、1 循环组成的，所以第八项的 第二个数字应为 2．所以，括号里应填 2×2．【例 4】 （难度级别 ※※）1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，??是一串按照某规律排列的自然数，请问其中第 51 个 数至第 55 个数的和是多少？ 【分析与解】 观察可以发现，数列的规律是两个一组，即 1，2；2，3；3，4；…，每一组的第一个数为 从 1 开始的自然数列， 而且是这一组的组数， 每组的两个数为连续自然数， 因为 51÷2=25… 1，说明第 51 个数是第 26 组的第一个数，应该是 26，从第 51 个数到第 55 个数一共有 5 个 数，分别为：26，27，27，28，28，所以它们的和为：26+27+27+28+28=136.【例 5】 （难度级别 ※※）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，?．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中 第 101 个数至第 110 个数之和是多少？ 【分析与解】 观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即 1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；…… 每一组的第一个数为从 1 开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一 个数都是这个组的组数；因为 101÷3=33......2，说明第 101 个是第 33+1=34 组中的第二 个数， 那么应该是 34+1=35； 101 到 110 共有 110-101+1=10 个数， 从 那么这 10 个数分别是：- 23 -35 、 36 ， 35 、 36 、 37 ， 36 、 37 、 38 ， 37 、 38 ； 所 以 ， 他 们 的 和 为 35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．【例 6】 （难度级别 ※※）一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6??，问从左面第一个数起， 数 100 个数，这 100 个数的和是多少？ 【分析与解】 观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个的分组：（1，2，3），（2，3，4），（3， 4，5），（4，5，6），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第 1、2、3、……组中 第一个数依次为 1，2，3，……每一组数都是由 3 个连续自然数组成，它们的和等于中间一 个数的 3 倍． 100÷3=33……1，也就是说，第 100 个数在第 34 组中，并且是 34．求前 100 个数的和，就 是求前 33 组数的和与 34 的和是多少． 2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816，或者（6+102）×33÷2+34=1816【例 7】 （难度级别 ※※※）小王和小李玩数字游戏，小王说： “我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先 报： “172.”小李说： “没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报： “84，40.”小李 说： “行了，我报 18，7.”你知道小王下一个该报几吗？ 【分析与解】 小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现， 报数的规律是按前一数的一半减 2 后往下报的，但是 7 再往下报的话就不是整数了，所以 小王接着无法再往下报了.【例 8】 （难度级别 ※※※）先观察下面各算式，再按规律填数． （1）===345679×____=345679×_____= 【分析与解】 （1）在这一组算式中，被乘数不变，乘数和积都在变化．和第一个算式比，乘数扩大多少 倍，积也就扩大多少倍．根据这一规律可知，空格中的数分别为 9×4=36，9×6=54．- 24 -（2）21×9=189 321×9=×9=×9=（ =（ ） ）（2） 通过观察可以看出这是一组排列有序的数字 “梯田” 一层一层有规律的向下延伸． ， 乘 号前面是 21、321、4321，乘号后面都是 9，相乘的答案的最高位分别是 1、2、3，而位数 分别是三位数、四位数、五位数．由此可得： 54321×9 的最高位是 4，位数是 5+1＝6，个位上都是 9，其余各位都是 8； 的最 高位是 5，个位是 9，其余各位都是 8，位数是 6+1＝7． 所以，5889，=5888889．【例 9】 （难度级别 ※※※）在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个 合适的数替换。 ①42，20，18，48，24 （21，54，45，10） ②15，75，60，45，27 （50，70，30，9） ③42，126，168，63，882 （27，210，33，25） 【分析与解】 ①中，42、18、48、24 都是 6 的倍数，只有 20 不是，所以，划掉 20，用 54 代替。 ② 15、 75、 60、 45 都是 15 的整数倍数，而 27 不是，用 30 来替换 27。 ③同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882 都是 42 的整数倍，而 63 却不是.因 此，用 210 来代替 63。【例 10】 （难度级别 ※※※）1+2+1= 1+2+3+2+1= 1+2+3+4+3+2+1= 1+2+3+4+5+4+3+2+1= 根据上面四式的计算规律求：1+2+3+?+9+10+9+?+3+2+1= 【分析与解】 这道题可以利用简便方法计算出上面四个算式的结果，从中找出答案规律. 1+2+1=2+(1+1)=2×2=4,1+2+3+2+1=3+(2+1)+（2+1）=3×3=9，1+2+3+4+3+2+1=4+（1+3）+ （2+2）+（1+3）=4×4=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5+（1+4）+（1+4）+（3+2）+（3+2）=5 ×5=25，可以发现：算式的答案等于加法算式中间一个加数（最大的数）乘以自己.所以， 1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=10×10=100.- 25 -【例 11】 （难度级别 ※※※）先找规律，再填数 3×4=12 33×34=4=3×2 3=( ×=( 【分析与解】 通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号 前面是 3、33、333、、，乘号后面分别是 4、34、334、、 ，乘数与被乘数位数相同，相乘的答案的位数分别是乘数与被乘数的位数和，而 且积是有规律的，它所含有的 1 的个数和 2 的个数相等，都是乘数或被乘数的位数．所以 括号中分别填
和 222222． ) )【例 12】 （难度级别 ※※※）自然数 1，2，3，4??排成如下数阵： 第一列 1 2 3 4 第二列 3 4 5 6 第三列 5 6 7 8 第四列 7 8 9 10 第五列 9 10 11 12 ） 第六列 11 12 13 14 ?? ?? ?? ?? ??问这个数阵中的第 15 列上起第 3 个数是（ 【分析与解】观察这个数阵中的数的排列规律，可以发现：每列的第二个数都是双数，并且是每列序数 的 2 倍：每列的四个数是 4 个连续自然数按从小到大的顺序排列；除 2 以外，其它双数均 出现 2 次．因此，第 15 列上起第 2 个数是：2×15=30，第三个数就是 31.【例 13】 （难度级别 ※※※※）有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；??．问 第 99 个数组内三个数的和是多少？- 26 -【分析与解】 观察每一组中对应位Z上的数字，每组第一个是 1、2、3、......的自然数列，第二个是 5、 10、15、......，分别是它们各组中第一个数的 5 倍，第三个 10、20、30、......，分别 是它们各组中第一个数的 10 倍；所以，第 99 组中的数应该是：99、99×5、99×10，三个 数的和=99+99×5+99×10=1584．【例 14】 （难度级别 ※※※※）1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，??， 那么其中第多少 个算式的结果是 2008？ 【分析与解】 先找出规律： 每个式子由 2 个数相加，第一个数是 1、2、3、4 的循环，第二个数是从 1 开始的连续奇数． 因为 2008 是偶数， 个加数中第二个一定是奇数， 2 所以第一个必为奇数， 所以是 1 或 3， 如果是 1：那么第二个数为 7，2007 是第（2007+1）÷2=1004 项，而数字 1 始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是 3+，是（2005＋1）÷ 2=1003 个算式．【例 15】 （难度级别 ※※※※）下面是一组数列，每 3 个相邻数字之和都是 17，你知道“？”表示的数字是几吗？ 8（ ）（ ）（ ）？（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）6 【分析与解】 根据每三个相邻数之和为 17， 可知倒数第二个数与倒数第三个数之和为 17－6=11 推出倒数 第四个数为 6，倒数 5、6 之和为 11，则问号为 17－11=6【作业】1. 按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）1，1，3，7，13，（ （2）1，3，7，15，31，（ (3)1，4，9，16，25，（ (4)0，3，8，15，24，（ ），31。 ），127，255。 ），49，64。 ），48，63。 ）. ）.（5)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ (6)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ 【答案】21，63，36，35，32，81- 27 -2. 按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）1，2，3，4，5，（ ），7? ），70（2）100，95，90，85，80，（ （3）1，2，4，8，16，（ 【答案】6，75，32），643.按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）.2，1，3，4，7，（ （2）.1，2，5，10，17，（ （3）.1，8，27，64，125，（ （4）.1，9，2，8，3，（ 【答案】11，26，216，7 ），18，29，47 ），37，50 ），343），4，6，5，54. 观察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，??其中 第多少个算式的结果是 2008？ 【答案】2515. 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字. 1 2 3 4 5 6 12 10 18 8 15 （ 6 4 9 12 16 25 30 36（ ） ）【答案】20，24挑战自己（难度等级 ※※※※※）将自然数中的偶数 2，4，6，8，10?按下表排成 5 列， 问 2000 出现在哪一列？- 28 -【答案】A 列第四讲等量代换【专题知识点概述】等量代换。用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或 另一种量的一部分） “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是 。 数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着 广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。【授课批注】 本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想，在授课过程中，尽量用图形文字来表示数 字，对高水平的学生可以尝试使用字母。【重点难点解析】1. 寻找等量关系【竞赛考点挖掘】1. 较难等量代换和代数方法的综合【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）如右图，一个
=（ ）个 ○？- 29 -【分析与解】 方法一：3 个□和 3 个一样重，可以知道 1 个□和一个也一样重；也就是 2 个和 6 个 ○一样重，可知 1 个就等于 3 个○。 方法二：把天平图改写成算式： 因为，○+○+○+○+○+○=□+□ 所以，□=○+○+○ 又因为，++=□+□+□ 所以，=□ 得到：=○+○+○ 方法三：我是用替换的方法： 把□→，因此，□→，□→，□→ 因为， 所以，从中得出：=○+○+○【例 2】 （难度等级 ※）最大的球的重量是（ ）克。 30 克图1图2图3【分析与解】 方法一：- 30 -发现图（1）中，左边比右边多一个花皮球，所以一个花皮球就是 30 克。那么 2 个花 皮球就是 60 克，3 个白皮球与 2 个花皮球一样重，可知一个白皮球为 20 克。根据图 （3） ，最大的球就是 80 克。方法二：用算式来解： 由图（1）得： 所以 + + = + + 30= 30 （克） + + =60（克）由图（2）得： 所以， =20（克）由图（3）得：最大的球=4×20=80(克)【例 3】 （难度等级 ※※）△ + □ = 9 △ + △ + □ + □ + □ = 25 △ = ( ) ; □ = ( )【分析与解】 方法一：因为△ + □ = 9，我们就可把△+△+□+□+□=25 中的△+□换成 9，变成 9+△+□+□=25；再替换一次，变成 9+9+□=25，可以得出□=7；再根据△+□=9 和求 出的□=7，可以求出△=2。 方法二：1 个△加 1 个□等于 9，那么 2 个△加 2 个□的和 就是 18。因为 2 个△加 3 个□等于 25，所以 18+□=25。 由此得出 1 个□是 7，那么一个△就是 2 了。 解：2×9=18 □：25-18=7 △：9-7=2 答：△ = 2；□ = 7。【例 4】 （难度等级 ※※）已知 △ + ○=24 【分析与解】 ○ = ○ + △。那么△和○各代表多少？将两个等式编号： （1） △+○=24- 31 -（2）○=△+△将（1）式中的○用（2）式中的 2 个△代替 得 △+△+△=24 所以 △=24÷3=8 ○=8+8=16【例 5】 （难度等级 ※※）1 个苹果和几个草莓一样重？ 【分析与解】 由第二幅图知道，1 个苹果和 2 个梨一样重，1 个梨和 2 个草 莓一样重，那么 2 个梨和 4 个草莓一样重。 所以 1 个苹果=2 个梨=4 个草莓。【例 6】 （难度等级 ※※）根据图，想一想，一只猫相当于几只小甲壳虫的重量？【分析与解】 由第三幅图知道，1 条鱼和 4 只小甲壳虫一样重，那么 3 条鱼和 12 只小甲壳虫一样重，我 们这样想：1 只鸡=3 条鱼=12 只小甲壳虫，那么，2 只鸡=6 条鱼=24 只小甲壳虫。又因为 1 只猫=2 只鸡，所以 1 只猫=2 只鸡=6 条鱼=24 只小甲壳虫【例 7】 （难度等级 ※※※）根据图，想一想，一颗五角星等于几个圆？- 32 -？【分析与解】 由图知道，1 个三角=2 个圆，1 颗五角星=3 个三角，那么 3 个三角=6 个圆，所以，1 颗五 角星=3 个三角=6 个圆，即 1 颗五角星=6 个圆。【例 8】 （难度等级 ※※※）已知 13 个李子的重量等于 2 个苹果和 1 个桃子的重量，而 4 个李子和 1 个苹果的重量等于 1 个桃子的重量，问多少个李子的重量等于 1 个桃子的重量？ 【分析与解】 由题意列等式： 13 桃=2 苹+1 桃 4 李+1 苹=1 桃 把（2）式代入（1）式得： 13 李=2 苹+4 李+1 苹 即 9 李=3 苹 即 3 李=1 苹 把（3）式代入（2）式得 4 李+3 李=1 桃 即 7 李=1 桃 即 7 个李子重量等于 1 个桃子的重量。 （3） （1） （2）【例 9】 （难度等级 ※※）如果鱼尾重 4 公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾 的重量，问这条鱼有多少公斤重？ 【分析与解】 依题意列出下列等式： 尾=4 头=尾+身÷2 身=头+尾 （1） （2） （3）- 33 -由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）式两边同乘以 2 得： 2 头=2 尾+身 把（3）式代入（4）式得： 2 头=2 尾+头+尾 即：头=3 尾=3×4=12 公斤 身=头+尾=12+4=16 公斤 所以，全鱼=头+身+尾=12+16+4=32 公斤 （4）【例 10】 （难度等级 ※※）张老师买了 3 个足球，2 个篮球，李老师买了 2 个足球，4 个篮球，他们每人均花了 80 元。 问 1 个足球多少钱，1 个篮球多少钱。 【分析与解】 由题意列等式： 3 足+2 篮=80 元 2 足+4 篮=80 元 张老师比李老师多买 1 个足球，但是比李老师少买 2 个篮球，他们两个人花的钱又是一样 多，所以 1 个足球和 2 个篮球的价钱一样。 3 足+2 篮=80 元 就可以变成 3 足+1 足=80 元 即 4 足=80 元 即 1 个足球的价钱 80÷4=20 元 1 个篮球的价钱 20÷2=10 元【例 11】 （难度等级 ※※※）一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的 5 倍，问买 30 支活动铅笔的钱能买几支钢笔？ 【分析与解】 方法 1：列出下列等式： 1 支钢笔=5 支铅笔 改写成 30 支铅笔=6×5 支铅笔 把（1）式代入（2）式得： 30 支铅笔=6×1 支钢笔=6 支钢笔 方法 2：用字母 x 代表 1 支钢笔的价钱，- 34 -（1） （2）用字母 y 代表 1 支铅笔的价钱， 依题意可列出等式： x=5y 因为 30y=6×5y 用 x 代替 5y 得 30y=6x【作业】1、 □ □ = ◇ ◇ = （ ）个▲ 【答案】8 □ = ▲ ▲ ▲ ▲2. 看图回答， （）杯水可以注满一壶。【答案】8 3. ☆ + ☆ + ☆ + ○ = 22 ； ☆ + ☆ + ☆ + ○ + ○ + ○ = 30 ○ = （ ） ；☆ = （ ）【答案】4，64. 假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3只猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只 兔子？ 【答案】600 5. 小明去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花去了1元3角5分钱，已知3支铅笔的价钱与 2个笔记本的价钱相等，求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？ 【答案】铅笔 10 分，笔记本 15 分- 35 -成功的智慧在于 专注与单纯英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。题目是：在一个充气不足的热气 球上，载着 3 位关系人类兴亡的科学家。第一位是环保专家，他的研究可拯救无数人免于 因环境污染而面临死亡的噩运。第二位是原子专家，他有能力防止全球性的原子战争，使 地球免于遭受灭亡的绝境。第三位是粮食专家，他能在不毛之地运用专业知识成功地种植 谷物，使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。此刻热气球即将坠毁，必须丢出一个人以减轻 载重，使其余 2 人得以生存。请问，该丢下哪一位科学家？问题刊出后，因为奖金的数额 相当庞大，各地答复的信件如雪片飞来。在这些答复的信中，每个人皆竭尽所能，甚至天 马行空地阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。 最后结果揭晓，巨额奖金得主是一个小男孩。他的答案是――将最胖的那位科学家丢 出去。小男孩睿智而幽默的答案，是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式，往往比钻 牛角尖更能获得良好的成功。任何疑难问题的最好的解决方法，只有一种，就是能真正切 合该问题所需求的，而非惑于问题本身的盲目探讨。 一位农场主巡视谷仓时，不慎将―只名贵的手表遗失在谷仓里。他遍寻不获，便定下 赏价，承诺谁能找到手表，就给他 50 美元。人们在重赏之下，都卖力地四处翻找，可是谷 仓内到处都是成堆的谷粒，要在这当中找寻―只小小的手表，谈何容易。许多人一直忙到 太阳下山，仍一无所获，只好放弃了 50 美元的诱惑而回家了。仓库里只剩下一个贫困的小 孩，仍不死心，希望能在天完全黑下来之前找到它，以换得赏金。谷仓中慢慢变得漆黑， 小孩虽然害怕，仍不愿放弃，不停地摸索着，突然他发现在人声安静下来之后，有一个奇 特的声音。那声音滴答、滴答不停地响着，小孩顿时停下所有的动作，谷仓内更安静了， 滴答声也变得十分清晰，是手表的声音。终于，小孩循着声音，在漆黑的大谷仓中找到了 那只名贵的手表。这个小孩成功的法则其实很简单：专注地对待一件事，你总会打开成功 的门栓。 在喧闹的尘世中生活久了，我们会忘记曾经有过的简单的日子。心灵不再像从前一样- 36 -纯净，而是充斥了很多自寻烦恼的细胞。有人把这种变化解释为成熟，然而就是这种自以 为是的成熟，使我们在生活的道路上人为地设置了很多不必要的路障。把 2 个孩子的故事 结合起来，也就是等于告诉我们一个成功的法则，那就是专注与单纯。其实，它原本就存 在于每个人的心中，重要的是你要循着你内心正面的引导，真正地去寻找它，并且不要被 复杂的能力所带来的困惑，而要专注、单纯地思考，那么，你将会听到清晰的滴答声，你 也终将获得人生的智慧。第二部分第一讲 【专题知识点概述】典型应用题归一问题归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值 (单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。 归一问题可以分为两种：一种是求总量的，叫做正归一问题（也称直进归一） ， 另一种是求份数的，叫做反归一问题（也称返回归一） 。归一问题在日常生活和 生产中经常遇到。【授课批注】 归一问题的教学关键是要让学生熟练掌握乘除法的数量关系，理解正反归一的相同点和不 同点，并灵活应用。正反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点 在于第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。一、归一问题复合应用题中的某些问题， 解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数 值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的 距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一 问题，这种解题方法叫做“归一法” 。有些归一问题可以采取同类数量之间进行 倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。 解答归一问题的关键是求出单位量的数值， 再根据题 中 “照这样计算” 、 “用 同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的 解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。- 37 -【授课批注】 在整数范围内，归一问题的常用解法有两种，一种是归一法，另一种是倍比法，而且这两 种解法还可以灵活运用。在整数范围内，用倍比法解除不尽时，只能用归一法解．在整数 范围内，用归一法解除不尽时，只能用倍比法解，也有的两种方法都可以用。【重点难点解析】1．对归一问题概念的理解。 2．归一法以及倍比法的区别和内在联系。 3．归一问题的特点以及常见题型的解法。【竞赛考点挖掘】1．归一法和倍比法在实际问题中的灵活应用。 2．需要多次归一的问题以及正反归一的综合应用。【习题精讲】【例 1】 （难度级别 ※）某人步行，3 小时行 15 千米，7 小时行多少千米？ 【分析与解】 15÷3×7＝35（千米） 。 答：7 小时行 35 千米。【例 2】 （难度级别 ※）小红骑车 3 分钟行 600 米，照这样的速度她从家到学校行了 10 分钟，小红家到学校有多少 米？- 38 -【分析与解】 600÷3×10=200×10=2000（米）。 答：小红家到学校有 2000 米。【例 3】 （难度级别 ※※）一个打字员 15 分钟打了 1800 个字，照这样的速度，1 小时能打多少个字？ 【分析与解】 先求 1 分钟能打多少个字，再求 1 小时能打多少个字。 1 分钟能打多少个字：（个） 1 小时能打多少个字：120×60=7200 （个） 综合算式：=120×60=7200（个）。【例 4】 （难度级别 ※※）一艘轮船 4 小时航行 108 千米，照这样的速度，继续航行 270 千米，共需多少小时？ 【分析与解】 先求每小时航行多少千米，再求航行 270 千米需要几小时，最后求出共需多少小时。 每小时航行多少千米：108÷4=27（千米） 270 千米需航行多少小时：270÷27=10（小时） 共需多少小时：10+4=14（小时） 综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）。【例 5】 （难度级别 ※※）某运输公司用 6 辆汽车运水泥， 每天可运 96 吨。 根据运输情况，现在增加 4 辆同样的汽车， 每天一共运水泥多少吨？ 【分析与解】 “增加 4 辆同样的汽车” 每天一共运水泥多少吨， ， 应是增加的汽车运输量与增加前的 运输量的和，即 10 辆汽车的运输量。 96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）。 答：每天可运水泥 160 吨。【例 6】 （难度级别 ※※※）5 个人 2 小时植树 20 棵，6 个人 3 小时植树多少棵？ 【分析与解】- 39 -要求 6 个人 3 小时植树多少棵，必须先求出 5 个人 1 小时植的棵数，再求出 1 个人 1 小时 所植的棵数。 20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵） 答：6 个人 3 小时植树 36 棵。【例 7】 （难度级别 ※※）一辆卡车 3 次运货 20 吨。照这样算，9 次可运货多少吨？ 【分析与解】 9 次是 3 次的 3 倍，每次运货量不变，运的货一定是 20 吨的 3 倍。这类解法叫“倍比法” 。 20×（9÷3）＝60（吨） 答：9 次可运货 60 吨。【例 8】 （难度级别 ※※※）某厂运来一批煤，计划每天用 5 吨，40 天用完，如果改进锅炉，每天节约 1 吨，这批煤可 以用多少天？ 【分析与解】 从“计划每天用 5 吨，40 天用完”中，可求出煤的总吨数，把总吨数除以改进锅炉后每天 用煤量，可得用煤天数。 5×40÷（5―1）＝200÷4＝50（天） 答：这批煤可以用 50 天。【例 9】 （难度级别 ※※※）8 个人 10 天修路 840 米,照这样算,20 人修 4200 米,要_____天. 【分析与解】 先进行两次归一，求出每人每天修多少米，然后再求出 20 人每天修多少米。 综合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).【例 10】 （难度级别 ※※※※）某工厂一个车间，原计划 20 人 4 天做 1280 个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在 工作效率相同的情况下，需要 15 个人 7 天才能全部完成，问增加了多少个零件？ 【分析与解】 要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出 15 个人 7 天生产 的零件数，最后用它减去 1280 个零件就可得出所要求的问题。 （1）每人每天生产的零件数 =16（个） （2）15 人 7 天生产的零件数 16×15×7=1680（个） （3）增加的零件数 0（个）- 40 -综合算式（）×15×7-×7-80=400（个） 答：增加了 400 个零件．【例 11】 （难度级别※※※※）某车间用 4 台车床 5 小时生产零件 600 个，照这样算，增加 3 台同样的车床后， （1）8 小时 可以生产多少个零件？（2）如果要生产 6300 个零件几小时可完成？ 【分析与解】 此题要求的两个问题都需知 1 台 1 小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需 用“两次归一”，即先求出 4 台 1 小时生产多少，再求 1 台 1 小时生产多少。 600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（个） 6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小时） 答： （1）8 小时可以生产 1680 个零件。 （2）如果要生产 6300 个零件 30 小时可以完成。【例 12】 （难度级别 ※※※）8 个工人 3 小时制作机器零件 360 个，如果人数缩小了 2 倍，时间增加了 5 小时，可制作机 器零件多少个？ 【分析与解】 此题中人数缩小了 2 倍指现在的人数是 8÷2=4（人） ；时间增加了 5 小时指现在的时间是 3＋5=8（小时） 。 36O÷8÷3×（8÷2）×（3+ 5）＝15×4×8= 480（个） 答：可制作机器零件 480 个。【例 13】 （难度级别 ※※※）某工地的一项工程，原计划由 30 人工作，每天工作 8 小时，45 天完工。为了提前完工，实 际由 54 人工作，每天工作 10 小时，可以提前几天完工？ 【分析与解】 此题的关键是要先求出工程的总工时数 8×30×45= 10800（小时）及实际每天做工时数 10 ×54=540（小时） 。 45-8×30×45÷（10×54）＝45-1＝45-20＝25（天） 答：可以提前 25 天完工。【例 14】 （难度级别 ※※※）一根木料，锯成 2 段要 3 分钟，如果锯成 6 段要多少分钟? 【分析与解】- 41 -先求出锯一下用的时间: 3÷(2-1)=1.5(分钟)；再求出锯 6 段用的次数: 6-1=5(次)。 最后求出共用的时间: 1.5×5=7.5(分钟)。【例 15】 （难度级别 ※※※）光华机械厂一个车间，原计划 15 人 3 天做 900 个零件。生产开始后，又增加一批任务，在 工作效率相同下，要 10 个人 8 天完成。问增加了几个零件? 【分析与解】 先求出每个人每天做的个数: 900÷15÷3=20(个). 再求出共做的个数: 20×10×8=1600(个). 最后求出增加的个数: (个).【例 16】 （难度级别 ※※※）一列火车从甲地开往乙地，开出 2.5 小时，行了 150 千米。照这样的速度，再行驶 3 小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？ 【分析与解】 先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两 地距离） 。 火车每小时行多少千米：150÷2.5=60（千米） 火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时） 甲乙两地相距多少千米：60×5.5=330（千米） 综合算式： 150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米） 。【例 17】 （难度级别 ※※※※）甲、乙两个打字员 4 小时共打字 3600 个。现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字 2450 个，乙打字 2050 个。求甲、乙二个每小时各打字多少个？ 【分析与解】 已知条件告诉我们： “在相同时间内甲打字 2450 个，乙打字 2050 个。 ”既然知道了“时间 相同” ，问题就容易解决了。题目里还告诉我们： “甲、乙二人 4 小时共打字 3600 个。 ”这 样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和” ，就可求出所用时间了。 ①甲、乙二人每小时共打字多少个：0 (个) ②“相同时间”是几小时：()÷900＝5 (小时) ③甲打字员每小时打字的个数：0 (个) ④乙打字员每小时打字的个数：0 (个) 答：甲打字员每小时打字 490 个，乙打字员每小时打字 410 个。- 42 -【例 18】 （难度级别 ※※※※）光明小学有 50 个学生帮学校搬砖，要搬 2000 块，4 次搬了一半。照这样算，再增加 50 个 学生，还要几次运完？ 【分析与解】 先求出每个学生每次运的砖数: 2000×1 ÷4÷50=5(块). 2再求出现在的学生一次过运的砖数: (50+50)×5=500(块). 最后求出还要运的次数: 2000×1 ÷500=2(次). 2简便方法: 4÷[(50+50)÷50]=2(次)。【作业】1. 一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米，照这样速度 1 小时爬行多少米？ 【答案】12 米。2. 某食堂存有 16 人可吃 15 天的米,16 人吃了 5 天后,走了 6 人,余下的可吃_____天. 【答案】16 天。3. 加工一批 39600 件的大衣,30 个人 10 天完成了 13200 件,其余的要求在 15 天内完成,要 增加_____人. 【答案】10 人。4. 一项工程预计 15 人每天做 4 小时,18 天可以完成,后来增加 3 人,并且工作时间增加 1 小时,这项工程_____天完成. 【答案】12 天。5. 某县化肥厂计划春节前 40 天生产化肥 3400 吨，实际头 8 天生产化肥 720 吨。照这样计 算，春节前可超产多少吨？ 【答案】200 吨。挑战自己（难度等级 ※※※※）- 43 -某农场收割麦子，计划 18 人每天 6 小时 15 天收割完，后来为了加快速度，实际每天 增加了 9 人，并且工作时间增加了 2 小时，实际比原计划提前了几天完成这项任务？【答案】实际比原计划提前了 7.5 天。第二讲 【专题知识点概述】还原问题一个数，经过一系列运算，可以得到一个新的数，反过来，从最后得到的 数，倒推回去，可以得出原来的数，这种求原来的数的问题，称为还原问题。 还原问题的解法就是倒推。必要时还可以借助图的表示使解题更加清楚。【授课批注】 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子掌握倒推的方法，让学生了解到有些类数学问题， 反向思考比正向思考更容易更简单。一、还原法依照题意叙述由后往前推算，最终解决问题的方法，叫做还原法(或称倒推 法)．这种问题叫做还原问题. 解答还原问题的一般方法是： 1．从最后的结果出发，采用与原题中相反的逆运算方法，原题加的用减，减的 用加，乘的用除，除的用乘. 2．根据原题的叙述顺序，从上面列出数量关系式，再用逆运算方法得出原数．- 44 -【重点难点解析】1．还原法的知识点 2．画图在解题过程中的应用【竞赛考点挖掘】1．还原问题与其他知识点的结合【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）某数先加上 3，再乘以 3，然后除以 2，最后减去 2，结果是 10，问：原数是多少？ 【分析与解】 分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推。 这个数没减去 2 时应该是多少？没除以 2 时应 该是多少？没乘以 3 时应该是多少？没加上 3 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出 某数。 如果没减去 2，此数是： 10 ? 2 ? 12 如果没除以 2，此数是： 12 ? 2 ? 24 如果没乘以 3，此数是： 24 ? 3 ? 8 如果没加上 3，此数是： 8 ? 3 ? 5 综合算式：?10 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 5答：原数是 5.【例 2】 （难度等级 ※）小智问小康： “你今年几岁？”小康回答说： “用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好等于 4. 请你算一算，我今年几岁？” 【分析与解】 分析时可以从最后的结果是 4 逐步倒着推。这个数没除以 5 时应该是多少？没没加上 6 时- 45 -应该是多少？没乘以 7 时应该是多少？没减去 8 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推 出某数。 如果没除以 5，此数是： 4 ? 5 ? 20 如果没加上 6，此数是： 20 ? 6 ? 14 如果没乘以 7，此数是： 14 ? 7 ? 2 如果没减去 8，此数是： 2 ? 8 ? 10 综合算式： ? 4 ? 5 ? 6 ? ? 7 ? 8 ? 10 （岁） 答：小康今年 10 岁。【例 3】 （难度等级 ※※）一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下 1 千米，问：公 园马路全长多少千米？ 【分析与解】 ？全长的一半剩下的一半 图11 千米如图 1，采取倒推的方法，1 千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就 是 1? 2 ? 2 （千米） 。而第一次剩下的路程 2 千米又是全程长的一半，所以全程长为 。 2 ? 2 ? 4 （千米） 答：公园马路全长为 4 千米。【例 4】 （难度等级 ※※）一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米。这捆电线原来有多少米？ 【分析与解】 为了帮助同学们分析数量关系， 可依照题意画出图 2。从线段图上可以看出： （1） 7 ? 15 ?10 ? 12 （米） ，就是第一次用去后 余下的一半。 （2） 12 ? 2 ? 24 （米） ，就是余下的电线长度。 （3） 24 ? 3 ? 27 （米） ，就是全长的一半。 （4） 27 ? 2 ? 54 （米） ，就是原来电线的长度。 综合列式计算： 第一次用去的 第二次用去的 10 米 3 米余下的一半 全长的一半第三次用去的 15 米 全长？米 图2- 46 -7米?? 7 ? 15 ? 10 ? ? 2 ? 3? ? 2 ? ?? ?12 ? 2 ? 3? ? 2? 27 ? 2 ? 54 （米）答：这捆电线原来有 54 米。【例 5】 （难度等级 ※※）甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又 10 个，第二天又加工了剩下的一半又 10 个，还剩下 25 个没有加工，问：这批零件有多少个？【分析与解】 如图 3 所示，按照图与题目的条件， 可以有如下算式： ？25 ? 10 ? 35 （个） 35 ? 2 ? 70 （个） 70 ? 10 ? 80 （个） 80 ? 2 ? 160 （个）列综合算式： ?? 25 ? 10 ? ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 160 ? ? 答：这批零件共有 160 个。 零件的一半 10 个 剩下的一半10 个 25 个 图3【例 6】 （难度等级 ※※）货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进 450 吨，第三次又运出现有煤 的一半又 50 吨，结果剩余煤的 2 倍是 1200 吨。货场原有煤多少吨？ 【分析与解】 这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图 4， 原有煤？吨 然后再分析。第一次用去原有煤的一半第二次运进 450 吨 现有煤的一半 50 吨 1 倍第三次运出的2倍1200 吨 图4- 47 -结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们 一目了然。 根据“剩余煤的 2 倍是 1200 吨” ，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤 的一半又 50 吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现 有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的 450 吨，就可以求出原有煤的一半是 多少，最后再求出原有煤多少吨。 （1）剩余煤的吨数是：1200 ? 2 ? 600 （吨）（2）现有煤的一半是：600 ? 50 ? 650 （吨）（3）现有煤的吨数是：650 ? 2 ? 1300 （吨）（4）原有煤的一半是：1300 ? 450 ? 850 （吨）（5）原有煤的吨数是：850 ? 2 ? 1700 （吨）答：货场原来有煤 1700 吨。【例 7】 （难度等级 ※※※）某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一般，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与 现在的水果同样多，已知原有的水果 800 千克，求原有的蔬菜多少千克？ 【分析与解】 如图 5 所示， 可逐步算出： 运进水果 800 ? 2 ? 400（千克） 现有水果 800 ? 400 ? 1200（千 ， 克） ，原有蔬菜 1200 ? 2 ? 2400 （千克） 。 原有的蔬菜 卖出去一半 原有蔬菜的一半 图5 现有水果 原有水果 800 斤 运进水果 800 ? 2【例 8】 （难度等级 ※※※）小丽用 4 元买了一本《童话大王》 ，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》 ，买钢笔又用 去第二次剩下的钱的一半多 1 元，最后还剩 4 元，问：小丽原有多少钱？- 48 -【分析与解】？4元1元 4元 第一次剩下的一半 第二次剩下的一半 图6用倒推法，第二次剩下的一半是 4 ? 1 ? 5 （元） ，第二次剩下 5 ? 2 ? 10 （元） ，第一次剩下 ，原来有 20 ? 4 ? 24 （元） 。 10 ? 2 ? 20 （元） 列综合算式： ? 4 ? 1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 24 答：小丽原有 24 元。【例 9】 （难度等级 ※※※）有一筐苹果，甲取出一半又 1 个；乙取出余下的一半又 1 个；丙取出再余下的一半又 1 个， 这时筐里只剩下 1 个苹果。这筐苹果共值 6 元 6 角，问每个苹果平均值多少钱？ 【分析与解】 一半 甲取出的 图7 从上面的线段图可以看出： 最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是再余下的一半，即 2 个是再余下的一半，因此， 再余下的就是 2 ? 2 ? 4 （个） ； 4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是 5 ? 2 ? 10 （个） ； 10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是 11? 2 ? 22 （个） 。 22 个苹果共值 6 元 6 角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？ （1） 先求有多少个苹果： 再余下的一半 1 个1 个 1 个 余下的一半 1 个 乙取出的 丙取出的???1 ? 1? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1? ? 2 ? 22 （个） ? ?（2） 再求每个苹果平均值多少钱：66 ? 22 ? 3 （角）答：每个苹果平均值 3 角钱。【例 10】 （难度等级 ※※）代号为A，B，C，D 的四位小朋友共有课外读物200 本，为了广泛阅读，A 给B13 本；B 给- 49 -C18本；C 给D16 本；D 给A2 本，这时四个人的本数相等．他们原来各有多少本课外读物? 【分析与解】 每个人的本数是200÷4=50(本)。用倒推的解题方法，可从“50 本”人手，把收进的减去， 把给出的加上，就可得到各人原有读物的本数． A：给出13 本收进2 本=50 本A 原有读物本数：50+13―2=61(本) B：给出18 本收进13 本=50 本B 原有读物本数：50+18―13=55(本) C：给出16 本收进18 本=50 本C 原有读物本数：50+16―18=48(本) D：给出 2 本收进 16 本=50 本 D 原有读物本数：50+2―16=36(本)【例 11】 （难度等级 ※※）有砖26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的 太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5 块， 这时哥哥比弟弟多挑2 块。问最初弟弟准备挑多少块？ 【分析与解】 先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来还 原： （1）哥哥还给弟弟5 块：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17； （2）弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该 是9+9=18，弟弟是17-9=8； （3）哥哥把抢走的一半还给弟弟： 那么弟弟原来就是 8+8=16 块. 答：最初弟弟准备挑 16 块【例 12】 （难度等级 ※※※）三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增 加到原来的 2 倍与 3 倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们 的水分别增加到 3 倍与 2 倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中， 使它们的水都增加到 2 倍，这时三个容器中的水都为 96 毫升，原来三个容器中各有多少毫 升水？ 【分析与解】 可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填 法见下面的解答。- 50 -容器 1 最终结果 第三次倒之前 第二次倒之前 原来 96 48 16 168容器 2 96 48 176 88容器 3 96 192 96 32先 在 第 一 行 填 上 三 个 96 ， 第 二 行 的 前 2 个 数 是 96 ? 2 ? 48 ， 第 3 个 数 是96 ? 3 ? 48 ? 2 ? 192 ，第三行的第 1 个数是 48 ? 3 ? 16 ，第 3 个数是 196 ? 2 ? 96 ，第 2个数是 48 ? ? 48 ? 16 ? ? ?192 ? 96 ? ? 176 ，第四行第 2 个数是 176 ? 2 ? 88 ，第 3 个数是96 ? 3 ? 32 ，第 1 个数是 16 ? ?176 ? 88? ? ? 96 ? 32 ? ? 168 。答：三个容器原来分别有水 168 毫升、88 毫升、32 毫升。【作业】1. 某数先乘7后减6，再除以5，最后加8得到32，求某数。 【答案】182.狗妈妈今年15岁，狗妈妈比狗宝宝年龄的2倍还多1岁，问：狗宝宝今年几岁了？ 【答案】74. 某粮库有面粉若干袋， 第一次卖掉原有的一半少12 袋， 第二次卖出剩下的一半多10 袋， 第三次又卖出48 袋，这时还剩28 袋。求粮库中原有面粉多少袋？ 【答案】3205. 袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5 次，袋中还 有3 个球。问：袋中原有多少个球？ 【答案】346. 三人有不等的存款， 只知如果甲给乙40 元， 乙再给丙30 元， 丙再给甲20 元， 给乙70 元， 这样三人各有240 元，三人原来各有存款多少元? 【答案】甲 260，乙 160，丙 300- 51 -第三讲植树问题【专题知识点概述】本讲中的知识点并不难理解，利用学生熟悉的生活情境，使学生了解生活中 的有关知识，而且把三种不同情况的植树问题存在的规律进行了比较，激发学 生学习的兴趣；学生兴致盎然，乐学、爱学，学得主动，学的深入。本节课主 要学习直线型、封闭型植树问题以及其他类似于植树模型的问题．包括：锯木 头、剪绳子、爬楼梯、时间问题、方阵问题等．通过本讲的学习，要求学生 1. 理解&植树问题（三种情况）&的特征，应用规律解决实际问题。 2. 能把从植树问题中总结出的规律准确地应用到解决实际问题中去。一、直线型植树问题解决植树问题，首先要理解掌握三要素：总路线长、间距（棵距）长、段数。 它们之间的关系是 总路线长=间距（棵距）长×段数 。只要知道这三个要素中任意两个要素， 就可以求出第三个。 对于直线型的植树问题，包括三种情况： 两端植树 在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多 1.例如把总长平均分 成 5 段，但植树棵数是 6 棵.全长、棵数、间距三者之间的关系- 52 -是：棵数=段数+1=全长÷间距 +1；全长=间距×（棵数-1）；间 距=全长÷（棵数-1） 一端植树 在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵 数与段数相等.全长、棵数、间距之间的关系就为：全长=间距× 棵数；棵数=全长÷间距；间距=全长÷棵数. 两端都不植树 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比（2）中还少 1 棵. 棵数=段数-1=全长÷间距-1. 间距=全长÷（棵数+1）.二、封闭型植树问题封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头 尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 基本关系式为： 棵数＝总距离÷棵距； 总距离＝棵数×棵距； 棵距＝总距离÷棵数．三、方阵问题方阵问题是若干物体排成一行时，间隔数比总个数少 1．与此知识有关的一类 应用题．将物体摆放成实心、空心正方形或其他形状的多边形的应用题，其中 以角和层的处理为重点【重点难点解析】1．使学生经历感知、理解知识的过程，培养学生从实际问题中发现规律，并应 用规律来解决问题的能力。 2．渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。【竞赛考点挖掘】1. 复杂问题中分清楚是哪一种的植树问题。 2．方阵问题中涉及方阵横向再纵向的移动。- 53 -【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）大头儿子的学校旁边的一条路长 400 米， 在路的一边从头到尾每隔 4 米种一棵树， 一共能种 几棵树？【分析与解】 从图上可以看出，每隔 4 米种一棵树，如果 20 米长的路的一边共种了 6 棵树，这是因为我 们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多 1，所以列式为： 400÷4+1=101（棵）.【例 2】 （难度等级 ※）从小熊家到小猪家有一条小路，每隔 45 米种一棵树，加上两端共 53 棵；现在改成每隔 60 米种一棵树．求可余下多少棵树? 【分析与解】 该 题 含 植 树 问 题 、 相 差 关 系 两 组 数 量 关 系 . 从 小 熊 家 到 小 猪 家 的 距 离 是 ： 45 × (53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：=40(棵)，所以可余下树： 53-40=13(棵) ， 综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).【例 3】 （难度等级 ※※）马路的一边，相隔 8 米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第 153 棵树 共花了 4 分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？ 【分析与解】 第一棵树到第 153 棵树中间共有 153-1=152（个）间隔，每个间隔长 8 米，所以第一棵树到 第 153 棵树的距离是：152×8=1216（米） ，汽车经过 1216 米用了 4 分钟，1 分钟汽车经过： （米）,半小时汽车经过：304×30=9120（米） ，即小明的家距离学校 9120 米.【例 4】 （难度等级 ※）一位老爷爷以匀速散步， 从家门口走到第 11 棵树用了 11 分钟， 这位老爷爷如果走 24 分钟， 应走到第几棵树？- 54 -【分析与解】 从家门口走到第 11 棵树是走了 11 个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11=1（分钟） ， 那么走 24 分钟应该走了：24÷1=24（个）间隔，所以老爷爷应该走到了第 24 棵树.【例 5】 （难度等级 ※※）元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了 21 只，每 隔 30 分米挂一只红灯， 相邻的 2 只红灯之间挂了一只绿灯， 问实验中学学校的大门有多宽？ 【分析与解】 一共挂了 21 只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个） ，每隔 30 分米挂一只红灯，相 邻的 2 只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米） ，所以学而思学 校的大门宽度为：15×20=300（分米）【例 6】 （难度等级 ※※）小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长 1500 是米，每隔 3 米栽种一棵树．问：共 需树苗多少株？ 【分析与解】 因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数＝段数＝周长÷株距，从而 有树苗：0（株）.【例 7】 （难度等级 ※※※）公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是 120 米．如果沿着这一圈每隔 6 米栽一棵丁香花， 再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花， 可栽丁香花多少株？可栽月季花多少 株？两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？ 【分析与解】 在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株 数正好等于分成的段数．由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，所以栽月 季花的株数等于 2 乘以段数的积．要求两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？ 需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，就是说这 4 株花之间有 3 段相等 的距离.以 6 米为一段， 圆形花坛一圈可分的段数， 即是栽丁香花的株数：120÷6＝20(株)， 栽月季花的株数是：2×20＝40(株)，每段上丁香花和月季花的总株数是：2＋2＝4(株)，4 株花栽在 6 米的距离中，有 3 段相等的距离，每两株之间的距离是： 6÷(4-1)＝2(米).【例 8】 （难度等级 ※※※）- 55 -一个街心花园如右图所示．它由四个大小相等的等边三角形组成．已知从每 个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有 9 棵花．问大三角形边上栽 有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？ 【分析与解】 大三角形三条边上共栽花： （9×2－1－1）×3＝48（棵） ，中间画斜线小三角形三条边上栽 花： （9－2）×3＝21（棵） ，整个花坛共栽花：48＋21＝69（棵）.【例 9】 （难度等级 ※※※）正方形操场四周栽了一圈树，四个角上}