武汉纺织大学备课纸；第七章假设检验；教学目的；1、使学员牢固掌握统计假设检验的基本思想和步骤；3、使学员掌握非参数检验中的?2-拟合检验法及秩；4、使学员能熟练将本章所学知识应用到中学数学教学；§7.1假设检验的基本思想和概念；所谓统计假设检验，就是对母体的分布类型或分布中某；例7.0在进行一项教学方法改革实验之前，我们可以；我们可以把30人的实验组看成来自
武汉纺织大学备课纸 第七章
教学目的 1、使学员牢固掌握统计假设检验的基本思想和步骤。 2、使学员牢固掌握正态总体参数的假设检验及区间估计。 3、使学员掌握非参数检验中的?2-拟合检验法及秩和检验，了解正态概率纸检验、柯尔莫哥洛夫一斯米尔诺夫检验。 4、使学员能熟练将本章所学知识应用到中学数学教学、教改和教育科研中。 §7.1假设检验的基本思想和概念 所谓统计假设检验，就是对母体的分布类型或分布中某些未知参数作某种假设，然后由抽取的子样所提供的信息对假设的正确性进行判断的过程。现以实例说明 例7.0
在进行一项教学方法改革实验之前，我们可以在同一年级随机抽取30人的样本进行短期（如只讲一章）的微型试验。试验之后对全年级进行统一测验，取得全年级的平均成绩μ0，标准差σ和30人样本的平均分x。根据这些资料，如何决断是否应进行这项教改实验。 我们可以把30人的实验组看成来自广泛进行实验的总体中的一个样本，这个假定的总体在统一测验中的平均成绩是μ，是一个未知数，而标准差与全年级的实测标准差视为一样，均为σ。我们的目的是要判断实验总体的平均分μ与全年级实际总体的平均分μ0是否不同。出于数学模式的考虑，可先假设μ=μ0，这个假设称为待检检验，通常又称为零假设，记为H0。当H0为真时，表明实验总体与实际总体无区别，也就没有进行这项教改实验的必要，当H0不真(μ≠μ0)且μ＞μ明实验是失败的。 例7.1 (书P306)
设某厂生产的一种灯管的寿命?～N(μ,40000),从过去较长一段时间的生产情况来看，灯管的平均寿命μ0=1500小时，现在采用新工艺后，在所生产的灯管中抽取25只，测得平均寿命x=1675小时，问采用新工艺后，灯管寿命是否有显著提高？ 这里的问题，也只需检验是否有μ＞μ0，仿上面的例，我们先作待检假设： H0: μ=μ0 (1500)
H1: μ＞μ0 (为备选假设) 我们是想根据抽取的样本(这里抽取的是容量为25的样本)来检验H0是否为真，如不真则0时，表示这项教改有成效，实验可进行下去，而μ＜μ0时，则表 1 武汉纺织大学备课纸 接受备择假设H1。 上面两个例子的共同特点是，对母体分布的数字特征(或参数)作出待检假设H0，然后根据从总体中抽取的一个样本对H0是否为真作出推断，像这样的一个过程称为统计假设检验，简称假设检验，在假设检验中，希望通过研究来加以证实的假设，常作为备择假设，用H1表示。而H1的对立面称为零假设或待检假设，正如上所述，用H0表示。像本例H0这种能完全确定母体分布的假设称为简单统计假设或简单假设，否则称为复合统计假设或复合假设，比如这里的H1。由于直接检验H1的真实性一般是比较困难的，因此我们总是通过检验H0的不真实性来证明H1的真实。当我们推断出H0不真时，就认为H1是真实的，从而拒绝H0，接受H1，而认为H0为真时就接受H0，认为H1不真。像上面两例这类只对总体分布中未知参数或数字特征作假设检验称为参数的假设检验。这类问题一般对总体分布的类型有一定了解。有时候，我们对总体分布的情况了解不多，需对其分布类型进行假设检验，称为拟合检验，这类检验属于非参数检验。 下面我们从讨论例7.1出发，来讨论假设检验的思想及步骤。 例7.1
H0：μ=μ0 (1500)
H1: μ>μ0 分析与解：直接利用所取的样本来推断H0是否为真当然较困难，必需对子样进行加工，把子样中包含未知参数μ的信息集中起来，即构造一个适用于检验H0的统计量。此处自然地想到选用μ的无偏估计量?比较合适，据已知?的观察值为x=???0造成这种差异有两种可能，一种可能是采用新工艺后，确实有μ＞μ0，另一种可能是纯粹由随机抽样引起，属随机误差。若是后者，x-μ是说，根据x-μ00不应太大，如x-μ0大到一定程度，就应怀疑H0不真。也就的大小就能对H0作检验。在数理统计中，就是要按一定的原则找一个常数K作为界，当x-μ0＞K时就认为H0不真，而接受H1，反之若x-μ0≤K，则接受H0，这就是假设检验的基本思想。那么又如何确定K呢？由于x是?的观察值。自然想到应由?的分布?2来确定K,若H0为真，?～N(μ0，)，将其标准化，所得的统计量记为： nH真时???0??1500U?n?25~N(0,1)
(7.1) ?2000U统计量可用来检验H0，常称它为检验统计量。当H0为真时U偏大的可能性应很小，我们就取一个较小的正数α，按P(U＞K)=α来确定K值，对于确定的K值，样本观察值算出检验统 2 武汉纺织大学备课纸 计量U的观察值u，只要“u＞K”，则认为“小概率事件在一次观察下就发生了”,违背了一般的实际推理原理，而违背常理的原因是因为假设H0成立，从而从反面认为应否定H0，接受H1，反之若u≤K，则接受H0,由此可见，假设检验的基本原理是小概率原则，它是一种概率意义上的反证法。 再回到例7.1 取α=0.05
由 P{u?u1??}=α
查表得u1??=1.65 我们称u1??为该处临界值(它相当于上面的K值)，将观察值代入(7.1)中算得U的观察值为
u=4.375＞1.65=u1?? 按“小概率原则”应否定H0，接受H1认为采用新工艺后，灯泡平均寿命有显著提高。 像上面那样，只对H0作接受或否定的检验，称作显著性假设检验。α则称作显著性水平，简称水平，它是判断零假设H0真伪的依据，一般取α为0.01,0.05,0.01等(较规范)。按上面的讨论，我们由水平α确定出临界值?1??后，实际上把检验统计量U的可能取的观察值划分成两个部分： C?(u1??,??),?C?(0,u1??) ??显然当U的观察值落入C,则拒绝H0，所以我们称C为拒绝域或临界域。 在应用上，假设检验解决的问题要比参数估计解决的问题广泛的多。根据具体问题设立不同的零假设，随之采用的检验统计量也不同，从而产生各种具体的检验方法，其中常用的方法将在本章逐一介绍。 综上，总结出显著性假设检验的一般处理步骤为： (1)根据实际问题提出原假设H0及备择假设H1 。 (2)构造一个合适的检验统计量，此处不妨设它为U(其构造以能反映相对差异，且在H0为真时，较易确定其分布为准)。 (3)给定显著性水平α，并在 H0为真的假定下，由U的分布确定出临界值u0进而求出拒绝域C。 (4)由样本观察值计算出检验统计量U的值u，视其是否落入C作出拒绝或接受H0的判断。 根据上面的讨论，我们按小概率原则确定H0的拒绝域而达到检验H0的目的是有些武断，可能犯两类错误。 第一类错误――拒真错误，即H0本来正确，却拒绝了它，犯这类错误的概率不超过α， 3 武汉纺织大学备课纸 即 P{拒绝H0H0为真}≤α 第二类错误――受伪错误。即H0本不真，却接受了它，犯这类错误的概率记为β，即 P{接受H0H1为真}=β 我们自然希望α和β都很小，甚至都为0，但在子样容量n固定时，使α和β都很小是办不到的，一般是控制α，而使β尽可能小。
§7.2正态母体参数的假设检验 本书介绍正态母体参数的假设检验 一、U-检验 2设?1,??, ?n为取自正态母体N(μ,σ2)的一个子样，σ2=?0为已知常数， 检验H0：μ=μ0 (μ0已知)(这里视H1: μ≠μ0) H真???0选用统计量U=n~ N(0,1)
(7.2) ?00对给定的水平α由P?|U|?uC={u:u?u?21??2?=α，查表得临界值 u1??2，确定出拒绝域为1?}，其中u为(7.2)的观察值 例7.2 (见书P315―316) 例7.2? 某区进行数学统考，初二年级平均成绩为75.6分，标准差为7.4分，从该区某中学中抽取50位初二学生，测得平均数学统考成绩为78分，试问该中学初二的数学成绩与全区数学成绩有无显著差异？ 分析与解：该例中总体为全区初二的数学统考成绩，但是否服从正态分布我们并不知道，但由中心极限定理，如(7.2)构造的统计量的极限分布为N(0.1)分布，因此当样本容量较大时(一般是n≥30)，无论母体是什么分布，仍可用U检验，为此，当取α=0.05时 由 P{U?u1??2}=0.05
查表得u1??2?1.96 将μ0=75.6
x=78代入(7.2)得 u?78?75.650?2.29
因u?2.29?1.96. 7.4故应拒绝H0:μ=μ0
认为该中学初二数学成绩与全区成绩有显著差异。
4 武汉纺织大学备课纸 我们注意到例7.2?与例7.1的拒绝域C的区别，例7.1的C={?1??,+∞}，这是因为备选假设为H1: μ＞μ0，是单侧的，而例7.2?的C=[-∞,- u1??2]?[ u1??2 ，+∞]，这是因为其H1 是H0的否定：μ≠μ0为双侧的，我们称例7.1的U检验为单边(侧)检验(那里是右边检验)。例7.2?为双边(侧)检验。下面介绍的检验法亦有双侧，单侧之分，将不再重述。 二、T-检验 1、单个母体均值的检验 作单个母体均值的U检验，要求总体标准差已知，但在实际应用中，σ2往往并不知道，我们自然想到用σ2的无偏估计Sn?2?n2Sn代替它，使得到t-检验法。?1,??，?n为取n?1自母体N(μ, σ2)的子样，需检验， H0：μ=μ0
H1: μ≠μ0 选用统计量 T????0?Snn????0Snn?1~t(n?1)
?2H0具由给定的水平?，由P{|T|?tC={|T|?t?21? }=?查表定出临界值t1??2，进而确定出拒绝域为1?}(t的分布表见书P520) 例7.3(见书P317―P318) 例7.3?健康成年男子脉搏平均为72次/分，高考体检时，某校参加体检的26名男生的脉搏平均为74.2次/分，标准差为6.2次/分，问此26名男生每分钟脉搏次数与一般成年男子有无显著差异？(?=0.05) 分析 题意是问26名男生是否来自μ0=72的总体，由于总体方差未知，只能用T检验。 提出假设：H0
H1: μ≠μ0 计算t值：t?x??0Sn?1?74.2?726.226?1?1.774 确定临界值：由T????0S1?n?1～t(25) ( H0真时)
按P{|T|?t?2}???0.05得t0..975?2.06 判断
由 |1.774|＜2.06
故接受H0 认为??无显著差别。
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