& （2016春o九江校级期中）用数学归纳法证明34n+1+52
本题难度：0.70&&题型：选择题
（2016春o九江校级期中）用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（　　）
A、56×34k+1+25（34k+1+52k+1）B、34k+1+52k+1C、34×34k+1+52×52k+1D、25（34k+1+52k+1）
来源：2016春o九江校级期中 | 【考点】数学归纳法．
用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（　　）
A、增加项B、增加和两项C、增加和两项同时减少项D、以上结论都不对
（2016春o九江校级期中）用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（　　）
A、56×34k+1+25（34k+1+52k+1）B、34k+1+52k+1C、34×34k+1+52×52k+1D、25（34k+1+52k+1）
用数学归纳法证明34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除时，当n=k+1时，对于34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为&&&&．
阅读下面的文字，完成下列各题。孟德尔：孤独的天才&&& 孟德尔的时代，人们基本认同“混合遗传”学说：遗传是“黑+白=灰”，父母的黑和白简单融合得到子代的灰。此学说被认为是不证自明的规律，而孟德尔对此却不以为然，他自己设计实验，通过锲而不舍的研究，发现了与此不同的学说。&&& 1856年，从维也纳大学回到布鲁恩不久，盂德尔就利用执教的业余时间，在奥古斯汀修道院的植物园里孤独但兴趣盎然地开始了豌豆实验。为避免获得有疑问的结果，实验之初，孟德尔小心地选择了实验用的植物，又选定用性状相对稳定的豌豆研究遗传规律。他精心选择出7对性状，对应7对性状安排了7个实验，每个实验，都单独观察它们的遗传。孟德尔观察到显性遗传与性状分离现象，却没有发现融合。之后，他开创性地运用数学统计方法，获得了分离比率一一显性比隐性为3：1．孟德尔据此大胆地提出了自己的假说，而且设计了豌豆的“回交”实验，来验证遗传因子是否分离。实验结果证明了预计结果。于是，孟德尔发现了“分离定律”：当具有成对不同性状的植物杂交时，一代杂种的性状都只与两个亲本中的一个相同，另一亲本的性状在杂种一代隐而不显。&&& 而将杂种一代再自相交配时，后代的性状不再相同，会发生分离，且显性对隐性呈3：1的比例。孟德尔的杂交实验彻底否定了“融合遗传论”理论。&&& 实验至此，他没有止步，继续探究比例背后的意义。他很清楚，植物的性状并非只有一个，而是多种性状并存，必须进一步探索两对及两对以上性状植物杂交的遗传规律。&&& 他又开始了新的豌豆杂交实验。他尝试了各种不同组合，且做了回交实验。盂德尔发现3：1中的3，分成了2和1.3：1被分解成1：2：1．他又发现了“自由组合定律”：当同时具有两对或两对以上不同性状的植物杂交并产生第二代杂种时，其中每一个性状各自按3：1的比数独立分离、互不干涉、自由组合。&&& 孟德尔可能考虑过自己的发现与进化论的关系。他读过第二版《物种起源》德译本，在书的边缘做了评注。可能由于自己在修道院吃饭，他在论文中完全没提进化论。但是，他的文章故意讨论了性状独立遗传的意义。他指出：如果一个植物有7种不同的性状，产出后代就有2的7次方种不同的组合。孟德尔的这个算法其实解决了“混合学说”给达尔文进化论造成的矛盾。&&& 从1854年开始，孟德尔做了新颖的、长期的、严谨的系列遗传学实验，．与他可爱的“女儿”一一豌豆相处长达八年，终于找到了遗传学规律。为审慎起见，他又研究了多种植物，至1865年他才公布了自己的发现，次年发表了论文《植物杂交的实验》。&&& 孟德尔对自己的发现深信不疑，但却没有被当时的科学界接受。当时，他是一个无名小卒，加之论文刊在了地方杂志上。，致使他的学说无人问津！1865年，孟德尔在本地科学协会的会议厅宣读研究成果，听众对连篇累牍的数字和繁复枯燥的论证毫无兴趣。&&& 孟德尔又寄出论文给不同的科学家，只有瑞士的著名柳菊专家耐格利回了简短的信。耐格利早在达尔文进化论问世之前就相信生物进化，可他在以后的遗传学专著里，一字未提孟德尔的研究。&&& 先于孟德尔7年，达尔文发表了《物种起源》，提出了进化论学说，其核心是“自然选择”原理。达尔文处在科学园地的核心，这个学说迅速成为时代的焦点。神学对达尔文给与了猛烈攻击。根据“混合学说”，生物的遗传性状会越来越单调，不存在很多可供选择的性状，因此没有物竞天择的物质基础。达尔文的进化论急需遗传学说提供支持。&&& 达尔文像其他人一样，主要依赖观察来推导理论，而不是像孟德尔那样用实验验证假说。他也做过十一年的实验。用金鱼草做实验的结论是：同种植物里有两种相反的潜在倾向，第一代是正常的占主要，隔一代怪的倾向增加。这样的直观“常识”通过生活经验就可获得。从报春花研究结果的表格中，我们看到，他用杂合体授粉时，得到显性后代为75%，隐性为25%，不过，达尔文没有数学思想，因而提出了错误的泛生论。&&& 达尔文是否读过孟德尔的论文是个谜，假如他读了孟德尔的论文，也一定读不懂，或不能认可孟德尔。&&& 孟德尔晚年，曾充满自信地对他的好友尼耶塞尔教授说过：“看吧，我的时代来到了！”&&& 但他的预言在他去世后16年一一他的名著《植物杂交实验》出版后的34年，才变成现实。（根据饶毅《孤独的天才》摘编）【相关链接】①孟德尔，奥地利人。1843年，步入布隆城奥古斯汀修道院当修士，后去维也纳大学学习。1854年孟德尔学成返回，期间开始了植物杂交试验。（摘自“百度百科”）②1851年10月，孟德尔来到维也纳大学。他师从多普勒，学了新的物理学原理与科学研究方法。过去人们用的是培根式归纳法，而多普勒采取了以果推因的假说演绎法。他还从埃汀豪森那里学习了数理统计。（摘自《孟德尔略传》）（1）下列对材料有关内容的分析和概括，最恰当的两项是&&&&A．孟德尔小心地选择了实验用的植物，又选定用性状相对稳定的豌豆研究遗传规律。这个做法为他以后的研究打下了坚实的基础。B．孟德尔用科学的方法发现第一个遗传定律一一“分离定律”后，他才在意识深处彻底否定了所谓不证自明的“融合遗传论”。C．孟德尔读过第二版《物种起源》，在书的边缘做了评注。这说明他相信达尔文的“进化论”学说，但是也发现了它的不足。D．孟德尔寄出论文给不同的科学家，也包括瑞士的著名柳菊专家耐格利。但耐格利觉得孟德尔的论文根本没有什么价值。E．这篇传记描述了孟德尔研究遗传规律的坎坷过程，叙述动人：记述了孟德尔重大发现的科学价值，读来令人回味无穷。（2）孟德尔做杂交实验之所以能获得重大发现，与他具有的科研品质息息相关。请结合材料，具体分析孟德尔有哪些“科研品质”。（3）“假如他读了孟德尔的论文，也一定读不懂，或不能认可孟德尔”，请结合材料简述文章这样说的原因。（4）孟德尔是一个天才的科学家，但他又是一个孤独的天才。他的“孤独”表现在哪些方面？这种“孤独”对我们有什么启示？
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016春o九江校级期中）用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（　　）56×34k+1+25（34k+1+52k+1）34k+1+52k+134×34k+1+52×52k+125（34k+1+52k+1）”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】根据指数运算法则化简34（k+1）+1+52（k+1）+1为34k+1+52k+1（k∈N）的倍数与8的倍数和的形式即可得到选项．
【解答】解：当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1=34×34k+1+25×52k+1=56×34k+1+25（34k+1+52k+1）两个表达式都能被8整除故选A．
【考点】数学归纳法．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016春o九江校级期中）用数学归纳法证明34n+1+52”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数学归纳法
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)数学归纳法的教学设计----深圳市教师继续教育课程优秀作业展示之五
本文选自日和23日的深圳市中小学教师继续教育课程《中学数学教师的教学研究与教研论文撰写指导》的学员考核作业
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&数学归纳法的教学设计
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&深圳第二外国语学校
一、总体设计思路
（一）教学内容解析，知识点的设计
数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，是证明与正整数n有关命题的重要工
（二）教学目标分析与设置
1． 知识与技能
使学生了解归纳法,
理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与正整数有关的命题．
2． 思想与方法
培养学生观察, 分析, 归纳，论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维和创新能力，让学生经历知识的构建过程,
体会类比的数学思想．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明),使学生初步形成做数学的意识．
3． 过程与态度
努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，教学中教师应该设计留出专门的时间给学生进行合作学习，期间教师不要随意干扰和占用学生的独立思考和相互交流时间，真正让学生自己经历知识的过程并感悟其实质．
（三）学情分析与学生活动设计
教学设计既要分析学生已有的知识经验，还要充分考虑学生可能会遇到的困难。本课时教学：1．学生已有的知识准备。(1)学生已有数学归纳法的思想和基础．如：初中找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导和归纳推理等知识，都蕴含着数学归纳法的思想和基础，认识到用不完全归纳法得出的结论和猜想有待证明．(2)学生已能用具有代表性的元素来代替任意的的元素．如在讨论函数奇偶性时，用定义域内任意来代表定义域内的所有数．学生具有一定的数学思维和一定的学习能力和探索意识。
2．学生可能遇到的困难．(1)对数学归纳法产生的源头及所要证明的问题的特征规律分析不到位。(2)形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的递推过程用有限的、一般的步骤来代替会有困难。(3)数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生难以理解。(4)由于数学思想的形成需要经历一定的过程，因此学生难以在一两节课内深刻理解数学归纳法的精神实质。(5)学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而忽略了第一步归纳奠基．数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程序与步骤，揭示数学归纳法的本质是难点．
（四）教学重难点
重点：归纳法的认识和数学归纳法产生的过程分析。难点：递推思想的理解
（五）教法分析：类比、启发探究式教学与合作学习为主
二、教学过程分析与师生活动设计
教学过程的整体流程：创设情景（激发思维）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;课堂小结（反馈与提高）。
1、创设情境，激发思维——新旧知识相互作用
(1) 不完全归纳法引例：
引例1：周一下雨，周二下雨，今天周三仍下雨，于是得出明天周四一定还下雨。这里用的是“归纳法”，不过由这个归纳推出的结论显然是错误的．
引例1设计意图：让学生认识到周四是否下雨与前三天下雨之间没有必然的逻辑联系．
引例2设计意图：让学生通过观察、分析前四项，由不完全归纳得出一般结论，但这个猜想可靠吗？
(2) 完全归纳法对比引例：
引例3：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明
引例3：设计意图：通过这个故事感悟由完全归纳法的优点是得出的结论的可靠性，但低效误时。而后者用的不完全归纳法高度概括，体现高效快捷。
（3)谈谈以上引例给你启发？先由学生交流组织语言，再由教师进行语言补充：
由有限个特殊事例归纳出来的结论可能不正确，一但错误，我们已建立的结论将站不住脚。必须对其进行严密的推证，如何证明这类与正整数有关的命题呢？
2、学习数学归纳法的必要性在哪里？——建构新知
（1）引例2的猜想对吗？为什么？根据是什么？
学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。
设计意图：让学生感受到证明和确认的必要，从而激发学生探究的欲望．但学生对该问题的理解会有两种情况：一是学生仅仅根据前4项的情况猜想出结果，这种猜想类似于前面摸球得到的猜想，有一定的道理但缺乏足够的依据；二是学生已经发现第1项与第2项、第2项与第3项之间内在的联系，即上一项结论成立必然导致下一项结论成立．这是两种不同的思维水平，教学时要引导学生从变化的角度、联系的角度思考问题，并根据学生的实际调整下面的教学．
（2）如何证明引例2的猜想？-----请结合游戏分析
a.选用教材引例，并用多媒体演示多米诺骨牌游戏。反复变化条件播放，鼓励学生发现问题——明确思想，提炼方法
b.学生分组探讨并归纳总结多米诺骨牌全部依次倒下的条件？
c.请学生代表答：（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
只有当同时满足这两个条件后，所有的多米诺骨牌将全部倒下。
d.学生类比多米诺骨牌全部倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法。——学生分组探讨，师生共同归纳总结
①n取第一个值(例如 )时命题成立;
②假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。
满足这两个条件后，再下结论：命题对一切n均成立。
(3)上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．
(4)在实际证明过程中，我们是否已经确认n=k时命题成立？
[设计意图]这里是学生理解数学归纳法的难点之一，需要教师提醒学生注意，并做出明确的、合理的解释．因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立．同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求k≥,．
———师生共同梳理证明过程，教师板演规范步骤，培养学生规范答题的习惯
(6)得出一般性结论：
一般地，如果一个与自然数n有关的命题满足以下两个条件：
(1)当n取第一个值时命题成立；
(2)由n=k(k≥,)时命题成立，必有n=k+1时命题也成立．
由上，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．
3、巩固应用，形成技能
学生板演过程，教师巡视其他同学，适时作必要引导对所出现的问题进行指导纠正。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。借助学生练习中出现的错误，进行实例纠错。分析所举例题中的错误点
设计意图:考虑到本节课是数学归纳法的第一课时，因此在例题的选择与安排上不人为拔高，避免学生分散精力，影响重点、难点的掌握和落实．在解题的技能与方法方面，重在提醒学生进行解题反思，加强解题感悟，如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关，而且命题n=k与n=k+1存在内在的递推关系，关键是如何合理地利用归纳假设，搞清楚，注意点是书写和表述规范．
4、师生回顾总结，促进迁移
本节课学到了数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法证明命题的步骤是什么？运用数学归纳法应注意什么问题？你有什么体会与感悟？
五、教学设计特点分析
（1）基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点．(1)任何思想方法都有产生的源头，人的思维发展、数学概念与思想也是如此．数学教学应引导学生经历知识的形成过程．数学归纳法的源头在于如何证明由猜想得到的、具有内在规律性和递推关系的与正整数有关的命题，如何把等差数列通项公式等结论的推导严谨化，如何把模糊的、经验型的证明方法上升到理性的、普遍适用的数学方法。而数学归纳法的实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程用有限的步骤和具有高度代表性、概括性的“P(k)真
P(k+1)真”来代替．我们紧紧抓住这一实质，有效地突破学生理解和运用数学归纳法的难点．
(2)学生头脑中的数学归纳法的“生长点”和“固着点”在于数自然数，找一列数的规律，以及在归纳、分析、推理的基础上得到与正整数有关的结论，如等差数列的通项公式等．教学时注意挖掘学生头脑中相关的、原始的、朴素的、有用的东西，并使之明朗化、清晰化．为了帮助学生突破用有限来代替无限这一思维难点，教学设计时一方面让学生认识到所要解决问题的特征，另一方面从学生已有的用任意一条直线来代替平面内所有直线等经验中寻找启发．
(3)强化数学归纳法思想的形成过程，加深概念的理解．注意用典型例子来支撑抽象的原理。增强学习的探究性。除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分．突破学生对归纳假设理解上的难点．阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法．
(4)强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系．
（5）注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如三个引例共同特征的概括、用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都是学生自己在教师的启发下完成的．整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”．
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