当前位置： >>
排列、组合二项式定理概率与统计
第九章【知识梳理】排列、组合二项式定理概率与统计第一节 概率初步1．了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义； 2．了解概率的统计定义以及频率与概率的区别。 【例题精析】 [例 1]（1）下列事件属于不可能事件的为（ ） A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为 4 B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为 8 C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为 12 D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为 16 （2）给出下列事件： ①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了； ③一所学校共有 998 名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合 A、B、C，满足 A?B，B?C，则 A?C； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在 2 张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签” ，画师 抽到死签； ⑥7 月天下雪； ⑦从 1，3，9 中任选两数相加，其和为偶数； ⑧骑车通过 10 个十字路口，均遇红灯． 其中属于随机事件的有（ A．4 个 ） C．5 个 D．6 个 B．4 个（3）每道选择题都有 4 个选择支，其中只有 1 个选择支是正确的．某次考试共有 12 道选择题，某人 说： “每个选择支正确的概率是 1 ，我每题都选择第一个选择支，则一定有 3 题选择结果正确” ．对该人4的话进行判断，其结论是（ A．正确的） B．错误的 C．模棱两可的 D．有歧义的（4）利用简单随机抽样的方法抽查了某校 500 名学生，其中共青团员有 320 人，戴眼睛的有 365 人， 若在这个学校随机抽查一名学生，则他是团员的概率为__________，他戴着眼睛的概率为__________． （5） 掷三颗骰子， 点数之和__________的事件为必然事件， 点数之和__________的事件为不可能事件。 [例 2] 某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示：抽取球数 优等品数 优等品频率 50 45 100 92 200 194 500 470 0 40（1）计算表中乒乓球优等品的频率； （2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） [例 3] 给出下列事件： ①三角形内角和为 180°； ②对数函数 y=logax(a＞0，且 a≠1)是递增的；③某体操运动员在某次运动会上获得全能冠军； ④在标准大气压下，水的沸腾温度为 90°； ⑤从 7 件正品、3 件次品中，任意抽出 3 件产品全为次品； ⑥明天是晴天； ⑦方程 x +2x+3=0 无实数根； ⑧三角形的最小内角不大于 60°； ⑨常温下，焊锡熔化； ⑩发芽的种子不分蘖． 其中属于必然事件的有___________ ；属于不可能事件的有_________ ；属于随机事件的有 __________ ． [例 4] 盒中装有 4 只相同的白球与 6 只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么 事件？它们的概率是多少？ ① ② ③ ④ A=“取出的球是白球” ； B=“取出的球是蓝球” ； C=“取出的球是黄球” ； D=“取出的球是白球或黄球” ．2第二节 二项式定理【知识梳理】 1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础； 2.二项展开式的性质是解题的关键； 3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等. 【例题精析】 [例 1] （1） 已知 ( x A.28 5?a ) x8展开式中常数项为 1120， 其中实数 a 是常数， 则展开式中各项系数的和是(8)B.36C.1 或 338D.1 或 2 D. 108（2）在(1－x) －(1－x) 的展开式中，含 x 的项的系数是( ) A. －5 （3）如果 ( 3 x A. 7 （4）若 ( 2 A.4 （5）如果在（xB.?35C. －101 x2)x的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中3的系数是（x1）B. -7x ? 1 x )nC. 211 x2D. -211 x4展开式中含 B.5 +2 14项的系数与含 C.6项的系数之比为? D.105，则 n 等于()） 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.xn[例 2] 求式子（ x + 1| x |－2） 的展开式中的常数项.3[例 3] 设 an=1+q+q +?+q n ? 1 （n∈N ，q≠±1） An=C n a1+C n a2+?+C n an. ， （1）用 q 和 n 表示 An； （2）当－3&q&1 时，求 lni m? [例 4] 求（ a ? 2b ? 3c ） 的展开式中含 a1032*12nA?n n.2b c33项的系数.彩教育网》htp://第三节 抽样技术【知识梳理】 1．通过实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性； 2．了解简单随机抽样的方法，会用抽签法与随机数表法从总体中抽取样本； 3．了解系统抽样方法，会用系统抽样方法从总体中抽取样本； 4．了解分层抽样方法，会用分层抽样方法从总体中抽取样本； 5．了解各种抽样方法的适用范围，能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，会选择适当的方法进 行抽样； 6．了解可以通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 【例题精析】 [例 1]（1）某校有 40 个班，每班有 50 人，每班选派 3 人参加“学代会” ，在这个问题中样本容量是 （ ） A．40 B．50 C．120 D．150 ） （2）要从已编号（1-50）的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验，用每部分 选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 枚导弹的编号可能是（ A．5，10，15，20，25 C．1，2，3，4，5 B.3，13，23，33，43 D.2，4，8，16，32 ） D.分层抽样（3）某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们身体状况的某项指标，需从 他们中抽取一个容量为 36 的样本，适合抽取样本的方法是（ A．抽签法 B.系统抽样 C.随机数表法（4）某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔 5 分钟从传送带某一位置取 一件产品进行检测，则这种抽样方法是__________。 （5）一个年级 210 人，某此考试中成绩优秀的有 40 人，成绩中等的有 150 人，成绩较差的有 20 人， 为了解考试情况，从中抽取一个容量为 21 的样本，则宜采用__________抽样方法，且各类成绩中抽取的人 数分别是__________。 [例 2] 某单位有 2000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如 下表所示：人数 老年 中年 青年 小计 管理 40 80 40 160 技术开发 40 120 160 320 营销 40 160 280 480 生产 80 240 720 1040 小计 200 600 ?若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ ?若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ ?若要抽 20 人调查对北京奥运会筹备情况的了解，则应怎样抽样？ [例 3] 下面给出某村委调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题： ■本村人口：1200 人，户数 300，每户平均人口数 4 人 ■应抽户数：30 ■抽样间隔：1 2 0 0 3 0=40■确定随机数字：取一张人民币，后两位数为 12 ■确定第一样本户：编号 12 的户为第一样本户 ■确定第二样本户：12+40=52，52 号为第二样本户■?? ①该村委采用了何种抽样方法? ②抽样过程存在哪些问题，试修改； ③何处是用的简单随机抽样? [例 4] 某位同学利用暑假期间准备搞一个社会实践调查，他打算从所居住的小区内的 120 户居民中选 出 7 户，他使用系统抽样的过程如下： ①编号：先将 120 户居民从“1”到“120”随机地编号； ②决定间隔数：因 120 被 7 除余 1，故可先从总体中随机地剔除 1 个个体，再将余下的 119 个重新随 机地编号为 1 到 119 号，最后设定间隔数为 17； ③随意使用一个起点 38，然后推算出如下的编号为样本：38，55，72，89，106，123，140 ． 由于 123 和 140 并不在实际编号内，他准备重新选取第一个号码．但他爸爸却说没有问题，他感到有 些纳闷，是不是方法选用错了？需要重新选取号码吗？你能帮他解释一下吗？第四节 统计初步【知识梳理】 1．会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准 差）的方法； 2． 理解样本数据平均数的意义和作用； 会计算样本数据平均数； 能用样本数据平均数估计总体平均数； 3．理解样本数据标准差的意义和作用；会计算样本标准差；能用样本标准差估计总体标准差； 4．初步体会样本频率分布和数字特征的随机性；了解样本信息与总体信息存在一定的差异；理解随机 抽样的基本方法和样本估计总体的思想，能解决一些简单的实际问题；了解统计思维与确定性思维的 差异；会对数据处理过程进行初步评价。 【例题精析】 [例 1]（1）在方差计算公式 示（ ） A．数据的个数和方差 C．数据的个数和平均数 B．平均数和数据的个数 D．数据组的方差和平均数1 2 2 2 2 s? [ 1 2 ? 2 2 ? ? 1 ? )] ( ? ) ( ? ) ? 0 2 中，数字 x 0 x 0 ( x 0 1 010 和 20 分别表（2）某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：行业名称 应聘人数 计算机 215830 机械 200250 营销 154676 物流 74570 贸易 65280行业名称 招聘人数计算机 124620营销 102935机械 89115建筑 76516化工 70436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中的数据，就业 形势一定是（ ） B.建筑行业好于物流行业 D.营销行业比贸易行业紧张 ) A．计算机行业好于化工行业 C．机械行业最紧张（3）从鱼塘捕得同时放养的草鱼 240 尾，从中任选 9 尾，称得每尾鱼的质量分别是 1.5，1.6，1.4， 1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这 240 尾鱼的总质量大约是( A．300 克 B．360 千克 C．36 千克 D．30 千克（4）某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约 600 个.在西瓜上市时随机摘 了 10 个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克） 西瓜数量（单位：个）5.5 15.4 25.0 34.9 24.6 14.3 1则这 10 个西瓜的平均质量是_________千克，这亩地西瓜产量约是__________千克. （5）校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个 数，经统计和计算后结果如下表：班级 甲 已 参加人数 55 55 平均字数 135 135 中位数 147 151 方差 191 110有一位同学根据下表得出如下结论： (1)乙两班学生的平均水平相同； (2)乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达 150 个以上为优秀） ； (3)班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是__________（填序号） 。 [例 2] 已知一组数据 x1，x2，?，x10 的方差是 2，且(x1-3) +(x2-3) +?+(x10-3) =380，求 x ． [例 3] 为了科学地比较考试成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分 Z，转化关系式为：Z ? x ? x S2 2 2，其中 x 是某位学生的考试分数， x 是这次考试的平均分，S 是这次考试的标准差，Z 为这位学生的标准分．转化后的分数可能出现小数或负数，因此，又常将 Z 分数作线性变换转化为其他分数．例如某 次学业选拔性考试采用的是 T 分数，线性变换公式为：T=42Z+58． 已知一组学号（i）为 1~10 的学生的某次考试成绩如下表：学号(i )求学号为 2 的学生的 T成绩( xi )1 702 803 694 755 686 687 798 879 7010 74分数．[例 4] 不通过计算，比较图中 1、2 两组数据的平均值和标准差． （其中黑点●表示数据）4 3 2 1 0 -1 -2图14 3 2 1 0 -1 -2图2第五节 概率运算与数学期望【知识梳理】 1．了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件； 2．了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为 1 的结论，会用相关公式进行简 单概率计算。 【例题精析】 [例 1]（1）从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有 1 个白球；都是白球 C．恰有一个白球；恰有 2 个白球 （2）如果事件 A、B 互斥，那么（ A．A+B 是必然事件 B． ）A ? BB．至少有 1 个白球；至少有一个红球 D．至少有一个白球；都是红球是必然事件C． A 与 B 一定互斥D． A 与 B 一定不互斥（3）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具）先后 抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是（ 5 A． 216 B． 25 216 ） C． 31 216 D． 91 216（4）某家庭在家中有人时，电话响第 1 声时被接到的概率为 0.1，响第 2 声被接的概率为 0.3，响第 3 声时被接的概率为 0.4，响第 4 声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前 4 声内没有被接到的概率 为___________． （5）甲、乙两人进行击剑比赛，甲获用的概率是 0.41，两人战平的概率是 0.27，那甲不输的概率 __________；甲不获胜的概率为__________。 [例 2、] 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得。第 1000 张奖券为一个开奖单 位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个。设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C，求：（1）P（A） P（B） P（C） ， ， ； （2）1 张奖券的中奖概率； （3）1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。 [例 3] 在 1，2，3，4，5 条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着 1，3，4 路车的到来。假如汽车 经过该站的次数平均来说 2，3，4，5 路车是相等的，而 1 路车是其他各路车次数的总和。试求首先到站的 汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率。 [例 4] 历史上有这样一个著名的概率问题：A，B 两人做游戏，掷一枚钱币，若正面出现则 A 得 1 分， 反面出现则 B 得 1 分，先得 10 者胜，胜者获得全部赌金。现在 A 已得 8 分，B 已得 7 分，而游戏因故中断， 问赌金应如何分配才合理？第六节 本章知识小结一、两个原理 1. 乘法原理、加法原理； 2. 可以有重复元素的排列。 ．．．．．．． 从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、 第二??第 n 位上选取元素的方法都是 m 个， 所以从 m 个不同元素中， 每次取出 n 个元素可重复排列数 m? ? m? m = m .. 例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ 二、排列 1. ?对排列定义的理解. 定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取 ．．．．．． 出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列， 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从n（解： m 种）nn 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 A nm 表示.?排列数公式：?( 1 ( ? ? ? n ) n 1 m n n m N An ?? m ) ( ?)( ?, , ?) nm !m mn !注意： n n?(n? )! n ? ! 1 ?!A ? nA ?1 n nm m?1规定 0! = 1规定0 n C n ?C n ? 12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．对含有相同元素求排列个数的方法是： 设重集 S 有 k 个不同元素 a1，2,?...an 其中限重复数为 n1、2?? a n nk，且 n = n1+n2+??nk , 则 S 的排列个数等于 n 例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数 n 列个数 n3! 3!?n! n 1 ! n 2 !... n k !.?(1 ? 2)! 1!2 !?3又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排?? 1.三、组合 1. ?组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合.n 1 (? 1 n ) nm) ?组合数公式： C A?( ?? ? C ? ?m n m n mA mn?m nm !m nn !m ?) ! ( nm !m?两个公式：① Cm n?C;②Cm1 ? n? C n?C ? n 1m①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方 法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二类，一 类是含红球选法有 Cm 1 ? n? 1?C C1m 1 ? n一类是不含红球的选法有 C ）m n②根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对于某一元素，只存在 取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以有 C 这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 C n 种，依分类原理有 C ?排列与组合的联系与区别. 联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别：前者是“排成一排” ，后者是“并成一组” ，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式CCC? 2 ? ? ?C ? n n n n0 1 2 n nm ?1 n，如果不取 .mm1 ? n? C n?C ? n 1mmC n ? C n ? C n ? ? ?C n ? C n ? C n ? ? ? 20 2 4 1 3 5n ?1C ?Cm n k nm m ?1?Ck ?1 n ?1m m?2?Cm m?n?Cm ?1 m ? n ?1kC ? nC 11 k k ?1 C n? C n ?1 k ?1 n ?1②常用的证明组合等式方法例. I. 裂项求和法. 如： II. 倒序求和法. III. 数学归纳法.3 3 3 3 4 m IV. 递推法（即用 Cm? m?1? n?1 递推）如： CCC ? C . ?4 ?5 ?C n ? ? C n C 3 n 1 nn ?1 1 1 1 2 3 n 1 （利用 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 n! ( n ? 1)! n ! 2 3 4 ! ! ! ( ?) n 1! ( ?) n 1!）V. 构造二项式. 如： ( )? )?? )? C ( C ? ( C C0 2 n 1 2 n n 2 n n 2 n证明：这里构造二项式 ( ?) ( ? ) ?1 x 其中 x 的系数，左边为 x 1 1 x (?)n n 2 nnC ? nn n ? ( ? ? ? C ? ?? C ? ? C C C C n( ? n ? ) n C ? C ( C) ? C ) n n n n nn 0 0 2 1 2 n 20 n1 1 n 2 2 ? n ?，而右边 ? Cn 2n四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们 “局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题” ，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某m(m ? n)个元素必相邻的排列有 An ? m ?1 n ? m ?1?A mm个.其中 An ? m ?1 n ? m ?1是一个“整体排列” ，而 A 则是“局部排列”.m m又例如： ①有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为An2? A ②有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有 An ?1 n ?11 n ?1?A2 2.?A2 2 2 n.n ?1 n ?1③有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有 A2 2?A.注：①③区别在于①是确定的座位，有 A 种；而③的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个， 有不确定性. ④插空法： 先把一般元素排列好， 然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中， 此法主要解决 “元 素不相邻问题”.m 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？ An?m?An?m?1 （插空法） ， n?m当 n C m+1≥m, 即 m≤n ? 1 2时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置 的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题 原则. ⑥调序法： 当某些元素次序一定时， 可用此法.解题方法是： 先将 n 个元素进行全排列有 A 种， ( m mn n m m? n)个元素的全排列有 A 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到 去调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，共有A An n m m种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一： （逐步插空法） （m+1） （m+2）?n = n！/ m！ ；解法二： （比例分配法） A ⑦平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有Cn knn n/Am m.?Cn ( k ?1) n?Cn n.Akk例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有C2 4? 3（平均分组就用不着管2!组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多 少？ （P? C C8 18 10 20C2 2）/ 2!注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种 排法？有 An m ? n m ??A ? ? / A n m1 mmm，当 n C m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如： x ? ? ? ? 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列，在它 x x x 121 2 3 4们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为x x x 12 x1,x2 ,x3 ,x4 显然 x ? 2? 3? 4? ，故（ x1,x2 ,x3,x4 ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解 1(y ,y2,y ,y4) ，对应着惟一的一种在 1 312 个球之间插入隔板的方式（如图所示）x1x2x3x4故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 C .3 11注意：若为非负数解的 x 个数，即用 a1, a 2 ,...a n中 a 等于 xii?1，有n ? 1 A ? nx 2 x x ? 2 ?? ，进而转化为求 ? 3 x . ? . n A ? ? a? . ? ? a a .n 1 1 ? . . 1 A 1 1a 的正整数解的个数为 C.⑨定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，并且都排 在某 r 个指定位置则有 Ar rAk ? r n? r.例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一 位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上： A 有Am n ? 1m ? 1 n ? 1；不在某一位置上： Am n?Am ?1 n ?1或Amn 1 ?? m 1 An? A ?? 11m1 ?（一类是不取出特殊元素 a，，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从 n-1 个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都包含在内 。先 Ck? 后 A 策略，排列 C rr C n?rr Ak ；组合 C rr C k ? rr . k n?ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列 Ck n? rAk k；组合 Ck n ? r.iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定每个排列（或组合）都只包含k? ? 某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列 C rsC n?rsAk ；组合 C rs C k ? rs . k nII. 排列组合常见解题策略： ①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处 理排列组合综合性问题一般是先选元素， 后排列） ④正难则反， ； 等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团” 排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽， 其分法种数为 A/ Ar r（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以 A .k k例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为 C CC /P ? 55 17 .若分成六组，各组2 4 4 2 1 0 8 4 2人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为 C C C /A C C C ? A1 1 2 2 2 2 2 4 1 0 9 8 6 4 2 2 4②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数 为P? Pm m例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为： C2 10? 8? 5?A C C 33 5 3 3 4种. 种若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有 C 为 A/ A .4 42 10C8C5?A 33③均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数r r?A mm例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 C 1 02 C 84 CA2 2?A33④非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间 顺序，不管是否分尽，其分法种数为 A? Cnm1Cm 2 n -m 1? Cn-k 1?m2?...?mk-1) (m2 10m例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为 C 成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为 C 五、二项式定理.1 10C8C5? 25203 5若从 10 人中选出 6 人分C 9 C 7 ? 126002 3.1. ?二项式定理： ( ) a a? ? a? ?b C ? b C b C ? a ? b C ? a ? . bn 00 1 n n ? 1 n n r? n r r n nn 0 n展开式具有以下特点： (1)项数：共有 n ? 1 项； (2)系数：依次为组合数 C , , , , , ; , C C ?? C C0 n 1 n 2 n r n n n(3)每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.?二项展开式的通项.（ a ? b)n展开式中的第 r? 1项为： Tr1 ??n C a b0 r n? (? ?r Z , )r n ? r r.?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．． I. 当 n 是偶数时，中间项是第n 2n? 1项，它的二项式系数 C 2n 最大；n ? 1 2II. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第 ③系数和：CC? n 2 ?n ? ? ? C n0 1 n n项和第n ? 1 2n ?1n ?1? 1项，它们的二项式系数 C2 n? C2 n最大.Cn n ?C ? C ? C ? Cn ?? ?? ? 2 n n0 2 4 1 3n ? 1附：一般来说 (ax ? by)a ?1 或 b ?1n(a,b 为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. ．．．．．．．．．．．当时，一般采用解不等式组 ? ?P? k1 P? , ? k? k? P P1 k 或 ( k为 ? 的系数或系数的绝对值）的办法 P T 1 ? k P? k1 P? P P1 ? k ? k? k?来求解. ?如何来求 ( a ? b ? c ) 展开式中含 an n npb cqr的系数呢？其中rr np, q, r ? N ,n? r且 p?q?r?n把n?r先找出含有 C ( ? ?) ? a b c 视为二项式， a b c [ ?) ] ( ? 项为 Cq nr q ?? nr ?的项 C (a?b)pCr， 另一方面在 ( a ? b )q p q r中含有 b q 的ab ? nr b C a ?q qp q，故在 ( a ? b ? c ) 中含 anb cqr的项为 Cr nCn?r a b c.其系数为n ! ( ?! nr ) n ! r q p q r . C nr C? ? ? ?n np r C ? CC n ? rnr q ? q r p ! ?! ! ( ) ( nr ) ? ! !!! q2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na ，因为这时展开式的后面部分C ?n ? ?n 很小，可以忽略不计。类似地，有 (1 ? a) ? 1 ? na 但使用这两个公式时应注意 a C a ? a C n2 2 33 n nna的条件，以及对计算精确度的要求. 六、概率. 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等， 那么，每一个基本事件的概率都是 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)n 1? m n.3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=PA+P(B)，推广：P(A ? ) ? ? P(A? ) A A 1 P(A ? n ? ) ?) ? ? P(A 1 2 2 n.②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从 1～52 张扑克牌中任取一张抽 ．．．．．．．．．．．．．．． 到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发 生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于 1： P(A)A? ? )? . ? P( ) P(A A 1 ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相 互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积， P(A? 即 B)=PA? P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为 独立事件.例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽一张设 A： “抽到老 K” “抽到红牌”则 A 应与 B 互为独 ；B： 立事件[看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件，但 P(A) , ? ? P(B) , ? ? P(A) ? P(B) ? .52 13 52 2 26 4 1 26 1 1互斥 对立又事件 AB 表示“既抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A ? B) ?P(A) ? ?P(B) P(A . ?B )2 52?1 26，因此有推广：若事件 A ,? 相互独立，则 P ?A )P . (A ) ( ? AA A A ? ?) P P ( ? () ,A ,A1 2 n12 n 1 2 n注意：i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B , ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.A与 B， A 与 B 也都相互独立.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个 事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. 4. 对任何两个事件都有 P? ? AP ? A) ( A ) P ? B P? B () () ( B 七、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次 试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 八、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ 的概率分布为?x1 p1x p2? ?x pi?iP1 1 222?则称 Ex ? ? x ? 为ξ 的数学期望或平均数、 均值.数学期望又简称期望.数学期望 ? px ? ? ? p ? pnn反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望： E ? ( ? b? ? b ? E ?) aE a ? ①当 a ? 0 时， E (b) ? b ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时， E?? )?E ? ，即随机变量ξ 与常数之和的期望等于ξ 的期 ( b ? b 望与这个常数的和. ③当 b? 0ξ P0 q1 p时， E(a?) ? aE ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随 ?机变量期望的乘积. 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ 的分布列为 P?) pk 1? ( x ?(? , ) ? , 2 时，则称k kD ?p 2 ) ? x ) ? ? E ?E ? ( x ) ( x ?p ? E ? ( ?p 1 1 2 n n2 2 2????为ξ 的方差. 显然 D??0， ?? ? D? . ?? 为ξ 的根方差或 故标准差.随机变量ξ 的方差与标准差都反映了随机变量ξ 取值的稳定与波动， 集中与离散的程度. D ? 越小， ．． ． 稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．． ． 4.方差的性质. ?随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D )? ( ? b? ? ( ? D ? ) aD.（a、b 均为常数） a25. 期望与方差的关系. ?如果 E ? 和 E ? 都存在，则 E?? )? ?? ? ( ? E E ?设ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量，则E) E ( ? ? , (? ? ? E D ) D D2ξ P0 q1 p?? ? ?? ? ? ??期望与方差的转化： D ? E ?(E ) ? ? ?2? E ? ?? ( ) E ?（因为 E ? 为一常数） ( ? E E ?( ) ) ? E. ?E ? ? ?0 ? E第九章 排列、组合二项式定理概率与统计第一节 概率初步 例 1、 （1）D.（2）C． （3）B． （4）0.64，0.73． （5）不小于 3（或不大于 18） ；小于 3（或大于 18） 。 例 2、 （1）因频率的值等于优等品数与抽取球数的比值，故 表格中从左到右应依次填写 0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951，0.948． （2）由（1）知，虽然抽取球的个数可以不同，计算得到的频率值也不同，但它们均在常数 0.95 的附 近摆动，根据频率与概率间的关系可知，抽取一个乒乓球检测时，质量为优等品的概率为 0.950． 例 3、必然事件有：①⑦⑧；不可能事件有：④⑨⑩；随机事件有：②③⑤⑥． 例 4、A 是随机事件，概率为 0.4；B 是不可能事件，概率为 0； C 是随机事件，概率为 0.6；D 是必然事件，概率为 1． 第二节 二项式定理4 例 1、 （1）C（2）D． （3）C． （4）C． （5）有理项为 T1=x ， T 5 ?3 5 8x，T9=错误！未找到引用源。.例 2、 T3+1=（－1）3? C3 6=－20.1 q ?22 n 1 例 3、 （1） 解： 因为 q≠1， 所以 a ? ?q?q ?...?q ? ? 1 n1 q ?于是 A? n1 q 1 1 q 2 ? ? 1 q n ? C? C ?. ? .. C n n n 1 q ? 1 q ? 1 q ?2 n= =1 1 2 n 1 22 nn [ n?n? ?n ? n ?n ? ?n ) ( C C .. C ( q C .. C ] . ) C q . q 1q ? 1 n1 ? n { n 1 [ ?) ] ? ( ? ?1 q } 2 ) ( [ n ( ?)] 2? q 1 1q ? 1q ?An 2n1（2）??1? q ? [1 ? ? ? ]. 1? q ? 2 ? 1n因为－3&q&1，且 q≠－1，所以 0 ? |1? q 2|? 1.所以 l i mAn 2nn ? ??1 1 ? q4 例 4、系数为－ C3 ? C7 ?16? 27 . 10第三节 抽样技术 例 1、 （1）C． （2）B． （3）D． （4）系统抽样.（5）分层；4，15，2. 例 2、 （1）用分层抽样，并按老年 4 人，中年 12 人，青年 24 人抽取； （2）用分层抽样，并按管理 2 人，技术开发 4 人，营销 6 人，生产 13 人抽取； （3）用系统抽样。用对全部 2000 人随机编号，号码从 ，每 100 号分为一组，从第一组中 用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加 100，200，?，1900，共 20 人组成一个样本。 例 3、①系统抽样． ②本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔为：3 0 0 3 0=10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为 2(假设)．确定第一样本户：编号 02 的住户为 第一样本户；确定第二样本户：2+10=12，12 号为第二样本户；??． ③确定随机数字：取一张人民币，取其末位数为 2，这是简单随机抽样． 例 4、在教材中系统抽样的第一个号码，就是在第一组内用简单随机抽样的方法选取的一个号码，然 后再等距离地抽取，这样就保证了后面所有的号码都在已知的编号内．但在实际应用时却不一定是这样来 确定第一个号码，而是随机确定第一个号码，如这个学生确定的 38，如果这时再等距离地确定后续号码就 极有可能使号码超出已编号码之外，这个时候只要将超过的部分号码减去若干整数个间隔数，然后再将之 放到样本之中就可以了．例如，因 123-17?7=4，140-17?7=21，故抽取的号码如下：4，21，38，55，72， 89，106．因此这个学生的爸爸说的并没有错． 第四节 统计初步 例 1、 （1）C． （2）B． （3）B． （4）5.0，3000． （5）①②③。 例 2、解得 x ? ? 3, x ? 9 ， ．例 3、该学生的 T 分数为： T 14?8 10 ??2 5 ?0 ． 例 4、从图 1，2 中可以看出，两组数据的平均值相等．这是因为图 1，2 中的数据均关于 1“对称” ， 故平均值均为 1． 图 1 的标准差比图 2 的标准差大．这是因为图 1 中各数据与其平均值离散程度大，图 2 中前 10 个数据 与其平均值的离散程度与图 1 相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小，因此整体上说图 2 中所有数 据与其平均值的离散程度小于图 1． 第五节 概率运算和数学期望 例 1、 （1）C.（2）B． （3）D． （4）0.1． （5）0.68；0.59。 例 2、 （1）A、B、C 的概率分别为1 1 1 , , ． （2）1 张奖券的中奖概率为 ．6 1 1 0 0 0．（3）1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率为9 8 9 1 0 0 0例 3、设事件 H： “到站的是 1，3，4 路车” ，事件 Ai： “第 i 路车到站” i=1，2，3，4，5） （ ，由题设得P(A1)= P(A2)+ P(A3) +P(A4)+ P(A5)，P(A2)= P(A3) =P(A4)= P(A5)，P(A1)+ P(A2)+ P(A3) +P(A4)+ P(A5)=1．解得P(A1)= ，P(A2)= P(A3) =P(A4)= P(A5)=211 8．1 2 1 8 1 8 3 4∵H= A1+A3+A4，且 A1、A3、A4 两两互斥，∴P(H)= P(A1)+ P(A3) +P(A4)= 例 4、赌金的分配应是 11∶5（甲∶乙）比较合理。???．
更多搜索：
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}