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概率论与数理统计课后习题答案 第四版
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概率论及数理统计 (戴琳 著) 高教 课后答案
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概率论及数理统计 (戴琳 著) 高教 课后答案
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3秒自动关闭窗口[转载]自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记1
虽然是自考的题目，但是建议各位同学可以仔细读一读这个文件，汇总的各种题目都是很好的。
1.其后跟的是对应word文件版本的超级链接，
2.下面是我把word中前四章复制到本页面的样式，你可以直接在这里读。
自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记
　　概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。
　　概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。
　　预备知识
　　（一）加法原则
　　引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
　　解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
　　一般地有下面的加法原则：
　　办一件事，有m类办法，其中：
　　第一类办法中有n1种方法；
　　第二类办法中有n2种方法；
　　第m类办法中有nm种方法；
　　则办这件事共有 种方法。
　　（二）乘法原则
　　引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。
　　第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3
　　第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2
　　问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？
　　解：从北京经天津到上海的交通方法共有：
　　①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3&2=6生成。
　　一般地有下面的乘法原则：
　　办一件事，需分m个步骤进行，其中：
　　第一步骤的方法有n1种；
　　第二步骤的方法有n2种；
　　第m步骤的方法有nm种；
　　则办这件事共有 种方法。　　
　　（三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作 或 。　　
排列数 的计算公式为：
　　例如：
　　（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作 或 。
组合数 的计算公式为
　　例如： =45
　　组合数有性质　　
（1） ，（2） ，（3）
　　例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？
　　解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数
　　 （种）
　　例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√&&&）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？
　　解：第一步在5件正品中取2件，取法有
　　 （种）
　　第二步在3件次品中取1件，取法有
　　 （种）
　　由乘法原则，取法共有10&3=30（种）
第一章&&&&&&
随机事件与随机事件的概率
　　&1.1　随机事件
　　引例一，掷两次硬币，其可能结果有：
　　｛上上；上下；下上；下下｝
　　则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
　　引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：
　　｛1，2，3，4，5，6｝
　　则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。
　　从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
　　（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
　　由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
　　虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
　　必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
　　例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
　　不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
　　例如，掷一次骰子，点数&6的事件一定不出现，它是不可能事件。
　　（二）基本（随机）事件
　　随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
　　例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
　　全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。
　　（三）随机事件的关系
　　（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作 。
　　例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
　　所以A发生则必然导致B发生 。
　　显然有
　　（2）事件的相等：若 ，且 就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。
　　（四）事件的运算　　
　　（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作： 或A+B
　　例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝
　　则和事件A+B=｛1，2，3，5｝
　　显然有性质
　　①
　　②若 ，则有A+B=B
　　③A+A=A
　　（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B
　　例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝
　　显然有性质：
　　①
　　②若 ，则有AB=A
　　③AA=A
　　（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）
　　例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝
　　显然有性质：
　　①
　　②若 ，则有A-B=Φ
　　③A-B=A-AB
　　（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
　　例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝
　　∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
　　例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则
　　显然，对立事件有性质：
　　①
　　②
　　③
　　注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。
　　例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。
　　下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
　　图1.1表示事件 事件A
　　图1.2阴影部分表示A+B
　　图1.3阴影部分表示AB
　　图1.4阴影部分表示A-B
　　图1.5表示A与B互不相容
　　图1.6阴影部分表示
　　事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律
（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律
　　 （AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC
　　（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4） 叫对偶律
　　例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。
　　（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生
　　（2）A，B，C三事件都发生
　　（3）A，B，C三事件都不发生
　　（4）A，B，C三事件不全发生
　　（5）A，B，C三事件只有一个发生
　　（6）A，B，C三事件中至少有一个发生
　　解：（1）
　　（2）ABC
　　（6）A+B+C
　　例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3
　　解：（1）
　　例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。
　　（1）A，B都发生且C不发生
　　（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
　　（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生
　　（4）A，B，C中最多有一个发生
　　（5）A，B，C中恰有两个发生
　　（6）A，B，C中至少有两个发生
　　（7）A，B，C中最多有两个发生
　　解：（1）
　　（6） 简记AB+AC+BC
　　（7） 简记
　　例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝
　　求（1）A+B；
　　（2）AB；
　　（3） ；
　　（4） ；
　　（5） ；
　　（6） ；
　　（7） ，
　　（8） 。
　　解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝；
　　（2）AB=｛1，3｝；
　　（3） =｛2，4，6｝；
　　（4） =｛4，5，6｝；
　　（5） =｛4，6｝；
　　（6） =｛2，4，5，6｝；
　　（7） =｛2，4，5，6｝；
　　（8） =｛4，6｝
　　由本例可验算对偶律， = ， = 正确
　　例5，（1）化简 ；
　　（2）说明AB与 是否互斥
　　解：（1）
　　例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。
　　（1）ABC；
　　（2） ；
　　（3）AB；
　　解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件
　　（2） 表示A，B都发生且C不发生的事件
　　（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。
　　∴AB表示至少A与B都发生的事件
　　所以也可以记AB表示，ABC与 中至少有一个发生的事件。
　　例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与 是否相同。
　　解：（1） 表示至少A，B发生
　　它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。
　　（2） 表示A，B，C三事件中，仅仅事件A与事件B发生的事件
　　表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。
　　因而它们不相同。
　　&1.2　随机事件的概率　
　　（一）频率：（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。
　　（2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A），即
　　　　　　　　　　　
　　历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：
　　试验人
　　fn（A）
　　0.5181
　　0.5069
　　皮尔逊
　　0.5016
　　从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。
　　（二）概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）
　　实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。
　　粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。
　　下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：
　　（1）0≤P（A） ≤1
　　（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0
　　（3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有
　　P（A+B）=P（A）+P（B）
　　若A1，A2，……，An互斥，则有
　　（三）古典概型：
　　若我们所进行的随机试验有下面两个特点：
　　（1）试验只有有限个不同的结果；
　　（2）每一个结果出现的可能性相等，
　　则这种试验模型叫古典概型。
　　例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。
　　下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：
　　设 是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r
　　则有公式：
　　例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。
　　解：样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝
　　∴n=6,r=3
　　例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：
　　（1）P（A）；
　　（2）P（B）；
　　（3）P（C）
　　解：样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；
　　（3） 　　
　　由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。
　　例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。
　　解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数
　　A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件
　　例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。
　　解：（1）第一次取一个数字的方法有9种；
　　第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种；
　　由乘法原则，知两次所取的数字方法有9&9=92（种）
　　每一种取法是一个基本事件，所以n=92
　　（2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：
　　也可按（1）的乘法原则求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有9&8（种）
　　∴r=9&8
　　例5，袋中有5个白球，3个红球，从中任取2个球，
　　求（1）所取2个球的颜色不同的事件A的概率；
　　（2）所取2个球都是白球的事件B的概率；
　　（3）所取2个球都是红球的事件C的概率；
　　（4）所取2个球是颜色相同的事件的概率。
　　解：袋中共的8个球，从中任取2个球结果与顺序无关，所以取法共有 种，每一种取法的结果是一个基本事件，所以基本事件总数为
　　（1）分两步取。第一步，在5个白球中任取一个，方法数为5；第二步在3个红球中取一个，方法数为3，根据乘法原则，共有5&3种方法，即有5&3种结果。
　　（2）从5个白球中任取2个，结果与顺序无关
　　∴取法共有 （种）
　　∴B包含的基本事件共有r2=10
　　（3）从3个红球中任取2个的方法为 （种）
　　∴C包含的基本事件数r3=3
　　∴ 　　
　　（4）所取2个球颜色相同的有两类：
　　第一类：2个球都是白球的方法有 （种）
　　第二类：2个球都是红球的方法有 （种）
　　根据加法原则，所取2个球是颜色相同的方法共有10+3=13种。
　　∴2个球颜色相同的事件D包含r4=13种基本事件。
　　例6，袋中有10件产品，其中有7件正品，3件次品，从中每次取一件，共取两次，√√√√√√√&&&
　　（1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。
　　（2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率　　
　　解（1）第一次取一件产品的方法有10种
　　∵不放回，∴第二次取一件产品的方法有9种
　　由乘法原则知，取两次的方法共有10&9种
　　也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有 （种）
　　∴基本事件总数n=10&9
　　第一次取到正品，第二次取到次品的方法有7&3种，所以事件A包含的基本事件有：
　　（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种，由乘法原则知抽取方法共有10&10=100种，所以基本事件总数
　　n=10&10=100
　　第一次取正品方法有7种，第二次取次品的方法有3种，由乘法原则，事件B包含的基本事件共有
　　例7，将一套有1,2,3,4,5分册的5本书随机放在书架的一排上，求1，2分册放在一起的事件A的概率。
　　解：（1）基本事件总数n=5&4&3&2&1（种）
　　或者为
　　（2）A包含的基本事件有 （种）
　　例8，掷两次骰子，求点数和为7的事件A的概率。
　　解：（1）基本事件总数n=6&6=36（种）
　　（2）A=｛①⑥；②⑤；③④；④③；⑤②；⑥①｝
　　∴A包含的基本事件数r=6
　　例9，从1，2，3，4，5，6，7这七个数码中任取3个，排成三位数，求（1）所排成的三位数是偶数的事件A的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件B的概率。
　　解：基本事件总数 （个）
　　（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步：
　　第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有3种；
　　第二步，将其余6个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有 种方法。
　　根据乘法原则，事件A包含的基本事件数
　　（2）所排成的三位数的取法也需分两步进行；
　　第一步，取一个奇数放在个位码位置，有4种方法。
　　第二步，将其余6个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有 种。
　　根据乘法原则，事件B包含的基本事件数
　　例10，袋中有9个球，分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9从中任取3个球，求
　　（1）所取3个球的最小号码为4的事件A的概率；
　　（2）所取3个球的最大号码为4的事件B的概率；
　　解：基本事件总数 （个）
　　（1）最小号码为4的取法分两步进行
　　第一步，取出4号球，方法只有1种
　　第二步，在5，6，7，8，9这5个球中任取2个，方法数为
　　∴A包含的基本事件
　　（2）最大码为4的取法为：
　　第一步，取出4号球方法只有1种
　　第二步，在1，2，3号球中任取2个，方法数为
　　∴B包含的基本事件
　　例11，将两封信投入4个信箱中，求两封信在同一信箱的事件A的概率。
　　解：（1）先将第一封信投入信箱，有4种方法
　　再将第二封信投入信箱，也有4种方法
　　∴根据乘法原则共有4&4种方法
　　∴基本事件总数n=4&4
　　（2）将两封信同时投入一个信箱，方法有4种
　　∴A包含的基本事件数r=4
　　例12，袋中有10个球，其中有6个白球，4个红球，从中任取3个，求：
　　（1）所取的三个球都是白球的事件A的概率
　　（2）所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率
　　（3）所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率
　　（4）所取3个球颜色相同的事件D的概率
　　解：基本事件总数
　　（1）A包含的基本事件数
　　（2）B包含的基本事件数
　　（3）C的基本事件包含两类：
　　第一类，一个白球，二个红球的取法有
　　第二类，0个白球，三个红球取法有 种
　　∴事件C包含的基本事件数
　　（4）事件D包含的基本事件有两类：
　　第一类，三个球都是白球的取法有 种
　　第二类，三个球都是红球的取法有 种
　　∴事件D包含的基本事件数 （种）
　　（四）概率的加法公式
　　请先看下面引例：　　
　　掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝请求：
　　（1）P（A）；
　　（2）P（B）；
　　（3）P（A+B）；
　　（4）P（AB）
　　解：（1）
　　由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：
　　特别情形：
（1）如果A与B互斥，即AB=Φ则P（AB）=0
（2）因为A与 有性质
　　当上面等式中左边的概率P（A）不易求得，而且A的对立事件 的概率 则较易计算时，便可以通过容易计算的
求难计算的概率P（A）。
　　例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）
　　解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
　　∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）
　　=0.8+0.3-0.5=0.6
　　例2，袋中有10件产品，其中有6件正品，4件次品，从只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。
　　解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比较复杂。
　　而对立事件 则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。
　　因为基本事件总数
　　事件 包含的基本事件
　　加法公式可推广如下：
　　例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。
　　（五）概率的减法公式
因为 ，而 ，而BA与 明显不相容。
特别地，若 ，则有AB=A
　　例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求
　　例2，若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求
　　解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8
　　根据对偶公式
　　&1.3　条件概率
　　（一）条件概率和乘法公式　　
符号 叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率
，需要指出
条件概率 仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者
是以B已经发生为条件。
　　例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。
　　用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。
　　求（1）P（A）；
　　（2）P（B）；
　　（3）P（AB）；
　　（4） ；
　　解：（1）
　　（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工　　
　　（4） 表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10
由本例可以看出
事件A与事件 不是同一事件,所以它们的概率不同,即
由本例还可看出,
事件AB与事件 也不相同，
事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职
工，这时基本事件总数n1=200，r=10。而事件
则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以 虽然P（AB）与
不相同，但它们有关系，由本例可以看出
　　本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：
　　显然有：若P（A）&0则有
　　将上面的结果改写为整式有
公式 叫概率的乘法公式。
　　例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：
　　（1）P（A）；
　　（2） ；
　　（3）P（AB）
　　解（1）
　　∴（3） =
　　例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求
　　例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4， ，求 。
　　解：（1）
　　∴（2） 　　
　　例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？
　　解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。
　　已知P（A）=0.8，P（B）=0.7
　　所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875
　　乘法公式可以推广为：
　　例6，袋中有三件正品，二件次品（√√√&&）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。
　　解：用A1表示第一次取到正品
　　A2表示第二次取到正品
　　A3表示第三次取到正品
　　用古典概型计算P（A&&1），这时n1=5，r1=3
　　再用古典概型计算 ，这时n2=4，r2=2
　　再用古典概型计算 ，这时n3=3，r3=2
　　（二）全概公式
定义：若事件组 满足条件
（1） 互不相容
（2）在一次试验中，事件组 中至少发生一个，即
就说事件组 是样本空间Ω的一个划分。
　　例如事件组A与 有 所以事件组 是样本空间的一个划分。
　　例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：
　　所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。
　　下面介绍全概公式
设 是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：
　　证：∵
　　又∵ΩB=B
　　∵ 互不相容
　　∴ 也互不相容
　　用乘法公式上式可改写为
　　特别地（1）若 是Ω的一个划分，则有
　　（2）∵ 是Ω的一个划分，所以
　　全概公式的优点是当P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求P（B）
　　例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白球，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求
　　（1）P（A）；
　　（2）P（B）
　　解：（1）用古典概型n=5,r=3
　　（2）直接求P（B）很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得：
　　所以可用全概公式计算
　　可见第一次，第二次取到红球的概率相同。
　　例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。
　　当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？
　　解：用B表示该人是色盲者，A表示该人是男人.直接求P（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知
　　例3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为0.03，乙车床的次品率为0.02，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。
　　解：用B表示该产品是次品，A表示该产品由甲车床生产
　　例4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为0.25，被击中一弹的概率为0.5,被击中二弹的概率为0.25，若敌机中一弹时被击落的概率为0.7，敌机中二弹时，被击落的概率为0.9。求敌机被击落的概率。
　　解：用AK表示敌机的被击中K弹，K=0,1,2；B表示敌机被击落
　　显然有
　　其中A0,A1,A2是Ω的一个划分
　　（三）逆概公式（贝叶斯公式）
　　由 可得
叫逆概公式（贝叶斯公式）
　　当P（A）,P（B）， 已知时，可反过来求 。
　　例5，某地七月份下暴雨的概率为0.7，当下暴雨时，有水量的概率为0.2；当不下暴雨时，有水量的概率为0.05，求：
　　（1）该地七月份有水灾的概率.
　　（2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.
　　解：用B表示该地七月有水灾；
　　A表示该地七月下暴雨
　　例6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：
　　（1）该产品的次品率
　　（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。
　　解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。
　　所以 表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品
　　 表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。
　　 表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。
　　 则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品；
　　 则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品；
　　 则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品；
　　∴（1）
　　可见，若该产品是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。
　　例7，甲袋中有3个白球，2个红球，乙袋中有2个白球，3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：
　　（1）从乙袋中取出的球是白球的概率；
　　（2）如果从乙袋中取出的球是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少？从甲袋中取出红球的概率是多少？
　　解：用B表示从乙袋中取出白球；A表示从甲袋中取出白球，所以 表示从甲袋中取出红球。
　　可见从甲袋中取出白球的可能性大。　　
　　例8，已知 ，
　　求（1）P（AB）；
　　解：（1）
　　例9，若 ；
　　求（1）P（B）；
　　（2）P（A+B）
　　解：（1）
　　例10，已知 ；求
　　解：（1）
　　&1.4　事件的独立性
　　（一）事件的独立性
（1）定义：
若P（AB）=P（A）P（B），就说事件A与事件B相互独立。
　　（2）A与B独立的性质
　　性质一，若A与B独立，则
　　而若A与B独立，则
　　证：∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B）
　　（1）当P（A）&0时，
　　（2）当P（B）&0时，
　　性质一说明A与B相互独立时，A发生与否，对B发生的概率没有影响，而且，B发生与否也对A发生的概率没有影响。
若A与B独立，则有
（1） 与 独立
（2） 与B独立
（3）A与 独立
　　证：用独立性定义：
　　（1）∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B）
　　由对偶公式
　　∴ 与 独立
　　∴ 与B相互独立
　　∴A与 相互独立
　　由A与B独立 这一定义可推广有下列结果：
若A，B，C相互独立，则有P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
　　若 相互独立，则有
　　例1.种子的发芽率为0.98，求三粒种子中至少有一粒发芽的概率。
　　（解一）用B表示三粒种子中至少有一粒发芽
　　A1表示第一粒种子发芽
　　A2表示第二粒种子发芽
　　A3表示第三粒种子发芽
　　很明显，A1，A2，A3相互独立
　　（解二）用对偶公式
　　例2.甲、乙、丙三人独立破译敌码。甲能破译的概率为 ;乙能破译的概率为 ;丙能破译的概率为 .求密码被破译的概率。
　　解：用B表示敌码被破译
　　∴B=甲+乙+丙
　　例3.某产品由三道工序独立加工而成。第一工序的正品率为0.98；第二工序的正品率为0.99；第三工序的正品率为0.98。求该种产品的正品率和次品率。
　　解：用B表示产品是正品
　　A1表示第一工序是正品
　　A2表示第二工序是正品
　　A3表示第三工序是正品
　　∴B=A1A2A3
　　（二）重复独立试验概型
　　先请看引例：某人射击目标的命中率为P，他向目标射击三枪，求这三枪中恰中二枪的概率。
　　解：用B表示射击三枪，恰中二枪的事件
　　A1表示第一枪击中目标
　　A2表示第二枪击中目标
　　A3表示第三枪击中目标
　　其中A1，A2，A3独立　　
　　由本例可见 与 ，
大小相同都是P2（1-P），总共有三类，相当于从1，2，3这三个数中，任取二个的方法数
　　由本例可以推广为：
　　某人射击目标的命中率为P（即每次命中率都是P），他向目标射击n枪，则这n枪中恰中k枪的概率为：
　　P（射击n枪，恰中k枪）=
　　一般地，有下面普遍结果：
　　如果在每一次试验中，事件A发生的概率不变都是P（A）=p，则在这样的n次重复相同的试验中，事件A发生k次的概率的计算公式为：　　
P（在n次重复试验中，A发生k次）=
　其中P表示在每一次试验时，A的概率，记为p=P（A），
习惯用符号Pn（k）表示在n次重复
试验中，事件A发生k次的概率。
　　例1.一射手对目标独立射击4次，每次射击的命中率P=0.8，求
　　（1）恰好命中两次的概率；
　　（2）至少命中一次的概率。
　　解：（1）
　　（2）用B表示至少命中1次的事件
　　则 表示最多命中0次的事件，故 表示恰好命中0次的事件
　　例2.五台同类型的机床同时独立工作，每台车床在一天内出现故障的概率P=0.1，求在一天内：
　　（1）没有机床出现故障的概率；
　　（2）最多有一台机床出现故障的概率。
　　解：（1）所求概率为：
　　（2）所求概率为：
　　例3.在一次试验中，事件A发生的概率为P（A）=0.7，问至少做多少次试验，才能使事件A至少出现1次的概率超过0.99。
　　解：设所需试验次数为n，它的对立事件为Pn（0）
　　答：试验次数至少4次
　　例4，某射手射击目标4次，且知道至少击中一次的概率为 ，求该射手射击1次的命中率P。
　　解：P（至少射中1次）=1-P（射中0次）
　　本章考核内容小结
　　（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式
　　计算简单的古典概型的概率
　　（二）知道事件的四种关系
　　（1）包含： 表示事件A发生则事件B必发生
　　（2）相等：
　　（3）互斥： 与B互斥
　　（4）对立：A与B对立 AB=Φ，且A+B=Ω
　　（三）知道事件的四种运算
　　（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生
　　性质：（1）若 ，则A+B=A（2） 且
　　（2）事件积（交）AB表示A与B都发生
　　性质：（1）若 ，则AB=B∴ΩB=B且
　　（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生
　　∴ ，且A-B=A-AB
　　（4） 表示A不发生
　　性质 　　
　　（四）运算关系的规律
　　（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律
　　（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律
　　（AB）C=A（BC）
　　（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律
　　（A+B）（A+C）=A+BC
　　（4） 叫对偶律
　　（五）掌握概率的计算公式
　　（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
　　特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）
　　②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
　　③
　　推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
　　推广：
　　当事件独立时，
　　P（AB）=P（A）P（B）
　　P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
　　P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）
　　性质若A与B独立 与B，A与 ， 与 均独立
　　（六）熟记全概率公式的条件和结论
　　若A1，A2，A3是Ω的划分，则有
　　简单情形
　　熟记贝叶斯公式
　　若 已知，则
　　（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式
　　本章作业
　　教材6-7页，习题1.1
　　1.（1）（2），2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7），4，5.（1）（2），6.（1）（2），7
　　12-13页，习题1.2
　　1，2，3，4，5，6，7，8.（1）（2）（3）（4），9，10.（1）（2）（3）（4）（5），11，12，13.（1）（2）
　　17-18页，习题1.3
　　2，3，4，5，6，7.（1）（2），8，9，10，11，12，13，14
　　22-23页，习题1.4
　　1.（1）（2）（3），2，3，4，5，6，7，8，9.（1）（2），10.（1）（2）（3）（4），11，12
　　24页自测题全部
第二章&&&&&&
随机变量及其变量分布
　　&2.1　离散型随机变量
　　（一）随机变量
　　引例一：掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.
　　我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。
　　引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}.
　　我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。
　　引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a&X&b，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。
　　例如，1000≤X≤2000　表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。
0&X&4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。
定义1：若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。
习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。
　　例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。
　　（二）离散型随机变量及其分布律
　　定义2　若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。
　　定义3　若随机变量X可能取值为 且有 （k=1,2,…,n,…）
　　其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。
　　就说公式 （k=1,2,…,n,…）
　　或表格
　　是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作
　　分布律 有下列性质
　　（1） ；（2）
　　由于事件 互不相容。而且 是X全部可能取值。
　　反之，若一数列 具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。
　　例1　设离散型随机变量X的分布律为
　　求常数c。
　　解　由分布律的性质知
　　1=0.2+c+0.5,
　　解得c=0.3.
　　例2　掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。
　　解　X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且
　　则X的分布律为
　　在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率。
　　例3　袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。
　　解　X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得
　　 （三个球的编号为1,2,3）
　　 （有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配成3个）
　　 （有一球编号为5，另两个球的编号小于5）
　　则X的分布律为
　　例4　已知一批零件共10个，其中有3个不合格，今任取一个使用，若取到不合格零件，则丢弃掉，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。
　　解　X的取值为0，1，2，3，设 表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算，得
　　故X的分布率为
　　在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率，比如 等，求法就是把满足条件的 所对应的概率
相加可得，如在例2中，求掷得奇数点的概率，即为
　　P{X=1,或3,或5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}=
　　在例4中，
　　P{X≤1}= P{X=0}+ P{X=1}= ，
　　P{X&1}= P{X=2}+ P{X=3}= ，
　　P{1≤X&2.5}= P{X=1}+ P{X=2}= ，
　　例5　若X的分布律为
　　求（1）P(X&2),
　　（2）P(X≤2),
　　（3）P(X≥3),
　　（4）P(X&4)
　　解（1）P(X&2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3
　　(2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5
　　(3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5
　　(4)∵{x&4}=Φ
　　∴P{x&4}=0
　　（三）0-1分布与二项分布
　　下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。
定义4　若随机变量X只取两个可能值：0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q
其中0&p&1,q=1-p,则称X服从0-1分布。X的分布律为
在n重贝努利试验中，每次试验只观察A是否发生，定义随机变量X如下：
，所以X服从0-1分布。0-1分布是最简单的分布类，任何只有两种结果的随机现象，比如新生儿是男是女，明天是否下雨，抽查一产品是正品还是次品等，都可用它来描述。
　　例6　一批产品有1000件，其中有50件次品，从中任取1件，用{X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，请写出X的分布律。
定义5　若随机变量X的可能取值为0,1,…,n，而X的分布律为
其中 ，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X～B（n,p）。
显然，当n=1时，X服从0-1分布，即0-1分布实际上是二项分布的特例。
在n重贝努利试验中，令X为A发生的次数，则
即X服从参数为n,p的二项分布。
　　二项分布是一种常用分布，如一批产品的不合格率为p，检查n件产品，n件产品中不合格品数X服从二项分布；调查n个人，n个人中的色盲人数Y服从参数为n,p的二项分布，其中p为色盲率；n部机器独立运转，每台机器出故障的概率为p，则n部机器中出故障的机器数Z服从二项分布，在射击问题中，射击n次，每次命中率为p，则命中枪数X服从二项分布。
　　例7　某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？
　　解　设X为10人中被治愈的人数，则X～B(10，095)，而所求概率为
　　例8　设X～B（2,p），Y～B（3,p）。设 ，试求P{Y≥1}.
　　解　 ，知 ，即
　　由此得 .
　　再由 可得
　　例9　考卷中有10道单项选择题，每道题中有4个答案，求某人猜中6题以上的概率。
　　解：　已知猜中率 ，用X表示猜中的题数 则
　　在计算涉及二项分布有关事件的概率时，有时计算会很繁，例如n=1000,p=0.005时要计算
就很困难，这就要求寻求近似计算的方法。下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式，这就是著名的二项分布的泊松逼近。有如下定理。
　　泊松（Poisson）定理　设λ&0是常数，n是任意正整数，且
，则对于任意取定的非负整数k，有
　　证明略。
　　由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式 ，
　　其中λ=np.
　　在实际计算中，当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。
　　例10　一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算：
　　（1）其中至少有两件是废品的概率；
　　（2）其中不超过5件废品的概率。
　　解　设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则X～B()。利用近似公式近似计算，λ==5.
　　（四）泊松分布
定义6　设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…，而X的分布律为
其中λ&0，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为X～p(λ)
即若X～p(λ)，则有
　　例11　设X服从泊松分布，且已知P{X=1}= P{X=2}，求P{X=4}.
　　解　设X服从参数为λ的泊松分布，则
　　由已知，得
　　解得λ=2，则
　　&2.2　随机变量的分布函数
　　（一）分布函数的概念
　　对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如
等事件的概率。而对于非离散型的随机变理，就无法用分布率来描述它了。首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即P{X=x}=0。于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。
　　定义1　设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+ ∞) 为X的分布函数。
　　注意，随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性。
　　例1　若X的分布律为
　　求(1)F(1),
　　(2)F(2.1),
　　(3)F(3),
　　(4)F(3.2)
　　解　由分布函数定义知F(x)=P(X≤x)
　　∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3
　　(2)F(2.1)= P(X≤2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6
　　(3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) +
P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9
　　(4)F(3.2)= P(X≤3.2)=1- P(X&3.2)=1- P(X=4)
=1-0.1=0.9
　　例2　设离散型随机变量X的分布律为
　　求X的分布函数
　　当x&-1时，F(x)=P{X≤x}=P(X&-1)=0
　　当-1≤x&0时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}=0.2
　　当0≤x&1时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+
P{X=0}=0.2+0.1=0.3
　　当1≤x&2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+
P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
　　当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X= -1}+ P{X=0}+ P{X=1}+
P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
　　则X的分布函数F(x)为
　　F(x)的图象见图2.1。
　　从F(x)的图像可知，F(x)是分段函数，y=F(x)的图形阶梯曲线，在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。
　　一般地，
对于离散型随机变量X，它的分布函数F(x)在X的可能值 处具有跳
跃，跳跃值恰为该处的概率 ，F(x)的图形是阶梯形曲线，F(x)为分段函数，分段点仍是 。
　　另一方面，由例2中分布函数的求法及公式（2.2.1）可见，分布函数本质上是一种累计概率。
　　一般地，若X的分布律是
　　则有X的分布函数为
　　公式：
　　所以，例2中X的分布函数为
　　（二）分布函数的性质
　　分布函数有以下基本性质：
　　（1）0≤F(x) ≤1.
　　由于F(x) =P{X≤x}，所以0≤F(x) ≤1.
　　（2）F(x)是不减函数，即对于任意的 有
　　因为当 时， ，即
　　（3）F(-∞)=0，F(+∞)=1，即
　　从此，我们不作严格证明，读者可从分布函数的定义F(x) =P{X≤x}去理解性质（3）。
　　（4）F(x)右连续，即
　　证明略。
　　例2　设随机变量X的分布函数为
　　其中λ&0为常数，求常数a与b的值。
　　解　 ，由分布函数的性质F(+∞)=1，知a=1；又由F(x)的右连续性，得到
　　由此，得b= -1.
已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率：
1°P{X≤b}=F(b).
2°P{a&X≤b}=F(b)-F(a)，其中a&b.
3°P{X&b}=1-F(b)
　　证　1°∵F(x)=P{X≤x}
　　∴F(b)=P{X≤b}
　　2°P{a&X≤b}= P{X≤b}- P{ X≤a}
　　= F(b)-F (a)
　　3°P{X&b}=1- P{X≤b}=1- F(b)
　　例3　设随机变量X的分布函数为
　　例4　求0-1分布的x的分布函数
　　解：已知
　　例5　设X～F(x)=a+barctanx(-∞&x+∞)
　　求　（1）a与b
　　（2）P(-1&X≤1)
　　解：（1）∵F(-∞)=0，F(+∞)=1
　　解得 ,
　　&2.3　连续型随机变量及概率密度
　　（一）连续型随机变量及其概率密度
　　定义　若随机变量X的分布函数为
其中f(t)≥0。
　　就是说X是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
　　由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质
　　（3） 　　（a≤b）
　　前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即
　　若X是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数。
（4）f(x)≥0
　　证（1）在微积分中已知积分上限的函数 对上限x的导数
　　它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。
　　（3）∵P(a&X≤b)=F(b)-F(a)
　　因为F(x)是f(x)的原函数
　　因此，对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种：
（1）若F(x)已知，则P(a&X≤b)=F(b)-F(a)
（2）若f(x)已知，则P(a&X≤b)=
　　例1　设
　　求（1）c
　　解（1）
　　而 时，p(x)=0,
　　例2.设连续函数变量X的分布函数为
　　（1）X的概率密度f（x）;
　　（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。
　　解：（1）
　　（2）有两种解法：
　　例2－1　若
　　例2－2　若 求x~f(x)
　　　　　　　　　　
　　例2－3，若
　　例3.若
　　解：（1）x≤0时，f（x）=0，
　　（2）0＜x＜1时，
　　（3）1≤x时，
　　注2.分段函数要分段求导数，分段求积分。
　　例4.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度。
　　现有一大批此种元件，（设各元件工作相互独立），问：
　　（1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？
　　（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？
　　（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？
　　解：（1）
　　（2）各元件工作相互独立，可看作4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数，则
，所求概率为
　　（3）所求概率为
　　3.2　均匀分布与指数分布
　　以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。
定义2.若随机变量X的概率密度为
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，简记为X~U（a,b）
　　容易求得其分布函数为
　　均匀分布的概率密度f（x）和分布函数F（x）的图像分别见图2.3和图2.4
均匀分布的概率密度f（x）在[a,b]内取常数 ，即区间长度的倒数。
　　均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。
　　均匀分布的概率计算中有一个概率公式。
　　设 ，则
　　使用这个公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设 ，则
　　例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1到3分钟内的概率。
　　解：设X表示乘客的侯车时间，则X~U（0,5），其概率密度为
　　所求概率为
定义3.若随机变量X的概率密度为
其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，简记为 ，其分布函数为
　　f（x）和F（x）的图形分别见图2.5和图2.6
　　指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。
　　例:若某设备的使用寿命X（小时）～E（0.001）求该设备使用寿命超过1000小时的概率。
　　解：∵λ＝0.001
　　∴P（1000＜X）＝P（1000＜X＜+∞）
　　＝F（+∞）－F（1000）＝1－｛1－e-1｝=e-1=
　　（三）正态分布
定义4.若随机变量X的概率密度为
其中μ,σ2为常数，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布，简记为X~N（μ,σ2）
　　f（x）的图形见图2.7
习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。
设X~N（μ,σ2），则X的分布函数为
特别地，当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布N（0，1）。为区别起见，标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为
　　 的图象见图2.8
显然， 的图象关于y轴对称，且 在x=0处取得最大值 。
　　通常我们称 为标准正态分布函数，它有下列性质：
　　由定积分的几何意义及 的对称性可得
　　由（1）知
　　（3）因为 是X服从标准正态即X~N（0，1）时的分布函数，所以有
上面公式中，不等式中是否有等号并不影响公式的正确性，原因是连续随机变量X取一个数的概率为0，即P（X＝K）＝0所以下面的公式同样成立
其中标准正态分布函数 的可用教材中的附表1求得，其中同样有
　　　　例1.若X~N（0，1）求
　　（1）P（X＜2.12）
　　（2）P（X＞－0.23）
　　（3）P（－0.2＜X≤2.12）
　　解：（1）P（X＜2.12）＝P（－∞＜X＜2.12）
　　＝Φ（2.12）－Φ（－∞）＝Φ（2.12）＝0.9830
　　（2）P（X＞－0.23）＝P（－0.23＜X＜+∞）
　　＝Φ（+∞）－Φ（－0.23）＝1－Φ（－0.23）
　　由性质Φ（－x）＝1－Φ（x）得Φ（－0.23）＝1－Φ（0.23）
　　∴P（X＞－0.23）＝Φ（0.23）＝0.5910
　　（3）P（－0.2＜X≤2.12）＝Φ（2.12）－Φ（－0.2）
　　＝Φ（2.12）－｛1－Φ（0.2）｝＝Φ（2.12）+Φ（0.2）－1
　　＝0.3－1＝0.5623
　　例2.X~N（0，1）时，证明a&0时
　　＝Φ（a）－Φ（－a）＝Φ（a）－[1－Φ（a）]
　　＝2Φ（a）－1
　　例3.若X~N（0，1），则a为何值时，
　　解：∵
　　查标准正态分布函数值表（附表1）有
　　∴a=1.96
下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果
若X~N（μ,σ2），则有
（1）X的分布函数F（x）＝
　　公式：X~N（μ,σ2）时
　　提供了X~N（μ,σ2）时，计算概率 的方法。
　　例4.若X~N（3,4）求P（3＜X＜5）
　　解：P（3＜X＜5）＝
　　＝Φ（1）－Φ（0）＝0.＝0.3413
　　例5.设X~N（1.5,4），求：
　　（1）P｛X＜3.5｝
　　（2）P｛1.5＜X＜3.5｝
　　（3）P｛ ≥3｝
　　解：μ＝1.5σ＝2，记F（x）为X的分布函数。
　　（1）P｛X＜3.5｝＝P（－∞&x&3.5）=
　　（2）P｛1.5＜X＜3.5｝=
　　=0.＝0.3413
　　（3）P｛ ≥3｝＝1－P｛ &3｝＝1－P｛－3＜X＜3｝
　　＝1－Φ（0.75）+Φ（－2.25）
　　＝1－Φ（0.75）+1－Φ（2.25）
　　＝1－0..8
　　例6.设X~N（μ,σ2）求X落在区间［μ－kσ, μ+kσ］概率，其中k=1,2,3
　　解：P｛μ－kσ≤X≤μ+kσ｝＝
　　＝Φ（k）-Φ（－k）=2Φ（k）－1
　　∵Φ（1）＝0.8413，Φ（2）＝0.9772，Φ（3）＝0.99865
从此可以看出：
尽管正态分布取值范围是（－∞，+∞），但它的值落在
［μ－3σ, μ+3σ］的概率为0.9973，几乎是肯定的，这个性质被称为正态分布的“3σ规则”。
　　为了方便今后的应用，对于标准正态随机变量，我们引入α分位的定义。
　　定义5.设X~N（0,1）若ua满足条件
　　P｛X＞ua｝＝α，0＜α＜1，
　　则称点ua为标准正态分布的上侧α分位数（见图2.12）
　　例7.用上侧分位数ua的定义求
　　（1）u0.005（2）u0.025（3）u0.01（4）u0.05
　　（5）u0.1
　　解：因为P（X＞uα）＝α
　　∴P（X＞uα）＝1－P（X＜uα）＝1－Φ（uα）＝α
　　∴Φ（uα）＝1－α
　　（1）Φ（u0.005）＝1－0.005＝0.995
　　Φ（2.58）＝0.995
　　u0.005=2.58
　　（2）∵Φ（u0.025）＝1-0.025=0.975
　　∵Φ（1.96）＝0.975
　　∴u0.025＝1.96
　　（3）∵Φ（u0.01）＝1－0.01＝0.99
　　∴Φ（2.33）＝0.99
　　∴u0.01＝2.33
　　（4）∵Φ（u0. 05）＝1－0.05＝0.95
　　∴Φ（1.64）＝0.95
　　∴u0.05＝1.64
　　（5）∵Φ（u0. 1）＝1－0.1＝0.9
　　∴Φ（1.29）＝0.9
　　∴u0.1＝1.29
　　正态分布是最常见的一种分布，在实际问题中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，例如，一个地区的男性成年人的身高和体重，测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度，某地区的年降水量等，它们都服从正态分布，本书第五章的中心极限定理表明：一个变量如果大量独立，微小且均匀的随机因素的叠加而生成，那么它就近似服从正态分布，由此可见，在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位。
　　例8.某机床生产的零件长度X（mm）～N（20,0.022），工厂规定该零件长度在区间（19.96，20.04）内为合格品，求该机床产品的合格率。
　　&#＜X＜20.04表示产品合格
　　∴合格率为
　　P（19.96＜X＜20.04）＝Φ
　　例9.测量某零件长度时DE 误差X（mm）～N（2,9）
　　求（1）误差绝对值小于5的概率
　　（2）测量三次，误差的绝对值都小于5的概率
　　（3）测量三次，误差的绝对值至少有一次小于5的概率
　　解：（1）
　　其中P表示误差绝对值小于5的事件A的概率P（A）
　　（2）用X表示测量三次，事件A发生次数
　　∴X～B（3,P），P＝0.8314
　　∴P（X＝3）
　　（3）P（X≥1）＝1－P（X＜1）＝1－P（X＝0）
　　第4节　随机变量的函数的概率分布
　　4.1　离散型随机变量的函数的概率分布
　　在实际应用中，我们常常遇到这样的情况，所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数，例如，我们能测量圆轴截面的直径X，而关心的却是其截面的面积
，这里随机变量Y就是随机变量X的函数。
　　设g（x）是一给定的连续函数，称Y＝g（X）为随机变量X的的一个函数，Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值y＝g（x），本节，我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数Y＝g（x）的概率分布。
　　先讨论X为离散型随机变量的情况。
设X为离散型随机变量，其分布律为
由于X的可能取值为x1　x2　…　xk…，所以Y的可能取值为g（x1）,
g（xk）…可见Y只取有限多个值或可列无穷多个值，故Y是一个离散型随机变量。
当g（x1）,
g（x2）…g（xn）互不相等时，Y的分布律为
当g（x1）,
g（x2）…g（xk）…，有相等的情况时，则应该把使g（xk）相等的那些xi所对应的概率相加，作为Y取值g（xk）的概率，这样得到Y的分布律。
　　例1.设随机变量X的分布律为
　　（1）Y＝X3的分布律；
　　（2）Z＝X2的分布律。
　　解：（1）Y的可能取值为－1，0，1，8.由于
　　从而Y的分布律为
　　（2）Z的可能取值范围为0，1，4
　　则Z的分布律为
　　例2.X～B（3，0.4）令 ，求P｛Y＝1｝
　　解：因为X～B（3，0.4）所以X可能取值为0.1.2.3
　　当X＝0时，Y＝0，X＝1时，Y＝1；X＝2时，Y＝1；X＝3时，Y＝0。
　　所以，Y＝1为｛X＝1｝与｛X＝2｝
　　其实，由等式 中，当Y＝1时，可得X（3－X）＝2
　　∴P（Y＝1）＝P（X＝1）+P（X＝2）
　　4.2　连续型随机变量的函数的概率分布　　
　　设X为连续型随机变量，其概率密度为fx（x），要求Y＝g（x）的概率密度fy（y），我们可以利用如下定理的结论。
定理1.设X为连续型随机变量，其概率密度为fx（x），设g（x）是一严格单调的可导函数，其值域为（α，β），且g'（x）≠0，记x=h（y）为y＝g（x）的反函数，由Y＝g（x）的概率密度fY（y）为：
特别地，当α＝－∞β＝+∞时，
　　例3.设连续型随机变量X的概率密度为fx（x），令Y＝ax+b其中a,b为常数,a≠0。
　　解：y=g（x）=ax+b,α＝－∞β＝+∞由y=ax+b得x= ,
　　 ，由定理1得
　　例4. X～N（μ,σ2），求：
　　（1） 的概率密度。
　　（2）Y＝aX+b的概率密度。
　　解：∵X～N（μ,σ2）∴X～fx（x）
　　（2）Y＝ax+b时，由y＝ax+b得反函数x=h（y）
　　例4.说明两个重要结论；当X～N（μ,σ2）时， ～N（0,1）且随机变量
称为X的标准化，另外，正态随机变量的线性变换Y＝aX+b仍是正态随机变量，即aX+b～N（aμ+b,a2σ2），这两个结论必须记住！
　　例5.设X～U（ ），令Y=tanx，求Y的概率密度fY（y）。
　　解：y=g（x）=tanx,值域为（－∞，+∞），反函数x=h（x）=arctany,
记X的概率密度为fx（x）,
　　这一概率分布称为柯西（Cauchy）分布。
　　例6.随机变量X的概率密度为
　　求Y＝2X+8的概率密度。
　　解：记Y的分布函数为Fy（y），则Y的分布函数
　　其中Fx（x）为X的分布函数，故
　　例6中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”。
　　例6也可用定理一的公式求解
　　∵Y＝2x+8由y=2x+8得反函数
　　因为x的取值范围为0&x&4，所以y的取值范围为8&y&16
　　∴当8&y&16时，
　　当y≤8或y≥16时，
　　例7.若X～N（30，4）求Y＝2x的分布。
　　解：由公式X～N（μ,σ2）
　　∴Y～N（60,16）。
　　本章考核内容小结
　　（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率
（1）若X是离散型随机变量，则
P（a&x≤b）=F（b）- F（a）
（2）若X是连续型随机变量，则
P（a&x≤b）=F（b）- F（a）
P（a≤x≤b）=F（b）- F（a）
P（a≤x＜b）=F（b）- F（a）
P（a&x＜b）=F（b）- F（a）
　　（二）知道离散型随机变量的分布律
　　会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若
　　（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律
　　（1）X～（0,1）
　　（2）X～B（n,p） P（x=k）=
　　（3）X～P（λ） P（x=k）=
　　并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np
　　（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。
　　（1）概率密度f（x）的性质
　　①f（x）≥0　　　②
　　（2）分布函数和概率密度的关系
　　（3）分布函数的性质
　　①F（x）连续，可导
　　②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1
　　③F（x）是不减函数。
　　（4）概率计算公式：
　　①P（a&x&b）=F（b）－F（a）
　　②P（a&X&b）=
　　（五）掌握连续型随机变量的三种分布
（1）X～U（a,b）
X～f（x）=
X～F（x）=
（2）X～E（λ）
①X～f（x）=
②X～F（x）=
（3）X～N（0,1）
①X～
②X～
性质：Φ（-x）=1-Φ（x）
P（a&x≤b）=Φ（b）－Φ（a）
（4）X～N（μ,σ2）
①X～
②P（a&x＜b）=
　　（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数
　　（1）离散型
　　且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有
（2）连续型
　　若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变量X的函数Y=g（x）的概率密度为
当α=－∞β=+∞时，则有
简单情形，若Y＝ax+b则有
Y～fY（y）=
　　在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。
　　（3）重要结论
（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时
Y～N（aμ+b,a2σ2）
（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝
叫X的标准化随机变量。
　　本章作业
　　教材　34－35页　习题2.1
　　1.2.3.4.5.6.7（1）（2）8.9.10
　　38－39页　习题2.2
　　1.2.4.5（1）（2）6
　　48－49页　习题2.3
　　1.2（1）（2）（3）3.4.5.6.7.8.9（1）（2）10.11（1）（2）12.13（1）（2）
　　55页　习题2.4
　　1（1）（2）2.3（2）4（1）（2）5（1）
　　自测题2
第三章&&&&&&
多维随机变量及概率分布
　　3.1　二维随机变量的概念
　　3.1.1　二维随机变量及其分布函数
　　到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
　　定义3.1　2个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
　　定义3.2　（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。记作（X，Y）～F（x,y）。
　　（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
　　因为X&+∞，Y&+∞即-∞&X&+∞，-∞&Y&+∞，分别表示必然事件，所以有X～Fx（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y&+∞）=F（x,+∞）
　　Y～FY（y）=P（Y≤y）=P（x&+∞，Y≤y）=F（+∞，y）
　　可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
　　3.1.2　二维离散型随机变量
　　定义3-3　若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（xi，yj），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
　　设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：
　　P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…），
　　称P{X=xi,Y=yj}=Pij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
　　（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：
　　（X，Y）的分布律具有下列性质：
　　（1）pij≥0（i，j=1，2，…）；
　　反之，若数集{Pij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
　　[例3-1]设（X，Y）的分布律为
　　求a的值。
　　解　由分布律性质知，
　　则　6a2+a-1=0，（3a-1）（2a+1）=0，
　　解得 或 （负值舍去），所以 。
　　由（X，Y）的分布律可求得它的分布函数F（x,y），实际上
　　[例3-2]设（X，Y）的分布律为
　　求：（1）P{X=0}；（2）P{Y≤2}；（3）P{X&1，Y≤2}；（4）P{X+Y=2}。
　　解：（1）{X=0}={X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}，且事件{X=0,Y=1}，{X=0,Y=2}，{X=0,Y=3}两两互不相容，所以
　　P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.
　　（2）{Y≤2}＝{Y=1}∪{Y=2}
　　={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}∪{X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，
　　且事件{X=0，Y=1}，{X=1，Y=1}，{X=0，Y=2}，{X=1，Y=2}两两互不相容，所以P{Y≤2}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=1}+P{X=0，Y=2}+P{X=1，Y=2}=0.1+0.25+0.1+0=0.45.
　　（3）{X&1，Y≤2}={X=0，Y=1}∪{X=0，Y=2}，且事件{X=0，Y=1}，{X=0，Y=2}互不相容，所以
　　P{X&1，Y≤2}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=2}=0.1+0.1=0.2。
　　（4）{X+Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=1}，类似可得
　　P{X+Y=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=1，Y=1}=0.1+0.25=0.35.
　　［例3-3］现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y=K表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X，Y）的分布律。
　　解　X与Y的可能值均为1，2，3，利用概率乘法公式，可得（X，Y）取各对数值的概率分别是：
　　P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1|X=1}= ，
　　类似地有这P（X=1，Y=2）=0　　　　P（X=1，Y=3）=0
　　 　　　 P（X=2，Y=3）=0
　　 　　　
　　而{X=1，Y=2}，{X=1，Y=3}，{X=2，Y=3}为不可能事件，所以其概率为零，即{X，Y}的分布律为
对于离散型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的分布律称为（X，Y）关于X（或
Y）的边缘分布律，记为Pi·（i=1，2，…）（或P.j（j=1，2，…）），它可由（X，Y）的分布律求出，事实上，
　　Pi·=P{X=xi}
　　=P{X=xi,Y=yj}+P{X=xi,Y=y2}+…+P{X=xi,Y=yj}+…
　　即（X，Y）关于X的边缘分布律为：
　　 　i=1，2，…　（3.1.2）
　　同样可得到（X，Y）关于Y的边缘分布律为：
　　 　j=1，2，…　（3.1.3）
　　（X，Y）的边缘分布律有下列性质：
　　pi·≥0，p·j≥0，（i，j=1，2，…）
　　[例3-4]求例3-3中（X，Y）关于X和Y的边缘分布律。
　　解　X与Y的可能值均为1，2，3。
　　（X，Y）关于X的边缘分布律为：
　　（X，Y）关于Y的边缘分布律为：
　　可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：
　　值得注意的是：对于二维离散型随机变理（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。
　　[例3-5]设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。
　　解　（1）有放回摸球情况：
　　由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i，j=0，1），所以
　　P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=
　　P{X=0，Y=1}=P{X=0}·P{Y=1}=
　　P{X=1，Y=0}=P{X=1}·P{Y=0}=
　　P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1}=
　　则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
　　（2）不放回摸球情况：
　　P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0|X=0}=
　　类似地有
　　P{X=0，Y=1}=
　　P{X=1，Y=0}=
　　P{X=1，Y=1}=
　　则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
　　比较两表可看出：在有放回抽样与不放回抽样两种情况下，（X，Y）的边缘分布律完全相同，但（X，Y）的分布律却不相同，这表明（X，Y）的分布律不仅反映了两个分量的概率分布，而且反映了X与Y之间的关系。若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不同，则它们的分布律也会不同。因此在研究二维随机变量时，不仅要考察两个分量X与Y各自的个别性质，还需要考虑它们之间的关系，即应将（X，Y）作为一个整体来研究。
　　3.1.3　二维连续型随机变量的联合密度和边缘概率密度
　　一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴，二维随机变量（X，Y）的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面，一维连续型随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f（x），满足：
　　且 分布函数
　　类似地，我们有下面的定义。
　　定义3-5　设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y）=P（X≤x,Y≤y），若存在非负可积函数f（x,y），使得对任意的实数x,y，有
　　则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称f（x,y）为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数。
　　按定义，概率密度f（x,y）有以下性质：
　　（1）f（x,y）≥0；
　　反之，任一定义在整个实平面上的二元函数，如果具有以上两条性质，则它必可作为某二维连续型随机变量的概率密度。
　　若f（x,y）在（x,y）处连续，则有
　　 　　（3.1.4）
　　因而在f（x,y）连续点（x,y）处，可由分布函数F（x,y）求出概率密度f（x,y）。
　　如果已知（X，Y）的概率密度f（x,y），则（X，Y）在平面区域D内取值的概率为：
　　 　　（3.1.5）
　　由二重积分的几何意义知（3.1.5）式表明：随机点（X，Y）落在平面区域D上的概率等于以平面区域D为底、以曲面z=f（x,y）为顶的曲顶柱体的体积。
　　[例3-6]设（X，Y）的概率密度为
　　求（X，Y）的分布函数F（x,y）.
　　解　由定义3-5知
　　当x&0，y&0时，
　　当x≤0或y≤0时，∵f（x,y）=0
　　F（x,y）=0，
　　[例3-7]设二维随机变量（X，Y）的分布函数为
　　F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-∞&x&+∞，-∞&y&+∞.
　　求：（1）常数a,b,c；（2）（X，Y）的概率密度。
　　解：∵（X&+∞,Y&+∞）是必然事件　∴F（+∞,+∞）=P（X&+∞,Y&+∞）=1
　　X&-∞与Y&-∞都是不可能事件。
　　所以F（-∞，y）=P（X&-∞,Y≤y）=0,F（x,-∞）=P（X≤x，Y&-∞）=0
　　F（-∞,-∞）=P（X&-∞,Y&-∞）=0
　　F（+∞,+∞）= =1，
　　F（x,-∞）= =0，
　　F（-∞,y）= =0，
　　从上面第二式得 ，从上面第三式得 ，再从上面第一式得 。
　　从而概率密度为
　　下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布：均匀分布与二维正态分布。
　　定义3-6　设D为平面上的有界区域，其面积为S且S&0，如果二维随机变量（X，Y）的概率密度为
　　则称（X，Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X，Y）在D上服从均匀分布），记作（X，Y）～UD。
　　看其两个特殊情形：
　　（1）D为矩形区域a≤x≤b.c≤y≤d.此时S=（b-a）（d-c）
　　（2）D为圆形区域，如（X，Y）在以原点为圆心、R为半径的圆域上服从均匀分布，则（X，Y）的概率密度为
　　[例3-8]设（X，Y）服从下面区域D上（如图3-3所示）的均匀分布，其中D:x≥y，0≤x≤1，y≥0.求P{X+Y≤1}。
　　　　　　　　　　图3-3
　　解（1）如图3-3，D的面积S= ，所以（X，Y）的概率密度为
　　（2）事件{X+Y≤1}意味着随机点（X，Y）落在区域D1:x+y≤1，0≤y≤x上，则
　　定义3-7　若二维随机变量（X，Y）概率密度为
　　 （3.1.6）
　　（-∞&x&+∞，-∞&y&+∞）,
　　其中μ1，μ2， ， ，ρ都是常数，且
　　σ1&0,
σ2&0,|ρ|&1，
　　则称（X，Y）服从二维正态分布，记为
　　（X，Y）～N（μ1，μ2， ， ，ρ）.
　　二维正态分布N（μ1,μ2, , ,ρ）的图形是图3-4的曲面。
　　　　　　　　　　　图3-4
　　下面讨论连续型随机变量（X，Y）的边缘分布。
　　定义3.8　对连续型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X，Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为fx（x）（或fY（y））求出：
　　证明　因为
　　X的概率密度为
　　同理可得
　　[例3-9]设（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D:x2≥y，0≤x≤1，y≥0，求（X，Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）。
　　解　（X,Y）的概率密度为
　　区域D的面积 则
　　（一）求fX（x）
　　（1）x&0时，f（x,y）=0,
　　（2）0≤x≤1时，
　　（3）1&x时，f（x,y）=0,
　　（二）求fY（y）
　　（1）y&0时，f（x,y）=0，∴fY（y）=0
　　（2）y&1时，f（x,y）=0, ∴fY（y）=0
　　（3）0≤y≤1时，
　　[例3-10]设（X，Y）服从D上的均匀分布，其中D为x轴，y轴与y=2x+1围成的三角形区域，求（X，Y）的边缘概率密度。
　　解：∵D的面积 ，∴（X，Y）的概率密度为
　　（1）（X，Y）关于X的边缘概率密度为
　　当 时，f（x,y）=0
　　∴fX（x）=0；
　　当 时，
　　当x≥0时，f（x,y）=0
　　∴fX（x）=0
　　同时（X，Y）关于Y的边缘概率密度为
　　[例3-11]设（X，Y）的概率密度为
　　3.2　随机变量的独立性
　　3.2.1　两个随机变量的独立性
　　同事件的独立性一样，随机变量的独立性也是概率统计中的一个重要概念。
　　我们从两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。事件{X≤x}与{Y≤y}的积事件是{X≤x，Y≤y}，{X≤x}与{Y≤y}相互独立意味着{X≤x，Y≤y}的概率等于{X≤x}与{Y≤y}的概率的乘积，由此引入随机变量X，Y相互独立的定义。
　　定义3-9　设F（x,y）,FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数和两个边缘分布函数。若对任意实数x,y，有
　　F（x,y）=FX（x）FY（y），　　　（3.2.1）
　　则称X与Y相互独立。　　（3.2.1）式等价于对任意实数x,y，有
　　P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}。
　　由此可知，随机变量X与Y相互独立，即对任意实数x,y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立。
　　[例3-12]续3.1节例3-6证明X与Y相互独立。
　　证明：
　　关于X的边缘分布函数为
　　关于Y的边缘分布函数为
　　因此对任意x,y有F（x,y）=FX（x）FY（y）成立，故X与Y相互独立。
　　3.2.2　二维离散型随机变量的独立性　　设（X，Y）为离散型随机变量，其分布律为
　　pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1，2，…，
　　边缘分布律为　　 　　
　　 　　证明略。
　　注意：X与Y相互独立要求对所有i,j的值（3.2.2）式都成立。只要有一对（i,j）值使得（3.2.2）式不成立，则X，Y不独立。
　　[例3-13]判断3.1节例3-5中X与Y是否相互独立。
　　解（1）有放回摸球情况：因为
　　所以X与Y相互独立。
　　（2）不放回摸球情况：因为
　　P{X=0，Y=0}≠{X=0}·P{Y=0}，
　　所以X与Y不相互独立。
　　[例3-14]设（X，Y）的分布律为
　　且X与Y相互独立，求常数a,b之值。
　　解：P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}，
　　P{X=3，Y=1}=P{X=3}P{Y=1}，
　　3.2.3　二维连续型随机变量的独立性
　　设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f（x,y）,fX（x）,fY（y）分别为（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度，则X与Y相互独立的充要条件是：
　　f（x,y）=
fX（x）fY（y）　　　（3.2.3）
　　[例3-15]证明若（X，Y）的概率密度为
　　则X与Y独立。
　　证（1）
　　　　　　　　
　　　　　　　
　　∴f（x,y）=fX（x）fY（y）　　　∴X，Y独立。
　　[例3-16]设X与Y为相互独立的随机变量，X在[-1，1]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，求：（X，Y）的概率密度。
　　解　由已知条件得X，Y的概率密度分别为
　　 　　　　
　　因为X与Y相互独立，所以（X，Y）的概率密度为
　　[例3-17]设（X，Y）的概率密度为
　　求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立。
　　解（1）关于X的边缘概率密度
　　当0≤x≤1时，
　　当x&0或y&1时，f（x,y）=0
　　∴fX（x）=0,
　　当0≤x≤1，0≤y≤1时，
　　f（x,y）≠fX（x）fY（y）.
　　所以X与Y不独立。
　　[例3-18]若（X，Y）的概率密度
　　问X与Y是否独立。
　　解：（一）先求X的边缘密度
　　（1）∵x&0时或x&1时，f（x,y）=0
　　（2）0≤x≤1时，
　　　　　　
　　（二）求Y的边缘密度
　　（1）∵y&0或y&2时，f（x,y）=0
　　（2）0≤y≤2时
　　　　　
　　∴X与Y独立。
　　[例3-19]已知
　　讨论X与Y的独立性。
　　解：（一）先求X的边缘密度
　　（1）x&0时，f（x,y）=0，
　　（2）x≥0时，
　　（二）求Y的边缘密度
　　（1）y&0时，f（x,y）=0，∴fY（y）=0
　　（2）y≥0时，
　　∴X与Y独立。
　　[例3-20]若
　　讨论X与Y是否独立。
　　解（一）先求X的概率密度fX（x）
　　（1）x&0或x&1时，f（x,y）=0，∴fX（x）=0.
　　（2）0≤x≤1时
　　（二）求Y的概率密度fY（y）
　　（1）y&0或y&1时，f（x,y）=0，∴fY（y）=0
　　（2）0≤y≤1时，
　　∴X与Y不独立。
　　3.3　两个随机变量之和函数的概率分布
　　3.3.1　离散型随机变量的函数的分布
　　对两个离散型随机变量的函数的分布，我们仅就一些具体问题进行分析，从中可找到解决这类问题的基本方法。
　　【例3—22】设（X，Y）的分布律为
　　求Z=X+Y的分布律
　　解　Z的可能取值为0，1，2，3，
　　因为事件
　　｛Z=0｝=｛X=0，Y=0｝，
　　事件{X=0，Y=1}与{X=1，Y=0}互不相容，所以
　　事件{X=0，Y=2}与{X=1，Y=1}互不相容，所以
　　｛Z=3｝=｛X=1，Y=2｝，
　　从而得出Z的分布律为
　　3.3.2　两个连续型随机变量之和的概率分布
　　例3-23 设X与Y独立，且
　　求（1）（X，Y）的概率密度。f（X,Y）。
　　 （2）P（X+Y≤1）
　　解：（1）∵X，Y独立
　　 （2）P（X+Y≤1）
两个独立连续型随机变量X，Y的和函数Z=X+Y的概率密度的计算公式为：
若X，Y独立，X～fX（X），Y～fY（Y）则有
上面公式叫独立随机变量和的卷积公式
　　例3-24　设X，Y独立，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。
　　解：已知　
　　所以　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　令　　 　　
　　　　　　　
　　∴Z～N（0，2）
　　相似地，可以证明下面的结果：
　　定理：若X，Y独立，
　　 （不证）
　　例如　在上例中，X～N（0，1），Y～N（0，1），X，Y独立，则
　　 X+Y～N（0,2）
　　X-Y～N（0,2）
　　2X+3Y～N（0,13）
　　又例如 X～N（3,4）, Y～N（1,1）,X,Y独立
　　则 2X-Y～N（2&3-1,4&4+（-1）2&1）=N（5,17）
　　本章内容小结
　　（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。
　　（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）
　　 =P（-∞＜X≤X, -∞＜Y≤Y）
　　（2）F（X,Y）的性质
　　（ⅰ）F（+∞，+∞）=1
　　（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0
　　 F（-∞，-∞）=0
　　（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞）
　　 Y～FY（Y）=F（+∞,Y）
　　（二）离散型二维随机变量
　　（1）（X，Y）的分布律
　　（2）X的边缘分布
　　证明　P1·=P11+P12+…P1N，
P2·=P21+P22+…P2N，…
pm·=pm1+pm2+…pmn
　　（3）Y的分布律
　　证　P·1=P11+P21+…pm1，
P·2=P21+P22+…pm2，…
P1N+P2N+…+pmn
（4）X，Y独立的充要条件是：
P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）
　　 　　　　　（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）
　　判断离散性随机变量X，Y是否独立。
（5）会求 Z=X+Y的分布律
　　（三）二维连续型随机变量
已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）
已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）
（3）会用公式
求（X，Y）在区域D上取值的概率。
（4）会用公式
分别求X，Y的概率密度（边缘密度）
（5）会根据X，Y独立
判断连续型随机变量X，Y的独立性。
（6）知道两个重要的二维连续随机变量
①（X，Y）在D上服从均匀分布
S是D的面积
（7）若X，Y独立，且
　　本章作业
　　教材72页 习题3.1
　　1、2、3、4、5、6、7、8、10
　　教材79页 习题3.2
　　1、2、3 提示
　　教材83页 习题3.3
　　1、2、3、4
　　84页 自测题
第四章&&&&&&
随机变量的数字特征
　　随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。
　　4.1 随机变量的期望
　　4.1.1 离散型随机变量的期望
　　引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。
　　解：平均分为：
　　从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。
定义　若X的分布律为 P（X=xi）=pi，i=1，2…
当级数 绝对收敛时（即 收敛）
就说 是离散型随机变量X的期望。记作EX，即
　　说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，xn
　　（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，xn…
　　这时才要求无穷级数 绝对收敛。
　　很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。
　　【例4-1】设随机变量X的分布律为
　　求E（X）
　　解 E（X）=（-1）&0.3+0&0.2+1&0.5=0.2
　　【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为
　　试比较他们成绩的好坏。
　　解 我们分别计算X和Y的数学期望：
　　 EX=0&0+1&0.2+2&0.8=1.8（分）。
　　 EY=0&0.1+1&0.8+2&0.1=1（分）。
　　这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
　　4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。
　　1.两点分布
　　随机变量X的分布律为
　　其中0＜p＜1，有
EX=0&（1-p）+1&p=p。
　　2.二项分布
　　设X～B（n,p），即
可以证明它的期望EX=np
　　二项分布的数学期望np，有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率 若进行100次试验，则可以“期望”出现
次正面，这正是期望这一名称的来由。
　　3.泊松分布
　　设 其分布律为
则X数学期望为EX=
　　小结上面的结果，有下面公式
X～（0,1）
X～B（n,p）
X～P（λ）
　　今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直接套用公式。
　　例如 若 X～B（10，0.8），则EX=10&0.8=8
　　 若 X～P（3），则EX=3。
　　4.1.3　下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。
定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk，k=1，2，…。
令Y=g（X），若级数 绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为
　　【例4-5】设随机变量X的分布律为
　　令Y=2X+1，求E（Y）。
　　EY=（2&（-1）+1）&0.3+（2&0+1）&0.2+（2&1+1）&0.4+（2&2+1）&0.1
　　 =（-1）&0.3+1&0.2+3&0.4+5&0.1=1.6。
　　【例4-6】设随机变量X的分布律为
　　且Y=X2，求EY。
　　 　　　
=（-1）2&0.3+02&0.2+0.52&0.1+12&0.1+22&0.3
　　　　　　=0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。
　　4.1.4 连续型随机变量的期望
　　对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式
中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。
定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义积分 绝对
收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即
　　【例4-7】设随机变量X的概率密度为
　　求E（X）。
　　　　　　
　　【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为
　　求E（X）。
　　解 因为f（x）只在有限区间 上不为零，且在该区间上为连续函数，所以E（X）存在，且
　　根据奇函数的性质知道E（X）=0。
　　下面介绍几种重要连续型随机变量的期望。
　　1.均匀分布
设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为
在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。
　　2.指数分布
　　设随机变量X服从参数为λ&0的指数分布，其概率密度为
　　解：在微积分中有
即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。
　　3.正态分布
　　设 其概率密度为
　　则X的期望
　　E（X）=μ。（不证）
　　上面三种情况列表如下（可以作为公式使用）
X～U（a,b）
X～E（λ）
X～N（μ，σ2）
　　例如 X～U（0,10） 则　
　　 X～E（2） 则　
　　下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。
定理4-2 设X为连续型随机变量，其概率密度为fX（x），又随机变量Y=g（X），则
当 收敛时，有
　　证明略。
　　这一公式的好处是不必求出随机变量Y
的概率密度fY（x），而可由随机变量X的概率密度fX（x）直接计算E（Y），应用起来比较方便。
　　特别情形
　　　　　　
　　4.1.5二维随机变量函数的期望
（1）若（X，Y）为离散型随机变量，若其分布律为pij＝P{X=xi,Y=yi}，
边缘分布律为
（2）其（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分别为
（X，Y）的概率密度与边缘概率密度，则
　　证明略。
定理4-4 设g（X，Y）为连续函数，对于二维随机变量（X，Y）的函数g（X，Y），
（1）若（X，Y）为离散型随机变量，级数 收敛，则
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则
　　证明略。
　　【例4-10】已知（X，Y）的分布律为
　　求：（1）E（2X+3Y）；（2）E（XY）。
　　解 （1）由数学期望定义知
　　【例4-11】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
　　求：（1）E（X+Y）；（2）E（XY）；（3）P{ X+Y≤1}。
　　4.1.6　期望的性质
　　期望有许多重要性质，利用这些性质可以}