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新人教版五年级数学下册 第四单元 通分
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人教版小学数学五年级下册第四单元分数的意义与性质集
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人教版小学数学五年级下册第四单元分数的意义与性质集
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五六年级奥数
1目录 一、吃掉了多少草呢？ 二、谁大谁小？ 三、钟面上的数学 四、爬楼梯中的学问 五、常见的分数应用一 六、常见的分数应用二 七、倒着算更容易 八、分配中的学问 九、工程中的数学问题 十、圆的周长 十一、圆的面积 十二、韩信点兵 十三、合理理财 十四、实验室里的故事 十五、圆柱圆锥 十六、正反比例 十七、图形中的比例 十八、答案有时会不一样的 十九、行程问题 二十、统计图表思维创新2一、吃掉了多少草呢？ 羊妈妈带领小羊在草场上吃草， 第一天吃掉了草场的 1 1 ， 第二天吃掉了草场的 ， 第三天、 第四天、 第五天…… 2 6 1 1 1 1 1 1 分别吃掉了草场的 、 、 、 、 、 。羊妈 12 20 42 72 30 56 妈问小羊们， 你们知道我们已经吃掉的草占草场的几分之 几吗？小羊们算了好久也没有算出来，同学们你们能很快 的替小羊算出这个问题吗？ 思维导航 解答此类问题，我们先要想一想过去我们研究过的分 数加减法计算： 1 1 1 1 1、 （以 + 为例） 与 的分母为互质数， 分子为 1， 3 4 3 4 通分相加减时，用分母相乘的积作公分母，而分子是分 母的和（或差）即： 1 1 1? 4 1? 3 4?3 + ＝ + ＝ ； 3 4 3? 4 3? 4 3? 4 我们可以依据这个过程逆向思考： 4?3 1 1 7 1 1 ＝ + 也就是： ＝ ＋ 3? 4 3 4 3? 4 3 4 13 1 1 1 1 1 同理： ＝ ＋ ＝ － 6 7 6 7 6?7 6?7 2、一般情况下，在计算异分母分数加减时，用分母 的最小公倍数作公分母，进行通分，由于两个数的乘积 也是这两个数的公倍数，因此也可以用两个数的乘积作 公分母，即：思维创新31 1 1 1 1? 8 1? 6 8?6 （以 － 为例） － ＝ － ＝ 观察： 6 8 6 8 6?8 6?8 6?8 差的分母为原分数分母的乘积，而分子为原分数分母的 1 1 1 1 差（ － 、 － 同理） 8 10 10 12 依据这一过程逆向思考： 8?6 2 1 1 即 ＝ － 6?8 6 8 6?8 2 1 1 2 1 1 ＝ － ＝ － 8 10 10 ? 12 10 12 8 ? 10 3、归纳：通过上面的介绍，我们可以发现，一个分 数， 如果分母为两个数的积， 而分子是这两个数的和或差， b?a b?a 即 或 这样的分数可以拆分成几分之一加（减） a?b a?b b?a 1 1 b?a 几分之一的形式； ＝ － ＝ a?b a b a?b 1 1 ＋ a b 所以上面羊妈妈吃草的问题就可以进行如下计算： 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 1 1 1 1 1 1 完全解题： = 、 = 、 = ?? 2 1? 2 6 2 ? 3 12 3 ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ? 1? 2 2 2?3 2 3 3? 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6 ? 7 7 ? 8思维创新4=1－ =1=7 8 1 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ － ＋ － ＋ - + - + - + 4 4 5 5 6 6 7 7 8 2 2 3 3答：已经吃掉的草占草场的 思维热身7 。 81 1 1 1 ＋ ＋ ＋?＋ 1? 2 2?3 3? 4 49 ? 50 提示： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ?， 1? 2 2 2?3 2 3 3? 4 3 4 49 ? 50 1 1 ＝ － ； 49 50 请你独立解答1、1 1 1 1 ＋ ＋ ＋?＋ 5 ? 8 8 ? 11 11 ? 14 98 ? 101 提示： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ （ － ） × ＝ （ － ） × ?， 5?8 5 8 3 8 ? 11 8 11 3 1 1 1 1 ＝（ － ）× 3 98 ? 101 98 1012、思维创新5请你独立解答1 1 1? 4 1? 2 － ＝ － 2 ? 3 3? 4 2? 3? 4 2? 3? 4 2 4?2 1 ＝ 所以：形如 的数也可以写成 － 2? 3? 4 2? 3? 4 2?3 1 5?3 1 1 2 1 即 ＝ － ， ＝ － 3? 4 3? 4 ? 5 3? 4 4?5 4?5? 6 4?5 1 ， 5? 6 5?2 1 1 而 也可写成 － ? 2 ? 3? 4 ? 5 2? 3? 4 3? 4 ? 5 1 1 1 1、 ＋ ＋?＋ 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 9 ? 10 ? 11 1 1 1 1 1 1 提示： ＝ （ － ） × ， ＝ （ 1? 2 ? 3 1? 2 2?3 2 2? 3? 4 2?3 1 1 － ）× ，? 3? 4 2 1 1 1 1 ＝（ － ）× 9 ? 10 ? 11 2 9 ? 10 10 ? 11 1 1 1 1 1 原式：＝（ － ＋ － ＋?＋ － 1? 2 2?3 2?3 3? 4 9 ? 10 1 1 ）× 10 ? 11 2与上面情形相似， 因为思维创新61 1 1 － ）× 2 110 2 27 ＝ 110＝（2、1 1 1 × ＋?＋ 1? 2 ? 3 ? 4 2 ? 3? 4 ? 5 11 ? 12 ? 13 ? 14提示： 1 1 1 1 =（ － ）× 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 1 1 1 1 =（ ）× 2 ? 3? 4 ? 5 2? 3? 4 3? 4 ? 5 3 ?? 1 1 1 那么， × ＋?＋ 1? 2 ? 3 ? 4 2 ? 3? 4 ? 5 11 ? 12 ? 13 ? 14 =思维体操1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ 2? 3? 4 3? 4 ? 5 4?5? 6 5? 6? 7 2 2 2 2 2、 ＋ ＋ ＋ 2 ? 3? 4 ? 5 3? 4 ? 5? 6 4?5? 6? 7 5? 6? 7?81、思维创新71 7 9 11 13 15 17 3、 1 － ＋ － ＋ － ＋ 3 12 20 42 72 30 56 4 4 4 4 4、 ＋ ＋ ＋??＋ 76 ? 81 1 ? 6 6 ? 11 11 ? 16 1 1 1 1 1 1 1 5、1＋ 3 ＋5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 15 6 12 42 56 72 20 30 3 3 6 、 ＋ ＋ ? ＋ 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 2 ? 3? 4 ? 5? 6 ? 7 3 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 16 1 1 1 7 、 ＋ ＋ ＋ ? ＋ 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 100 提示：运用等差数列的求和公式进行等式变形再拆项。 1 1 1 1 1 1 1 8、 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 6 12 20 42 7 30 1 1 1 1 1 9、 ＋ ＋ ＋ ＋ 1 ? 5 5 ? 9 9 ? 13 13 ? 17 17 ? 21 1.2 ? 2.3 ? 3.4 ? 4.5 ? 5.6 ? 6.7 10、 12 ? 23 ? 34 ? 45 ? 56 ? 67 2004 ? 2003 ? 2005 11、 2004 ? 2005 ? 1 2008 12、 × 6 13、3.64× ＋ ×6.36 17 17 74 ? 73 ? 75 14、 74 ? 75 ? 1思维创新818 1 3 ×0.375＋ 105 × 19 19 8 16、有 2000 个桃子，猴王分给一批猴子吃，第一天吃了 1 1 总数的 ，第二天吃了余下的 ，第三天吃了第二天余下 2 3 1 1 1 1 1 的 ，以后每天都吃前一天余下的 、 、 ?? 。 4 5 6 7 2000 最后还剩多少个桃子？ 提示：1、先找每天吃的桃相当于总数的几分之几？ 2、通过列式探索其中的规律。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17、 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ + + + 2 4 8 16 32 64 128 256 512
1 1 1 提示：请你先用一条线段来表示 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 4 8 16 32 1 观察一下，你能发现什么？ 64 1 1 1 1 1 1 1 1 18、 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ + 2 4 8 16 32 64 128 256 2 2 5 5 19、 （9 +7 ）÷（ + ） 7 9 7 9 、 2
提示：1、注意观察上面计算中，分母中的数的数字特征， 是三个连续自然数； 2、三个连续自然数中间一个数的平方比它前后数15、 94的乘积多 1.如：2 2 -1×3=1 10 2 -9×11=1思维创新9你再举几个例子试一试。 思维乐园 1、 池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，经过 20 天就可 以长满整个池塘。 问需要经过多少天这些睡莲可以长满半 个池塘？ 2、密封的瓶中，如果放进 1 个细菌，1 分钟后瓶中就充 满了细菌。已知每个细菌每秒分裂成 2 个，两秒就分裂成 4 个……如果开始就放进 2 个细菌，要使瓶中充满细菌需 要多少秒？思维创新10二、谁大谁小？ 森林里今年要奖励森林里勤劳能干的小动物一些过 79 879 冬的食物，奖给小蜜蜂 千克蜂蜜，奖给 小白兔 千 80 880
克萝卜，奖给老黄牛 千克青草，奖给小鹿 千
克树叶，同学们你们知道他们当中谁分的食物重量最大 吗？你能试着将它们按顺序从大到小排出来吗？ 思维导航79 879
、 、 、 80 880
的大小。通过观察可以发现以上各分数都是真分数，且分 子都比分母小 1，对于这样的分数我们可以采用比倒数的 方法来比较。 如果是分子与分母相差数相同的真分数， 我们可以先 比较它们倒数的大小再根据倒数的大小关系比较出原数 的大小。 79 80 1 的倒数是 =1+ ； 80 79 79 879 880 1 的倒数是 =1+ ； 880 879 879
的倒数是 =1+ ； 79
1 的倒数是 =1+
1 1 因为： ＞ ＞ ＞ 79 879 根据条件分析， 就是要比较思维创新1180 880
＞ ＞ ＞ 79 879
由此我们可知：倒数越大，原数越小。 79 879
所以： ＜ ＜ ＜ 80 880 所以：思维热身 1、比较下面两组分数的大小。 17 25 9 35 和 和 23 7 15 33 提示：以上四个分数的分子。分母相差数相同，都差 2，而 且它们都是假分数，我们可以用下面这个方法来比较。 17 2 25 2 =1+ =1+ 15 23 15 23 9 2 35 2 =1+ =1+ 7 7 33 33347 和 的大小 789
84 提示：因为 - =
347 1 84 84 84 - = 而 ＜
321 4567892、比较思维创新1222 的大小 27 提示：纯循环小数与分数比较大小，我们可以采用都化成 小数的方法来比较大小。在这里我们来介绍一个新的方 法。? 3、比较 0.7 和? 0.7 =0.777??○ 1 ? 0.7 ×10=7.777??○ 2 ? 由○-○= 0.7 ×9=7.777?-0.777?=7 即： 2 1? ? 7 0.7 ×9==7。所以： 0.7 = 9 22 7 22 ? 所以：比较 0.7 和 的大小也就是比较 和 的大小 27 9 27? ? ? ? 4、把 0. 2 1 5 和 1. 0 5 3 化成分数提示：根据上述方法可知：? ? 0. 2 1 5 =0.215215??○ 1 ? ? 0. 2 1 5 ×215??○ 2 ? ? 由○-○=0. 2 1 5 ×999=215 2 1215 999 请你概括一下纯循环小数化分数的方法。? ? 即为：0. 2 1 5 =思维创新13?? ? 5、把 0.2 1 5 和 6.35 3 化成分数提示：?? 0.2 1 5 ×5??○ 2 ?? 0.2 1 5 ×10=2.1515??○ 1 ?? 由○-○=0.2 1 5 ×990=213 2 1 ? ? 213 = 71 0.2 1 5 = 990 330思维体操 1、比较下列各组中分数的大小： 2 5 3 6 10 15 和 、 、 和 3 8 15 17 23 33558 和 556 6 8 和 17 25思维创新 和 551 23555 和
142、将下列小数化成分数 ? ? 0. 1 0 2? ? 0.3 1 5 7? ? 3. 1 0 2? 3.12 63、计算下列各题?? ? 2. 45 +3. 13? ? 4. 3 ×2. 4?? ? 2.60 9 -1. 32?? ? 1. 24 ÷0. 3数学家的故事没有捷径可走 古希腊的阿基米德不仅是以为卓越的科学家，而且是一位很好的老师， 他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他就是希腊国王 多禄米。 有一天，国王召见阿基米德，要拜他为师。 从此以后，阿基米德就当上了国王的私人数学老师。刚开始上几何课 时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的 兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显，但对于不 爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情 绪。 有一天，国王说： “请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何 学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。 ” 听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道： “陛下，乡下有两 种道路， 一条是供老百姓走的乡村小道， 一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途， 请问陛下是走哪条路呢？” “当然是皇家的坦途呀！ 多禄米回答得十分干脆， ” 但又感到茫然不解。 思维创新15 阿基米德继续说： “不错您当然是走皇家的坦途，但那时因为您是国王 的缘故。可现在您是一名学生。要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓， 也无论是老师还是学生，大家都只能走同一条道路。因为，走向学问是没有 什么皇家大道的。 ” 国王多禄米眨巴着眼睛，似懂非懂地思考了一下，总算理解了阿基米 德这番话的含意，于是重新打起精神，听阿基米德继续讲课。这个故事揭示 了一个道理：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁 的。正如伟大的革命导师马克思所说： “在科学的道路上，是没有平坦的大路 可走的，只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们，才有希望到达光辉的 顶点。 ”思维创新16三、钟面上的数学 早上 12 时整，钟面上分针和时针兄弟两人又见面了， 分针哥哥对弟弟说： “我们哥俩每天一刻都不停，一天要 见多少次面啊？”时针弟弟说： “我们每个小时都可以见 一次面， 一天有 24 小时， 我们当然每天可以见 24 次面了。 ” 分针哥哥说： “是这样吗？我记得昨天我们就没有见那么 多啊？”同学们我们来一起替它们哥俩算一算，它们哥俩 一天一共可以见多少次面。 思维导航 我们在生活中经常要用的时钟，在钟面上也存在一些 数学问题。在一个钟面上，由于时针 12 小时旋转 1 周，1 小时转 1 大格，所以时针 1 小时旋转的圆心角度数是 30 度， 分钟旋转的圆心角度数是 0.5 度； 1 分针 1 小时旋转 1 周，是 360 度，1 分钟旋转地圆心角的度数是 6 度。 完全解题：由于时针 1 分钟旋转的圆心角度数是 0.5 度，分针 1 分钟旋转地圆心角的度数是 6 度，那么两针从 第一次重合到第二次重合， 也就是分针追上时针需要的时 360 5 间是： =65 （分） ，将其转化成为行程中的追及 6 ? 0 .5 11 问题。 一昼夜有 24 个小时，就有 24×60=1440（分） ，所以 他们一昼夜可以重合的次数是： 5 （次） 11 答：时针和分针哥俩一天一共可以见 22 次面。 你还能想出什么办法来解决这个问题？思维创新17思维热身 1、在 3 点到 4 点之间，分针与时针在什么时刻重合？ 提示： 这道题我们还可以采用每分钟两针走动的小格数作 为两针的速度，两针重合也就是分针追上时针重合，可将 其转化成行程中的追及问题。钟面上的分针每小时走 60 小格，分针每分钟走 1 小格；时针每小时走 5 小格，每分 1 钟走 小格。三时整时分针与时针相距 5×3=15（小格） ， 12 1 11 而每分分针比时针多走 1- = （小格） 。所以分针追上 12 12 时针重合需要： 1 4 5×3÷（1- ）=16 （分） 12 11 4 4 那么， 也就是说， 点整再过 16 分， 3 时 16 分， 3 即 11 11 两针重合。 4 答：3 时 16 分，两针重合。 11 2、 钟面上 6 时与 7 时之间， 时针和分针重合是几点几分？ 3、小明有一块手表，每分钟比标准时间快 2 秒钟，小明 早晨 8 点整将手表对准， 问当小明这块手表第一次指示 12 点时，标准时间此时是几点几分？ 提示： 通过条件可知小明手表走 62 秒， 标准时间有 60 秒， 所以可看成两只表的速度比为 62：60=31：30；所以当小 明的手表经过了 4 小时时，标准时间则经过了 4 小时的思维创新1830 。请试着解答。 314、钟面上 4 时 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？ 思维导航：时针走 1 格是 30 度，所以 4 点整时的夹 角为 4×30=120 度，分针走过 8 分走过的 8×6=48 度，而 时针 8 分钟还要走 8×0.5=4 度；想一想这时的夹角有多 少度？思维体操 1、请你在钟面上划一条线，将钟面上的刻度分成两组， 使每组的数相加后，两组的和相等。 2、张华的手表每小时比标准时间慢 30 秒，早晨 6 点时， 张华把手表与标准时间对准。 （1） 、标准时间 12 点时，张华的手表是几点几分？ （2） 、张华的手表是 12 点时，标准时间是几点几分？ （3） 、钟面上 6 时与 7 时之间，时针和分针重合是几点几 分？ 3、一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小 时比标准时间慢 3 分钟。若将两个钟同时调到标准时间， 结果在 24 小时内，快钟显示 10 时整时，慢钟恰好显示 9 点整。此时的标准时间是多少？思维创新19提示：从条件可知，快钟和慢钟每小时相差 1+3=4（分） ， 当两只钟表相差 1 小时即 60 分钟时，也就是快钟把慢钟 落下 60.而快钟每个小时只能落下慢钟 4 分钟，想落下 60 分钟， 快钟要经过多长时间呢？那么标准时间是几时几分 呢？ 4、小明在 7 点到 8 点之间解了一道题，开始时分针与时 针正好在一条直线上，解完题时两针正好重合，小明解题 共用了多少时间？ 5、小华家有两只旧手表，一个每天快 20 分钟，一个每天 慢 30 分钟。现在将两只旧手表同时调到标准时间，他们 要经过多少天才能分别显示标准时间？要经过多少天能 同时显示标准时间？ 提示： 慢手表要显示标准时间也就是要一共少走 12 小时， 能与标准时间相同显示；而它每天慢 30 分，所以要慢到 12 小时必须要有： （12×60）÷30=24（天） 那么块手表想要显示标准时间怎样思考？请独立完成。 6、小明去看了一部纪录片，他在影片刚放映时看了一下 表，影片结束时他又看了一下表，发现，从影片开始到结 束，手表上的时针和分针正好交换了一下位置，已知这场 电影放映时间不足一小时，问这场电影片长多少分钟？ 提示：依据条件可知时针分针交换了一下位置，也就是说 分针与时针一共转动了 360 度， 所以可以将其转化成行程 中的相遇问题来解答。 7、3 时多少分时，钟面上的分针与时针在一条直线上，而 且指向相反？ 8、现在是 2 时 15 分，再过多少分钟分针与时针正好成一 条直线？思维创新209、手表比闹钟每小时快 1 分钟，闹钟比标准时间每小时 慢 1 分钟。 点整将手表对准， 8 标准时间 12 点时手表显示 的时间是几点几分？ 10、在 7 点到 8 点之间， （包括 7 点和 8 点）的什么时刻， 两针之间的夹角为 120 度？ 11、小明与妈妈 8 点多外出，临出门时他一看表，时针与 分针是重合的，下午 2 点多时回到家，一进门看到时针与 分针方向相反正巧成一条直线，他们外出了多长时间？ 提示：想一想从 8 点到下午 2 点，两针从重合到成一条直 线，两针是怎样运动的，分别转动了多少度？ 12、某人下午 6 时多外出，看了看手表，时针与分针的夹 角是 110 度， 下午 7 点前回到家， 发现两针的夹角还是 110 度。问，他外出了多长时间？ 13、小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，背向而行， 小明每小时行 4.8 千米， 小亮每小时行 4.4 千米， 经过 2.5 小时两人相距 31.5 千米。 乙两地的距离是多少千米？ 甲、 14、小王、小李驾驶两两公共汽车分别从 A、B 两站同时 出发，相向而行。第一次在距离 A 站 90 千米处相遇。相 遇后两车以原速继续前进，到达对方出发站后立即返回， 第二次相遇在离 A 站 50 千米处。求 A、B 两站的距离是多 少千米？ 提示：注意采用画图的方式将两车的行驶路线画出，看一 看距离存在什么样的关系； 另外两车两次相遇路程是怎样 的？ 15、两地相距 100 千米，甲、乙两人骑自行车同时从两地 相对开出， 经过 4 小时后相遇。 相遇后再经过 2 小时， 甲、 乙两人相隔多少千米？ 16、甲、乙、丙三人，甲每分钟走 20 米，乙每分钟走 22 米，丙每分钟走 25 米。甲、乙从东镇，丙从西镇同时相思维创新21对出发，丙遇到乙后，10 分钟又与甲相遇，东西两镇的距 离是多少米？ 提示：注意分析条件“丙遇到乙后，10 分钟又与甲相遇” ， 说明丙乙相遇时甲在乙的身后的距离是多少米？可以计 算出什么？ 思维乐园 1、有一个猎人带了一条狼狗、一只兔子、一筐青菜、要 乘船到河对面去。河里有一条小船。因为船小，猎人一次 只能带一样东西。但是他不在时，狼狗会要兔子，兔子又 会吃青菜。请同学们帮他想一想应该怎样安排过河？2、甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥， 这三人恰巧又都不会游泳。 这时三人发现河上有两个小孩 划着一只小船，船太小，最多只能载一位旅客，一个旅客 和一个小孩同时上船都不行。 请你给三位旅客设计一个过 河方案。思维创新22四、有多少级楼梯 星期六的早上，聪聪和明明相约去新华书店买书。他 俩去书店的二楼选购好书后十分高兴，顽皮的聪聪决定从 书店的自动扶梯上逆着下来。聪聪计算了一下，他大约每 秒走 3 级楼梯，而明明每秒走 2 级楼梯，结果从一端到另 一端，聪聪用了 100 秒的时间，明明用了 300 秒的时间。 售货员阿姨看见这两个顽皮的孩子决定考考他们，问，根 据你们统计的数据， 来算一算书店的自动扶梯共有多少级 呢？ 这个问题一下难倒了这两个顽皮的小家伙，请同学们 一起来算一算，书店的自动扶梯共有多少级。 思维导航 此类问题也就是平时我们常见的牛顿问题， 关键要使 用假设的方式定量， 找出数量变化的原因， 进行分析解题。 根据条件我们可以发现， 聪聪 100 秒的时间一共可以 走 100×3=300（级）楼梯；明明 300 秒的时间一共可以走 300×2=600 （级） 楼梯。 同样都是从楼上逆着扶梯走下来， 问什么走的楼梯总数不同？原因就是自动扶梯会随着时 间不断生成新的楼梯。 这样总数相差了 600-300=300 （级） 楼梯就是因为时间相差了 300-100=200（秒）导致的；所 以可以计算出自动扶梯的运动速度，300÷200=1.5（级/ 秒） ，所以在聪聪 100 秒所走的 300 级楼梯中有 100× 1.5=150（级）新生成的楼梯和自动扶梯始终露在外面的 楼梯 300-150=150 （级） 或者从明明所走的 600 级楼梯中 。 去掉 300 秒生成的新楼梯，600-300×1.5=150（级）剩下 的就是自动扶梯始终露在外面的楼梯 150 级。思维创新23完全解题： 100×3=300（级） 300×2=600（级） 600-300=300（级） 300-100=200（秒） 300÷200=1.5（级/秒） 300-100×1.5=150（级） 答：书店的自动扶梯共有 150 级。 思维热身 1、商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶，两个顽 皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在 20 秒的时间里男 孩可以走 27 级楼梯，女孩可以走 24 级楼梯。男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端，改扶梯共 有多少级楼梯？ 提示：注意分析一下为什么男孩、女孩都走同一段扶梯， 都从这一端到达另一端却为什么所走的楼梯的总数不相 同？是什么导致这样的问题？你可以知道什么？请你独 立试着解答。2、商场里的自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶着，两 位性急的孩子要从扶梯上去。已知男孩每分钟走 20 级楼 梯，女孩每分钟可以走 15 级楼梯。结果男孩用了 5 分钟 到达楼上的另一端， 女孩用了 6 分钟到达楼上另一端。 问： 该自动扶梯共有多少级楼梯？思维创新243、小红、小明比赛爬楼梯，小红跑到 4 层时小明刚好跑 到 6 层。如果两人的速度不变，那么当小红跑到第 10 层 时，小明跑到第几层？4、有一堆火柴共有 12 根，如果规定每次取 1―3 根，那 么取完这堆火柴有多少种不同的取法？ 提示：此类题目我们可以采用枚举的方式寻找规律 当有 1 根火柴时，只有 1 种取法； 当有 2 根火柴时，有 2 中取法； 当有 3 根火柴时，有 4 种取法； 当有 4 根火柴时，有 7 种取法； 当有 5 根火柴时，有 13 种取法； 当有 6 根火柴时，有 24 种取法； 当有 7 根火柴时，有 44 种取法； 当有 8 根火柴时，有 81 种取法； 当有 9 根火柴时，有 149 种取法； 当有 10 根火柴时，有 274 种取法； 当有 11 根火柴时，有 504 种取法； 当有 12 根火柴时，有 927 种取法； 通过枚举可以发现，取法分别是：思维创新251、2、4、7、13、24、44、81、149、274、504、927…… 从第四项开始，后一项总是前三项之和。 也就是说，此类题目可采用枚举后类推的方式解决。5、有 10 级台阶，如果规定每次可以跨 1―3 级，那么从 底上到顶共有多少种不同的上法？思维体操 1、有一栋高楼，每上一层楼要 2 分钟，每下一层楼需要 1 分钟 30 秒小张于 12 点开始不停留地从底层往上走，到了 最高层后立即往下走（中途没有停留） ，13 点 3 分返回底 层，这座高楼共有多少层？ 2、李英和黄明比赛走楼梯，李英走了 3 级楼梯时，黄明 能走 5 级，这栋楼房每两层之间有 20 级楼梯，那么当黄 明走到 6 层楼时，李英走到了第几层？ 3、商场的自动扶梯以均匀的速度由下向上行驶，两个孩 子嫌扶梯太慢，于是在行驶的扶梯上男孩每秒钟向上走 2 级楼梯，女孩每 2 秒钟向上走 3 级楼梯。结果男孩用 40 秒的时间到达，女孩用 50 秒钟到达。问当扶梯静止时， 扶梯可看到的楼梯共有多少级？ 提示：本题只是在运动方向上有变化，由逆着楼梯变成顺思维创新26着楼梯走，其道理与原来相同…… 4、商场门前有 6 级台阶，如果每步只能登上 1 级、2 级或 者 3 级， 那么从下面走到上面一共有多少种不同的走法？ 5、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天.问：可供 25 头牛 吃多少天？ 6、有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完.19 头牛则 24 天 可以吃完.现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余 下的牛再吃两天便将草吃完.问： 原来有多少头牛吃草 （草 均匀生长）？ 7、画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众 来到时起， 若每分钟来的观众一样多， 如果开 3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分 就没有人排队。求第一个观众到达的时间。 8、 个牧场原有的草量都相同， 3 而且每天都匀速地长出新 草。第一个牧场的草可供 32 头牛吃 40 天；第二个牧场的 草可供 160 只羊吃 24 天； 第三个牧场有 20 头牛和 120 只 羊。如果一头牛的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量，那 么第三个牧场的草够吃多少天？ 9、有一个牧场长满牧草，每天牧草均匀生长。这个牧场 可供 68 只羊吃 30 天，可供 76 只羊吃 24 天。现有一群羊 在牧场吃草，6 天后，运走了 16 只羊，余下的羊又吃了 2 天将草吃完。这群羊原有多少只？ 10、画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场，从第一个 观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个 入场口，9 点 9 分就不再有人排队，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就不再有人排队， 那么第一个观众到达的时间是几 点几分？思维创新2711、有三块草地长满了草，每公顷草量都相同且每天匀速 生长。第一块草地有 10 公顷，可供 220 只羊吃 10 天；第 二块草地有 12 公顷，可供 240 只羊吃 14 天。第三块草地 有 16 公顷，可供 380 只羊吃多少天？ 12、一只船在航行途中船内进水。当发现时已进入了一些 水，水仍然匀速进入船内。用 10 台抽水机抽水，3 小时抽 完；用 5 台抽水机抽水，8 小时抽完。如果要 2 小时抽完， 需要几台抽水机？ 13、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减 少。经过计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天；可供 16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃多少天？ 思维乐园 1、 顾客在商店买了 15 元商品， 给售货员付了一张面值 50 元的钞票。售货员没有零钱找，便向相邻柜台兑换零钱。 当交易完毕顾客走后，邻柜发现这 50 元是假币，该售货 员于是又还给邻柜 50 元钱。那么该售货员遭受了多少元 的损失？ 2、王大爷在古玩市场上花了 1000 元买来一块玉佩，转手 1200 元卖给了别人，随后又以 1250 元买回了这块玉佩。 过了不久以 1200 元把这块玉佩卖了， 没几天又以 1000 元 买回了这块玉佩。计算王大爷买这块玉佩实际花了多少 元？思维创新28五、常见的分数应用 试验小学开展“献爱心”活动，号召每位同学向希望 1 小学捐出自己的零用钱。六（1）班小明捐出零用钱的 ， 2 1 小亮也捐出零用钱的 。你能知道他们俩人谁捐的钱多 2 吗？ 思维导航 实际上会出现三种情况： 第一种如果小明比小亮的零 用钱多，那么小明捐的就多；第二种如果小明比小亮的零 用钱少，那么小明就捐的少；第三种如果小明和小亮的零 用钱一样多，那么俩人捐的一样多。上面出现的这三种可 1 能性实际上就是因为分数应用题的特点所决定的。 是对 2 于某个标准量而言的，也就是说，是“谁”的几分之几， 1 这个“谁”就是单位 1.那么小明零用钱的 和小亮零用钱 2 1 的 是相对不同的单位 1 而言的， 由此造成俩人捐款的多 2 少取决于两人本身原有多少零用钱。 因此解决分数应用题 时，明确单位 1 是非常关键的，否则就容易出错。生活中 我们也经常回应用分数应用题的解决方式来解决一些实 际问题。 3 1、某果园计划去年栽果树 1200 棵，结果上半年完成 ， 8 4 下半年完成 。这样去年超额完成多少棵？ 5思维创新293 4 完全解题： 和 这两个分率都是把全年计划栽的总数 8 5 1200 棵作为“1” ，单位“1”已知，用乘法计算。 3 4 方法一：12000× ＋12000× － ＝－12000 ＝2100（棵） 3 4 方法二：12000×（ ＋ －1） 8 5 47 ＝12000×（ －1） 40 7 ＝12000× 10 ＝2100（棵） 答：这样去年超额完成 2100 棵。思维热身 1、一桶油，第一次用去 去这桶油的1 ，正好用去 4 升，第二次又用 31 ，还剩多少升？ 4 1 1 提示： 和 这两个分率都是把这桶油的总数作为单位 3 4 1 “1” 由于这桶油的 正好 4 升， ， 可以求出这桶油的总数。 3思维创新302、某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的 二次完成计划的 的1 41 ，第 23 ，第三次完成 450 个，结果超出计划 7，计划生产零件多少个？1 表示什么意思？ 4提示：注意条件超出计划的1 到其他班， 6 这时班里的男女生人数正好相等，求四（1）班男女生各 有多少人？ 1 提示：已知男女生人数之和为 44 人，而“ ”的单 6 1 位“1”是男生人数，由调出男生的 后，男、 6 1 女生人数相等可知女生的对应分率为 1－ （ ） 而 44 ， 6 1 人对应的分率为（ 1＋1－ ） ，可求出男生人数。 63、四（1）班共有 44 人，如果调出男生的思维创新314、实验小学的女生人数比全校总人数的 女生人数是男生人数的2 5多 256 人，7 。实验小学共有学生多少人？ 8 提示：题中两个分率的单位“1”不同。可根据,女生人数 7 7 是男生的 ,转化为“女生人数是全校总人数的 = 8 7?8 7 2 ” ，再根据女生人数比全校总人数的 多 256 人，得 15 5 7 2 出 256 人对应分率为 。本题关键在于：善于发现 15 5 题中的不变量，抓住不变量进行分析，利用不变量作为中 间条件进行解答，以不变量作为单位“1” ，转换题中关键 句，统一单位“1” ，然后再进行解答。5、甲乙丙丁四人共植树 60 颗，甲植的棵树是其余三人的 1 1 ，乙植的棵树是其余三人的 ，丙植的棵树是其余三人 2 3 1 的 ，丁植了多少棵树？ 4 提示：题中出现三次“其余三人” ，但他们所包含的对象 1 不同， 因此， 三个单位 “1” 甲植的棵树是其余三人的 ， ， 2 可以理解为甲植的棵树占 1 份，其余三人占两份，那么甲思维创新321 1 = 。 同理可得乙植得棵树占总 1? 2 3 1 1 1 1 数的 = ，丙植的棵树占总颗数的 = 。 1? 3 4 1? 4 5植的棵树占总棵树的6、学校合唱团男生人数是女生人数的 女生后，男生人数是女生人数的 多少人？ 提示：原来男生人数是女生人数的 女生人数的2 5，又来了 3 名3 ，学校合唱团有男生 8 2 ，后来男生人数是 53 ，虽然其单位是“1”都是女生人数，但女 8 生人数前后却有了变化，再解答时应抓住不变的量，即男 生人数，把男生人数看做单位“1” ，原来女生人数是男生 5 8 人数的 ， 增加 3 名女生后， 女生人数是男生人数的 ， 2 3 8 5 则 3 人对应得分率为（ ） 。本题的关键在于：在一 3 3 些分数应用题中， 会出现一些变化量， 造成题目中单位 “1” 的量无法确定， 这种情况， 我们要善于发现其中的不变量， 抓住不变量进行分析。有的时候可以先求出不变量，然后 利用其作为中间条件进行解答。思维创新33思维体操 1、读一本课外书，第一天读了全书的确 页，第二天又读了全书的2 ，正好读了 22 54 ，还剩多少页？ 11 2、一辆汽车，从车站开出时坐满了人，途中到达某站， 1 有 的乘客下车，又有 21 位上车，这时有 6 位乘客没有 3 座位，这时车内有多少位乘客？ 3、甲、乙两人共有 140 元钱，甲买了一本英语大辞典， 4 用去了他所带钱数的 ，此时，两人所剩钱数相同，问： 7 甲、乙原来各带了多少元钱？ 1 4、六（1）班男生的一半和女生的 共 16 人；女生的 4 1 一半和男生的 共 14 人，请问：六（1）班共有学生多少 4 人？ 提示：采用演绎推理的方式写一些看看你能发现什么？ 1 1 男生人数× +女生人数× =16（人） 2 4 1 1 女生人数× +男生人数× =14（人） 2 4 5、两袋大米，乙袋比甲袋重 12 千克，如果从甲袋倒入乙 5 袋 6 千克，这时甲袋大米重量是乙袋的 ，两袋大米原 8 来共有多少千克？思维创新346、一条水渠，第一天挖了 25 米，第二天挖了余下的2 ， 5这是剩下的与挖好的相等，这条水渠有多长？ 1 7、一箱水果，连箱重 20 千克，吃去水果的 后，剩下 3 的水果连箱重 14 千克， 水果重多少千克？箱重多少千克？ 思维导航：注意“连箱重 20 千克” 连箱重 14 千克”两 “ 次重量的变化是怎样造成的。 8、农场里养了许多鸡.鸭和鹅。已知鸡的只数是鸭.鹅总 1 1 数的 ，鸭的只数是鸡.鹅总数的 。如果鹅有 250 只， 2 3 那么鸡有多少只？ 9、甲乙两人集邮，甲集邮的张数比甲乙两人邮票总张数 1 2 的 ，多 25 张，甲集邮的张数是乙的 ，甲乙共集邮多 3 3 少张？ 10、.学校图书馆原有文艺书和科技书共 5400 本，其中， 4 科技书是文艺书的 ，最近又买来一批科技书，这是科 5 技书和文艺书的比是 9：10.图书馆买来科技是多少本？ 11、甲乙两人原来钱数的比是 3：4，后来甲给了乙 50 元， 1 这时，甲的钱数是乙的 。甲乙两人原来各有多少钱？ 2 12、植物园里有水杉树 85 棵，杨树的棵树是水杉和柳树 1 1 总棵数的 ，柳树棵树是杨树和水杉总数的 。植物园 5 7 中三种树各有多少棵？思维创新3513、某舞蹈队男生人数是女生人数的 生后，男生人数是女生的1 ，调来了 3 名女 61 。舞蹈队中有多少名男生？ 9 14、某校合唱队与舞蹈队人数之比为 3：2，如果将合唱队 员抽调 10 名到舞蹈队，那么这时的人数比为 7：8，原合 唱队有多少人？思维乐园 1、中午放学时，还在下雨，大家都在盼着晴天。小聪对 小明说： “已经连续下了三天雨了，你说再过 36 小时能出 太阳吗？”同学们你们想想看，行吗？ 2、一杯咖啡王老师先喝了半杯然后兑水加满，又喝了半 杯再兑水加满，这样一共兑了 4 次，最后全部喝完，想一 想王老师一共喝了多少咖啡？思维创新36六、到底申请了多少贷款？ 欣欣玩具厂为了扩大生产向银行申请 A、B 两种贷款 共计 60 万元，王厂长计算了一下，每年共需要给银行支 付利息 5 万元。其中，A 种贷款的年利率为 8%，B 种贷款 年利率为 9%，李会计在扎帐时发现，原始单据丢失了，A、 B 两种贷款各贷了多少元呢？聪明的李会计根据现有的条 件一会就计算出了 A、B、两种贷款各贷了多少元。同学们 你们知道，李会计是怎样计算的吗？ 思维导航 通过条件可以知道，A、B 两种贷款共计 60 万元，每 年共需要给银行支付利息 5 万元；其中，A 种贷款的年利 率为 8%， 种贷款年利率为 9%； B 如果假设两种贷款全部都 是 9%， 那么每年需要付给银行的利息就应该是 60×9%=5.4 （万元） 与实际需要付出的利息比较一下我们假设多出了 5.4-5=0.4（万元） ；为什么会多假设出 0.4 万元？因为我 们把利率是 8%的 A 种贷款也看成看成了 9%， 每年多算了 A 种贷款的 9%-8%=1%，多出了 0.4 万元。既 0.4 万元就是 A 种贷款的 1%。所以 A 种贷款的数量就是 0.4÷1%=40（万 元） 。那么 B 种贷款的数量就是 60-40=20（万元） 。 完全解题： （60×9%-5）÷（9%-8%）=40（万元） 60-40=20（万元） 答：玩具厂向银行申请 A 种贷款 40 万元；B 种贷款 20 万 元。 这样的分析方式就是先通过假设改变题目的条件， 然 后再和已知条件配合推算。运用假设法时，可以假设分率 增加或者减少，导致数量的增加或者减少，从而找到，数思维创新37量与分率的对应关系。 此类分析方式与我国一个经典题型 “鸡兔同笼问题”有异曲同工之处。 思维热身 1、一批零件，甲独做 8 天完成，乙独做 10 完成，现在由 两人合作这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件 共需要多少天？ 提示：如果甲不请假，那么在相同的工作时间里，甲乙两 1 人就可以完成（1+ ）的工作，也就是要多完成甲一天的 8 工作量； 结合两人的工效， 完成需要多少天就容易计算了。2、彩色电视机和黑白电视机共 250 台，如果彩色电视机 1 卖出 ，则比黑白电视机多 5 台。问：两种电视机原来各 9 有多少台？ 1 提示：根据条件“如果彩色电视机卖出 ，则比黑白电视 9 机多 5 台” ；可以知道，如果增加 5 台黑白电视机，就将 1 会与卖出 的彩色电视机一样多。 9思维创新383、甲、乙两数的和是 300，甲数的2 1 比乙数的 多 55， 5 4甲、乙两数各是多少？ 2 2 2 提示：甲数的 与乙数的 的和就是甲、乙两数的 ，即 5 5 5 2 2 1 为： 300× =120;又因为甲数的 比乙数的 多 55， 所以 5 5 4 1 从 120 中去掉 55， 剩下的数就可以看成是乙数的 与乙数 4 2 的 的和。或者本题采用方程来解。 54、 红领巾小学上学期共有学生 750 人， 本学期男生增加1 ， 61 女生减少 ，全校共有学生 710 人。本学期男、女生各有 5 多少人？ 1 1 提示：假设本学期女生不是减少 ，而是增加 ，那么本 5 6 1 学期的总人数就应该是：750×1 =875（人） ；比实际的 6 人数多出的部分是怎样造成的？对应的分率是怎样的？思维创新39思维体操 1、一项工程，甲独做要 15 天完成，乙独做要 10 天完成， 两队合作若干天后甲休息了几天， 结果共用了 8 天才完成 了任务。甲休息了几天？ 1 2、姐妹两人养兔 120 只，如果姐姐卖掉 ，还比妹妹多 7 10 只，姐姐和妹妹各养了多少只兔子？ 1 3、学校有篮球和足球共有 21 个，篮球借出 后，比足球 3 少 1 个，原来篮球和足球各有多少个？ 4、一项工程，甲、乙合作 4 天后，再由乙单独做 5 天完 1 成，已知甲比乙每天多完成这项工程的 。甲、乙单独 30 做完这项工程个需要多少天？ 5、二年级两个班共有学生 90 人，其中少先队员 71 人。 一班少先队员占本班人数的 75%，二班少先队员占本班人 5 数的 ，一班少先队员比二班的少先队员多多少人？ 6 1 6、甲、乙两个容器共有药水 2000 克。从甲容器里取出 3 1 的药水，从乙容器里取出 的药水，结果两个容器里共剩 4 下 1400 克药水。 乙两个容器里原来各有药水多少克？ 甲、 2 1 7、 畜牧场有绵羊、 山羊共 800 只， 山羊的 比绵羊的 多 5 2 50 只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？思维创新408、师傅和徒弟共加工零件 840 个，师傅加工零件的个数 5 2 的 比徒弟加工零件的 多 60 个，师傅和徒弟各加工零 8 3 件多少个？ 1 9、某校六年级甲、乙两个班共种 100 棵树，乙班种的 10 1 比甲班种的 少 16 棵，两个班各种多少棵树？ 3 3 10、袋子里有红球和黄球共 119 个。将红球增加 ，黄球 8 2 减少 后，红球与黄球的总数变成 121 个。原来袋子里有 5 红球和黄球各多少个？ 1 11、金放在水里称重时，重量减轻了 ，银放在水里称 19 1 重时，重量减少 ，一块重 770 克的金银合金，放在水 10 里称重是 720 克，这块合金中，金、银各有多少克？ 1 12、食堂里的面粉的重量是大米的 ，每天吃去 30 吨面 2 粉，45 吨大米。若干天后，面粉正好吃完，大米还有 150 吨，食堂里原来有面粉多少吨？ 13、甲书架上的书比乙书架上的 3 倍多 50 本，若甲、乙 两个书架上各增加 150 本， 则甲书架上的书是乙书架上的 2 倍，甲、乙两个书架上原来各有书多少本？ 14、有两堆棋子，A 堆有白子 500 个黑子 350 个，B 堆有 白子 100 个和黑子 400 个。为了使 A 堆中黑子占 50%，B 堆中黑子占 75%，要从 B 堆中拿到 A 堆得黑、白子各多少 个？思维创新41思维乐园 有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有 10 个停 车点。 如果有一辆车， 除终点站外， 每一站上车的乘客中， 恰好各有一位乘客从这一战到以后的每一站下车，为了使 每位乘客都有座位， 问这辆公共汽车至少要配备多少个座 位？ 提示：因为除终点站外，每一站上车的乘客，恰好各有一 位乘客从这一站到以后的每一站下车。所以起始站至少有 9 个座位，依此类推。思维创新42七、倒着算更容易 小猴要过生日了，请好朋友一起庆祝。后妈妈买来一 1 1 个大蛋糕，先切了 给大熊，又切了剩下的 给了小鹿， 2 2 1 然后切了剩余的 分给了小兔；最后猴妈妈和小猴把剩下 3 的蛋糕一人一半吃完。这样大家一起过了一个快乐的生 1 日。细心地小猴还仔细的称了称，自己的那份蛋糕有 千 4 克， 那么这个完整的蛋糕有多少千克呢？这个问题可难住 了聪明的小猴，请同学们一起替小猴算一算好吗？ 思维导航 我们可以借助画线段图的方式来解决此类问题：通过画图可以分析出，小猴吃掉的蛋糕是小兔分完后的 1 ，所以小兔分完后剩下的部分作为单位 1，小兔分完后 2 1 1 1 剩下了 ÷ = （千克） ；根据条件可以知道小兔吃掉了 4 2 2 1 分给小鹿后的 ，也就是说以小鹿分完后剩下的部分作为 3 2 单位 1，小猴和猴妈妈吃掉的部分占了 ，所以小鹿分完 3 1 2 3 后剩下的部分有 ÷ = （千克） 同样的思路继续分析， ； 2 3 4思维创新431 ， 也就是以大熊分完后剩下的 2 1 部分作为单位 1，小鹿吃掉了 ，那么，大熊分完后剩下 2 3 1 1 1 了 ÷ =1 （千克） 根据题意这 1 千克是大熊吃掉整 ； 4 2 2 2 1 1 1 个蛋糕的 后剩下的，所以这个蛋糕的重量是 1 ÷ =3 2 2 2 （千克） 。 完全解题： 1 1 1 ÷ = （千克） 4 2 2 1 1 3 ÷（1- ）= （千克） 2 3 4 3 1 1 ÷ =1 （千克） 4 2 2 1 1 1 ÷ =3（千克） 2 2 答：这个蛋糕的重量是 3 千克。 上面这个问题就是我们经常遇到的逆推问题。逆推也 就是我们常说的倒推， 我们在分析问题时关键需要反向思 考，在解答时，一般比较简单的可采取方法解，在特殊情 况下，我们采取逆推法反而比较容易解答，有些还可以借 助表格进行逆推。小鹿吃掉了大熊分完后的思维热身 1、一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去余下得 一半，还剩 12 千克，求这桶油原来重多少千克？思维创新442、甲.乙.丙三人各有连环画若干本。如果甲给了乙 5 本， 乙给了丙 10 本，丙给甲 15 本，那么三人所有的连环画都 是 35 本，他们原来各有连环画多少本？3、.一辆汽车从甲地开往乙地，第一天走了全程的 第二天走了余下的1 3，3 ，第三天走了余下的 250 千米到达 8 乙地。甲.乙两地相距多少千米？1 4、甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的 给乙后，乙再 5 1 拿出现有存款的 给甲，这时他们各有 180 元，他们原来 4 各有存款多少元？ 提示：可以借助列表的方式来帮助我们思考：思维创新45甲 最后 乙给甲之前 甲给乙之前（原来） 180 180-（240-180）=120 （元） ？乙 180 ？ ？5、食堂运来一批大米，第一天吃了全部的2 ，第二天吃 51 3 了余下的 ，第三天吃了又余下的 ，这时还剩下 15 千 3 4 克，食堂运来多少千克大米？ 3 1 提示：最后剩下的 15 千克是“又余下的” （1- = ） ，所 4 4 3 以“又余下”的部分应该是 15÷（1- ）=60（千克） ；所 4 以其余思路依此类推。思维创新46思维体操1 2 ，第二次烧掉剩下的 ， 2 3 第三次烧掉了 150 吨，正好烧完，这堆煤原来有多少吨？ 2 2、李大妈存了一些零花钱，第一次用去 后，又得到 240 5 1 元。第二次用去这时所有钱的 后还剩 360 元，李大妈原 3 来有多少元？ 1 3、小张要完成一批车床零件，第一天完成 后，又接到 3 3 80 个零件的任务，第二天完成了还需要完成零件的 ， 5 还剩 280 个，小张原来要完成的零件是多少个？ 1 4、一堆西瓜，第一次卖出总数的 又 4 个，第二次卖出 4 1 1 余下的 又 2 个， 第三次又卖出余下的 又 2 个， 还剩 2 2 2 个，这堆西瓜共有多少个？ 1 提示： “第一次卖出总数的 又 4 个”这里的又就是多的 4 意思。所以依然是从最后入手比较方便。 1 5、有甲乙丙丁三个容器，先将甲容器里水的 倒入乙 3 1 容器，再把乙容器里水的 倒入丙容器，最后再将丙容 41、一堆煤，第一次烧掉它的思维创新471 倒入甲容器，这时三个容器都是 9 升水。每 10 个容器原来各有水多少升？ 提示： 此类问题， 变化次数较多， 而且属于总数不变的 “内 部调动” 。所以列表计算比较方便。 1 6、 甲乙丙三个人共同生产同一种零件， 甲做了全部的 又 4 1 1 8 个，乙做了甲余下的 又 9 个，丙做了乙余下的 又 9 4 4 件，刚好完成任务，三人共做了多少个零件？ 1 1 7、 有甲乙丙三桶酒， 现把甲中的 倒入乙，再把乙中的 2 3 1 倒入丙，接着把丙中的 倒入甲，这时每桶酒都是 20 升。 5 每桶原来各装酒多少升？ 8、 甲、 乙两人同时从 A 地去 B 地， 甲行了全程的一半时， 7 乙离 B 地还有 78 米， 当甲到达 B 地时， 乙行了全程的 。 10 A、B 两地相距多少米？ 9、小红和小兰分别从甲、乙两地同时相对而行，15 分钟 后相遇， 相遇后两人仍按原来的速度前进， 当他们相距 206 4 4 米时，小红行了全程的 ，小兰行了全程的 。小红行完 7 5 全程需要多少分钟？ 10、客车和货车分别从甲、乙两站同时相对开出。5 小时 后相遇。 相遇后两车仍按原来的速度前景， 当它们相距 198 3 4 千米时，客车行了全程的 ，货车行了全程的 。货车行 5 5 了全程需要多少小时？器里水的思维创新4811、甲、乙两车同时从 A 地去 B 地，当甲车行了全程的 一半时，乙车离 B 地还有 54 千米，当甲到达 B 地时、乙 4 车行了全程的 ，A，B 两地的路程是多少千米？ 5 思维乐园 1、下面的六个图形你能一笔画成吗？（这里的一笔画成 是指笔不能离开纸面，而且每条线都不重复。123456一笔画问题，其实就是我们平时所说的“七桥问题”思维创新49判定是否能够一笔完成其实也有其中的规律： 我们可以用 欧拉定理来判定。 欧拉定理如果一个网络是连通的并且奇 顶点的个数等于 0 或 2，那么它可以一笔画出；否则它不 可以一笔画出 2、判断下列各图能否一笔画出，并说明理由.开心数学小欧拉智改羊圈 欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学 、天文数 学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不 过，这个大数学家在孩提时代却很顽皮，但他很喜欢思考问题。 一天，他在家里帮爸爸放羊，发现爸爸的羊渐渐多了，达到 了 100 只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。 他用尺量出了一块长方形的土地，长 40 米，宽 15 米，他一算， 面积正好是 600 平方米，平均每一头羊占地 6 平方米。正打算动 工的时候，他发现他的材料只够围 100 米的篱笆，不够用。若要思维创新50围 成 长 40 米 ， 宽 15 米 的 羊 圈 ， 其 周 长 将 是 110 米 （15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就 要在添 10 米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就要小于 6 平方米。小欧拉却对父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊 的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办 法。小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。 小欧拉于是很快站起来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木 桩为中心，将原来的 40 米边长截短，缩短到 25 米。父亲着急了 说： “那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。 ”小欧拉也不回答， 跑到另一条边上，将原来 15 米的边长延长，有增加了 10 米，变 成了 25 米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个 25 米边 长的正方形。 然后， 小欧拉很自信地对父亲说： “现在篱笆也够了， 面积也够了。 ” 父亲按照小欧拉设计的羊圈扎上篱笆， 米长的篱笆真的够 100 了，不多不少，全部用光。面积也足够，而且还稍稍大了一些。 父亲心里感到非常高兴，认为小欧拉一定将来有大出息！思维创新51八、分配中的学问 放学后小军和小红在学校田径队进行竞走训练。完成 老师布置的训练任务后，两人算了算，小军行走的路程比 1 1 小红多 ， 而小红行走的时间却比小军多 。 小军说： “我 10 4 走的路程多，我用的时间比你短，所以我比你走的快” 。 老师听到了说： “小军，你不能只知道比小红快，你要知 道你比小红快了多少才行， 这样你才能更快得提高你的成 绩，还能帮助小红也共同提高” 。这个问题一下把小军难 住了，请同学们帮帮忙，一起来帮小军和小红算一下。 思维导航1 ”可各两人路程比为 4 1 5：4，再由“小红行走的时间却比小军多 ”可知小军 10 与小红行走时间之比为 10：11，可以看成小军用 10 份的 时间走了 5 份的路程；小红用了 11 份的时间走了 4 份的 路程。因为速度等于路程除以时间，所以：小军速度为 5 1 4 1 4 ÷10＝ ， 小红速度为： 4÷11＝ ， 两人速度比为 ： 2 11 2 11 8 ＝11：8。也就是说，小红的速度是小军的 。 11 上面的问题就是采用了比的方法，反映了两个量之间 的倍数关系， 在日常生活和生产实践中比有着非常广泛的 应用。由“小军行走的路程比小红多思维热身思维创新521、两个相同的瓶子装满盐酸溶液，一个瓶子中盐酸与水 的体积比是 3： 而另一个瓶子中盐酸与水的体积比是 4： 1， 1 若把两瓶盐酸溶液混合，求混合液中盐酸与水的体积之 比是多少？ 思维导航：因为两个瓶子相同，可以设每瓶溶液的体积为 3 1 “1” ，则第一个瓶子盐酸占 ，水占 ；另一个瓶 1? 3 1? 3 4 1 3 6 子盐酸占 ，水占 ，混合后，盐酸为（ + ） ， 1? 4 1? 4 4 5 1 1 水为（ + ） 。 4 5 3 4 1 1 完全解题： （ + ）÷（ + ） 1? 3 1? 4 1? 3 1? 4 31 9 = ÷ 20 20 =31：9 答：混合液中盐酸与水的体积之比是 31：9。 2、六年级两个班人数相等，甲班男、女生人数之比为 5： 4，乙班男女生、人数之比为 2：3 那么该校六年级两个班 的男、女生人数之比是多少？1 3、买青菜比买芹菜多用钱 ，而买芹菜的数量却比买芹 3思维创新53菜的数量多1 ，求青菜与芹菜单价比 44、一个长方体的棱长总和是 216 厘米,它的长、宽、高之 比是 4：3：2，长方体的表面积和体积各是多少？ 思维导航：长方体的棱可分为长、宽、高三类，所以长、 宽、高之和是 216÷4CM 将 54CM 按 4：3：2 的比分配， 就可分别求得这个长方体的长、宽、高；进而求出表面积 与体积。5、一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各 段路程长的比是 1：2：3。王老师走完各段路程所用的时 间之比是 4：5：6。已知王老师上坡的速度是每小时 3 千 米那他走完全程要多少时间？ 提示：根据全长 60 千米以及各段路程长的比是 1：2：3， 1 可以先求出上坡的路程是 60× ＝10(km)。因为上 1? 2 ? 3 10 坡的速度是每小时 3 千米。 所以上坡的时间是 10÷3＝ 3 （小时） 。根据走完各段路程所用的时间比是 4：5：6，那 么其余的平路、下坡时间就比较容易了。思维创新542 给乙桶后， 7 甲桶与乙桶油的比为 7：6，原来甲、乙两桶分别有油多少 千克？ 提示：两桶油的总重不变，将 130 千克按 7：6 分配，可 得现在甲、乙两桶各有油多少千克，再结合条件“从甲桶 2 倒出 给乙桶”就可以求出原来甲乙各有多少千克油了。 76、甲、乙两桶油共 130 千克，从甲桶倒出思维体操 1、三个容积相同的瓶子装满酒精溶液，酒精与水的比分 别为 3：2、3：1、4：1，当把三瓶酒精溶液混合后，酒精 与水的体积比为（ ）（ ： ） 2、甲、乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽之 比是 3：2，乙的长与宽之比是 7：5，求甲与乙的面积之 比。 提示：甲、乙两个长方形的周长相等，所以给两个长方形 的周长假设为一个数比较好算。思维创新553、如图，阴影部分的面积是圆面积的1 ，是长方形面积的 31 ，求圆面积梯形面积的比。 5 1 1 4、 〈1〉 六 班男生人数的 与女生人数的 相等， 求六 〈1〉 8 9 班男、女生人数之比 1 5、 两个长方形重叠部分的面积想当于大长方形面积的 ， 6 1 想当于小长方形面积的 ，这两个长方形面积的比为多 4 少？ 1 6、有大、小两瓶油共重 2.7 千克，把大瓶油的 倒给小瓶 4 后大瓶的油与小瓶的油的重量比为 3：2，大、小瓶里原来 分别装有多少千克油？ 7、 甲、 乙丙三个工程队共同修一条长 1200 米的水渠， 甲、 乙、丙修路的工作总量比是 2：7：6，工作时间比是 5：6： 4。已知甲每天修 16 米。乙队共修了多少天完成了自己的 任务？ 8、甲、乙两数的比为 5：7，乙、丙数的比为 3：4 已知甲、 乙两数的和是 84，那么乙、丙两数的和是多少？ 9、红领巾小学六年级学生分三批去参观天文馆。第一批 和第二批的人数比为 5： 第二批与第三批的人数比是 3： 4， 2，已知第一批比第二、三批的人数总和少 15 人。求六年 级参观的有多少人？ 10、小明读一本故事书，已读的页数和未读的页数之比是 1：5，如果再读 30 页，则已读的和未读的页数比是 3：5，思维创新56那么这本书一共有多少页？ 提示：抓住不变量 11、植物园中菊花与月季花的盆数比是 31：5 兰花与睡莲 的盆数比是 40：9，月季花与睡莲的盆数比是 25：3。植 物园中共有 200 盆兰花，那么菊花、月季、睡莲各有多少 盆？ 思维乐园 有一位老人要把 17 只羊分给他的三个儿子。大儿子分得 1 1 总数的一半。 二儿子分得总数的 ， 三儿子分得总数的 ， 3 9 在不杀死羊的情况下，该怎样分呢？请叙述分法。 思维导航： 只羊大儿子要分得一半， 17 那么将会出现半只 羊的情况，题目要求不能杀羊，所以要先借一只羊，凑足 18 只，能被 2、3、9 整除。思维创新57九、工程中的数学问题 工程中的数学问题，属于分数应用中的一种类型，它 是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用 题。在工程问题中经常要把工作总量看做单位 1，工作效 率则经常会用每天完成工作总量的几分之几来表示。 例如： “张叔叔的工程队修完一条乡村公路，需要 20 天，黎叔叔的工程队修完这条乡村公路需要 25 天” 。根据 条件，我们可以把这一项工程看做单位 1，张叔叔的工程 队需要 20 天，那么张叔叔工程队每天的工作效率就是每 1 天完成整条公路的 ；同样的道理，那么黎叔叔的工程 20 1 队每天的工作效率就是 。在工程问题中工作总量、工 25 作时间、工作效率之间存在这样的关系： 工作效率 × 工作时间=工作总量 工作总量 ÷ 工作时间=工作效率 工作总量 ÷ 工作效率=工作时间 那么如果让张叔叔和黎叔叔的两支工程队一起合作 两天， 可以完成这条公路的几分之几？如果合作完成需要 几天呢？同学们请大家一起来完成。 思维导航 根据条件可以知道两支工程队的工作效率分别是1 、 201 ，如果两支队伍合干，每天完成的工效就应该是： 25 1 1 9 + = ；两天可以完成的工作总量就是用工作时间 20 25 100思维创新58×两支队伍的工效和： 1 1 9 2×（ + ）= 。 20 25 50 如果两支队伍合作完成需要多少天？也就是要计算工作 时间，就要用工作总量 1÷两支队伍的工效和： 1 1 1 1÷（ + ）=11 （天） 20 25 9 答：如果让张叔叔和黎叔叔的两支工程队一起合作两天， 1 9 可以完成这条公路的 ；如果合作完成需要 11 天。 9 50 思维热身 1、填空： 一段工程，单独做，甲要 8 天，乙要 12 天。 1 ○甲每天完成这项工程的（ 成这项工程的（ ） 。 ）, ） ，甲乙合作，每天可完2. ○先由甲单独做 4 天，可以完成这项工程的（ 剩下的工程由乙单独做，还需要（ 3 ○.这项工程由甲乙合作， （）天才能完成。） 天可以完成， 合作 3 天，可以完成这项工程的（ ） ；合作（ ）天可以完成这 1 项工程的 。 2 2、一项工程，甲乙两人合作 8 天可以完成，甲独做 12 天 可以完成，乙独做几天可以完成？思维创新593、一项工程，如甲队独做，8 天可以完成，甲队 2 天的工 作量乙队要 3 天完成，乙队独做，几天可以完成？两队合 作多少可以完成？ 提示：本题的关键在于要找到乙的工效。根据条件“甲队 2 天的工作量乙队要 3 天完成”也就是说，乙队的工效是 2 甲队的 。 31 4、师徒两人共同加工一批零件，2 天加工了总数的 ，已 3 知师傅和徒弟的工作效率比是 3： 如果全由徒弟单独加 2， 工，需几天完成？5、修一条公路，甲独修需 24 天完成，乙独修 30 天完成。 甲乙两队先和修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了 6 天完成。乙队修了多少天？ 提示：要求乙队修了多少天。实际上就是求甲乙两队和修 的天数，应该用“工作总量÷ 工作效率和=工作时间”来思维创新60解答，需要注意的是，这里的“工作时间”是两队合修的 工作时间，那么相对应的“工作总量” ，应减去甲后来独 修 6 天的工作量后剩下的工作总量。6、一项工程，如果甲队单独做 5 天后，乙再单独做 7 天， 1 可以完成工程的 ，如果甲队单独做 7 天后，乙队在单 5 1 独做 5 天，可以完成工程的 。如果两队合作，完成这 4 项工程，需要多少天？ 提示： 从题中可以看出， 甲做 12 天 （5+7） 乙做 12 天 ， （7+5） 1 1 可以完成工程总量的 + ，即甲乙合作 12 天可完成 4 5 9 ，由此可以求出两队合作的工效，工效和知道了本题 20 就不存在问题了。7、甲、乙两队合作一项工程，24 天完成。如果甲队做 6 1 天，乙队做 4 天。只能完成工程的 ，两队单独完成这项 5 工程，各需要多少天？思维创新61提示：本题的关键在于转化。题中“甲队单独做 6 天，乙 队单独做 4 天” ，可以看做“两队先合作 4 天，再由甲单 1 1 1 独做 2 天” ，这样用 － ×4＝ 就是甲单独做 2 天的 5 24 30 1 工作量，2÷ 就是甲单独完成这项工程需要的时间 1÷ 30 1 1 （ － ）=40 天，即是乙单独做需要的时间。 24 60思维体操 1、 两队挖一条水渠，甲单独挖 8 天完成，乙单独挖 12 天完成，现在两队同时挖了几天后，乙对调走，余下的甲 队在 3 天内完成，乙队挖了多少天？ 2、一项工程，如果甲单独做 3 天后，乙再单独做 5 天， 13 可以完成工程的 。如果甲单独做 5 天，乙再单独 3 天， 30 可以完成工程 11 。如果两队合作，多少天可以完成这项30工程？ 3、修一条公路，甲队单独修 20 天可以完成，乙队单独修 30 天可以完成。现在两队和修，中途甲队休息了 2.5 天， 乙队休息若干天，这样一共 14 天才修完 提示：这条公路可分为两部分，一部分由甲队修，用了 14-2.5=11.5 天：另一部分由乙对修，如能算出乙对修了思维创新62几天，就可以很容易算出乙对休息了几天。我们可以先求 出甲队修了这条公路的几分之几，从单位“1”中减去甲 修的，剩下的就是乙修的，然后除以乙的工效，就可得出 乙修的天数，用 14 天减去乙修的天数，就是乙休息的天 数。 4、一项工程，如果单独做，甲要 4 天，乙要 6 天，丙要 8 天，现在三人合作，中途甲先休息一天，乙在休息两天， 而丙没有休息，这样一共用了几天才完成这项工程? 9 5、一项工程，两队合作每天能完成全部工程的 ，甲队 40 单独做 3 天，乙队再单独做 5 天后，可以完成全部工程的 7 。如果全改成乙队独做，多少天可以完成？ 8 6、一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合作 7 天，这 样才完成全部工程的一半，已知完成同样的工作量，乙所 2 用时间相当于甲的 。那么，这项工程由乙单独做，需要 3 多少天才能完成？ 提示：根据“甲先单独做 2 天，再与乙合作 7 天”可知甲 共做 9 天，而乙做了 7 天，而“完成同样的工作量，乙所 2 用时间相当于甲的 ” 。 3 7、甲、乙两队合作一项工程，20 天可以完成。现在甲队 11 做 6 天、乙队做 8 天后，完成这项工程的 。两队单独 30 做完全部工程各需多少天？ 8、师 徒两人共同加工一批零件。如果徒弟先做 5 天，剩 下的师傅再做 5 天可以完成任务；如果师傅先做 6 天，剩 下的徒弟再做 3 天可以完成任务。 那么这批零件由徒弟单思维创新63独做，每天可以完成这批零件的几分之几？ 9、一批衣服，甲、乙合作 30 天完成，乙、丙合作 40 天 完成，甲、丙合作 60 天完成。如果由甲、乙、丙三人合 作，需几天完成？ 10、修一条公路，单独做，甲要 12 天，乙要 15 天，现在 两队合作，中途甲休息 3 天，乙休息若干天后，从开工到 完工共用了 9 天。乙休息了几天？ 11、搬运一个仓库的货物，甲要 10 个小时，乙要 12 个小 时，丙要 15 小时，有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙 在 B 仓库，同时开始搬运，丙开始帮助甲运，中途又去帮 助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮甲搬了几 小时? 提示：两个一样的仓库可以看成两个单位“1” ，这样两个 仓库的工作总量就可以看成“2” 。 12、用抽水机抽水，甲抽水机单独抽 10 小时抽完，乙抽 水机 15 小时抽完，丙抽水机 12 小时抽完，现在三台抽水 机一起抽，中途甲坏了 1 小时，乙坏了 3 小时，丙一直没 坏，这样共用几小时才把水抽完？ 13、一项工程。甲单独做需 12 小时完成，乙单独做需 15 小时完成，丙单独做需 18 小时完成。如果先由甲工作 1 小时， 然后由乙接替工作 1 小时， 再由丙接替工作 1 小时。 再由甲接替工作 1 小时``````````三人这样交替工作，那么 完成这项工程，一共需要多少小时？ 提示：甲、乙、丙轮流工作 1 小时，也就是 3 小时，把它 看做一个循环；1÷（1 1 1 32 + + ）= 4 可知完成这项工 12 15 18 37思维创新64程需要四个循环；1-（ 循环后还剩1 1 1 8 + + ）×4＝ ，可得四个 12 15 18 458 没有完成；甲先工作 1 小时，还剩下： 45 8 1 17 17 1 1 - = ，乙每工作 1 小时，还剩下： - = 接 45 12 180 180 15 36 1 1 1 1 1 着丙完成还需： ÷ = 小时； 共需要 3 x4+2+ = 14 2 36 18 2 2 (小时) 14、一项工作，甲组 5 人 8 天可以完成，乙组 10 人 4 天 可以完成。现在派甲组 4 人和乙组 6 人合作，多少天可以 完成这项工作？ 1 提示：根据题意，甲组每人每天可以完成 1÷5÷8＝ ， 40 1 乙组每人每天可以完成 1÷10÷4＝ ；则，甲组 4 人与 40 1 1 1 乙组 6 人合作，每天可完成 ×4＋ ×6＝ ，完成时 40 40 4 1 间为 1÷ ＝4（天） 4 15、一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成， 丙单独做 6 天完成，如果甲先做 1 小时，然后乙接替做 1 小时，再由丙接替做 1 小时，再由甲接替做 1 小时`````` 三人这样交替工作，多少小时可以完成这项工程？ 16、一批衣服，甲组 6 人 3 天可以完成，乙组 2 人 6 天可 以完成。现在派甲组 2 人和乙组 2 人合作，多少天可以完 成这项工作？思维创新65思维乐园 求下列各个格点多边形的面积.上图点阵中多边形的面积我们可以使用皮克公式来解决： 皮克公式：皮克公式是用来计算点阵中多边形面积的公 1 式，S=A+ B-1 2 其中，A 表示多边形内部的点数，B 表示多边形边界上的 点数，S 表示多边形的面积。开心数学至高无上的数字 1 “1”是一个至高无上的数字。它是万数之首，由它而派生出了 整个世界。 当你打开一本按部首排列的大字典时，你会发现它的正文第 一行的“一”字。解释是“数字之始也” ，意思就是， “1”是数目 或计数的开始。从娃娃学话数数，当然先数的肯定是“1” 。 古老而庞大的自然数家族，是由全体自然数 1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10… …集合在一起组成的。其中最小的是“1” ，找思维创新66不到最大的。如果你有兴趣的话，可以找一找。也许你认为可以 找到一个最大的自然数“n” ，但是，你立刻可以发现另一个自然 数“n+1” ，它大于 n。这就说明在自然数家族中永远找不到最大 的自然数。 可别小看了这个最小的“1” ，它是自然数的单位，是自然数 中的第一代，人类最先认识的是“1” ，有了 1，才能得到 1、2、3、 4… …思维创新67十、圆的周长 哥哥和弟弟要从家里（A 点）出发去学校（B 点） ， 两人分别以相同的速度同时出发， 两人所走的路线分别是 一号路线和二号路线，这两条路线如下图： 1 A d1 d2 B 2 这一号路是一段半圆弧，二号路线是两段半圆弧组成的。 出发前哥俩比赛， 看一看谁先到达学校,同学们请你预测一 下谁会取胜？说一说为什么？ 思维导航 因为一号路线的半圆弧的直径为 d1+d2，一号路线的 路程长度为： ∏×（d1+d2） =∏×d1+∏×d2； 二号路线是由两个半圆弧构成， 所以两个半圆弧的长 度和为∏×d1+∏×d2； 因为∏×（d1+d2=∏×d1+∏×d2；所以两条路线的 长度相等，又因为哥俩速度相同，所以他们应该同时到达 学校。 思维热身 1、有一段路，用大铁环滚，要滚 40 周，用小铁环滚要滚 50 走， 已知大铁环比小铁环的周长长 5 厘米， 这段路长多 少米？思维创新68提示：可以推算出大铁环和小铁环周长的比，再根据周长 差进行计算。2、下图中大圆的周长与大圆中四个小圆周长的和相比， 谁大？3、下图中阴影部分的周长是多少厘米？30° 30 厘米 提示：上图图中阴影部分的周长是由以下部分组成的： （1） 直径为 36 厘米的周的周长的一半。 （2） 半径为 36 厘米的， 圆心角为 30{}所对的弧的长度。 （3） 长度为 36 厘米的线段。 分别求出各段的长度，再相加。思维创新694、在草地上有一横截面是边长 3 米的等边三叫形建筑物， 建筑物的一个顶点栓着一头牛， 绳长 8 米。 现在牛从 A 点 出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 提示：先分析一下这头牛所跑的线路： 如图： A 3米 3米 A点 8米 3米 B C （1） 从 B 点为圆心 8 米为半径，圆心角为 120°的弧线 （2） 从 C 点为圆心 8-3=5 米为半径，圆心角为 120°的 弧线 （3） 从 D 点为圆心 5-3=2 米为半径；圆心角为 120°的 弧线。 分别算出各段弧长，再相加。5、夏天到了，爸爸到商店买了 4 瓶啤酒，售货员将 4 瓶 啤酒捆扎在一起，如下图所示，捆 4 圈至少要用绳子多少 厘米？（接头不记）7cm提示：捆 4 圈就是指 4 倍的周长。周长的计算要注意绳子 的走向。思维创新706、如下图，一个半径 1 厘米的硬币沿着长方形纸板的边 缘做无滑动滚动，长方形纸长 30 厘米，宽 20 厘米。当硬 币滚动一周回到原位，硬币的圆心经过的路程有多少厘 米？提示： 请同学们画出硬币的滚动路线在研究圆心走过的路 程。注意在拐角处硬币的走向。思维体操 1、一根绳，绕大木桶可以绕 12 周，绕小木桶可以绕 20 周，已知大木桶比小木桶横截面周长长 2 分半，这根绳长 多少？ 2、求图中各圆的周长总和。 已知：AB 长 10 厘米。3、如图，已知长方形长时 6 厘米，宽是 4 厘米。求阴影 部分周长。思维创新714、从一张纸的这头到另一头，大玻璃珠要滚 10 周，小玻 璃珠要滚 15 周，已知大玻璃珠的直径比小玻璃珠的直径 长 5 厘米，这张纸有多长？ 5、 下图中直角梯形的面积为 60cm 2 ， 下底之和为 20cm， 上、 两腰比为 3：5，现挖去四个半径一样的扇形后，阴影部分 的周长是多少厘米？6、如图，ABC 为正三角形，边长为 9 厘米， 现将三角形沿一条直线翻滚三次， A 点经过的路线长度。 求提示：请注意点 A 走过的路线。 7、一个长方形长是 4 厘米，宽是 3 厘米，对角线长 5 厘 米。将这个正方形 ABCD 沿一条直线翻滚 4 次，如图，求 A 点经过的线路长。8、如图，有一只狗，被绑在一建筑物的墙角上，这个建 筑伍的底面是边长为 6 米的正方形， 绑狗的绳子长 20 米， 现狗从 A 点出发，将绳子拉紧顺时针跑，可跑多少米？思维创新72A 思维乐园 一只老鼠遇到一只猫，撒腿就跑，猫紧紧追赶，这时老鼠 跑到一个圆形的池塘边，连忙跳进水里。猫在岸上盯着老 鼠，在池边跟着老鼠跑动，准备在老鼠游上岸时抓住它， 猫的奔跑速度是老鼠游水速度的 2.5 倍，问老鼠有没有办 法使它自己游上岸时不被猫抓住， 请同学们想一想再说一 说。思维创新73十一、圆的面积 小明搬新家了。 原来家里那张正方形的餐桌也换成了 一张崭新的圆形餐桌， 可是爸爸买桌布却按照原来方桌的 大小，买来一块 2 平方米的桌布，妈妈想把这块正方形桌 布剪成一个最大的圆形桌布，爸爸问小明，改好后的圆形 桌布的面积是多少平方米呢？这个问题一下难住了聪明 的小明， 请同学一起帮助小明想一想这块改好的圆形桌布 的面积有多大？ 思维导航r如上图所示，将一块正方形桌布改成一块最大的圆形桌 布，这块圆形桌布的半径刚好就是正方形边长的一半，所 以就有如下计算： 正方形面积=(2R) 2 =4R 2 圆形的面积=∏R 2S圆 ∏R 2 ∏ = = =0.785=78.5% 4 S正 4 R 2也就是说正方形内最大的内切圆的面积与这个正方形的思维创新74∏ 。也可以认为是一个常数，正方形内最大的 4 内切圆的面积占这个正方形的面积的 78.5%。 那么小明的问题也就可以解决了。因为将正方形桌布 剪成一个最大的圆形， 那么这个圆形的面积就占了原来正 方形面积的 78.5%。 2×78.5%=1.57（平方米） 答：这块圆形桌布的面积是 1.57 平方米.面积比是这个关系在把上面的图形等分后，关系依然存在。常 数依旧可以使用。1 圆的面积占长方形、正方形面积的 4 ∏ 1 ；或是半圆、 圆的面积占长方形、正方形面积的 4 4 78.5%。 如果把上面的题目改一下。 将一块 2 平方米的圆形桌 布剪成一块最大的正方形桌布，正方形桌布的面积有多 大？ 圆与圆内最大的内接正方形的面积也存在一种很重 要的关系。 如下图：上图中半圆、r思维创新75圆的半径 R,同时也是正方形对角线的一半， 所以有如 下面积计算： 圆形的面积=∏R 2 正方形面积=(2R) 2 ÷2=2R 2 所以：S圆 ∏R 2 ∏ = = =1.57=157% 2 S正 2 R 2所以正方形的面积就是： 2÷1.57≈1.27（平方米） 答：正方形桌布的面积有 1.27 平方米。 同样这个关系以及常数，在等分上图后依然可以运 用。半圆、1 ∏ 圆的面积与内接长方形的面积比是 ；或 4 21 者半圆、 圆的面积是内接长方形的面积的 157%。 4思维热身 1、下图中，圆的面积与长方形面积相等，圆的周长是 16 厘米，阴影部分的周长是多少厘米？思维创新762、 在一个三角形中分别以三个顶点为圆心， 厘米为半径 2 做三个扇形。求阴影部分的面积。 提示：想想一下，这三个扇形拼在一起 是什么样？3、如右图。OA、OB 分别是小半圆的直径， ? B0A=90 0 ， 且 OA=OB=6 厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ BA O 提示：将阴影部分合理割补，则阴影部分可以拼成一个什 么样的形状？思维创新774、半径为 7 单位的三个圆弧围成如右图的区域，其中 AB 1 弧与 AD 弧是 圆，而 BCD 弧是一个半圆，求此区域的 4 C 面积BDA 5、已知下图中正方形边长为 2 分米求阴影部分面积。.思维体操 1、一个圆形水池，直径 400 米，沿池边有一条宽 2 米的 小路，如果给小路铺上地砖，一共要铺多少平方米？ 2、一个圆形花坛，半径 5 米，现将花坛的半径增加 2 半， 花坛的面积将增加多少平方米？ 3、三角形底是 10 厘米高是 6 厘米，圆形半径为 1 厘米。 阴影部分的面积是多少平方厘米？思维创新784、下图中大小正方形的边长分别是 5 厘米和 4 厘米，求 阴影部分的面积。5、已知下图正方形边长为 4 厘米，求下图阴影部分的面 积。6、求下图阴影部分面积7、用一块长 90 厘米宽 60 厘米的长方形铁皮，剪制直径 是 20 厘米的圆形铁片， 怎样剪才能使铁皮的利用率最高？ 利用率最高是多少？思维创新79提示：可以采用画的方式画一画，利用率最高的方式可以 将圆形铁片按照下图排列；8、下图是某大楼上的时钟，已知时针与分针的长度分别 是 30 厘米、40 厘米，试求：时针走 1 小时时针与分针扫 过的面积差。思维乐园 找规律填数 2、12、36、80、 （ ） 27、16、5、 （ ） 1、1、2、3、5、8、 （ ） 3 2 3 1 3 、 、 、 、 、 （ ） 3 4 3 8 2 思维乐园土耳其商人和帽子 有一个土耳其商人，想找一个助手。有两个人前来报名，商 人想测验一下这两人中谁更聪明。他把两人带进一间既没有镜子，思维创新80也没有窗户，全靠灯来照明的房子里。然后商人打开一个盒子说： “这里面有五顶帽子，两顶红的，三顶黑的，现在我把灯熄掉， 我们三个没人摸一顶戴在自己的头上，然后我把盒子盖上，点亮 灯后，你们要尽快说出自己头上戴的什么颜色的帽子。 ”说毕，就 照着做了。当灯亮之后，两个人都看见商人戴着一顶红帽子。过 了一瞬间，其中一个人说： “我戴的是黑色的帽子！ ”这个人猜对 了。想一想，它是怎样猜对的？ 想：应首先排除不可能的情况，然后一步步推出必然出现的 情况。 解：猜对的人是这样推想的：一共两顶红帽子，商人头上已 经戴了一顶红帽子，如果我戴的是红帽子，对方马上就能断定自 己戴的是黑帽子。 我们都不可能马上判断，显然对方和我戴的一样都是黑色帽子。 由于他抢先一步就猜对了。思维创新81十二、韩信点兵 有一个中队的少先队员排队去公园春游，如果每三人 排一行，最后一行少 1 人，如果每五人排一行，最后一行 少 2 人，如果每七人排成一行，最后一行少五人。到了公 园大门口， 老师给同学们购票进公园要数一数共有多少人 时，聪明的小明想了想就准确地说出了总人数，同学们你 们知道小明是怎样做到的吗？ 思维导航 其实小明使用的方法在我国由来已久，在我国古代算 术《孙子算经》中，记载了这样一道题： “今有物不知其 数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物 有几何？”这就是举世闻名的孙子定理，也称为中国剩余 定理。 这类问题的解法依据是： （1） 、如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不 变，那么余数也不变。 如：12÷5=2??2 （12+5×3）÷5=5??2 （2） 、如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那 么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。 如：14÷6=2??2 （14×2）÷6=4??4 有了上面这些依据，那么的孙子定理就有如下理解： 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个数。 在 5 和 7 的公倍数中找除以 3 余 2 的数是：35 在 5 和 3 的公倍数中找除以 7 余 2 的数是：30 在 3 和 7 的公倍数中找除以 5 余 3 的数是：63思维创新82所以符合除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，的条 件的数就有： 35+30+63=128 如果需要找到特殊的区间数，如找符合条件的最小 数，那就看看 128 中有没有 3、5、7 的最小公倍数。 【3、5、7】=105 所以符合条件的最小数是： 128-105=23 再如果找符合条件的在 500――600 之间的数那就给 23 加上若干个【3、5、7】=105。 注： 】就是某几个数的最小公倍数。 【 23+105×5=551 小明正是使用了这样的方法，每三人排一行，最后一 行少 1 人，如果每五人排一行，最后一行少 2 人，如果每 七人排成一行，最后一行少五人。其实就是指这些少先队 员的人数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2. 思维热身 1、有一筐鸡蛋，每次取出 5 只，最后剩 3 只；每次取出 6 只最后还少 2 只；每次取出 7 只，最后还剩 1 只。这筐鸡 蛋至少有多少个？ 提示： 题中的第二个条件 “； 每次取出 6 只最后还少 2 只” 要进行转换，看成每次取 6 只，最后剩 4 只。 ” 再按照上面的方法进行解答。思维创新832、在 1000 以内，除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大数是多少？ 提示：注意符合条件数的区间。3、在 1000 以内，除以 5 余 3，除以 7 余 6，除以 9 余 7 的数有多少个？ 提示：注意符合条件数的区间。4、一个学校六年级的学生总人数是一个三位数。如果将 六年级编成一个 8 列队伍，还剩 2 人；如果编成一个 7 列 队伍，还剩 1 人；如果编成一个 9 列队伍，还剩 3 人。求 这个学校六年级共有多少人？ 提示：注意符合条件数的区间。5、我国古代有一道“韩信点兵”的题：有卫兵若干，列 成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成 七行纵队末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求至少思维创新84有多少卫兵？ 提示： 这里出现四组条件， 处理方法基本相同： 从在 6、 7、 11 的公倍数中找除以 5 余 2 的数； 【6、7、11】=462 462÷5=92??2；所以要给 462×3÷5=627??1 其余思路相同，请同学们多考虑一下。 思维体操 1、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 5，求合适 条件的最小数。 2、有一箱橘子，每次取出 3 只，最后剩 1 只；每次取出 5 只，最后还剩 2 只，每次取出 7 只，最后还剩 3 只。这项 橘子至少有多少只？ 3、在 2000――5000 之间，除以 3 余 1，除以 5 余 3，除 以 7 余 4 的数有多少个？ 4、有兵一百多人，如果排成三列不多也不少，如果排成 五列则少 2 人； 如果排成七列则少 4 人， 一共有多少人 ？ 5、一些本子，七本七本数，余一本；八本八本数，余二 本；九本九本数，余四本。求这些本子一共有多少本？ 6、召开学生座谈会，每组 5 人则多 1 人，每组 6 人则多 2 人，每组 7 人还缺 4 人。求至少有多少名学生？ 思维导航：注意条件的转换“每组 7 人还缺 4 人” 。 7、水果箱内有苹果若干只，每次取 3 只，最后剩 1 只； 每次取 5 只或 8 只，最后都剩 4 只。水果箱中至少有多少 只苹果？ 8、把几十个苹果平均分成若干份，每份 9 个余 8 个；每 份 8 个余 7 个；每份 4 余 3 个。这堆苹果一共有多少个？ 9、有一堆棋子，三个三个地数，最后剩下二个；十三个思维创新85十三个地数，最后剩下三个；十九个十九地数，最后剩下 五个。这堆棋子至少有多少个？ 10、一位农夫提了一筐鸡蛋，七个七个数 3 个，八个八个 地数，余 2 个，九个九个地数余 4 个，那么这筐鸡蛋至少 有多少个？ 11、 六年级同学分组参加课外兴趣小组， 每组 5 人多 2 人， 每组 6 人多 1 人，每组 7 人少 2 人。参加兴趣小组的同学 至少有多少人？ 12、有一篮鸡蛋，两个两个取、三个三个取、四个四个取、 五个五个取，篮子里都剩下一个鸡蛋。那么这筐鸡蛋至少 有多少个？ 13、用一辆卡车运货，如果每次运 9 袋余 1 袋；每次运 8 袋余 3 袋；每次运 7 袋，余 2 袋；那么这批货物至少有多 少袋？ 14、今有物不知其数，九九数之、八八数之、七七数之、 六六数之??二二数之皆余一；问物至少几何？ 思维乐园 1、6 条直线最多能把一个长方形分成多少块？10 条呢？ 提示：本题采用画图归纳后在进行递推分析。先分别在长 方形上画出一条、两条、三条、四条直线进行观察分析：一二三思维创新86四 四 通过观察可以发现： 一条直线可以将长方形分成：2 块 二条直线可以将长方形分成：4 块 三条直线可以将长方形分成：7 块 四条直线可以将长方形分成：11 块 2、4、7、11?? 2=1+1 4=1+1+2 7=1+1+2+3 11=1+1+2+3+4 通过递推的方式可以知道六条直线可以分成的块数应该 是: 1+1+2+3+4+5+6=22(块) 答: 6 条直线最多能把一个长方形分成 22 块. 那么 10 条直线可以将长方形分成的块数请同学们自己分 析? 开心数学生活中的 8 在古代，我国许多事物，都被人们有意识地用上了“八” 。 风景点，要凑成八景。搞建设，离不开“八”字。比如，亭 子要修成八角形的 ，塔要修成八角形的??人才的聚分，要用上思维创新87“八” 。比如，神话中有八仙过海，唐代诗人中有酒中八仙??许 多成语，也都含有“八” 。比如八面玲珑、八面威风、…… “八” 字也被广泛应用，诸如诸葛亮的八阵图，拳术中的八卦掌，高级 菜肴中的八珍，?? 就是现在， “八”字仍然是我国人民最欢迎的一个数。无论是 电话号码，还是汽车牌号，人们都抢着要 8 的号码。二躺倒的 8 正好是数学中的“无穷大”符号。这要，丰硕，成熟，长寿，幸 运，美满，发财，就变成无穷大了。总之，在人们心中，8 是吉祥 的数，所以身价百倍，大受青睐。 其实，8 也同其它数字一样，既不会给人带来好运，也不会 给人带来厄运。人生要用每个人用双手去创造！思维创新88十三、合理理财 小刚家打算将 6 万元存入银行， 小刚自告奋勇地去银 行调查了一下三家银行的存款及利息情况并报告给了爸 爸和妈妈： （单位：元） 银行 甲 乙 丙 本金
50000 存期 3年 4年 5年 利息 00爸爸对小刚说： “我们把这 6 万元存 6 年，给你将来 上大学用，你认为存在哪家银行最好？”小刚地看了看自 己调查的结果说： “30000 元有 3000 元的利息，40000 元 有 4000 元的利息，50000 元有 5000 元的利息，那么我们 存 60000 元九应该有 6000 元的利息嘛！听到小刚的回答， ” 妈妈笑着说： “小刚你这么粗心怎么能行？”妈妈为什么 要说小刚粗心？小刚的想法对吗？你认为这 6 万元存入哪 家银行更合适，请大家一起来帮帮小刚一起来算一算。 思维导航 我们知道在不考虑利息税的情况下，利息=本金×利率 ×时间； 所以要计算利息必须要先算出不同银行的不同利 率。所以就可以得到利率=利息÷本金÷时间。因此这 6 万元存入哪家银行合适就要看哪家的年利率要高一些。 1 甲银行利率=÷3= 3 1 乙银行利率=÷4= 4思维创新891 5 1 1 1 通过计算可知， ＞ ＞ ，也就是说甲银行的利率 5 3 4 是最高的，那么将这 6 万元存入甲银行最合适。丙银行利率=÷5=思维热身 1、甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄大 20%，乙的年 龄比丙大 20%，甲的年龄比丙的年龄多百分之几？ 提示：对于一部分百分数应用题，解决方式与分数应用题 的方式是相同的。2、 商场以 1800 元的相同价格售出两台不同牌号的电视机， 其中一台盈利 20%，另一台亏损 20%。该商场是盈利还是 亏损？如果盈利，盈利多少元？如果亏损，亏损多少元？ 提示：一台的售价相当于成本价的（1+20%） ，另一台的售 价是成本的（1-20%） ，可分别求出两台电视机成本价分别 是多少，再与售价比较，看是盈利多还是亏损多，就可知 结果。思维创新903、 四吨葡萄在吐鲁番测得含水量 99%， 运抵北京后测得含 水量是 98%，问葡萄运抵南京后还剩几吨？ 提示：葡萄运抵北京后，失去部份水份，但葡萄干的重量 没有变，我们可抓住这个不变量来解答。4、 一件上衣售价 72 元， 每件可获利 20%， 商店要获利 25%， 售价应为多少元？ 提示：注意此类题目中成本、利润、利润率、售价、打折 等等词语的意思。解答利润要理解以下关系。 商品从厂家购进的价格称为成本（也叫进价） ，商家 在成本的基础上提高价格出售，这个售出价格叫定价，所 赚的钱称之为利润，利润与成本的比称之为利润率，利润 率通常用百分数来表示。 利润率＝（定价－成本）÷成本 定价＝成本×（1＋利润率）思维创新91利润＝卖价（定价）－成本（进价） 利润率＝（定价－进价）÷进价 其次，在商品的出售过程中可能会出现降价利润，减 价出售的情况，减价也称为“打折” ，减价 20%，就是按定 价的 1－20%＝80%出售，通常称之为“打八折” 。 5、某商品按定价的八折出售，仍能获得 20%的利润，定价 时期望的利润百分数是多少？6、某商品按定价的八折出售，仍能获得 20%的利润，定价 时期望的利润百分数是多少？7、某商店进了一批笔记本，按 30%的利润定价，当售出这 批笔记本的 80%后，为了尽早销完，商店把余下的笔记本 按定价的一半出售， 销完后商店实际获得利润百分数是多 少？ 提示：方法一：根据“按 30%的利润定价”可以知道定价 相当于成本的 1＋30%＝130%，卖出 80%后，卖得的价钱相 当于成本的 130%×80%＝104%，剩下的 20%按定价的一半思维创新92出售，卖得的价钱相当于成本的：20%×50%×130%＝13%， 卖完后共得：104%＋13%＝117%，因此实际获得利润的百 分率为 117%－1＝17%。 请同学们采用具体数值（特殊值法）带入的方法来再解答 一次。思维体操 1、1、甲比乙多 20%，乙比丙少 20%，甲相当于丙的百分 之几？ 2、某乡去年春季植树 450 棵，成活率为 80%，去年秋季植 树的成活率为 90%，已知去年春季比秋季多死 18 棵，问： 这个乡去年一共种活多少棵树？ 3、某厂计划全年完成 1600 万元，上半年完成了全年计划 1 的 60%，下半年比上半年多完成 ，这样全年可超过原计 8 划百分之几？ 4、乘火车从甲城到乙城，1998 年初需要 19.5 小时,1998 年为车第一次提速 30%、1999 年第二次提速 25%、2000 年 第三次提}