【转载】矩阵求导，矩阵计算 - leo_leo - 博客园
这几天由于用到矩阵求导相关的知识，主要是在用到OLS(ordinary-least-squares)的方法的时候，在对目标函数求一阶导数，其中有一个步骤是最矩阵求导，没有搞明白，于是在网上搜到了以下内容：
矩阵求导 属于 矩阵计算，应该查找 Matrix Calculus 的文献：
附带网上所下载矩阵，向量求导法则：&
在网上看到有人贴了如下求导公式：
Y = A * X --& DY/DX = A'Y = X * A --& DY/DX = AY = A' * X * B --& DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --& DY/DX = B * A'
于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：
1. 矩阵Y对标量x求导：
&&&相当于每个元素求导数后转置一下，注意M&N矩阵求导后变成N&M了
&&&Y = [y(ij)] --& dY/dx = [dy(ji)/dx]
2. 标量y对列向量X求导：
&&&注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N&1向量求导后还是N&1向量
&&&y&= f(x1,x2,..,xn) --& dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'
3. 行向量Y'对列向量X求导：
&&&注意1&M向量对N&1向量求导后是N&M矩阵。
&&&将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
&&&重要结论：
&&&dX'/dX = I
&&&d(AX)'/dX = A'
4. 列向量Y对行向量X&求导：
&&&转化为行向量Y&对列向量X的导数，然后转置。
&&&注意M&1向量对1&N向量求导结果为M&N矩阵。
&&&dY/dX' = (dY'/dX)'
5. 向量积对列向量X求导运算法则：
&&&注意与标量求导有点不同。
&&&d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
&&&d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'
&&&重要结论：
&&&d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A
&&&d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A
&&&d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X &&
6. 矩阵Y对列向量X求导：
&&&将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
&&&注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：
&&&d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)
&&&d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)
&&&重要结论：
&&&d(X'A)/dX = (dX'/dX)A&+ X'(dA/dX) = IA + X'0 = A
8. 标量y对矩阵X的导数：
&&&类似标量y对列向量X的导数，
&&&把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
&&&dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]
&&&重要结论：
&&&y = U'XV =&&S&Su(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'
&&&y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'
&&&y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'
9. 矩阵Y对矩阵X的导数：
&&&将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
10.乘积的导数
d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'
d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x&&&（注意：''是表示两次转置）
注： 以上内容转自： &.cn/s/blog_61cwu.html导数矩阵方程
首先采用MOM法将平面波照射下FSS的电场积分方程(EFIE)转化为关于感应电流的矩阵方程,并由该方程确定频率导数矩阵方程(MEFD);再在所考虑的频带内的某一给定频率处求解MEFD,得到给定频率处的频率导数感应电流;最后根据Pade逼近理论由给定频率处的频率导数感...
基于6个网页-
采用矩阵迭代法可以直接迭代计算特征向量导数，避免了对奇异灵敏度方程的求解。
Using matrix iteration methods, the eigenvector derivatives can be iterated directly, solving the singular sensitivity equation can be avoided.
它保留了三对角矩阵方程便于求解的特性，并能得到满意的插值、一阶和二阶偏导数。
It retains the feature of convenient solution to the tri-diagonal matrix equation and can be obtain satisfactory interpolation values, the first and second partial derivatives.
$firstVoiceSent
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今天推导公式，发现居然有对矩阵的求导，狂汗--完全不会。不过还好网上有人总结了。吼吼，赶紧搬过来收藏备份。
基本公式：
Y = A * X --& DY/DX = A'
Y = X * A --& DY/DX = A
Y = A' * X * B --& DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --& DY/DX = B * A'
1. 矩阵Y对标量x求导：
相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了
Y = [y(ij)] --& dY/dx = [dy(ji)/dx]
2. 标量y对列向量X求导：
注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量
y = f(x1,x2,..,xn) --& dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'
3. 行向量Y'对列向量X求导：
注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：
dX'/dX = I
d(AX)'/dX = A'
4. 列向量Y对行向量X’求导：
转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'
5. 向量积对列向量X求导运算法则：
注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'
重要结论：
d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A
d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A
d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X
6. 矩阵Y对列向量X求导：
将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：
d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)
d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)
重要结论：
d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A
8. 标量y对矩阵X的导数：
类似标量y对列向量X的导数，
把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]
重要结论：
y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'
y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'
y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'
9. 矩阵Y对矩阵X的导数：
将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
10.乘积的导数
d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'
d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x&&&（注意：''是表示两次转置）
比较详细点的如下：
http://lzh21cen./blog/static//
/wangwen926/blog/item/eb189bf6b0fb702b720eec94.html
其他参考：
NotationDerivatives of Linear ProductsDerivatives of Quadratic Products
d/dx&(y)&is a vector whose&(i)&element is&dy(i)/dxd/dx&(y) is a vector whose&(i)&element is&dy/dx(i)d/dx&(yT) is a matrix whose&(i,j)&element is&dy(j)/dx(i)d/dx&(Y) is a matrix whose&(i,j)&element is&dy(i,j)/dxd/dX&(y) is a matrix whose&(i,j)&element is&dy/dx(i,j)
Note that the Hermitian transpose is not used because complex conjugates are not analytic.
In the expressions below matrices and vectors&A,&B,&C&do not depend on&X.
Derivatives of Linear Products
d/dx&(AYB)&=A&*&d/dx&(Y) *&B
d/dx&(Ay)&=A&*&d/dx&(y)
d/dx&(xTA)&=A
d/dx&(xT)&=Id/dx&(xTa)&= d/dx&(aTx)
d/dX&(aTXb) =&abT
d/dX&(aTXa) =&d/dX&(aTXTa)
d/dX&(aTXTb)
=&baTd/dx&(YZ)&=Y&*&d/dx&(Z) +&d/dx&(Y)&*
Derivatives of Quadratic Products
d/dx&(Ax+b)TC(Dx+e)
=&ATC(Dx+e)&+&DTCT(Ax+b)
d/dx&(xTCx) = (C+CT)x
[C: symmetric]:&d/dx&(xTCx)
= 2Cxd/dx&(xTx) = 2x
d/dx&(Ax+b)T&(Dx+e)
=&AT&(Dx+e)&+&DT&(Ax+b)
d/dx&(Ax+b)T&(Ax+b)
= 2AT&(Ax+b)
[C: symmetric]:&d/dx&(Ax+b)TC(Ax+b)
= 2ATC(Ax+b)
d/dX&(aTXTXb)
=&X(abT&+ baT)
d/dX&(aTXTXa)
d/dX&(aTXTCXb)
=&CTXabT&+ CXbaT
d/dX&(aTXTCXa)
=&(C + CT)XaaT[C:Symmetric]&d/dX&(aTXTCXa)
d/dX&((Xa+b)TC(Xa+b)) = (C+CT)(Xa+b)aT
Derivatives of Cubic Products
d/dx&(xTAxxT) = (A+AT)xxT+xTAxI
Derivatives of Inverses
d/dx&(Y-1) =&-Y-1d/dx&(Y)Y-1
Derivative of Trace
Note: matrix dimensions must result in an&n*n&argument for tr().
d/dX&(tr(X)) =&Id/dX&(tr(Xk)) =k(Xk-1)Td/dX&(tr(AXk)) =&SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)Td/dX&(tr(AX-1B)) =&-(X-1BAX-1)T
d/dX&(tr(AX-1)) =d/dX&(tr(X-1A))
=&-X-TATX-T
d/dX&(tr(ATXBT))
=&d/dX&(tr(BXTA)) =&AB
d/dX&(tr(XAT)) =&d/dX&(tr(ATX))
=d/dX&(tr(XTA)) =&d/dX&(tr(AXT))&= A
d/dX&(tr(AXBXT)) =&ATXBT&+&AXB
d/dX&(tr(XAXT)) =&X(A+AT)d/dX&(tr(XTAX)) =&XT(A+AT)d/dX&(tr(AXTX)) =&(A+AT)X
d/dX&(tr(AXBX)) =&ATXTBT&+&BTXTAT[C:symmetric]&d/dX&(tr((XTCX)-1A)
=&d/dX&(tr(A (XTCX)-1) =&-(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1[B,C:symmetric]&d/dX&(tr((XTCX)-1(XTBX))
=&d/dX&(tr( (XTBX)(XTCX)-1) =&-2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1&+
2BX(XTCX)-1
Derivative of Determinant
Note: matrix dimensions must result in an&n*n&argument for det().
d/dX&(det(X)) =&d/dX&(det(XT))
= det(X)*X-T
d/dX&(det(AXB)) = det(AXB)*X-Td/dX&(ln(det(AXB))) =&X-T
d/dX&(det(Xk)) =&k*det(Xk)*X-T
d/dX&(ln(det(Xk))) =&kX-T
[Real]&d/dX&(det(XTCX))
= det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1
[C:&Real,Symmetric]&d/dX&(det(XTCX))
= 2det(XTCX)* CX(XTCX)-1
[C:&Real,Symmetricc]&d/dX&(ln(det(XTCX)))
= 2CX(XTCX)-1
If&y&is a function of&x, then&dyT/dx&is the Jacobian matrix of&y&with
respect to&x.
Its determinant, |dyT/dx|, is the&Jacobian&of&y&with respect to&x&and represents
the ratio of the hyper-volumes&dy&and&dx. The Jacobian occurs when changing variables in an integration: Integral(f(y)dy)=Integral(f(y(x))
|dyT/dx| dx).
Hessian matrix
If f is a function of&x&then the symmetric matrix d2f/dx2&=&d/dxT(df/dx)
is the&Hessian&matrix of f(x). A value of&x&for which df/dx&=&0&corresponds to a minimum, maximum or saddle point according to whether the Hessian
is positive definite, negative definite or indefinite.
d2/dx2&(aTx) = 0d2/dx2&(Ax+b)TC(Dx+e)
=&ATCD&+&DTCTA
d2/dx2&(xTCx) =&C+CT
d2/dx2&(xTx) = 2I
d2/dx2&(Ax+b)T&(Dx+e)
=&ATD&+&DTA
d2/dx2&(Ax+b)T&(Ax+b)
[C: symmetric]:&d2/dx2&(Ax+b)TC(Ax+b)
http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html
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