【图文】第2节 收敛数列的性质_百度文库
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第2节 收敛数列的性质
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2.2收敛数列的性质
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Studies in College Mathematics
convergent sequence
convergent series
convergent sequence of numbers
boundedness of a convergent sequence
更多收起网络短语
定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一。
Theorem 1 (Uniqueness of Limit) If the sequence is convergent, then its limit is unique.
对一个数列的奇子列和偶子列收敛且极限相等则原数列收敛的性质做了推广。
The property of the convergent sequence about even subsequence and odd subsequence is generalized.
主要把数列收敛的一些性质引进到随机变量依概率收敛中来，并加以证明。
The property in convergence of sequence of number was imported to convergence in probability and proved it in this paper.
$firstVoiceSent
- 来自原声例句
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收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分和两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
收敛级数预备知识
收敛级数数项级数的定义
给定一个数列
，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 “
” 称为，或称为，也可以简称为级数，其中
称为数项级数的通项。
上述数项级数常写作：
，或者简单记作
收敛级数数项级数的前n项和
数项级数的前 n 项和记作
收敛级数部分和数列
为数项级数
的部分和数列。[1]
收敛级数定义
若数项级数
的部分和数列
），则称数项级数
为收敛级数，且称
为数项级数
的和，记作
收敛级数分和两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立，收敛级数概念是柯西于1821年引进的。
收敛级数基本性质
收敛级数性质1
设 k 为常数，如果级数
也收敛，且收敛于
证明：设级数
的部分和分别为
，这就表明级数
也收敛，且收敛于
注：由关系式
可知，如果数列
没有极限且
也没有极限。由此我们得到结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变。[2]
收敛级数性质2
分别收敛于
也收敛，且收敛到
证明：设级数
的部分和分别为
的部分和为
，这就表明了级数
收敛，且收敛于
注意：性质2说明，两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数。[2]
收敛级数性质3
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
证明：我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。
以去掉k项为例，设级数为
去掉前 k 项，得到新的级数
记原级数前 k+n 项的和为
，前 k 项和为
，去掉前 k 项得到的新级数的前 n 项和为
同时有极限，或者同时没有极限，
同时收敛或同时发散。
类似的，可以证明在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性。[2]
收敛级数性质4
收敛，则对此级数的项任意加括号后所得的级数
仍然收敛，且其和不变。
证明：设级数
的前 n 项部分和
，加括号后所成的级数的前 k 项的和为
可见，数列
的一个子数列。由数列
的收敛性以及收敛子列与其子列的关系可知：数列
必定收敛，且有
。这说明了加括号后所成的级数收敛，且其和不变。
注意：如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。[2]
收敛级数性质5
如果级数收敛，则必有
收敛级数常用级数收敛性
收敛级数等比级数（几何级数）
等比级数 ：
收敛，且收敛于
收敛级数p级数
（1）当 p&1 时，
（2）当 p ≤1时，
华东师范大学数学系编．数学分析 下册（第三版）．北京：高等教育出版社，2011：1-6
北京邮电大学世纪学院数理教研室编．高等数学 下第2版．北京：北京邮电大学出版社，2015：198-200
陈启浩编著 ．2016考研数学（一）典型题660 ．北京：机械工业出版社，2015：251-251
陈启浩编著 ．2016考研数学（三）典型题660 ．北京：机械工业出版社，2015：176-176
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