高等数学中求极限几种常见方法_中华文本库
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第 13 卷第 6 期 2005 年 1 2 月
呼伦贝尔学院学报 Journal of Hulunbeir College
No. 6 　　　　 Vol. 13 Published in December. 2005
高等数学中求极限几种常见方法
( 呼伦贝尔学院数学系 　 内蒙古 　 海拉尔区 　 021008)
摘　 要 : 极限概念在高数的基本概念中占有重要地位 ,高数中比较重要而又常见的计算便 是求解极限 。本文把授课中常见的求极限方法加以归纳 ,目的使学生学习极限知识时提高学 习效率 。 关键词 : 极限 ; 概念 ; 方法 中图分类号 : O171 　 文献标识码 : A 　 文章编号 : 1009 - 4601 ( 2005) 06 - 0102 - 03 　　1 、 据极限定义求极限 例题 :求证 lim q = 0 , ( 其中 | q | & 1)
界。 2 ) 证明{ x n } 单调增加 。 因为 x n +1 - x n =
x n ( 3 - x n)
证明 : 已知 | q | & 1 , 则存在 a & 0 , 使 | q | =
a +1 , 对任意 ε & 0 , 根据二项式定理 : 放大 、 再解
3 x n2 x n =
3 x n - x 2n 3 xn + xn
| q - 0 | =| q | =
Ε 0 , ( x n Φ 3) , 所以{ x n } 单调 , 所以存
n? ∞ n? ∞
在极限 , 设 lim x n = a = lim x n +1 , 因为 x n +1 = Φ
1 1 + na +
n ( n - 1) 2 n a + …+ a 2!
3 x n , 所以 a =
3 a , a = 0 ( 舍去) 或 a = 3 , 3 3… 3 = 3
所以 　 lim
1 1 得 n Ε ε, 取 N = [ ε] , 对任意ε & 0 , 总存在自 a a 1 然数 N = [ ε] , 当 n Ε N 时 , a 有 | q n - 0 | Φ ε, 即 lim q n = 0 .
3、 用乘子法求极限
例题 : 设 | x | & 1 , 求 lim ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) …( 1 + x 2 n )
解 :因为 ( 1 2x ) ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) …( 1 + x 2 n ) =
1 2x 2 n +1 当 | x | & 1 时 , 原式 = lim
用定义求极限虽说是最基本的求极限的方法 , 但由于证明比较烦琐 , 故一般不采取这种方法 。 高 数中许多定理 、 法则给我们提供了很多简单的求极 限的方法 。
2、 利用单调有界公理求极限
1 - x 2 n +1 = ∞ 1 - x
4、 用有理化分子 、 分母求极限
例题 : 求 lim (
x + x +1 -
x - x + 1) x - x + 1)
例题 　求 lim
3… 3 3 , x2 = 3 xn 3? 3 Φ 3 , 所以{ x n } 有上 3 3 , ……, x n =
解 :原式 = lim
( x + x +1 2
证明 : 设 x 1 =
3 3 … 3 有 xn =
1 ) 证明{ x n } 有界 , 显然 x 1 = 3 Φ 3 , 设 x n Φ 3 , 则 x n +1 = 3 xn Φ
5、 利用夹逼定理求极限
收稿日期 :2005 - 05 - 11 作者简介 : 林新和 ( 1964 - ) ,男 ,呼伦贝尔学院数学系讲师 ,从事基础数学教育教学研究 。
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　　定理 :若存在自然数 N , 当 n & N 时 , 总有 a n
& b n & c n , 且 lim a n = lim c n = l , 则有 lim b n = l
n? ∞ n? ∞ n? ∞ x? +∞
解 : lim x x = lim e x
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寻找更多 ""导读：我们定义x趋于??时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数f?x?在区间(??,a]上有定义，则称f?x?当x???时极限存在并以A为极限，x定义2设函数f?x?当x充分大时有定义，对应的函数值f?x?都满足不等式，常数A就称为函数f?x?当x??时的极限，x?1二、x?x0时函数的极限，对一般函数而言，函数值的变化趋势问题，函数值f?x?的变化趋势问题.它与x??时函数的极限类似，定义3设函图1-30 类似于定义1，我们定义x趋于??时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数f?x?在区间(??,a]上有定义，如果存在常数A，?ε?0，?X?0，使得当x??X时，总有 f?x??A?ε，
则称f?x?当x???时极限存在并以A为极限，记作 x???limf(x)?A 或f(x)?A (x???). 例1
证明limcosx?0. x???x证
cosxx?0?coxs?xx，故?ε＞0， 11x1?ε，即x?2. 要使
cos?0?ε，只要xxε因此，?ε?0，可取X?12， εx则当x?X时，
cos?0?ε， xcosx?. 0故
limx???x例2
证明 lim10x?0. x???证
?ε?0，要使10x?0?10x?ε，只要x即有10x?0<ε，故由定义1得 x????lgε.因此可取X?|lgε|?1，当x??X时，lim10?0. x定义2
设函数f?x?当x充分大时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值f?x?都满足不等式 f(x)?A?ε， 那么，常数A就称为函数f?x?当x??时的极限，记作 limf(x)?A 或
f(x)?A (x??). x??由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理. (?)A的充要条件是limfx(?)定理1
limfxx???x???x???lifmx?(A) 例3
证明limx?2?1. x??x?1证
?ε?0，要使x?2?1?x?13x?1只需x?1>?ε，3，而x?1?x?1，故只需x?1>3，εε即x>1?3. εεx?1x??3x?2因此，?ε?0，可取X?1?，则当x>X时，有x?2?1?ε，故由定义2得lim?1. x?1二、x?x0时函数的极限 对一般函数而言，除了考察自变量x的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可研究x无限接近x0时，函数值f?x?的变化趋势问题.它与x??时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0时f?x?的情形作出确切的描述即可. 定义3 设函数f?x?在点x0的某个去心邻域内有定义，A为常数，若对于任意给定的正数，总存在正数δε（无论它多么小）都满足 f(x)?A?ε，使得当x满足不等式0?x?x0?δ时，对应的函数值f?x?， 则称函数f?x?当x?x0时的极限存在并以A为极限，记作 x?x0limf(x)?A，或f?x??A（x?x0时）. 上述定义称为x?x0时函数极限的分析定义或x?x0时函数极限的“ε?δ”定义.研究f?x?当我们关心的是x无限趋近x0时f?x?的变化趋势，而不关心f?x?在x?x0处x?x0的极限时，有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说f?x?在x?x0处有无极限与函数在该点有没有定义无关. 函数f?x?当x?x0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y?A?ε和y?A?ε，介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的ε，存在着点x0的一个δ邻域(x0?δ，x0?δ)，当y?fx??的图形上的点的横坐标x在邻域(x0?δ，x0?δ)内，但x?x0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式 f(x)?A?ε，或A?ε?f(x)?A?ε. 亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1-31所示. 图1-31 例4
证明limx?1 x?1?2. x?12证
函数f(x)?x?1在x?1处无定义. x?1x?1?2?｜x?1｜＜ε成立. ?ε?0，要找δ?0，使0?x?1<δ时，x?1x?1?2?ε成立， 因此，?ε?0，据上可取δ?ε，则当0?x?1<δ时，x?1222由定义1得limx?1?2. x?1x?1例5
证明limsinx?sinx0. x?x02cosx?1，所以 证
因为x0?0时，由于sinx?x，|sinx?sinx0|?2cosx?x02sinx?x02?x?x0
因此，?ε?0，取δ?ε，则当0?x?x0?δ时，|sinx?sinx0|?ε成立，由定义3得x?x0limsinx?sinx0. 在考察函数f?x?当x?x0的极限时，应注意x趋于点x0的方式是任意的，动点x在x轴上既可以从x0的左侧趋于x0，也可以从x0的右侧趋于x0，甚至可以跳跃式地时左时右地从左右两侧趋于x0.但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑x从点x0的一侧(x?x0或x?x0)趋于x0，这时函数的极限，即所谓的单侧极限. 定义4
设函数y?f?x?在x0的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在着正数δ，使得当x满足不等式0?x?x0?δ (0?x0?x?δ)时，对应的函数值f?x?都满足不等式 f(x)?A?ε 则称A为f?x?当x?x0时的右(左)极限，记作 x?x0lim?f(x)?A?
?limfx(?)A ???x?x0??或 ??f(x0)?A
?f(x0)?A?. ??左极限与右极限统称为单侧极限. 由定义3和定义4可得下面的结论. 定理2
limf(x)?a的充要条件是limf(x)?limf(x)?a. x?x0x?x0?x?x0?由此可以看出，如果f(x0?)、f(x0?)中至少有一个不存在，或者它们虽然都存在，但不相等时就可以断言函数在x0处的极限不存在.这一方法常常用来讨论分段函数在分界点的极限不存在问题. 例6
设 ?cosx,f(x)???1?xx?0,x?0, 试讨论limf(x). x?0解
x?0是此分段函数的分段点，仿照例5的方法可得 x?0lim?f(x)?lim?cosx?cos0?1， x?0?而
limf(x)?lim(1?x)?1. x?0x?0?故由定理3可得limf(x)?1. x?0例7
设 ?x,f(x)???1x?0,x?0, 试讨论limf(x). x?0解
limf(x)?limx?0， x?0?x?0?x?0lim?f(x)?lim?1?1， x?0所以limf(x)?limf(x)，故limf(x)不存在. x?0?x?0?x?0x??e?1,x?0,例 8 设 f(x)?? x?b,x?0.??问b取何值时，可使极限limf(x)存在？ x?0解
由于 x?0lim?f(x)?lim?(e?1)?2x?0x， x?0lim?f(x)?lim?(x?b)?b， x?0x?0?由定理2可知，要使limf(x)存在，必须limf(x)?limf(x)，因此b?2. x?0x?0?三、函数极限的性质 与数列极限性质类似，函数极限也具有下述性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，有兴趣的读者可自行完成各定理的证明.此外，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立. 定理3
若limf(x)存在，则必惟一. 定理4
(函数的局部有界性)如果limf(x)?A，那么存在常数M?0和δ?0，使得当x?x00?x?x0?δ时，有 f(x)?Mx?x0. 证
因为limf(x)?A，根据函数极限的“ε?δ”定义，取ε?1，则?δ?0，当0?x?x0?δ时，有 f(x)?A?1， ， 而 f(x)?f(x)?A?A?f(x)?A?A?A?1记M?A?1，故 f(x)?M.
类似可证：如果limf(x)?A，那么存在正常数M和X，使得当x?X时，有 x??f(x)?M. 对于单侧极限也有类似的结论.另外，我们必须注意，该定理的逆命题是不成立的.例如sinx为有界函数，但limsinx不存在. x??定理5
若limfx(?)A，且A?0（或A?0），则存在δ?0，使得对一切满足不等式x?x00?x?x0?δ的x，有 f?x??0
[或f?x??0]. 若limf(x)?A，且A?0(或A?0)，则?X?0，使得对一切满足不等式xx???X的x，有f?x??0［或f?x??0］. 推论
若f?x??0[或f?x??0]，且limf?x??A，则A?0?A?0?. 第四节
无穷大量与无穷小量 有两种极限是数学理论研究和处理实际问题时经常遇到的，这就是本节要介绍的无穷大量和无穷小量的概念，尤其是无穷小量的概念非常有用. 一、无穷大量 在函数极限不存在的各种情形下，有一种较为特别的情形，即当x?x0或x??时， f(x)无限增大的情形. 例如，函数f(x)?1，当x?1时， f(x)?1无限增大这就是1?x1?x我们要介绍的无穷大量. 定义1
设函数f?x?在x0的某一去心邻域内（或x大于某一正数时）有定义，如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x满足不等式0?x?x0?δ(或x?X)，对应的函数值f?x?总满足不等式 f(x)?M 则称函数f?x?为当x?x0（或x??）时的无穷大量.有时简称为无穷大.若用f(x)?M代替上述定义中的f(x)?M，则得到正无穷大量的定义；若用f(x)??M代替f(x)?M，则得到负无穷大量的定义. 分别将某极限过程中的无穷大量、正无穷大量、负无穷大量记作： limf(x)??,limf(x)???,limf(x)???. 例1
limx?112(x?1)?12???，即x?1时， ???1(x?1)2是正无穷大量； 是负无穷大量； x??1lim(x?1)，即x??1时， ?1(x?1)π22x?0lim?lnx???,πx?2lim?tanx???,lim?tanx???. x?应该注意，称一个函数为无穷大量时，必须明确地指出自变量的变化趋势.对于一个函数，π一般来说，自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同.例如函数y?tanx，当x?时，它是一2个无穷大量，而当x?0时，它趋于零. 包含总结汇报、党团工作、外语学习、旅游景点、人文社科、行业论文、IT计算机、考试资料、出国留学以及大一高数第一章
函数、极限与连续等内容。本文共10页
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课程负责人
李 雨 生 简 介（2012年）
李雨生, 同济大学数学系教授，博士生导师, 上海市学位委员会学科评议组成员,上海市数学会常务理事,中国数学会组合和图论专业学会常务理事. 1996年6月年获美国 Memphis大学博士学位 1982年1月安徽师范大学学士, 1986年6月华中科技大学硕士. 先后任教于安徽师范大学, 河海大学和同济大学. 经常工作访问外校.
1999年获水利部优秀教师称号;
2002年国家自然科学基金项目完成后被评为优秀项目6个数学之一;
2003年获教育部科技二等奖;
2012年上海市研究生优秀博士学位论文指导教师;
2014年获上海育才奖；
2014年获宝钢优秀...&
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