曲面积分在工程实际中的应用
曲面积分在工程实际中的应用说几个具体的例子~比如计算给一个曲面屋顶涂涂料所需用量
现在举例如下：1.水利行业经常要进行流量计算,这样就会遇到曲面拟合和曲面积分的问题.将曲线的样条函数插值和高斯配点法扩展到曲面上来解决这一问题,并对泵站流量、效率、明渠和管道流量进行了计算.结果表明,该计算方法能够满足流量计算等工程实际的需要.2.转换曲面积分在光的反射问题中的成功应用,以物理中光的反射问题为例,说明在遇到第二型曲面积分时,可巧妙转化为第一型曲面积分,避免将曲面投影到三个坐标面上,再化为三个二重积分的繁琐的计算过程.上述方法对同类的其它问题普遍适应.在遇到第二型曲面积分彗尸dyd·十QdZd二十RdXd一寸,如果直接计算,需要将曲面艺投影在三个坐标面上,再转化成.二重积分来计算,由于曲面习在坐标系中的位置不同,它在三个坐标面上的投影有的直观,易求,而有的比较抽象,难算.所以我们在计算第二型积分时能不能想个办法避开曲面习3.曲面积分在数学建模上的应用研究（On the Application of Integral Surface in Mathematiocal Modeling）.结合数学建模的教学实践经验,对数学建模的思维方法及曲面积分在数学建模上的应用作了整体探讨,从而建立了大气污染模型.两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影； 设dS是积分曲面∑上的面积元素.设∑的方程为z=(x,y),∑在xOy平面上的投影区域D是有界闭区域,z=(x,y)在D上具有连续的偏导数,于是：dS/(dxdy)=1/cosθ,θ是面积元素dS和坐标平面的夹角； 积分曲面∑上任意一点的法向量为（〥z/〥x,〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏导数,〥z/〥x表示z对x偏导数,是整体符号,下同）,xOy平面的法向量取（0,0,1）； 于是1/cosθ=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]； 所以dS=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy,∑上的点为（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)dS存在,且在积分曲面∑上的曲面积分有：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)*√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy 这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了.而对于∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分,积分曲面可能需要同时向三个坐标平面 xOy,xOz,yOz投影,投影的方式和上面的方法一样.实际上如果面积元素dS与三个坐标平面的夹角分别为α,β,γ,则有dxdy=cosαdS;dxdz=cosβdS,dydz=cosγdS; 而α,β,γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的,所以可以写成：∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=∫∫[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosγ+R(x,y,z)cosβ]dS 在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性,即夹角的大小,在夹角大于π/2的时候,其余弦值是负的.
与《曲面积分在工程实际中的应用》相关的作业问题
我也是考数二的,所以把我知道的跟你讲讲,高数上册全看看,下册不用看标题带星号的,另外不用看曲线积分和曲面积分,无穷级数这章也不看,完了,祝你好运哦.
第一步先看 积分区域如果积分区域有对称性,那就取它们共同对称的交集z = √(x² + y²),关于 x轴 和 y轴 都是对称的而x² + y² = 2ax ==& (x - a)² + y² = a²,只是关于 x轴 对称于是可用它们共同的对
那个二重积分,就是I在∑2上的积分.因为∑2上满足,z=1,所以dz=0把z=1和dz=0带入所以I在∑2上的积分为,∫∫∑2=∫∫dxdy=π这就是那个二重积分,其实是曲面积分中dydz一项为0得到的. 再问： 为什么要减去二重积分 再答： 先补上了一个面∑1，形成了封闭体，然后用高斯定理求出封闭曲面上的积分。再减去
就是x换成y,y换成z,z换成x这样类似的循环交换对原来式子结果不会产生影响. 再问： 为什么变换不会产生影响？什么情况下使用？~ 再答： 轮换对称主要在x、y、z高度对称时候用到：就比如说当x+y=1时候，x，y就是等价的，则计算（x+1/2y）时候，是和y+1/2x相等的。例子主要是为了说明这样的替换表面的意思，实
这个答案不是0,因为这是第二类曲面积分,第二类曲面积分的曲面是有向曲面,因此对称性与无向曲面不同,建议第二类曲面（包括第二类曲线）积分不要使用对称性.如果改为dS,结果就是0了,因为这样变成第一类曲面积分了,第一类曲面积分是无向曲面,有对称性.
这时我有一次回答别人的问题,建议你看看,中心意思就是第二型的不建议用对称性,化为第一类的才能用对称性.第二型曲面曲线积分都不要随便用对称性,因为积分的定义是与方向有关的,积分值不是简单的Riemann和的极限,写成上面的记号只是为了方便记忆,不是说这是真的积分.它的计算是有另外的计算公式,即使积分区域对称,被积函数是奇
应当是可以的,但是要看好是哪些积分变量……投影区域可以这样确定,就是向坐标面引垂线,看垂线所包含的区域,但是要注意是不是有曲面向坐标面投影时出现叠加现象,就是曲面发生了重合,指曲面的两个部分都能投影在相同的区域,要是有的话,就将曲面分成不同部分,考虑每一部分,然后叠加在一起……
这里的计算别有意义,积分域关于x轴对称用奇偶性固然没错的,若要是原本的方法,还是会出现一个|sinθ|,一样要分区间来求
其实这个题目很简单的,关键在于楼主被各种符号弄晕了.下面用u'n代表u在L法向量上的偏导数.1设L的单位切向量为s0,单位法向量为n0下面的ds设个标量,s0和n0都是向量那么s0ds=dxi+dyj且(n0ds)*(s0ds)=(ds)^2*(s0*n0)=0且|n0ds|=|s0ds|=ds所以n0ds= dyi-
当然要加.但是有二种情况是要求出具体的C的:1.题目中给出自变量的函数值或导数值等,这种情况很明显一眼就能看出来是需要求出C的.2,还有一情况就是没有明显给出自变量的函数值,但是在题目中有隐性的条件可以求出C.
方法一：先将曲面投影到坐标面,然后将曲面积分化为在该投影区域上的二重积分.方法二：也可考虑用高斯公式（注意该公式的三个条件是否满足）,转化为较简单的三重积分再求解.
一般曲面积分不是对一个曲面积分上的元素积分的吗 一般写出dS 而二重积分是dxdy 相当于把曲面投影到xOy平面上算积分 两个可以转化的
就是说规定在这个曲面上积分,类比第一类曲线积分在某条曲线上的积分,或者可以借助其物理意义理解,其物理意义是以f(x,y,z)为面密度的非均匀有质曲面（就是指这个空间曲面）的质量 再问： 有对应的图吗再问： 这个曲面能理解为积分的范围吗 再答： 就是这个意思！！再问： 有对应的图吗？ 再答： 我找找再问： 物理意义说是以
结果是-14/15 ,伙计,你对y轴积分的时候肯定积分错误了.我们来看,前半部∫L (x^2-2xy)dx=2/3 ,后半部分你肯定积分错误了.你是不是将y=x^2代入了∫(y²-2xy)dy中变为了∫(x^4-2x^3)2xdx 你这样代入进去后又变了对x的积分了,不是对y的积分.当然这样也行,而且更简单
第二类曲面积分可以通过高斯公式化成三重积分来做的,但是这个要注意高斯公式应用条件,要封闭空间,有时给出的不是封闭空间的,需要添加辅助面,构成封闭空间,还要注意正方向,高斯公式规定是外法线方向为正的……添加辅助面后要把辅助面的曲面积分除去……但是要注意,曲面积分如果只有一个曲面,那么可以将曲面方程直接带入被积函数,因为被
只要不是第二型的积分,奇偶性,对称性都可以用,而且一般要优先考虑有没有奇偶性.首先要判断定义域是否对称,这是先决条件.然后看看被积函数是否是奇函数或偶函数.比如第一型曲面积分,如果积分曲面关于xy平面是对称的,被积函数关于xy平面是奇函数,也就是f(x,y,-z)=－f(x,y,z),则积分值必是0.其余类似. 再问：
只有一型曲线积分和曲面积分才能求曲面面积二重积分也能求曲面面积么?哪里听来的?
两条积分号下有个S,这种情况下这个积分通常是曲面积分,这个S是指积分的曲面,题目中会有其具体表达式；两条积分号下有个Dxy,这个积分应该是二重积分,Dxy表示自变量(x,y)的变化范围,是一个xOy面上的平面区域.
利用两种曲面积分的关系,第一步,先都转化成对dxdy的曲面积分：原式=∫∫（f+x）cosαdS+（2f+y）cosβdS+（f+z）dxdy=∫∫（f+x）cosα/cosγ*dxdy+（2f+y）cosβ/cosγ*dxdy+（f+z）dxdy★因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧,所以可以求出cosα= 上传我的文档
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高等数学（少学时）（第二版） 第6章 二重积分 第６章教案 （本章节完整）
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第19卷第5期
高等函授学报(自然科学版)
V01．19No．5
2006年10月
Education(NaturalSciences)
HigherCorrespondence
文章编号：(46(16l一03
巧用二重积分求解定积分之例说。
(宿迁学院 教师教育系，江苏
摘要：将高维数转化为低维数问题进行研究是数学解题教学中常见的策略之一，本文通过范
例说明如何将高雏定积分转化为二重积分求解，为定积分提供了一个计算技巧，同时也丰富了高
等数学中低维数与高维数互化的数学思想方法。
关键词：高维数；低雏数；二重积分；定积分‘
中图分类号：017
文献标识码：A
众所周知，计算二重积分的一般原则是将二
—LIn1+Yj；一In2．
重积分化为二次积分(或累次积分)加以计算，至
例1的一般形式：计算r1#如(这
于两个单积分关于自变量有不同次序等问题，可
能影响到计算的繁与简，以及积分区域的多样性
里b&口&0)(第四届北京市大学生(非数学专
而导致转化困难或计算困难甚至无法计算等情形
业)数学竞赛第一题)(答案：1n}拦)．
时，二重积分总可以通过变量替换(如极坐标变
换)等技巧简化计算最终使问题获解。对于某些
例2试证：J_01紫如=要oJ 1十．Z。 ln2．
结构特殊的被积函数的定积分很难通过常规方法
加以计算时，是否可以将低维数转化为高维数的
特殊办法，进一步将定积分转化为二重积分运算
=ln(1+z)，
呢?这里通过五个例子介绍巧用二重积分求解定
将f掣如转化为
积分的方法。
例1计算I掣dx．
盯南·南蛐一M南·南曲
Xy如d了(这里。
：这里D：[o，1]×[o，1])，为方便计，令j：
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f掣dz，交换积分次序得
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通过交换积分次序可得，
对于j。可了j巧南dx可以利用不定积
驴出曲=眦∥曲卜=』：[未卜分中的待定系数法进一步将被积函数(含参量3『)
一．f：南dy
万_—六缶1—弋分解为
(1+z2)(1+xy)川肘月
*收稿日期：
作者简介：吴耀强(1973一)，男，江苏宿迁人，宿迁学院讲师．硕士，从事数学教学研究
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V01．19No．5
2006年lo月
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一元积分和二重积分的几何意义有什么区别?不都可以求区域面积,
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一元积分表示的是积分上下限与曲线围成的平面图形的面积 但是二元积分则是面与曲面围成的几何体的体积
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