分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的相关信息与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.
例1 化简分式:
分析 直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多.
分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的相关信息与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.
例1 化简分式:
分析 直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多.
=[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]
说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.
例2 求分式
当a=2时的值.
分析与解 先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b),
可将分式分步通分,每一步只通分左边两项.
例3 若abc=1,求
分析 本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂.下面介绍几种简单的解法.
解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零.
解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0.
例4 化简分式:
分析与解 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简.
互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫"拆项相消"法,它是分式化简中常用的技巧.
例5 化简计算(式中a,b,c两两不相等):
似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.
解
说明 本例也是采取"拆项相消"法,所不同的是利用
例6 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求
分析 本题字母多,分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a,y-a,z-a有关,为简化计算,可用换元法求解.
解 令x-a=u,y-a=v,z-a=w,则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.
由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,从而有
说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化.
例7 化简分式:
适当变形,化简分式后再计算求值.
(x-4)2=3,即x2-8x+13=0.
原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
=10,
原式分母=(x2-8x+13)+2=2,
说明 本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化.
解法1 利用比例的性质解决分式问题.
(1)若a+b+c≠0,由等比定理有
所以
a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,
于是有
(2)若a+b+c=0,则
a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,
于是有
说明 比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解.
解法2 设参数法.令
则
a+b=(k+1)c,①
a+c=(k+1)b,②
b+c=(k+1)a.③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),
所以 (a+b+c)(k-1)=0,
故有k=1或 a+b+c=0.
当k=1时,
当a+b+c=0时,
说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件,可使已知条件便于使用.
练习四
1.化简分式:
3.已知:
(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2
=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,
数学上的结果常要求用较少的符号表示，在这个意义上，
[a(x+2)+b(x+2)]/(x+8)不 是最简分式，
宜写成[(x+2)(a+b)]/(x+8).
=-m(m-3)/(m+3)(m-3)
分式化简后没有括号.分子,分母分别是既约多项式.
(a-3)/(2a-4)÷[5/(a-2)-a-2]
=(a-3)/(2a-4)÷[5-(a-2)(a+2)]/(a-2)
=-(a-3)/2(a-2)*(a-...
答: 距离预产期还有一个星期该怎么做的呢？我都很紧张的了，怎样快点发动？
答: 我可以给你提供个想法，仅供参考咯~！
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祝你好运！
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答: 请说的明白点啊，你是要什么性质考试的啊，自考？成考？普通？
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这个不是我熟悉的地区中考分式化简求值题题型归纳
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中考分式化简求值题题型归纳
时间： 8:37:43
纵观近年的中考试卷，可以发现分式化简求值题一直是考试的热点，现将有关分式化简求值的题型归纳如下，供同学们复习时参考. 　　一、直接运算型 　　例1 （2016?荆门）化简[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]的结果是（ ）. 　　A.[1x+1] B.[x+1x] C.x+1 D.x-1 　　【分析】先计算括号里面的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法. 　　解：[xx2+2x+1]÷[1-1x+1] 　　= [xx+12]÷[xx+1] 　　=[xx+12]?[x+1x] 　　=[1x+1]. 　　故选 A. 　　【点评】本题考查分式的运算，其中主要涉及分式的加减法和分式的乘除法，分式的加减法关键是化异分母为同分母，而分式的乘除法关键是把分式的除法转换为分式的乘法. 　　二、整体求值型 　　例2 （2016?毕节）若a2+5ab-b2=0，则[ba]-[ab]的值为 . 　　【分析】先根据题意得出b2-a2=5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论. 　　解：∵a2+5ab-b2=0， 　　∴a2-b2=-5ab， 　　∴[ba]-[ab]=[b2-a2ab]=[5abab]=5. 　　故答案为：5. 　　【点评】本题是分式化简、整体代入求值的综合题，解题的关键是将所求式子进行变形，转化为b2-a2=5ab的形式. 　　例3 （2016?齐齐哈尔）先化简，再求值：[1-2x]÷[x2-4x+4x2-4]-[x+4x+2]，其中x2+2x-15=0. 　　【分析】先按照分式计算的顺序（先算乘除，再算加减）化简分式.再根据题目的需要，灵活运用条件x2+2x-15=0，代入求值. 　　解：原式=[x-2x]÷[x-22x+2x-2]-[x+4x+2] 　　=[x-2x]?[x+2x-2]-[x+4x+2] 　　=[x+2x]-[x+4x+2] 　　=[x+22-xx+4xx+2] 　　=[4x2+2x]， 　　∵x2+2x-15=0， 　　∴x2+2x=15. 　　∴原式=[415]. 　　【c评】如果着眼点放在x的值上，认为求出其值才能代入，那整个计算就会非常繁杂，而用整体思想导航，将x2+2x=15整体代入，便简便了不少. 　　三、运算求值型 　　例4 （2016?咸宁）a，b互为倒数，代数式[a2+2ab+b2a+b]÷[1a+1b]的值为 . 　　【分析】先把第一个分式的分子因式分解，第二个分式通分相加，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值. 　　解：原式=[a+b2a+b]÷[a+bab] 　　=[a+b2a+b]?[aba+b] 　　=ab， 　　由a，b互为倒数可得ab=1，所以原式=1.故答案为1. 　　【点评】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的，结果中的分子、分母要进行约分，注意最后结果要化成最简分式或整式.再将具体数值代入求值，数字代入时不要忘了符号. 　　四、陷阱求值型 　　例5 （2016?西宁）化简：[2xx+1]-[2x+4x2-1]÷[x+2x2-2x+1]，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 　　【分析】根据运算顺序，应先算乘除，后算加减.根据除法运算法则进行计算，要用到平方差公式和完全平方公式进行分解因式，然后再算减法.对化简结果进行代值计算时要注意x的取值，既要保证最后化简的结果有意义，又要保证原式及运算过程中的各个分式均有意义. 　　解：原式=[2xx+1]-[2x+2x+1x-1]?[x-12x+2] 　　=[2xx+1]-[2x-2x+1] 　　=[2x-2x+2x+1] 　　=[2x+1]， 　　∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，当x=1时分式无意义，因此x=0或2.把x=0代入，[2x+1]=2；把x=2代入，[2x+1]=[23]. 　　【点评】当遇到分式化简求值，尤其是考题要求你选择一个喜欢的数代入求值时，千万要注意字母取值的限制.重要的是所有使分母等于零的值都不能取，使除号后紧跟分式的分子等于零的值也不能取，避免进入分式无意义的“雷区”.
作者：不详　来源：网友发布
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2013名校精选真题（分式化简）
来源：重庆中考网&&&&作者：重庆中考网编辑&&&& 14:09:12
　　重庆中考网讯：小编为大家整理了2013年重庆名校数学精选真题之分式化简类，若有需要，请自行下载！
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