[转载]人教版二年级下册练习二十三作业研究案例
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人教版二年级下册
实验小学& 夏 玲
&一、&教材练习分析
本单元的教学内容是义务教育课程标准实验教材二年级下册第九单元内容。在学生已有的知识和经验的基础上，让学生通过操作、观察、实验、猜测等活动探索图形和数列的排列规律。教材内容的选择注意联系生活实际，激发学生的学习兴趣，为学生提供积极思考与合作交流的空间，而且活动性和探究性较强。
教材中的练习二十三，按基础训练、应用拓展、创新提高三个层次进行练习设计。
基本训练部分分别是教材P117页练习二十三的第1、2、3题。第1题与教材的例1基本类似，不同之处是图形按顺时针旋转循环，第2题的题型与前面学过的略有不同，但在一年级上册思考题中出现过类似的习题，第3题每一项上的数的10倍正好是后一项上的数。
应用拓展部分分别是教材P118页练习二十三的第4、5、6、7题，第4、5、6三道题均是学过的等差数列，且第4、5题还渗透了数轴知识。
第7题是根据数位知识进行思考。
创新提高部分主要是教材P118页练习二十三的第8题和思考题。第8题第（1）题是著名的裴波那数列，从第3个数开始，每个数都是前两个数的和。思考题是个特殊的数列，每一个数是这个数所在项数的平方。
&& 二、习题调整建议
教材上练习设计重难点不够突出，对学生知识和技能的训练不到位，没有注重对学生自主探索和创新精神的培养，作业过程缺乏整体性和连贯性。在进一步深钻教材作业的基础上，以“设计出具有可行性、可操作性、可检测性的作业主题”思想为指导，我对习题进行了如下的调整：
1、对于练习中有雷同的题目进行适当的删减或合并，切实减轻学生的学业负担。
如练习二十三的第3题和第7题都是根据有关数位知识进行思考的，可保留第7题而删去第3题.可以启发学生根据学过的相邻的计数单位之间的关系来思考（10个一是十，10个十是百……），每一项上的数的10倍是后一项上的数。
又如练习二十三的第4、5、6题，三道题均是学过的等差数列，且第4、5题还渗透了数轴知识。可以删去第3题，保留第4、5题，且将两题合并为一题进行完成。
2、对于练习中出现的与新授内容联系不太密切的练习进行适当地处理：
如练习二十三的第2题与本次学习的内容有区别，却与一年级学习的找规律内容比较密切，建议作为新授内容之前的复习练习，而不作为巩固练习。
3、增加练习内容：
（1）关于图形变化规律的巩固练习在练习二十三中仅出现了一题（第一题）练习的量明显不足，建议增补以下几题：
A、我爱数学、学我爱数、数学我爱、&&&&&&&&&。
B、上下、下右、右左、左右、上左、下上、&&&&&&&&&。
C、、3412、&&&&&&&&&。
（2）仿照学习的图形和数列的变化规律，让学生利用学具创造出新的规律，并进行展示汇报。如：你是小小建筑设计师，你能设计出什么样的美丽图案？&
三、习题处理意见：
1、课时划分：
建议本练习用三课时完成。
第一课时：教学图形的排列规律，同时完成练习二十三第1、2题及增补练习（1）。
第二课时：教学数列的排列规律，同时完成练习二十三第4、5、6、7题。同时根据练习的难易程度可先让学生完成第7题后再完成其余的三道题。
第三课时：知识的应用拓展，同时完成练习二十三第8题和思考题及增补练习（2）。
2、按练习的难易程度进行不同的教学处理：
（1）学生独立完成练习：练习二十三第1、2题。但第1题对于学生独立完成起来会有难度，（因此题的每组图形是分上下两行出现，和前面的例题及“做一做”都不一样）可让学生借助学具的帮助独立完成。
（2）教师引导练习：增补练习（1）和练习二十三第4——7题。通过增补练习（1）这几题让学生发现规律，培养学生的观察、操作及归纳推理的能力,并启发学生找出有新意的排列规律。使学生知道生活中事物有规律的排列隐含着数学知识。练习二十三第4――7题可以启发学生根据学过的相邻的计数单位之间的关系来思考（10个一是十，10个十是百……），每一项上的数的10倍是后一项上的数。
（3）合作探究练习：练习二十三第8题和思考题及增补练习（2）。第8题练习时教师可向学生略做数学史料的介绍。第8题的第（2）&题是等比数列，每个数都是前一个数的一半。可先由学生四人小组讨论，教师引导学生积极动脑，仔细思考，认真倾听，让学生自己探究规律，并总结出找规律的方法，这样有利于激发学生的学习兴趣，使他们在活动中积极思考。增补练习（2）请同学们拿出各种各样的图形卡片，设计出一些有循环规律的图案，并进行交流。通过学生的说一说，摆一摆等活动发现新的规律，并找出和原来的规律的不同点，然后放手让学生在此基础上探究，进一步了解这些规律的特点，最后再设计活动，创造性地利用规律，巩固新知。
总之，根据二年级学生的认知特点，为了便于学生发现规律并突破学习的难点，建议在练习处理时多采用从生活实例入手，为学生创设熟悉的活动情境，让学生在情境中去进一步感悟，在情境中去进一步体验，在情境中探究，让学生在做、想及交流中逐步实现对数学概念和方法的意义建构。引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识的发现过程融于丰富、有趣的活动之中，创造性地应用教材上的作业，让学生在条件开放、结论开放的广阔空间里自主地探索，通过让学生说一说、画一画充分发挥学生的聪明才智，使之体验到参与之乐，思维之趣，成功之愉，让学生的创造火花产生于求异之中。
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N，且 n&1)n n⑥、如果 a&b &0，那么 n a ? n b (n ? N，且 n&1)。 三、典型例题： 例 1、比较 ( x ? 3)( x ? 7) 和 ( x ? 4)( x ? 6) 的大小。 分析：通过考察它们的差与 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。 例 2、已知 a ? b, c ? d ，求证： a ? c ? b ? d ． 例 3、已知 a&b&0，c&d&0，求证： 四、课堂练习： 1：已知 x ? 3 ，比较 x ? 11x 与 6 x ? 6 的大小。3 2a ? db c。2：已知 a&b&0，c&d&0,求证： 五、课后作业： 课本 P9 第 1、2、3、4 题 六、教学后记：b a 。 ? a?c b?d课 题： 第 02 课时 基本不等式 教学目标： 1.学会推导并掌握均值不等式定理； 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 一、知识学习： 2 2 定理 1：如果 a、b∈R，那么 a ＋b ≥2ab（当且仅当 a＝b 时取“＝”号） 2 2 2 证明：a ＋b －2ab＝（a－b） 2 2 当 a≠b 时， a－b） ＞0，当 a＝b 时， a－b） ＝0 （ （ 2 2 2 所以， a－b） ≥0 （ 即 a ＋b ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理 2（基本不等式） ：如果 a，b 是正数，那么 号）5a ＋b2≥ ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”证明：∵（ a ） ＋（ b ） ≥2 ab a ＋b ∴a ＋b≥2 ab ? ，即? ≥ ab 2 显然，当且仅当 a＝b 时， 说明：1）我们称22a ＋b2＝ aba ＋b2为 a，b 的算术平均数，称 ab 为 a，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a ＋b ≥2ab 和2 2a ＋b2≥ ab 成立的条件是不同的：前者只要求 a，b 都是实数，而后者要求 a，b 都是正数. 3） “当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解： 例 1 已知 x，y 都是正数，求证： （1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P ； 1 2 （2）如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S 4 证明：因为 x，y 都是正数，所以 （1）积 xy 为定值 P 时，有x＋ y2≥ xy ∴x＋y≥2 Px＋y2≥ P上式当 x＝y 时，取“＝”号，因此，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P . S 1 2 （2）和 x＋y 为定值 S 时，有 xy ≤ ∴xy≤ S 2 4 1 2 上式当 x=y 时取“＝”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值 S . 4 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ）函数式中各项必须都是正数; )函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ）等号成立条件必须存在。 例 2 ：已知 a、b、c、d 都是正数，求证： （ab＋cd） ac＋bd）≥4abcd （ 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强 对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由 a、b、c、d 都是正数，得ab＋cd2 ∴≥ ab?cd ＞0，ac＋bd2≥ ac?bd ＞0，（ab＋cd）（ac＋bd） ≥abcd 4即（ab＋cd） ac＋bd）≥4abcd （ 3 2 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m ，深为 3m，如果池底每 1m 的造 2 价为 150 元， 池壁每 1m 的造价为 120 元， 问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值， 其中用到了均值不等式定理.6解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得l＝0（x＋1600x）≥0×2x?1600x＝0×2×40＝0 当 x＝ ，即 x＝40 时，l 有最小值 297600x因此， 当水池的底面是边长为 40m 的正方形时， 水池的总造价最低， 最低总造价是 297600 元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立， 又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习：课本 P91 练习 1，2，3，4. 四、课堂小结： 通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。 五、课后作业 课本 P10 习题 1.1 第 5，6，7 题 六、教学后记：课 题： 第 03 课时 三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。 教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程： 一、知识学习： 定理 3：如果 a, b, c ? R? ，那么 推广：a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时，等号成立。 3a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1 a 2 ? a n 。当且仅当 a1 ? a 2 ? ? ? a n 时，等号成立。 n语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考：类比基本不等式，是否存在：如果 a, b, c ? R? ，那么 a ? b ? c ? 3abc （当且仅当3 3 3a ? b ? c 时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析： 例 1：求函数 y ? 2 x ?23 ( x ? 0) 的最小值。 x解一： y ? 2 x ?23 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 ∴ y min ? 33 4 x x x x x7解二： y ? 2 x ?23 3 3 12 3 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2x 2 ? 即 x ? 时 x x 2 x∴ y min ? 2 6 ?312 ? 2 33 12 ? 26 324 2上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练 1若a, b ? R ? 且a ? b, 求a ?1 的最小值。 (a ? b)b由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例 2 ：如下图，把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名 着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长 是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练 2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的 体积最大，求出这个最大值． 由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方 向也可以知道：积定____________，和定______________. 三、巩固练习 1.函数 y ? 3x ? A.6 2.函数 y ? 4 x ?212 ( x ? 0) 的最小值是 ( x2B. 6 6 C.9) D.1216 的最小值是____________ ( x ? 1) 2223．函数 y ? x (2 ? x )(0 ? x ?42 ) 的最大值是（C.） D.x yA.0B.116 2732 27z24.(2009 浙江自选)已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ，求 4 ? 4 ? 4 的最小值。 5（2008，江苏，21）设 a, b, c 为正实数，求证：1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3 3 a b c四、课堂小结： 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。 五、课后作业 P10 习题 1.1 第 11，12，13 题8六、教学后记：课 题： 第 04 课时 绝对值三角不等式 教学目标： 1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。 本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。? x，如果x ? 0 ? x ? ?0，如果x ? 0 。 ?? x，如果x ? 0 ?几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用 到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） a ? a ，当且仅当 a ? 0 时等号成立， a ? ? a. 当且仅当 a ? 0 时等号成立。 （2） a ?a 2 ， （3） a ? b ? a ? b ，（4）a b?a (b ? 0 ) b那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 二、讲解新课：探究: a , b , a ? b , a ? b 之间的什么关系?结论： a ? b ≤ a ? b （当且仅当 ab≥ 0 时，等号成立.） 已知 a, b 是实数，试证明： a ? b ≤ a ? b （当且仅当 ab≥ 0 时，等号成立.） 方法一：证明:1 .当 ab≥0 时,02 . 当 ab&0 时,09ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b) ? a ? 2ab ? b2 2 2ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 222? | a | ?2 | a || b | ? | b | ? (| a | ? | b |) ?| a | ? | b |2? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |综合 1 , 2 知定理成立. 方法二：分析法，两边平方（略） 定理 1 如果 a, b 是实数，则 a ? b ≤ a ? b （当且仅当 ab≥ 0 时，等号成立.） （1）若把 a, b 换为向量 a , b 情形又怎样呢？00? ?? ? a?b? a? a? b? ? a?b根据定理 1，有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ，就是， a ? b ? b ? a 。 所以， a ? b ? a ? b 。 定理（绝对值三角形不等式） 如果 a, b 是实数，则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注：当 a, b 为复数或向量时结论也成立. 推论 1： a1 ? a2 ? ? ? an ≤ a1 ? a2 ? ? ? an 推论 2：如果 a、b、c 是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c ,当且仅当 (a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号 成立. 思考：如何利用数轴给出推论 2 的几何解释？ （设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取 c＝0（即 C 为原点） ，就得到例 2 的 后半部分。 ） 三、典型例题： 例 1、已知 x ? a ?c c , y ? b ? ，求证 ( x ? y ) ? (a ? b) ? c. 2 210证明 ( x ? y ) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)? x?a ? y ?b（1）? x?a ?c c , y ?b ? ， 2 2 c c ∴ x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2由（1）（2）得： ( x ? y ) ? (a ? b) ? c ，（2）例 2、已知 x ?a a , y ? . 求证： 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a 证明 ? x ? , y ? ，∴ 2 x ? , 3 y ? ， 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式， 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等 号方向相同的不等式。 例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10 公里和第 20 公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活 区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)? 10四、课堂练习： 1.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证:? x? 20⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b 2. (课本 P19 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ?⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b 3． 、已知 A ? a ? （1）c c , B ? b ? . 求证： ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c （2） 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证： 2 x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6五、课堂小结： 1．实数 a 的绝对值的意义:? a (a ? 0) ? ⑴ a ? ? 0 ( a ? 0) ;（定义） ? ? a (a ? 0) ?⑵ a 的几何意义:112．定理（绝对值三角形不等式） 如果 a, b 是实数，则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注意取等的条件。 六、课后作业：课本 P19 第 2，4，5 题 七．教学后记：课 题： 第 05 课时 教学目标：绝对值不等式的解法1：理解并掌握 x ? a 和 x ? a 型不等式的解法。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即? x，如果x ? 0 ? x ? ?0，如果x ? 0 。 ?? x，如果x ? 0 ?在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 二、新课学习： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。 下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式） ，关键在于去掉绝对值符号， 化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义. 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型：设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x ?a 的解集是 ， {x | ?a ? x ? a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间（－a，a） 如图所示。12图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型：设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a }，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间?a(??,?a), (a, ?) 的并集。如图 1-2 所示。Caa图 1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 3、 ax ? b ? c 和 ax ? b ? c 型不等式的解法。ax ? b ? c ? ?c ? ax ? b ? c ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c4、 x ? a ? x ? b ? c 和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法。 （三种思路） 三、典型例题： 例 1、解不等式 3 x ? 1 ? x ? 2 。 例 2、解不等式 3 x ? 1 ? 2 ? x 。 方法 1：分类讨论。 方法 2：依题意，原不等式等价于 3x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 ，然后去解。 例 3、解不等式 2 x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解：本题可以按照例 3 的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x 到 1，2 的距离的和大于等于 5。因为 1，2 的距离为 1，所以 x 在 2 的右边，与 2 的距离大于等于 2（＝（5－1） ? 2) ；或者 x 在 1 的左边，与 1 的距离大于等于 2。这就是说， x ? 4 或 x ? ?1. 例 5、不等式 x ? 1 ? x ? 3 & a ，对一切实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围。 四、课堂练习：解下列不等式： 1、 2 2 x ? 1 ? 1. 2、 4 1 ? 3 x ? 1 ? 0 3、3 ? 2x ? x ? 4 .134、 x ? 1 ? 2 ? x . 7、 x ? x ? 2 ? 4 10、5、 x ? 2 x ? 4 ? 126、 x ? 1 ? x ? 2 .28、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6.9、x ? x ?1 ? 2x ? x ? 4 ? 2.五、课后作业：课本 20 第 6、7、8、9 题。 六、教学后记：第二讲证明不等式的基本方法课 题： 第 01 课时 不等式的证明方法之一：比较法 教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学过程： 一、新课学习： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0二、典型例题： 例 1、设 a, b 都是正数，且 a ? b ，求证： a ? b ? a b ? ab 。3 3 2 2例 2、若实数 x ? 1 ，求证： 3(1 ? x ? x ) ? (1 ? x ? x ) .2 4 2 2证明：采用差值比较法：3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2= 3 ? 3x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x2 4 2 4 2 3= 2( x ? x ? x ? 1)4 3= 2( x ? 1) ( x ? x ? 1)2 2= 2( x ? 1) [( x ? ) ? ].2 21 23 4141 3 ? x ? 1, 从而( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4∴1 3 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 43(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 .∴讨论：若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b .a b b a?本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 a, b 对称，不妨设 a ? b ? 0.?a ?b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 02）商值比较法：设 a ? b ? 0,，从而原不等式得证。a abb a a ? ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间 以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n ，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是 S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 , t 2 。 要回答题目中的问题，只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是 S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 , t 2 ， 根据题意有t1 t S S 2S S ( m ? n) ， t2 ? ， m? 1 n ? S ， ? ? t 2 ，可得 t1 ? 2 2 2m 2n m?n 2mnS ( m ? n) 2 2S S (m ? n) S[4mn ? (m ? n) 2 ] ? ?? ， ? 2(m ? n)mn 2(m ? n)mn m?n 2mn从而 t1 ? t 2 ?其中 S , m, n 都是正数，且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ，即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果 m ? n ，甲、乙两人谁先到达指定地点？15三、课堂练习： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小： （1） x 与 x ? x ? 1 ； （2） x ? x ? 1 与 ( x ? 1) .2 2 222．已知 a ? 1. 求证： （1） a ? 2a ? 1;2（2）a ?b ? c 32a ? 1. 1? a23．若 a ? b ? c ? 0 ，求证 a a b b c c ? (abc).四、课时小结： 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或 作商） 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平 方和等是“变形”的常用方法。 五、课后作业： 课本 23 页第 1、2、3、4 题。 六、教学后记：课 题：第 02 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 教学目标： 1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 2、 了解分析法和综合法的思考过程。 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 教学过程： 一、引入： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由 于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究 两种思路方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证 的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。 前一种是“由因及果” ，后一种是“执果索因” 。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻 地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法” ；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析 法” 。 二、典型例题： 例 1、已知 a, b, c ? 0 ，且不全相等。求证：a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc16分析：用综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ，求证 a ? b ? a b ? ab .3 3 2 2证法一 分析法 要证 a ? b ? a b ? ab 成立.3 3 2 2只需证 (a ? b)( a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) 成立，又因 a ? b ? 0 ，2 2只需证 a ? ab ? b ? ab 成立，又需证 a ? 2ab ? b ? 0 成立，2 2 2 2即需证 (a ? b) ? 0 成立.而 (a ? b) ? 0 显然成立. 由此命题得证。2 2证法二 综合法(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab注意到 a ? 0, b ? 0 ，即 a ? b ? 0 ， 由上式即得 (a ? b)( a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) ，从而 a ? b ? a b ? ab 成立。2 23322议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且 a ? b. 求证： 证法一 要证（1） ，只需证 b(a ? m) ? a(b ? m)a?m a ? . b?m b（2）（1）要证（2） ，只需证 bm ? am （3） 要证（3） ，只需证 b ? a （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b ? a, m 是正数，所以 bm ? am 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m) 得（1） 。 例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L ，L L ? L ? ?L? 则周长为 L 的圆的半径为 ，截面积为 ? ? ? ；周长为 L 的正方形为 ，截面积为 ? ? 。 2? 4 ?4? ? 2? ?? L ? ?L? 所以本题只需证明 ? ? ? ?? ? 。 ? 2? ? ?4?证明：设截面的周长为 L ，则截面是圆的水管的截面面积为 ? ?2 222? L ? ? ，截面是正方形的水管 ? 2? ?217的截面面积为 ??L? ? L ? ?L? ? 。只需证明： ? ? ? ?? ? 。 ?4? ? 2? ? ?4?222为了证明上式成立，只需证明?L2 L2 。 ? 4? 2 16两边同乘以正数4 1 1 ，得： ? 。因此，只需证明 4 ? ? 。 2 ? 4 L2 2? L ? ?L? 上式显然成立，所以 ? ? ? ?? ? ? 2? ? ?4?。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆 的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明： a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。2 2 2证法一： 因为a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ca2 2 2（2） （3） （4） （5）所以三式相加得 2(a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得（1） 。 证法二：a 2 ? b 2 ? c 2 ? (ab ? bc ? ca) ?所以（1）成立。1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 22例 6、证明： (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .2 2 2 2（1）2证明（1） ? (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) ? 02 2 2 2（2）? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 （3） ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad ) 2 ? 0（5）显然成立。因此（1）成立。 例 7、已知 a, b, c 都是正数，求证 a ? b ? c ? 3abc. 并指出等号在什么时候成立？3 3 3（4） （5）分析：本题可以考虑利用因式分解公式a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)( a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 着手。18证明：a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc= (a ? b ? c)( a ? b ? c ? ab ? bc ? ca)2 2 2=1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ]. 22 2 2由于 a, b, c 都是正数，所以 a ? b ? c ? 0. 而 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ， 可知 a ? b ? c ? 3abc ? 03 3 3即 a ? b ? c ? 3abc （等号在 a ? b ? c 时成立）3 3 3探究：如果将不等式 a ? b ? c ? 3abc 中的 a , b , c 分别用 a, b, c 来代替，并在两边同除3 3 33 3 3以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：(1 ? a ? b)(1 ? b ? c)(1 ? c ? a) ? 27 ，其中 a, b, c 是互不相等的正数，且 abc ? 1 .三、课堂小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数 或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等 式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、课堂练习： 1、已知 x ? 0, 求证： x ?1 ? 2. x1 1 4 ? ? . x y x? ya ? b.2、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y, 求证3、已知 a ? b ? 0, 求证 a ? b ? 4、已知 a ? 0, b ? 0. 求证： （1） (a ? b)( a?1? b ?1 ) ? 4. （2） (a ? b)( a 2 ? b 2 )( a 3 ? b 3 ) ? 8a 3b 3 .5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证： （1）a?b?c?d ? ab ? 2（2）a?b?c?d 4 ? abcd. 46、已知 a, b, c 都是互不相等的正数，求证 (a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc. 五、课后作业： 课本 25 页第 1、2、3、4 题。 六、教学后记：19课 题： 第 03 课时 不等式的证明方法之三：反证法 教学目标： 通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单 的命题。 教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。 教学难点：会用反证法证明简单的命题。 教学过程: 一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的 逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑 采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论 题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基 本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直 接证明命题“若 p 则 q” ，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推 理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题： 例 1、已知 a ? b ? 0 ，求证： n a ? n b （ n ? N 且 n ? 1） 例 1、设 a ? b ? 2 ，求证 a ? b ? 2.3 3证明：假设 a ? b ? 2 ，则有 a ? 2 ? b ，从而a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ，所以 a ? b ? 2 ，这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾，所以，原不23333等式 a ? b ? 2 成立。2 例 2、设二次函数 f ( x) ? x ? px ? q ，求证： f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1 . 2证明：假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于1 ，则 2（1）f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.另一方面，由绝对值不等式的性质，有f (1) ? 2 f ( 2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q ) ? 2(4 ? 2 p ? q ) ? (9 ? 3 p ? q ) ? 2（2）（1）（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 、 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采20用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结 果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据 上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例 3、设 0 & a, b, c & 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证：设(1 ? a)b &1 41 1 1 , (1 ? b)c & , (1 ? c)a & , 4 4 41 64①2则三式相乘：ab & (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a & ∴ 0 ? (1 ? a ) a ? ?又∵0 & a, b, c & 1 同理： (1 ? b)b ?1 ? (1 ? a ) ? a ? ? ?4 2 ? ?1 , 4(1 ? c)c ?1 4 1 64与①矛盾∴原式成立以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤例 4、已知 a + b + c & 0，ab + bc + ca & 0，abc & 0，求证：a, b, c & 0 证：设 a & 0, ∵abc & 0, ∴bc & 0 又由 a + b + c & 0, 则 b + c = ?a & 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc & 0 与题设矛盾 又：若 a = 0，则与 abc & 0 矛盾， ∴ 必有 a & 0 同理可证：b & 0, c & 0 三、课堂练习： 1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且 a ? b ，则a?m a ? . b?m b2、设 0 & a, b, c & 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y & 0，且 x + y &2，则1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 y x∵x, y & 0，可得 x + y ≤2 与 x + y &2 矛盾。提示：反设1? x 1? y ≥2， ≥2 y x四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 五、课后作业： 课本 29 页第 1、4 题。 六、教学后记：21课 题： 教学目标：第 04 课时不等式的证明方法之四：放缩法1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。 2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。 教学重、难点： 1．掌握证明不等式的两种放缩技巧。 2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程： 一、引入： 所谓放缩法， 即是把要证的不等式一边适当地放大 （或缩小） 使之得出明显的不等量关系后， ， 再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用 方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题： 例 1、若 n 是自然数，求证 证明：?1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (?1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? ? 2. n 1 1 1 1 注意：实际上，我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中，已经得到一个更强的结论 1 2 3 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 12 2 2 32 n 1 1 1 1 例 2、求证： 1 ? ? ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 证明：由 ? ? k ?1 , （ k 是大于 2 的自然数） 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 得1 ? ? ? ??? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2 a b c d 例 3、若 a, b, c, d?R+，求证： 1 ? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d 证：记 m = ∵a, b, c, d?R+ ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c221 1∴m ?a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d ∴1 & m & 2 即原式成立。 m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c例 4、当 n & 2 时，求证： log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1 证：∵n & 2 ∴ log n (n ? 1) ? 0,log n (n ? 1) ? 02 2? log n (n 2 ? 1) ? ? log n (n ? 1) ? log n (n ? 1) ? ∴ log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? log n 2 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ?∴n & 2 时, 三、课堂练习：2log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 11 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2 1 3 5 2n ? 1 1 2、设 n 为自然数，求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ?(2 ? )? . n n n n n!1、设 n 为大于 1 的自然数，求证 四、课时小结： 常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式， （Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。 五、课后作业：课本 29 页第 2、3 题。第三讲课 题： 第 01 课时柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及 向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 及几种变式. 22. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 证法： （比较法） (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 =?.= (ad ? bc)2 ? 0 二、讲授新课：231. 柯西不等式： ① 提出定理 1：若 a、b、c、d 为实数，则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二： （综合法） (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? a 2c 2 ? a 2 d 2 ? b2c 2 ? b2 d 2? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 .（要点：展开→配方）?? ? ?? ? 证法三： （向量法）设向量 m ? (a, b) ， n ? (c, d ) ，则 | m |? a 2 ? b 2 ， | n |? c 2 ? d 2 . ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ∵ m ? n ? ac ? bd ，且 m ? n ?| m || n | cos ? m, n ? ，则 | m ? n |?| m || n | . ∴ ?..证法四： （函数法）设 f ( x) ? (a 2 ? b2 ) x2 ? 2(ac ? bd ) x ? c 2 ? d 2 ，则f ( x) ? (ax ? c)2 ? (bx ? d )2 ≥0 恒成立.∴ ? ? [?2(ac ? bd )]2 ? 4(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ≤0，即?.. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ?| ac ? bd | 或a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ?| ac | ? | bd |或 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd . ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ④ 提出定理 2：设 ? , ? 是两个向量，则 | ? ? ? |?| ? || ? | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ?? ?? ?? → 讨论：上面时候等号成立？（ ? 是零向量，或者 ? , ? 共线） ⑤ 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c)2 ? (b ? d ) 2 . 证法： （分析法）平方 → 应用柯西不等式 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R ，则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 . 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ? R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例： 例 1：已知 a,b 为实数，求证 (a ? b )( a ? b ) ? (a ? b )4 4 2 2 3 3 2→ 讨论：其几何意义？（构造三角形）说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以， 经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值。 分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号 的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。24（ | ac ? bd |?a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ）解：函数的定义域为【1，5】 ，且 y&0y ? 5? x ?1 ? 2 ? 5 ? x ? 5 2 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x 时，等号成立，即 x ? 课堂练习：1. 证明: (x +y )(a +b )≥(a x+by )2 4 4 2 2 2 2127 时，函数取最大值 6 3 272.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值. 例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证 分析：注意到1 1 ? ?4 a b1 1 1 1 1 1 ? ? (a ? b)( ? ) ，有了 (a ? b)( ? ) 就可以用柯西不等式了。 a b a b a b四、巩固练习： 1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x +y 的最小值. 五、课堂小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 六、布置作业：P37 页，4，5， 7，8，9 七、教学后记：2 2课题：第 02 课时二维形式的柯西不等式（二）教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法―― 发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？25答案： (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ； x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y ? x ? 1 ? 2 ? x 的最大值? 要点：利用变式 | ac ? bd |? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 . 二、讲授新课： 1. 最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y ? 3 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y ? 3x ? 1 ? 10 ? 2 x → 推广： y ? a bx ? c ? d e ? fx ,(a, b, c, d , e, f ? R? ) ② 练习：已知 3x ? 2 y ? 1 ，求 x 2 ? y 2 的最小值. 解答要点： （凑配法） x2 ? y 2 ?1 2 1 1 ( x ? y 2 )(32 ? 22 ) ? (3x ? 2 y)2 ? . 13 13 13讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y ? R? ， x ? y ? 2 ，求证：1 1 ? ?2. x y分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 ? 1 ? 1 ( x ? y )( 1 ? 1 ) ? 1 [( x )2 ? ( y ) 2 ][( 1 ) 2 ? ( 1 ) 2 ] ? ?x y 2 x y 2 x y讨论：其它证法（利用基本不等式） ② 练习：已知 a 、 b ? R? ，求证： (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 4 .a b三、应用举例： 例 1 已知 a1,a2,?,an 都是实数，求证：1 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an n2 2 2 2分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 2 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a + b + c + d & ab + bc + cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发 我们，可以用柯西不等式进行证明。例3、已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.分析：由 x ? 2 y ? 3 z ? 1以及 x 2 ? y 2 ? z 2 的 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）26作为一个因式而解决问题。四、巩固练习： 1. 练习：教材 P37 8、9 题练习：1．设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求2 2 2 21 4 9 ? ? 的最小值。 x y z2．已知 a+b+c+d=1，求 a +b +c +d 的最小值。 3．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 3a ?2 2 22b ? c 的最大值。选做：4．已知 a，b，c 为正实数，且 a +2b +3c =6，求 a+b+c 的最小值。 （08 广一模） 5．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求2 2 21 1 1 （08 东莞二模） ? ? 的最小值。 a b c6．已知 x+y+z= 2 5 ，则 m=x +2y +z 的最小值是____________.(08 惠州调研) 五、布置作业：教材 P37 1、6、7 题 ① 已知 x, y, a, b ? R ? ，且a b ? ? 1 ，则 x ? y 的最小值. x y→ 其它证法a b 要点： x ? y ? ( ? )( x ? y ) ? ?. x y② 若 x, y, z ? R? ，且 x ? y ? z ? 1 ，求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值. （要点：利用三维柯西不等式） 变式：若 x, y, z ? R? ，且 x ? y ? z ? 1 ，求 x ? y ? z 的最大值. 六、课堂小结： 比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 七、教学后记：课题：第 03 课时一般形式的柯西不等式教学目标： 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。 教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。 教学过程：27一、复习引入： 定理 1： （柯西不等式的代数形式）设 a, b, c, d 均为实数，则(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) 2 ，其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。定理 2： （柯西不等式的向量形式）设 ? ， ? 为平面上的两个向量，则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | ，其 中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 定理 3： （三角形不等式）设 x1 , y1 , x2 , y 2 , x3 , y3 为任意实数，则：( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x 2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y 3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y 3 ) 2授新课：二、讲类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β | .将空间向量的坐标代入，可 得到(a1 ? a 2 ? a 3 )(b1 ? b 2 ? b 3 ) ? (a1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 )2 当且仅当α， 共线时， β 这 即 β ? 0 ，或存在一个实数k， 使得ai ? kb i ( i ? 1,2,3)时，等号 成立.222222就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理 4： （一般形式的柯西不等式） ：设 n 为大于 1 的自然数， ai , bi （ i ? 1，2，?， n ）为 任意实数，则： (a1 ? a2 ? ? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )2 2 2 2 2 2即? aii ?1n2? bi ? (? ai bi ) 2 ，其中等号当且仅当2 i ?1 i ?1nnb b1 b2 ? ? ? ? n 时成立（当 ai ? 0 时，约 a1 a 2 an定 bi ? 0 ， i ? 1，2，?， n ） 。 证明：构造二次函数： f ( x) ? (a1 x ? b1 ) ? (a 2 x ? b2 ) ? ? ? (a n x ? bn )2 2 2即构造了一个二次函数： f ( x) ? (? ai 2 ) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi 2i ?1 i ?1 i ?1nnn由于对任意实数 x ， f ( x) ? 0 恒成立，则其 ? ? 0 ， 即： ? ? 4(? ai bi ) 2 ? 4(? ai 2 )( ? bi 2 ) ? 0 ，i ?1 i ?1nnnni ?1即： (? aibi ) 2 ? (? ai 2 )(? bi 2 ) ，i ?1 i ?1 i ?1nn28等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a 2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 ， 即等号当且仅当 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立（当 ai ? 0 时，约定 bi ? 0 ， i ? 1，2，?， n ） 。 a1 a 2 an 如果 a i （ 1 ? i ? n ）全为 0，结论显然成立。 三、应用举例：1 例 3 已知 a1,a2,?,an 都是实数，求证： (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 n分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。 例 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a + b + c + d & ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发 我们，可以用柯西不等式进行证明。例5、已知 x ? 2 y ? 3 z ? 1, 求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.2 2 2 2 2 2 2分析：由 x ? 2 y ? 3 z ? 1以及 x 2 ? y 2 ? z 2 的 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（1 +2 +3 ） 作为一个因式而解决问题。 四、巩固练习： 练习：1．设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求2 2 2 21 4 9 的最小值。 ? ? x y z2．已知 a+b+c+d=1，求 a +b +c +d 的最小值。 3．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 3a ?2 2 22b ? c 的最大值。选做：4．已知 a，b，c 为正实数，且 a +2b +3c =6，求 a+b+c 的最小值。 （08 广一模） 5．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求2 2 21 1 1 （08 东莞二模） ? ? 的最小值。 a b c6．已知 x+y+z= 2 5 ，则 m=x +2y +z 的最小值是____________.(08 惠州调研) 五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。 六、布置作业：P41 习题 3.2 七、教学后记： 2，3，4，5课题：第 04 课时排序不等式教学目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. 体会运用经典不等式的一般思想方法王新敞奎屯 新疆29教学重点：应用排序不等式证明不等式 教学难点：排序不等式的证明思路 教学过程 一、复习准备： 1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式） 2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课： 1. 教学排序不等式： ① 看书：P41~P44. 如 如图， 设 ?AOB ? ? ，自点 O 沿 OA 边依次取 n 个点 A1 , A2 ,?, An ，OB 边依次取取 n 个点 B1 , B2 ,?, Bn ，在 OA 边取某个点 Ai 与 OB 边某个点 B j 连接，得到 ?Ai OB j ，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的 ?Ai OB j不同，问： OA 边上的点与 OB 边上的点如何搭配，才能使 n 个三角形的 面积和最大（或最小）？设 OAi ? ai , OB j ? b j (i, j ? 1, 2,?, n) ，由已知条件，得a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn因为 ?Ai OB j 的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题： 设c1 , c2 ,?, cn是数组b1 , b2 ,?, bn的任何一个排列, 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 何时取最大（或最小）值？ 我们把 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? an cn 叫做数组 (a1 , a2 ,? , an ) 与 (b1 , b2 ,?, bn ) 的乱序和.30其中, S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 称为序和. 序和.这样的三个和大小关系如何?S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn 称为设有两个有序实数组: a1 ? a2 ? ?? ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ， c1 , c2 , ?? cn 是 b1 , b2 ，? , bn 的 ? ? ? ?? 任一排列,则有 ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ??+ anbn (同序和) ? a1c1 ? a2 c2 +??+ an cn (乱序和) ? a1bn ? a2bn?1 +??+ anb1 (反 序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? ??= an 或 b1 ? b2 ? ??= bn 时，反序和等于同序和. ? ? （要点：理解其思想，记住其形式） 三、应用举例： 例 1：设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个互不相同的正整数，求证：1? a a a3 1 1 1 ? ? ??? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n . 2 2 3 n 2 3 n2分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程： 设 b1 , b2 , ???, bn 是 a1 , a2 , ???, an 的一个排列，且 b1 ? b2 ? ??? ? bn ，则 b1 ? 1, b2 ? 2, ???, bn ? n . 又 1 ? 12 ? 12 ? ??? ? 12 ，由排序不等式，得2 3 na1 ?a b a2 a3 b b ? ? ??? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? 22 32 n2 22 32 n2小结：分析目标，构造有序排列. 四、巩固练习： 1. 练习：教材 P45 1 题 2.已知 a, b, c 为正数，求证： 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c 2 (a ? b) . 解答要点：由对称性，假设 a ? b ? c ，则 a 2 ? b2 ? c2 ， 于是 a2 a ? b2b ? c2c ? a2c ? b2 a ? c 2b ， a2 a ? b2b ? c2c ? a 2b ? b2c ? c2 a ， 两式相加即得. 五、课堂小结：排序不等式的基本形式. 六、布置作业：教材 P45 3、4 题 七、教学后记：31第四讲课 题： 第 01 课时数学归纳法证明不等式数学归纳法（一）教学目标： 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题； 2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。 教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。 教学过程： 一、创设情境，引出课题 （1）不完全归纳法： 今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一 个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是得出结论： 学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？ （这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题） （2）完全归纳法： 一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验 证五根火柴都是红色的呢？ （将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。 ） 注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。 结论：不完全归纳法→结论不可靠； 完全归纳法→结论可靠。 问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关 的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法） 情境一： （播放多米诺骨牌视频） 问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？ 二、讲授新课： 探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？ 条件一：第一张骨牌倒下； 条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。32探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明12 ? 22 ? 32 ? …+n 2 ?n(n ? 1)(2n ? 1) 有些启发？ 62 2 2得出结论：证明 1 ? 2 ? 3 ? …+n ?2n(n ? 1)(2n ? 1) 的两个步骤： 6（1）证明当 n ? 1 时，命题成立； （2）假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时命题成立，证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。*一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N ) 时命题成立；*（2） （归纳递推）假设 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 时命题成立，证明当 n ? k ? 1 时，命题也成立。*只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 上述方法叫做数学归纳法。 三、应用举例： 例 1 用数学归纳法证明： 1 ? 3 ? 5 ? …+(2n-1)=n22证明： （1）当 n ? 1 时，左边 ? 1 ，右边 ? 1 ? 1 ，等式成立； （2）假设当 n ? k （k≥1,k ? N*）时， 1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)=k2 ，那么：1 ? 3 ? 5 ? …+(2k-1)+(2k+1)= [1 ? 2(k ? 1) ? 1](k ? 1) ? (k ? 1) 2 ，则当 n ? k ? 1 时也成立。 2*根据（1）和（2） ，可知等式对任何 n ? N 都成立。 注：①对例 1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当 n ? k ? 1 时的证明必须利用 n ? k 的归 纳假设， 例 2：用数学归纳法证明求证： n ? 5n(n ? N ) 能被 6 整除.3 ?[证明]： 1? . 当 n ? 1时，1 +5×1=6 能被 6 整除，命题正确；32? . 假设 n ? k 时命题正确，即 k 3 ? 5k 能被 6 整除，∴当 n ? k ? 1 时， (k ? 1) ? 5(k ? 1) ? (k ? 3k ? 3k ? 1) ? (5k ? 5) ? (k ? 5k )3 3 2 3? 3k (k ? 1) ? 6 ，33∵两个连续的整数的乘积 k (k ? 1) 是偶数，? 3k (k ? 1) 能被 6 整除，? (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 能被 6 整除，即当 n ? k ? 1时命题也正确，由 1?,2? 知命题时 n ? N 都正确. 即：当 n ? k ? 1 时，等式成立。 根据（1）和（2） ，可知等式对任何 n ? N 都成立。*?注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。 四、巩固练习：P50 练习题 第 1、2 题 五、课堂小结： 问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学 生总结，教师整理） 1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。 2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想； 3、数学归纳法一般步骤：验证 n ? n0 时命题成 立归纳奠基若 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 时命题成*立，证明当 n ? k ? 1 时命题也成立?归纳递推命题对从 n0 开始所有的正整数 n 都成立 4、应用数学归纳法要注意以下几点： （1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的； （2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法； （3）n0 是使命题成立的最小正整数，n0 不一定取 1，也可取其它一些正整数； （4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。34六、布置作业：P50 练习题 第 1、2、3 题 七、教学后记：课题：第 02 课时数学归纳法（二）教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程. 2. 对数学归纳法的认识不断深化. 3. 掌握数学归纳法的应用：教学重点：解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤 教学难点：数学归纳法证题有效性的理解 教学过程： 一、复习回顾： 数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；（ii）归纳递推：假设 n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立. 只 要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 练习： 1 已知 f (n) ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 1? , n ? N * ，猜想 f (n) 的表达式，并给出证明？ 过程：试值 f (1) ? 1 ， f (2) ? 4 ，?，→ 猜想 f (n) ? n2 → 用数学归纳法证明.2. 练习：是否存在常数 a、b、c 使得等式 1? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ...... ? n(n ? 2) ? 一切自然数 n 都成立，试证明你的结论. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法的应用： 例 1：求证 1 ?1 n(an2 ? bn ? c) 对 61 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? , n ? N * 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n分析：第 1 步如何写？n=k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？35关键：在假设 n=k 的式子上，如何同补？ 证明： （略）小结：证 n=k+1 时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标 进行变形. 例 2：求证：n 为奇数时，x +y 能被 x+y 整除. 分析要点： （凑配）x +y =x ?x +y ?y =x (x +y )+y ?y －x ?y =x (x +y )+y (y －x )=x (x +y )+y ?(y+x)(y－x). 证明： （略） 例 3：平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆 将平面分成 f(n)=n －n+2 个部分. 分析要点：n=k+1 时，在 k+1 个圆中任取一个圆 C，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而 圆 C 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个交点将圆 C 分成 2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为 二，故共增加了 2k 个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k －k+2+2k=(k+1) －(k+1)+2. 证明： （略） 三、巩固练习： ：2 2 2 2nnk+2k+22k2k2kk2k2kkkk222kkk1 1 （1） 求证: (1 ? 1)(1 ? ) ??? (1 ? ) ? 2n ? 1 （n∈N*）. 3 2n ? 1（2） 用数学归纳法证明： （Ⅰ） 72 n ? 42 n ? 297 能被 264 整除； （Ⅱ） a n ?1 ? (a ? 1)2 n ?1 能被 a 2 ? a ? 1 整除（其中 n，a 为正整数） （3） 是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7） +9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在，求 ?3 出最大的 m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （4）教材 50 1、2、5 题 四、课堂小结： 两个步骤与一个结论， 递推基础不可少， “ 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉”从 n=k 到 n=k+1 ； 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 五、布置作业： 教材 50 4、5、6 题. 六、教学后记：n36课题：第 03 课时用数学归纳法证明不等式（一）教学目标： 1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导， 2、理解数学归纳法的操作步骤， 3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式 书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程： 一、复习准备： 1. 求证：12 22 n2 n(n ? 1) ? ??? ? ,n? N* . 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)2. 求证： 1 ?1 1 1 1 ? ? ??? n ? n, n ? N * . 2 3 4 2 ?1二、讲授新课： 1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法， 以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为 P（n） ． （1）证明当 n 取第一个值 n0 时，结论正确，即验证 P（n0）正确； （2）假设 n=k（k∈N 且 k≥n0）时结论正确，证明当 n=k+1 时，结论也正确，即由 P（k）正确推 出 P（k+1）正确， 根据（1）（2） ， ，就可以判定命题 P（n）对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确． 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点： （1）在从 n=k 到 n=k+1 的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要 认清不等式的结构特征； （2）瞄准当 n=k+1 时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置； （4）有的试题需要先作等价变换。 三、应用举例： 例 1：比较 n 2 与 2n 的大小，试证明你的结论. 分析：试值 n ? 1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明 → 要点： (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? k 2 ? 2k ? k ? k 2 ? 3k ? k 2 ? k 2 ? ?.37证明： （略） 小结反思：试值→猜想→证明 巩固练习 1：已知数列 ?an ? 的各项为正数，Sn 为前 n 项和，且 Sn ? 并证明你的结论. 解题要点提示：试值 n=1,2,3,4， → 猜想 an → 数学归纳法证明 例 2：证明不等式 | sin n? |? n | sin ? | (n ? N ? ) . 要点： | sin(k ? 1)? |?| sin k? cos? ? cos k? sin ? |?| sin k? cos? | ? | cos k? sin ? |1 1 (an ? ) ，归纳出 an 的公式 2 an?| sin k? | ? | sin? |? k | sin? | ? | sin? |? (k ? 1) | sin? |证明： （略） 例 3：证明贝努利不等式. (1 ? x)n ? 1 ? nx ( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 1) 分析：贝努力不等式中涉及到两个字母， x 表示大于-1 且不等于 0 的任意实数， n 是大于 1 的自然数，用数学归纳法只能对 n 进行归纳 巩固练习 2：试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n∈N 且 a、b、c 互 不相等时，均有 a +c ＞2b . 解答要点：当 a、b、c 为等比数列时，设 a=n n n*b n n , c=bq (q＞0 且 q≠1). ∴ a +c =?. q an ? cn a?c n * ＞( ) (n≥2 且 n∈N ). 2 2当 a、b、c 为等差数列时，有 2b=a+c，则需证?. 当 n=k+1 时， =a k ?1 ? c k ?1 1 k+1 k+1 k+1 k+1 1 k+1 k+1 k k ? (a +c +a +c )＞ (a +c +a ?c+c ?a) 2 4 41 k k a?c k a?c a ? c k+1 (a +c )(a+c)＞( ) ?( )=( ) . 4 2 2 23. 小结反思：应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩. 四、巩固练习： 1. 用数学归纳法证明： (1 ?1 1 1 tan(2n ? ) . )(1 ? )....(1 ? )? n cos 2? cos 4? cos 2 ? tan ?1 1 1 1 2. 已知 n ? N , n ? 2, 证明： ? ? ??? ?1. 2 n ?1 n ? 2 2n五、课堂小结： 六、布置作业： 教材 P53 七、教学后记： 3、5、8 题.38}