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& 清华学霸教你如何真正学好数学
新浪教育文章作者：李爽
&&& 从小到大，我个人就对数学特别感兴趣，小到口算买菜找多少零钱，大到现在博士研究期间天天推导各种复杂公式，无不觉得数学是最能体现一个人的思维能 力，判断能力、反应敏捷能力和聪明程度的学科。有很多学生无论在初中还是高中都很苦恼怎么才能学好数学、获得高分，这次我就总结下自己的切实经验，当然我 这里就不列举那些传统的官腔方法了，希望能从细节入手，真正解决大家学习数学时的困惑和问题，给你在黑暗中点盏明灯！
　　如何真正学会数学（怎么预习和复习、上课）
　　有的人说上课老师在那里呱呱一直说，可自己并没跟上，就没信心听下去了，或者是感觉上课听得听明白，可为什么一做题就错呢？这里我要说的是，你 上课听明白了，不代表那就是你的东西了，就和你看到孙杨如何游泳了，难道你就能一个猛子扎水里去游了吗？所以，我们要紧抓课前、课上和课后这三个环节！
　　课前预习，是很多人忽略的环节，它的重要性大家也都知道，我想说的是，你的课前预习不仅仅是看看书就好了，而应该试图自己理解这节讲什么（关键 是自己理解），很简单就是你看了一遍三角函数，就合上书想想三角函数是什么？我能用它来干嘛？这种疑问会给你带来浅层的印象，上课时你立刻就有代入感了， 就像很多人玩游戏要先看下攻略啊，这样碰到问题就可以尝试各种方法来解决它。
　　由于你课前预习了，上课时老师讲的很多东西是在加强你的印象，而且你之前的问题会一个个解开，你也会跟着老师的思路一直听下去，如果你的问题老 师也没解决，ok，你碰到了个好问题，这有可能就是困扰很多人的问题了！所以下课一定要第一时间解决你的疑惑，因为你一放，这个问题你估计就忘了&&所以 趁热要打铁！还有，上课的时候，你一定要打起12分的精神，这会减少你很多课下的无用功，你想想老师准备了那么长时间讲一节课，你却不好好听要课下自己 看&&这简直本末倒置嘛！所以，老师讲的再烂，也比你看有效果的多，所以如果你不是回回考140+的选手，就好好听老师讲课吧！
　　如果你课前和课上都做得很好，那么课下这个环节就很好办啦？很多人说自己上课什么都会，做题什么都错！或者做题什么都会，考试什么都错！这就是 没有重视课下的结果。在课下，你应该再读一遍这节课学习的内容，然后每个公式和定义都要自己推导一遍！！这个十分关键，只有你自己不看书推导一遍公式，或 者自己复述定义的时候，你才知道你那里不会，而且推导这些公式绝对使你不用再刻意的记忆什么公式，而是信手拈来的~~举个例子，比如三角函数中的辅助角公 式，有人背的很熟，有人也勉强会推导，可是你们知道为什么要这样构造吗？
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　　这里是恒等变形，可是为什么这样恒等变形呢？我们来回忆公式：
　　对比这两个公式可以看出，由于，所以这里
　　就填补了的位置，这也就是恒等变形的原因！以后的步骤我也就不用多说，你就明白了，我现在也没看课本，但是仍然能推出来，而且考试时我也是现推的，基本没错过，因为当你推过几遍后，你就真的理解了！才能真正听懂！
　　所以，在课下，推导公式或者思考定义时，要多问几个为什么，而不是浮在表面的，再加上大量的练习，你的数学才能有点起色啊！如果你能坚持下来，那你的基础一定是扎实的，而且是牢不可破的！
　　最后提及下做作业的问题，这个在后面的章节还要细讲，这里就说，数学是个需要大量练题的学科，因为需要你的熟练度，而且俗话不是说没有量的积 累，哪有质的飞越嘛！我们就是要熟练到，就算在考试中也是行云流水的算题，这都依托于平时的练题，你想如果平时你都是用眼睛算题&&想让自己在考试中神灵 相助！可能吗？所以，功夫在平时，在一点一滴，金字塔的塔基修建的是最慢的，但是慢慢往上，就平步青云了！
　　如何刷卷纸，做作业（平时怎么刷？限时训练）
　　今天讲一个所有人都问的问题，就是平时我是该刷卷纸还是看书呢？平时刷的卷纸也挺多，怎么就没用呢？这些个问题困扰了不知多少准高三学生，我希望把我自己的经验告诉大家，帮你解决你的困惑吧！
　　有人给我说，我有个同学天天刷卷纸，时时刻刻都在刷，上课刷，下课刷，边吃饭边刷，有时睡觉还在刷&&，搞得我不刷都不行，都觉得自己落后别人好多！！（呵呵）我想说，刷卷纸无可厚非，但是刷了这么多卷纸真的起到了那么多卷纸的作用了吗？我们应该问每套卷纸要效率。
　　首先刷卷纸，一定要限时做题！因为考试是限时的，你可以在平时写一套卷纸用10个小时，做的十分工整&&但是考试时谁会给你那么多时间呢？这是 很多人碰的问题就是平时做题都会，考试就是不行！因为，你在平时做题时很放松，脑袋比较灵光，而且做题无压力，你没做好谁会杀了你？是吧，而且有人还有虚 荣心，会时不时看看答案，蒙蔽下自己幼小的心灵！哈哈。所以，一定要限时做完一套卷纸，甚至限时做完一次作业，只有你在紧迫下适应了写题的氛围，你才能在 考试中达到较好的状态！
　　当然，有人好不容易花了2个小时写完一套卷纸，觉得万事大吉了，说明天再对答案吧，然后就出去撒欢的玩耍&&其实，这错过了最好的检验和纠正自 己错误的时机！因为，做完卷纸你的思维是十分鲜活的，知道每道题你的思路是什么，而你过了一晚上甚至1个小时，就忘了你怎么选错了&&所以，你做完卷纸 时，一定要上个厕所立刻回来，坐下来静心的对答案，并且把自己错误的地方画出来，标明自己的错误，警示自己。同时思考几个问题：我为什么错了？答案为什么 对了？我和答案的思路差在哪？我怎样才能像答案一样思考？我的思路如果继续做能对吗？OK，当你把每道错题都这么仔仔细细分析过，并且牢牢记住自己的错 因，我想下回你犯这个错误的几率会小很多的！
　　刚开始，你这样写一套卷纸，估计会花费5，6个小时，但是你会发现，20套卷纸以后，你的错误会越来越少，你的成就感也会越来越强，在考试中也会体现出来的。
　　如何对待错题（怎么改错，错题本怎么用）
　　上节说了如何刷卷纸，刷了这么多卷纸可定会有很多错题，有的人根本不会再看自己的错题，而会继续刷新的卷纸，我想刷新的卷纸对他们会有征服感吧！可是，这些人就会有些问题今天错了，下回还错，考试也错，就是有些错题他总也记不住！
　　这是因为，他没有重视错题的价值！他的错误思维在第一次建立，并且没有被改变，一直延续了下去，所以错题是要经常看的，并且反复不断的做，错， 找原因，知道自己搞定了自己的弱点！有的人的错题本整的和要卖的书一样整齐，但是却只是装饰品，所以，错题和错题本一定要常看常新！
　　当你刷完卷纸，一定要用红笔在你错的地方大大的写上错因，然后早读或者课件或者闲的时候，翻一下，看看你上次的错误你能不能这次改正，事实是很 多人会不止一次犯相同的错误，我也一样！你的错题，我建议你至少看过5遍，这叫常看。每次看错题，都要悟出自己的错误和弱点，并且想办法纠正自己的思维定 势，每次纠正一点，慢慢你的思维就会和答案一样啦！这叫常新！
　　我觉得错题的价值特别大，每次考试当中你的错题要比你做对的更重要，因为你平时做对的也 会做对，但是你做错的如果高考做对了，你就真的赚了！所以从错题中挖掘你的潜力才是王道！这里举个我师兄的例子，他当年高考145+，我问他你的数学这么 好，秘诀外传不？他说，最大的秘诀就在看错题本，他的错题本都被他翻烂了，使得他犯过的错误基本不再犯了！这让他每次考试都很胸有成竹，因为很多陷阱他都 跳过&&但是都记得特别清楚！这就是错题的力量啊！
　　顺便说一下，有人问不知道自己的薄弱环节在哪？这个很好办，找出你的前5次考试或者前5套卷纸，看看你错的都是什么地方，OK恭喜你，你的弱点就在那里，加油补强他吧！！
　　如何养成良好的习惯（细心，答题过程，练字）
　　这次我们说下如何让你改掉粗心的毛病吧！很多人考完试都会懊悔自己没有足够细心而丢了很多分数，或者是解析几何因为算错了一步中间过程而导致此 题满盘皆输&&其实，粗心是不好的生活习惯的一种在学习上的延续，说的有点绕口，举个例子吧。你会发现，粗心的人他在生活中会有以下行为：被子基本不叠床 上桌上乱糟糟、刚才拿的遥控器下一秒就不知道放哪了、爸妈刚交代的事情转眼就忘了、如果有文具袋的话就是各种笔一大堆但是能用的没几支需要试来试去&&这 些都是生活中的细节，都表现了这个人不好的习惯：粗心、马虎、神经大条，所以这个习惯自然而然就带到了平时的学习和考试中去，算题自然而然就有很多问题。 反观那些成绩好的同学，绝大多数都是生活井井有条，桌上干干净净的，所以想改到粗心的毛病很简单，就是从生活中一点一滴的小事做起，让自己变得心细，慢慢 的在平时写作业或者考试中你就发现，不知不觉你的正确率就提高了，而这也正是习惯的力量带来的好处！
　　既然说到了习惯，就在说说答题过程这个习惯的养成，在高中时我的卷纸经常是展览的对象（有点不好意思&&），因为老师说我的答题过程就和答案一 样，这也得益于平时做作业就养成的好习惯。在做作业时，我都会一丝不苟的把每道题的步骤写的很完善和工整，不会因为这个耽误太多时间，在考试中就会自然流 露出这种训练的价值！而也正是这种习以为常的好习惯，才能帮助我在中高考的数学上有较大的突破。所以大家如果平时做题就马马虎虎应付了事，这样真的会对考 试造成很大的影响，你若是想洗心革面重新做人的话，你就好好研究每道题的答案是怎么写的、怎么来的，然后全力模仿和创造吧！
　　如果你的习惯已经很好了，若想更加完美，这就需要卷纸的&脸面&好看些，也就是字！一定要漂亮，或者退一步，一定要工整！这个不需要你刻意去改 变什么，就是每天练练字就好，相信习惯的力量吧，每天你都在写好看的字，久而久之你的书面就会有很大改观，你去看看那些高分卷纸，那个不是让你看了如沐春 风呢？这个细节大家一定要加把劲，绝对会给你增色不少。
　　如何培养数学思维（产生兴趣，严谨，有根有据，自学能力的培养）
　　大家如果读了之前的经验，而且你也努力去做了，我只希望你能坚持下去！而你的分数的提高也是早晚的事。
　　但是有人说，我确实对数学不感兴趣，就是没有数学思维&&哈哈，其实不是任何人一开始都会对数学感兴趣，而是在你的不断坚持和探索中发现数学的 乐趣！我坚信，兴趣是最好的老师，你特别喜欢玩魔兽，你就会千方百计的找寻通关的技巧，如果你特别喜欢数学，那么恭喜你，你的数学一定能够很棒的。所以， 大家都不要因为自己数学有点差就垂头丧气，觉得数学是十恶不赦的恶霸，其实数学的兴趣真的可以慢慢培养，只是你，刚开始不要拒绝他！应该有种数学虐我千百 遍，我待数学如初恋的气魄和坚守！
　　数学，是一门严谨的学科，任何公式的推导，概念的定义，都有它的原因。比如三角函数的引出解决了古代天文学和航海的许多难题，概率的定义让我们 了解了世界的不确定性，也如同我在第一节推导的辅助角公式，也是有根有据。所以啊，你在做题时，一定不能拍脑门一想，怎么怎么着，这一般都是错的，唯有你 根据题目的条件，一步一步有理有据的推导，才能达到胜利的彼岸。而且，数学教给你的不仅仅是如何算题，更是教给你一种看待任何事物的态度。当我们碰到任何 事物都是，刚开始你对它一无所知（一道题），你开始了解它是干什么的（读题干，找条件），然后你要解决这个问题（解题），但是如果你觉得这个问题太难，肯 定就要化繁求简（由已知来推导未知），最终经过一番磨难，搞定这个问题（解出一道压轴题）！我也是从数学中，慢慢体会，慢慢思考，培养自己对待事物严谨的 态度，觉得数学给我带来了很多乐趣！
　　当我讲完这些大道理时，还有一点我要提及，就是学习数学时，我们要有意识的培养自己独立思考和独立自学的能力。来到清华发 现，除了智商和刻苦程度的差距外，我和其他优秀同学很大的差距在于独立思考和自学的能力。而数学正是锻炼这种能力的最佳学科，你可不要浪费这个机会呢。无 论你现在高几，都要用批判的眼光看一道题，就是看答案时，一定要思考这个答案为什么这么来？这点十分关键，一定不要完全迷信答案，而是批判的接受他。由于 我们一直就是填鸭式教育来的，到了科研的时候就发现深受其害了&&对了，还有自学的能力，现在我发现很多人都是等着老师布置题，等着老师讲，这种等待是最 最不好的习惯！你不会的一定要自己想办法搞定去，自己学习，懒，永远是阻隔你和成功的一道坚固的城墙&&
　　如何考试（试卷分析，拿高分）
　　最后，我们还是回归主题，希望大家看了这个系列有所收获，能够考一个更高的分数，虽然很俗气，但是面对改变人生的高考，我们必须好好对待他，然后战胜他！
　　如果你很了解考试，一般来说你应该知道试卷中试题的分步。拿高考新课标卷为例，高考卷纸中一定有60%的题目是基础题，这是一定的，也就是说， 只要正常学习，课后题都做了，90分问题不大。（有人在这里就会鄙视课后题了&&其实，课后题目是所有题目的根本，我当年高考140+时就是得益于一道课 后题，高考只改了数字，我轻松做出，但是很多人在那道概率上栽了跟头）也就是选择的前8-10个，填空前2个，选做题，还有前2-3个大题，一般都是送分 的，所以这些题目一定要稳拿。如果平时你还还做做训练，那么我觉得数学110-120你肯定没问题，也就是选择、填空各多对一个，大题在多对一道，20分 就又拿到手了，如果你解题很熟练，发挥又不错，我觉得130对你来说是目标，在往高了说，你就要对一些难题有自己的理解与思考了。
　 　总之，只有你对试题有了充分的理解，才能百战不殆，可是考试毕竟随机性很强，所以我们还要注意各个细节（除了之前所说）！用什么笔答题、带什么手表、做 题节奏是什么，你都要有细致的规划，最起码要准备好。这里着重要说的是做题的节奏，我当时考试一般做完所有题目就剩5-10分钟，然后看看姓名学号写的对 不对，有没有那道题拿不准什么的，做一下紧急修正。如果你有个很好地节奏，一般不会发挥的太失常，可是哪天我突然提前半小时写完卷纸，我就会发慌的&&对 了，为了得分，即使你有不会的题目，也要在最后时刻写满他，用满满的公式告诉老师，你给点分吧&&这些技巧有时真的会帮助很多的。
　　好吧，这里我该说的都说了，思路还是有些混乱，希望你不要见怪，但是这都是我对于高中数学的思考，希望你能吸其精华，弃其糟粕吧，也希望大家能支持我们闻题鸟，我们这里有一大帮清华的师兄师姐在等着帮助你们，你们还犹豫什么呢？
　　希望大家都能考上自己理想的学校！师兄在清华大学等你们！
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2017年2018年
高考关键词怎样搞数学竞赛
&&1.&怎样搞数学竞赛
&&搞竞赛要找好苗子，他(她)应该是有热情的，勤奋的，更应该是有抱负的，不畏艰难的；不能搞抱佛脚的事。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。
&一、在进度方面：
要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。
二、必读书目：
&开始阶段（专题）：
01、*《组合几何》（单墫）
02、*《函数方程》
03、*《怎样证明三角恒等式》
04、*《柯西不等式与排序不等式》（南山）
05、*《抽屉原则与涂色问题》
06、*《覆盖》（单墫）
07、*《初等数论》（三册）
08、 《数论妙趣》
09、*《基础数论典型题解300例》
10、*《几何不等式》
11、 《趣味的图论问题》（单墫）
12、*《数学竞赛中的图论方法》
13、*《计数》
14、*《组合数学理论与题解》
15、 《组合计数方法及其应用》
16、 《组合分析的原理 方法 技巧》
17、*《集合及其子集》（单墫）
18、*《几何变换与几何证题》（萧振纲）
19、《近代欧氏几何学》（R.A.Johnson）
20、 《平面几何中的小花》（单墫）
复习阶段（综合，针对思想方法）：
21、*《从特殊性看问题》（苏淳）
22、 《组合恒等式》（史济怀）
23、 《解析几何的技巧》（单墫）
24、*《算两次》（单墫）
25、*《构造法解题》（余红兵 严镇军）
26、*《漫话数学归纳法》（苏淳）
上面那些书（基本上是数学家写的）应该要学完（特别是打*的）；虽然有点多，但这些书实在太好了，把很多问题都讲得很透彻。然后，该看些竞赛书了，当然，这个时候阅读起来会很轻松的。《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。
&&再推荐一些非常有用的课外读物：
27、《通俗数学名著译丛数学游戏与欣赏》（鲍尔）
28、《通俗数学名著译丛 数学娱乐问题》（J．A．H．亨特
J．S．玛达其）
29、《通俗数学名著译丛圆锥曲线的几何性质》（科克肖特沃尔特斯）
30、《圆锥曲线》
31、《圆与球》（W．伯拉须凯）
32、《棋盘上的组合数学》（冯跃峰）
33、《几何》（笛卡尔）
34、《几何的有名定理》（矢野健太郎）
对于竞赛教练员来说，我认为以上所有的书都应该熟读，这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然，数学水平也会上升一个档次。对于参加竞赛的，也提出了极高的要求，要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话，看完了这些书（或者已经基本看完了），联赛也马上就开始了，这时是高二开学后一个月左右（有些省设了初赛，可能还要早些），即使考得不理想，我想拿个二等奖问题不大，不必灰心，更不必太悲观，因为还有高三一次机会，还有足足一年的时间精心准备，等到一年之后，收获之时到矣。
我一直说，智商在整个中学学习中是个次要的因素。努力、进取、方法才是决定学生成功与否的关键。往往我们只看到了国家集训队学生遇到难题时的从容不迫，于是我们把他们定义为天才。事实上他们付出的是成倍的努力。
举个例子吧．每年高一的学生中希望搞数学或者物理竞赛的学生，我都会带他们去拜访往年的成功考生．回来后新生都充满信心：以物理竞赛为例（数学竞赛得看小学初中的基础，物理竞赛从高一才开始，初中内容相对容易），往年的学生给出的经验是：只要把程稼夫的三本书做完至少可以拿到省一．听上去多么容易啊，只需要做完三本书．在优秀学校里，在教练的辅导下完成三本书从难度上来说不是特别的大．可往往一年下来，所有的学生都打了退堂鼓．
如果说天赋很重要，我个人认为能够坚持到最后永不放弃的这种恒心才算是天赋．在外人看来优秀学生的遥不可及的能力是日积月累而成的结果．
至于夺得金牌，在相应领域成为最棒的科学家是进一步的事情，不是几句话说的清的．
推导相对论不像大家想的那么困难。学过广义相对论以后对照书本推导一次，往后离开书本自己推导完全是可以的。难就难在推导一次相对论需要花费非常多的时间（大半天的时间），试问有几人能坐得住呢。至少我不能。
同样是我这个同事，他将有名的吉米多维奇习题集（大约4-5本，每本400页左右。无解答，全是题目，题目量可想而知）全解过一遍（是否全解出我不清楚）。这种努力是多么的难得。
最好的学生一定是会用功的学生。他们比多数学生都睡的早，但不表示他们不勤奋。在勤奋的基础上，由于方法不同也会有高下之分。
&&诚然天赋的高低会决定你是进省队还是国家队，在这种顶尖竞赛中天赋是重要的。但天赋的高低不会影响你中高考成绩是否优秀。
勤奋、态度、方法，这些是我们后天可以做到的，对待任何事情都应该勤奋；勤奋之余寻求好的方法改进自己的学习习惯。这是主动迎接学习挑战迎接人生挑战的积极态度。
在天赋上抓住不放从态度上就显得消极得多。还没开始学习从心态上就输了半截。
这个老帖子今天又看到，真是感慨颇多。回想自己的中学大学研究生的求学生涯。多少的聪明人因为态度上的问题早早折戟沉沙，而像我这样愚钝之辈通过自己的努力总算能在社会谋取一席之地。&
随着孩子年龄的增长，家长们的关注点从小学转向了中学。
&& 数学竞赛所需的时间很多，需要大量的阅读，对平时功课的影响较大。而且比较依赖于小学的奥数基础。
竞赛不是最需要的东西。不过版里关注的家长很多，并且都以高中保送和提前考试资格为目标。如果是数学竞赛。到了初中再起步就晚了。
孩子是否有很强的毅力是非常重要的。奥赛是需要投入大量时间的，天赋再好，不能吃苦的学生是没法取得理想成绩的。另外，孩子是否在相应的学科表现出一定的天赋（通常通过平时考试成绩判定）也是需要注意的因素。
初中物理如果以高中奥赛为目标，现在的8成培训中心的课程是不合格的。这与数学的反差很大，很多机构的数学培训做的都比较有特色。当然，这跟中考的指挥棒关系密切。
我个人认为，初中物理的力学、电学，完全应该采用高中的模式教学。而不是停留在初中的层面上。但这点多数老师做不到，主要原因是，高中的力学电学需要比较多的二次函数、三角函数的基础。初中的物理老师在辅导这方面问题时，能力上存在一定的缺失（恕我直言）。
言归正传，目前初中竞赛课程多数培训机构就是跟着课本走的。难度加深了一些。换言之，叫做提优更准确些。
另外，虽然初中竞赛严令禁止，各培训中心的初中奥数、奥物课程课程还是存在的。优秀学生仍然是有这方面的需求的。
奥林匹克数学起源于1934年前苏联在列宁格勒举办的中学数学竞赛，1959年在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）。世人对于奥数的崇敬感，根源于人们对数字、数学源远流长、绵延不绝的敬意。古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯曾宣称，“万物皆数”，“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学！
&&&&&奥数于数学，正如同奥林匹克运动于运动，是其精髓部分的收集，整理与升华。尽管缺乏表演性质，但奥数训练中获得的技巧，方法与灵活的思路能继续用于高等数学的学习与研究这一点是奥林匹克运动无法比拟的。
毫无疑问，奥数高手们的数学思维是很敏锐的。记得80年代有一道IMO的题目，当年主办国的五名大数学家研究了一天一夜都没有结果，但考场上的学生们却有十一人做出了这道问题。这当然不能说明这些学生的数学能力就好于那些数学家，但起码说明了他们能找到数学家都找不到的路，加以培养，假以时日，他们成为新一代数学家是完全有可能的。虽然奥林匹克数学与数学研究有着本质的区别，但对数学的感觉与思考问题的方法是不变的，因此，至少把奥林匹克数学作为一种筛选适合研究数学人才的方式是绝对没有问题的，而且是良性的。
&去年获得IMO满分金牌的山东师大附中学生韦东奕，这是一个偏科的学生，不过即使他不偏科，要凭高考杀入北大也基本是痴人说梦。因为有了保送制度，他得以在高中毕业后进入北大学习。此人在数学尤其是代数方面的思路，解法不仅令各路高手乍舌，更是令我们叹为观止，这样的学生
如果不能得到优良的教育和引导，那真是我们教育的失败。
&&&&&&前几天我偶然在网上看到一篇杨乐先生的“直言”，说“即使在国际竞赛拿到了好成绩，也没有什么好骄傲的。因为奥数培训班是在学习过程中进行突击训练，这个突击训练对将来成为数学家不能起到任何作用。”关于这点，我想我不用多说什么，只用一下反证法就好了。如果真的通过突击就能在国际竞赛上拿奖，那国际竞赛不要办了，中国数学奥林匹克也不要办了。突击谁不会啊，为了保送清华北大什么招不用啊，那CMO还不挤破了脑袋？事实上，参加过CMO的都知道，数学灵感不够的人，再怎么培训都是扯淡。
刚才谈到了人为的训练，那有人可能就要问了，能不能精选竞赛题目，使得训练的成分能降低呢？或者说，能考出学生真实的数学素养呢？对于这点，我只能说，越高级的竞赛越倾向于能做到这一点。事实上，我们正是这么做的。比如今年我老板做IMO中国国家队领队，大家都知道他是搞不等式的，结果很多学校都无条件地研究各种不等式书籍，特别地有几个学校还找了一本越南人写的类似于机械证明不等式的书。结果呢？我们的集训队考试一共考了三道不等式，可以说没有一道是可以“机械地”做出的。其它方面的问题也是如此（当然，比较惭愧的是，这次的小考题还是有两道在mathlink上被找到了原形，还有09冬令营事件……）。但是，在初中、小学竞赛中，却很难出一道题，又是新题，又能考出学生的水平和素养。毕竟初中生、小学生拥有的“武器”太少了（这里的“武器”不仅是知识，还包括思维承受能力，即驾驭题目的能力），因此可以让他们解答的问题种类也太少了，基本上出个题不是成的也有影子，这样训练占到大比重也就理所当然了。
当然，训练并非一定是坏事，一些良性的训练对于竞赛选手来说只是有益无害。好的训练可以弥补一名选手的弱项，并且让这名选手有自己优异的特点。这些良好的训练，并没有打击他们学习数学的积极性，或者是扼杀他们的天赋，相反地是激发他们潜力的最好方法。
&&&相信很多对数学奥林匹克有感情的同学们都和我一样，希望有朝一日我们国家的奥数能形成一个美丽和谐的状态，但一个两个人是无法左右大局的，我们在做好自己本职工作的前提下，尽量去扭转这个形势就够了。正如几位大师饭后调侃时所说：“数学的进步与倒退与你无关。中国数学的进步与倒退也与你无关。中国的数学奥林匹克的进步与倒退或许与你有关，但你只是探讨微分方程是否有解问题时那个初值上的微小变量而已。”
&&一试：先将53【五年高考三年模拟】刷完，高考是基础，其次再刷高中数学竞赛培优教程一试【《高中数学竞赛培优教程》(浙大&一试)】，刷完后你已有了良好的基础，在弱省实际上就已经具备了拿省一的实力了，此时就应该做些拔高题了。
& 二试：可以买奥赛经典专题研究系列（代数
几何组合数论四本）这套书主要是用来对照竞赛大纲把二试冬令营相关知识点查缺补漏，没必要四本全做（相信你也没这么多时间),但不熟的地方一定要认真做完。
接下来就是冲刺冬令营了，强烈推荐《数学竞赛研究教程》(单壿），认认真真反复做，做透做熟，每道题尽量都自己做，不论例题习题，不到迫不得已坚决不看答案，这样你已经具备拿国一的实力了，接下来能否拿金牌要看运气了。
如果能进队的话自己不必再找题了，教练自会布置大量难题做训练。这时候大量做题是必要的，但纯粹是为了锻炼熟练程度。我认为这个时期的关键是多阅读一些专著，名著，为今后长远做打算。这些事才是真正能提高数学修养的书。
&此外自学大学基础课也是很必要的，如数学分析，高等代数等。实际上，学习竞赛的人，到大学会有一些不适应，原因是对一些“简单”性质的证明遇到麻烦，实际上竞赛一直对基础很缺乏重视，很多书中对一些定理的证明都视而不见。大学数学和竞赛数学最重要的差别就是，一个是要会证，一个是要会用。
& 下面再推荐一些书，但记住这3
以后这些书都等保送以后再看。
&1.首先是数学奥赛辅导丛书，分为第一辑，第二辑，现在紧随其后的叫数林外传，中科大出版。永恒的经典，是提高数学修养的好书，可以珍藏一生。
&2.其次是数学小丛书，不是数学奥林匹克小丛书。数学小丛书是有华罗庚等数学大家写的，认真阅读受益终生。
&3.数学专著：几何原本，希尔伯特几何基础，高斯算数探索等。外语水平好的建议看原著，水平稍差的中外对照着看。专著有助于真正提高水平，是成为大师的必由之路一。
4.在阅读数学名著，光看不动手做是不行的。推荐数学分析习题集：吉米多维奇，还有北大的习题集。其他基础可本人不是很了解。
5.数学基础课：数学分析推荐中科大常庚哲史济怀的数学分析教程，个人认为很适合学静思的同学使用。其他基础课国内的我不很了解，外文的倒可推荐几个系列。
&图灵数学系列，数学名著译丛，华章数学译丛，法兰西精品译丛。
可能很多学竞赛的对这些基础课不屑一顾，但须知这些才是长远的。一味迷恋初等数学的技巧，忽视高等数学的重要性是难以走远，取得好的发展的。许多人说国内拿金牌的为什么获不了WOLF，菲尔茨奖，我想原因就在此。其实很多竞赛的好题都取材于高等数学，多看长长见识是有好处的。下面再推荐一些适合竞赛的专著。
&几何：初等数学复习及研究平面几何，立体几何。有助于深化系统自己的几何基础。
&组合:推荐单墫老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。
& & 数论：潘成洞潘成彪的《初等数论》非常适合学竞赛的人用，华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完前面一本后再深化学习。新版《数论导引》就是华罗庚文集数论卷二。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。
&最后再说一下命题人讲座，适合系统学习，冲刺冬令营。但没必要每本都做。挑其中较好的做便可。如《解析几何》《函数迭代与函数方程》《数列与数学归纳法》《组合问题》《三角函数与复数》《向量与立体几何》。《图论》《组合几何》则非常难，适合上大学没事时翻翻。陈计的不等式强烈不推荐，上大学也不推荐，大学中较好的如哈代《不等式》就是十分优秀的书。
别看我似乎写的简单，真能做到的没几个，过道的至少都省一了。而且上头其实不只是我一人的经验，是我与许多北大清华中科的本人交流总结的，更多的是那些在大学也混得不错的。
等你刷完一试，你的基础已经很好，二试不可能一道题也不会，以我的经验应能做差不多两道题
如果在强省建议把奥赛经典专题研究系列四本相关不熟的地方认真做一下。时间来不及可以做叶军奥赛经典（这本如果做就认真做完，有进集训队的和我说就做的这本）。冲刺冬令营建议把单墫《数学竞赛研究教程做完》，还嫌不够再把《挑战IMO》后头的题做做。
（刷53肯定是要的，但是我觉得刷完53去刷一试不好，不系统，应该先专题学习，这些一试是等所有知识学完之后再去刷的，先系统（专题）学一遍，再去刷这些综合题，比如小蓝皮【数学奥林匹克小丛书，十四本】，解题策略【高中数学竞赛解题策略】都是很好的专题书）我建议不要刷，两年时间做完很困难
（虽然高考和一试难度差不多，但还是远不及一试，53的只能是说将你的高中数学基础巩固好，然后竞赛应该先从专题开始学习）其实竞赛一试真没大多数新人想象的那样难，和高考确实接轨，只不过很灵活，但一试足够了。你所说的专题则更多是为二试及以后准备的。（我觉得不必刷五三了。。那么厚一本而且决定搞竞赛的数学基础不会差吧，再说浙大一试也有不少高考题）
（先学完再去做，不更系统吗？竞赛的学习本来就是专题学习
&我说的就是各个击破啊，专题学习不是各个击破么？）几个月基础还可以的完全可以做完一试实在没时间就做挑战IMO、十八讲或数学奥林匹克高中版新版竞赛篇单壿主编北大出版社
这本书很老但网上能买到作者很权威现在都是国家级教练推荐后面的这一本
但这两本都不太适合联赛一试使用更倾向于二试及以后的除了浙大一试以外市面上较好的应对预赛一试的书真的很少
&组合图论也可以做做，并非高不可攀。当然只为一试不做也可以。真题分析是研究系列最烂的一本，不推荐。超训没做过。
& &还有挑战IMO十八讲，内容不是很多，也不是特别难，可以先把这本做完。每天做一讲，十八天做完，在做些真题就OK了。但无论如何想取得好成绩就一定要有一本做完的书，切记。
（话说数学竞赛研究教程的难度和命题讲座的难度相比？）不好比较，命题人讲座有几本书难度完全不在同一梯度上。而且单墫老师一般注重的是思想方法，而命题人讲座由基本根本就不注重这个，根本不了解竞赛的含义。竞赛不是越难越好。此外我认识的进队以上的普遍推荐数学竞赛研究教程。（特别是那个《圆》！）
（能给本数论0基础的书吗？）是单樽老师教你学数学系列（这个系列的组合问题和解析几何两本怎么样？）都很好。单墫老师的书都深入浅出，通俗易懂。不过解析几何这本书技巧较多，多数人说说用不到且例题对竞赛来说似乎太简单，但但我的看法及建议是吃透他，你的解析水平将有质的飞跃，不再局限于高考竞赛之类的了。
&中科大最新出了一本《周期数列》数林外传系列，非常适合学竞赛的使用，大家可以搜一下。（解题策略应该可以替代奥经吧，解题策略应该更好，而奥经读不出什么味道）解题策略不系统，适合教师或高水平同学作研究或刷题用。奥经则是用来查缺补漏的
（楼主说的53能否给具体点，是53高考理数吗？是A版还是B版？B版的模拟题难度大，最好是B版吧）53高考理数&高考肯定是B版嘛&
（表示浙大一试和五三高考我高一一开始就开始刷了。。。。现在没有完全刷完。。表示题目会了但是记不住啊）题目不须记，关键是自己做出来(没看答案）掌握方法，知识甚至是次要的（就是方法不熟练，记不住思路）多做些题自然就熟了，实在不行推荐看单樽《怎样解题》，网上有卖。如果就要刷题，可以买《多功能题典高中数学竞赛》（我买了题典单墫老师的我怎样解题我不太了解。。书很贵，不知道怎样）永远记住，中国竞赛最强的，还在世的是如下几位：综合（单樽，苏淳，常庚哲，裘宗泸等老头，基本上都70岁左右了）几何：叶中豪;数论：潘承桐潘承彪；组合:单樽徐士英等；代数的人有很多，都差不多。但首推最前面的几位老头。
（我是应该深入看竞赛专题呢还是完完整整掌握五三和浙大一试就好？）先弄基础，再提高看我在顶写的。（前辈我刷了小红皮数论正在刷奥经数论可是都不怎么会做，很多题目都还是抄答案，很担心自己的状态）一定不要抄答案，那在浪费时间。先把基础弄扎实，如53一试之类的。学好数学不仅要做题，还要多读书。看来你和我一样。我就是靠多读书提高水平的。如我前面提的，数林外传，数学奥赛辅导丛书之类的都是极好的书，网上能买到。可以多看看。（我书也不少了。一试早就做完了-
关键是二试不太会）可能是思路不行。推荐看看苏淳老师的小册子。还有就是要多做题熟练就自然会有思路的。但照理说，一是如果做完了，考试时二试应能做两道题左右呀。（浙大一试又不训练平几数论几何什么的....很多题目啊看了答案之后发现并不难解题的技巧以前也见过，但是怎么说呢技巧性的东西太多
反而难以发现用哪个去解决这个题目= =果然是题目隐藏的太深了）
（不得不说53太贵了）确实贵。现在中国书鲜有不贵的了。但53是基础，只有基础扎实了，楼才能稳，才能越建越高。做题之余不忘看看课外书，提高自己数学修养与水平，中科大的小册子就很好，也不贵，多看看吧。（浙大一试里面的题不会做怎么办）先放着，过段时间再做，一定不要轻易看答案。可以请老师或同学指点一下思路，但不要听他们说解答。...计算机专业数学要求高，你所说的数论，图论，组合正好是计算机专业所必须的。看来你算个内行了。告诉你，与其看小蓝皮，不如看我推荐的这三本书。数论;《初等数论及其应用》华章数学译丛，机械工业出版社，数学，计算机专业必看书。图论：单樽《趣味的图论问题》中国图论的开山之作，最好的入门书，计算机专业的不了解，可以上网咨询一下。组合没有必看书，徐士英《组合数学》是我看过的唯一一本比较系统的组合入门书。
&&数学小丛书，数学奥赛辅导丛书，数林外传，单墫老师教你学数学等系列书那么好为什么没人读？真不知道很多人为什么经典不看，非要做什么小蓝皮，红皮，奥经之类的，可能比较适合对付考试吧，而且这些书广告做得较充分，使用面广。虽然好书无需做广告，但我还是忍不住为我开头的书宣传一下。那些才是真正的竞赛权威写的书。
& &各位我再废话一句吧，不要眼高手低。基础打牢再提高，浮躁没好处。很多人发帖我感觉就是看不起基础，须知如果预赛过不了，一试得分低，那么你二试之后再强也没用。况且更多人似乎只是为炫耀一下自己水平高，这毫无意义。竞赛原本就是为弥补高考的不足。不要竞赛生搞得和高考生一样目光短浅，眼界狭隘。竞赛培养的应是有扎实科学功底的未来科学工作者。
&&最后帮室友发一下（大家注意了）而是通常不会很难，我当年用的奥赛经典叶军。我室友让我推荐数学奥林匹克高中版新版，单樽主编。他说很好。我不了解。似乎又是老书。哎没办法。他似乎对老书情有独钟。
预赛要过不了，竞赛知识会再多也没用，实话说，预赛，一试真的只要把课内学好就OK了，据我所知，预赛一试时很多竞赛党没考过高考党，都是基础不扎实，似乎新人都对预赛，一试缺乏重视
勤学苦练多做。认真仔细归纳各种题类型思想方法。竞赛具体内容可参照PKU高材生的福利贴。组合没有很多的知识，关键是多做自己掌握思想方法。真正的自学高手是这样做的:
只要能看懂题目，觉得可以下手，就完全自己做，绝不看解答（许多的解答只会让初学者越看越糊涂）。自己提炼知识，尝试把它简化，公理化，自己构建知识体系。然后在阅读到相关文章时，再对照着补充完善，精益求精，别人的解答或种种好则用之，不好则弃之。检验自己对知识是否掌握的最好方法是试图把它通俗化，当你能够严谨又不失准确性地将它描述出来，说的让大家都能懂，就说明你的知识已掌握到位了。记住更多的知识是必要的但并非是主要的，优秀的试题考的是思想不是知识。至于可能许多人会对你说技巧等的重要性，永远记住这是他们没有办法在数学上取得大的突破的原因。拘泥于模型等细节，往往会顾此失彼，忽视对总体的把握。当然有许多高手对此十分擅长，当然他们本身精通数学，但更多的初学者要记住的是不要拘泥于条条框框，那样会使你前进的脚步变慢，贻害无穷。以不变应万变，一切顺乎自然才是最好。
根据我的经验，IMO的试题大都非常优秀。特别在组合与数论中，大都不需掌握太多知识，只凭中学知识即可完成。
但一定要记住，上一句话是为反对被动地接受知识，记住在做题中要学会自己提炼知识，掌握方法。当然，为了应对自如，需要做大量习题。我认为最好的书就是习题集，不要讲解，答案顶多在附录中出现，绝不要做任何有悖于独立思考的举动。
学习知识可以看专著，但不要看所谓竞赛书，那在严格意义上不算数学书（里面有的甚至对定理等·的严格证明也没有）。
关于高中知识，不建议看现行课本。请到图书馆借阅老版代数，三角，几何课本，系统的学习完。
竞赛习题集有很多，在这介绍两个：《俄罗斯平面几何问题集》，《竞赛数学题库》。
至于像《华东师大附中习题集》之类的也可以多做，提高对问题的理解。
长远考虑建议大家还是把竞赛的四块专题系统学习下。尤其是数论，推荐二潘的《初等数论》
竞赛书不要看那种喜欢一道题给出数十种证法的，那不是数学家写的，数学界其实并不欣赏。
组合系统讲解的书着实不多，可以看奥博丛书徐士英的《组合数学》，大学的虽系统但偏离竞赛方向不过对长久学习有益。至于科大小册子，组合的其实挺多，应为组合原本就是杂题。认认真真看学透就一定有收获。
(如此不切实际的推荐竟没有人给出负面评价吗。LZ推荐的这些书确实有好的地方，但是对于数学竞赛而言，要么太偏，要么不切实际。也许是LZ平时只学竞赛，不参加竞赛的缘故。
首先“先将53刷完，高考是基础，其次再刷高中数学竞赛培优教程一试，刷完后你已有了良好的基础，在弱省实际上就已经具备了拿省一的实力了
”这直接说明LZ不了解情况，一方面，高考与联赛风格差异极大，刷五三根本不能提高解大部分竞赛题的能力，而刷培优教程这种厚度的书，不综合其他书，是非常吃力的，我估计如果单啃这本书，没有几人能啃完，相反多看些其他书触类旁通，不但水平更高，而且反而能啃下来。另一方面，刷这点书就能拿到弱省省一？我想除非是在海南。但LZ既然都说安徽也算弱省了，应该不是仅把弱省定义为海南这种地方。至少我相信在安徽，不做其他竞赛书，只做这一两本书，离省一都还差得远。“等你刷完一试，你的基础已经很好，二试不可能一道题也不会，以我的经验应能做差不多两道题”
再者，像LZ这样的言论根本是荒唐的，完全不符合实际情况的。这句“等你刷完一试，你的基础已经很好，二试不可能一道题也不会”，
LZ对一试的认识，是看作二试的基础。但事实上，一试和二试并没有递进的关系，它们地位上完全可以算是平行的。正常年份正常省份，总会有一试上100，二试连一道题的分都拿不到的人。正常年份正常省份，也有过二试150，一试不到40的人。
“以我的经验应能做差不多两道题”&
两道题是随随便便的吗？就像某些人说“我二试能做一两道题”这种话，根本是不切实际的。二试做出一道题和做出两道题，差别就是非常大的。实际上，二试每多做出一道题，所需要付出的努力都是极大的。仅凭掌握一试知识，甚至不知道梅氏塞瓦，完系简系为何物，二试能做出两道题？即便是去年二试也做不到。恐怕LZ不知道，11年绝大多数省份，参加联赛的人中，有一半以上二试得0分。)大多数是从未看过竞赛的我不比你清楚竞委会每年资料我都看认识的人不比你多不要盲目自大等你获了金牌再说这些话(学习竞赛需要的不仅是看书，还要解题。搞竞赛的人通常不仅要学习竞赛，还要参加竞赛。LZ这些书确有好的地方，如果不以联赛为目标，仅仅为学习数学，并具有一定基础，这么看是不错的。但其实如果纯粹为了学习数学，怎么学都无妨，自己觉得有足够的收获就好。然而搞竞赛不能这样，竞赛党的时间精力都是宝贵的，他们都是要参加联赛的，大部分人都希望付出能有所回报。他们需要的是足够贴近联赛的书和建议。比如，实际上中，大部分数竞党其实并不是按由一试到二试的顺序学习，而是两块一起搞，甚至不搞一试，直接学习加试都有。而事实上这么搞是完全可以的。平几，数论完全只需初中知识，可以跳过一试。相比之下，LZ的某些观念则严重背离实际。这个帖的标题如果叫“数学书推荐”，在数学吧发，可能我永远不会回这个帖。但LZ在这里以“数学竞赛书推荐”为题发，又明确说了是对竞赛的建议，我只好多说这些负面的评价了。)可以看得出你从未参加过联赛不做一试直接做二试我想你预赛都过不了新手通常都是这样每年因此被淘汰掉的不在少数
现在市面上新推出了一系列书：《高中数学竞赛课程讲座》。共五本，全是这十年来中等数学杂志上的文章，题目。我觉得是不错的一份资料，特别是原创题那本（其它几本我只是扫了一下，没看，当然以前中数上的文章部分看过）。当然众所周知，中数上有些题比较怪，偏难，但我认为不是纯粹为保送的数学爱好者们都可以做一做，练练手。题做得多水平自然会提高。...不过中数上有些题难偏怪，不适合联赛。只为刷题的话，不如买本多功能题典高中数学竞赛回来刷
(请问看高考奥赛全程对接+浙大一试+浙大出版金牌奥赛教程+小蓝皮。这样科学吗？)你能看完学透就科学
(把高中数学自学完，可以直接看奥数教程，这是对付一试的好书！看完奥数教程，一试做真题和模拟试题就可以了，平时多总结一些具体题型的方法)能做完省一足够
4.冯祖鸣：数学奥赛存在的理由
上世纪80年代中，冯祖鸣还在北京大学少年班念书的时候，国际数学奥林匹克(IMO)刚刚在中国兴起。几年后，他成功申请到约翰．霍普金森大学的研究生院，直到他在该校完成博士学位，他的专业仍是数学。24岁的冯祖明要面对事业路径的选择：要么转到与数学相关的金融或计算机行业，这是不少数学系毕业生的出路；要么继续在纯数学研究领域专攻下去，并在高校里挂职当老师。但是，经过一番思量，冯祖鸣决定走第四条路：去美国最好的私立中学或者小型院校教书，这和他对自我的认识有关：
　「虽然我觉得数学研究非常好，但通常最最一流的研究不仅仅是解决数学问题，而是自己去发现有价值的数学问题，而我自己始终无法通过这一关。」既然无法完全投入做研究，冯祖鸣索性安心教书。「教小孩子好处很多，最重要的是他们的可塑性很强。」
　「一直以来，亚洲人或者华人似乎有一个误区，认为我们的数学很好，其实那只是到中学为止。进入大学以后，我们的能力，可以说很差。因为太习惯被动的去等老师给问题，给公式，不能自己创造。」　
　 如今，冯祖鸣是美国顶尖的寄宿学校之一Phillips
ExeterAcademy的驻校数学教授，此外的头衔，还有由加州大学伯克莱分校数学科学研究学院资助的美国国际数学奥林匹克队的总教练，负责带领美国国家队，挑战国际最高难度的数学竞赛，最好的成绩是获得团体第三，第一名则几乎由中国队与俄罗斯队轮流坐庄。
　但是，在冯祖鸣看来，数学竞赛的成绩，并不代表真正对数学领域有所贡献。
「中国内地的数学奥赛班很火，最近10年，我每年都会回去，发现其实这种压力大多来自家长。没错，数学奥赛拿了名次是可以成为孩子升学、开拓思维的捷径，但这条捷径陡得不得了...」
到底数学竞赛存在的理由是什么？记者请冯祖明进一步分享他的经验。
　「重要的是培养出一种创造性，」带一点天津口音的冯祖明对记者说，「一个聪明的孩子，能静下心花20分钟想一道数学题，除了引导他们发现有趣的东西，还要慢慢加入一点枯燥的技能训练。」冯祖鸣在Phillips
Academy组织数学兴趣班，7、8个学生围坐在一起，老师课堂讲授不会太多，他要做的就是如何设计一些问题，可以让学生慢慢证明出定理，从而令他们获得学习的自信。「在中国，数学奥赛是和普通的教学分开来的，而我们所作的，就是想把教学过程变成奥赛那样，具备启发思维。」　
&专访美国奥数队主教练冯祖鸣:中国学生数学优势止于中学
他是扎克伯格的高中数学老师，来自北大少年班。他尖锐批评中国数学教育，中国学生进入大学后，“能力可以说很差。因为太习惯被动去等老师给问题，给公式，不能自己创造。”&
&在美国东北部距离波士顿大约1.5小时车程的埃克塞特小镇，有一所名叫菲利普斯埃克塞特（PhillipsExeter
Academy）的私立寄宿高中，它是Facebook创办人扎克伯格的母校，也是美国奥数冠军的摇篮。每一年，美国数学奥林匹克国家队的6名参赛选手中，总有三四名来自该校，几乎每年都有美国奥数金牌选手在这里诞生。如此的成绩，和该校数学教师华裔华裔冯祖鸣息息相关。冯的另一个身份是美国奥数国家队主教练（2002年后）。
& & &在一个叫
RatemyTeacher的网站上，一位学生对这位华裔数学老师这样评论：“数水平无与伦比，但他需要去上情绪管理课。”另一位学生说，冯老师上课火气大，在教室里会因为一道数学题跟学生争吵。
&在菲利普斯埃克塞特学院，记者发现该校上课很有特色：学生教学生。12名学生和1名老师围坐在一张叫做“哈克尼斯”的椭圆形桌子前。数学课上，老师和学生各自拿出几张A4纸，一共12道题目，学生一一上黑板讲解每一道题目，老师只在学生们全部束手无策时才会开口说话。通常老师不直接讲知识点，而是设计一些问题，可以让学生慢慢证明出定理，从而令他们获得学习的自信。
一堂数学课上，冯老师抛出一道题，并连环炮式地问出三个问题：“你说，老师为什么要出这道题目？”
“这道题目背后意味着什么？”“它的模型可以解决哪些实际问题？”
& 冯祖鸣的学生之一、中国籍男生石小渔（化名）有些发愣。在中国，他感觉自己是解题机器，有信心攻克数学难题的堡垒，却从未想过数学难题背后意味着什么。在美国的数学课堂，石小渔第一次感觉数学有意思，思维也开始活跃起来。“只有明白出题人的思路，才能真正了解这个模型，运用到实际中。”这是石小渔从冯祖鸣那里获得的经验。
&“学习基于兴趣，而兴趣是可以培养的。”冯祖鸣说，“像哈克尼斯这样讨论会形式的授课，有助于教师抛出问题，让师生在各个层面的沟通中碰撞出火花。”“很多华裔家长不能理解，明明交了钱，为什么老师讲得那么少？其实，我的力气都花在备课的过程里。”冯老师曾在接受媒体采访时表示，“在中国，数学奥赛是和普通的教学分开来的，而我们所作的，就是想把教学过程变成奥赛那样，具备启发思维。”
&“因为创造而开发出一项新行业，这是教育的目的。数学教育也是如此。”冯祖鸣评论道。
对中国的数学教育，冯祖明有尖锐的批评，他曾在接受香港《文汇报》采访时说：“一直以来，亚洲人或者华人似乎有一个误区，认为我们的数学很好，其实那只是到中学为止。进入大学以后，我们的能力，可以说很差。因为太习惯被动去等老师给问题，给公式，不能自己创造。”
&B：你从什么时候开始研究数学？北大少年班毕业后，您申请进入约翰-霍普金斯大学就读数学硕士和博士。能否谈谈中美教育的差异？
&F：我从来不认为数学是我的研究目标。我是一名教师，我并不研究数学。在我年轻时，中国的确没有很多基于发展学生“兴趣”为主的教育。让人悲伤的是，这个现象在今日的中国，或多或少依旧存在。我个人的感觉是，不仅是中国，所有的东方文化，都太注重考试结果了。你要是太注重考试结果，这书是很难教的。家长急，学生也急。好像人的心停不下来，让学生慢慢成长都不行，要马上看出结果来。所有的结果，都坏在拔苗助长上了。我个人搞奥数，带领美国国家队参加比赛，成绩也很好，但也没见美国人全民搞奥数。美国学生全民都在搞体育，基本每个学生都会参加一两项体育活动，但他们参与体育，也不是为了拿金牌。
&B：你所在学校采用哈克尼斯教学法教授数学。我发现这在美国其他高中并不常见。能否谈谈如何用该方法对数学教学究竟有何帮助？
F：研讨会形式的教学方法，比如哈克尼斯圆桌教学法，可以在各种程度上帮助师生有效的提出问题，交流思想。但我想说的是，数学就是数学，用许多方法教都能取得成功，这跟有没有“圆桌”没关系。它主要基于四个元素：教师的知识丰富度和用心程度，学生对知识的渴望和用心程度。
B：&相比在美国出生的中国孩子，大陆的孩子在美国高中学习数学，你觉得优势是什么？不足之处是什么？你会给他们什么建议？
F：我认为每一个教育体系都有它自己的优势，关键是如何将优势最大化。对于非常非常顶尖的学生来说，在美国学习可以帮助他们更平稳地过渡到更高层级的学习中。
自1989年中国派出学生参加世界数学奥林匹克竞赛以来，中国学生在
22年中拿了16年的冠军。然而，只拿过一次冠军的美国数学奥林比克队总教练冯祖鸣不忿地说：
“中国学生数学的优势止于中学”。有意思的是，这位总教练竟是我们的一海外兵团，这位来自北大少年班的传奇人物还当过一回伯乐，发现了那个发明“脸书”
Facebook的史上最年轻网络天才亿万富翁马克&#9642;扎克伯格。为什么冯祖鸣会尖锐批评中国数学教育？他如何看待中美教育的差异？难道美国培养出那么多杰出人才的奥妙就在那张被称为“哈克尼斯”的桌子上？
他是扎克伯格的高中数学老师，来自北大少年班。他尖锐批评中国数学教育，中国学生进入大学后，“能力可以说很差。因为太习惯被动去等老师给问题，给公式，不能自己创造。”
在美国东北部距离波士顿大约1.5小时车程的埃克塞特小镇，有一所名叫菲利普斯埃克塞特（Phillips Exeter
Academy）的私立寄宿高中，它是Facebook创办人扎克伯格的母校，也是美国奥数冠军的摇篮。每一年，美国数学奥林匹克国家队的6名参赛选手中，总有三四名来自该校，几乎每年都有美国奥数金牌选手在这里诞生。如此的成绩，和该校数学教师华裔华裔冯祖鸣息息相关。冯的另一个身份是美国奥数国家队主教练（2002年后）。
去年冬天，我曾去这所学校探访。在拜访冯祖鸣老师之前，我通过网络了解了他的传奇故事：14
岁进入北大少年班，18
岁考入约翰&霍普金斯大学数学硕博连读，博士毕业后他可以选择去华尔街工作，或继续数学研究，他却选择到埃克塞特教书，一教就是17
在一个叫 RatemyTeacher
的网站上，一位学生对这位华裔数学老师这样评论：“数水平无与伦比，但他需要去上情绪管理课。”另一位学生说，冯老师上课火气大，在教室里会因为一道数学题跟学生争吵。
冯祖鸣的学生之一、中国籍男生石小渔（化名）当初未进学校时，就听说有这样一位威严的老师，一些美国同学见到他如同“老鼠见猫”。石小渔想象，冯老师应该是一位干瘪的中国老头，或许脸部沟壑纵横，还留着山羊胡须。见面时看到的，却是一位高大威猛、神采奕奕的中年男子。
冯老师课余时间还是学校女子足球队兼职教练，并在学校督导一个
36 人的数学社，其中90% 为亚裔，石小渔也是其中一员。当年，马克&扎克伯格也是数学社的核心成员。
当记者在数学楼见到这位刚刚上完课的传奇华裔老师时，他正坐在“哈克尼斯圆桌”一角，阅读手机里一则好友刚发来的笑话，不时发出爽朗笑声，很难将他和西方学生眼中
“咄咄逼人”的教师形象联系起来。
“我只对那些自以为聪明的学生凶”，冯祖鸣笑道。尽管在美国生活多年，冯祖鸣仍是一口标准的普通话，说话时眯着眼睛，嘴角挂着浅笑。在异国他乡采访，遇到这样一位儒雅谦和的华人，让人倍感亲切。
在菲利普斯埃克塞特学院，记者发现该校上课很有特色：学生教学生。12名学生和1名老师围坐在一张叫做“哈克尼斯”的椭圆形桌子前。数学课上，老师和学生各自拿出几张A4纸，一共12道题目，学生一一上黑板讲解每一道题目，老师只在学生们全部束手无策时才会开口说话。通常老师不直接讲知识点，而是设计一些问题，可以让学生慢慢证明出定理，从而令他们获得学习的自信。
&#9650;本期嘉宾：熊斌，华东师范大学数学系教授、博士生导师，华东师范大学招生办主任。上海市核心数学与实践重点实验室主任。国际数学奥林匹克中心主任。第46届、第49届、第51届、第52届、第53届、第54届、第56届国际数学奥林匹克竞赛中国队领队、主教练，中国数学奥林匹克委员会委员。
&『老师达人访』熊斌：真正的教育公平，是教给学生适合他们学的内容
原创 2015-12-&&校内外&&微信号&
虽然中国队年年参加国际数学奥林匹克竞赛，但今年的争议特别大，只是因为我们拿了第二名么？
熊斌：可能因为往年我们拿了很多次第一，大家就误认为其他国家的奥数水平与我们的差距很大，其实不是这样的，我们和美国队、韩国队、俄罗斯队的实力非常接近。从1989年到现在，我们国家虽然拿到了19次团体第一，但是从来没有五连冠过，这也说明其他队跟中国队的水平很接近。
我们拿第一的次数比较多，只是因为我们在一些细节方面做得比较好。但我们的团体总分有时候只比第二名高一分，有时候是几分。
这期间，韩国队和俄罗斯队也得过第一，但是都没有这次美国队拿第一的反映强烈。美国队的实力很强，他们曾在1993年的时候创造了奇迹，6个队员全部满分，至今还没有其他队能达到这个记录。
您认为这次争议这么大，与去年减少奥赛保送名额的事情有关系吗？
熊斌：之前每年学科竞赛保送的名额大概有一千名，现在五个学科加起来只有260人保送，大家可能会想保送名额少了会不会影响我们国家队的成绩，但实际到了国家集训队层面，这个影响是很小的。
我们的队员选拔是从每年9月份的全国高中联赛开始，从十几万同学中选拔三百多人参加12月份的冬令营，再从中选出60人进入我们的国家集训队，这60人都是具备保送资格的。之后再从这些同学里选拔出6位代表国家队参加比赛。
新政策出台后，参加奥数竞赛的总人数是减少了，但这并不影响真正喜欢数学的学生来参赛。其实，减少了外在的利益因素，让真正喜欢数学的学生更容易凸显出来，这对于奥数来说是好事。
什么样的孩子适合学奥数？
熊斌：一方面是学有余力，更重要的一点就是要有兴趣。奥数就是为对数学感兴趣而在课堂上不能满足的孩子设置的，让这些孩子了解更深的数学知识，切入到更深的数学领域。当然如果孩子有点天赋就更好了。
您觉得奥数剥离数字、习题后，真正留给学生的东西是什么？
熊斌：数学对孩子会有一辈子的影响。也许他们以后的工作跟数学没有关系，定义、公式也都不记得了，但是数学的分析问题、逻辑推理等这些能力仍然会伴随着他，并在潜移默化中影响他。
奥数对孩子们来说，可以达到训练思维的作用，就是利用数学知识作为载体来训练他们的逻辑思维、类比融会贯通等各方面能力，这对他们将来学习物理、化学都有帮助。
美国教育界认为，数学像个“筛子”，小升初、初中升高中等等都需要数学来筛选人。但我认为数学起到的作用更像“泵”，通过数学来提升孩子的各种能力。
您带出了很多的奥数世界冠军，现在这些孩子还有留在数学领域的吗？
熊斌：这几年得金牌的学生大部分都留在数学研究领域，他们在大学、研究生甚至博士都在研究数学相关内容，因为他们是真正喜欢数学的。也有毕业了做数学老师的，培养更多爱数学的孩子。
现在为了迎合“不难为学生”，有降低数学学习难度的趋势？数学学习真是越简单越好么？
熊斌：当然不是，不只是数学，物理、化学也一样。
我们现在课堂上学的数学已经是最基础的数学了。每个人天赋不同，未来的发展也不一样，有人从文，有人从理。有人会成为数学家，有人会进入航天研究领域，对这些孩子来说，除了要打好扎实的基础，还要进行一些适当的提高。何况，数学毕竟也是一种能力的筛选工具，如果高考数学都特别简单，那就没办法把一些能力优越的孩子筛选出来。
其实，即便在美国，数学学习也是分层级的。公办学校学习的就很简单，但是私立学校的学习内容甚至比中国学生学的内容还要多的多。我希望我们的学校也应该区分不同的层级。我们现在强调教育公平，教育公平绝不是大家学习的内容都一样，而是应该区分对待。对于天赋不同的孩子，给予适合他们学习的内容。
上个学期，不时会在午后太阳将下山前，在卡内基梅隆大学附近的山坡上小跑。有一次小跑归来，进入Doherty 楼的时候，遇到了
Po-Shen Loh。我之前就听说 Po-Shen 是美国国际数学奥林匹克（下简称IMO）队的副领队。Po-Shen
当时推着自行车，突然问我，你想不想今年暑假辅导美国
IMO集训队。我回答说我非常乐意，但因为没有碰竞赛好多年，水平肯定不行了，但！是！平面几何肯定是可以保证质量的。于是，我就这么来到了内布拉斯加的首府林肯。
&说到内布拉斯加，大多数美国人的反应是不毛之地（in themiddle of no
where），喜欢看生活大爆炸的同学肯定会说是
Penny的老家。但林肯毕竟是首府，集训队住宿和上课的地方在内布拉斯加大学林肯分校。美国大学在校园建筑方面向来奢华，集训队所住的地方更是学校里历史最悠久的宿舍楼，条件可以说是非常舒适。
&这个暑期项目的官方名字是 Maths Olympiad SummerProgram，缩写就是
MOSP，但是大家喜欢管它叫 MOP，直译过来就是拖把，参加这个活动的学生也就自然被称之为了Mopper，直译过来就是拖地的人。根据
Mopper们在之前一年中各个竞赛的综合表现被分为黑组（十人）、蓝组（十五人）、绿组（十五人）和红组（十一人）。黑组的十个成员中包括了即将参加今年在非洲开普敦举行的
IMO 正式队员。
正式开始是从六月九日，在这之前还有给黑组成员的小灶Pre-MOP。为了备课，我的母亲从上海帮我翻拍了很多以前的笔记和数学日志，精选了一百来个题目，花了不少时间把每一个题目都做了一遍，并翻译成英文写了解答。
&即便如此备战，第一天试水还是被黑组的学生震撼到了。具体过程是这样的，由于种种原因，我没办法复印讲义，于是只能把题目抄到黑板上。我抄了五六个题到黑板上，心想，少年们，受苦吧！但离下课还有一会的时候，学生当中有一个叫James
Tao 问我有没有更多的问题，于是我又得往黑板上抄了两三个题目才稳住了局面。
&第一次上课我还给他们讲了一些射影几何的定理。后来我发现这完全是多余的，可以假设黑组的学生什么都知道，只要挑选好的问题给他们即可。第二次上课采用这个策略就明显从容很多了。
&Pre-MOP很快就过去了。六月九日大批的蓝绿红组的学生到来，看面孔大多数都是华裔，不知道这算是人种优势，还是华人家长比较在数学教育。于是我问James
Tao 他是如何走上奥林匹克数学道路的。他说，一方面，是他父亲的辅导，小时候拿着一本中文的几何书翻译着将给他听。另一方面，他发现了
Art ofProblem Solving 这个网站和一本叫 Problems from the
Book的书。我个人的看法是，华人家长会更有意识培养和挖掘孩子数学能力。
&六月十日的晚上有一个简短的会，面向所有的Mopper。先是活动的负责人，美国数学竞赛协会的
Steve Dunbar 先生讲了一些纪律方面的事情，接着
Po-Shen讲了一番话，我觉得很值得回味。他说，因为鸽笼原理，不可能每一个人都能在学术圈找到教职。于是参加奥林匹克数学的孩子，将来会分散到各个行业，并且大多数成为各个行业的佼佼者，所以这个活动是一个很好的结识朋友的机会。
&这个活动实际上不只是结识朋友的好机会，还是一个帮助学生扩展眼界的好机会。这次活动得到了 D.
E.Shaw & Co. 的支持，所以整个活动的时间也可以更长。MOP 第一周除了 D. E. Shaw& Co.
有来演讲以外，周末还有 Jane Street的人过来介绍他们的公司。我记得 Jane
Street的人开篇就说，希望这些搞奥林匹克数学的孩子能够离开自己舒适的圈子，去业界闯一闯。
&除了不学术的这一面外，MOP还有特别学术的一面。每两天晚上八点半都会有讨论班。讨论班由像我一样的教练给演讲，Po-Shen要求说最好是和当前研究相关的，但更要容易理解。大多数教练，包括我，不是什么名师，而是过去在不同国家有竞赛经验的，有的工作了，有的在学术界。
&更颠覆我预期的事，MOP 这个活动根本不是用来选拔最后去 IMO比赛的！整个活动，只有一个叫
TSTST 的考试是算成绩的。TSTST 全称是 Team Selection
TestSelectionTest，也就是选拔参加国家队选拔考的考试。换句话说在这个考试里表现较好的学生（去年是十三人）可以参加来年的国家队选拔考试。
&于是乎，MOP 和竞赛真正有关的只有：一、培训今年参加 IMO竞赛的美国队队员；二、通过
TSTST 选拔合适的人选参加来年的 TST，并结合他们在来年的 USAMO的成绩，决定美国国家队人选。
&在我看来，这个策略是非常适合美国国情的。想象一下，在一个没有奥数产业的国家，本来美国人就对奥林匹克数学不感冒，再通过连续竞赛刷掉学生的方式选拔，很可能会进一步打击参与度。这些在TSTST中表现不错的学生，不但获取了自信，并且可以有很长时间准备来年的竞赛，继续进步成长，整个过程压力也会小一些。
&因为实在有太多东西可以写，所以犹豫了很久是不是要分中篇和下篇。想想还是挑重点一气说完。
除了在 MOP 第三周举行的为时两天的 TSTST 以外，在前两周还有四次MOP 测试和两次 IMO
模拟考试。这六次考试都是不关联来年的集训队选拔的。但这六次考试很有趣的是，阅卷员（大多数是过去参加过IMO的学生）会对解答主观地作出风格分的评判。比如，如果你的解答是一通暴算，那很抱歉，你的风格分可能会很低。为了鼓励第一次的参加的学员，特别是在红组和绿组的学员，他们的四次MOP测试会在原有的三个题目上附加两个简单的题目。
为了增进学生互相之间的合作，在前两周还有三个学生一组组队赛。红组和绿组用一套稍简单的题，蓝组和黑组用稍难的一套题。评分的方式是在阅卷员面前解释自己的解答。换句话说，在这个过程中，学生不但要解决问题，还要教会组里不会的伙伴。这正好也呼应了JaneStreet
讲座里所说的工作中的团队合作。
除了之前说的几个考试测验外，整个项目里还有一个广受同学欢迎的叫做 ELMO的竞赛。ELMO
具体是什么意思不得而知，但每年这个名字都会有新的诠释。比如今年ELMO 代表 Ego Loss (surely)Must
Occur，意思就是损伤自尊心必然发生。这个竞赛由老生（Veteran，也就是至少是第二次参加MOP 的学员）运作，模拟IMO
的模式：老生提供试题，构成备选试题列表（ELMO
Shortlist），新生（Rookie，第一次参加MOP的学员）组队，老生被分配到每队成为领队，新生参加比赛后由老生阅卷并互相之间协调分数。
虽然这个活动仅仅是一个由学生运行的比赛，但是每年他们都会像模像样地把试题和备选试题发到上篇提到的Art of
ProblemSolving的网站，不知道内情的人，乍一看肯定会觉得这是一个由某机构运作的官方的比赛。学生们拍照的时候不会说Cheese（茄子），而会喊ELMO
Meeting!（ELMO 会议），可见这个比赛的受欢迎程度。
ELMO竞赛外，另外有一件事情彻底颠覆了我之前对美国高中数学教育的刻板印象。有一天，教练和阅卷员开完会，回到寝室楼大厅，看到了这番情景。
Plank Countdown
为了说清楚这个比赛，简单讲一下美国的一个为初中生设计的竞赛MathCounts。这个比赛类似于中国的华罗庚数学金杯赛，最后一轮是抢答赛（CountdownRound），也是该项比赛唯一的口试部分，用于决定每年的冠军。而照片里所看到的是高中生版本的MathCounts，大家管它叫平板支撑抢答赛（PlankCountdown），因为比赛选手需要在抢答的过程中一直平板支撑。出乎我意料的是，孩子们的心算速度非常快。决赛轮，两个选手大多数时候都能在题目刚念完未念完的时候给出答案。
孩子们在不断创新的同时，整个教练组也尽力会去优化整个项目的体验。比如Po-Shen在第二周周五安排了一个叫哲学（Philosophy）的专题，学生分成四组和不同的教练和阅卷员答疑解惑“人生哲学问题”。在最后一周给TSTST阅卷的时候，教练组和阅卷员还讨论了是否要将试卷还给学生的事情。为了能让学生成长，最后决定最大限度地透明化，先将分数告诉学生，如果有异议可以和阅卷员讨论，待分数稳定后将试卷归还。这与近几年的做法很不相同。除此之外，还有一个类似座谈会性质的“超越MOP”（Beyond
MOP），所有人集中在 Neihardt 蓝色大厅一起你问我答。
在昨晚刚结束的学生才艺秀晚会中，负责人 Steve Dunbar提到这次活动除了 D. E. Shaw & Co 和
Jane Street 赞助外，还有TwoSigma，Dropbox，Citadel，Art of Problem
Solving&以及最主要的赞助 Akamai
Foundation。这些赞助公司有一个共同的特点，就是他们的创始人中都有数学竞赛的经历，并且很多曾经参加过MOP，他们在社会上取得了成功之后不忘回馈。才艺秀结束后，两个阅卷员坐在走道里，给学生讲他们当年在
MOP的时候的故事。其中
Brian说了一个蛮有意思的故事是，当年，也是我高三那年，冯祖鸣带着美国队和中国队一起训练，结果美国队有个学生结识朋友的方式是把人抱起来，然后背着地摔地上，有人调侃说就因为这个中国队那年没拿团体第一。我相信这些有趣的轶事会一代一代传下去。
由于整个美国数学竞赛协会有人事变动，整个办公室将从内布拉斯加搬到华盛顿。今年是 MOP在内布拉斯加哎的最后一年。今年恰逢
Po-Shen 被任命为了美国队领队，明年的 MOP将在匹兹堡卡内基梅隆大学举办。
这次经历对我自身也是莫大的收获，为已经三年的博士生活增加了一抹色彩。
明年，卡内基梅隆大学见！
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