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己知f（x）=lnx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）当a=1，b=-1，时，证明函数f（x）只有一个零点．
沉默是金°穏俴
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（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤min∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，∴b的取值范围为（-∞，2]（Ⅱ）当a=1，b=1时，f（x）=lnx-x2-b，其定义域是（0，+∞）∴f′（x）=-2x+1=-2-x-1x=-∵x＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0∴函数f（x）只有一个零点
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（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤min即可，根据基本不等式可求出min；（II）先求出函数的定义域，然后求出f′（x），在定义域内求出f′（x）＞0 与f′（x）＜0，从而得到函数f（x）在定义域内的单调性，得到函数f（x）的最大值为0，从而当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，则函数f（x）只有一个零点．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
考点点评：
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．
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已知函数f(x)=x^2/2+(a-3)x+lnx.(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的最小值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点的横坐标为x0,直线AB的斜率为k,有k=f′(x0)成立?若存在,请求出x0的值,若不存在,请说明理由.
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1) 定义域为x>0f'(x)=x+(a-3)+1/xx+1/x>=2,f'(x)>=2+a-3=a-1,要使其在定义域上是单调函数,因为在正无穷大时导数为正无穷大,因此为单调增函数,因此有：a-1>=0,得a>=1,a的最小值为1.2)假设存在两个这样的不同点,则有x0=(x1+x2)/2y1=x1^2/2+(a-3)x1+lnx1y2=x2^2/2+(a-3)x2+lnx2k=(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/2+(a-3)+[ln(x2/x1)]/(x2-x1)f'(x0)=x0+(a-3)+1/x0=(x1+x2)/2+(a-3)+2/(x1+x2)由k=f'(x0)---> ln(x2/x1)/(x2-x1)=2/(x1+x2)---> ln(x2/x1)=2(x2-x1)/(x1+x2)令t=x2/x1,得lnt=2(t-1)/(t+1)=2-4/(t+1)令g(t)=lnt-2+4/(t+1),g'(t)=1/t-4/(t+1)^^2=(t-1)^2/t(t+1)^2>=0因此g(t)为单调增函数,至多只有一个根,而因g(1)=0,知此根为1.此时x1=x2,与题意不符.因此不存在这样的两个不同点.
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已知函数f(x)=ax+1+lnx /x ,其中a属于R1> 若fx在定义域上单调递增,求实数a的取值范围2> 若函数g(x)=x f(x) 有唯一零点 求a取值范围
淡漠g11Gy8
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