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如何求极限
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&&这种含积分的极限该怎么求？
这种含积分的极限该怎么求？
类似这种的，怎么求他们的渐近展开？谢谢！
。。。这两道都是我想的，兰州水平高什么鬼。。。
谢了哈！这个最简单的情况我也是这样思考的
其实我对这样设的合理性还是有一点疑问的。如果I_n=1/(2n)+1/(nlogn),那么a=b=0,但是I_n/(1/n^3)=+∞.
最简单的情况我还有另一种解法（见图），至于外层的就没有办法了。
QQ图片50.png
可以写一下吗
注意到前几项和Euler 数E_n
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
非常吻合, 不由得猜测
\int_{0}^1 \frac{x^n dx}{1+x^2}\sim \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E_{2k}}{2 n^{2k+1}}
前面7项展开式是: \frac{1}{2n}-\frac{1}{2n^3}+\frac{5}{2n^5}-\frac{61}{2n^7}+\frac{}-\frac{50521}{2n^{11}}+\frac{n^{13}},
@i维数, Edstrayer 可以麻烦多算几项,验证一下么? 谢谢.
完全正确！这是如何与Euler数联系上的？或者说你有什么思路吗？
设I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx(n\geqslant 1)
借助数学软件mathematic验证了下列渐进展式：
(1)设I_n=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n^3}+\frac{5}{2n^5}-\frac{61}{2n^7}+\frac{a}{2n^9}+o\left(\frac{1}{n^9}\right)
则计算得到：a=1385=E_8
(2)设I_n=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n^3}+\frac{5}{2n^5}-\frac{61}{2n^7}+\frac{}+\frac{b}{2n^{11}}+o\left(\frac{1}{n^{11}}\right)
则计算得到：b=-50521=E_{10}
(3)设I_n=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n^3}+\frac{5}{2n^5}-\frac{61}{2n^7}+\frac{}-\frac{50521}{2n^{11}}+\frac{c}{2n^{13}}+o\left(\frac{1}{n^{13}}\right)
则计算得到：c=2702765=E_{12}
(4))设I_n=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n^3}+\frac{5}{2n^5}-\frac{61}{2n^7}+\frac{}-\frac{50521}{2n^{11}}+\frac{n^{13}}+\frac{d}{2n^{15}}+o\left(\frac{1}{n^{15}}\right)
则计算得到：d=-=E_{14}
…………………………………………………………………………
以上验证都使用了递推关系：
I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}
通过以上验证可以相信@hank612提出的猜想是正确的！
只是如何与Euler数发生联系的，这一点是如何想到的？
这道题如果用你的那个加边极限/bbs/viewthread.php?tid=是可以解决的，至于推广的情况有待思考。
这是大神的版本：
(1)作变量替换 t=e^{-z}, 得到 \int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt=\int_0^{\infty}e^{-nz}\frac{\sech(z)}{2}dz
(3)利用 asymptotic expansion of Laplace integral \int_{0}^{\infty} e^{-xt}\phi(t)dt \sim \sum_{k=0}^{\infty}\phi^{(k)}(0) x^{-(n+1)} (需要验证满足条件)
以及双曲函数的Taylor展开式 \sech(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{E_{2k}}{(2k)!}z^{2k} (即告诉我们导函数在z=0处取值\sech^{(2k)}(0)=E_{2k})
立刻得到渐近展开式 \int_{0}^1 \frac{t^n}{1+t^2}dt \sim \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E_{2k}}{2}\frac{1}{n^{2k+1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
这是真实场景：
（1）@Edstrayer, i维数 等大神利用 递归公式，两边夹定理和深厚的计算功力 得到展开式的前几项 \frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{5}{2},\frac{-61}{2}
(2)偷偷使用整数序列搜索神器&&The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
输入分子（哪怕仅有四项而已）1, -1, 5, -61
https://oeis.org/search?q=1%2C-1%2C5%2C61&language=english&go=Search
第一个可能的序列就是Euler 数序列 A000364
(3)于是猜测一般项， 继续求助 Edstrayer, i维数 要求更多的项
(4)Edstrayer 给出了8项，完全吻合； i维数则给出思路:参考之前二位大神对另外一个类似积分的渐近式 的讨论 \int_{0}^{1}x^nf(x)dx\sim \frac{f(1)}{n}+\frac{-f(1)-f^{\prime}(1)}{n^2}+o(n^{-2})
(5)到网上狂搜关于 积分渐近式，双曲正割函数 等信息，众里寻她千百度,蓦然回首,... 然后有了装高大上的机会。。。。。。
真心佩服 Edstrayer,&&i维数的分析本领, 有 “重剑无锋,大巧不工”&&的境界，
看得眼花缭乱。厉害！
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1,等价无穷小的代换：x趋近于0时,sinx~tanx~arcsinx~arctanx~xln(1+x)~e的x次方-1~x1 -cosx~x²/2a的x次方-1~xlna(1+x的n次方)的a次方-1~ax的n次方如x趋近于0时lim[(1+x²)的3次方-1]/(1 -cosx)=3x²/x²/2=62,当分子分母同时趋近于无穷大或无穷小时,用洛必达法则,对分子分母分别求导如x趋近于0时limsinax/sinbx=acosax/bcosbx=a/b3,如果分子含根号,可以有理化如x趋近于0时lim{[根号下（1+x²）]-1}/x=x/{[根号下（1+x²）]+1}=0/2=0这是我做的一部分笔记,有不懂再告诉我吧
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