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5.2组合数的生成函数.doc 22页
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5.2组合数的生成函数
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课程名称：组合数学
授课教师 卢奕南 所在单位 计算机科学与技术学院
课程类型 讲授 授课时间 32学时
授课对象 本科生三年级
教学内容提要 时间分配及备注
在第二章中，已解决了部分排列组合问题。但对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第二章的方法是比较麻烦的，若改用生成函数方法，问题将显得容易多了。其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，生成函数是一种非常重要的手段。本章通过例题的解答，显示了生成函数方法确实是组合数学中的基本而重要的方法，它是连接离散数学与连续数学的桥梁，而且组合数学中的问题能借助于生成函数的方法、原理，获得统一的处理和解决方式生成函数（母函数）。
生成函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转换为多项式或幂级数之间的运算。
本节主要讨论几类特殊的生成函数，即组合数序列、排列数序列、分拆数序列、组合分配数序列以及排列分配数序列的生成函数，以及Catalan数和第一类Stirling数的生成函数。
5.1 生成函数的定义与性质
5.1.1 生成函数的定义
定义 5.1.1 设于一个有限或无限数列
做形式幂级数
称A（x）为序列的生成函数，并记为
例 5.1.1组合数序列，的生成函数是
通过对的运算，可能导出一系列组合数的关系式，例如：
可以推导出Vandermonde恒等式
例5.1.2 无限数列的生成函数是
例5.1.3 求数列的生成函数，其中是多重集的组合数的生成函数。
解 该数列记作，它的生成函数是，则
当时，这时数列为例5.1.2的无限数列，其生成函数为。
当时，的组合数是，这时数列变成，而由（5.1.1）式有
例5.1.4 投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为，问连续投掷两次，出现的点数之和为10的概率有多少？
一次投掷出现的点数有6种可能，连续两次投掷到的点数构成二元数组，共有种可能，由枚举法，两次出现的点数之和为10的有3种可能；（4，6），（5，5），（6，4），所以概率为
如果问题是连续投掷10次，其点数之和为30的概率有多少，这时就不那么简单了，这是由于10个数之和为30的可能组合方式很多，难以一一列举，要解决这个问题，只能另辟新径。
我们用多项式
表示投掷一次可能出现点数1，2，…，6，观察
从两个括号中分别取出和，使
即是两次投掷分别出现点数，且，由此得出，展开式中的系数就是满足条件的方法数。
同理，连续投掷10次，其和为30的方法数为
中的系数，而
所以，的系数为
故所求概率为
5.1.2 生成函数的性质
生成函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个生成函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反之亦然。
设数列的生成函数为，数列的生成函数为，我们可以得到生成函数的如下一些性质：
由假设条件，有
类似于性质1的证明。
给等式的两端都乘以，得
把以上各式的两边分别相加，得
这里，是收敛的。
因为收敛，所以是存在的，于是有
把以上各式的两边分别相加，得
由的定义知
由假设条件，有
性质9 若，为常数，则。
性质7和性质8可以形式幂级数的数乘、加法及乘法运算的定义直接得出。
利用这些性质，我们可以某些数列的生成函数，也可以计算数列的和。下面列出几个常见的简单数列的生成函数，其中：
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|个人分类:|系统分类:|关键词:多项式时间
组合数 悖论
组合数Cnn-k是不是多项式？姜咏江在P/NP的问题中，多项式的概念成为了探讨P是否等于NP问题的关键。关于多项式我在博文《关于多项式时间的辨析》、《算法多项式时间复杂度不靠谱的证明》、《有限元线性过程计数原理》和《算法多项式时间复杂度是天大的笑话！》当中提出了自己的看法，并提出了从等式来看，所谓O(nk)的多项式时间是一个悖论。从组合数计数公式Cnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!来看，这是一个k次多项式，其中k≤n。在此等式中总有Cnk=Cnn-k这个相等的关系式，那么我们不禁要问：“Cnn-k是不是多项式？”多项式有一个很重要的性质：任何有限个多项式之和都是多项式。我用组合多项式的方式求出了n个数的全部子集，并且求出了任何子集的和（请见博文）。如果你承认了求子集和的这一过程是多项式过程，那么2n不是多项式就成了错误的认识；如果你不承认这是一个多项式过程，那么“任何有限个多项式之和都是多项式”这个性质也就不存在了，也就是说所谓的多项式概念也不存在了。这不是个悖论吗？归根结底，我们要回答Cnn-k是不是多项式？&&&&
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