当前位置： >>
【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第二章
函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示 考点一 函数的概念(基础送分型考点――自主练透) [必备知识] 1．函数的定义 设 A、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一 个数 x，在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数，记作 y＝f(x)．
2．函数的三要素[题组练透] 1．下列四组函数中，表示同一函数的是( A．y＝x－1 与 y＝ ?x－1?2 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 答案：D 2．下列所给图象是函数图象的个数为( ) ) B．y＝ x－1与 y＝ x－1 x－1 x 100D．y＝lg x－2 与 y＝lgA．1 C．3B．2 D．4解析：选 B ①中当 x&0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象， ②中当 x＝x0 时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值， 因此是函数图象，故选 B. [类题通法] 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1 均表示同一函数．1考点二 函数的定义域问题(常考常新型考点――多角探明) [多角探明] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴. 常见的命题角度有： (1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域； (3)已知定义域确定参数问题. 角度一：求给定函数解析式的定义域 1．函数 f(x)＝ 1－|x－1| (a＞0 且 a≠1)的定义域为________． ax－1?1－|x－1|≥0， ?0≤x≤2， ? ? 解析：由? x ?? ?0＜x≤2， ?a －1≠0 ? ? ?x≠0故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2] 1? 2 2．(2013? 安徽高考)函数 y＝ln? ?1＋x?＋ 1－x 的定义域为________． 1 x＋1 ? ? ? ?1＋x&0， &0， 解析：要使函数有意义，需? 即? x ? ? ?1－x2≥0， ?x2≤1，? ?x&－1或x&0， 即? 解得 0&x≤1，所以定义域为(0,1]． ?－1≤x≤1， ?答案：(0,1] 角度二：求抽象函数的定义域 f?x＋1? 3．若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2 014]，则函数 g(x)＝ 的定义域是( x－1 A．[0,2 013] C．(1,2 014] B．[0,1)∪(1,2 013] D．[－1,1)∪(1,2 013] )解析：选 B 令 t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 014]，可知 1≤t≤2 014.要使函 数 f(x＋1)有意义， 则有 1≤x＋1≤2 014， 解得 0≤x≤2 013， 故函数 f(x＋1)的定义域为[0,2 013]．?0≤x≤2 013， ? 所以使函数 g(x)有意义的条件是? 解得 0≤x&1 或 1＜x≤2 013.故函数 g(x) ? ?x－1≠0，的定义域为[0,1)∪(1，2 013]．故选 B. 4．若函数 f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则 f(lg x)的定义域为(2)A．[－1,1] C．[10,100]B．[1,2] D．[0，lg 2]解析：选 C 因为 f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故 0≤x2≤1，所以 1≤x2＋ 1≤2.因为 f(x2＋1)与 f(lg x)是同一个对应法则， 所以 1≤lg x≤2， 即 10≤x≤100， 所以函数 f(lg x)的定义域为[10,100]．故选 C.角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2015? 合肥模拟)若函数 f(x)＝ ________． 解析：函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2x2＋2ax－ a≥20，x2＋2ax－a≥0 恒成立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案：[－1,0] [类题通法] 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)已知 f(x)的定义域是[a， b]， 求 f(g(x))的定义域， 是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围， 而已知 f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是 x∈[a，b]． 考点三 求函数的解析式(重点保分型考点――师生共研) [必备知识] (1)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转 化为该形式． (2)求函数的解析式时， 一定要注意函数定义域的变化， 特别是利用换元法求出的解析式， 不注明定义域往往导致错误． [典题例析] 1? 2 1 (1)已知 f? ?x＋x?＝x ＋x2，求 f(x)的解析式； 2 ? (2)已知 f? ?x＋1?＝lg x，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)； 1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f? ?x?? x－1，求 f(x)． 1? 2 1 ? 1?2 解：(1)由于 f? ?x＋x?＝x ＋x2＝?x＋x? －2， 所以 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2.32x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为2 2 2 (2)令 ＋1＝t 得 x＝ ，代入得 f(t)＝lg ， x t－1 t－1 又 x&0，所以 t&1， 2 故 f(x)的解析式是 f(x)＝lg ，x&1. x－1 (3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，?2a＋b＝b＋1， ? 1 所以? 解得 a＝b＝ . 2 ? a ＋ b ＝ 1 ， ?1 1 所以 f(x)＝ x2＋ x，x∈R. 2 2 1? (4)在 f(x)＝2f? ?x? x－1 中， 1? 1 1 用 代替 x，得 f? ?x?＝2f(x) x－1， x 1? 2f?x? ?1? 将 f? ? x?＝ x －1 代入 f(x)＝2f?x? x－1 中， 2 1 可求得 f(x)＝ x＋ . 3 3 [类题通法] 求函数解析式常用的方法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 1? (4)消去法：已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组，通过解方程求出 f(x)． [演练冲关] 1．已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式． 解：法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1，x≥1. 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1，4∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1， x＋1≥1， 即 f(x)＝x2－1，x≥1. 2．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解 析式． 解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，解得 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1. 考点四 分段函数(重点保分型考点――师生共研) [必备知识] 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数． [提醒] 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． [典题例析]?log3x，x＞0， ? 1．已知 f(x)＝? x 且 f(0)＝2，f(－1)＝3，则 f(f(－3))＝( ?a ＋b，x≤0， ?)A．－2 C．3B ．2 D．－3解析：选 B 由题意得 f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2， 解得 b＝1. 1 － － f(－1)＝a 1＋b＝a 1＋1＝3，解得 a＝ . 2 1?－3 故 f(－3)＝? ?2? ＋1＝9， 从而 f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.?2x＋a，x&1， ? 2． 已知实数 a≠0， 函数 f(x)＝? 若 f(1－a)＝f(1＋a)， 则 a 的值为________． ?－x－2a，x≥1. ?解析：当 a&0 时，1－a&1,1＋a&1. 这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 3 由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－ . 2 不合题意，舍去． 当 a&0 时，1－a&1,1＋a&1，5这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 3 由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－ . 4 3 综上可知，a 的值为－ . 4 3 答案：－ 4 [类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围． [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [演练冲关] 1 ? ?2x＋1， x≤0， (2015? 榆林二模)已知 f(x)＝? ?－?x－1?2， x＞0， ? 使 f(x)≥－1 成立的 x 的取值范围是________． x≤0， ? ? 解析：由题意知?1 ? ?2x＋1≥－1?x＞0， ? 或? 2 ? ?－?x－1? ≥－1，解得－4≤x≤0 或 0＜x≤2，故 x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2] 对应B本课时跟踪检测?四?一、选择题 1＋x 1．(2015? 大同调研)设全集为 R，函数 f(x)＝ln 的定义域为 M，则?RM＝( 1－x A．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．[－1,1] )1＋x 1＋x 解析：选 C 由 f(x)＝ln ，得到 &0， 1－x 1－x 即(x＋1)(x－1)&0，6解得－1&x&1，即 M＝(－1,1)， ∵全集为 R， ∴?RM＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．?x2＋1，x≤1， ? 2．已知函数 f(x)＝? x 若 f(f(1))＝4a，则实数 a 等于( ?2 ＋ax，x＞1， ?)1 A. 2 C．24 B. 3 D．4解析：选 C ∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得 a＝2.故选 C. 3．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为( A．g(x)＝2x2－3x C．g(x)＝3x2＋2x B．g(x)＝3x2－2x D．g(x)＝－3x2－2x )解析：选 B (待定系数法)设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过 原点， a＋b＋c＝1， ? ? ∴?a－b＋c＝5， ? ?c＝0， a＝3， ? ? 解得?b＝－2， ? ?c＝0，∴g(x)＝3x2－2x，选 B. 4．函数 f(x)＝ A．[1,10] C．(1,10] 解析：选 D 要使函数 f(x)有意义， 10＋9x－x ≥0， ? ? 则 x 需满足?x－1＞0， ? ?lg?x－1?≠0，210＋9x－x2 的定义域为( lg?x－1?) B．[1,2)∪(2,10] D．(1,2)∪(2,10]－1≤x≤10， ? ? 即?x＞1， ? ?x≠2，所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选 D. 5 ． 根 据 统 计 ， 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 ： 分 钟 ) 为 f(x) ＝? x，x&A， ?c ? A，x≥A，A．75,25 C．60,25c(A，c 为常数)．已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是() B．75,16 D．60,167解析：选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟， 所以 c ＝15，① A c c ＝ ＝30.② 4 2所以必有 4&A，且联立①②解得 c＝60，A＝16. 1? 6.?创新题?具有性质： f? 我们称为满足“倒负”变换的函数， 下列函数： ?x?＝－f(x)的函数， x，0&x&1， ? ?0，x＝1， 1 1 ①y＝x－ ；②y＝x＋ ；③y＝? x x 1 ? ?－x，x&1. 其中满足“倒负”变换的函数是( A．①② C．②③ ) B．①③ D．①1? 1 1? 1 1 解析：选 B 对于①，f(x)＝x－ ，f? ＝ －x＝－f(x)，满足；对于②，f? ?x?＝x＋x＝f(x)， x ? x? x? ? 1 ?＝ 0，1＝1， 不满足；对于③，f? ? x? ? x ? &1， ?－x，1 x二、填空题1 1 ，0& &1， x x? ，x&1， 1? ?x ? 即 f?x?＝?0，x＝1， ? ?－x，0&x&1，11? 故 f? ? x?＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.7．(2015? 太原月考)已知 y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则 y＝f(log2x)的定义域是________． 解析：∵函数 f(2x)的定义域为[－1,1]， 1 ∴－1≤x≤1，∴ ≤2x≤2. 2 1 ∴在函数 y＝f(log2x)中， ≤log2x≤2，∴ 2≤x≤4. 2 答案：[ 2，4] 1? 8．设函数 f(x)满足 f(x)＝1＋f? ?2?log2x，则 f(2)＝________. 1? 1 1 ?1?? ?1?＝1， 解析： 由已知得 f? ＝ 1 － f log 2 ， 则 f log2x， 故 f(2)＝1＋ ? log22 2 ?2? ?2? ?2? 2 则 f(x)＝1＋2? 2 3 ＝ . 2 3 答案： 289．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y＝f(x)的定义域为________． 解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]， ∴x∈[－ 3， 3]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]?3x＋a，x≥0， ? 10．(2015? 岳阳模拟)已知奇函数 f(x)＝? 则 f(－2)的值为________． ? ?g?x?，x&0，解析：因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(0)＝30＋a＝0，即 a＝－1.所以 f(－2)＝g(－2)＝－ f(2)＝－(32－1)＝－8. 答案：－8 三、解答题 1? x 11．(1)如果 f? ?x?＝1－x，则当 x≠0 且 x≠1 时，求 f(x)的解析式； (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式． 1 1 解：(1)令 ＝t，得 x＝ (t≠0 且 t≠1)， x t 1 1 ＝ ，∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠1)． 1 t－1 x－1 1－ t 1 t∴f(t)＝(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即 ax＋5a＋b＝2x＋17 不论 x 为何值都成立，?a＝2， ?a＝2， ? ? ∴? 解得? ∴f(x)＝2x＋7. ? ? ?b＋5a＝17， ?b＝7，12．如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象．(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损， 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议， 如图 2、 3 所示． 你 能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元？ 解：(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为－20 元，点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 09元，线段 AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利． (2)图 2 的建议是降低成本，票价不变，图 3 的建议是提高票价． (3)斜率表示票价． (4)图 1、2 中的票价是 2 元．图 3 中的票价是 4 元．第二节函数的单调性与最值对应学生用书P15 考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点――自主练透) [必备知识] 1．定义法 设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D?I，如果对于任意 x1，x2∈D，且 x1&x2，则有： (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)&f(x2)； (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)&f(x2)． 2．导数法 在某个区间(a， b)内， 如果 f′(x)＞0， 那么函数 y＝f(x)在这个区间上单调递增； 如果 f′(x) ＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间上单调递减． [题组练透] 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( A．f(x)＝3－x 1 C．f(x)＝－ x＋12)B．f(x)＝x －3x D．f(x)＝－|x|解析：选 C 当 x&0 时，f(x)＝3－x 为减函数； 3? 2 当 x∈? ?0，2?时，f(x)＝x －3x 为减函数， 3 2 ? 当 x∈? ?2，＋∞?时，f(x)＝x －3x 为增函数； 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1 为增函数； x＋1当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选 C. －2x 2．判断函数 g(x)＝ 在(1，＋∞)上的单调性． x－1 解：任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1&x2， －2x1 －2x2 2?x1－x2? 则 g(x1)－g(x2)＝ － ＝ ， x1－1 x2－1 ?x1－1??x2－1?10因为 1&x1&x2， 所以 x1－x2&0，(x1－1)(x2－1)&0， 因此 g(x1)－g(x2)&0，即 g(x1)&g(x2)． 故 g(x)在(1，＋∞)上是增函数． [类题通法] 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法 进行判断． 考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点――师生共研) [必备知识] 单调区间的定义 若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． [典题例析] 求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； 1 (2)y＝log (x2－3x＋2)． 2?－x2＋2x＋1，x≥0， ? 解：(1)由于 y＝? 2 ?－x －2x＋1，x＜0， ? ?－?x－1?2＋2，x≥0， ? 即 y＝? 2 ? ?－?x＋1? ＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单 调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log 1 u 与 u＝x2－3x2＋2 的复合函数． 令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2. ∴函数 y＝log 1 (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．23 又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝ ，且开口向上． 2 ∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而 y＝log 1 u 在(0，＋∞)上是单调减函数，211∴y＝log 1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．2[类题通法] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写 出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． [提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [演练冲关] 1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？ 解：函数 y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示． 由图象可知，函数 y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－ 2， 1)和(1＋ 2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2)和(1,1＋ 2)． 2．设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数 k，? ?f?x?，f?x?≤k， 1 － 定义函数 fk(x)＝? 取函数 f(x)＝2 |x|.当 k＝ 时，求函 2 ? ?k，f?x?＞k，数 fk(x)的单调递增区间． 1 解：由 f(x)& ，得－1&x&1. 2 1 由 f(x)≤ ，得 x≤－1 或 x≥1. 2 2 ，x≥1， ? ?1 (x)＝?2，－1＜x＜1， ?2 ，x≤－1. ?x－x所以 f 12故 f 1 (x)的单调递增区间为(－∞，－1)．2考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点――多角探明) [必备知识] 函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值 对应图象最低点的纵坐标． (2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区12间[b，c]上单调递减，则函数 y＝f(x)，x∈[a，c]在 x＝b 处有最大值 f(b)；如果函数 y＝f(x)在 区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数 y＝f(x)，x∈[a，c]在 x＝b 处有最小 值 f(b)． [多角探明] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某 一问中. 函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值； (2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式； (4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一：求函数的值域或最值 1 ? ?x，x≥1， 1．函数 f(x)＝? 的最大值为________． 2 ? ?－x ＋2，x＜1 1 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1； x 当 x＜1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 答案：2 角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小 1 2．已知函数 f(x)＝log2x＋ ，若 x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( 1－x A．f(x1)&0，f(x2)&0 C．f(x1)&0，f(x2)&0 B．f(x1)&0，f(x2)&0 D．f(x1)&0，f(x2)&0 )1 解析：选 B ∵函数 f(x)＝log2x＋ 在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0， 1－x ∴当 x1∈(1,2)时，f(x1)&f(2)＝0， 当 x2∈(2，＋∞)时，f(x2)&f(2)＝0， 即 f(x1)&0，f(x2)&0. 角度三：解函数不等式 3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当 f(x)＋f(x －8)≤2 时，x 的取值范围是( A．(8，＋∞) C．[8,9] ) B．(8,9] D．(0,8)13解析：选 B 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由 f(x)＋f(x－8)≤2，可得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为 x＞0， ? ? f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有?x－8＞0， ? ?x?x－8?≤9， 解得 8＜x≤9. 角度四：利用单调性求参数的取值范围或值 ?a－2?x，x≥2， ? ? f?x1?－f?x2? 4． 已知函数 f(x)＝??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2， 都有 &0 成立， x1－x2 － 1 ， x &2 ? ??2? 则实数 a 的取值范围为( A．(－∞，2) C．(－∞，2] ) 13? B.? ?－∞， 8 ? 13 ? D.? ? 8 ，2?解析：选 B 由题意可知，函数 f(x)是 R 上的减函数， a－2&0， ? ? 于是有? 1?2 ?a－2?×2≤? ? 2? －1， ? ? 13 由此解得 a≤ ， 8 13? 即实数 a 的取值范围是? ?－∞， 8 ? . [类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数 的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调 区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值. 对应A本课时跟踪检测?五?一、选择题141．(2014? 北京高考)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( A．y＝e－x)B．y＝x3 D．y＝|x|C．y＝ln x解析：选 B 因为对数函数 y＝ln x 的定义域不是 R，故首先排除选项 C；因为指数函数 1?x － y＝e x，即 y＝? ?e? ，在定义域内单调递减，故排除选项 A；对于函数 y＝|x|，当 x∈(－∞， 0)时，函数变为 y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项 D；而函数 y＝x3 在定义域 R 上为增函数．故选 B. 2．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( A．[1,2] C．[0,2] 解析：选 A ) B．[－1,0] D．[2，＋∞)2 ? ?x －2x，x≥2， 由于 f(x)＝|x－2|x＝? 2 ?－x ＋2x，x&2. ?结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 3．(2015? 黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x＝1 对称， 且当 x≥1 时，f(x)＝3x－1，则( 1? ?3? ?2? A．f? ?3?&f?2?&f?3? 2? ?3? ?1? B．f? ?3?&f?2?&f?3? 2? ?1? ?3? C．f? ?3?&f?3?&f?2? 3? ?2? ?1? D．f? ?2?&f?3?&f?3? 解析：选 B 由题设知，当 x&1 时，f(x)单调递减，当 x≥1 时，f(x)单调递增，而 x＝1 3? ? 1? ? 1? ?1? 1 1 2 为对称轴，∴f? ?2?＝f?1＋2?＝f?1－2?＝f?2?，又3&2&3&1， 1? ?1? ?2? ?1? ?3? ?2? ∴f? ?3?＞f?2?&f?3?，即 f?3?&f?2?&f?3?. 4.?创新题?定义新运算：当 a≥b 时，ab＝a；当 a&b 时，ab＝b2，则函数 f(x)＝(1 x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于( A．－1 C．6 ) B．1 D．12 )解析：选 C 由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2， 当 1&x≤2 时，f(x)＝x3－2. ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2 在定义域内都为增函数． ∴f(x)的最大值为 f(2)＝23－2＝6.15? ?log2x，x≥1， 5．已知函数 f(x)＝? 则“c＝－1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的( ?x＋c，x&1， ?)A．充分不必要条件 C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选 A 若函数 f(x)在 R 上递增，则需 log21≥c＋1，即 c≤－1.由于 c＝－1?c≤－ 1，但 c≤－1?/ c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件．故选 A. 6．(2015? 长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单 调递增，如果 x1＋x2&0 且 x1x2&0，则 f(x1)＋f(x2)的值( A．可能为 0 C．恒小于 0 )B．恒大于 0 D．可正可负解析：选 C 由 x1x2&0 不妨设 x1&0，x2&0. ∵x1＋x2&0，∴x1&－x2&0. 由 f(x)＋f(－x)＝0 知 f(x)为奇函数． 又由 f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)&f(－x2)＝－f(x2)，所以 f(x1)＋f(x2)&0.故选 C. 二、填空题?1??&f(1)，则实数 x 的取值范围是________． 7．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，若 f? ??x?? ?1??&f(1)； 解析：由题意知 f(x)为 R 上的减函数且 f? ??x??1? 则? ? x?&1，即|x|&1，且 x≠0.故－1&x&1 且 x≠0. 答案：(－1,0)∪(0,1) 8 ．已知函数 f(x) ＝ x2 － 2ax － 3 在区间 [1,2] 上具有单调性，则实数 a 的取值范围为 ________________． 解析：函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图象开口向上，对称轴为直线 x＝a， 画出草图如图所示． 由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要 使函数 f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2，从而 a∈(－∞， 1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 1，x&0， ? ? 9．设函数 f(x)＝?0，x＝0， ? ?－1，x&0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________．16x ，x&1， ? ? 解析：由题意知 g(x)＝?0，x＝1， ? ?－x2，x&1. [0,1)． 答案：[0,1)2函数图象如图所示，其递减区间是2x＋k 10．使函数 y＝ 与 y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数 k 的取值 x－2 范围是________________． 解析：由 y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数． 2x＋k 2?x－2?＋4＋k 4＋k 又函数 y＝ ＝ ＝2＋ ， x－2 x－2 x－2 使其在(3，＋∞)上是增函数， 故 4＋k&0，得 k&－4. 答案：(－∞，－4) 三、解答题 11．已知 f(x)＝ x (x≠a)． x－a(1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a&0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围． 解：(1)证明：任设 x1&x2&－2， 2?x1－x2? x1 x2 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1＋2 x2＋2 ?x1＋2??x2＋2? ∵(x1＋2)(x2＋2)&0，x1－x2&0， ∴f(x1)&f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设 1&x1&x2，则 a?x2－x1? x1 x2 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1－a x2－a ?x1－a??x2－a? ∵a&0，x2－x1&0， ∴要使 f(x1)－f(x2)&0， 只需(x1－a)(x2－a)&0 在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]． x1? 12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?＝f(x1)－f(x2)，且当 x&1 时，f(x)&0.2(1)求 f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数；17(3)若 f(3)＝－1，求 f(x)在[2,9]上的最小值． 解：(1)令 x1＝x2&0， 代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0， 故 f(1)＝0. (2)证明：任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1&x2， x1 则 &1，由于当 x&1 时，f(x)&0， x2 x1? 所以 f? ?x ?&0，即 f(x1)－f(x2)&0，2因此 f(x1)&f(x2)， 所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)． x1? 由 f? ?x ?＝f(x1)－f(x2)得，29? f? ?3?＝f(9)－f(3)， 而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.第三节函数的奇偶性及周期性对应学生用书P17对应学生用书P18 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点――自主练透)[必备知识] 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)[或 f(－x)＝－f(x)]，那么函数 f(x)就叫做偶函数(奇函数)． [提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． [题组练透] 判断下列函数的奇偶性．18(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3 x；－4－x2 (4)f(x)＝ ； |x＋3|－3?x2＋x，x&0， ? (5)f(x)＝? 2 ? ?x －x，x&0.2 ? ?x －1≥0， ? 解：(1)∵由 得 x＝± 1， 2 ?1－x ≥0， ?∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即 f(x)＝± f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．?3? (2)∵函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为?2?， ? ?不关于坐标原点对称， ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为 R， ∴f(－x)＝3 x－3x＝－(3x－3 x)＝－f(x)，－ －所以 f(x)为奇函数．2 ? ?4－x ≥0， (4)∵由? 得－2≤x≤2 且 x≠0. ?|x＋3|－3≠0， ?∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x2 4－x2 4－x2 ∴f(x)＝ ＝ ＝ ， x |x＋3|－3 ?x＋3?－3 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x&0 时，f(x)＝x2＋x， 则当 x&0 时，－x&0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x&0 时，f(x)＝x2－x，则当 x&0 时，－x&0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． [类题通法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路 1．定义法：192．图象法：3．性质法： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇? 奇”是偶，“奇÷ 奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶? 偶”是偶，“偶÷ 偶”是偶； (3)“奇? 偶”是奇，“奇÷ 偶”是奇． [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系， 只有对各段上的 x 都满足 相同的关系时，才能判断其奇偶性． 考点二 函数的周期性(题点多变型考点――全面发掘) [必备知识] 1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期． [一题多变] [典型母题] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时， f(x)＝2x－x2. (1)求函数的最小正周期； (2)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋?＋f(2 015). [解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)的最小正周期为 4. (2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，20f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝?＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋?＋f(2 015)＝0.[题点发散 1] 本例条件若改为： 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)， 且当 x∈[0,2) 时，f(x)＝2x－x2.试计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋?＋f(2 015)的值． 解：因为 f(x＋2)＝f(x)，所以周期 T＝2. 又 f(0)＝0，f(1)＝1， 所以 f(0)＝f(2)＝f(4)＝?＝f(2 014)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝?＝f(2 015)＝1， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋?＋f(2 015)＝1 008. 1 [题点发散 2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－ ”，求函数 f(x)的最小正周期． f?x? 1 解：∵对任意 x∈R，都有 f(x＋2)＝－ ， f?x? 1 1 ∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－ ＝－ ＝f(x)， 1 f?x＋2? － f?x? ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． [题点发散 3] 在本例条件下，求 f(x)(x∈[2,4])的解析式． 解：当 x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2， 又 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当 x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 故 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. [类题通法] 1．判断函数周期性的两个方法 (1)定义法． (2)图象法．212．周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 f(x＋a)＝ 1 ，则 T＝2a； f?x?1 (3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a.(a&0) f?x? [提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． 考点三 函数性质的综合应用(常考常新型考点――多角探明) [多角探明] 高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查. 归纳起来常见的命题角度有： (1)单调性与奇偶性结合； (2)周期性与奇偶性结合； (3)单调性、奇偶性与周期性结合. 角度一：单调性与奇偶性结合 1．(2015? 洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( A．y＝x2 1 C．y＝log2 |x| B．y＝2|x| D．y＝sin x )解：选 C 函数 y＝x2 在(－∞，0)上是减函数；函数 y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函 1 数 y＝log2 ＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数 y＝sin x 不是偶函数．综 |x| 上所述，选 C. 2． 已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]， 且在区间[－2,0]上递减， 求满足 f(1－m)＋f(1－m2)&0 的实数 m 的取值范围． 解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，?－2≤1－m≤2， ? ∴? 解得－1≤m≤ 3.① 2 ? ?－2≤1－m ≤2，又 f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f(x)在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)&－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m&m2－1， 解得－2&m&1.② 综合①②可知，－1≤m&1.22即实数 m 的取值范围是[－1,1)． 角度二：周期性与奇偶性结合 3．(2015? 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)＜1，f(5)＝ 2a－3 ，则实数 a 的取值范围为( a＋1 A．(－1,4) C．(－1,0) ) B．(－2,0) D．(－1,2)解：选 A ∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝ －1＜a＜4，故选 A. 角度三：单调性、奇偶性与周期性结合 4． 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， 且在区间[0,2]上是增函数， 则( A．f(－25)＜f(11)＜f(80) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) 解：选 D ∵f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)， f(11)＝f(3)． 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x－4)＝－f(x)，得 f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即 f(－25)＜f(80)＜f(11)． [类题通法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的 对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，然后利用奇偶性和单调性求解． B．f(80)＜f(11)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)&f(11) ) 2a－3 2a－3 a－4 ，∴ ＜1，即 ＜0，解得 a＋1 a＋1 a＋1对应B本课时跟踪检测?六?一、选择题 1．(2015? 河南信阳二模)函数 f(x)＝lg|sin x|是(23)A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 D．最小正周期为 2π 的偶函数 解析： 选 C 易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， 关于原点对称， 又 f(－x)＝lg |sin(－x)|＝lg |－sin x|＝lg |sin x|＝f(x)，所以 f(x)是偶函数，又函数 y＝|sin x|的最小正周期为 π，所以 函数 f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为 π 的偶函数． 2．(2015? 大连测试)下列函数中，与函数 y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性 也相同的是( 1 A．y＝－ x C．y＝1－x2 ) B．y＝log2|x| D．y＝x3－1解析：选 C 函数 y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项 B 的函数是偶函数， 但其单调性不符合，只有选项 C 符合要求． 3．(2015? 唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当 x＜0 时， f(x)＝( ) B．x3＋ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)A．－x3－ln(1－x) C．x3－ln(1－x)解析：选 C 当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是 R 上的奇函数，∴ 当 x＞0 时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)． x2＋x＋1 2 4．(2015? 长春调研)已知函数 f(x)＝ 2 ，若 f(a)＝ ，则 f(－a)＝( 3 x ＋1 2 A. 3 4 C. 3 2 B．－ 3 4 D．－ 3 )x2＋x＋1 x x 解析：选 C 根据题意，f(x)＝ 2 ＝1＋ 2 ，而 h(x)＝ 2 是奇函数，故 f(－a) x ＋1 x ＋1 x ＋1 2 4 ＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－ ＝ ，故选 C. 3 3 5．(2015? 甘肃天水一模)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)＝ f(x－1)，若 f(2)＝2，则 f(2 014)的值为( A．2 C．－2 ) B．0 D．± 2解析：选 A ∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)． 又 g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，24∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 则 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(2 014)＝f(2)＝2. 6．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x，若 f(2－a2)＞f(a)，则实 数 a 的取值范围是( ) B．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1)解析：选 C ∵f(x)是奇函数，∴当 x＜0 时，f(x)＝－x2＋2x.作出函 数 f(x)的大致图象如图中实线所示， 结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数， 由 f(2－a2)＞f(a)，得 2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 二、填空题 7．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________. 解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于 x∈R 恒成立， ∴|－x＋a|＝|x＋a|对于 x∈R 恒成立，两边平方整理得 ax＝0 对于 x∈R 恒成立，故 a＝ 0. 法二：由 f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得 a＝0. 答案：0 8．(2015? 江苏南通二模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0； 1? ?3? ?5? ②f(x)＝f(x＋2)；③当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x－1，则 f? ?2?＋f(1)＋f?2?＋f(2)＋f?2?＝________. 解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2， 1? ?3? ?5? ∴f? ?2?＋f(1)＋f?2?＋f(2)＋f?2? 1? ? 1? ?1? ＝f? ?2?＋f(1)＋f?－2?＋f(0)＋f?2? 1? ?1? ?1? ＝f? ?2?＋f(1)－f?2?＋f(0)＋f?2? 1? ＝f? ?2?＋f(1)＋f(0)1＝2 2 －1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案： 2 1?x 9．已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)－g(x)＝? ?2? ，则 f(1)， g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________． 1?x x 解析：在 f(x)－g(x)＝? ?2? 中，用－x 替换 x，得 f(－x)－g(－x)＝2 ，由于 f(x)，g(x)分别 是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.25于是解得 f(x) ＝2 x－2x 2 x＋2x 3 5 ， g(x) ＝－ ，于是 f(1) ＝－ ， g(0) ＝－ 1 ， g( － 1) ＝－ ，故 2 2 4 4－ －f(1)&g(0)&g(－1)． 答案：f(1)&g(0)&g(－1) 10 ． 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 [ － 1,1] 上 ， f(x) ＝ ax＋1，－1≤x＜0， ? ? 1? ?3? 其中 a，b∈R.若 f? ?bx＋2 2?＝f?2?，则 a＋3b 的值为________． ? ，0≤x≤1， ? x ＋ 1 ? 3? ? 1? 解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f? ?2?＝f?－2?，且 f(－1)＝f(1)， 1 b＋2 1 1 1 ?＝f?－ ?，从而2 故 f? ＝－ a＋1，即 3a＋2b＝－2.① ?2? ? 2? 1 2 ＋1 2 b＋2 由 f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝ ，即 b＝－2a.② 2 由①②得 a＝2，b＝－4，从而 a＋3b＝－10. 答案：－10 三、解答题 －x ＋2x，x&0， ? ? 11．已知函数 f(x)＝?0，x＝0， ? ?x2＋mx，x&0 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x&0，则－x&0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x&0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象知??a－2&－1， ? ? ?a－2≤1，2是奇函数．所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1,3]． 12．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数 f(x)的单调区间．26解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 1 ? 则 S＝4S△OAB＝4×? ?2×2×1?＝4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)， 单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．第四节函数的图象对应学生用书P20基础盘查一 利用描点法作函数图象 (一)循纲忆知 会利用描点法作一些函数图象(如 y＝sin x)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 f(x)＝ x－1 与 g(x)＝ x－1的图象相同( x－1 ) )1 1? 3 (2)点(0,0)，? ?2，8?，(1,1)，(2,8)为 y＝x 的关键点( 答案：(1)× (2)√ xax 2．函数 y＝ (a&1)的图象的大致形状是( |x|27)答案：A 基础盘查二 利用图象变换法作函数图象 (一)循纲忆知 能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质． (二)小题查验 1．判断正误 (1)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同( (2)函数 y＝af(x)与 y＝f(ax)(a&0 且 a≠1)的图象相同( (3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于原点对称( ) ) ) ) )(4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称( (5)将函数 y＝f(－x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y＝f(－x－1)的图象( 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× )2．已知图①中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(A．y＝f(|x|) C．y＝f(－|x|) 答案：CB．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)对应学生用书P20 考点一 作函数的图象(基础送分型考点――自主练透) [必备知识] 描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点，连线． [题组练透] 分别画出下列函数的图象：28(1)y＝|lg x|； (2)y＝2x 2；＋(3)y＝x2－2|x|－1.?lg x，x≥1， ? 解：(1)y＝? 图象如图 1. ?－lg x，0&x&1. ?(2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如图 2.2 ? ?x －2x－1，x≥0， ? (3)y＝ 2 图象如图 3. ?x ＋2x－1，x&0. ?[类题通法] 画函数图象的一般方法 1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数 的特征直接作出； 2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换． (1)平移变换： y＝f(x)D D D D D D D D D D →y＝f(x－a)； a&0，左移|a|个单位 y＝f(x)D D D D D D D D D D →y＝f(x)＋b. b&0，下移|b|个单位 (2)伸缩变换：1 0&ω&1，伸长为原来的 倍 ω y＝f(x)D D D D D D D D D D →y＝f(ωx)； 1D ω&1，缩短为原来的 ω b&0，上移b个单位 a&0，右移a个单位y＝f(x)D D D D D D D D D D →y＝Af(x)． 0&A&1，缩为原来的A (3)对称变换： y＝f(x)D D D D D D →y＝－f(x)； y＝f(x)D D D D D D →y＝f(－x)； y＝f(x)D D D D D D D →y＝－f(－x)． (4)翻折变换： y＝f(x)D D D D D D D D D D D D D D D D D →y＝f(|x|)； 将y轴右边的图象翻折到左边去 y＝f(x)D D D D D D D D D →y＝|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去 考点二 识图与辨图(重点保分型考点――师生共研)29留下x轴上方图 去掉y轴左边图，保留y轴右边图 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称A&1，伸为原来的A倍[典题例析] 1．(2015? 海淀区期中测试)函数 f(x)＝2x＋sin x 的部分图象可能是( )解析：选 A 因为 x∈R，f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又 f′(x)＝2＋cos x＞0，所以函数单调递增，因此选 A. 2.已知定义在区间[0,2]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则 y＝－f(2－x)的图 象为( )解：选 B 法一：由 y＝f(x)的图象知?x，0≤x≤1， ? f(x)＝? ?1，1&x≤2. ?当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，? ?1，0≤x≤1， 所以 f(2－x)＝? ?2－x，1&x≤2， ? ? ?－1，0≤x≤1， 故 y＝－f(2－x)＝? ?x－2，1&x≤2. ?法二：当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当 x＝1 时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选 B. [类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利 用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解30决问题． [演练冲关]?－2x，－1≤x≤0， 1．已知 f(x)＝? 则下列函数的图象错误的是( ? x，0＜x≤1，)解析：选 D 先在坐标平面内画出函数 y＝f(x)的图象，如图所示，再 将函数 y＝f(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 y＝f(x－1)的图象， 因此 A 正确； 作函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴的对称图形， 即可得到 y＝f(－x)的图象， 因此 B 正确； y＝f(x)的值域是[0,2]，因此 y＝|f(x)|的图象与 y＝f(x)的图象重合，C 正确； y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当 0≤x≤1 时，y＝f(|x|)＝ x，相应这部分 图象不是一条线段，因此选项 D 不正确． 综上所述，选 D. 2.如图，不规则四边形 ABCD 中：AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧， 直线 l⊥AB 交 AB 于 E， 当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE＝x，左侧部分的面积为 y，则 y 关于 x 的图象大致 是( )解析：选 C 当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积 保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选 C. 3.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别 为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f? 1 ? ?f?3??的值等于________．解析：∵由图象知 f(3)＝1，31∴1 1 ＝1.∴f? ?＝f(1)＝2. ?f?3?? f?3?答案：2 考点三 函数图象的应用(常考常新型考点――多角探明) [多角探明] 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 归纳起来图象的应用常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)确定方程根的个数； (3)求参数的取值范围； (4)求不等式的解集. 角度一：研究函数的性质 1．已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 解析：选 C 将 函 数 f(x) ＝ x|x| － 2x 去 掉 绝 对 值 得 f(x) ＝ )?x2－2x，x≥0， ? ? 画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的 2 ?－x －2x，x&0， ?图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减． 角度二：确定方程根的个数? ?|lg x|，x&0， 2．(2015? 日照一模)已知 f(x)＝? |x| 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点个数是 ?2 ，x≤0， ?________． 1 解析：方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝ 或 1.作出 y＝f(x)的图象，由图象知零点的 2 个数为 5.答案：532角度三：求参数的取值范围 3．(2014? 山东高考)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的 实根，则实数 k 的取值范围是( 1? A.? ?0，2? C．(1,2) ) 1 ? B.? ?2，1? D．(2，＋∞)解析：选 B 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)＝g(x) 有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝ 1 kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题意， 故 &k&1. 2角度四：求不等式的解集 4.函数 f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示， f?x? 那么不等式 &0 的解集为______． cos x π? 解析：在? ?0，2?上 y＝cos x&0， π ? 在? ?2，4?上 y＝cos x&0. π? f?x? 由 f(x)的图象知在? ?1，2?上cos x&0， 因为 f(x)为偶函数，y＝cos x 也是偶函数， f?x? 所以 y＝ 为偶函数， cos x π π f?x? － ，－1?∪?1， ?. 所以 &0 的解集为? ? 2 ? ? 2? cos x π ? ? π? 答案：? ?－2，－1?∪?1，2? [类题通法] 1．利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应 定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性． 2． 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数； 利用此法也可由 解的个数求参数值． 3．有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解．33对应A本课时跟踪检测?七?一、选择题 1．函数 y＝e1－x2 的图象大致是( )解析：选 C 易知函数 f(x)为偶函数，因此排除 A，B；又因为 f(x)＝e1－x2＞0，故排除 D，因此选 C. 2．为了得到函数 y＝2x 3－1 的图象，只需把函数 y＝2x 的图象上所有的点(－)A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 解析：选 A y＝2xD D D D D D D D D D D →y＝2x 3D D D D D D D D D D D →y＝2x 3－1.故选 A.－ －向右平移3个单位长度向下平移1个单位长度1? 3．(2015? 海淀区期中测试)下列函数 f(x)图象中，满足 f? ?4?＞f(3)＞f(2)的只可能是()1? ?1? 解析：选 D 因为 f? ?4?＞f(3)＞f(2)，所以函数 f(x)有增有减，排除 A，B.在 C 中，f?4?＜ 1? f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即 f? ?4?＜f(3)，排除 C，选 D. π? 4．设函数 F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，且? ?－π，－2?是函数 F(x)的一个单调递增区间．将 函数 F(x)的图象向右平移 π 个单位，得到一个新的函数 G( x)的图象， 则 G(x)的一个单调递减 区间是( ) π ? B.? ?－2，0? 3π ? D.? ? 2 ，2π? ∵F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，∴F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，∴F(x)为偶函π? A.? ?－π，－2? π ? C.? ?2，π? 解析：选 Dπ ? 数，∴? ?2，π?为函数 F(x)的一个单调递减区间．将 F(x)的图象向右平移 π 个单位，得到一个 3π ? 新的函数 G(x)的图象，则 G(x)的一个单调递减区间是? ? 2 ，2π?.34f?x?－f?－x? 5． (2015? 成都模拟)设奇函数 f(x)在(0， ＋∞)上为增函数， 且 f(1)＝0， 则不等式 x &0 的解集为( ) B．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)A．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)f?x?－f?－x? f?x? 解析：选 D f(x)为奇函数，所以不等式 &0 化为 &0，即 xf(x)&0，f(x)的大致 x x 图象如图所示．所以 xf(x)&0 的解集为(－1,0)∪(0,1)．? ?a，a－b≤1， 6．对实数 a 和 b，定义运算“?”：a?b＝? 设函数f?x?＝(x2－2)?(x－1)，x ?b，a－b&1. ?∈R.若函数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( A．(－1,1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(1,2]?a，a－b≤1， ? 解析：选 B ∵a?b＝? ?b，a－b&1， ?)B．(－2，－1]∪(1,2] D．[－2，－1]∴函数 f(x)＝(x2－2)?(x－1)2 ? ?x －2，－1≤x≤2， ? ＝ ?x－1，x&－1或x&2. ?结合图象可知，当 c∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数 f(x)与 y＝c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]． 二、填空题 7.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝log 解析：当 f(x)&0 时，函数 g(x)＝log2f(x)有意义， 2f(x)的定义域是________．由函数 f(x)的图象知满足 f(x)&0 的 x∈(2,8]． 答案：(2,8] x＋1 8．函数 f(x)＝ 的图象的对称中心为________． x x＋1 1 解析：因为 f(x)＝ ＝1＋ ，故 f(x)的对称中心为(0,1)． x x 答案：(0,1) 9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则 f(x)的解析式为____________．35解析：当－1≤x≤0 时，设解析式为 y＝kx＋b，?－k＋b＝0， ?k＝1， ? ? 则? 得? ∴y＝x＋1. ? ? ?b＝1， ?b＝1.当 x&0 时，设解析式为 y＝a(x－2)2－1， 1 ∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得 a＝ . 4 x＋1，－1≤x≤0， ? ? 答案：f(x)＝?1 2 ? ?4?x－2? －1，x&0 10．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实 数 a 的取值范围是____________． 解析：如图作出函数 f(x)＝|x＋a|与 g(x)＝x－1 的图象，观察图 象可知：当且仅当－a≤1，即 a≥－1 时，不等式 f(x)≥g(x)恒成立， 因此 a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 三、解答题?3－x2，x∈[－1，2]， ? 11．已知函数 f(x)＝? ?x－3，x∈?2，5]. ?(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调递增区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值． 解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知， 函数 f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．36(3)由图象知当 x＝2 时，f(x)min＝f(2)＝－1， 当 x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝3. 1 12．已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝x＋ ＋2 的图象关于点 A(0,1)对称． x (1)求 f(x)的解析式； a (2)若 g(x)＝f(x)＋ ，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围． x 解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(－x,2－y)在 h(x) 的图象上， 1 即 2－y＝－x－ ＋2， x 1 ∴y＝f(x)＝x＋ (x≠0)． x a＋1 a (2)g(x)＝f(x)＋ ＝x＋ ， x x a＋1 g′(x)＝1－ 2 . x ∵g(x)在(0,2]上为减函数， a＋1 ∴1－ 2 ≤0 在(0,2]上恒成立， x 即 a＋1≥x2 在(0,2]上恒成立， ∴a＋1≥4，即 a≥3， 故 a 的取值范围是[3，＋∞)．见课时跟踪检测A本命题点一 函数的概念及其表示 难度：中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 题型：选择题、填空题1．(2014? 山东高考)函数 f(x)＝ A．(0,2) C．(2，＋∞)1 的定义域为( log2x－1 B．(0,2] D．[2，＋∞))解析：选 C 由题意可知 x 满足 log2x－1＞0，即 log2x＞log22，根据对数函数的性质得 x ＞2，即函数 f(x)的定义域是(2，＋∞)． 2．(2014? 江西高考)已知函数 f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若 f[g(1)]＝1，则 a＝(37)A．1 C．3B．2 D．－1解析：选 A 因为 f[g(1)]＝1，且 f(x)＝5|x|，所以 g(1)＝0，即 a? 12－1＝0，解得 a＝1. 3．(2012? 安徽高考)下列函数中，不满足 f(2x)＝2f(x)的是( A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x )? ?0?x≥0? 解析： 选 C 对于选项 A， f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 对于选项 B， f(x)＝x－|x|＝? ， ? ?2x?x＜0?当 x≥0 时，f(2x)＝0＝2f(x)，当 x＜0 时，f(2x)＝4x＝2? 2x＝2f(x)，恒有 f(2x)＝2f(x)；对于选 项 D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项 C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.?x2＋2x＋2，x≤0， ? 4．(2014? 浙江高考)设函数 f(x)＝? 2 ?－x ， x&0. ?若 f(f(a))＝2，则 a＝________.解析：当 a≤0 时，f(a)＝a2＋2a＋2&0，f(f(a))&0，显然不成立；当 a&0 时，f(a)＝－a2， f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，则 a＝± 2或 a＝0，故 a＝ 2. 答案： 2命题点二 函数的基本性质 难度：中命题指数：☆☆☆☆☆ 题型：选择题、填空题1．(2014? 湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间 (－∞，0)上单调递增的是( 1 A．f(x)＝ 2 x C．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝2－x)1 解析：选 A 因为 y＝x2 在(－∞，0)上是单调递减的，故 y＝ 2在(－∞，0)上是单调递增 x 1 的，又 y＝ 2为偶函数，故 A 对；y＝x2＋1 在(－∞，0)上是单调递减的，故 B 错；y＝x3 为奇 x 函数，故 C 错；y＝2 x 为非奇非偶函数，故 D 错．选 A.－2．(2014? 湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g(x) ＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1)＝( A．－3 C．1 ) B．－1 D．3解析： 选 C 用“－x”代替“x”， 得 f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得 f(x)＋g(x) ＝－x3＋x2＋1，令 x＝1，得 f(1)＋g(1)＝1，故选 C. 3．(2014? 陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )38A．f(x)＝x1 2B．f(x)＝x3 D．f(x)＝3x1?x C．f(x)＝? ?2?解析：选 D 根据各选项知，选项 C、D 中的指数函数满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)．又 f(x)＝3x 是增函数，所以 D 正确． 4．(2014? 新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶 函数，则下列结论中正确的是( A．f(x)g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 解析： 选C ) B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， 故 f(x)g(x)为奇函数， |f(x)|g(x)为偶函数， f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选 C. 5．(2014? 四川高考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时， f(x)＝2 ? ?－4x ＋2，－1≤x&0， 3? ? 则 f? 2?＝________. ? ?x， 0≤x&1， ?3? ? 1? ? 1? ? 1?2 解析：f? ?2?＝f?2－2?＝f?－2?＝－4×?－2? ＋2＝1. 答案：1 6．(2014? 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)&0， 则 x 的取值范围是________． 解析：由题可知，当－2&x&2 时，f(x)&0，f(x－1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单 位长度得到的，若 f(x－1)&0，则－1&x&3. 答案：(－1,3)命题点三 函数的图象 难度：高、中命题指数：☆☆☆☆☆ 题型：选择题、填空题?x2＋1，x&0， ? 1．(2014? 福建高考)已知函数 f(x)＝? 则下列结论正确的是( ?cos x，x≤0， ?)A．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期函数 解析：选 DB．f(x)是增函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)2 ? ?x ＋1，x&0， ? 函数 f(x)＝ 的图象如图所示，由图象知只有 D 正确． ?cos x，x≤0 ?392． (2013? 北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度， 所得图象与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，则 f(x)＝( A．ex C．e＋1) B．ex－1 －x－1 － －－x＋1D. e解析：选 D 与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线为 y＝e x，函数 y＝e x 的图象向左平移 一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.3．(2013? 湖南高考)函数 f(x)＝2ln x 的图象与函数 g(x)＝x2－4x＋5 的图象的交点个数为 ( ) A．3 C．1 B．2 D．0解析：选 B 在同一直角坐标系下画出函数 f(x)＝2ln x 与函数 g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2 ＋1 的图象，如图所示． ∵f(2)＝2ln 2&g(2)＝1，∴f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2，故选 B.4．(2013? 四川高考)函数 y＝x3 的图象大致是( 3 －1x)解析：选 C 因为函数的定义域是非零实数集，所以 A 错；当 x&0 时，y&0，所以 B 错； 当 x→＋∞时，y→0，所以 D 错，故选 C. |x2－1| 5．(2012? 天津高考)已知函数 y＝ 的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点，则 x－1 实数 k 的取值范围是________________．?x＋1，x≤－1或x&1， |x2－1| ? 解析：因为函数 y＝ ＝? 又函数 y＝ x－1 ? ?－x－1，－1&x&1，kx－2 的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交 点时，0&k&1 或 1&k&4.40答案：(0,1)∪(1,4)第五节二次函数与幂函数对应学生用书P22基础盘查一 幂函数 (一)循纲忆知 1．了解幂函数的概念(f(x)＝xα)． 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ ，y＝x 2 的图象，了解它们的变化情况． x2 31(二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 f(x)＝x2 与函数 f(x)＝2x2 都是幂函数( (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)( (3)幂函数的图象不经过第四象限(α)) ) )(4)当 α&0 时，幂函数 y＝x 是定义域上的减函数( 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．(人教 A 版教材习题改编)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，则函数的解析式为 ________________．1答案：f(x)＝x 2 (x≥0) 基础盘查二 二次函数 (一)循纲忆知 1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；会求二次函数在闭区间上的最值． 2．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． (二)小题查验 1．判断正误 4ac－b2 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 ( 4a (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数( ) )41(3)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小 ( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．(北师大版教材习题改编)二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，对称轴为 x＝3，与 y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________________． 1 答案：y＝ x2－2x＋3 3 3．已知函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，3]上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ____________． 答案：(－∞，－2]对应学生用书P23 考点一 幂函数的图象与性质(基础送分型考点――自主练透) [必备知识] 1．幂函数的概念 形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α 为常数． [提醒] 量． 2．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当 α＞0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； (4)当 α＜0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． [题组练透] 1．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( ) 幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变解析：选 C 令 f(x)＝xα，则 4α＝2， 1 ∴α＝ ，∴f(x)＝x 2 . 2 2．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn 函数，则 n 的值为( A．－3 C．2 ) B ．1 D．1 或 2422－3n1(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减解析：选 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1， 解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 适合题意，故选 B. 3 ． (2015? 安 徽 安 庆 三 模 ) 若 (a ＋ 1) ________________． 解析： 不等式(a＋1) －2a. 2 3 解得 a&－1 或 &a& . 3 2 2 3? 答案：(－∞，－1)∪? ?3，2? [类题通法] 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝ 1，y＝1，y＝x 分区域．根据 α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1 的取值确定位置后，其余象限部 分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比 较． 考点二 求二次函数的解析式(重点保分型考点――师生共研) [必备知识] 二次函数解析式的三种表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标； (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标． [典题例析] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数 的解析式． 解：法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1， ? ?a－b＋c＝－1， 由题意得? 4ac－b ? ? 4a ＝8，2? 1 3 ? 1 3&(3 － 2a)?1 3，则实数 a 的取值范围是&(3－2a)?1 3等价于 a＋1&3－2a&0 或 3－2a&a＋1&0 或 a＋1&0&3a＝－4， ? ? 解得?b＝4， ? ?c＝7.∴所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)：43设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， 2＋?－1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x＝ ＝ . 2 2 1 ∴m＝ .又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8. 2 1 x－ ?2＋8. ∴y＝f(x)＝a? ? 2? 1 2－ ?2＋8＝－1，解得 a＝－4， ∵f(2)＝－1，∴a? ? 2? 1 x－ ?2＋8＝－4x2＋4x＋7. ∴f(x)＝－4? ? 2? 法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. [类题通法] 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用零点式． [演练冲关] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R， 都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式． 解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. 4a?－2a－1?－a2 ＝8. 4a44∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3. 考点三 二次函数的图象与性质(常考常新型考点――多角探明) [多角探明] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频 率非常高的一个热点，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根 的分布等问题．归纳起来常见的命题角度有： (1)二次函数的最值问题； (2)二次函数中恒成立问题； (3)二次函数的零点问题. 角度一：二次函数的最值问题 1．已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时有最大值 2，求 a 的值． 解：函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为 x＝a. 当 a&0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. 当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， 1± 5 ∴a＝ (舍去)． 2 当 a&1 时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2. 2．设函数 y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为 g(x)，求 g(x)． 解：∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵x＝1 不一定在区间[－2，a]内， ∴应进行讨论． 当－2&a≤1 时，函数在[－2，a]上单调递减，则当 x＝a 时，y 取得最小值，即 ymin＝a2 －2a； 当 a&1 时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当 x＝1 时，y 取得最小值， 即 ymin＝－1.2 ? ?a －2a，－2&a≤1， 综上，g(x)＝? ?－1，a&1. ?45角度二：二次函数中恒成立问题 3．已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上恒小于零，求实数 a 的取值范 围． 解：2ax2＋2x－3＜0 在[－1,1]上恒成立． 当 x＝0 时，适合； 3 1 1?2 1 1 － － ，因为 ∈(－∞，－1] 当 x≠0 时，a＜ ? x 3 ? 6 2? x 1 1 ∪[1，＋∞)，当 x＝1 时，右边取最小值 ，所以 a＜ . 2 2 1 －∞， ?. 综上，实数 a 的取值范围是? 2? ? 角度三：二次函数的零点问题 4．已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； 1? 1 3 (2)若 ＜t＜ ，求证：函数 f(x)在区间(－1,0)及? ?0，2?上各有一个零点． 2 4 证明：(1)∵f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t， ∴f(x)＝1?(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)＝1 必有实根． 1 3 (2)当 ＜t＜ 时，f(－1)＝3－4t＞0， 2 4 1 ? f(0)＝1－2t＝2? ?2－t?＜0， 1? 1 1 3 f? ?2?＝4＋2(2t－1)＋1－2t＝4－t＞0. 又函数 f(x)的图象连续不间断． 1 0， ?上各有一个零点． 因此 f(x)在区间(－1,0)及? ? 2? [类题通法] 二次函数图象与性质问题解题策略 1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨 论的标准就是二次项系数与 0 的关系． 2． 当二次函数的对称轴不确定时， 应分类讨论， 分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、 中、右三种情况． 3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要 求．46对应B本课时跟踪检测?八?一、选择题 1．(2015? 湖北孝感调研)函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函 数，则实数 m 的值是( A．－1 C．3 ) B ．2 D．－1 或 2解析：选 B f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数?m2－m－1＝1?m＝－1 或 m＝2.又 x∈(0， ＋∞)上是增函数，所以 m＝2. 2．(2015? 阿克苏 3 月模拟)已知幂函数 f(x)＝xα 的部分对应值如下表，则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( ) x f(x) 1 1 1 2 2 2A．{x|－4≤x≤4} C．{x|－ 2≤x≤ 2} 解析：选 A 由题意知 1 ∴α＝ ，∴f(x)＝x 2 ， 21 1B．{x|0≤x≤4} D．{x|0＜x≤ 2} 2 ?1?α ＝ ， 2 ?2?由|x| 2 ≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4. 3． (2015? 洛阳统考)设函数 f(x)＝x2－23x＋60， g(x)＝f(x)＋|f(x)|， 则 g(1)＋g(2)＋?＋g(20) ＝( ) A．56 C．0 B．112 D．38解析：选 B 由二次函数图象的性质得，当 3≤x≤20 时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2) ＋?＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112. 4．(2015? 北京西城期末)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)，且当 x∈(0,1]时，f(x) ＝x2－x，则当 x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( 1 A．－ 16 )1 B．－ 8471 C．－ 4D．0解析：选 A 设 x∈[－2，－1]，则 x＋2∈[0,1]，则 f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)，又 f(x＋2) 1 3 1 ＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，∴f(x)＝ (x2＋3x＋2)，∴当 x＝－ 时，取最小值为－ . 4 2 16 5．(2015? 吉林松原月考)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知 f(m)＜0，则( A．f(m＋1)≥0 C．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)≤0 D．f(m＋1)＜0 )1 解析：选 C ∵f(x)的对称轴为 x＝－ ，f(0)＝a＞0， 2 ∴f(x)的大致图象如图所示．由 f(m)＜0，得－1＜m＜0， ∴m＋1＞0，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.2 ? ?x ＋ax＋1，x≥1， ? 6．已知函数 f(x)＝ 2 则“－2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 ?ax ＋x＋1，x＜1， ?() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B2 ? ?x －x＋1，x≥1， 当 a＝－1 时，f(x)＝? 2 作出图象可知，函数 f(x)在 R ?－x ＋x＋1，x＜1， ?上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数 f(x)在 R 上是单调递增函数，则当 a 1 1 1 a＝0 时满足，当 a≠0 时，－ ≤1，a＜0 且－ ≥1，解得－ ≤a＜0，即－ ≤a≤0.所以能 2 2a 2 2 够推出－2≤a≤0，故“－2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要不充分条件． 二、填空题 7 ． 二 次 函 数 的 图 象 过 点 (0,1) ， 对 称 轴 为 x ＝ 2 ，最 小 值 为 － 1 ， 则 它 的 解析 式 为 ________________． 解析：依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1， 又其图象过点(0,1)，481 ∴4a－1＝1，∴a＝ . 2 1 ∴f(x)＝ (x－2)2－1. 2 1 答案：f(x)＝ (x－2)2－1 2 8． 对于任意实数 x， 函数 f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5 恒为正值， 则 a 的取值范围是________．? ?5－a＞0， 解析：由题意可得? ?36－4?5－a??a＋5?＜0， ?解得－4＜a＜4. 答案：(－4,4) 9．已知幂函数 f(x)＝x 解析：∵f(x)＝x? 1 2 ? 1 2，若 f(a＋1)＜f(10－2a)，则 a 的取值范围是________．＝1 (x＞0)，易知 x∈(0，＋∞)时为减函数，又 f(a＋1)＜f(10－2a)， x a＞－1， ? ? 解得?a＜5， ? ?a＞3，a＋1＞0， ? ? ∴?10－2a＞0， ? ?a＋1＞10－2a， ∴3＜a＜5. 答案：(3,5)10．已知函数 f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m，g(x)＝mx，若存在实数 x，使 f(x)与 g(x)均不是 正数，则实数 m 的取值范围是________． 4－m m 解析：当 m≤0 时，函数 f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m 的对称轴为 x＝－ ＝－1＋ ≤ 4 4 －1，且 f(0)≥4，直线 g(x)＝mx 过原点且过二、四象限，不符合题意；当 m＞0 时，函数 f(x) 4－m m ＝2x2＋(4－m)x＋4－m 的对称轴 x＝－ ＝－1＋ ＞－1，直线 g(x)＝mx 过原点且过一、 4 4 Δ≥0， ? ? 4－m 三象限，由题意得?－1＜－ ＜0， 4 ? ?f?0?＞0 答案：[4，＋∞) 三、解答题 11．已知幂函数 f(x)＝x(m2＋m)－1或 f(0)≤0，解得 m≥4.综上所述，m≥4.(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2－a)＞f(a－1) 的实数 a 的取值范围．49解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数， ∴m2＋m 为偶数， ∴函数 f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0， ＋∞)， 并且该函数在[0， ＋∞)上为增函数．(2)∵函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， ∴ 2＝2(m2＋m)－11，即 2 2 ＝2(m2＋m)－1，∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2. 又∵m∈N ，∴m＝1，f(x)＝x . 又∵f(2－a)＞f(a－1)， 2－a≥0， ? ? 3 ∴?a－1≥0， 解得 1≤a＜ ， 2 ? ?2－a＞a－1， 故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1. 3 1， ?. 满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围为? ? 2? 12．已知函数 f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5，最小值 2. (1)求 a，b 的值； (2)若 b&1，g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上单调，求 m 的取值范围． 解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. 当 a&0 时，f(x)在[2,3]上为增函数，? ? ? ?f?3?＝5， ?9a－6a＋2＋b＝5， ?a＝1， 故? ?? ?? ?f?2?＝2 ?4a－4a＋2＋b＝2 ? ? ? ?b＝0.*1 2当 a&0 时，f(x)在[2,3]上为减函数，?f?3?＝2， ?9a－6a＋2＋b＝2， ?a＝－1， ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?＝5 ?4a－4a＋2＋b＝5 ?b＝3.(2)∵b&1，∴a＝1，b＝0，即 f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， 2＋m m＋2 ∵g(x)在[2,4]上单调，∴ ≤2 或 ≥4. 2 2 ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．第六节50指数与指数函数对应学生用书P25基础盘查一 根式 (一)循纲忆知 理解根式的概念并能化简． (二)小题查验 1．判断正误 n n (1) an与( a)n 都等于 a(n∈N*)( n (2)当 n∈N*时，( －3)n 都有意义( (3) ?π－4?2＝4－π( 答案：(1)× (2)× ) (3)√ ) )2．化简 答案：ab3 a3b2 ab21 4 1 2?a b ? a－14?1 3b1 3(a&0，b&0)的结果为____________．基础盘查二 有理数指数幂 (一)循纲忆知 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (二)小题查验 1．判断正误 m (1)分数指数幂 a 可以理解为 个 a 相乘( n (2)(－1) ＝(－1) ＝ －1( 答案：(1)× (2)× 2．(人教 A 版教材习题改编) 3 6 (1)2 3× 1.5× 12＝________.2 1 11 1 5m n)2 41 2)(2)(2a 3 b 2 )(－6a 2 b 3 )÷ (－3a 6 b 6 )＝________. 答案：(1)6 (2)4a 基础盘查三 指数函数的图象与性质51(一)循纲忆知 1．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 2．知道指数函数是一类重要的函数模型． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 y＝3? 2x 与 y＝2x＋1都不是指数函数( ) ))(2)若 am&an(a&0 且 a≠1)，则 m&n( (3)函数 y＝2 x 在 R 上为单调减函数(－(4)函数 y＝ax2＋1(a&1)的值域是(0，＋∞)( (5)函数 y＝ax－1) )(a&0 且 a≠1)恒过点(1,1)( (3)√ (4)× (5)√答案：(1)√ (2)×2．(人教 A 版教材习题改编)已知 0.2m&0.2n，则 m______n(填“&”或“&”)． 答案：& 3．指数函数 y＝(2－a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是__________． 答案：(1,2)对应学生用书P25 考点一 指数幂的化简与求值(基础送分型考点――自主练透) [必备知识] (1)幂的有关概念： n ①正分数指数幂：a n ＝ am(a&0，m，n∈N*，且 n&1)． ②负分数指数幂：a? m n m＝1m n＝1 n am(a&0，m，n∈N*，且 n&1)．a③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ar s(a&0，r，s∈Q)；＋②(ar)s＝ar s(a&0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a&0，b&0，r∈Q)． [提醒] 有理数指数幂的运算性质中， 要求指数的底数都大于 0， 否则不能用性质来运算． [题组练透] 求值与化简： 3 ?21? ? 2 －(0.01)0.5； 2 ?0＋2－2? (1)? ? 5? ? 4?521? 5 － － － (2) a 3 ? b 2? (－3a 2 b 1)÷ (4a 3 ? b 3) 2 ； 6 2 3 ? 1 2 ? 1 21 31121?a ? b ? (3) 6－1? a? ba? b51 11 4? 2 ? 1 ? 2 1 2 1 1 1 16 解：(1)原式＝1＋ ×? －?100? ＝1＋ × － ＝1＋ － ＝ . 4 ?9? 4 3 10 6 10 15 5 ? － － (2)原式＝－ a 6 b 3÷ (4a 3 ? b 3) 2 2? 5 ? － ＝－ a 6 b 3÷ (a 3 b 2 ) 4 111213? 5 ? ＝－ a 2 ? b 2. 4135 1 5 ab ＝－ ? 3＝－ . 4 ab 4ab2 a (3)原式＝? 1 3b ? a a b1 61 2?5 61 2b1 3＝a1 1 1 ? ? ? 3 2 6? b21 1 5 ? ? 3 61 ＝ . a[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分 数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解 答． [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二 指数函数的图象及应用(重点保分型考点――师生共研) [必备知识] (1)当 a＞1 时，指数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时，指数函数的图象“下降”． (2)指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，且函数图象经过第一、二象限． [典题例析] 1 1．函数 y＝ax－ (a&0，且 a≠1)的图象可能是( a )531 解析：选 D 法一：当 0&a&1 时，函数 y＝ax－ 是减函数，且其图象可视为是由函数 y a 1 ＝ax 的图象向下平移 个单位长度得到的，结合各选项知选 D. a 1 法二：因为函数 y＝ax－ (a&0，且 a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选 D. a 2 ． (2015? 衡水模拟 ) 若曲线 |y|＝ 2x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________． 解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y ＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．答案：[－1,1] [类题通法] 指数函数图象的画法及应用 1? (1)画指数函数 y＝ax(a&0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，? ?－1，a?. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对 称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [演练冲关] 1?x 1．(2015? 北京模拟)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝? ?2? 的图象之间的关系是( A．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 B．关于 x 轴对称 D．关于直线 y＝x 对称 )541?x －x 解析：选 A ∵y＝? ?2? ＝2 ， ∴它与函数 y＝2x 的图象关于 y 轴对称． 2．若将典例 2 中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线 y＝b 有两个公共点，求 b 的取值范围． 解：曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y＝|2x－1|与直 线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)．考点三 指数函数的性质及应用(常考常新型考点――多角探明) [必备知识] 指数函数的性质 (1)定义域是 R； (2)值域是(0，＋∞)； (3)过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1； (4)当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数． [多角探明] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)简单的指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质. 角度一：比较指数式的大小 3? 5 ?2? 5 ?2? 5 1．设 a＝? ?5? ，b＝?5? ，c＝?5? ，则 a，b，c 的大小关系是________．2232解析：∵y＝x 5 (x&0)为增函数，∴a&c. 2?x ∵y＝? ?5? (x∈R)为减函数，∴c&b，∴a&c&b. 答案：a&c&b 角度二：简单的指数方程或不等式的应用 1?x ? ?? －7，x＜0， ? 2．设函数 f(x)＝? 2? 若 f(a)＜1，则实数 a 的取值范围是( ? ? x，x≥0，)55A．(－∞，－3) C．(－3,1)B．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)1?a ?1?a ?1?a ?1?－3 解析：选 C 当 a＜0 时，不等式 f(a)＜1 可化为? ?2? －7＜1，即?2? ＜8，即?2? ＜?2? ， 1 因为 0＜ ＜1，所以 a＞－3，此时－3＜a＜0； 2 当 a≥0 时，不等式 f(a)＜1 可化为 a＜1， 所以 0≤a＜1.故 a 的取值范围是(－3,1)，故选 C. 角度三：探究指数型函数的性质 1?ax2－4x＋3. 3．已知函数 f(x)＝? ?3? (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值． 1?－x2－4x＋3 解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝? ， ?3? 令 g(x)＝－x2－4x＋3， 1?t 由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝? ?3? 在 R 上单调 递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增 区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． 1?g(x) (2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝? ?3? ， 由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值－1， a&0， ? ? 因此必有?3a－4 ? ? a ＝－1， 解得 a＝1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知， 1?g(x) 要使 y＝? ?3? 的值域为(0，＋∞)． 应使 g(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0.(因为若 a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)． 故 a 的值为 0. [类题通法] 指数函数的性质及应用问题解题策略56(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特 别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶 性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．对应A本课时跟踪检测?九?一、选择题 1．函数 f(x)＝2|x 1|的图象是(－)2 ，x≥1， ? ? 解析：选 B f(x)＝??1?x－1 故选 B. ， x &1 ， ? ??2? 2．已知 f(x)＝3x b(2≤x≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则 f(x)的值域(－x－1)A．[9,81] C．[1,9]B．[3,9] D．[1，＋∞)－2解析：选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b＝2，因 f(x)＝3x ＝1，f(x)max＝f(4)＝9.可知 C 正确． 3．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( A．a&b&c C．c&a&b ) B．a&c&b D．b&c&a在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)解析：选 A 由 0.2&0.6,0.4&1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2&0.40.6，即 b&c；因为 a ＝20.2&1，b＝0.40.2&1，所以 a&b.综上，a&b&c. 4．(2015? 太原一模)函数 y＝2x－2 x 是(－)A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增57D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析：选 A 令 f(x)＝2x－2 x，则 f(－x)＝2 x－2x＝－f(x)，所以函数 f(x)是奇函数，排－ －除 C，D. 又函数 y＝－2 x，y＝2x 均是 R 上的增函数，－故 y＝2x－2 x 在 R 上为增函数．－5．(2015? 丽水模拟}