Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别
Reimann积分与LebesgIle积分的本质区别是什么?这是一个值得思考的问题．我们先来看Riemann积分的定义:
设f(x)在区间[a,b]有界，我们将区间[a,b]作下面分划
a=x0&x1&…&xn=b
然后在每一小区间 上任取一点 (k=0，1，2， ．，n～1),作和 ,令
若不管分划(1)如何作出，也不管 ∈ek如何选取，极限
都存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上是Riemann可积的，简称R可积，其极限值就定义为积分值．记作
由Riemann积分的定义可以看出，要使上式极限对于任取的 ∈ek都存在，由于ek很小，这就要求 有微小变化时，
&也只能有微小的变化，连续函数正是满足这种要求．并且在实变函数中还进一步证明了函数f(x)在[a,b]上R可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续，即其不连续点集为一零测度集．
我们再看Lebesgue积分的定义
设函数f(x)是区间[a,b]上的有界可测函数．且A&f(x)&B,在区间[A,B]上任意插入分点A=y0&y1&…&yn=B,令
E=[a,b],考虑集合
定义Lebesgue小和s及大和S
如果infS=sup s,则称f(x)在[a,b]上是Lebesgue可积的，简称L可积，记作
L积分可推广到无界可测集及无界可测函数．
从Riemann积分和Lebesgue积分的定义，容易得到下面的定理
定理:设f(x)在[a,b]上R可积，则它必L可积，且有相同的积分值。但f(x)L可积时未必R可积。
上面定理告诉我们Lebesgue可积函数是比Riemann可积函数更广泛的一类函数，但其本质区别是什么?可能有人认为，Riemann积分是对函数的定义域作分划，Lebesgue积分是对函数的值域所在区间作分划，这确实是一个重要现象，但并不是本质，因为也可以不用函数值的分划来定义积分。其本质区别是：区间[a,b]上L可积函数全体为一完备空间．而R可积函数全体是不完备空间。
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