已知指数函数y=g(x)满足：g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=-g(x)+n/2g(x)+m是奇函数（1）确定y=g(x)的解析式,（2）求m,n的值.（3）若对任意的t属于R,不等式样f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
分类：数学
指数函数y=g(x)=a^x,则4=a^2,所以：a=2故：g(x)=2^xf(x)=(-2^x+n)/[2^(x+1)+m]是定义域为R的奇函数.则f(0)=0 即n=1且-f(-x)=f(x),即:已知指数函数y=g(x)满足：g(2)=4,定义域为R的函数_百度知道/question/.html
lg2*lg2+lg50*lg2+lg25=?xiexie!
lg2*lg2+lg50*lg2+lg25=lg2(lg2+lg50)+lg25=lg2(lg100)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=lg100=2
f(x)=x^2+(a^2+b^2-1)x+b-a是偶函数a^2+b^2-1=0a=sinx,b=cosx y轴交点的纵坐标=b-a=sinx-cosx=√2sin(x-pi/4)
如何用matlab画这个函数?S=(a*R-b)/(c-d*R) 这里a b c d 都是已知数 变量R的范围从0.4-4顺带问下如何根据这个画出的曲线进行线性拟合成S=k*R+b 或者二次线性拟合为S=A+B*S+C*S*S的形式 自动算出前面的系数?
>R=0.1:0.2:4;>>S=(a*R-b)./(c-d*R) ;>>plot(R,S,'*-');%%拟合成线性函数S=k*R+b >>polyfit(R,S,1)%就可以求得k和b了>>polyfit(R,S,2)%%若用polytool效果会比较明显>>polytool(R,S,2)">a,b,c,d你得先确定实际值,不然软件不认得>>R=0.1:0.2:4;>>S=(a*R-b)./(c-d*R) ;>>plot(R,S,'*-');%%拟合成线性函数S=k*R+b >>polyfit(R,S,1)%就可以求得k和b了>>polyfit(R,S,2)%%若用polytool效果会比较明显>>polytool(R,S,2)
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运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式成立的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：由于底数相同，可看作指数函数，运用单调性，∵2x-1＞0且2x-1≠1，又y=ax，当a＞1时为增函数，当0＜a＜1时为减函数，，∴0＜2x-1＜1，∴＜x＜1。
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据魔方格专家权威分析，试题“运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式成立的x的取值范围．..”主要考查你对&&指数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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指数函数的图象与性质
指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：&
底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a&l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0&a&l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．&③当a&0，且a≠l时，函数 与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：&若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：&若底数不同而指数相同，用作商法比较；&若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
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幂函数、指数函数和对数函数?对数及其运算法则
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幂函数、指数函数和对数函数?对数及其运算法则
作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数：180169 更新时间： 23:27:41
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log62+log63=
log62+log63=log623=1
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1log93+log927=log9327=log981=2
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1log24725=log247+log225=7log24+5log22=72+51=19
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2-1指数函数(2-1.1~2-1.2示范教案+备课资料)
志鸿优化之优秀教案第二章基本初等函数（Ⅰ）本章教材分析 教材把指数函数、 对数函数、 幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直 观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本 过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例 了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握 f(x)=ax 的符号及意义, 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质 （单调性、 值 域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其 运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读 材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻 画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握 f(x)=logax 的符号及意义,体会对数函数是一类重 要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性 质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数（a＞0,a≠1）, 初 步了 解反 函数 的概 念和 f-1(x)的 意义 ;通 过实例 了解 幂函 数的 概念 ,结合 五种 具体 函数1y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x 2 的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图 象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把 这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素 质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系 一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数 的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中 重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化 指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数 的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防 止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生 进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了 “阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需 14 课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1 2.2 2.3 指数函数 对数函数 幂函数 本章复习 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平 方根和立方根的基础上,类比出正数的 n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到 有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问 题和碳 14 的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其 中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生― 126 ―约 6 课时 约 6 课时 约 1 课时 约 1 课时志鸿优化之优秀教案探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的 思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究 指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情 境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指 数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力. 2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝 不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. 3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、 求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能 力. 4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而 研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点： (1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理指数幂性质进行化简、求值. 教学难点: (1)分数指数幂及根式概念的理解. (2)有理指数幂性质的灵活应用. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 指数与指数幂的运算(1) 导入新课 思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们 所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们 不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数 ――指数与指数幂的运算. 思路 2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根 呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数――指数与指数幂的运算. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？ (2)如 x4=a,x5=a,x6=a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比 平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答, 教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出 n 次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果： (1)若 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4 的平方根为± 2,负― 127 ―志鸿优化之优秀教案数没有平方根,同理,若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8 的立方根为-2. (2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于 a,则这个数叫 a 的四次方根.一个数的五次 方等于 a,则这个数叫 a 的五次方根.一个数的六次方等于 a,则这个数叫 a 的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a,则这个数叫 a 的 n 次方根. (4)用一个式子表达是,若 xn=a,则 x 叫 a 的 n 次方根. 教师板书 n 次方根的意义: 一般地,如果 xn=a,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n-throot),其中 n＞1 且 n∈N*. 可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例. 提出问题 (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗?(多媒体显示以下题目). ①4 的平方根；②± 的立方根；③16 的 4 次方根；④32 的 5 次方根；⑤-32 的 5 次方根；⑥0 8 6 的 7 次方根；⑦a 的立方根. (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特 点?4,± 8,16,-32,32,0,a6 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的, 你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 活动：教师提示学生切实紧扣 n 次方根的概念,求一个数 a 的 n 次方根,就是求出的那个数的 n 次方等于 a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2） 中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引 导考虑问题的思路. 讨论结果： （1） 因为± 的平方等于 4,± 的立方等于 8,± 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方等于 32,-2 的 5 次方 2 2 2 2 6 等于-32,0 的 7 次方等于 0,a 的立方等于 a ,所以 4 的平方根,± 的立方根,16 的 4 次方根,32 的 5 8 6 次方根,-32 的 5 次方根,0 的 7 次方根,a 的立方根分别是± 2,± 2,± 2,2,-2,0,a2. （2）方根的指数是 2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反数.0 的任何次方 根都是 0. （4）任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次 方是一个负数. 类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到 n 次方根的性质: ①当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如果是负数,负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成±n a (a＞0). ②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根用符 号 n a 表示. ③负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示: a 为正数: ?n ?n为奇数, a的n次方根有一个为 a , ??n为偶数, a的n次方根有两个为? n a . ?a 为负数: ?n ?n为奇数, a的n次方根只有一个为 a , ? ?n为偶数, a的n次方根不存在 . ?― 128 ―志鸿优化之优秀教案零的 n 次方根为零,记为 n 0 =0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是 n 次方根的性质的特例. 思考根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何 次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4 次方根 等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答：答案不唯一,比如,64 的立方根是 4,16 的四次方根为± 2,-27 的 5 次方根为 5 ? 27 ,而-27 的 4 次方根不存在等.其中 5 ? 27 也表示方根,它类似于 n a 的形式,现在我们给式子 n a 一个名称 ――根式. 根式的概念: 式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. 如 3 ? 27 中,3 叫根指数,-27 叫被开方数. 思考na n 表示 an 的 n 次方根,等式 n a n =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么 n a n 等于什么？活动：教师让学生注意讨论 n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨, 注意归纳整理.3 4 〔如 3 (?3) = 3 ? 27 =-3, 4 (?8) =|-8|=8〕.解答：根据 n 次方根的意义,可得:( n a )n=a. 通过探究得到：n 为奇数, n a n =a. n 为偶数, n a n =|a|= ?a ? 0, ?a, ?? a, a ? 0.因此我们得到 n 次方根的运算性质： ①( n a )n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数. ②n 为奇数, n a n =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数. n 为偶数, n a n =|a|=a, ? 应用示例 思路 1 例 1 求下列各式的值:4 3 2 2 (1) 3 (?8) ;(2) (?10 ) ;(3) 4 (3 ? ? ) ;(4) ( a ? b) (a&b).a ? 0, ?a, 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值. ?? a, a ? 0.活动： 求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥, 搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在― 129 ―志鸿优化之优秀教案解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质 来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如 果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.3 解：(1) 3 (?8) =-8;2 (2) (?10 ) =10; 4 (3) 4 (3 ? ? ) =π-3; 2 (4) ( a ? b) =a-b(a&b).点评：不注意 n 的奇偶性对式子 n a n 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的 基础上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练 求出下列各式的值:7 (1) 7 (?2) ; 3 (2) 3 (3a ? 3) (a≤1); 4 (3) 4 (3a ? 3) .7 解：(1) 7 (?2) =-2, 3 (2) 3 (3a ? 3) (a≤1)=3a-3,4 (3) 4 (3a ? 3) = ??3a ? 3, a ? 1, ?3 ? 3a, a ? 1.点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视 a 与 1 大小的讨论,造成错解. 思路 2 例 1 下列各式中正确的是( ) (1) 4 a 4 =a;2 (2) 6 (?2) = 3 ? 2 ;(3)a0=1; (4) 10 ( 2 ? 1) = ( 2 ? 1) .5活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查 n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和 运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质, 学生先思考哪些地方容易出错,再回答. 解：(1) 4 a 4 =a,考查 n 次方根的运算性质,当 n 为偶数时,应先写 n a n =|a|,故本题错.2 (2) 6 (?2) = 3 ? 2 ,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为― 130 ―志鸿优化之优秀教案6(?2) 2 = 3 2 ,故本题错.(3)a0=1 是有条件的,即 a≠0,故本题也错. (4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4). 点评：本题由于考查 n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有, 因此解题时千万要细心. 例 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =_________ 活动： 让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是 方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此 将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的 平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解： 3 ? 2 2 = 1 ? 2 2 ? ( 2 ) = (1 ? 2 ) = 2 +1.2 23 ? 2 2 = ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 1 = ( 2 ? 1) 2 = 2 -1.所以 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =2 2 . 点评：不难看出 3 ? 2 2 与 3 ? 2 2 形式上有些特点,即是对称根式,是A ? 2 B 形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考 上面的例 2 还有别的解法吗? 活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特 点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平 方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法. 另解：利用整体思想,x= 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 , 两边平方得 x2=3+2 2 +3-2 2 +2( 3 ? 2 2 )( 3 ? 2 2 )=6+2 3 ? ( 2 2 ) =6+2=8,所以2 2x=2 2 . 点评：对双重二次根式,特别是A ? 2 B 形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化 A ? 2 B ? A ? 2 B 的式子,我们可以把它们看成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练 若 a 2 - 2a ? 1 =a-1，求 a 的取值范围.2 解：因为 a 2 - 2a ? 1 =a-1,而 a 2 - 2a ? 1 = ( a ? 1) =|a-1|=a-1,即 a-1≥0, 所以 a≥1. 点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 知能训练― 131 ―志鸿优化之优秀教案(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的 n 次方根是一个正数 B.负数的 n 次方根是一个负数 C.0 的任何次方根都是零 D.a 的 n 次方根用 n a 表示(以上 n＞1 且 n∈N*). 答案：C 2.化简下列各式:2 2 6 3 (1) 6 64 ;(2) 4 (?3) ;(3) 4 x 8 ;(4) 6(5) (x - y) .答案：(1)2;(2) 9 ;(3)x2;(4)|x| 3.计算 7 ? 解： 7 ?2(5)|x-y|.40 ? 7 ? 40 =__________. 40 ? 7 ? 402 2 2= ( 5) ? 2 5 ? 2 ? ( 2) ? ( 5) ? 2 5 ? 2 ? ( 2) = ( 5?2)2 ? ( 5 ? 2)2= 5+ 2+ 5- ?2 =2 5 . 答案：2 5 拓展提升 问题： n a n =a 与( n a )n=a（n＞1,n∈N）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣 n 次方根的定义. 通过归纳,得出问题结果,对 a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对 a 是负数,n 为偶 数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答：①（ n a ）n=a（n＞1,n∈N）. 如果 xn=a（n＞1,且 n∈N）有意义,则无论 n 是奇数或偶数,x= n a 一定是它的一个 n 次方根,所 以（ n a ）n=a 恒成立. 例如： 4 3 ）4=3, (3 ? 5)3 =－5. （ ② n an = ??a,当n为奇数, ?| a |, 当n为偶数.当 n 为奇数时,a∈R, n a n =a 恒成立.― 132 ―志鸿优化之优秀教案5 例如： 5 2 5 =2, 5 (?2) =－2.当 n 为偶数时,a∈R,an≥0, n a n 表示正的 n 次方根或 0,所以如果 a≥0,那么 n a n =a.例如 4 34 =3,40 =0；如果 a＜0,那么 n a n =|a|=－a,如 (-3) 2 = 32 =3.即（ n a na）n=a（n＞1,n∈N）是恒等式, n a n =a（n＞1,n∈N）是有条件的. 点评：实质上是对 n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. 课堂小结 学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上. 1.如果 xn=a,那么 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n＞1 且 n∈N*.用式子 n a 表示,式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. (1)当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示,如果是负数,负的 n 次方根用- n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成±n a (a＞0). (2)n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根用符 号 n a 表示. (3)负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是零. 2.掌握两个公式：n 为奇数时,( n a )n=a,n 为偶数时, n a n =|a|= ? 作业 课本 P59 习题 2.1A 组 补充作业: 1.化简下列各式：a ? 0, ?a, ?? a, a ? 0.1.(1) 6 81 ;(2) 15 ? 32 ;(3) 4 x 8 ;(4) 6 a 2 b 4 . 解：(1) 6 81 = 6 34 = 3 32 = 3 9 ; (2) 15 ? 32 = ? 15 25 = ? 3 2 ;2 4 (3) 4 x 8 = 4 (x ) =x2; 2 2 2 (4) 6 a 2 b 4 = 6 (| a | ?b ) = 3 | a | ?b . 2 2 2.若 5&a&8,则式子 (a ? 5) ? (a ? 8) 的值为__________. 2 2 分析:因为 5&a&8,所以 (a ? 5) ? (a ? 8) =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3. 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =__________.― 133 ―志鸿优化之优秀教案分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示 我们想办法去掉一层根式,2 不难看出 5 ? 2 6 = (3 ? 2) = 3 + 2 . 2 同理 5 ? 2 6 = (3 ? 2) = 3 - 2 .所以 5 ? 2 6 + 5 ? 2 6 =2 3 .答案：2 3 设计感想 学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的 概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式 n a 的讲解要 分 n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分 a&0,a&0,a=0 三种情况,并结合具体例子讲解, 因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体 信息技术服务教学. (设计者：路致芳) 第 2 课时 指数与指数幂的运算(2) 导入新课 思路 1.碳 14 测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14,并与氧结合成二氧化碳后进 入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳 14,其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳 14 的含量,便可推断其 年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数 幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？ 答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题――指数与指数幂的运算之分数指数 幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,2 5 ① 5 a10 = 3 (a ) =a2=a10 5;② a = (a ) =a = ③ a4 1284 248 2= (a ) =a =a43 4312 4 10 2; .5 2 ④ 2 a10 = 2 (a ) =a5=a(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？453 , 3 75 , 5 a 7 , n x m (x&0,m,n∈N*,且 n&1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？― 134 ―志鸿优化之优秀教案活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的 指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2) 的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示. 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…?a,a0=1(a≠0);00 无意义; a-n=1 (a≠0);am?n=am+n;(am)n=(an)m=(ab)n=anbn. a an10 5 8 2 12 4 10 2(2)①a2 是 a10 的 5 次方根；②a4 是 a8 的 2 次方根；③a3 是 a12 的 4 次方根；④a5 是 a10 的 2 次方 根.实质上① a 写成了5 10=a,② a =a ,③ a8412=a,④ a210=a结果的 a 的指数是 2,4,3,5 分别10 8 12 10 , , , ,形式上变了,本质没变. 5 2 4 5根据 4 个式子的最后结果可以总结： 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成 分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.3 5 7m(3)利用(2)的规律, 4 53 =5 4 , 3 7 5 =7 3 , 5 a 7 =a 5 , n x m =x n .3 5 7m(4)53 的四次方根是 5 4 ,75 的三次方根是 7 3 ,a7 的五次方根是 a 5 ,xm 的 n 次方根是 x n . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的. (5)如果 a&0,那么 a 的 n 次方根可表示为 a =a ,即 a = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1).nm mm n m n综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1). 提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义? ⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用 于有理数指数幂呢? 活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整 数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂 的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例 说明 a＞0 的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=n m1 (a≠0),n∈N*. an②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数 指数幂的意义. 规定:正数的负分数指数幂的意义是 a? n m=1 an m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:n正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m (a&0,m,n∈N*,n&1),正数的负分数指数幂的意义是― 135 ―志鸿优化之优秀教案?an m=1 a1n m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有 a＞0 这个条件会怎样呢?2如(-1) 3 =3-1=-1,(-1) 6 =6(-1)2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数 指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无 a2＞0 的条件,比如式子 3a2=|a| 3 ,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根 式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数, 而不是负数,负数只是出现在指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: （1）ar?s=ar+s(a&0,r,s∈Q), a r s （2）(a ) =ars(a&0,r,s∈Q), （3）(a? r=arbr(a&0,b&0,r∈Q). b) 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例 思路 1 例 1 求值:①8 ;②252 3 ? 1 21 16 ? 4 ③( )-5;④( ) . 2 81 1 16 2 写成 2-1, 写成( )4,利用有理数幂的运算 2 81 33活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目 要求,把底数写成幂的形式,8 写成 23,25 写成 52,性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.2 2解：①8 3 =(23) 3 =2 ②25? 1 23?2 3=22=4; =5-1==(5 )2?1 2=51 2?( ? ) 21 ; 5③(1 -5 -1 -5 -1 ) =(2 ) =2 × (-5)=32; 2 16 ? 4 2 4?( ? 4 ) 2 -3 27 ) =( ) =( ) = . 81 3 3 82 3 3 3④(点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算, 而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 = 3 82 = 3 64 =4. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.3 a3?a2? a 2 ; a 3 a (a&0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式 化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤, 教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.― 136 ―志鸿优化之优秀教案解：a ? a =a ? =a a2331 23?1 2=87 23 a2? a 2 =a2? 3 =a a1 12?3 2=a 3 ;4 1 2a 3 a =(a? 3 ) 2 =(a 3 ) 2 =a 3 . a点评： 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化 为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有 特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又 有负指数. 例 3 计算下列各式（式中字母都是正数）:2 1 1 1 15（1）(2a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 )÷ (-3a 6 b 6 );1（2）(m 4 n?3 8 8).活动： 先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后 算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序 仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注 意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2） 小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤. 解： （1）原式=［2× (-6)÷ (-3)］a1 2 1 1 ? ? 3 2 6b1 1 5 ? ? 2 3 6=4ab0=4a;（2）(m 4 n?3 8 81) =(m 4 )8(n?3 8 81) =m 4 n?83 ? ?8 8=m2n-3=m2 . n3点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转 化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:3 6 (1)3 3 ? 3 ? 3 ;(2) 6 (27m 3 4 ) . 125n 61 1 1 1 1 1 1? ? ? 2 3 63 6 解：(1)3 3 ? 3 ? 3 =3? 2 ? 3 ? 6 =3 3 3 3=32=9；4 49 2 ?4 27m 3 6 33 m 3 27m 3 4 (33 ) 6 (m 3 ) 6 9m 2 mn . (2) 6 ( = = ) =( ( 3 6 ) 6 = ) =( ( 4 6 6 4 4 25 25n 125n 5 n 125n (5 3 ) 6 (n 6 ) 6例 4 计算下列各式: （1）( 3 25 ? 125 )÷4 25 ;44― 137 ―志鸿优化之优秀教案（2）a2 a ? 3 a2(a＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1） 小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简 便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.1 1 1 2 3 1解： （1）原式=(25 3 -125 2 )÷ 4 =(5 3 -5 2 )÷ 2 25 5 =52 1 ? 3 2-53 1 ? 2 2=5 -5= 6 5 -5; =1 6（2）a2 a ? 3 a2a21 2=a1 2 2? ? 2 3=a 6 = 6 a 5 . 思路 25a2 ?a3例 1 比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小. 活动： 学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数, 才能进行比较,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就 可以了. 解：因为 5 = 6 53 = 6 125 , 3 11 = 6 121 ,而 125＞123＞121,所以 6 125 & 6 123 & 6 121 . 所以 5 & 6 123 & 3 11 . 点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例 2 求下列各式的值:4 2 3(1) 81? 9;(2)2 3 ×3 1.5 ×6 12 . 活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后 再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往4 2 3外 81? 9= 3 ? (3 ) ,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.4 44 31 2解：(1) 81? 942 3=［3 × ) ］ =(3 (31 2 144 31 21 44?2 3) =(311 414 3) =3 = 36 3 ;1 1 11 47 61? ? ? ? 3 (2) 2 3 ? 1.5 ? 12 =2× × ) 3 × 22) 6 =2 3 3 ? 2 3 6 =2× 3 ( (3× 3 3=6. 21 136例 3 计算下列各式的值: （1） ［(a? 3 2b ) ? ) (b ) ］ ; (ab2 -11 -3 21 2 71 3― 138 ―志鸿优化之优秀教案a ?a （2） ? a ?1 1? a(3) ( a31? a?1 2?1 2;b 2 ) ?3 ? b ? 4 a ?1 .活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用 指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的 乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化 简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算. 解：(1)原式=(a? 3 2b)-21 22?1 3(ab ) ? ) =a b (b? 3 21 -3 6 7 21 27 31 2?2 3a b1 6?1 2b =a7 61 1 ? 2 6b2 1 7 ? ? ? 3 2 6=a b =2 302 3另解：原式=(a b a b =(a3 1 ? 2 23 2? ) b2 31 3b3 7 ? 2? ? 2 2) =(a b ) =1 31 2 0 31?（2）原式=1a ? 1? aa?1 a=a ?1 a ( a ? 1)a ?1=1 a?a ?1 a (a ? 1)=1 a(1 ?a ?1 )= a ?12 a (a ? 1) a(1 ? a)=1 2 1?2（3）原式=（a 2 b 3 ）-3÷ -4a-1) 2 =a (b?3 2b-2÷ -2a b?1 2=a3 1 ? ? 2 2b-2+2=a-1=1 . a( 例 4 已知 a＞0,对于 0≤r≤8,r∈N*,式子( a )8-r?41 r ) 能化为关于 a 的整数指数幂的情形有几 a种？ 活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运 算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于 a 的指数幂的情形,再讨论, 及时评价学生的作法.( 解：( a )8-r?1 r ) =a 4 a8? r 2?? ar 4=a8? r r ? 4 4=a16 ?3 r 4.16-3r 能被 4 整除才行,因此 r=0,4,8 时上式为关于 a 的整数指数幂. 点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进 行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例 5 已知 f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x. （1）求［f（x） 2－［g（x） 2 的值； ］ ］ （2）设 f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求g ( x ? y) 的值. g ( x ? y)活动： 学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生 有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现 已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.― 139 ―志鸿优化之优秀教案解：(1)［f（x） 2－［g（x） 2=［f（x）+g（x） ［f（x）－g（x） ］ ］ ］? ］ x -x x -x x -x x -x x -x 0 =（e －e +e +e ） －e －e －e ）=2e （－2e ）=－4e =－4; （e 另解：(1)［f（x） 2－［g（x） 2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 ］ ］ 2x x -x -2 2x x -x -2 =e -2e e +e x-e -2e e -e x =-4ex-x=-4e0=-4; (2)f（x）? f（y）=（ex－e-x） y－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4, （e 同理可得 g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8, 得方程组 ??g(x ? y) - g(x - y) ? 4, 解得 g（x+y）=6,g（x－y）=2. ?g(x ? y) ? g(x - y) ? 8,所以g ( x ? y) 6 = =3. g ( x ? y) 2点评：将已知条件变形为关于所求量 g（x+y）与 g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这 种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要 的数学思想. 知能训练 课本 P54 练习 1、2、3. ［补充练习］ 教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓 励. 1.(1)下列运算中,正确的是( ) 2 3 6 A.a ? =a a B.(-a2)3=(-a3)2 C.( a -1)0=0 D.(-a2)3=-a62n 2 n ?1 (2)下列各式① 4 ( ?4) ,② 4 ( ?4) ③ 5 a 4 ,④ 4 a5 （各式的 n∈N,a∈R）中,有意义的是( ) A.①② (3) ( A.a3 4B.①③C.①②③④ ) C.a3D.①③④a 6 ) 2 ? (43a 6 ) 2 等于(B.a2D.a4 )?2 (4)把根式－2 3 ( a ? b ) 改写成分数指数幂的形式为(?A.-2(a-b)?2 5 ? 2 5?B.-2(a-b)?5 2 ? 5 2C.-2(a2 5-b2 3)1 2 1 2 1 3 1D.-2(a5 2-b) ) D.9a5 1 (5)化简（a b ） （-3a b ）÷ （ a 6 b 6 ）的结果是( 3A.6aB.-aC.-9a― 140 ―志鸿优化之优秀教案? 1 32.计算：(1)0.0271 －（－ ）-2+256 4 －3-1+（2－1）0=________. 73(2)设 5x=4,5y=2,则 52x-y=________.3.已知 x+y=12,xy=9 且 x＜y,求x ?y x ?y1 21 21 2 1 2的值.答案：1.(1)D1 1(2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)81 1 1 11 13.解：x2 ? y2 x ?y1 2 1 2=( x 2 ? y 2 )(x 2 ? y 2 ) ( x ? y )(x ? y )1 2 1 2 1 2 1 2x ? 2x 2 y 2 ? y = . x? y因为 x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4× 27. 又因为 x＜y,所以 x-y=-2× 33=-63.所以原式 拓展提升12 ? 6 ?6 3=?3 . 31.化简x ?1 x ? x ?12 3 1 3?x ?1 x ?11 3?x?x1 31 3.x ?1活动：学生观察式子特点,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解, 根据本题的特点,注意到:1 1 2 1x-1=(x 3 )3-13=(x 3 -1)? 3 +x 3 +1); (x1 1 2 1x+1=(x 3 )3+13=(x 3 +1)? 3 -x 3 +1); (x x-x =x ［(x ) -1］=x (x -1)(x +1). 构建解题思路教师适时启发提示.1 1 1 1 2 11 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3解：x ?1 x ? x ?12 3 1 3?x ?1 x ?11 3?x ? x3 x ?11 31 3=( x 3 ) 3 ? 13 x ? x ?12 3 1 3?( x 3 ) 3 ? 13 x ?11 3 1 31 3?x3x3 ? x3 x ?11 3=( x ? 1)(x ? x ? 1) x ? x ?12 3 1 21 32 31 3?( x ? 1)(x ? x ? 1) x ?11 32 31 3?x ( x ? 1)(x ? 1)11 3( x 3 ? 1)=x -1+x -x +1-x -x =-x . 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a -b )(a +b )=a-b,1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 21 32 31 32 31 31 3(a 2 ± 2 )2=a± 2 b 2 +b, b 2a― 141 ―志鸿优化之优秀教案(a ± )(a b1 21 31 32 3? a b +b )=a±b.? 1 21 31 32 32.已知 a +a=3,探究下列各式的值的求法.3(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2 ? a a ?a1 2? ?3 2 1 2.解：(1)将 a +a3 2 3 21 2?1 2=3,两边平方,得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7;1 2 3 1 2 3(2)将 a+a-1=7 两边平方,得 a2+a-2+2=49,即 a2+a-2=47;? ?(3)由于 a -a3=(a ) -(a3 2 1 2 1),1 1 ? 1所以有a2 ? a a ?a1 2? ?=(a 2 ? a 2 )(a ? a ?1 ? a 2 a 2 ) a ?a1 2 ? 1 2?=a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两 种方法求值. 课堂小结 活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互 交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:n(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1),正数的 负分数指数幂的意义是 a? n m=1 an m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. (2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r、s,均有下面的运算性质: ①ar?s=ar+s(a&0,r,s∈Q), a r s ②(a ) =ars(a&0,r,s∈Q), ③(a? r=arbr(a&0,b&0,r∈Q). b) (4)说明两点: ①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出 关系. ②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,m也可以利用(an) n = an?m n=am 来计算. 2、4.作业 课本 P59 习题 2.1A 组设计感想 本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理 解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解, 用观察、 归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化 训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.― 142 ―志鸿优化之优秀教案(设计者：郝云静) 第 3 课时 指数与指数幂的运算(3) 导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广 到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然 数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的 数是――实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板 书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的 概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函 数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社 会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习 实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本 节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是 2 的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是 2 的什么近似值？ ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?2 的过剩近似值 51.5 1.42 1.415 1.22 1....52的近似值11.........52的近似值2 的不足近似值1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 213― 143 ―9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907志鸿优化之优秀教案9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 521.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释, 可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论 结 果 ： ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,… 这 些 数 都 小 于2 ,称 2 的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值. ②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 向逼近 52 2就从 51.5,51.42,51.415,51.22,…,即大于 52 的方.2第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 方向逼近 52就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于 52的.2从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面 5 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…, 即 小 于 5 51.5,51.42,51.415,51.22,…,即大于 5 即逼近 52 2 2从 从2的方向接近 522,而另一方面 52的方向接近 5,可以说从两个方向无限地接近 5,,所以 52是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.22,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两 个方向向表示 52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 522一定是一个实数,即 51.4&51.41&51.414&51.414 2&51.414 21&…&5 充分表明 52&…&51.3&51.415&51.42&51.5.是一个实数.― 144 ―志鸿优化之优秀教案③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的 扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一 个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题 （1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? （2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. 对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个确 定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就 得到了. 讨论结果： （1）底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成混 乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2） 因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指 数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指 数幂的运算法则: ①ar?s=ar+s(a&0,r,s 都是无理数). a r s ②(a ) =ars(a&0,r,s 都是无理数). ③(a? r=arbr(a&0,b&0,r 是无理数). b) （3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar?s=ar+s(a&0,r,s∈R). a ②(ar)s=ars(a&0,r,s∈R). ③(a? r=arbr(a&0,b&0,r∈R). b) 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.（精确到 0.001）3（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1 4 ;（4） 33.活动： 教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值, 对于（1）,可先按底数 0.3,再按 对于（2）,先按底数 3.14,再按 对于(3),先按底数 3.1,再按 键,再按幂指数 2.1,最后按 键,再按负号 ,即可求得它的值； 即可;键,再按 3,最后按 即可;键,再按 34,最后按对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按 键,再按― 145 ―键,再按 3,最后按键.有时也可志鸿优化之优秀教案按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案： （1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;3（3）3.1 4 ≈2.336;（4） 33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代 信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可. 例 2 求值或化简. (1) a b (2)(?4 23ab 2 (a&0,b&0);1 ?2 ) 41( 4ab?1 ) (0.1) ?2 (a 3b )1 ?3 2(a&0,b&0);(3) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 活动： 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达 到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算, 教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运 算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子, 应 先 去 根 号 , 这 里 是 二 次 根 式 , 被 开 方 数 应 凑 完 全 平 方 , 这 样 , 把 5,7,6 拆 成 ( 3 )2+( 2 )2,22+( 3 )2,22+( 2 )2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解：(1) a b?4 23 2ab = a b (a b ) =a ba b =a?4 22 21 32 31 2-21 61 3?11 6b =4 33 6b4 a 11.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.1 33 3 3 31 ? (2)( ) 2 41( 4ab )?2 3?1 3 1 ?3 2(0.1) (a b )4 2 ? 4 2 2 ?2 ?2 2 4 0 0 4 = a a b b = ab= . 25 25 102点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个 方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 22 2 2= ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 ) = 3 - 2 +2- 3 -2+ 2=0. 点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=1 n ?n (5 -5 ),n∈N*,求(x+ 1? x 2 )n 的值. 21 ? 1 n11活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5 n 与 5― 146 ―具有志鸿优化之优秀教案对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提 示. x2=? 1 n ?n 2 1 2 (5 -5 ) = (5 n -2?0+5 n ) 5 4 4 2 1 1 2=? 1 2 (5 n +2+5 n -4) 4 1 1? 1 = (5 n +5 n )2-1. 4这时应看到 1+x2=1+1 n ?n 2 1 n ?n 2 ( -5 ) = (5 +5 ) , 4 41111这样先算出 1+x2,再算出 1? x 2 ,带入即可.? ? ? 1 1 1 解：将 x= (5 n -5 n )代入 1+x2，得 1+x2=1+ (5 n -5 n )2= (5 n +5 n )n, 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1? ? 1 1 n 所以(x+ 1? x ) =［ (5 n -5 n )+ (5 ? 5 n ) 2 ］n 2 4112n=［1 n ?n 1 n ?n n n n (5 -5 )+ (5 +5 )］ =(5 ) =5. 2 211111点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1) 621 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 ; 4 81 1(2)125 3 +(11 -2 1 ?3 ) +343 3 -( ) ; 2 271 3 1 2(3)(-2x 4 y1 1?)(3x 2 y 3 )；1 1(4)(x 2 -y 2 )÷ 4 -y 4 ). (x 活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师 有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法 则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解, 并对学生作及时的评价. 解：(1) 61 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 4 8― 147 ―志鸿优化之优秀教案25 2 27 3 1 =( ) +( ) +(0.062 5) 4 +14 8 2=(4? 5 2 1 3 3? 3 1 ) × +( ) +(0.5) 4 + 2 2 2 2 1 1111=5 3 1 + +0.5+ 2 2 22 3 1 1=5;1 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) 2 27=(5 ) +(2 ) +(7 ) -(3 )3? 2 3 3 2 3-1 -21 3 3 1 3-3?1 3=5+2-2×(-1)+71 1 33?-321 ? 3? ( ? ) 3=25+4+7-3=33; (3)(-2x 4 y = ? 6x1 1 ? 4 2? 1 1 1)(3x 2 y 3 )=(-2× 3)(x 4 x 2 ? y1 2 ? ? 3 3?1 32y3)?y=-6x y3 41 33 4 =?6 x 3(4)(x -y )÷ -y )=((x ) -(y ) )÷ -y ) (x (x1 1 1 1 1 11 21 21 41 41 4 21 4 21 41 4=(x 4 +y 4 )(x 4 -y 4 )÷ 4 -y 4 ) (x1 1=x 4 +y 4 . 点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式: (1)x ?2 ? y ?2 x? 2 3?y-3?32 3?-3x ?2 ? y ?2 x? 2 3?y?2 3;(2)(a +a )(a -a )÷ ［(a4+a-4+1)(a-a-1)］. 活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分23解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x2 与 x 3 的关系 可知 x =(x ) ,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立 方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=22 3 3x ?2 ? y ?2 x? 2 3?y2 3?2 3?? 2x ?2 ? y ?2 x? 2 3?y??2 3= (x?2 3 2) ?x 3y?2?2? ( y 3 ) 2 ? [(x 3 ) 2 ? ( x 3 )( y 3 ) ? ( y 3 ) 2 ]― 148 ―?2?2?2志鸿优化之优秀教案? 4 3=x? ( xy)?2 3?y?4 3?x?4 3? ( xy)?2 3?y?4 3= ? 2( xy)?2 3? ?23 xy(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷ ［(a4+a-4+1)(a-a-1)］(a 2 ) 2 ? (a ?2 ) 2 (a 2 ? a ?2 )(a 4 a ? ?4 ?1) a 2 ? (a ?1 ) 2 = 4 = 4 = =a+a-1. ?1 ?4 ?1 ?4 ?1 a?a (a ? a ? 1)(a ? a ) (a ? a ? 1)(a ? a )点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般 在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a =(a )3 还容易看出,对其中夹 杂的数字 m 可以化为 m? a a1 2 ? 1 2 3 2 1 2=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习:?1.化简:(1+211 32?)(1+21 16?)(1+2 B.(1-21 8?)(1+21 32 -11 4?)(1+21 2)的结果是(? 1 32)? 1 D. (1-2 32 ) 2 1? 1 A. (1-2 32 )-1 2?)C.1-2分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2? 1 32 ?)(1-21 32?)=1-2? 11 16?,所以原式的分子分母同乘以(1-2? 11 32),依次类推,所以(1 ? 2 2 )(1 ? 2 2 ) 1? 2? 1 32=1 ? 2 ?1 1? 2? 1 32? 1 = (1-2 32 )-1. 21答案：A7 10 ? 3 0 -0.5 0.5 -4 2.计算(2 )0.5+0.1-2+(2 ) -3π +9 +49 × . 2 9 27解：原式=(225 2 27 3 1 3 9 1 7 ) +100+( ) -3+49 2 × = +100+ -3+ + =100. 9 64 16 5 16 3 16a ? 2 a ? 1 (a≥1).2 21213.计算 a ? 2 a ? 1 ?解：原式= ( a ? 1 ? 1) ? ( a ? 1 ? 1) ?a ? 1 ? 1? | a ? 1 ? 1 | (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.? 1 4.设 a&0,x= (a n -a n ),则(x+ 1? x 2 )n 的值为_______. 2 1 1分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到― 149 ―志鸿优化之优秀教案? ? 1 1 解：1+x =1+ (a n -a n )2= (a n +a n )2. 4 4 1 1 1 12这样先算出 1+x2,再算出 1? x 2 , 将 x=? ? 1 n ?n 1 1 (a -a )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (a n -a n )2= (a n +a n )2. 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? 1 1 所以(x+ 1? x ) =［ (a n -a n )+ (a n +a n )2］n 2 42n=［1 n ?n 1 n ?n n (a -a )+ (a +a )］ =a. 2 21111答案：a 拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂 2 活动：教师引导学生回顾无理数指数幂 523的意义.的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,取它3的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算 2 想,“逼出” 23的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.3 的过剩近似值1.8 1.74 1.733 1.06 1...23的过剩近似值3 的不足近似值1.7 1.73 1.731 1.04 1...23的不足近似值3........3........我们把用 2 作底数, 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用 2 作底数,3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近似值 精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2α 会越来越趋近于同一个数,我们把这个 数记为 23.― 150 ―志鸿优化之优秀教案即 21.7&21.73&21.731&21.7319&…& 2 也就是说 233&…&21.&21.74&21.8.是一个实数, 23=3.321 997 …也可以这样解释:3当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 当 3 的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2 所 以 23的近似值从大于 2 的近似值从小于 23的方向逼近 2 的方向逼近 23； .333就 是 一 串 有 理 指 数 幂 21.7,21.73,21.731,21.7319,…, 和 另 一 串 有 理 指 数 幂321.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即 2≈3.321 997.课堂小结 (1)无理指数幂的意义. 一般地,无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar?s=ar+s(a&0,r,s∈R). a r s ②(a ) =ars(a&0,r,s∈R). ③(a? r=arbr(a&0,b&0,r∈R). b) (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的 意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课 内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、 类 比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力. 备课资料 ［备用习题］ 1.以下各式中成立且结果为最简根式的是( ) A.a ? 5 a3 a? a10 7? 10 a 42 5B. xy ( xy ) ? y ? 6 x ? y2C.a2 bb3 aa ? 8 a 7 b15 3 bD. (3 5 ? 125) 3 =5+125 125 ? 23 5 ? 125 答案：B 2.对于 a&0,r,s∈Q,以下运算中正确的是( A.ar?s=ars a 答案：B― 151 ―) C.(B.(ar)s=arsa r r s ) =a ? b bD.arbs=(ab)r+s志鸿优化之优秀教案3.式子x?2 ? x ?1x?2 x ?1成立的充要条件是()A.x?2 ≥0 x ?1B.x≠1C.x&1D.x≥2分析：方法一: 要使式子x?2 ? x ?1x?2 x ?1成立,需 x-1&0,x-2≥0,即 x≥2.若 x≥2,则式子x?2 ? x ?1 x?2 ? x ?1x?2 x ?1成立.从而 x≥2 是式子 方法二: 对 A,式子x?2 x ?1成立的充要条件.故选 D.x?2 ≥0 连式子成立也保证不了,尤其 x-2≤0,x-1&0 时式子不成立. x ?1对 B,x-1&0 时式子不成立. 对 C,x&1 时 x - 1 无意义. 对 D 正确. 答案：D 4.化简 b - (2 b - 1) (1＜b&2). 解： b - (2 b - 1) = ( b ? 1) = b -1(1&b&2).25.计算 3 2 ? 5 ? 3 2 - 5 . 解：令 x= 3 2 ? 5 ? 3 2 - 5 , 两 边 立 方 得 x3=2+ x3=4-3x,x3-3x+4=0. ∴(x-1)(x2+x+4)=0. ∵x2+x+4=(x+5 +2? 5 +332? 5 ?3 2- 5 ? (32 ? 5 ? 3 2 - 5 ), 即1 2 15 )+ &0, 2 4∴x-1=0,即 x=1.3 3 ∴ 2 ? 5 ? 2 - 5 =1.(设计者：郑芳鸣)2.1.2 指数函数及其性质 整体设计 教学分析― 152 ―志鸿优化之优秀教案有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究 指数函数的性质. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问 题和碳 14 的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其 中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生 探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的 思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究 指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情 景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指 数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培 养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数 函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 指数函数及其性质(1) 导入新课3 ,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的关系式,它是函 4 1 数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的 ,则至少要漂洗几次？教师引导 64 1 学生分析,列出关系式 y=( )x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这 4思路 1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 样的函数叫指数函数,引出本节课题.1 2 ? 1 2思路 2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算 23,20,2-2,16 4 ,27 3 ,49 函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案 8,1, 最后连线.点出本节课题..再提问怎样画1 1 ,2,9, ,先建立平面直角坐标系,再描点, 4 711 思路 3.在本章的开头,问题（2）中时间 t 和碳 14 含量 P 的对应关系 P=［( ) 5730 ］t,如果我们 2用 x 表示时间,y 表示碳 14 的含量,则上述关系可表示为 y= ［(1 5730 x ) ］ ,这是我们习惯上的函数 21形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概 念,从而引出课题.― 153 ―志鸿优化之优秀教案推进新课 新知探究 提出问题 1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84%,求出这种物质经过 x 年后的剩留量 y 与 x 的关系式是_________.(y=0.84x) 2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样 的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的关系式是_________.(y=2x) 提出问题 (1)你能说出函数 y=0.84x 与函数 y=2x 的共同特征吗? (2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定 a&0,a≠1? (4)为什么指数函数的定义域是实数集? (5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 活动： 先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生, 引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集 中解决. 问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性. 问题(4)在(3)的规定下,我们可以把 ax 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义. 问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧 扣指数函数的形式. 讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量 x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再 就是它们的自变量 x 都在指数的位置上,它们的底数都大于 0,但一个大于 1,一个小于 1.0.84 与 2 虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有 x 和 y. (2)对于两个解析式 y=0.84x 和 y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母 a 来表示,这样我 们得到指数函数的定义: 一般地,函数 y=ax(a&0,a≠1)叫做指数函数,其中 x 叫自变量,函数的定义域是实数集 R. (3)a=0 时,x&0 时,ax 总为 0;x≤0 时,ax 没有意义.1 a&0 时,如 a=-2,x= ,ax=(-2) 2 = - 2 显然是没有意义的. 2a=1 时,ax 恒等于 1,没有研究的必要. 因此规定 a&0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化. (4)因为 a&0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集 R. (5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个 x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题 (1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数 y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数 y=(11 x ) 的图象. 2(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点? (6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?― 154 ―志鸿优化之优秀教案(7)把 y=2x 和 y=(1 x ) 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 2 1 x ) 的图象?请说明画法的理由. 2(8)你能证明上述结论吗? (9)能否用 y=2x 的图象画 y=(活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强 调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透 概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课 本表 21,22 及图 2.12,2.13 及 2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究 指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数 函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. x y=2x -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1 0.50 1.00 2 1.50 2.00 41 ?81 41 2作图如图 2-1-2-1图 2-1-2-1 (4)列表. x y=( -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1 1.00 1.50 2 2.00 2.50 41 x ) 21 41 2作图如图 2-1-2-2图 2-1-2-2 (5)通过观察图 2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明 是增函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点（0,1）,且 y 值分布有以下特点,x&0 时 0&y&1,x&0 时 y&1.图象不关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 通过观察图 2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是 减函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点（0,1）,x&0 时 y&1,x&0 时 0&y&1.图象不 关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=(1 x 1 ) ,y=( )x.重新观察函数图象的特点,推广到 3 6一般的情形. （6）一般地,指数函数 y=ax 在 a&1 和 0&a&1 的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.― 155 ―志鸿优化之优秀教案图象特征 a＞1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点（0,1） 自左向右,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐 标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐 标都小于 1 自左向右,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标 都小于 在第二象限内的图象纵坐标 都大于 1 a＞1 增函数 0＜a＜1函数性质 a＞1 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0=1 减函数 x＞0,ax＜1 x＜0,ax＞1 0＜a＜1 函数的定义域为 R1x＞0,ax＞1 x＜0,ax＜1一般地,指数函数 y=ax 在底数 a＞1 及 0＜a＜1 这两种情况下的图象和性质如下表所示： 0＜a＜1图象①定义域：R ②值域： （0,+∞） 性质 ③过点（0,1）,即 x=0 时 y=1 ④在 R 上是增函数,当 x＜0 时,0＜y＜1; 当 x＞0 时,y＞1 （7）在同一坐标系中作出 y=2x 和 y=( 们的图象关于 y 轴对称. ④在 R 上是减函数,当 x＜0 时,y＞1; 当 x＞0 时,0＜y＜11 x ) 两个函数的图象,如图 2-1-2-3.经过仔细研究发现,它 2图 2-1-2-3 (8)证明:设点 p(x1,y1)是 y=2x 上的任意一点,它关于 y 轴的对称点是 p1(-x1,y1),它满足方程 y=(1 x -x 1 1 ) =2 ,即点 p1(-x1,y1)在 y=( )x 的图象上,反之亦然,所以 y=2x 和 y=( )x 两个函数的图象关 2 2 2 1 x ) 两个函数的图象关于 y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用 2于 y 轴对称. (9)因为 y=2x 和 y=(轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非 常有好处. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列函数是否是一个指数函数？ y=x2,y=8x,y=2?x,y=(2a-1)x(a& 41 ,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 2活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为― 156 ―志鸿优化之优秀教案y=x2,y=2?x,y=6x3+2 都不符合 y=ax 的形式,教师强调 y=ax 的形式的重要性,即 a 前面的系数为 1,a 4 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是 x 的形式或通过转化后能化为 x 的形式. 解：y=8x,y=(2a-1)x(a& 变式训练1 ,a≠1),y=(-4)x,y=πx 是指数函数;y=x2,y=2?x,y=6x3+2 不是指数函数. 4 22 -2 ) x(a&0,a≠1)中是指数函数的有哪些? a 1 2 2 答案：y=23x=(23)x,y=a-x=( )x,y=( )-2x=［( )-2］x 是指数函数. a a a函数 y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=( 例 2 比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5 与 1.73;(2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3)1.70.3 与 0.93.1. 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好 用实物投影仪展示写得正确的答案） ,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面 的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与 1 的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的 值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现 问题及时纠正并及时评价. 解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出 y=1.7x 的图象,如图 2-1-2-4.图 2-1-2-4 在图象上找出横坐标分别为 2.5、3 的点,显然,图象上横坐标为 3 的点在横坐标为 2.5 的点的上 方,所以 1.72.5&1.73,同理 0.8-0.1&0.8-0.2,1.70.3&0.93.1. 解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以 1.72.5&1.73.同理 0.8-0.1&0.8-0.2,1.70.3&0.93.1. 解法三：利用函数单调性, ①1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7x,当 x=2.5 和 3 时的函数值；因为 1.7&1,所 以函数 y=1.7x 在 R 上是增函数,而 2.5&3,所以 1.72.5&1.73； ②0.8-0.1 与 0.8-0.2 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y=0.8x,当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值；因为 0&0.8&1,所以函数 y=0.8x 在 R 上是减函数,而-0.1&-0.2,所以 0.8-0.1&0.8-0.2； ③因为 1.70.3&1,0.93.1&1,所以 1.70.3&0.93.1. 点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于 1.70.3 与 0.93.1 不能直 接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小,这里的 1 是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选 择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练 1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列 a,b,c. 答案：b&a&c(a、b 可利用指数函数的性质比较,而 c 是大于 1 的).1 12.比较 a 3 与 a 2 的大小（a＞0 且 a≠0）.― 157 ―志鸿优化之优秀教案答案：分 a＞1 和 0&a&1 两种情况讨论.当 0&a&1 时,a &当 a&1 时,a &a . 例 3 求下列函数的定义域和值域: (1)y=21 x?41 31 21 31 22 ;(2)y=( ) 3?|x|;(3)y=102x ?1 x ?1.活动：学生先思考,再回答,由于指数函数 y=ax,(a＞0 且 a≠1)的定义域是 R,所以这类类似指数函 数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有 意义即可,转化为解不等式. 解：(1)令 x-4≠0,则 x≠4,所以函数 y=21 1 x?4的定义域是｛x∈ x≠4｝, RO1又因为1 ≠0,所以 2 x ? 4 ≠1,即函数 y=2 x ? 4 的值域是｛y|y&0 且 y≠1｝. x?4 2 ) 3?|x|(2)因为-|x|≥0,所以只有 x=0. 因此函数 y=( 而 y=( 的定义域是｛xO x=0｝.?|x|2 ?|x| 2 0 2 ) =( ) =1,即函数 y=( ) 3 3 3 2x 2x (3)令 ≥0,得 ≥0, x ?1 x ?1 x ?1 即 ≥0,解得 x&-1 或 x≥1, x ?1因此函数 y=10 由于2x ?1 x ?1的值域是｛yO y=1｝.的定义域是｛xO x&-1 或 x≥1｝.2x 2x 2x 2x -1≥0,且 ≠2,所以 ? 1 ≥0 且 ? 1 ≠1. x ?1 x ?1 x ?1 x ?12x ?1 x ?1故函数 y=10的值域是｛yO y≥1,y≠10｝.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并 利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉 y&0. 变式训练 求下列函数的定义域和值域: (1)y=(1 2 x? x 2 1 2 x ?1 ) ;(2)y= 3 ? ;(3)y=ax-1(a&0,a≠1). 2 9 1 2 x? x 2 1 1 2 x ?1 ) 的定义域是 R,值域是［ ,+∞）;(2)函数 y= 3 ? 的定义域是 2 2 9答案：(1)函数 y=( ［?1 ,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当 a&1 时,定义域是{x|x≥0},当 0&a&1 时,定义域是{x|x≤0},值域 2是［0,+∞）. 思路 2 例 1 一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84%,求出这种物质的 剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原― 158 ―志鸿优化之优秀教案来的一半？（结果保留一个有效数字） 活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生 回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过 1 年,2 年,3 年…,的剩留量, 归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示 0.5 的点,作纵轴的垂线交图象于一 点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数. 解：设最初的质量为 1,时间用变量 x 表示,剩留量用 y 表示,则经过 1 年,y=1× 84%=0.841；经过 2 年,y=1× 0.84× 0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过 x 年,y=0.84x,x∈ *. N x y 0 1x1 0.842 0.713 0.594 0.505 0.426 0.35画出指数函数 y=0.84 的图象,如图 2-1-2-5.从图上可以看出 y=0.5 时,只需 x=4.图 2-1-2-5 答：约经过 4 年,剩留量是原来的一半. 点评：实际问题中要注意自变量的取值范围. 例 2 比较下列两个数的大小:1 ? ? (1)3 ,3 ;(2)0.75 ,0.75 ;(3)1.8 ,0.8 ;(4)( ) 3 ,2 5 . 30.8 0.7 -0.1 0.1 0.6 1.623活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1)因为 30.8=2..7=2.157669,所以 30.8&30.7; 对(2)因为 0.75-0.1=1..750.1=0.971642,所以 0.75-0.1&0.750.1; 对(3)因为 1.80.6=1..81.6=0.699752,所以 1.80.6&0.81.6; 对(4)因为(? ? 1 ?3 1 ? ) =2. 5 =0.659754,所以( ) 3 &2 5 . 3 3 2 3 2 3解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较: 对(1)因为函数 y=3x 在 R 上是增函数,0.8＞0.7,所以 30.8&30.7; 对(2)因为函数 y=0.75x 在 R 上是减函数,0.1＞-0.1,所以 0.75-0.1&0.750.1; 对(3)由指数函数的性质知 1.80.6&1.80=1=0.80&0.81.6,所以 1.80.6&0.81.6; 对(4)由指数函数的性质知(? ? 1 ?3 1 0 1 ? ) &( ) =1=20&2 5 ,所以( ) 3 &2 5 . 3 3 3 2 3 2 3解法三:利用图象法来解,具体解法略. 点评： 在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函 数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两 个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称 这种方法为“中间量法”. 变式训练 比较 n?1 a n 与 n a n?1 (a&0,a≠1,n∈ *,n&2)的大小关系. N― 159 ―志鸿优化之优秀教案解：因为 所以n?1a =ann n ?1, ann?1=an n ?1,而 n∈ *，n&2, Nn n ?1 n n ?1 1 ? ? = &0,即 . n ?1 n n ?1 n n(n ? 1)n n n n因此：当 a&1 时 a n ?1 &a n ?1 ，即 n?1 a n & n a n?1 ；当 0&a&1 时 a n ?1 &a n ?1 ,即 n?1 a n & n a n?1 . 知能训练 课本 P58 练习 1、2. 【补充练习】 1.下列关系中正确的是( A.() B.(1 3 1 2 1 3 ) &( ) &( ) 2 5 1 2 1 3 1 3 1 3 ) &( ) &( ) 5 2 22 1 2211 3 1 3 1 3 ) &( ) &( ) 2 2 52 2 1122C.(D.(1 3 1 3 1 3 ) &( ) &( ) 5 2 2答案：D 2.函数 y=ax(a&0,a≠1)对任意的实数 x,y 都有( ) A.f(xy)=f(x)? f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)? f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C 3.函数 y=ax+5+1(a&0,a≠1)恒过定点________. 答案： （-5,2） 拓展提升 探究一： 在同一坐标系中作出函数 y=2x,y=3x,y=10x 的图象,比较这三个函数增长的快慢. 活 动 ： 学 生深 刻 回 顾作函 数 图 象 的方 法 , 交 流作图 的 体 会 . 列表 、 描 点、连 线 , 作 出 函数 y=2x,y=3x,y=10x 的图象,如图 2-1-2-6. x y=2 y=3x x x-2 0.25 0.11 0.01-1 0.5 0.33 0.10 1 1 11 2 3 102 4 9 1003 8 27 100010
1010y=10图 2-1-2-6 从表格或图象可以看出: (1)x&0 时,有 2x&3x&10x; (2)x&0 时,有 2x&3x&10x; (3)当 x 从 0 增长到 10,函数 y=2x 的值从 1 增加到 1 024,而函数 y=3x 的值从 1 增加到 59 049.这― 160 ―志鸿优化之优秀教案说明 x&0 时 y=3x 比 y=2x 的函数值增长得快.同理 y=10x 比 y=3x 的函数值增长得快. 因此得：一般地,a&b&1 时,(1)x&0 时,有 ax&bx&1; (2)x=0 时,有 ax=bx=1; (3)x&0 时,有 ax&bx&1; (4)指数函数的底数越大,x&0 时其函数值增长就越快. 探究二： 分别画出底数为 0.2、0.3、0.5 的指数函数的图象(图 2-1-2-7),对照底数为 2、3、5 的指数函数 的图象,研究指数函数 y=ax(0&a&1)中 a 对函数的图象变化的影响.图 2-1-2-7 由此得：一般地,0&a&b&1 时,(1)x&0 时,有 ax&bx&1;(2)x=0 时,有 ax=bx=1;(3)x&0 时,有 ax&bx&1;(4) 指数函数的底数越小,x&0 时,其函数值减少就越快. 课堂小结 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和 研究方法. 4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法. 作业 课本 P59 习题 2.1A 组 5、6、8、10. 设计感想 本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰 富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解 过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代， 为什么规定底数 a 是大于 0 而不等于 1 的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课 的任务. (设计者：韩双影) 第 2 课时 指数函数及其性质(2) 导入新课 思路 1.复习导入： 我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数 的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主 要内容.教师板书课题. 思路 2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方 法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些 性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2). 应用示例 思路 1 x 例 1 已知指数函数 f(x)=a （a＞0 且 a≠1）的图象过点（3,π）,求 f(0),f(1),f(-3)的值. 活动： 学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定 a,一般用待定系数法,构建一个― 161 ―志鸿优化之优秀教案方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为 将已知点的坐标代入指数函数 f(x)=ax（a＞0 且 a≠1）求 a 的值,进而求出 f(0),f(1),f(-3)的值,请学 生上黑板板书,及时评价. 解：因为图象过点（3,π）,1 1所以 f(3)=a3=π,即 a=π 3 ,f(x)=(π 3 )x. 再把 0,1,3 分别代入,得 f(0)=π0=1, f(1)=π1=π, f(-3)=π-1=1?.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用. 例 2 用函数单调性的定义证明指数函数的单调性. 活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定 的格式书写. 证法一：设 x1,x2∈ R,且 x1＜x2,则 x x x y2－y1=a 2－a 1=a 1（ax2-x1－1）. 因为 a＞1,x2－x1＞0，所以 ax2-x1＞1,即 ax2-x1－1＞0. 又因为 ax1＞0, 所以 y2－y1＞0, 即 y1&y2. 所以当 a＞1 时,y=ax,x∈ 是增函数. R 同理可证,当 0＜a＜1 时,y=ax 是减函数. 证法二：设 x1,x2∈ R,且 x1＜x2,则 y2 与 y1 都大于 0,则x2 ? x1y 2 a x2 x2 ? x1 = =a . y1 a x1因为 a＞1,x2－x1＞0,所以 a 即＞1,y2 &1,y1&y2. y1所以当 a＞1 时,y=ax,x∈ 是增函数. R 同理可证,当 0＜a＜1 时,y=ax 是减函数. 变式训练 若指数函数 y=（2a－1）x 是减函数,则 a 的范围是多少？ 答案：1 ＜a＜1. 2例 3 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式, 教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律, 最后解决问题： 1999 年底 人口约为 13 亿; 经过 1 年 人口约为 13（1+1%）亿; 经过 2 年 人口约为 13（1+1%） （1+1%）=13(1+1%)2 亿; 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿;― 162 ―志鸿优化之优秀教案经过 x 年 人口约为 13(1+1%)x 亿; 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿. 解：设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则 y=13(1+1%)x, 当 x=20 时,y=13(1+1%)20≈16(亿). 答：经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 点评：类似此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总量 y=N(1+p)x,像 y=N(1+p)x 等形如 y=kax(k∈ R,a＞0 且 a≠1）的函数称为指数型函数. 思路 2 例 1 求下列函数的定义域、值域： (1)y=0.41 x ?1;(2)y=35 x ?12x ? 2 ;(3)y=2 +1;(4)y= x . 2 ?1x解： （1）由 x-1≠0 得 x≠1,所以所求函数定义}