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“十字交叉法”与“杠杆原理”
(162650)内蒙古扎兰屯林业学校
摘要：化学计算是中学化学重要的一环，只有掌握正确的解决方法，才能得心应手，“十字交叉法”就是一种十分有效、快捷的计算方法。
关键词：化学计算、十字交叉法
随着中学化学新教改，化学计算很多都可有“十字交叉法”简洁、迅速而准确地求解。理解“十字交叉法”的理论实质，不妨联想一下力学中的“杠杆原理”。
设有两个力f1与f2分别作用在杠杆的a、b两个端点，杠杆支点为c，将杠杆看作有向线段，各点坐标a＞b＞c.
其平衡条件可表述为：“作用在杠杆两端的两力矩相等，则杠杆平衡即　f1(a-c) = f2(c-b)　或表述为：”若作用在杠杆两端的两个力与其力臂长成反比，则杠杆平衡。
亦即　　f1/f2 = (c-b)/(a-c)
导出“十字交叉法”为 a
由此可知，化学计算中的问题若能和“杠杆原理”联系起来，找出两个“力”，两个“力臂”：或找出杠杆上的一个“支点”，两个“端点”以及作用在“端点”的两个“力”，就可求解。
下面谨举几例说明：
关于相对原子质量（同位素相对原子质量）的计算
例：氯元素有两种同位素35Cl和37Cl。已知氯元素的原子量为35.5，则35Cl的天然丰度。
分析：本题中氯的两种同位素的原子量可看作杠杆两端的两个“力”，各自的天然丰度为其“力臂”，而相对原子质量35.5为其“支点”。
可知35Cl与37Cl的物质的量之比(即天然丰度之比)为3:1.
所以35Cl的天然丰度为×100% =75%
相对分子质量的计算
例2，在标准状况下，11.2LCO和CO2混合气体质量为20.4g, 求混合气体中CO和CO2的体积比？
分析：混合气体CO和CO2的相对质量作两个“力”，各自的体积看作“力臂”，而混合气体的平均相对分子质量作为“支点”。
解：混合气体的平均相对分子质量为
== ×22.4=40.8
关于体积分数的计算
例：在标准状况下，CH4、CO和C2H2混合气8.96L,完全燃烧生成26.4gCO2, 则混合气中乙炔体积分数是多少?
解:①求混合气平均1mol含C原子数
共生成CO2=
②应用交叉法求乙炔体积分数
因为CH4与CO无论怎样的体积,平均C原子数都是1,
所以C2H2体积占×100% = 50%
关于溶液质量分数的计算
例：欲将200克10%的硝酸钾溶液变成浓度为20%的溶液，需蒸发多少克水？
分析：凡两溶液混合有关的浓度计算，可将两种原溶液浓度看作杠杆的两个端点，将其质量分数或体积分数看作作用在杠杆两端的“两个力”，而以混合液的浓度为“支点”。
解：本题需用逆向思维，将纯水看作浓度为0%的稀溶液，先看20%的浓溶液与水以何质量比混合得到10%的稀溶液，则将此稀溶液蒸发掉上述比例的水即可。
知：只要蒸发掉100克水即可将10%的硝酸钾溶液200克变为20%的硝酸钾溶液。
关于化学方程式的计算
关于化学方程式的计算，能够应用“十字交叉法”求解的，又可分成许多小类，这里仅举出较为典型的两类
5.1二元体系的二元组成
例：某镁铝合金试样4.0g,与过量盐酸充分反应,在标准状况下得到5.6 L H2,求镁、铝的质量比。
分析：凡二元体系的定量组成，可先将试样分别看作各组分的纯净物作为杠杆的两个“端点“，将两端点分别对应的某化学量（如质量、物质的量、体积）作为作用在杠杆两端的两个力，而将二力共同作用下的同一化学量的值作为”支点“。
解：若试样为纯镁，可放氢气：
若为纯铝，可放氢气：
知:纯镁和纯铝之比为0.62 : 1.87
所以质量比为1:3
5.2不完全反应
例:把100g重的纯铁浸入硫酸铜溶液中,过一会儿取出,洗涤干燥后重新称量质量增加了1.30g,试问铁片覆盖的铜有多少克?
分析:所溶部分占铁片总质量的比例在0%100%之间,
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y=(x^3+x)/(x^2+1)是怎么化简成y=x
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提取公因式y=x(x²+1)/(x²+1)=x
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因为x²+1>0 故不必讨论 直接约去 得
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因式分解法的十字相乘法算法过程?例如：2x^2-13x+11=0 然后分解因式,十字交叉法,即得：(x-1)(2x-11)=0“x^2”前面没系数的知道怎么算,有系数的不会了,不知道是怎么个“十字交叉”法?(x-1)(2x-11)是怎么得出来的？
sanduoTA0002
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十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解.1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程.3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错.4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单.2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目.3、十字相乘法比较难学.5、十字相乘法解题实例：1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题 因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5.因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） =[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 =（2x -7y +1）（5x +4y -3） 说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y =[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y =（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0 x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b） 1 ╳ -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b
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dac=“x^2”前面系数bd=常数可化为（a*x-b）(c*x-d)=0
-11=-2 -11=-13
ax^2+bx+c=0a=1时，就把c分解后凑出相加等于b的数。如：x^2-x-6=0,-6=-3*2,-3+2=-1,所以拆成（x-3）(x+2)=0a≠1时：2x^2-13x+11＝02只能拆成1*2,11只能拆成1*11或（－1）*（－11）1\/－12/\－11
1*（－11）+2*（－1）＝－13，所以拆成（x－1）(2x-...
例1 把2x^2;-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×...
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化简与求值：（1）化简：x-1x+2÷x2-2x+1x2-4+1x-1；（2）有一道题：“先化简再求值：（x-1x+1+2xx2-1）÷1x2-1，其中x=-2011”，小明做题时把“x=-2011”错抄成了“x=2011”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）原式=x-1x+2o(x+2)(x-2)(x-1)2+1x-1=x-2x-1+1x-1=x-2+1x-1=x-1x-1=1；（2）原式=[x-1x+1+2x(x+1)(x-1)]o（x+1）（x-1）=（x-1）2+2x=x2+1，∵当x=-2011或x=2011时，x2的值均为2011，∴小明虽然把x值抄错，但结果也是正确的．
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据魔方格专家权威分析，试题“化简与求值：（1）化简：x-1x+2÷x2-2x+1x2-4+1x-1；（2）有一道题：“先化..”主要考查你对&&分式的加减乘除混合运算及分式的化简&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
分式的加减乘除混合运算及分式的化简
分式的加减乘除混合运算： 分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。 分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。 分式的混合运算：在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；注意分式乘除法法则的灵活应用。
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科目：初中数学
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科目：初中数学
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科目：初中数学
请你先将式子2-2a+1÷(1+1a-1)化简，然后从1，2，3中选择一个数作为a的值代入其中求值．
科目：初中数学
请你先将式子&2-2a+1÷（1+）化简，然后从0，1，2中选择一个数作为a的值，代入其中求值．
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